Arbitragefreie Bewertung von Derivaten im Black-Scholes

Prof. Dr. Dietmar Pfeifer
Institut für Mathematik
Arbitragefreie Bewertung von Derivaten im
Black-Scholes-Modell
(Stochastische Finanzmathematik II)
Stand: 15.07.2005
In diesem Text betrachten wir das so genannte Black-Scholes-Modell für Aktienkurse, d.h. den Stochastischen Prozess
St = S 0 exp (µt + σWt ) , t ≥ 0
mit Drift µ ∈ \ , Volatilität σ > 0 und Anfangskurs S0 > 0 , wobei {Wt }t≥0 einen StandardWiener-Prozess bezeichne. Ferner bezeichne r > 0 die risikilose Zinsrate, d.h. es gelte
Bt = e rt B0 , t ≥ 0
für die zeitliche Entwicklung eines Bankkontos mit Anfangsbestand B0 > 0. Wir klären zunächst
die Frage, wann der entsprechend diskontierte Aktienkursprozess
St = e−rt St , t ≥ 0
ein Martingal bildet.
Satz 1. Im Black-Scholes-Modell bildet der diskontierte Aktienkursprozess genau dann ein Martinal, wenn
µ= r−
σ2
2
gilt.
Beweis: Da der Prozess {St }t ≥0 und damit auch {St } ein Markoff-Prozess ist, genügt es, die zur
t ≥0
Martingal-Bedingung äquivalente Bedingung
E ( St | Ss ) = Ss fast sicher für alle 0 < s < t
zu überprüfen bzw. äquivalent dazu
E ⎡⎣ exp ((µ − r )t + σWt )| exp ((µ − r ) s + σWs )⎤⎦
= E ⎡⎢ exp ((µ − r ) ( s + (t − s )) + σ (Ws + (Wt −Ws )))| exp ((µ − r ) s + σWs )⎤⎥
⎣
⎦
⎡
⎤
⎢
⎥
= exp ((µ − r )(t − s)) E ⎢exp ((µ − r ) s + σWs ) exp (σ (Wt −Ws ))| exp ((µ − r ) s + σWs )⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=Ss
⎣
⎦
⎛ σ 2 (t − s ) ⎞⎟
⎟
= exp ((µ − r )(t − s )) Ss E ⎡⎣ exp (σ (Wt −Ws )) ⎤⎦ = exp ((µ − r )(t − s )) Ss exp ⎜⎜
⎜⎝
2
⎠⎟⎟
= Ss fast sicher
2
was genau dann gilt, wenn für alle 0 < s < t
⎛ σ 2 (t − s ) ⎞⎟
σ2
⎟⎟ = 1, also µ − r − = 0 ist,
exp ((µ − r )(t − s )) exp ⎜⎜
⎜⎝
2
2
⎠⎟
was gerade der Aussage des Satzes entspricht. Dabei wurde benutzt, dass der Zuwachs Wt −Ws von
Ws und damit auch von Ss = exp ((µ − r ) s + σWs ) unabhängig und normalverteilt ist mit Erwartungswert Null und Varianz t − s.
„
Die nachfolgenden Überlegungen stellen sicher, dass ein beliebiges Black-Scholes-Modell (also
mit beliebiger Drift µ ∈ \ und Volatilität σ > 0 ) allein durch einen Maßwechsel auf dem zu
Grunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraum stets in ein Black-Scholes-Modell transferiert werden
kann, für das der diskontierte Aktienkursprozess ein Martingal ist.
Satz 2. Es sei (Ω, A , P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X eine auf Ω definierte reellwertige Zufallsvariable. Ferner sei Q ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Borel’schen σ-Algebra B, welches
dieselben Nullmengen wie die Verteilung von X, P X , besitze (und damit zu P X äquivalent ist).
Dann gibt es ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q auf A, so dass X unter Q die Verteilung Q X = Q besitzt.
