Stabil, indifferent, labil • Als stabiles Gleichgewicht bezeichnet man

Gleichgewicht: Stabil, indifferent, labil
• Als stabiles Gleichgewicht bezeichnet man ein solches, bei dem eine
Lage-Änderung eine Wirkung (Kraft, Drehmoment) nach sich zieht,
die dieser Änderung entgegenwirkt
• Als indifferentes Gleichgewicht bezeichnet man ein solches, bei dem
eine Änderung eine keine Wirkung nach sich zieht
• Als instabiles Gleichgewicht bezeichnet man ein solches, bei dem eine
Änderung eine Wirkung nach sich zieht, die in Richtung der Änderung
wirkt
41
stabil
indifferent
labil
2.9
Mechanische Eigenschaften elastischer Körper
• Das Kraft-Abstands-Gesetz der Massenpunkte (Atome) fester Körper
kann für kleine Abstandsänderungen durch ein harmonisches Kraftgesetz angenähert werden
42
0.1
0.0
eigrenE elleitnetoP
-0.1
-0.2
-0.3
1.0
1.5
2.0
2.5
Abstand
• Das heisst, dass die potentielle Energie durch eine Parabel beschrieben
werden kann
• Der Körper verhält sich also wie eine Ansammlung vieler Federn
43
2.9.1
Dehnung/Stauchung
• Wenn wir jetzt die Längenänderung eines Quaders aufgund einer Kraft
untersuchen, so können wir den Quader als Parallel- und Reihenschaltung vieler Federn auffassen. Bei konstanter Kraft wird diese bei Vergrösserung der Zahl parallel geschalter Federn (Grössere Querschnittsfläche A) auf mehr Federn aufgeteilt, also wird die Längenänderung
indirekt proportional zur Querschnittsfläche sein.
• Wenn wir den Körper verlängern, wirkt die gleiche Kraft (Reaktionsprinzip) auf mehr in Reihe geschaltete Federn, also wird die Längenänderung proportional zur Länge sein:
• ∆l ∝ FN Al oder ∆l
= E1 FAN (Hookesches Gesetz), wobei E Elastizitätsl
modul genannt wird. Aist hierbei die Querschnittsfläche des Quaders M120
44
• Ist E unabhängig von der Orientierung des Quaders (Richtung), so
nennt man den Körper homogen, ansonsten inhomogen
• Diese Gesetzmässigkeit lässt sich auf beliebig geformte Parallel-Epipede
übertragen
2.9.2
Kompression
• Unter Kompression verstehen wir die Volumenänderung eines Körpers
unter allseitiger Wirkung einer Kraft, das heisst unter Aufwendung
eines Druckes p := FAN , A ist hierbei die Oberfläche des Körpers
• Wir beziehen die Volumenänderung auf das Volumen:
− K1 p
∆V
V
= − K1 FAN =
• Die meisten Festkörper und Flüssigkeiten lassen sich kaum komprimieren, während Gase unter Druckänderung ihr Volumen deutlich ändern
können.
2.9.3
Scherung oder Torsion
• Wir verschieben jetzt eine Fläche des Quaders durch eine Kraft Ft
seitlich:
α
A
F~
45
• Der Scherungswinkel ist wieder proportional zur Fläche A des Körpers:
α = G1 FAt
2.10
Mechanische Eigenschaften ruhender Flüssigkeiten
(Hydrostatik)
• In einer Flüssigkeit sind die Positionen der Teilchen nicht mehr festgelegt, allerdings wechselwirken die Teilchen so stark, dass sie einen
festen mittleren Abstand haben. Das hat zur Folge, dass Flüssigkeiten
ähnlich wie Festkörper kaum kompressibel sind
2.10.1
Der Druck
• Die auf eine Oberfläche bezogene Normalkraft FN definieren wir als
Druck: p := FAN . Die Fläche A ist die Kontaktfläche, auf die sich die
Kraft verteilt
• Innerhalb einer masselosen Flüssigkeit ist der Druck überall gleich!
