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Grundkurs Physik
KLASSISCHE MECHANIK
Peter Ryder
Letzte Änderung: 14. März 2002
Universität Bremen
Fachbereich 1
i
Vorwort
Diese Einführung in die klassische Mechanik entstand aus einem Vorlesungsskript, das für das
erste Semester des Anfängerkurses (Grundkurs Physik I) an der Universität Bremen konzipiert war
und ursprünglich als Papierdokument an die Teilnehmer verteilt wurde. Dies ist schon die dritte,
gründlich überarbeitete elektronische Version des Skripts. An dieser Stelle möchte ich bei den Studenten und Kollegen danken, die auf Fehler hingewiesen oder Verbesserungsvorschläge gemacht
haben. Eine inhaltlich identische online-Version dieses Skripts, die sich besser zum Browsen eignet, ist über die Seite http://www.ifp.uni-bremen.de/ryder/lv/skripte.html“ zu ereichen.
”
ii
VORWORT
iii
INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
1
2
3
Grundlagen der Kinematik
1.1 Eindimensionale Bewegungen . . . . . .
1.2 Bewegung in zwei und drei Dimensionen
1.3 Die Winkelgeschwindigkeit als Vektor . .
1.4 Antworten zu den Fragen . . . . . . . . .
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Grundlagen der Dynamik
2.1 Kraft und Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Die Newtonschen Gesetze . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Die Grundgesetze der Mechanik . . . . . .
2.2.2 Das Gravitationsgesetz . . . . . . . . . . .
2.2.3 Schwere und träge Masse . . . . . . . . . .
2.3 Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Definition, Impulserhaltung . . . . . . . .
2.3.2 Anwendungen des Impulserhaltungssatzes .
2.3.3 Der vektorielle Charakter des Impulses . .
2.3.4 Die Impulsänderung eines Teilchensystems
2.4 Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Coulomb-Reibung . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Widerstand in Gasen und Flüssigkeiten . .
2.5 Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . . . . . .
Arbeit und Energie
3.1 Kinetische und potentielle Energie . . . . . .
3.2 Feld und Potential . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Eine Dimension . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Drei Dimensionen . . . . . . . . . .
3.3 Der Energieerhaltungssatz und Anwendungen
3.3.1 Das mathematische Pendel. . . . . .
3.3.2 Stoßgesetze in einer Dimension . . .
3.3.3 Stoßgesetze in drei Dimensionen . . .
3.4 Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . . .
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iv
INHALTSVERZEICHNIS
4
Bezugssysteme
41
4.1 Das Inertialsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Rotierende Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5
Der Harmonische Oszillator
5.1 Die freie Schwingung . . . . . . . . . . . .
5.2 Freie, gedämpfte Schwingungen . . . . . .
5.2.1 Kleine Dämpfung . . . . . . . . . .
5.2.2 Große Dämpfung . . . . . . . . . .
5.2.3 Kritische Dämpfung . . . . . . . .
5.3 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . .
5.4 Energiebetrachtungen . . . . . . . . . . . .
5.5 Schwingungen komplexerer Systeme . . . .
5.5.1 Zwei Massen . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Schwach gekoppelte Schwingungen
5.6 Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . .
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Drehimpuls, Zentralkräfte
6.1 Drehmoment und Drehimpuls . . . . . . . . . .
6.2 Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Zentralkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Die Planetenbahnen . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Die Keplerschen Gesetze . . . . . . . . .
6.4.2 Gesamtenergie und Form der Umlaufbahn
6.5 Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . . . . .
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Dynamik starrer Körper
7.1 Die Bewegung eines starren Körpers . . . . . . . . .
7.2 Rotation um eine Symmetrieachse . . . . . . . . . .
7.2.1 Zweidimensionale Körper . . . . . . . . . .
7.2.2 Dreidimensionale Körper . . . . . . . . . . .
7.3 Kinetische Energie, Anwendungen . . . . . . . . . .
7.4 Allgemeine Rotationsgleichungen . . . . . . . . . .
7.4.1 Trägheitsmoment als Tensor . . . . . . . . .
7.4.2 Bestimmung der Hauptachsen . . . . . . . .
7.4.3 Bewegungsgleichungen eines starren Körpers
7.5 Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . . . . . . .
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Wellen
8.1 Die Wellengleichung . . .
8.2 Harmonische Wellen . . .
8.2.1 Laufende Wellen .
8.2.2 Stehende Wellen .
8.2.3 Der Doppler-Effekt
8.2.4 Polarisation . . . .
8.2.5 Beispiele . . . . .
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Mechanische Stoffeigenschaften
9.1 Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Dehnung eines Drahtes . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2 Kompressibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.3 Scherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.4 Beziehungen zwischen den elastischen Konstanten
9.2 Ruhende Flüssigkeiten und Gase: (Hydrostatik) . . . . . .
9.2.1 Der hydrostatische Druck . . . . . . . . . . . . .
9.2.2 Schweredruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.3 Auftrieb - Prinzip von Archimedes . . . . . . . . .
9.3 Oberflächeneigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Oberflächenenergie, Oberflächenspannung . . . .
9.3.2 Tropfen und Blasen . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.3 Kapillarität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Bewegung von Flüssigkeiten und Gasen . . . . . . . . . .
9.4.1 Ideale Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.2 Innere Reibung (Viskosität) . . . . . . . . . . . .
9.5 Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8.3
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8.2.6 Transport von Energie und Impuls . . . . .
Überlagerung mehrerer Frequenzen . . . . . . . .
8.3.1 Schwebungen und Gruppengeschwindigkeit
8.3.2 Fourier-Analyse . . . . . . . . . . . . . .
Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . . . . . .
A Ergänzungen zum Kapitel 7
A.1 Beispiele für Berechnung von Trägheitsmomenten .
A.2 Kinetische Energie der Rotation . . . . . . . . . .
A.3 Der Steinersche Satz . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4 Eigenschaften der Hauptachsen . . . . . . . . . . .
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Index
147
Abbildungsverzeichnis
151
vi
INHALTSVERZEICHNIS
1
Kapitel 1
Grundlagen der Kinematik
Um Bewegungen beschreiben zu können, müssen wir Strecken (Längen) und Zeiten messen
können. Dazu müssen die Einheiten international festgelegt werden. Im Système International
der Einheiten (SI) wird die Einheit Sekunde wie folgt festgelegt:
Die Sekunde (s) ist die Zeit für 9192631770 Schwingungen der elektromagnetischen
Strahlung, die durch den Übergang (F = 4, mF = 0) → (F = 3, mF = 0) in der
Hyperfeinstruktur des Grundzustands (2 S1/2 ) des Atoms 133 Cs entsteht.
Das Meter wird seit 1983 über die Lichtgeschwindigkeit definiert1 :
Das Meter (m) ist die Strecke, die das Licht im Vakuum in 1/299792485 s zurücklegt.
Für alle Einheiten werden für bestimmte Vielfache bzw. Unterteilungen Vorsilben verwendet
(s. Tabelle 1.1). Es ist z.B. 1 µs = 10−6 s, 1 km = 1000 m usw. Für Potenzen der Einheiten gilt
Tabelle 1.1: Die gesetzlich eingeführten Vorsilben der Dezimaleinteilung von Einheiten. p = Zehnerpotenz.
Vorsilbe Zeichen
Yotta
Y
Zetta
Z
Exa
E
Peta
P
Tera
T
Giga
G
Mega
M
Kilo
k
Hekto
h
Deka
da
p Vorsilbe
24 Yokto
21 Zepto
18
Atto
15 Femto
12
Piko
9
Nano
6
Mikro
3
Milli
2
Zenti
1
Dezi
Zeichen
y
z
a
f
p
n
µ
m
c
d
p
-24
-21
-18
-15
-12
-9
-6
-3
-2
-1
folgende Regel: 1 km2 bedeutet 1 Quadratkilometer (106 m2 ), nicht 1000 Quadratmeter.