Beweis: Nach dem Satz von Radon-Nikodym (siehe Skript EINFÜHRUNG IN
21) existiert eine Dichte h > 0 von Q bezüglich P X , d.h. es gilt
Q ( B) = ∫ h dP X =
B
∫
X
−1
DIE
STOCHASTIK,Satz
h D X dP für jede Borel-Menge B ∈ B ,
(B)
wobei die zweite Gleichung aus dem Transformationssatz für Maße (siehe Skript EINFÜHRUNG IN
22) folgt. Definiert man nun das Maß Q vermöge
DIE STOCHASTIK, Satz
Q( A) := ∫ h D X dP für alle A ∈ A ,
A
so ist die gewünschte Wahrscheinlichkeitsverteilung gefunden: es folgt nämlich nach obigem gerade
Q X ( B ) = Q ( X −1 ( B ) ) =
∫
X −1 ( B )
h D X dP = ∫ h dP X = Q ( B) für alle B ∈ B .
B
„
Damit ist der Satz bewiesen.
3
Folgerung 1: Ist unter den Voraussetzungen von Satz 2 die Zufallsvariable Y := aX +b gegeben
mit a > 0, b ∈ \, und besitzt X eine auf \ positive Dichte, so existiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung Q auf A, unter der X verteilt ist wie Y.
Beweis: Die Verteilungsfunktion von Y ist gegeben durch
⎛
⎛ z − b ⎞⎟
z − b ⎞⎟
FY ( z ) = P(Y ≤ z ) = P (aX + b ≤ z ) = P ⎜⎜ X ≤
⎟⎟ = FX ⎜⎜⎜
⎟ für alle z ∈ \,
⎜⎝
⎝ a ⎠⎟
a ⎠
also besitzt Y die auf \ ebenfalls positive Dichte
⎛ z − b ⎞⎟
für alle z ∈ \,
fY ( z ) = f X ⎜⎜
⎜⎝ a ⎠⎟⎟
d.h. P X und PY besitzen dieselben Nullmengen, die identisch sind mit den Nullmengen des Lebesgue-Maßes.
„
Die obige Folgerung 1 kann insbesondere auf normalverteilte Zufallsvariablen angewendet werden
und lautet dann spezieller:
Folgerung 2: Ist (Ω, A , P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X eine auf Ω definierte reellwertige
normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert µ ∈ \ und Varianz σ 2 > 0, so existiert eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung Q auf A, unter der X normalverteilt ist mit Erwartungswert ν ∈ \
und Varianz τ 2 > 0 für jedes solche vorgegebene Paar (ν , τ 2 ) ∈ \ × \ + .
Beweis: Wenn wir die Zufallsvariable Y :=
τ
( X − µ) + ν definieren, so ist Y normalverteilt mit
σ
Erwartungswert
⎛τ
⎞ τ
E (Y ) = E ⎜⎜ ( X − µ) + ν ⎟⎟⎟ = E ( X − µ) + ν = ν
⎜⎝ σ
⎠ σ
und Varianz
⎛τ
⎞ τ2
τ2
Var (Y ) = Var ⎜⎜ ( X − µ) + ν ⎟⎟⎟ = 2 Var ( X ) = 2 σ 2 = τ 2 .
⎜⎝ σ
⎠ σ
σ
„
Die Aussage folgt nun aus Folgerung 1.
Wir wollen jetzt den angekündigten Sachverhalt, dass ein beliebiges Black-Scholes-Modell allein
durch einen Maßwechsel auf dem zu Grunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraum in ein BlackScholes-Modell transferiert werden kann, für das der diskontierte Aktienkursprozess ein Martingal
ist, beweisen. Dazu gehen wir von der klassischen Paley-Wiener-Konstruktion des Wiener-
4
Prozeses {Wt }0≤t ≤T auf einem Zeitintervall [ 0, T ] aus, die lediglich eine unabhängige Folge standard-normalverteilter Zufallsvariablen {Yn }n∈]+ benutzt:
⎛ nπt ⎞⎟
sin ⎜⎜
⎜⎝ T ⎠⎟⎟
Y
2T
Wt = 0 t +
∑ n Yn ,
π n=1
T
∞
0 ≤t ≤T .