• Eine Konsequenz der allseitigen Druckausbreitung ist, dass die Oberfläche einer Flüssigkeit stets senkrecht zur resultierenden Kraft auf die
Flüssigkeitsteilchen der Oberfläche steht
2.10.2
Schwere- oder hydrostatischer Druck
• Unter dem Einfluss der Erdbeschleunigung hat ein Flüssigkeitszylinder
die Schwerkraft G = mg, unter Zuhilfenahme der Massendichte % folgt
G = %V g. Der Druck, den dieser Zylinder auf seine Bodenfläche ausübt,
ist p = G
= %VAg = h%g, wobei h die Höhe des Zylinders ist.
M145
A
• Beispiel Baum: Der hydrostatische Druck des Wassers in einem 30 m
hohen Baum am Fuss beträgt das Dreifache des Luftdrucks!
46
Auftrieb
• Eine Konsequenz des hydrostatischen Drucks ist der Auftrieb: Der hydrostatische Druck an der Unterseite eines Körpers ist grösser als an
der Oberseite, was zu einer resultierenden Kraft nach oben führt. Wir
berechnen die Druckdifferenz für einen Zylinder der Höhe l: ∆p =
(h+l)%g −h%g = l%g. Die resultierende Kraft erhalten wir durch Multiplikation mit der Fläche: FA = Al%g = %gVf l = mf l g = Gf l . Der Index
fl steht dabei für die Flüssigkeit. Die Auftriebskraft ist also gleich der
Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit. Das ist das Archimedische
Prinzip
• Der Auftrieb kann genutzt werden, um die Dichte von Flüssigkeiten
mit Hilfe des Aräometers zu bestimmen
h
V1
47
2.10.3
Grenzflächen
• Betrachten wir die Grenzfläche einer Flüssigkeit mit einem anderen
Medium, so werden i.a. die Kräfte, die auf Teilchen zu dem anderen
Medium wirken, andere sein, als innerhalb der Flüssigkeit.
• Um also ein Teilchen an die Oberfläche zu bringen, muss Arbeit verrichtet werden oder es wird Arbeit gewonnen. Eine besondere Grenzfläche
stellt die Oberfläche dar:
FR
FR
FR=0
• Das heisst aber, dass wir Arbeit verrichten müssen, um die Oberfläche
zu vergrössern. Beziehen wir diese Arbeit auf die Oberfläche, erhalten
wir die
• Spezifische Oberflächenenergie ε =
∆E
∆AOf
• Daraus folgt sofort, dass eine Flüssigkeit ohne den Einfluss äusserer
Kräfte stets den Zustand kleinster Oberfläche herstellen wird. Das ist
aber die Kugelform.
48
• Die Kräfte zwischen den Teilchen innerhalb eines Stoffes (Körpers) bezeichnen wir als Kohäsionskräfte
• Die Kräfte, die an der Grenzfläche zwischen zwei Stoffen (Körpern)
wirken, nennt man Adhäsionskräfte
FR
• Zeigt die resultierende Kraft zwischen einer Flüssigkeit und einem Festkörper in Richtung des Festkörpers, so spricht man von einer benetzenden Flüssigkeit, andernfalls von einer nicht benetzenden
• Wir können analog zur spezifischen Oberflächenenergie eine spezifische
∆E
Grenzflächenenergie definieren: χ = ∆A
Gf
• Zell-Adhäsion ist ein wichtiges Studienobjekt in der Zellbiologie
49
Kapillare
Kapillare
• In einer benetzenden Flüssigkeit hat χ negatives Vorzeichen, da Arbeit
frei wird, wenn die Grenzfläche vergrössert wird. Das führt in engen
Röhren, den Kapillaren dazu, dass eine Flüssigkeit entgegen dem hydrostatischen Druck nach oben steigen oder nach unten gedrückt werden kann.
h
h
benetzend
nicht benetzend
• Um die Steighöhe zu ermitteln, nutzen wir wieder die Energieerhaltung: Die Energie, die durch die Vergrösserung der Oberfläche gewonnen wird, muss gleich der Energie sein, die zum Anheben der Flüssigkeit
50
notwendig ist: −χdA = mgdh und mit dA = 2πrdh und m = πr2 h%
2χ
folgt h = − r%g
.
• Man sieht, dass bei einem positiven Vorzeichen von χ die Höhe h negativ wird.
2.11
Mechanische Eigenschaften bewegter Flüssigkeiten
(Hydrodynamik)
• Betrachten wir die Bahnen einzelner Teilchen bewegter Flüssigkeiten,
so können wir zwei grundsätzlich verschiedene Modi der Strömung unterscheiden: schneiden sich die Bahnen nicht, so spricht man von einer
laminaren Strömung, schneiden sie sich hingegen, so sprechen wir von
einer turbulenten Strömung.
