Bediensysteme und Warteschlangen

06.04.2016
Methoden der computergestützten
Produktion und Logistik
9. Bediensysteme und Warteschlangen
Prof. Dr.-Ing. habil. Wilhelm Dangelmaier
Modul W 2336
SS 2016
Bediensysteme und Warteschlangen
Beispiel: Fahrradfabrik
2
Presse
Puffer
Lackiererei
Wareneingang
Hochregallager
Montage
Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
1
06.04.2016
Produktion als Bediensystem
Produktionssysteme
 Sie enthalten in der Regel Elemente, die mit Unsicherheiten behaftet sind.
 Ausfallverhalten
 Bedienungszeiten
 usw.
 Das Zeitverhalten ist daher nicht vollständig vorhersagbar und daher werden
Produktionssysteme als stochastische Bediensysteme modelliert.
Relative Häufigkeit 
Anzahl Ereignisse gleicher Eigenschaf t ni
Gesamtanzahl betrachtet er Ereignisse n
Wahrscheinlichkeit: p(ni )  pi  lim
n 
3
ni
mit 0  pi  1
n
Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Produktion als Bediensystem
Zufallsvariable
Funktion, die jedem Ereignis, das im Untersuchungsraum auftreten kann, eine reelle Zahl zuordnet.
0
1
Diskrete Zufallsvariable
Endliche oder abzählbare unendliche Menge von Werten (z.B. Würfeln, Anzahl der Augen)
x  [ 0 ; 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ]
Stetige Zufallsvariable
Kontinuum von Werten (überabzählbar) (z.B. Körpergröße in Metern)
x  [ 1; 2 , 5 ]
4
Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
2
06.04.2016
Produktion als Bediensystem
Zustand eines Stochastischen Systems
Beispiel:
Zustand=Realisation einer Zufallsvariable in der Fahrradfabrik
5
Zufallsvariable X
Realisation
Zustand des
Bediensystems
0
Kein Auftrag im
System
Bediensystem leer
1
2
3
4
i=1,2,3,4
Aufträge im System
Bediensystem
arbeitet
5
5 Aufträge im System
Bediensystem
arbeitet, weitere
Aufträge werden
wegen Überfüllung
abgelehnt
Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Produktion als Bediensystem
Zustandswahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit pi, dass sich ein stochastisches System zum Zeitpunkt t im Zustand
X(t) befindet .
pi  Prob { X( t )  i}
Übergangswahrscheinlichkeit:
Wahrscheinlichkeit, dass ein stochastisches System vom Zustand X(t) = i in einer
Zeiteinheit in den Zustand X(t+1) = j übergeht. Es handelt sich bei der
Übergangswahrscheinlichkeit um eine bedingte Wahrscheinlichkeit.
w
6
ij
 P rob
{ X ( t  1)  j | X ( t )  i}
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3
06.04.2016
Produktion als Bediensystem
Verteilungsfunktion
Eine Verteilungsfunktion gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Zufallsvariable
höchstens einen bestimmten Wert annimmt.
1. Diskreter Fall:
Häufigkeit sfunktion p( x) :
Verteilungsfunktion F( x) :
p( xi )  Prob { X  xi }
F( xi )  Prob { X  xi }
mit  i : 0  p( xi )  1
 p( xi )  1
i
mit  i : 0  F( xi )  1
F(  )  0
F(  )  1
F( xi )   p( x j )
x j  xi
7
Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Produktion als Bediensystem
2. Stetiger Fall:
Wahrscheinlichkeit für einen diskreten Wert ist Null.
Wahrscheinlichkeit für einen Wert innerhalb eines Intervall a,b ≠ 0
Dichtefunk tion f ( x)
b
 f ( xi ) dx  p(a  xi  b)
a
Mit f ( x)  0

 f ( xi ) dx  1

8
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4
06.04.2016
Produktion als Bediensystem
Beispiel: Verteilungsfunktion - Werfen einer fairen Münze (diskret)
Zufallsvariable: Anzahl von „Zahl“, die bei drei Würfen erzielt wird
Dabei gibt es acht Kombinationen von Ergebnissen:
Keine Zahl
:
Eine Kombinations-Möglichkeit
Einmal Zahl :
Drei Kombinations-Möglichkeiten
Zweimal Zahl :
Drei Kombinations-Möglichkeiten
Dreimal Zahl :
Eine Kombinations-Möglichkeit
F(xi)
1
p(xi)
.375
.5
.125
1
2
Häufigkeitsfunktion
0
9
3
xi
3 xi
0
1
2
Verteilungsfunktion
Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Produktion als Bediensystem
Beispiel 2: Verteilungsfunktion - Zufallsvariable x mit Werten zwischen 0 und 1.
Jeder Wert aus der nicht abzählbaren, unendlichen Menge von Werten soll gleich
wahrscheinlich sein.
f(xi)
F(xi)
0
.5
1
Dichtefunktion
xi
0
.5
1
xi
Kummulierte
Wahrscheinlichkeitsverteilung
10 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
5
06.04.2016
Produktion als Bediensystem
Erwartungswert
Mit der Wahrscheinlichkeit gewichteter Mittelwert aller Werte von X
E( x )   xi  p( xi )
i
Diskret:
Beispiel:
p(xi)
0,05
0,05
0,1
0,2
0,2
0,2
0,1
0,05
0,05
xi
0
5
10
15
20
25
30
35
40
E ( X )  0.05  0  0.05  5  0.1 10  0.2  15  0.2  20  0.2  25 
0.1 30  0.05  35  0.05  40  20
Stetig:

E( x )   x  f ( x ) dx

11 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Produktion als Bediensystem
Varianz und Standardabweichung
Die Varianz und Standardabweichung sind Maße für Streuung einer
Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Varianz
Diskret:
Beispiel:
Stetig:
D2 ( x )  E([ x  E( x )]2 )   pi  ( xi  E( x ))2
i
D2 ( x )  0.05  (0  20.05 )2  0.05  (5  20.05 )2  

D2 ( x )   ( x  E( x ))2f ( x ) dx

2
2
Standardabweichung:   D ( x )
12 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
6
06.04.2016
Produktion als Bediensystem
Verschiedene Verteilungen
Diskret: Nur bestimmte (abzählbare) Werte
z.B. Anzahl Forderungen in einem Bedienungssystem:
Diskrete Gleichverteilung
Geometrische Verteilung
Pascal-Verteilung
Binomial-Verteilung
Poisson-Verteilung
13 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Produktion als Bediensystem
Stetig: Stetige Verteilungen über X, wobei X als stetiger Parameter sämtliche Werte in
einem Intervall annehmen kann.
Mögliche Verteilungen:

Gleichverteilung

Dreiecksverteilung

Exponentialverteilung

Normalverteilung

Log-Normalverteilung

Gamma-Verteilung

Erlang-Verteilung

Weibull-Verteilung
14 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
7
06.04.2016
Produktion als Bediensystem
Stochastischer Prozess
Familie von Zufallsvariable (x(t)), die von Parameter t abhängen.
Für t gilt : t  θ.
Parameterraum (Menge θ)
θ abzählbar  Stochastischer Prozess mit diskretem Parameterraum
(Stochastische Kette)
θ ein Intervall aus   Prozess mit stetigem Parameter
Realisation: (θ)  Ώ
Zustandsraum (Menge Ώ)
Die Menge der möglichen Zustände.
15 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Produktion als Bediensystem
Beispiel: Parameter- und Zustandsraum
Parameterraum θ
Stetig
Zustandsraum Ω
Diskret
Stetig
Diskret
Wasserstand eines
Stausees im Zeitablauf.
Wasserstand eines
Stausees zu diskreten Zeitpunkten
Parameter t: Zeit
Zustandsraum Ώ: Tiefster
bis höchster Wasserstand
Parameter t: Zeitpunkte
Zustandsraum Ώ: Tiefster
bis höchster Wasserstand
Zahl der Autos in einer
Garage im Zeitverlauf
Zahl der Autos in einer
Garage zu diskreten Zeitpunkten
Parameter t: Zeit
Zustandsraum Ώ: 0,1,..n
n = Fassungsvermögen
der Garage
Parameter t: Zeitpunkte
Zustandsraum Ώ: 0,1,..n
n = Fassungsvermögen
der Garage
16 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
8
06.04.2016
Produktion als Bediensystem
Strom
Ein Strom ist ein monoton wachsender stochastischer Prozess…
{ X t ; 0  t  }
… der nur positive reelle Zahlen annehmen kann.
x t  t  x t  0; t  0; x t  0
Es gilt:
Stetiger Strom:
Fluss
Diskreter Strom:
Stückgut-“Fluss“
17 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Produktion als Bediensystem
Beispiel: Strom mit diskretem Parameterraum und diskretem Zustandsraum
(Ohne dass etwas aus der Warteschlange entnommen wird; „Fortschrittszahl“!)
X(t) = Länge der Warteschlange vor einer Maschine zum Zeitpunkt t
X(t) wächst durch das Eintreffen von Forderungen zu den Zeitpunkten t1,t2,...
Umfang der Forderungen  Zufallsgröße mit stetiger Verteilung
Abstand der Forderung  Zufallsgröße mit stetiger Verteilung
Länge der
Warteschlange
in Bearbeitungsstunden
X(t)
t0
t1
t2
t3
t4
18 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
9
06.04.2016
Produktion als Bediensystem
Einheitenstrom
Diskreter Strom mit nur ganzzahligem Wert.
z.B.: X(t) = Anzahl der Forderungen: Sprunghöhe konstant 1
Ereignisstrom
Einheitenstrom aus einer Folge gleichartiger Ereignisse
Beispiel: Ankunftsprozess in einem Bedienungssystem (Fortschrittszahl)
Ereignis: Ankunft einer Forderung
Ereignisstrom lässt sich durch Ereignishäufigkeit und Ankunftsabstand
beschreiben:
Ereignishäufigkeit h(t1,t2)
Ankunftsabstand t2
19 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Prozesse
Markow-Prozess
Von einem stochastischen Prozess sei die Realisation aller Zeitpunkte ti≤ t bekannt.
Hängt der weitere Verlauf nur von X(t) und nicht von den Werten davor ab, handelt es
sich um einen Markow-Prozess.
Bei einem Markow-Prozess gelten folgende Beziehungen:
Prob ( x( t )  x | X( t1)  y1, X( t 2 )  y 2, ... , X( tn )  yn ) 
Prob ( x( t )  x | X( tn )  yn )
ti  ti1; i  1,2,..., n
für alle yi; i=1,2,…n.
Erinnerung: Prob ( x( t )  x | X( tn )  yn )
ist die Übergangswahrscheinlichkeit.
Markow-Kette
Eine stochastische Kette mit abzählbarem Zustandsraum und Markow-Eigenschaft.
20 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
10
06.04.2016
Prozesse
Poisson-Prozess
Es ist ein Ereignisstrom mit den folgenden Eigenschaften:
1.
Der Ereignisstrom ist stationär:
Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Intervall (t0,t0+t) i Ereignisse eintreffen, soll mit
pi(t0,t0+t) bezeichnet werden.
Bei einem stationären Strom ist pi(t0,t0+t) unabhängig von t0
 pi(t0,t0+t) = p(t)
Beispiel: Fester Zeitpunkt ta, von dem ab in äquidistanten Zeitpunkt ta+b,
ta+2b, ta+3b jeweils eine Forderung eintrifft:
pi (ta  b , ta  3b )  0
4
4
3
b
5
b
pi (ta 
,t 
) 1
4 a
4
 Dieser Prozess ist nicht stationär!
21 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Prozesse
2. Der Ereignisstrom ist ohne Nachwirkungen
Die Wahrscheinlichkeiten pi(t0,t0+t) sollen im markow‘schen Sinne unabhängig von dem
Geschehen vor dem Zeitpunkt to sein.
3.
Der Ereignisstrom ist regulär
Für die Wahrscheinlichkeit: q( t )  Prob(N( t )  2) mit N als Zählgröße für die
eintreffenden Ereignisse soll gelten:
lim
t 0
q( t )
 0  0( t )
t
Ereignisse haben immer einen zeitlichen Abstand!
22 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
11
06.04.2016
Prozesse
Poisson-Wert
Ereignishäufigkeit in einem Poisson-Prozess.
Für das Verteilungsgesetz der Anzahl X der Ereignisse, die in einer Zeiteinheit eintreffen,
gilt:
Prob{ x  i} 
ie 
(i  0,1,2....)
i!
α : Ereignisrate (Mittlere Anzahl der Ereignisse, die pro Zeiteinheit eintreffen)
Verteilungsgesetz für die Anzahl X(t) der Ereignisse in Zeitintervall t:
Prob ( X( t )  i) 
(  t )i et
(i  0,1,2,....)
i!
Der Zwischenereignisabstand genügt der Verteilungsfunktion:
0 (t<0)
-αt (t0)
1-e