∞
∞
⎛∞
⎞
Als Ausgangsraum können wir dabei einen Produktraum ⎜⎜⎜× Ωn , ⊗ An , ⊗ Pn ⎟⎟⎟ zu Grunde legen, bei
n=0
n=0
⎝ n=0
⎠
dem jede Zufallsvariable Yn auf (Ωn , An , Pn ) definiert ist und PnYn = N (0,1) für alle n ∈ ]+ gilt.
Wir wenden jetzt Folgerung 2 auf dieZufallsvariable Y0 an: Demnach existiert ein Wahrscheinlichkeitskeitsmaß Q0 auf A0 , unter dem die Zufallsvariable Y0 normalverteilt ist mit Erwartungswert
∞
T ⎛⎜
σ2 ⎞
⎜r − µ − ⎟⎟⎟ und Varianz 1. Unter dem Maß Q := Q0 ×⊗ Pn ist dann der originäre diskontierte
n=1
σ ⎜⎝
2 ⎠⎟
Aktienkursprozess {St }
0≤t ≤T
Y0 +
T
σ
ein Martingal, denn unter Q0 ist Y0 verteilt wie die Zufallsvariable
2⎞
∞
⎛
⎜⎜r − µ − σ ⎟⎟ unter P , womit unter P := P ×⊗ P der Prozess {S }
mit
0
0
n
t
⎟
⎜⎝
n=1
2 ⎠⎟
0≤t≤T
2
⎛
⎛
⎜⎜ Y + T ⎛⎜r − µ − σ ⎞⎟⎟
⎜⎜⎜
⎜
0
2 ⎠⎟⎟
σ ⎝⎜
⎜
2T
⎜⎜
⎜
⎜
St = S0 exp ⎜(µ − r )t + σ ⎜
t+
⎜
⎜⎜
π
T
⎜
⎜⎜⎜
⎜⎜⎜
⎝
⎝
⎛
⎛
⎜⎜
⎜⎜
2
⎛
⎞⎟
⎜⎜
⎜Y
2T
σ
= S0 exp ⎜⎜(µ − r )t + ⎜⎜r − µ − ⎟⎟ t + σ ⎜⎜⎜ 0 t +
⎜⎝
2 ⎠⎟
π
⎜⎜
⎜⎜ T
⎜⎜
⎜
⎝
⎝
⎛ nπt ⎞⎟ ⎞⎟⎟⎞⎟⎟
sin ⎜⎜
⎟ ⎟⎟
∞
⎝⎜ T ⎠⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟
Yn ⎟⎟⎟
∑
⎟⎟⎟⎟
n
n=1
⎟⎟⎟⎟
⎠⎟⎠⎟⎟
⎛ nπt ⎟⎞ ⎟⎞⎞⎟
sin ⎜⎜⎜
⎟ ⎟⎟
⎝ T ⎠⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟
Yn ⎟⎟⎟
∑
⎟⎟⎟
n
n=1
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎠⎠
∞
⎛ σ2
⎞
= S0 exp ⎜⎜− t + σWt ⎟⎟⎟ , 0 ≤ t ≤ T
⎜⎝ 2
⎠⎟
ein Martingal ist nach Satz 1 und dabei dieselbe Verteilungsstruktur besitzt wie der originäre diskontierte Aktienkursprozess {St }
0≤t ≤T
∞
unter Q = Q0 ×⊗ Pn . Damit ist Q das (sogar eindeutig ben=1
stimmte) äquivalente Martingalmaß für {St }
0≤t ≤T
, und wie im diskreten Fall des Cox-Ross-
Rubinstein-Modells lassen sich die arbitragefreien Preise eines Derivats, das zum Fälligkeitszeitpunkt T die Auszahlung DT ( x) = D( x) bei gegebenem Aktienkurs ST = x realisiert, zu jedem
Zeitpunkt t ∈ [0, T ] darstellen als