• Zunächst werden wir die laminare Strömung betrachten.
51
2.11.1
Die Kontinuitätsgleichung
• Wir werden zunächst eine ideale Flüssigkeit behandeln, die folgenden
Vereinfachungen genügt
– Die Flüssigkeit sei inkompressibel
– Zwischen den Teilchen der Flüssigkeit gibt es keine Wechselwirkung
• Strömt eine solche ideale Flüssigkeit durch ein Rohr, so wird in gleichen
Zeiten das gleiche Volumen V durch den Querschnitt A strömen. Also
= konst oder mit dV = Ads A ds
= Av = konst. Dies nennt
gilt dV
dt
dt
man Kontinuitätsgleichung
2.11.2
Der Hydrodynamische Druck
• Um in einem Rohr ein Flüssigkeitsvolumen gegen einen vorhandenen
Druck zu bewegen, muss die Kraft F über einen Weg s aufgewendet
werden: dW = F ds = pAds = pdV oder, für konstanten Druck integriert, W = pV
• Jetzt können wir die Energieerhaltung für ein Rohr, durch das eine
Flüssigkeit gegen einen Druck bewegt wir, aufschreiben: pV + mgh +
m 2
v = konst. Teilen wir diese Gleichung durch das Volumen, so erhal2
ten wir: p + %gh + %2 v 2 = Konst. Dies ist die Bernoullische Gleichung.
Der Term %2 v 2 heisst Staudruck, p ist der stattische Druck, und %gh
hatten wir bereits als Schweredruck kennengelernt. Offensichtlich ist
der statische Druck p bei grösseren Strömungsgeschwindigkeiten kleiner. Auf dieser Tatsache beruht zum Beispiel, dass Flugzeuge fliegen
oder dass man Fussbälle mit Effet treten kann
52
s1
s2<s1
• Der Weg s2 auf der Unterseite der Tragfläche ist kleiner als s1 auf
der Oberseite, wodurch die Strömungsgeschwindigkeit (laminare Strömung!) niedriger, also der statische Druck höher ist. Damit haben wir
einen Auftrieb.
2.11.3
Reale Flüssigkeiten
• In realen Flüssigkeiten wird die innere Reibung aufgrund der Kohäsionskräfte berücksichtigt. Betrachten wir eine Platte, die gegenüber
einer Wand verschoben wird, wobei der Zwischenraum mit einer realen
Flüssigkeit gefüllt sei.
• Im Gegensatz zur Reibung harter Körper ist in Flüssigkeiten die Reibungskraft von der Relativgeschwindigkeit abhängig: FR ∝ ∆v.
• Betrachten wir jetzt Flüssigkeitsschichten gleicher Dicke, so ist die Relativgeschwindigkeit der Schichten um so kleiner, je mehr Schichten
aneinander abgleiten.
• Demzufolge ist die Reibungskraft indirekt proportional zum Abstand:
1
.
FR ∝ ∆x
• Schliesslich ist die Reibungskraft proportional zur Fläche A. Damit
∆v
erhalten wir für die Reibungskraft: FR = ηA ∆x
, wobei die Proportionalitätskonstante η als Viskosität bezeichnet wird.
53
A
∆v
∆x
Strömung durch ein Rohr
• Infolge der inneren Reibung kann eine Flüssigkeit nicht beliebig schnell
durch ein Rohr strömen. Der Strömungswiderstand führt zu einem Gegendruck.
• Experimentell hat sich herausgestellt, dass die Strömungsstärke i, das
ist das je Zeiteinheit das Rohr durchströmende Volumen, für viele
Flüssigkeiten proportional zur Druckdifferenz zwischen den Enden des
Rohres ist: i = Vt ∝ ∆p. Flüssigkeiten, die diesem Gesetz gehorchen,
nennt man Newtonsche Flüssigkeiten. Die Proportionalitätskonstante
R nennt man Strömungswiderstand.