1 Damit
wird die Lichtgeschwindigkeit zahlenmäßig festgelegt.
2
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN DER KINEMATIK
1.1
Eindimensionale Bewegungen
Betrachten wir ein einfaches Beispiel: Ein Auto fährt auf einer völlig geradlinigen Straße. Um
die Bewegung des Autos quantitativ erfassen zu können, bestimmen wir die Entfernung x von einem bestimmten Bezugspunkt in Abhängigkeit von der Zeit t. Wenn wir unsere Zeitmessung auch
auf diesen Punkt beziehen (t = 0 bei x = 0), so ergibt die graphische Darstellung der Bewegung
eine Gerade durch den Ursprung, wenn das Auto immer gleich schnell“ fährt (s. Abb. 1.1).
”
x
x2
x1
Abbildung 1.1: Graphische Darstellung der
von einem Auto gefahrenen Strecke x in
Abhängigkeit von der Zeit t. in gleichen Zeitintervallen legt das Auto immer die gleiche
Stecke zurück. Die Beziehung x(t) ist also
linear.
t1
t2
t
Die Geschwindigkeit v wird als Strecke/Zeit definiert, also für die Strecke von x1 nach x2 :
v=
x2 − x1
t2 − t1
In unserem Fall des immer gleich schnell fahrenden Autos ist v unabhängig von der Wahl der
Strecke (x1 , x2 ), da die Beziehung zwischen x und t linear ist. Die Geschwindigkeit ist also konstant und erscheint als Proportionalitätskonstante in der Gleichung
x = vt
Die SI-Einheiten für Geschwindigkeit sind: Meter pro Sekunde (m s−1 ).
Wie wird die Geschwindigkeit definiert und bestimmt, wenn das Auto nicht gleich schnell“
”
fährt, d.h. wenn die Bewegung nicht durch eine lineare Beziehung zwischen x und t dargestellt
werden kann?
In diesem Fall ist die Geschwindigkeit nicht konstant, und wir müssen eine Definition finden, die es uns ermöglicht, jedem Zeitpunkt des Bewegungsablaufs einen bestimmten Wert der
Geschwindigkeit zuzuordnen. Mathematisch läßt sich das Problem so darstellen: Wir kennen die
Koordinate x(t) als Funktion der Zeit und möchten aus dieser Information die Funktion v(t) bestimmen, die als Tachometeranzeige“ zu verstehen ist.
”
3
1.1. EINDIMENSIONALE BEWEGUNGEN
Tabelle 1.2: Meßergebnisse bei einem Fallversuch.
t (s)
1
2
3
4
x (m)
5 20 45 80
v(m s−1 )?
5
6
125 180
Beispiel: Ein Körper wird zum Zeitpunkt t = 0 losgelassen und fällt frei unter dem Einfluß der
Schwerkraft. Die durchfallene Strecke x wird in Abständen von 1 s mit den in Tabelle 1.2 gezeigten
Ergebnissen gemessen. Die Beziehung zwischen x und t ist
x = at 2
(1.1)
(Bestimmen Sie den Wert von a.) Die graphische Darstellung x(t) ist eine parabolische Kurve.
Wie bestimmen wir die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt t? Zunächst stellen
wir fest, daß die mittlere Geschwindigkeit v̄ in einem Zeitintervall von t bis t + 1t, in dem der
Körper die Strecke von x bis x + 1x zurücklegt, durch
v̄ =
1x
1t
gegeben wird (Abb. 1.2).
x+d x
x
Abbildung 1.2: Nichtlineare Beziehung zwischen Weg x und Zeit t. Die mittlere Geschwindigkeit zwischen t und t + 1t ist
1x/1t.
t
t+dt
Die mittlere Geschwindigkeit hat folgende Bedeutung: Im gleichen Zeitintevall würde ein
Körper mit der konstanten Geschwindigkeit v̄ die gleiche Strecke zurücklegen. Graphisch wird v̄
durch die Steigung der Verbindungsgeraden zwischen den Endpunkten der im gegebenen Zeitintervall eingeschlossenen Kurvenstrecke dargestellt. Zwischen t = 2 s und t = 4 s legt der Körper z.B.
eine Strecke von 60 m zurück. Die mittlere Geschwindigkeit über diese Strecke ist also 30 m s−1 .
Je kleiner das gewählte Zeitintervall, umso besser entspricht die mittlere Geschwindigkeit v̄ der
augenblicklichen Geschwindigkeit v zur Zeit t. Diese läßt sich deshalb als Grenzwert definieren:
δx
δt→0 δt
lim
(Für kleine Differenzen schreibt man δx und δt statt 1x und 1t.) Dieser Grenzwert wird als der
Differentialkoeffizient der Funktion x(t) bezeichnet und wird dx/dt oder auch ẋ geschrieben. Er
4
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN DER KINEMATIK
ist auch eine Funktion von t und läßt sich formelmäßig angeben: Wenn wir x durch x + δx und t
durch t + δt in Gleichung (1.1) ersetzen, erhalten wir die Gleichung
x + δx = a(t 2 + 2tδt + δt 2 ).
Wir ziehen (1.1) von dieser Gleichung ab und dividieren durch δt:
δx
= a(2t + δt).
δt
Der Grenzwert für δt → 0 ist also
v=
dx
= 2at.
dt
Allgemein gilt
x = at n ⇒ ẋ = nat n−1 .
Die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Weg-Zeit-Funktion (v = ẋ).
Frage 1.1 Ergänzen Sie die obige Tabelle (1.2), indem Sie die zu den angegebenen Zeiten
gehörenden Geschwindigkeiten in m s−1 eintragen.
Wir sehen aus der letzten Gleichung, daß die Geschwindigkeit linear mit der Zeit zunimmt.
Wir sprechen in diesem Fall von einer beschleunigten Bewegung. Ein Maß für die Geschwindigkeitsänderung ist die mittlere Beschleunigung:
b=
1v
,
1t
in Analogie zur mittleren Geschwindigkeit. In unserem Beispiel ist die mittlere Beschleunigung
konstant und beträgt 10 m s−2 .
Ist die Beziehung zwischen v und t nicht linear, so müssen wir auch die Beschleunigung analog
zur Definition der Geschwindigkeit mit Hilfe der Differentialrechnung ermitteln:
δv
dv
d2 x
b = lim
=
= 2 = ẍ.
δt→0 δt
dt
dt
Die Beschleunigung ist also die zweite Ableitung der Weg-Zeit-Funktion (b = v̇ = ẍ).
Die Einheiten sind m s−2 .
Frage 1.2 Ein Auto fährt mit einer Geschwindigkeit von 100 km h−1 . Zu einem bestimmten
Zeitpunkt beginnt es zu verzögern und steht 10 s später. Wie groß war die mittlere (negative)
Beschleunigung in diesem Zeitintervall?
Wir haben gesehen, daß eine eindeutige Beziehung zwischen den Größen x, v und b derart
besteht, daß man bei vorgegebenen x jederzeit v und b angeben kann. Gilt auch die Umkehrung?
Wie kann man x aus v ermitteln? (Denken Sie an die Infinitesimalrechnung zurück!)