5
⎛
⎧⎪⎛
⎫⎪
σ2 ⎞
⎜ ⎛
Dt ( s ) = e−r (T −t ) E ∗ ( D( ST )| St = s ) = e−r (T −t ) E ⎜⎜ D ⎜⎜⎜ s ⋅ exp ⎪⎨⎜⎜r − ⎟⎟⎟ (T − t )⎪⎬ exp σ T − t Z
⎪⎪⎜⎝
⎪⎪
⎜⎝ ⎝⎜
2 ⎠⎟
⎩
⎭
{
⎞
⎟⎞⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎠⎟⎟⎠⎟
}
(vgl. ETHERIDGE (2002), Proposition 5.2.1), wobei Z eine standard-normalverteilte Zufallsvariable
bezeichnet und E ∗ wieder den Erwartungswert bezüglich des äquivalenten Martingalmaßes Q beden undiskontierten mozeichnet. Die zweite Gleichung ergibt sich dabei so: bezeichnet {St∗ }
0≤t ≤T
dizierten Prozess, gegeben durch
St∗ := e rt St , 0 ≤ t ≤ T ,
so ist nach obigem, ähnlich wie im Beweis zu Satz 1,
E ∗ ( D( ST )| St = s ) = E ( D( ST∗ )| St∗ = s) = E ( D( ST∗ )| St∗ = s)
⎛
⎞⎟
⎛⎛
⎞⎞⎟
⎛ σ2
⎞
σ2 ⎞
⎜ ⎛
= E ⎜⎜ D ⎜⎜⎜ S0 exp ⎜⎜⎜⎜⎜r − ⎟⎟⎟T + σWT ⎟⎟⎟⎟⎟ S0 exp ⎜⎜− t + σWt ⎟⎟⎟ = s⎟⎟⎟
⎜⎜ ⎝⎜
⎜⎝⎜⎝
2 ⎠⎟
⎝⎜ 2
⎠⎟
⎠⎟⎠⎟⎟
⎝
⎠⎟
⎛
⎛⎛
⎞⎟⎞
⎛ σ2
⎞⎟
⎟⎞
σ 2 ⎟⎞
⎜ ⎜⎛
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜
⎜
⎟
⎟
= E ⎜ D ⎜⎜ S0 exp ⎜⎜⎜r − ⎟⎟(t + (T − t )) + σ (Wt + (WT −Wt ))⎟⎟ S0 exp ⎜− t + σWt ⎟⎟ = s⎟⎟
⎜
⎜⎝⎜⎝
2 ⎠⎟
⎝⎜ 2
⎠⎟
⎟⎠
⎠⎟⎠⎟⎟
⎝⎜ ⎜⎝
⎛
⎛⎛
⎞⎟⎞⎞⎟
σ2 ⎞
⎜ ⎛
= E ⎜⎜ D ⎜⎜⎜ s ⋅ exp ⎜⎜⎜⎜⎜r − ⎟⎟⎟((T − t )) + σ ((WT −Wt ))⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎜⎝ ⎜⎝
⎜⎝⎜⎝
2 ⎠⎟
⎠⎟⎠⎟⎟⎠⎟
⎛
⎧⎪⎛
⎫⎪
σ2 ⎞
⎜ ⎛
= E ⎜⎜ D ⎜⎜⎜ s ⋅ exp ⎪⎨⎜⎜r − ⎟⎟⎟ (T − t )⎪⎬ exp σ T − t Z
⎪⎜
⎪
2 ⎠⎟
⎜⎝ ⎝⎜
⎩⎪⎝
⎭⎪
{
⎞⎞
}⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, 0 ≤ t ≤ T ,
⎠⎠
denn WT −Wt ist normalverteilt mit Erwartungswert Null und Varianz T − t . Die Abbildung
Dt ( s) ist zugleich Lösung der folgenden partiellen Differezialgleichung (so genannte BlackScholes-Gleichung):
∂
∂
∂2
1
Dt ( s ) + rs Dt ( s ) + σ 2 s 2 2 Dt ( s ) − rDt ( s ) = 0
∂t
∂s
∂s
2
mit der Endbedingung DT ( s ) = D( s ), der Auszahlung (dem Wert) des Derivats zum Fälligkeitszeitpunkt für gegebenen Aktienkurs ST = x (vgl. ETHERIDGE (2002), Proposition 5.2.3). Dies sieht