• Für ein Rohr mit kreisförmigem Querschnitt (Durchmesser r und Länge l) lässt sich zeigen, dass die Proportionalitätskonstante gegeben ist
4
durch R = πr
. Damit erhalten wir das Gesetz von Hagen-Poiseuille:
8ηl
V̇ =
πr4
∆p
8ηl
Zentrifugation
• Für die Reibungskraft, die eine Kugel in einer Flüssigkeit erfährt, fand
Stokes: FR = −6πηvr
• Betrachten wir jetzt eine solche Kugel in einer Flüssigkeit, die beschleunigt wird, so treten drei Kräfte auf: Der Auftrieb FA , die Trägheitskraft
FT und die Reibungskraft FR .
54
• Die Geschwindigkeit der Kugel wird so lange steigen, bis die Reibungskraft zusammen mit dem Auftrieb die Trägheitskraft kompensiert: FT =
FA + FR .
• Setzen wir die bekannten Ausdrücke ein: VK %K a = VK %LM a − 6πηvr
a
und mit dem Volumen der Kugel VK = 43 πr3 folgt: v = 2r2 (%K −%LM ) 9η
.
• Damit können wir verschiedene kolloidale Stoffe aufgrund ihrer Dichte
trennen. Je höher a, desto grösser werden die Geschwindigkeitsdifferenzen verschieden dichter oder grosser Kolloide.
2.11.4
Turbulente Strömung
• In der turbulenten Strömung bewegen sich Teilchen auch entgegen der
Strömungsrichtung. Es ist sofort aus der Energieerhaltung klar, dass
damit die Strömungsgeschwindigkeit abnimmt. Der Strömungswiderstand wird also grösser.
• Die Turbulenz tritt bei einer bestimmten kritischen Geschwindigkeit
, wobei K die Reynoldsche Zahl und r der
vk ein, für die gilt: vk = Kη
%r
Radius des Rohres (der Kugel) sind.
• Im Bereich der turbulenten Strömung hängt die Reibungskraft quadratisch von der Geschwindigkeit ab: FR = cW AQ %2m v 2 , wobei in dem
Koeffizienten cW die Geometrie des Körpers enthalten ist.
• Nochmal Beispiel Auto: Für die Reibungsarbeit gilt: ∆W = FR ∆s,
= FR∆t∆s = FR v = cW AQ %2m v 3 . Das heisst, die
mit der Leistung P = ∆W
∆t
benötigte Motorleistung zum Erreichen einer bestimmten Geschwindigkeit geht mit der dritten Potenz der Geschwindigkeit! Wir können jetzt
den cW -Wert des Autos (siehe oben) berechnen: cW = AQ2P
≈ 0.37
%m v 3
3
mit %Luf t = 1.18 kg/m
55
3
Mechanische Schwingungen und Wellen
3.1
Schwingungen
• Unter Schwingungen verstehen wir zeitlich periodische Vorgänge, bei
denen Energieformen ineinander umgewandelt werden
• Von einer freien Schwingung sprechen wir immer dann, wenn dem System einmalig Energie zugeführt wurde
• Im Gegensatz dazu wir bei einer erzwungenen Schwingung dem System
periodisch Energie zugeführt
• Zur Charakterisierung einer Schwingung benötigen wir folgende Grössen:
– Die Periodendauer T , also die Zeit, die zwischen zwei Wiederholungen ein und desselben Zustandes des Systems verstreicht. Den
Kehrwert der Periode nennen wir Frequenz ν und multipliziert mit
2π erhalten wir die Kreisfrequenz ω = 2πν. Die Frequenz hat die
Einheit s−1 = Hertz
– Die Amplitude A, welche den Maximalwert der Auslenkung (allg.
der sich periodisch ändernden Grösse) angibt.
– Die Phase ϕ, also der momentane Schwingungszustand, der sich
mit 2πT wiederholt. Es gilt ϕ = ωt + ϕ0 , wobei ϕ0 die Anfangsphase ist
3.1.1
Bewegungsgleichung bei Vorhandensein einer harmonischen
Kraft
• Unter einer harmonischen Kraft hatten wir eine Kraft, die proportional und entgegengesetzt zur Auslenkung eines Systems ist, verstanden.
Eine solche Kraft wird zum Beispiel durch eine Feder realisiert. Auch
ein Massenpunkt im Schwerefeld der Erde, der auf eine parabolische
56
Bahn gezwungen wird, erfährt wegen F = ∆W
eine Kraft, die linear
∆s
mit der Auslenkung s wächst. Wir können die Bahn eines mathematischen Pendels für kleine Auslenkungen durch eine parabolische Bahn
annähern.