Wir betrachten eine beliebige Funktion v(t) (Abb. 1.3) und fragen nach dem Weg 1x = x(tb )−
x(ta ), den der Körper, der sich mit dieser Geschwindigkeit bewegt, zwischen den Zeiten ta und tb
zurücklegt. Zunächst teilen wir das Intervall (ta , tb ) in m gleiche Bereiche mit der Breite δt =
5
1.1. EINDIMENSIONALE BEWEGUNGEN
v
vi
dt
Abbildung 1.3: Bestimmung der Strecke
durch Integration der Geschwindigkeit über
die Zeit. Die im Intervall δt zurückgelegte
Strecke ist ≈ vi δt ≈ Fläche des Streifens.
ta
ti
tb
t
(tb − ta )/m. Die Grenzen des i-ten Bereichs sind ta + (i − 1)δt und ta + iδt. Der Mittelwert dieser
Größen ist
1
ti = ta + (i − )δt.
2
Ist δt klein genug, können wir die Geschwindigkeit innerhalb dieses Zeitintervalls als konstant
betrachten. Die zurückgelegte Strecke ist also in guter Näherung
(δx)i = v(ti ) δt
Die Gesamtstrecke erhalten wir, indem wir über alle (δx)i von i = 1 bis i = m summieren:
1x =
i=m
X
v(ti ) δt
i=1
Diese Gleichung gilt aber streng nur dann, wenn die Intervallbreite δt unendlich klein wird. Wir
müssen also den Grenzwert der rechten Seite für δt → 0 bzw. m → ∞ bilden. Diesen Grenzwert
bezeichnet man als bestimmtes Integral der Funktion v(t) von t = ta nach t = tb“. Wir schreiben:
”
Z t
X
b
1x = lim
v(ti ) δt =
v(t) dt.
δt→0
ta
i
Das bestimmte Integral kann als Differenz zweier Funktionswerte angegeben werden.
Z u
2
f (u) du = F (u1 ) − F (u2 ).
u1
Die rechte Seite wird meistens so abgekürzt:
u
[F (u)]u21 .
Die Funktion F (u) ist das unbestimmte“ Integral von f (u):
”
Z
F (u) = f (u) du.
6
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN DER KINEMATIK
Es gilt z.B. für f (u) = aun (n 6 = −1):
aun+1
F (u) =
.
n+1
(1.2)
Es ist nicht immer möglich, F (u) wie in diesem Fall auf einfache Weise aus f (u) zu bestimmen.
Bekannte Integrale sind in verschiedenen Tabellenwerken zusammengestellt worden. Wenn eine
algebraische Funktion für F (u) nicht gefunden werden kann, läßt sich das bestimmte Integral nur
mit numerischen Methoden bestimmen.
Um den Weg x(t) zu erhalten, müssen wir also v(t) integrieren. Da ein bestimmtes Integral
aber nur die Zunahme 1x in x ergibt, läßt sich die Funktion x(t) nur bis auf eine noch zu bestimmende Konstante angeben. Um x(t) vollständig bestimmen zu können, brauchen wir also
noch zusätzliche Information, z.B. den Wert von x zu einem bestimmten Zeitpunkt t, d.h. wir
benötigen die Anfangsbedingungen des Problems. Es gelten analoge Überlegungen für die Beziehung zwischen v und b. Zusammenfassend erhalten wir also folgende Beziehungen zwischen
den zeitabhängigen Größen x, v und b für eine eindimensionale Bewegung:
Z
dx
v=
↔
x = v dt + p
dt
Z
dv
b=
↔
v = b dt + q
dt
Die Größen p und q sind die Integrationskonstanten.
1.2
Bewegung in zwei und drei Dimensionen
Betrachten wir eine zweidimensionale Bewegung in der x-y-Ebene (Abb. 1.4). Die Lage eines
sich bewegenden Punktes P wird durch den Ortsvektor r bzw. die Koordinaten (x, y) beschrieben.
In der Zeit δt bewege sich der Körper von P nach Q. Die entsprechenden Änderungen in x und y
seien δx bzw. δy. Wie können wir die Geschwindigkeit in diesem Fall definieren?
Q
y+ δy
δr
P
y
α
R
r
Abbildung 1.4: Bewegung in der x-y-Ebene.
Im Zeitintervall δt ändert sich der Ortsvektor r um den Betrag δr.
O
x
x+δ x
7
1.2. BEWEGUNG IN ZWEI UND DREI DIMENSIONEN
Zunächst untersuchen wir die Änderungen der beiden Koordinaten für sich und definieren
δx
dx
=
,
δt→0 δt
dt
δy
dy
=
.
δt→0 δt
dt
vx = lim
vy = lim
Die Größen vx und vy bezeichnet man als die Komponenten der Geschwindigkeit in der x- bzw.
y-Richtung. Wir definieren ferner den Betrag der Geschwindigkeit v ( Tachometeranzeige“) als
”
den Grenzwert PQ/δt für δt → 0. Es gilt
(PQ) 2 = (δx)2 + (δy)2
und damit
s
v = lim
δt→0
δx
δt
2
δy
+
δt
2
=
q
vx2 + vy2 .
Über die Angaben der Komponenten der Geschwindigkeit ist etwas ausgesagt über die Richtung, in der sich der Punkt P bewegt. Betrachten wir im Abb. 1.4 das Dreieck PRQ, so gilt:
PQ = v δt
und damit
sin α =
PR = vx δt
vy
v
;
RQ = vy δt
cos α =
vx
.
v
Die Komponenten sind also
vx = v cos α,
vy = v sin α.
Die Geschwindigkeit ist also eine Größe, die neben dem Betrag (v) stets eine Richtung (α)
besitzt, sie ist also ein Vektor. (In Formeln werden die Symbole von Vektorgrößen fett gedruckt
→
(v) oder mit einem Pfeil versehen (−
v ), um sie von skalaren Größen zu unterscheiden.) Der Vektor
v wird durch Angabe der Komponenten vx und vy (oder v und α) vollkommen bestimmt. Die
übliche Schreibweise lautet
v = (vx , vy ).
Sie werden im weiteren Studium der Physik eine Vielzahl von Vektoren kennenlernen, diese
sind stets von skalaren Größen zu unterscheiden. Beispiele:
– Vektorgrößen: Kraft, elektrisches Feld, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Impuls, Ortsvektor.
– Skalare Größen: Masse, Temperatur, Energie, Volumen.
Frage 1.3 Ein Schiff fährt mit 30 km h−1 in Richtung SW. Geben Sie in einem geeigneten
Koordinatensystem den Geschwindigkeitsvektor in der physikalischen Schreibweise an.
Wir können nun daran gehen, die Gleichungen aus dem vorigen Abschnitt ins Zweidimensionale zu übertragen. Wir ersetzen y durch r, v durch v und erhalten
v=
dr
,
dt
oder in Komponentenschreibweise in einem rechtwinkligen Koordinatensystem:
vx =
Analog ergibt sich für die Beschleunigung
dx
,
dt
vy =
dy
.
dt
8
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN DER KINEMATIK
b=
mit
d2 r
dv
= 2
dt
dt
dvy
dvx
d2 x
d2 y
= 2,
by =
= 2.
dt
dt
dt
dt
Analog zum eindimensionalen Fall lassen sich diese Beziehungen durch Integration umkehren:
Z
Z
x = vx dt + px ,
y = vy dt + py
(1.3)
Z
Z
vx = bx dt + qx
vy = by dt + qy
(1.4)
bx =
Diese Gleichungen können auch mit Hilfe der Vektorschreibweise abgekürzt werden:
Z
r = v dt + p
Z
v = b dt + q
(1.5)
(1.6)
wobei p und q zeitunabhängige Vektoren sind.
Mittels der Gleichungen (1.5) und (1.6) läßt sich die Bahnkurve, d.h. die Abhängigkeiten
x(t) und y(t), ggf. auch y(x), ermitteln. Deshalb sind sie für die Mechanik von grundlegender
Bedeutung.