man etwa so: das ursprüngliche allgemeine Black-Scholes-Modell erfüllt die stochastische Differenzialgleichung
⎛
σ2 ⎞
dSt = ⎜⎜µ + ⎟⎟⎟ St dt + σ St dWt ,
⎜⎝
2 ⎠⎟
6
also das P-Martingal-modifzierte Modell die Gleichung
dSt∗ = rSt∗ dt + σ St∗ dWt ,
so dass die Abbildung F (t , s ) := E ( D ( ST∗ )| St∗ = s) nach der Feynman-Kac-Darstellung die Gleichung
∂
∂
1
∂2
F (t , s ) + rs F (t , s ) + σ 2 s 2 2 F (t , s ) = 0
∂t
∂s
2
∂s
(*)
mit der Endbedingung F (T , s ) = E ( D ( ST∗ )| ST∗ = s) = D ( s ) erfüllt. Wegen Dt ( s ) = e−r (T −t ) F (t , s )
bzw. F (t , s ) = e r (T −t ) Dt ( s ) ergibt sich also mit
∂
∂
∂
F (t , s ) = e r (T −t ) Dt ( s ) = −rte r (T −t ) Dt ( s ) + e r (T −t ) Dt ( s )
∂t
∂t
∂t
und
2
∂
∂
∂2
r (T −t ) ∂
F (t , s ) = e r (T −t )
Dt ( s ),
F
(
t
,
s
)
e
Dt ( s )
=
∂s
∂s
∂s 2
∂s 2
aus (*) die Gleichung
−rte
r (T −t )
Dt ( s ) + e
r (T −t )
∂
1 2 2 r (T −t ) ∂ 2
r (T −t ) ∂
Dt ( s) + rse
Dt ( s ) + σ s e
Dt ( s ) = 0,
∂t
∂s
2
∂s 2
woraus durch Ausklammern des Terms er (T −t ) die Black-Scholes-Gleichung folgt. Bemerkenswert
hieran ist also, dass jeder arbitragefreie Derivate-Preis Lösung ein und derselben partielle Differenzialgleichung ist, die Lösungen sich dabei nur nach der jeweiligen Endbedingung DT ( s) = D( s)
unterscheiden! Zum Abschluss leiten wir mit dem obigen Kalkül noch einmal die Preisformel für
eine europäische Call-Option Ct ( x) her (vgl. das Skript STOCHASTISCHE FINANZMATHEMATIK I,
Abschnitt 8 und ETHERIDGE (2002), Example 5.2.2)). Hier ist speziell D( s ) = ( s − K )+ , wobei wir
in Anlehnung an die zitierte Literatur mit K den Ausübungspreis bezeichnen. Es gilt also
7
⎛ ⎡⎛
⎧⎪⎛
⎫⎪
1 ⎞
−r (T −t ) ∗
+
−r (T −t ) ⎜
Ct ( s ) = e
E (( ST − K ) | St = s) = e
E ⎜⎜ ⎢⎢⎜⎜⎜ s ⋅ exp ⎪⎨⎜⎜r − σ 2 ⎟⎟⎟ (T − t )⎪⎬ exp σ T − t Z