Prob (ta ≤ t) = 
23 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Bedienungssysteme mit einem Bedienungskanal
Analytische Modellierung von Bediensystemen
Voraussetzungen:
Der Ankunftsprozess der Forderungen ist ein Poisson-Prozess
Ankunftshäufigkeit: Poissonverteilt
Ankunftsabstand: Exponentialverteilt
Ereignisrate  Ankunftsrate λ
Die Zeit t für die Bedienung einer Forderung in einem Bedienungskanal (Bedienungszeit)
ist exponentialverteilt mit dem Parameter μ. μ ist die Bedienungsrate eines
Bedienungskanals (Anzahl der Forderungen, die pro Zeiteinheit bedient werden können).
Strom der bedienten Forderungen: Im stationären Fall bei den getroffenen Annahmen
wieder ein Poisson-Prozess
24 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
12
06.04.2016
Bedienungssysteme mit einem Bedienungskanal
Bediensysteme mit einem Bedienkanal
In einkanaligen Bedienungssystemen können folgende Zustände auftreten:
Z0 = Das Bedienungssystem ist leer
Z1 = Im Bedienungssystem ist eine Forderung
Z2 = Im Bedienungssystem sind zwei Forderungen
….
Zi = Im Bedienungssystem sind i Forderungen
Die Zustandswahrscheinlichkeiten p0(t), p1(t), p2(t),…,pi(t) geben die Wahrscheinlichkeit
dafür an, dass zum Zeitpunkt t im Bediensystem der Zustand Z0, Z1,…,Zi herrscht.
25 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Bedienungssysteme mit einem Bedienungskanal
Zustand Z0 zum Zeitpunkt t + ∆t kann sich nur auf folgende Weise ergeben:
Zum Zeitpunkt t besteht der Zustand Zo und während des Zeitraums (t, t+ ∆t) kommt
keine Forderung an.
Zum Zeitpunkt t herrscht der Zustand Z1 und während des Zeitraums (t, t+ ∆t)
verlässt eine Forderung das Bediensystem und es kommt keine Forderung an.
Ist ∆t hinreichend klein, ist die Ankunft und Bedienung einer Forderung in ∆t
ausgeschlossen.
In Folge der Regularität ist die Ankunft mehr als einer Forderung ausgeschlossen.
Ebenso die Bedienung von mehr als einer Forderung.
26 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
13
06.04.2016
Bedienungssysteme mit einem Bedienungskanal
Ein Poisson-Prozess ist nach Voraussetzung stationär.
 Zustandswahrscheinlichkeiten unabhängig von t
Die Wahrscheinlichkeit w00 für den Übergang Z0  Z0 ist gleich der Wahrscheinlichkeit
dafür, dass während des Zeitraums (t,t+∆t) keine Forderung eintrifft. Bei gegebener
Ankunftsrate λ lautet sie:
w oo ( t )  e t
( t  t;   , i  0)
Die Wahrscheinlichkeit w10 für den Übergang Z1  Z0 ist gleich der Wahrscheinlichkeit
dafür, dass während des Zeitraums (t,t+∆t) die Bedienung einer Forderung
abgeschlossen wird und diese das System verlässt. Bei gegebener Bedienungsrate μ
lautet sie:
w 10 ( t )    t  e  t
( t  t;   , i  1)
27 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Bedienungssysteme mit einem Bedienungskanal
Die Wahrscheinlichkeit p0 (t+∆t) ergibt sich aus den
Zustandswahrscheinlichkeiten p0(t) und p1(t) sowie den Übergangs-Wahrscheinlichkeiten w00
und w10 zu:
p0 (t  t )  p0 (t )  w00 (t )  p1 (t )  w10 ( t )  p0 (t )  e  t  p1 (t )    t  e   t
Entwickelt man diese Exponentialreihen als Taylorreihen (bzgl. ∆t = 0) und führt den
Grenzübergang ∆t  0 durch, dann gilt:
Grenzübergang ∆t  0:
dp0 (t )
    p0 (t )    p1 (t )
dt
Im Stationären Fall gilt wegen
pi ( t )  pi; dp( t )  0 :   p1    p0  0
28 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
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06.04.2016
Bedienungssysteme mit einem Bedienungskanal

Analog lässt sich der Zustand Zi betrachten:
Als Vorgängerzustände des Zustands Zi sind nur die Zustände Zi-1, Zi+1 und Zi selbst möglich.
Zustand i-1  i: wi-1,i(∆t)
 Im Intervall ∆t trifft eine Forderung ein: λ∆t
 Im Intervall ∆t wird keine Forderung abgeschlossen: 1-μ∆t
Zustand i+1  i: wi+1,i(∆t)
 Im Intervall ∆t trifft keine Forderung ein: 1-λ∆t
 Im Intervall ∆t wird eine Forderung abgeschlossen: μ∆t
Zustand i  i: wi,i(∆t)
 Im Intervall ∆t trifft keine Forderung ein und keine wird abgeschlossen:
(1-λ∆t)(1-μ∆t)
 Im Intervall ∆t trifft eine Forderung ein und wird eine Forderung abgeschlossen: (λ∆t)
(μ∆t)
 (Wie man sieht: quadratisch und daher ausgeschlossen!!!)
29 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Bedienungssysteme mit einem Bedienungskanal
Daraus folgt die totale Wahrscheinlichkeit des Zustands Zi:
pi  (pi1  w i1,i  pi1w i1,i  pi  w i,i )  t 
pi1  (1  t )t  pi1  (1  t )t  pi 
((1  t )(1  t ))
Vernachlässigung nichtlinearer Glieder  dpi(t)
dpi ( t )  pi1( t )    pi1( t )  (   )pi ( t )dt
mit pi ( t )  pi; dpi ( t )  0 fo lg t :
  pi1    pi1  (   )pi  0
(i  1,2,3...)
30 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
15
06.04.2016
Bedienungssysteme mit einem Bedienungskanal
Damit gilt für die Zustandsgleichungen folgendes Gleichungssystem:
  p1    p0  0
  pi1    pi1  (   )pi  0

Setzt man p1   p0

,dann gilt für p2 :



 (   )    po   2
    p
p2  
o


 
i

pi     po   i  p0

Auf induktivem Weg folgt:

  Verkehrsdichte

 
mit
31 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Warteschlangen
Beispiel:
Unbegrenzte Warteschlange - Aufträge vor einer Werkzeugmaschine.
Es muss hier gelten:

 1
Zustände im Bedienungssystem:
wi,i
wi,i+1
wi-1,i
i
wi+1,i
wi,i-1
w3,3
w2,2
w2,3
w3,4
3
w4,3
2
w3,2
w0,0
w1,1
w1,2
w0,1
0
1
w2,2
w1,0
32 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
16
06.04.2016
Warteschlangen
Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Zustandes
w3,3
w2,2
w3,4
w1,2
w2,3
3
2
w4,3
w1,1
w0,1
0
1
w2,2
w3,2
w0,0
w1,0
Summe aller Wahrscheinlichkeiten =1  Bestimmung von p0:
i


 pi  po      1
i0
i 0  
i

1

 durch





i  0 
1


Daraus folgt: po  1 

Ersetzen von  
für

1

33 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Warteschlangen
Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Zustand Zi
Die Wahrscheinlichkeit, dass zu einem beliebigen Zeitpunkt i Forderungen in der
Warteschlange sind beträgt:
i
  
pi     1    i  (1  )
  
Kumulierte Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Schlange mit bis zu i Forderungen:
i1
i

 p j  1   
j0

34 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
17
06.04.2016
Warteschlangen
Erwartungswert
Durchschnittliche Anzahl von Forderungen im Bedienungssystem bzw. in der
Warteschlange:

  
L g   i  pi  1     i   
i 0
   i 0   


Ersetzt man



i
 i     durch
i 0


 
1  
 
2
i
so ist
Lg 


1




 
35 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Warteschlangen
Auftreten einer Wartezeit tw
Verteilungsfunktion
Auftreten einer bestimmten Wartezeit tw:
 
p( t w )   1  e (   )t
 
Durchschnittliche Verweilzeit im Bedienungssystem:
tg 
lg


1

Durchschnittliche Wartezeit in der Warteschlange:
tw 
1
1 lg
 
  
Wahrscheinlichkeit für Wartezeiten bis zu einer Länge t1 Zeiteinheiten:
t1

pt1   p( t w )  t  1   e(    )t1
t 0

36 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
18
06.04.2016
Warteschlangen
Beispiel: unendliche Warteschlangen
Beispielsystem Kran:
Eingang
Warteschlange
Im Schnitt durch einen Auftrag 4 Minuten belastet
Durchschnittlich 12 Aufträge je Stunde
Es gelten die gemachten Voraussetzungen:
Mittlere Ankunftsrate:   12
Ausgang
Stunde
Mittlere Bedienungsrate:   15 Stunde
Auslastungsgrad:


 0,8

Zur Bedienung
Bedienungssystem
37 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Warteschlangen
Beispiel: unendliche Warteschlangen (2)
Durchschnittliche Verweilzeit im Bedienungssystem:
1
1
tg 

 0,333h
   15  12
Durchschnittliche Wartezeit in der Warteschlange:

12
tw 

 0,267h
(   ) 15(15  12)
Durchschnittliche Warteschlangenlänge:
2
12  12
lw 

 3,2
(   ) 15(15  12)
Durchschnittliche Anzahl von Aufträgen im Bedienungssystem:
lg 

12

4
   15  12
38 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
19
06.04.2016
Endliche Warteschlangenlänge,
unendliche Anzahl von Aufträgen
Beispiel: Gabelstapler werden auf einer begrenzten Parkfläche abgestellt. Sie werden in
der Reihenfolge des zeitlichen Eintreffen auf der Fläche zur Erfüllung von
Transportaufträgen abgerufen.
Abruf
Eingang
…
1.
2.
3.
n.
Bedienungssystem
Bedienzeit: Die Zeit, die ein Stapler auf dem 1. Platz steht
Ist zum Zeitpunkt des Eintreffen eines Auftrages kein Stapler verfügbar, ist der Auftrag
verloren.
39 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Endliche Warteschlangenlänge,
unendliche Anzahl von Aufträgen
Mittlere Bedienungsrate
  ' (1  p0 ), wobei ' mittlere Ankunftsra te der Aufträge
Anzahl verlorener Aufträge
'p0
wn,n
wn-1,n-1
Zustandsgraph
n
Für pi mit i>0 gilt:
w0,0
w1,1
w0,1
wn-1,k
n-1
wn,n-1
0
1
w1,0
  pi1    pi1  (  )pi  0
Unter den gegebenen Voraussetzung gilt für i=n:
  pn1    pn  0;   pn1  0;   pn  0
40 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
20
06.04.2016
Endliche Warteschlangenlänge,
unendliche Anzahl von Aufträgen
Ermittlung von p0:
n
n
p
 pi  1 ,damit gilt:
i0
p0 
Und es folgt:
i0
i
 1  p0 (1    2  ....n )  p0 
1  n1
1
1 
1 
1  n 1
Aus pi  i  po folgt: pi 
1 
1  n1
 i
Der Auslastungsgrad ergibt sich zu:





 ' (1  p o )

(1  n1 )


1    '   n1
' 1 

n 1 
 1  


41 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Endliche Warteschlangenlänge,
unendliche Anzahl von Aufträgen
Die mittlere Anzahl von Forderungen im
Bedienungssystem berechnet sich wie folgt:
n
L g   i  pi
i 0
 1   i

  i  
n 1 
i 0
 1  
1  (n  1)n  n  n1
 
(1  )(1  n1 )
n
Die mittlere Anzahl von Forderungen in
der Warteschlange berechnet sich wie folgt:
n
L w   (i  1)  pi
i1
n
n
i0
i1
  i pi   pi  L g  (1  p0 )
 L g  p0  1
42 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
21
06.04.2016
Endliche Warteschlangenlänge,
unendliche Anzahl von Aufträgen
Beispiel: Endliche Warteschlangenlänge, unendliche Anzahl von Aufträgen
Auf der Parkfläche werden n=6 Gabelstapler abgestellt.
Die Mittlere Ankunftsrate der Aufträge ist λ‘ = 20/h, die mittlere Bedienungsrate λ=16/h
Abruf
Eingang
…
λ‘ = 20/h 1.
2.
3.
6.
(1  n 1)
Damit ergibt sich für den Auslastungsgrad:

Leerwahrscheinlichkeit:
p0 
' (  n 1)
1 
1  n1
 0,955
 0,163
Für die einzelnen Zustandspi  i  p0  0,955i  0,163
wahrscheinlichkeiten gilt:
43 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Endliche Warteschlangenlänge,
unendliche Anzahl von Aufträgen
Beispiel: Endliche Warteschlangenlänge, unendliche Anzahl von Aufträgen (2)
Für die einzelnen Zustandswahrscheinlichkeiten gilt:
0
p0= 0,163 X 0,955 = 0,163
1
p1= 0,163 X 0,955 = 0,155
2
p2= 0,163 X 0,955 = 0,148
3
p3= 0,163 X 0,955 = 0,142
4
p4= 0,163 X 0,955 = 0,135
5
p5= 0,163 X 0,955 = 0,129
6
p6= 0,163 X 0,955 = 0,124
Durchschnittliche Anzahl Gabelstapler auf der Parkfläche:
L g  0  p0  1 p1  2  p2  3  p3  4  p4  5  p5  6  p6  2,67
44 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
22
06.04.2016
Ungeduldige Forderungen
Ungeduldige Forderungen
Forderungen die sich nicht in die Schlange einreihen, wenn Wartezeit tw > t1 .
Die bisher verwendete Ankunftswahrscheinlichkeit ist durch eine
Eintrittswahrscheinlichkeit zu ersetzen.
Es bestehen verschiedene Möglichkeiten diese Eintrittswahrscheinlichkeit festzulegen:
Feste Wartezeit
Abhängig von der Warteschlange
etc.
Hier: Abhängig von der Wartezeit. Die erwartete Wartezeit beträgt:
Der Anteil ungeduldiger Forderungen sei:
i

e  qt w ; q  mittlere Ungeduld der Forderungen
tw 
i

45 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Ungeduldige Forderungen
Wahrscheinlichkeit, dass eine Forderung sich in die Schlange einreiht:
 i  e  qt w
i  e
1
 q i

 q 1 
 e  




i
 i  1i
wi+1,i
wi,i
wi,i+1
i+1
wi.1,i
i
wi+1,i
wi-1,i-1
i-1
w0,0
0
wi,i-1
46 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
23
06.04.2016
Ungeduldige Forderungen
wi+1,i
wi,i
i+1
i
wi+1,i
wi-1,i-1
wi.1,i
wi,i+1
0
i-1
wi,i-1
w0,0
w i,i1     i  pi
Es gilt für wi,i+1:
w i,i  1     i  p i
Und für wi-1,i:
w i  1,i     i  1  p i  1
Es gilt für die Zustandsgleichungen:
  p1    p o  0
  p i  1     i 1  p i 1  (      i )  p i  0
λ wird also durch die Eintrittsrate λi= λ x γi ersetzt.
Für die Zustandswahrscheinlichkeiten gilt:
i
pi  p0  
i
(i1)
 2
i
 po    e
i
q
 (i1)
2

47 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Ungeduldige Forderungen
Es lässt sich zeigen: pi  0 für i  , unabhängig von  (  1 nicht notwendig )

p
i 0
i
1
i

 p 0  i   2
( i1)
1
i 0
i

p 0  1   p 0  i   2
( i 1)
1
i 1
p0 
1

i
1   i   2
( i 1)
i 1
i

( i 1) 

p0  1   i   2 
 i1

1
48 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
24
06.04.2016
Ungeduldige Forderungen
Beispiel: An einer Getränkeausgabe kommen durchschnittlich λ=5 Mitarbeiter/min an.
Bedienungsrate μ=3/min. Nur 10% der Mitarbeiter sind bereit zu warten, wenn die
Warteschlange aus mehr als 4 Personen besteht.
Bestimmung des Wertes von q:
 i  e qt w  e
Bestimmung des Wertes von tw:
tw 
Bei dieser Wartezeit warten 10%:
0,1  e  q1,666
q 
i



qi

4 1
 1,666 min
3
ln 0,1
 2,30

 1,38
 1,666  1,666
49 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Ungeduldige Forderungen
Anteil der Mitarbeiter, der sich zum Warten entschließt:
Zahl i der Mitarbeiter vor
der Getränkeausgabe:
Anteil der Mitarbeiter, der sich i
q
zum Warten
 i  e qt w  e 
entschließt
0
1,00
1
0,63
2
0,40
3
0,25
4
0,16
5
0,10
6
0,06
7
0,04
8
0,04
…
…
50 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
25
06.04.2016
Ungeduldige Forderungen
Zustandswahrscheinlichkeiten: Mit ρ = 1,666 (= 5/ = 3) erhält man die Wahrscheinlichkeit
des Zustands i in
Abhängigkeit von p0 als:
i
pi  p0   e
i
q
 (i 1)

2
p1 = 1,666 x p0
p2 = 1,748 x p0
p3 = 1,156 x p0
p4 = 0,462 x p0
p5 = 0,128 x p0
p6 = 0,021 x p0
p0+p1+ p2+p3+ p4+p5+ p6+…. = 1
po(1 + 1,666 + 1,748 + 1,156 + 0,462 + 0,128 + 0,021) = 1
51 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Ungeduldige Forderungen
Zustandswahrscheinlichkeiten:
p0+p1+ p2+p3+ p4+p5+ p6+…. = 1
po(1 + 1,666 + 1,748 + 1,156 + 0,462 + 0,128 + 0,021) = 1
p0 = 0,161
p1 = 1,666 x 0,161 = 0,268
p2 = 1,748 x 0,161 = 0,281
p3 = 1,156 x 0,161 = 0,186
p4 = 0,462 x 0,161 = 0,074
p5 = 0,128 x 0,161 = 0,020
p6 = 0,021 x 0,161 = 0,003
52 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
26
06.04.2016
Ungeduldige Forderungen

Die mittlere Anzahl Mitarbeiter vor dem Bedienungsschalter ist:
L g   i  pi
i 0
0 x p0 = 0 x 0,161 = 0,000
1 x p1 = 1 x 0,268 = 0,268
2 x p2 = 2 x 0,281 = 0,562
3 x p3 = 3 x 0,186 = 0,558
4 x p4 = 4 x 0,074 = 0,296
5 x p5 = 5 x 0,020 = 0,100
6 x p6 = 6 x 0,003 = 0,018
Lg
= 1,802
Lg
Damit ist die mittlere Verweilzeit:

 tg 
1,802
 0,36 min
5
53 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Ungeduldige Forderungen
Die mittlere Anzahl wartender Mitarbeiter ist:

L w   (i  1)pi
i 1
0 x p1 = 0 x 0,268 = 0,000
1 x p2 = 1 x 0,281 = 0,281
2 x p3 = 2 x 0,186 = 0,372
3 x p4 = 3 x 0,074 = 0,222
4 x p5 = 4 x 0,020 = 0,080
5 x p6 = 5 x 0,003 = 0,015
Lw
Damit ist die mittlere Wartezeit:
= 0,970
Lw
0,970
 tw 
 0,194 min