Beispiel: Ein Körper wird von der Erdoberfläche schräg nach oben geworfen und bewegt sich
frei unter dem Einfluß der Schwerkraft. Um die Bewegungskurve zu bestimmen, wählen wir ein
Koordinatensystem, in dem sich der Körper in einer Ebene—der x-y-Ebene—bewegt, wobei die
x-Achse horizontal und die y-Achse vertikal sein soll (Abb. 1.5). Die Schwerkraft erzeugt eine
konstante Beschleunigung (g) abwärts, d.h. in Richtung −y. Die Komponenten der Beschleunigung sind also:
bx = 0;
by = −g.
(Wir haben hier der Einfachheit halber den Einfluß der Luftreibung vernachlässigt). Wir wollen nun
die Bahnkurve des Körpers bestimmen, d.h. wir müssen die Koordinaten x und y als Funktionen
der Zeit t ausdrücken. Dies wird erreicht durch Integration nach (1.3) unter Anwendung von (1.2):
vx = qx ,
vy = −gt + qy ;
x = qx t + px ,
1
y = − gt 2 + qy t + py .
2
Aufgrund der zweifachen Integration der x- und y-Komponenten enthalten diese Gleichungen 4
Integrationskonstanten (px , qx , py , qy ). Diese gilt es für jeden konkreten physikalischen Sachverhalt durch einschränkende Randbedingungen festzulegen. Randbedingungen charakterisieren
den Zustand der Bewegung zu bestimmten Zeiten eindeutig. Die einfachste Randbedingung ist die
eindeutige Beschreibung der Bewegung zur Zeit t = 0 (Anfangsbedingungen) durch Angabe von
x(0), y(0), vx (0) und vy (0).
Wenn wir unser Beispiel des freien Wurfes fortsetzen, so können wir Anfangsbedingungen
festlegen. Wir setzen für t = 0
x(0) = 0
und
y(0) = 0,
9
1.2. BEWEGUNG IN ZWEI UND DREI DIMENSIONEN
vy
v sin α
v
Abbildung 1.5: Die Anfangsgeschwindigkeit für den freien Wurf. Der Körper wird
mit dem Geschwindigkeitsbetrag v im Winkel α zur Horizontalen angeschossen.
α
v cosα
O
vx
d.h. wir legen den Ursprung des Koordinatensystems in den Startpunkt. Damit haben wir zwei der
Integrationskonstanten festgelegt:
px = 0,
py = 0.
Die Bahnkurve ist außerdem von der Anfangsgeschwindigkeit (Betrag und Richtung!) abhängig.
Nehmen wir an, daß die Masse eine Anfangsgeschwindigkeit mit dem Betrag v erhält, und daß
die Bewegungsrichtung zum Zeitpunkt t = 0 einen Winkel α mit der x-Achse bildet (s. Abb. 1.5).
Die restlichen beiden Integrationskonstanten sind durch die Geschwindigkeitskomponenten zum
Zeitpunkt t = 0 gegeben:
vx (0) = qx = v cos α,
vy (0) = qy = v sin α.
Die Bahnkurve wird also durch folgende Gleichungen beschrieben:
x(t) = vt cos α,
1
y(t) = vt sin α − gt 2 .
2
Diese Gleichungen stellen eine Rechenvorschrift dar, nach der die Koordinaten zu jedem beliebigen Zeitpunkt bestimmt werden können.
Frage 1.4 Bestimmen Sie die Bahnkurve y(x), indem Sie t aus den Gleichungen für x(t)
und y(t) eliminieren. Mit welchen Wert von α erzielt man die größte Reichweite auf einer
horizontalen Ebene für eine gegebene Anfangsgeschwindigkeit?
Experimentieren
Sie
mit
einer
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Kanone
im
Virtual
”
Laboratory“:
Dreidimensionale Bewegungen lassen sich in gleicher Weise behandeln, man hat jeweils jedoch drei Raumkoordinaten zu berücksichtigen. Wir können daher die Definitionen der Geschwindigkeit v und der Beschleunigung b in drei Dimensionen wie folgt zusammenfassen:
dx dy dz
v = (vx , vy , vz ) =
(1.7)
, ,
dt dt dt
2
dvx dvy dvz
d x d2 y d2 z
,
,
=
b = (bx , by , bz ) =
,
,
.
(1.8)
dt dt dt
dt 2 dt 2 dt 2
10
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN DER KINEMATIK
Zwischen dem Betrag und den Komponenten eines dreidimensionalen Vektors v besteht die
Beziehung
q
v = vx2 + vy2 + vz2 .
Wenn wir die Winkel zwischen dem Vektor v und den Koordinatenachsen mit α, β und γ bezeichnen, dann gelten ferner die Beziehungen:
vx = v cos α,
vy = v cos β,
vz = v cos γ .
und
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
Die Winkel sind also nicht unabhängig voneinander. Um einen dreidimensionalen Vektor quantitativ darstellen zu können, brauchen wir drei Zahlen, z.B. die Komponenten in einem kartesischen
Koordinatensystem oder den Betrag und zwei Winkel.
Ein zweidimensionales Problem, das in der Physik eine wichtige Rolle spielt, ist die Bewegung
eines Körpers auf einer kreisförmigen Bahn. Wir wollen diese Situation mit den bisher erarbeiteten mathematischen Hilfsmitteln genau analysieren:
y
r
α
O
P
x
Abbildung 1.6: Kreisbewegung. Der Punkt
P bewegt sich mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag auf einer Kreisbahn mit dem Radius r. Der Winkel α ändert sich linear mit
der Zeit.
In Abb. 1.6 bewege sich der Punkt P mit konstanter Winkelgeschwindigkeit auf einer
kreisförmigen Bahn um den Ursprung O des Koordinatensystems. Die Verbindungslinie OP ist der
Ortsvektor r = (x, y) des Punktes P. Der Betrag von r = Kreisradius ist konstant, während sich
der Winkel zwischen r und der x-Achse linear mit der Zeit ändert. Führen wir die konstante Winkelgeschwindigkeit2 ω ein, so gilt α = ωt. Die Zeit für einen kompletten Umlauf ist T = 2π/ω.
Wir bestimmen nun die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung b eines Massenpunktes auf
der Kreisbahn.
Die beiden Komponenten vx , vy der Geschwindigkeit werden durch die Gleichung (1.7) bestimmt. Wir wollen aber zunächst eine einfachere Ableitung geben und das Ergebnis anschließend
durch Anwendung der Gleichung (1.7) überprüfen. Es ist leicht einzusehen, daß die Geschwindigkeit immer tangential, d.h. senkrecht zum Radiusvektor r sein muß. Ferner ist der Betrag v
2 Hier
sei nur darauf hingewiesen, daß die Winkelgeschwindigkeit ebenfalls ein Vektor—mit besonderen Eigenschaften—ist. Siehe hierzu Abschnitt 1.3.
11
1.2. BEWEGUNG IN ZWEI UND DREI DIMENSIONEN
wegen der Symmetrie des Problems konstant. Wir brauchen also nur den Kreisumfang durch die
Umlaufzeit zu dividieren:
2π r
v=
= ωr.
2π/ω
Da v senkrecht auf r steht (Abb. 1.7), ist der Winkel zwischen dem Geschwindigkeitsvektor und
v
y
r
α
P
α
O
x
Abbildung 1.7: Beziehung zwischen dem
Geschwindigkeitsvektor v und dem Ortsvektor r für eine Kreisbewegung. Die Vektoren r und v stehen immer senkrecht aufeinander.
der y-Achse gleich α. Die Komponenten sind also
vx = −ωr sin α,
vy = ωr cos α.