• Die Bewegungsgleichung für einen Massenpunkt bei Vorhandensein einer harmonischen Kraft lautet:
ms̈ + Ds = 0
• Welche Funktion ist bei zweifacher Ableitung das negative der Ausgangsfunktion?
• Ansatz s(t) = s0 cos ωt. Setzen wir dies in die Bewegungsgleichung ein,
so erhalten wir: −mω 2 cos ωt + D cos ωt = 0. Dies ist sicher erfüllt, falls
mω 2 = D gilt.
q
D
. Offensichtlich erfüllt
• Die Kreisfrequenz des Systems ist also ω = m
auch die Funktion s(t) = s0 cos(ωt − ϕ0 ) die Bewegungsgleichung.
• Um ϕ0 festlegen zu können, müssen wir die Anfangsbedingung kennen.
• Die Gesamtenergie eines harmonischen Oszillators erhalten wir, wenn
wir zum Beispiel den Zustand maximaler potentieller Energie am Umkehrpunkt betrachten: EP ot = 21 Ds20 , das heisst, die Gesamtenergie ist
proportional zum Quadrat der Amplitude.
Das Fadenpendel
• Rücktreibende Kraft:
F = −mg sin θ
• Für kleine Winkel gilt: sin θ ≈ θ
• Auslenkung x: x ≈ lθ
57
• Damit:
F ≈−
mg
x
l
• Also näherungsweise harmonische Kraft mit D =
• Damit
r
ω=
mg
l
g
l
• Die Kreisfrequenz hängt also nur von der Länge des Pendels und nicht
von der Masse ab
3.1.2
Bewegungsgleichung bei harmonischer Kraft und Dämpfung
• Es tritt ein zusätzlicher Term in der Bewegungsgleichung auf, der eine Reibungskraft beschreibt, die der Bewegung entgegenwirkt. Dieser
Reibungsterm kann verschiedene Formen annehmen.
• Wir betrachten hier eine Reibungskraft, die proportional zur Geschwindigkeit ist: FR = −Rṡ, wobei R der Reibungskoeffizient ist. Damit wird
die Bewegungsgleichung ms̈ + Rṡ + Ds = 0. Eine Lösung dieser DiffeR
rentialgleichung ist s = s0 e−δt cos ωt mit δ = 2m
• Die Amplitude der Schwingung klingt exponentiell ab, und für die
p
Kreisfrequenz der Schwingung gilt: ω = ω02 − δ 2 , wobei ω0 die Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung mit gleichem m und D ist.
• Für δ ≥ ω0 gibt es keine Schwingung im eigentlichen Sinn mehr, der
Massenpunkt kehrt langsam zur Ruhelage zurück.
• Für δ = ω0 spricht man vom aperiodischen Grenzfall, der das schnellste
Zurückkehren zur Ruhelage realisiert.
58
1.0
0.5
0
s/s
0.0
-0.5
-1.0
0
3.1.3
10
20
wt
30
40
50
Bewegungsgleichung bei periodisch wirkender Kraft: Erzwungene Schwingungen
• Jetzt trete zusätzlich eine periodisch sinusförmig modulierte, äussere
Kraft auf: FA = F0 cos ωt.
˙
• Damit wir die Differentialgleichung zu ms̈ + Rs+Ds
= F0 cos ωt.
• Die Lösung dieser Differentialgleichung ist: s(t) = A(ω) cos(ωt − ϕ0 ) =
√ 2 F02/m2 2 2 cos(ωt − ϕ0 ), mit ϕ0 = arctan ω22δω
.
−ω 2
(ω0 −ω ) +4δ ω
0
• Diese Gleichungen sehen ziemlich kompliziert aus, deshalb stellen wir
das Ergebnis für die Amplitude und die Phase graphisch dar:
59
5
4
edutilpmA
3
2
1
0
1
2
3
ω/ω0
4
• Die Amplitude erreicht ihr Maximum bei ω = ω0 , wenn also die Erregerfrequenz mit der Eigenfrequenz des schwingenden Systems übereinstimmt. Je kleiner die Dämpfung, desto schmaler und höher wird das
Maximum der Amplitude.
60