5
54 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
27
06.04.2016
Parallele Bedienungskanäle und
unbegrenzte Warteschlange
Für die Zustandsgleichungen gilt:
  p1    p0  0
(i  0)
  pi1  (i     )pi  (i  1)  pi1  0
  pi1  (s     )pi  s    pi1  0
(0  i  s)
(s  i )
Für pi ergibt sich in Abhängigkeit von po:
pi 
pi 
i
 po
i!
i
s!sis
(1  i  s)
 po
(s  i)
Der Wert von p0 berechnet sich wie folgt:

s i
s 1 
p0  1   

 i1 i! s! (s  ) 
1
55 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Parallele Bedienungskanäle und
unbegrenzte Warteschlange
Die Warte- oder Besetztwahrscheinlichkeit pw gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass
mindestens s Forderungen im Bedienungssystem sind
 also alle Kanäle besetzt sind und eine neue Forderung warten muss

i
k s
s!sis
Aus
p w   pk und pi 
folgt
pw 
p0
k
mit
ergibt sich

 
p0
 ss    
s!
k s  s 
k
 x 
k m
pw 
xm
; | x | 1
1 x
p0  s
p0   s


s! (1  ) (s  1)! (s  )
s
56 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
28
06.04.2016
Parallele Bedienungskanäle und
unbegrenzte Warteschlange
Mittlere Anzahl von Forderungen in der Warteschlange:

L w   k  ps  k
k 1
k 1
k



s
s 1


 p0   k    
 p0   k   
s!
s!s
k 1  s 
k 1
s
mit

k 

s
k 1
folgt
Lw 

k 1

1

(1 
)2
s
s1  p0
  pw

2
(s  ) ( s  1)! s  
57 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Parallele Bedienungskanäle und
unbegrenzte Warteschlange
Auf ähnlichem Wege ergibt sich:
Mittlere Anzahl Forderungen im Bedienungssystem
Lg 

p 
s1
 p0    1  w 
2
(s  1)!(s  )
 s
Mittlere Anzahl besetzter Kanäle
Lb  
Mittlere Verweilzeit
tg 
Mittlere Wartezeit
tw 
Lg

Lw

58 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
29
06.04.2016
Parallele Bedienungskanäle und
unbegrenzte Warteschlange
Beispiel:
Gegeben ist eine Werkzeugausgabe, bei der sich Werker ihr benötigtes Werkzeug an einer
Ausgabestelle abholen:
Ankunftsrate der Mitarbeiter λ = 1/min.
Bedienungsrate μ = 0,5/min
Lohnkosten:
Werker:
15 €
Lagerist:
6€
Gesucht: Kostengünstigste Anzahl von Ausgabestellen, wenn jede Ausgabestelle mit einem
Lageristen besetzt ist.
59 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Parallele Bedienungskanäle und
unbegrenzte Warteschlange
Für die Verweilzeit ergibt sich:
Lg 
s 1
(s  1)!( s  )2
 p0  
1
mit

s i
 s 1 
p 0  1  


s!( s   ) 
 i 1 i!
für s = 3 gilt


1  2  3
4
p 0  1 




1!
2!
3! 3!( s   ) 

2 4 8
16 

 1    
1 2 6 6  1 

1

 0,111
9
Lg 
16
2!12
1
1
 0,111  2  2,888 min
60 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
30
06.04.2016
Parallele Bedienungskanäle und
unbegrenzte Warteschlange
Ergebnis bei 3 Ausgabestellen:
Bei 8 h Arbeitszeit/Tag gilt für die Gesamtverweilzeit bei λ = 1/min je Tag:
t g3  2,888  60  8  1386,24 min
Die Kosten für diese Wartezeit sind:
k 3  1386,24 min
15 €
 346,56 €
60 min
Zuzüglich der Kosten für die drei Lageristen ergibt sich:
k 3'  346,46 €  6 €  8h  3  490,56 €
h
61 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Parallele Bedienungskanäle und
unbegrenzte Warteschlange
Für s = 4 gilt


1  2  3  4
5




p 0  1 

1!
2!
3!
4! 4!( s   ) 

2 4 8 16 32 

 1    

1 2 6 24 48 

2

 0,1304
23
Lg 
1
1
32
 0,1304  2  2,17386 min
64
t g4  2,17386  60  8  1043,45 min
k 3  1043 ,45 min 
15 €
 260 ,86 €
60 min
k 3 '  260 ,84 €  6 €  8h  3  452 ,86 €
h
(Wartezeit)
(Kosten Wartezeit)
(Kosten insgesamt)
62 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
31
06.04.2016
Parallele Bedienungskanäle und
unbegrenzte Warteschlange
Die Kosten für 5 Lageristen sind:
k 5''  6 €  8h  5  240€
h
Die minimale Verweilzeit für s → ∞
lim
s
Die Kosten dafür sind:
ist :
t g  t gmin 
k min  960 min
1
 8h  60 min  960 min ( t w  0)
h

15€
 240 €
60 min
Damit sind die Kosten für s  5 Lageristen:
k s  240 €  240 €  ( s  5 )  48€
Die minimalen Kosten entstehen danach bei s = 4 Lageristen
63 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Prioritäten bei der Abfertigung
Bei der analytischen Behandlung von Bedienungssystem gibt es zwei Arten von
Prioritäten:
1.
Absolute Priorität
Bei Ankunft einer Forderung aus einer Forderungsklasse mit höherer Priorität wird die
Verarbeitung von Forderungen aus einer Forderungsklasse mit niedriger Priorität
abgebrochen
2.
Relative Priorität
Bei Ankunft einer Forderung aus einer Forderungsklasse mit höherer Priorität wird die
Verarbeitung von Forderungen niedriger Priorität beendet. Im weiteren
Bedienungsprozess wird die Forderung höchster Priorität bedient.
64 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
32
06.04.2016
Prioritäten bei der Abfertigung
Relative Priorität mit 2 Forderungsklassen (Klasse 1 Priorität, Klasse 2 keine Priorität) :
1  2  
1  a  
 2  (1  a)  
Priorität bei absoluter Wartedisziplin innerhalb einer Forderungsklasse lediglich spezielle
Sortierung der Warteschlange (unter den getroffenen Annahmen). Kennwerte wie bei
Bedienungssystemen ohne Priorität.
65 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Prioritäten bei der Abfertigung
Es gilt:
p0  1  ;  


Mittlere Anzahl von Forderungen mit Priorität im Bedienungssystem:
1   a  
L g1  a   
1 a  
Für die Forderungen ohne Priorität gilt
L g2  (1  a)   
1  a    a  2
(1  )  (1  a  )
Addition von Lg1 und Lg2 
Lg 