Wir zeigen jetzt, daß die Gleichung (1.7) zum gleichen Ergebnis führt. Dazu brauchen wir zwei
Ergebnisse der Differentialrechnung, nämlich die Ableitungen der Winkelfunktionen sin(ax) und
cos(ax). Für a = konst. gilt
d
sin(ax) = a cos(ax),
dx
d
cos(ax) = −a sin(ax).
dx
Es ist nun einfach, diese Differentiationsregeln auf die Komponenten des Ortsvektors r
x = r cos(ωt),
y = r sin(ωt)
anzuwenden, um das obige Ergebnis für vx und vy zu bestätigen.
Um die Beschleunigung zu bestimmen, wenden wir die Gleichung (1.8) an und erhalten
bx =
dvx
= −ω2 r cos(ωt) = −ω2 x,
dt
by =
dvy
dt
= −ω2 r sin(ωt) = −ω2 y,
oder in Vektorschreibweise
b = −ω2 r.
Die Beschleunigung hat also den Betrag ω2 r und ist antiparallel zum Radiusvektor, d.h. immer
zum Mittelpunkt des Kreises hin gerichtet. Aus diesem Grund wird sie auch Zentripetalbeschleunigung genannt.
Frage 1.5 Der Mond bewegt sich in guter Näherung auf einer kreisförmigen Bahn mit dem
Radius R = 3,83.108 m um die Erde. Die Umlaufzeit ist 2,36.106 s. Wie groß ist der Betrag
der Zentripetalbeschleunigung?
12
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN DER KINEMATIK
v
vt
vr
b
Abbildung 1.8: Allgemeine Bewegung auf
einer gekrümmten Bahn. Die Geschwindigkeitsvektor v ist immer tangential, während
die Beschleunigung b im allgemeinen eine
Tangential- und eine Radialkomponente hat.
Abschließend einige Ergebnisse, die man alle aus (1.7) und (1.8) herleiten kann und die immer
wieder Verwendung finden:
1. Für jede beliebige Bahn (Abb. 1.8) ist der Geschwindigkeitsvektor v immer tangential.
2. Die Beschleunigung braucht nicht immer radial zu sein, wie im Falle der Kreisbewegung. Im
allgemeinen Fall können wir b in eine Tangentialkomponente bt und eine Radialkomponente br aufspalten. Diese beiden Komponenten haben folgende anschauliche Bedeutung: Die
Tangentialkomponente der Beschleunigung (bt ) entspricht einer Änderung im Betrag von v.
Die Radialkomponente der Beschleunigung (br ) entspricht einer Änderung in der Richtung
von v.
1.3
Die Winkelgeschwindigkeit als Vektor
Wir haben die Winkelgeschwindigkeit in letzten Abschnitt eingeführt und dort im wesentlichen
den Betrag von ω, also ω verwendet. Wir wollen hier den Vektorcharakter von ω näher besprechen.
ω
v
Q
φ
Abbildung 1.9: Der Vektor ω. Es ist ω = |ω|
der Betrag der Drehgeschwindigkeit. Die
Richtung von ω entspricht der Drehachse.
O
α
r
P
13
1.4. ANTWORTEN ZU DEN FRAGEN
Ein Punkt P (Abb. 1.9) bewege sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einem Kreis um eine
Achse OQ, wobei O der Ursprung des Koordinatensystems ist. Es sei r der Vektor OP (Ortsvektor
des Punktes P), und ω ein zur Achse OQ paralleler Vektor mit dem Betrag ω. Die Richtung von ω
wird so definiert, daß die Rotation im Sinne einer Rechtsschraube in Richtung von +ω erfolgt. Der
Betrag von ω ist
dα
ω=
= α̇.
dt
Der Punkt P bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit v auf dem Umfang eines Kreises mit
dem Radius r sin φ, wobei φ den Winkel zwischen den Vektoren r und ω bedeutet. Der Betrag
dieser Geschwindigkeit ist Kreisumfang durch Umlaufzeit, also
v=
2π r sin φ
= ωr sin φ.
2π/ω
Die Richtung des Geschwindigkeitsvektors v ist immer tangential und steht damit senkrecht auf r
und ω. Der Vektor v ist damit nach Betrag und Richtung identisch mit dem Vektorprodukt ω × r:
v = ω × r.
Aufgrund dieser Gleichung läßt sich einfach zeigen, daß sich ω wie ein Vektor verhält, der die
Winkelgeschwindigkeit eindeutig charakterisiert.
Nehmen wir an, daß P gleichzeitig zwei Rotationsbewegungen ausführt: ω1 und ω2 . Die resultierende Geschwindigkeit ist
v = ω1 × r + ω2 × r = (ω1 + ω2 ) × r.
Wir können die gleiche Bewegung durch einen einzigen Vektor ω darstellen, der die Vektorsumme von ω1 und ω2 ist:
ω = ω1 + ω2 .
Wesentlich ist allerdings stets die eingangs gemachte Festlegung, daß die Rotation im Sinne einer
Rechtsschraube in Richtung von +ω erfolgt.
1.4
Antworten zu den Fragen
Frage 1.1 Die Beziehung zwischen x und t ist
x = at 2
mit (aus der Tabelle) a = 5 m s−2 . Die Geschwindigkeit erhalten wir, indem wir die Ableitung
bilden:
dx
v=
= 2at.
dt
Einsetzen der Zahlen ergibt die Tabelle:
t (s)
1
2
3
4
5
6
x (m)
5 20 45 80 125 180
−1
v(m s ) 10 20 30 40 50
60
14
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN DER KINEMATIK
Frage 1.2 Die mittlere Beschleunigung ist 1v/1t. In diesem Fall ist 1t = 10 s, und 1v =
100 km/h. Die Beschleunigung können wir also als 10 (km/h)/s angeben. Das sind aber sehr unphysikalische Einheiten. Am besten drücken wir alles in SI-Einheiten aus: 1 km ist 1000 m, und
1 h ist 3600 s. 100 km/h entspricht also 1000/36 m s−1 , und die Beschleunigung ist 100/36 m s−2 =
2,78 m s−2 .
Frage 1.3 Wir müssen zunächst ein kartesische Koordinatensystem definieren. Eine
Möglichkeit ist:
x-Achse k Ost, y-Achse k Nord, z-Achse vertikal nach oben.
√
√
2,
−1/
2, 0). Der
Der zur Südwestrichtung paralleler Einheitsvektor√ist in
diesem
System
(−1/
√
Geschwindigkeitsvektor ist daher (in km/h):−15( 2, 2, 0).
Frage 1.4 Aus x = vt cos α folgt
x
v cos α
Wenn wir diesen Ausdruck für t in die Gleichung
t=
1
y = vt sin α − gt 2
2
einsetzen, erhalten wir
gx
.
2v 2 cos2 α
Dies ist eine Parabel mit y = 0 für x = 0 (Anfangsbedingung). Die zweite Nullstelle für y ergibt
die Reichweite:
2v 2 sin α cos α
v 2 sin(2α)
x=
=
.
g
g
y = x tan α −
Die maximal Reichweite erhalten wir für 2α = 90◦ , d.h. α = 45◦ .
Frage 1.5 Der Betrag der Zentripetalbeschleunigung ist b = ω2 R = 4π 2 R/T 2 (ω = Drehgeschwindigkeit, R = Bahnradius, T = Umlaufzeit). Mit R = 3,83 · 108 m und T = 2,36 · 106 s
erhalten wir
b = 0,002715 m s−2 .
Newton erkannte, daß die Kraft, die den Mond in der Umlaufbahn hält, und die Kraft, die
Objekte auf der Erdoberfläche nach unten zieht, den gleichen Ursprung haben, nämlich das Gravitationsfeld der Erde (s. Abschnitt 2.2.2).