⎜⎜ ⎢⎝
⎪⎩⎪⎜⎝
⎪⎭⎪
2 ⎠
⎝⎣
{
=
s
2π
=
s
2π
}
+
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎟⎟
⎠
⎤
⎡⎛
⎞
⎧
⎫
⎢⎜⎜ s ⋅ exp ⎪⎪⎨⎛⎜⎜r − 1 σ 2 ⎞⎟⎟ (T − t )⎪⎪⎬ exp σ T − t z ⎟⎟ − K ⎥ ϕ ( z ) dz
⎟
∫ ⎢⎢⎜⎝
⎥
⎪⎩⎪⎝⎜
⎪⎭⎪
2 ⎠⎟
⎠⎟
A ⎣
⎦⎥
∞
2 ⎞
⎛
⎜exp ⎨⎪⎧⎪− 1 σ 2 (T − t ) + σ T − t z − z ⎬⎪⎫⎪⎟⎟ dz − e−r (T −t ) K (1−Φ( A))
⎜
⎟
∫ ⎜⎜⎝ ⎪⎩⎪ 2
2 ⎪⎭⎪⎠⎟
A
∞
2⎫
⎛
⎧ 1
⎪⎞
− r (T −t )
K ⋅Φ(− A)
⎬⎟⎟ dz − e
∫ ⎜⎜⎜⎝exp ⎪⎨⎪⎩⎪− 2 z − σ T − t ⎪⎟
⎪⎭⎪⎠
∞
{
− r (T −t )
=e
⎤
⎞⎟
⎟⎟ − K ⎥
⎥
⎠⎟
⎥⎦
(
}
)
A
2
⎛ ⎛s⎞ ⎛
⎞
⎜ ln ⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜r − σ ⎟⎞⎟ (T − t ) ⎟⎟
⎜
∞
⎜
⎟⎟⎟
⎛
⎧⎪ 1 2 ⎫⎪⎟
2 ⎠⎟⎟
s
⎜⎜⎜ ⎝⎜ K ⎠⎟ ⎝⎜
⎪⎞
− r (T −t )
⎜
⎟⎟
=
KΦ⎜
∫ ⎜exp ⎨⎩⎪⎪− 2 z ⎬⎭⎪⎪⎠⎟⎟ dz − e
⎜⎜
⎟⎟
2π A−σ T −t ⎜⎝
σ T −t
⎟⎟
⎜⎜
⎜⎝
⎠⎟
⎛ ⎛s⎞ ⎛
⎞
σ2 ⎞
⎜⎜⎜ ln ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ + ⎜⎜⎜r − ⎟⎟⎟ (T − t ) ⎟⎟⎟
⎟⎟
2 ⎠⎟
⎜ ⎝K ⎠ ⎝
⎟⎟
= s 1−Φ A − σ T − t − e−r (T −t ) K Φ ⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟
σ T −t
⎟⎟
⎜⎜
⎝⎜
⎠⎟
2
⎛
⎞
⎜⎜ ln ⎛⎜ s ⎟⎟⎞ + ⎜⎜⎛r − σ ⎟⎞⎟ (T − t ) ⎟⎟
⎜
⎜⎜ ⎜⎝ K ⎟⎠ ⎜⎝
⎟⎟⎟
2 ⎠⎟⎟
−r (T −t )
⎜
⎟⎟
KΦ⎜
= s ⋅Φ − A + σ T − t − e
⎜⎜
⎟⎟
σ T −t
⎟⎟
⎜⎜
⎜⎝
⎠⎟
2
⎛ ⎛s⎞ ⎛
⎞
⎛
⎞
σ2 ⎞
⎜⎜ ln ⎛⎜ s ⎞⎟⎟ + ⎛⎜⎜r − σ ⎞⎟⎟ (T − t ) ⎟⎟
⎜⎜⎜ ln ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ + ⎜⎜r + ⎟⎟⎟ (T − t ) ⎟⎟⎟
⎜
⎟⎟
⎟
⎟⎟ −r (T −t )
2 ⎠⎟
2 ⎠⎟
⎜⎜ ⎝ K ⎠ ⎜⎝
⎜⎜⎜ ⎝⎜ K ⎠⎟ ⎝⎜
⎟⎟ , 0 ≤ t ≤ T .
⎟
KΦ ⎜
= s ⋅Φ ⎜
−e
⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟
σ T −t
σ T −t
⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎜⎜
⎟
⎟⎠
⎜⎝
⎜⎝
⎠⎟
(
))
(
(
)
wobei ϕ die Dichte der Standard-Normalverteilung und Φ die entsprechende Verteilungsfunktion
sowie
⎛K⎞ ⎛
σ2 ⎞
ln ⎜⎜ ⎟⎟⎟ −⎜⎜r − ⎟⎟⎟ (T − t )
⎜⎝ s ⎠ ⎜⎝
2 ⎠⎟
A :=
σ T −t
bezeichnet.
Literatur
A. ETHERIDGE (2002): A Course in Financial Calculus. Cambridge University Press, Cambridge.
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