1 
 wie im Bedienungssystem ohne Prioritäten!
66 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
33
06.04.2016
Prioritäten bei der Abfertigung
Mittlere Länge der Warteschlange einer Prioritätsklasse k:
k
k (1  )
 L w ; dabei ist yk   i
(1  yk )(1  yk 1)
i1
L w,k 
Für Lw,1 gilt:
Für Lw,2 gilt:
2
2
1(1   )

a


 (1  1 ) 1   1  a  
L w ,1 
Es gilt:
L w ,1  L w ,2 
L w ,2 
2
1 
Verweilzeit im Bediensystem:
1 1    ap

m
1 a  p
t g1 
 2 (1   )
2

(1   )(1  1 ) 1  
t g2 
1
1  a   ap 2

m (1  ap )  (1  p )
tw2 

(   )  (  a  )
Wartezeit in der Warteschlange:
t w1 

  (  a  )
67 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Prioritäten bei der Abfertigung
Beispiel:
Werkzeugmaschine, auf der 2 Auftragsklassen zu bearbeiten sind:
Bedienungsrate μ = 2/h
Ankunftsrate λ = 1/h
Prioritätsanteil a = 0,1
p= 0,5
Anzahl von Aufträgen im Bedienungssystem:
L g1  a   
1   a  
 0,0763
1 a  
L g2  (1  a)   
Lg 
1  a    a  2
1  0,05  0,025
 0,9  0,5 
 0,9236
(1  )(1  a  )
0,5  0,05

0,5

 1,0
1   1  0,5
68 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
34
06.04.2016
Prioritäten bei der Abfertigung
Verweilzeit im Bedienungssystem:
t g1 
1 1   a  

 0,763h

1 a  
t g2 
1
1    a  2

 1,026h
 (1  a  )(1  )
Wartezeit in Warteschlange:

 0,263h
(  a   )


 0,526h
/    )(  a   )
t w1 
tw2
69 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Störungsbedingte Stauungen
Reparatur, Wartung usw.
 Unterbrechung des Bedienungsprozess
 Aufbau eines störungsbedingten Puffers (wenn Eingang Forderungen nicht
unterbrochen wird)
 Abbau des Puffers nach Wiederbeginn des Bedienungsprozess
Beispiel: Eine Maschine bearbeitet Werkstücke

Alle 1/λ Zeiteinheiten kommt ein Werkstück herein

Bearbeitung eines Werkstück dauert 1/μ Zeiteinheiten

Im Mittel alle 1/α Zeiteinheiten Unterbrechung der Produktion

Reparatur dauert 1/β Zeiteinheiten

Die Werkstücke sammeln sich während der Reparatur in einem Puffer vor der
Maschine

Der Puffer ist nach der Reparatur abzubauen
70 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
35
06.04.2016
Störungsbedingte Stauungen
Pufferbestand
1/α
λ = Ankunftsrate
μ = Bedienungsrate
α = Störrate
β = Reparaturrate
t
t1
tr
t2
1/β
t1:
Beginn der Reparatur – Puffer leer
t1-tr:
Während der Reparatur – Pufferstand mit der Rate λ zu
tr:
Ende der Reparatur – Maximalbestand r zum Zeitpunkt tr
tr-t2:
Nach der Reparatur – Abnahme des Pufferbestand mit der Rate (μ-λ)
t2:
Puffer vollständig abgebaut
71 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Störungsbedingte Stauungen
Berechnung von r und t2 :
r


und
t2 


1
r
1

 t1  
 t1 
 t1
 
 (    )
(    )
Pufferbestand
λ = Ankunftsrate
μ = Bedienungsrate
α = Störrate
β = Reparaturrate
1/α
t
t1
tr
t2
1/β
Der Pufferbestand wird abgebaut, wenn gilt:

1

(    ) 
72 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
36
06.04.2016
Störungsbedingte Stauungen
Bei diesem Bedienungssystem treffen 4 stochastische Prozesse zusammen (die den
analytischen Voraussetzungen entsprechen sollen):
Ankunftsprozess
Bedienungsprozess
Störprozess
Reparaturprozess
Voraussetzung: Eine Störung kann nur auftreten, wenn der betreffende Kanal arbeitet
Die möglichen Zustände sollen mit Zij bezeichnet werden:
i: Anzahl der Forderungen
j: Störung
73 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Störungsbedingte Stauungen
Zwischen den Zuständen zij können folgende Übergänge stattfinden:
Ankunft einer Forderung mit der Ankunftsrate λ:
Zij  Zi+1j
Bedienung einer Forderung mit der Bedienungsrate μ, falls j=0 und i>0:
Zio  Zi-10
Eintreffen einer Störung mit der Störungsrate α, falls j=0 und i>0:
Zio  Zi1
Abschluss einer Reparatur mit der Rate β, falls j=1
Zi1  Zi0
λ
λ
λ
i+1,j
α
λ
β
λ
i+1,0
α
β
λ
α
β
α
μ
β
λ
λ
1,0
i-1,0
i,0
μ
1,1
i-1,j
i,1
μ
0,0
μ
74 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
37
06.04.2016
Störungsbedingte Stauungen
Für die Zustandswahrscheinlichkeiten gilt:
(i  0; j  1)
(i  0; j  1)
(  )  pi,1    pi1,1    pi,0
0,1  0
(     )  pi,0    pi1,0    pi1,0    pi,1
  p0,0    p1,0
(i  0; j  0)
(i  0; j  0)
Im Folgenden wird definiert:
Verkehrsdichte:
Störungsdichte:



2 

1 
75 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Störungsbedingte Stauungen
Wahrscheinlichkeit, dass das Bedienungssystem gestört ist:

p.,0   pi,0
i0
Wahrscheinlichkeit, dass das Bedienungssystem nicht gestört ist:

p.,1   pi,1
i0
Es gilt:
p.,0  p.,1  1
Für p.,1 gilt:
p.,1  1  2
Daraus folgt:
p.,0  1  1  2
76 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
38
06.04.2016
Störungsbedingte Stauungen
p.,0 lässt die Berechnung des mittleren Anstoßes zu.
Als Summation von
(      )pi,0   pi 1,0   p i 1,0   p i,1
über alle i ergibt sich:
p1,1 
i  2:
p1,2
i  3:
p1,3

Mit p0,0 
(    )


 p1,0   p0,0   p2,0



(    )


 p2,0   p1,0   p3,0




(    )


 p3,0   p2,0   p4.0








i  1:

 p1,0


folgt: p.,1  2  (p,.0  p0,0 )
77 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Störungsbedingte Stauungen
Daraus folgt die Leerwahrscheinlichkeit p0,0:
p0,0  1  1(1  2 )
Mittlere Anzahl Reparaturen/Zeiteinheit:
R

   p.,1

Mittlere Anzahl Forderungen im Bedienungssystem:

)