15
Kapitel 2
Grundlagen der Dynamik
2.1
Kraft und Masse
Bisher haben wir uns ausschließlich mit der Kinematik beschäftigt, d.h. mit der mathematischen Beschreibung von Bewegung. Wir wenden uns jetzt der Dynamik zu, die sich mit der Wechselwirkung zwischen Körpern und den daraus resultierenden Bewegungsabläufen beschäftigt.
Um die Wechselwirkung quantitativ zu erfassen, wurde der Begriff Kraft eingeführt. Es gibt
verschiedene Arten von Wechselwirkung, die durch Kräfte dargestellt werden können, z.B.
– Gravitationskräfte
– elektrostatische Kräfte
– Nuklearkräfte.
Wir wollen den Begriff Kraft“ etwas diskutieren. Wie können wir eine Kraft, z.B. die Schwer”
kraft, die auf einen Körper auf der Erdoberfläche wirkt, messen? (Diese Kraft wird als Gewicht des
Körpers bezeichnet). Wie bei allen physikalischen Messungen benötigen wir einen Standard und
eine Vergleichsvorschrift. Als Standard nehmen wir das Gewicht eines reproduzierbaren Körpers,
z.B. eines Stücks Platin mit definierter Größe. Durch Vervielfachung können wir Gewichte mit beliebigen Vielfachen dieser Einheit erzeugen. Um Kräfte experimentell miteinander zu vergleichen,
verwenden wir eine Waage. Abb. 2.1 zeigt das Prinzip von zwei möglichen Formen der Waage:
– Federwaage: Nach dem sog. Hookeschen Gesetz ist die Ausdehnung 1x einer Feder proportional zur angelegten Kraft: 1x = cF . Die Konstante c kann mit Hilfe des Standards
bestimmt werden.
– Balkenwaage: Die Drehwirkung (das sog. Moment) einer Kraft ist proportional zum senkrechten Abstand vom Drehpunkt. Im Gleichgewicht gilt also (Abb. 2.1b): F1 x1 = F2 x2 .
Mit Hilfe einer Waage können wir also jede Kraft in Einheiten unseres Standards bestimmen.
Es bleibt noch zu erwähnen, daß die Kraft eine Vektorgröße ist. Die auf einen Körper wirkende
Gesamtkraft ergibt sich aus der Vektorsumme der Einzelkräfte:
F =
X
Fi
i
Gleichgewicht der Kräfte bedeutet F = 0, d.h. die resultierende Kraft verschwindet.
Wenn man das Gewicht eines Körpers mit einer sehr genauen Waage an verschiedenen Stellen
der Erde mißt, stellt man fest, daß es nicht konstant ist. Auf dem Mond ist das Gewicht sogar
16
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER DYNAMIK
x1
x2
F2
F1
∆x
(b)
Abbildung 2.1: Messung von Kräften mit einer Waage. (a) Federwaage: Die Dehnung
1x ist proportional zur Kraft. (b) Balkenwaage: Im Gleichgewicht gilt F1 x1 = F2 x2 .
F
(a)
viel geringer als auf der Erde. Das Verhältnis der Gewichte von zwei verschiedenen Körpern,
immer am gleichen Ort gewogen, bleibt jedoch konstant. Das Gewicht ist also proportional zu einer
Eigenschaft des Körpers, die man die Masse nennt. Die SI-Einheit der Masse ist das Kilogramm
(kg), definiert als die Masse eines Standards, der in Sèvres bei Paris aufbewahrt wird1 . Die Masse
eines Körpers läßt sich bestimmen, indem sein Gewicht—mit Hilfe einer Waage—mit dem eines
Galileo Körpers bekannter Masse verglichen wird.
Die Erfahrung zeigt, daß ein Körper beschleunigt wird, wenn die auf ihn wirkenden Kräfte
nicht im Gleichgewicht sind. Ferner stellt man fest, daß die Kraft, die benötigt wird, um eine
bestimmte Beschleunigung zu bewirken, umso größer ist, je größer die Masse des Körpers.
Die Masse ist also ein Maß für die Trägheit, eine Eigenschaft, die zuerst von Galileo Galilei (1564–1642) beschrieben wurde. Im nächsten Abschnitt behandeln wir die von Isaac Newton
(1643–1727) formulierten quantitativen Beziehungen zwischen Kraft, Masse und Beschleunigung.
Newton
2.2
Die Newtonschen Gesetze
2.2.1 Die Grundgesetze der Mechanik
Newton faßte seine Theorie in drei Gesetzen zusammen:
1. Wirken keine äußeren Kräfte auf einen Körper, so verharrt er im Zustand der Ruhe
oder der gleichförmigen, geradlinigen Bewegung.
2. Das Produkt der Masse und der Beschleunigung eines Körpers ist proportional zur
auf ihn wirkenden Kraft.
3. Bei der Wechselwirkung zweier Körper A und B ist die Kraft, die A auf B ausübt,
entgegengesetzt gleich der von B auf A ausgeübten Kraft.
1 Ein
Zylinder von ca. 39mm Durchmesser und gleich großer Höhe aus einer Legierung von 90 Teilen Platin und
10 Teilen Iridium
17
2.2. DIE NEWTONSCHEN GESETZE
Das zweite Newtonsche Gesetz, das das erste eigentlich als Spezialfall enthält, läßt sich formelmäßig wie folgt ausdrücken:
F = kmb
(F = Kraft, m = Masse, b = Beschleunigung). Der Wert der Proportionalitätskonstante k hängt
von der Definition der Einheiten ab. Heute wird die Krafteinheit Newton (N) so definiert, daß
k = 1 gilt. Das zweite Newtonsche Gesetz lautet dann:
F = mb = m
dv
.
dt
Die Definition der Krafteinheit ist also in Worten:
1 Newton (N) ist die Kraft, die einer Masse von 1 kg eine Beschleunigung von 1 m s−2
verleiht.
Aus dieser Definition folgt die Identität
1 N ≡ 1 kg m s−2 .
Das dritte Newtonsche Gesetz drückt die allgemeine Erfahrungstatsache aus, daß Wechselwirkungen immer reziprok sind. Bezeichnen wir die von A auf B ausgeübte Kraft mit FAB , so besagt
das Gesetz:
FAB = −FBA
Die elegante“ Einführung der Kraft als physikalische Größe erlaubt es, aufbauend auf den
”
drei Newtonschen Gesetzen, auch sehr komplizierte Bewegungsabläufe (Bahnkurven) oft auf einfache Kraftgesetze zurückzuführen. Mit Hilfe der im ersten Kapitel eingeführten Definition der
Beschleunigung läßt sich das zweite Gesetz wie folgt umschreiben:
F = mr̈.
(Wir werden im folgenden häufig die Abkürzungen ẋ für dx/dt bzw. ẍ für d2 x/dt 2 verwenden.)
In Komponentenschreibweise erhalten wir:
Fx = mẍ = mv˙x
und entsprechende Gleichungen für die y- und z-Komponenten. Wenn wir F (t) kennen, so erlauben diese Grundgleichungen im Prinzip die Ermittlung der Bahnkurven des Körpers mit der Masse
m unter der Wirkung dieser Kraft.
2.2.2
Das Gravitationsgesetz
In konsequenter Ausnutzung des durch die drei Gesetze eingeführten Kraftbegriffs zeigte Newton, daß die Bewegungen der Himmelskörper im Sonnensystem als Wirkung einer Gravitationskraft erklärt werden können, die folgende Gesetzmäßigkeiten aufweist:
Zwei Massen ziehen sich gegenseitig an mit einer Kraft, die proportional zum Produkt
der Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung ist.