Lg 
    
(   


tg 
    

und
78 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
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06.04.2016
Geschlossene Bedienungssysteme
Geschlossene Bediensysteme
Bedienungssysteme mit endlicher Warteschlangenlänge und endlicher
Forderungsquelle.
Beispiel: Mehrere Maschinen sind durch eine Bedienungsperson zu rüsten. Die Zeit für
eine Bedienung entspricht der Rüstzeit. Der Ankunftsabstand ist die Bearbeitungszeit.
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist von den zu diesem Zeitpunkt in der
Warteschlange wartenden Forderungen abhängig.
Gegeben seien n Betriebsmittel
Mittlere Bedienungszeit: ts
Mittlere Bedienungsrate: μ = 1/ts
Ankunftsrate: λ/n (Stillstandsrate eines Betriebsmittels)
Bedienungszeit und Bearbeitungszeit sind exponentialverteilt mit den Parameter μ
und λ/n.
79 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Geschlossene Bedienungssysteme
Unter den gemachten Annahmen ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Betriebsmittel im
Zeitraum ∆t arbeitet:
p a ( t )  1 

t  q( t )
n
Und das es im Zeitraum ∆t einen Auftrag abschließt:
ps ( t ) 

t  q( t )
n
80 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
40
06.04.2016
Geschlossene Bedienungssysteme
Angenommen i Betriebsmittel sind außer Betrieb, es arbeiten also n-i
Wahrscheinlichkeit, dass alle n-i Betriebsmittel in Betrieb bleiben:
n i
  
pa,n i ( t )  1  t 
 n 
Wahrscheinlichkeit, dass eines der n-i stehen bleibt und Element der Warteschlange wird:
  
p1,n 1( t )  1  1  t 
 n 
Für
n 1
  
1  1  t 
 n 
n i
gilt näherungsweise
ni
   t
n
81 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Geschlossene Bedienungssysteme
wi+1,i
i+1
wi,i+1
wi+1,i
Für wi-1,i gilt:
w i1,i 
Damit gilt:
wi,i
i
wi.1,i
wi,i-1
wi-1,i-1
w0,0
0
i-1
Und für wi,i+1:
n i 1
   pi1
n
w i,i1 
ni
   pi
n
  p1    p0  0
  pi1 
n i 1
ni 

  pi1   
 pi  0
n
n 


 pn1    pn  0
n
( 0  i  n)
(i  0)
82 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
41
06.04.2016
Geschlossene Bedienungssysteme
i
i

pi     p0  (n  k  1)
n
 
k 1
Als Lösung ergibt sich:
i
  
n!
 
pi  
 p0
   n  (n  i)!
n
Es gilt:
 pi  1
i0
Damit lassen sich pi und p0 errechnen
i

n n!
 
p0  1  
  
 i1 (n  i)  n  


1
83 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Geschlossene Bedienungssysteme
Beispiel: Es sind n = 7 Maschinen von der Bedienungsperson zu rüsten. Die Ankunftsrate,
wenn alle Maschinen arbeiten, ist λ = 0,05. Damit ist die Ankunftsrate einer
Maschine λ/n = 0,0007. Die Bedienungsrate ist μ = 0,2
Für die Zustandswahrscheinlichkeit pi gilt:
n
i
  
n!
7!
 0,05 
 
pi  
 p0  
 p0
 


n
(
n

i
)!
0
,
2

7
(
7
 i)!




Für i= 1,2,…,7 ergibt sich Folgendes:
p1 = 0,2500 x p0
p2 = 0,0536 x p0
p3 = 0,0096 x p0
p4 = 0,0014 x p0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
84 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
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06.04.2016
Geschlossene Bedienungssysteme
Es gilt:
p0  p1  p2  p3  p 4  p5  p6  p7  1
1  p0  0,25  p0  0,0536  p0  0,0096  p0  0,0014  p0  ....
p0  0,76
Die Mittlere Anzahl stillstehender Maschinen ist:
n
L g   i  pi
i0
 0  p0  1 p1  2  p2  3  p3  4  p 4  5  p5  6  p6  7  p7  0,297
Die mittlere Anzahl arbeitender Maschinen ist:
n  L g  7  0,297  6,703
85 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Aufgaben
Aufgabe 1
Zum Schalter einer Sparkasse kommen durchschnittlich 14 Kunden pro Stunde. Im
Durchschnitt können 18 Kunden pro Stunde bedient werden.
Berechnen Sie

die Wahrscheinlichkeit, dass der Schalter leer ist

die Wahrscheinlichkeit, dass am Schalter genau 2 Kunden warten

die Wahrscheinlichkeit, dass am Schalter höchstens 3 Kunden warten

die durchschnittliche Verweilzeit am Schalter

die durchschnittliche Wartezeit in der Warteschlange

die durchschnittliche Warteschlangenlänge und

die durchschnittliche Anzahl von Kunden am Schalter.
86 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
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06.04.2016
Aufgaben
Aufgabe 2
Der Auslastungsgrad in einer Warteschlange mit endlicher Warteschlangenlänge und
unendlicher Anzahl von Aufträgen beträgt 0,85 bei einer maximalen Warteschlangenlänge
von n = 3.
Berechnen Sie

die Leerwahrscheinlichkeit

die durchschnittliche Warteschlangenlänge
Aufgabe 3
Bei einem Fastfood-Restaurant beträgt die Bedienungsrate µ=2/min. Die mittlere Ungeduld
der Forderungen sei q = 1,5.
Berechnen Sie den Anteil an Personen, die sich zum Warten entschließt

wenn keine Person vorher in der Schlange steht

wenn zwei Personen vorher in der Schlange stehen

wenn vier Personen vorher in der Schlange stehen
87 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
Aufgaben
Aufgabe 4
Die Ankunftsrate in einer Warteschlange mit ungeduldigen Forderungen beträgt λ = 4/min.
Folgende Zusammenhänge seien bekannt:
1,5 ∙
1,6 ∙
0,9 ∙
0,5 ∙
0,1 ∙
Berechnen Sie

die Zustandswahrscheinlichkeiten p0 bis p5

die durchschnittliche Wartezeit

die durchschnittliche Verweilzeit.
88 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
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06.04.2016
Aufgaben
Aufgabe 5
Gegeben ist eine Werkzeugausgabe, bei der sich Werker ihr benötigtes Werkzeug an einer
Ausgabestelle abholen:

Ankunftsrate der Mitarbeiter λ = 1/min.

Bedienungsrate μ = 0,5/min

Lohnkosten:


Werker:
12 €

Lagerist:
8€
Arbeitszeit/Tag:
12h
Berechnen Sie

die Kosten, die entstehen, wenn drei Lageristen eingesetzt werden (p0 =0,111)

die Kosten, die entstehen, wenn vier Lageristen eingesetzt werden (p0 =0,1304)
89 Wirtschaftsinformatik, insb. CIM
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