Mit diesem einfachen Gesetz und den Gesetzen der Dynamik konnte Newton bereits vor
knapp 300 Jahren alle Einzelheiten der Planetenbewegung derart ableiten, daß seine theoretischen Ergebnisse im Rahmen der damaligen Meßgenauigkeit mit den experimentellen Befunden
übereinstimmten.
18
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER DYNAMIK
Das Gravitationsgesetz läßt sich mathematisch wie folgt formulieren: Die Ortsvektoren zweier
Punktmassen m1 , m2 seien r1 bzw. r2 . Die Gravitationskraft, die m1 auf m2 ausübt, ist mit r12 =
r1 − r2
F12 =
Gm1 m2 r12
3
r12
.
Die Gravitationskonstante G hat den Wert
G = 6,670 · 10−11 N m2 kg−2 .
Betrachten wir als Spezialfall die Wirkung einer Masse M am Ursprung des Koordinatensystems (m1 = M, r1 = 0) auf eine Masse m an der Stelle r (m2 = m, r2 = r). Die auf m ausgeübte
Kraft ist
F = −GMmr/r 3 = mf (r).
Die Vektorgröße f ist unabhängig von m. Es handelt sich um eine Eigenschaft des Raumes, die auf
die Anwesenheit der Masse M am Ursprung zurückzuführen ist, und wird als Gravitationsfeld der
Masse M bezeichnet. Das Gravitationsfeld einer Punktmasse mi , die sich an der Stelle ri befindet,
ist
r −r
fi (r) = Gmi i
.
r − r 3
i
Wenn wir das Gravitationsfeld eines ausgedehnten Körpers (z.B. der Erde) berechnen wollen,
müssen wir die Beiträge aller Punktmassen vektoriell addieren:
X
r −r
f (r) = G
mi i
.
r − r 3
i
i
Wenn wir den Körper als eine kontinuierliche Massenverteilung mit der ortsabhängigen Dichte
ρ(r) betrachten können, läßt sich diese Summe als Integral ausdrücken:
Z
ρ(r 0 )(r 0 − r)dv 0
,
f (r) = G
|r 0 − r|3
wobei dv 0 = dx 0 dy 0 dz0 das Volumenelement bedeutet.
Ohne Beweis sei hier das Ergebnis der Anwendung dieser Formel auf einen interessanten Spezialfall angegeben: Eine Masse M sei gleichmäßig über eine dünne Kugelschale mit dem Radius r◦
verteilt. Nehmen wir den Mittelpunkt der Kugel als Ursprung unseres Koordinatensystems, erhalten wir für das Gravitationsfeld:
(
0
für r < r◦ ,
f (r) =
.
3
GMr/r für r > r◦
Außerhalb der Kugelschale verhält sich also das Feld, als ob die gesamte Masse am Mittelpunkt
konzentriert wäre, und innerhalb der Schale gibt es kein Gravitationsfeld. Da wir die Erde in erster
Näherung als eine kugelsymmetrische Massenverteilung betrachten können, die aus solchen Kugelschalen aufgebaut werden kann, läßt sich das Gravitationsfeld auf der Erdoberfläche als Feld
einer Punktmasse am Erdmittelpunkt berechnen. Das Gravitationsfeld ist aber gleich der Fallbeschleunigung g. Mit ME = Masse und RE = Radius der Erde, erhalten wir folgende Beziehung
zwischen g und G:
g = GME /RE2 .
(2.1)
19
2.3. IMPULS
Frage 2.1 Wie ändert sich g mit der Tiefe innerhalb der Erde, z.B. in einem tiefen Bohrloch?
Newton führte die Bewegung der Planeten und das Fallen eines Körpers auf der Erde auf die
gleiche Kraft, die Gravitationskraft, zurück und überprüfte diese Idee zunächst am Beispiel des
Mondes mit folgender einfacher Berechnung: Analog zu (2.1) ergibt sich die Fallbeschleunigung
”
des Mondes“ zu
2
,
g 0 = GME /RM
wo RM den Radius der Umlaufbahn des Mondes um die Erde bedeutet. Für diese Kreisbahn gilt
jedoch (s. Abschnitt 1.3):
g 0 = ω2 RM = 4π 2 RM /T 2
(T = Umlaufzeit des Mondes). Man erhält schließlich folgende Beziehung zwischen der Umlaufzeit des Mondes und der Erdbeschleunigung:
g=
3
4π 2 RM
T 2 RE2
.
Mit RE = 6,37.106 m, RM = 3,83.108 m und T = 2,36.106 s erhalten wir
g = 9, 81 m s−2 .
Dieses Ergebnis stimmt mit dem auf der Erdoberfläche empirisch bestimmten Wert überein.
Frage 2.2 Stellen Sie verschiedene Verfahren zur Bestimmung von g zusammen. (Sie lernen
einiges dazu im Praktikum.) Warum sind Geologen und Geophysiker daran interessiert, g an
verschiedenen Stellen der Erde möglichst genau zu bestimmen?
2.2.3
Schwere und träge Masse
Die Newtonschen Bewegungsgesetze und das Gravitationsgesetz zeigen uns, daß es zwei verschiedene Eigenschaften eines Körpers gibt, die mit der Masse zusammenhängen: die Trägheit
und die Reaktion auf ein Gravitationsfeld. Deshalb muß man prinzipiell zunächst zwischen der
trägen Masse, die den Widerstand gegenüber einer Änderung der Geschwindigkeit bedeutet, und
der schweren Masse, die in das Gravitationsgesetz eingeht, unterscheiden.
Die Erfahrungstatsache, daß Körper mit unterschiedlicher träger Masse im gleichen Gravitationsfeld gleich beschleunigt werden, zeigt, daß das Verhältnis der trägen zur schweren Masse
offenbar für alle Körper den gleichen Wert hat. Die Gravitationskonstante G wird so definiert, daß
die beiden Massen identisch sind.
Bisher kennt man keine experimentellen Ergebnisse, die die Gleichheit der schweren und
trägen Massen in Frage stellen.
2.3
Impuls
2.3.1 Definition, Impulserhaltung
Wir haben als Konsequenz des zweiten Newtonschen Gesetzes gesehen, daß wir im Prinzip
die Bewegung eines Körpers eindeutig angeben können, wenn uns alle auf ihn wirkenden Kräfte
20
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER DYNAMIK
bekannt sind. Das dritte Gesetz liefert darüber hinaus gewisse Aussagen über Bewegungen auch
dann, wenn die Kräfte im einzelnen—wie z.B. bei Zusammenstößen zwischen Körpern—nicht
bekannt sind. Um zu derartigen Aussagen zu kommen ist es zunächst zweckmäßig, eine weitere
physikalisch sinnvolle Größe, den Impuls, einzuführen, der als Produkt von Masse und Geschwindigkeit definiert wird. Eine Masse m, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, besitzt
also den Impuls
p = mv
(px = mvx , usw.)
Der Impuls ist eine Vektorgröße. Die Einheiten sind kg m s−1 .
Wenn wir davon ausgehen, daß die Masse zeitlich konstant ist2 , dann kann das zweite Newtonsche Gesetz unter Anwendung des Impulsbegriffs in folgender Form geschrieben werden:
F = mv̇ = ṗ.
Die Änderungsrate des Impulses ist gleich der auf den Körper wirkenden Kraft.
Wirkt eine konstante Kraft F auf eine Masse m, beträgt die Impulsänderung in einem Zeitintervall 1t
1p = F 1t.
Ist die Kraft nicht konstant, so muß der Impuls durch Integration nach der Beziehung
Z
p = p◦ + F dt
bestimmt werden.
Betrachten wir nun zwei Körper A und B, die sich gegenseitig über Wechselwirkungskräfte
beeinflussen und auf einer Geraden bewegen. Die durch A auf B ausgeübte Kraft sei FAB , die
durch B auf A ausgeübte Kraft sei FBA . Die Körper A und B seien von der übrigen Welt isoliert,
d.h. es wirken auf sie keine äußeren Kräfte. In einem kleinen Zeitintervall δt ändert sich der
Impuls pA des Körpers A um den Betrag δpA = FBA δt und der Impuls pB des Körpers B um den
Betrag δpB = FAB δt. Die Gesamtänderung des Impulses für das System der zwei Massen ist also
δp = (FAB + FBA )δt.
Aus dem dritten Newtonschen Gesetz folgt jedoch FAB = −FBA und damit
δp = 0
⇒
p = konst.
Der Impuls ist also eine Erhaltungsgröße. Größen dieser Art haben in der Physik eine besondere Bedeutung, weil sie zur Beschreibung von Systemen besonders geeignet sind. Der sog.
Impulserhaltungssatz lautet in seiner allgemeinen Form:
In einem System, auf welches keine äußeren Kräfte wirken, bleibt der Gesamtimpuls
erhalten.
Frage 2.3 Überlegen Sie, wie man diese Aussage für ein System von beliebig vielen Massen
beweisen könnte.
2 Wie
wir später sehen werden, gilt dies streng nur für Geschwindigkeiten, die viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind.
21
2.3. IMPULS
2.3.2
Anwendungen des Impulserhaltungssatzes
Wir wollen jetzt an zwei Beispielen die Nützlichkeit des Impulserhaltungssatzes betrachten.
Hierbei verzichten wir zunächst auf die vektorielle Behandlung unter der Annahme eindimensionaler Bewegungen.
vA
A
vB
B
x
Abbildung 2.2: Der inelastische Stoß in einer Dimension: Zwei Körper A, B mit den
Geschwindigkeiten vA bzw. vB stoßen zusammen und bleiben nach dem Stoß zusammen, d.h. sie haben die gemeinsame Geschwindigkeit v.
A
B
v
Beispiel 1: Der Stoß. Zwei Körper A (Masse mA ) und B (Masse mB ) (s. Abb. 2.2) bewegen
sich auf einer Geraden mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten vA und vB . Sie treffen aufeinander, kleben zusammen und bewegen sich danach mit der gemeinsamen Geschwindigkeit v. Können
wir ohne zusätzliche Information aus den Newtonschen Gesetzen die Geschwindigkeit v bestimmen?
Wenn wir das zweite Newtonsche Gesetz anwenden wollten, müßten wir die Kräfte, die
während des Vorganges wirksam sind, genau kennen. Dies ist aber nicht notwendig, wenn wir
das Prinzip der Impulserhaltung (als Konsequenz des dritten Newtonschen Gesetzes) anwenden:
Da der Stoß keine Änderung des Gesamtimpulses bewirkt, folgt
mA vA + mB vB = (mA + mB )v
und damit
v=
mA vA + mB vB
.
mA + mB
Die Geschwindigkeit v läßt sich physikalisch einfach interpretieren: Es seien xA und xB die
Ortskoordinaten der Körper A und B zu einem bestimmten Zeitpunkt t. Wir führen zunächst als
weitere wichtige physikalische Größe den Schwerpunkt des Systems von zwei Massepunkten
A und B ein. Der Schwerpunkt wird hier, da es sich um ein eindimensionales System handelt,
eindeutig durch die Angabe der x-Koordinate gegeben. Wir definieren für die x-Koordinate des
Schwerpunktes
m x + mB x B
xM = A A
.
(2.2)
mA + mB
Frage 2.4 Überlegen Sie sich die analogen Definitionen bei einem dreidimensionalen System mit zwei Massenpunkten und schließlich mit N Massenpunkten.
22
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER DYNAMIK
Im Falle des eben betrachteten Stosses ergibt sich die Geschwindigkeit des Schwerpunktes als
zeitliche Ableitung von (2.2) zu
vM = ẋM =
mA vA + mB vB
= v.
mA + mB
(2.3)
Die gemeinsame Geschwindigkeit der Massen nach dem Stoß ist also gleich der Geschwindigkeit des Schwerpunktes vor dem Stoß.
Im allgemeinen Fall, wo die Körper nach dem Stoß nicht zusammenbleiben, müssen wir zwei
0 und v 0 berücksichtigen. Die Geschwindigkeit des Schwerverschiedene Geschwindigkeiten vA
B
punktes ist vor dem Stoß wieder durch (2.3) gegeben. Nach dem Stoß ist die Geschwindigkeit des
Schwerpunktes
m v 0 + mB vB0
0
vM
= A A
.
mA + mB
Die Impulserhaltung verlangt, daß
0
mA vA + mB vB = mA vA
+ mB vB0
(2.4)
ist, damit gilt mit (2.3)
0
vM
= vM .
Die Geschwindigkeit des Schwerpunktes bleibt also konstant, unabhängig von der Art der Wechselwirkung.
Dieses Prinzip gilt allgemein für beliebig viele Teilchen bei Abwesenheit externer Kräfte und
kann als Alternativdarstellung des Prinzips der Impulserhaltung betrachtet werden.
0 und v 0 ) und brauchen deshalb
In der Gleichung (2.4) haben wir zwei unbekannte Größen (vA
B
zusätzliche Information, um das allgemeine Problem vollständig zu lösen. Auf dieses Problem
kommen wir später zurück.
Beispiel 2: Raketenantrieb. Eine Rakete funktioniert nach dem Rückstoßprinzip: Die Verbrennungsprodukte werden mit hoher Geschwindigkeit nach hinten ausgestoßen und tragen damit
Impuls. Um den Gesamtimpuls zu erhalten, muß der Vorwärtsimpuls und damit die Geschwindigkeit der Rakete ständig zunehmen. Das Prinzip läßt sich am folgenden Gedankenexperiment
verdeutlichen:
Ein Mann steht auf einem ruhenden Wagen und wirft einen Stein mit der Masse m und der
Geschwindigkeit u nach hinten. Die Gesamtmasse des Systems sei M. Wir berechnen die Geschwindigkeit v des Wagens unmittelbar danach. Da u und v unterschiedliche Richtungen haben,
müssen wir eine der Geschwindigkeiten mit einem negativen Vorzeichen versehen. Der Gesamtimpuls nach dem Stoß ist
p = (M − m)v − mu.
Die Impulserhaltung verlangt p = 0 (Ausgangsimpuls) und damit
v = mu/(M − m).
Bei einer Rakete ist der Vorgang kontinuierlich. Der Ausstoß der Masse erfolgt mit der Rate
µ = −Ṁ, die wir als konstant annehmen. Die Masse der Rakete zum Zeitpunkt t ist also
M(t) = M◦ − µt
23
2.3. IMPULS
(M◦ = Ausgangsmasse bei t = 0). Um v(t) zu erhalten, betrachten wir die Beschleunigungskraft,
die auf die Rakete wirkt. Diese ist gleich dem Impuls pro Zeiteinheit, der von den Verbrennungsprodukten nach hinten getragen wird, also
F = µu,
wobei u die Geschwindigkeit der Auspuffgase relativ zur Rakete bedeutet. Die jeweilige Beschleunigung der Rakete ergibt sich aus der Kraft F dividiert durch die jeweilige Masse als:
(2.5)
v̇ = µu/(M◦ − µt).
Dies ist eine Gleichung für die gesuchte Geschwindigkeit der Rakete. Sie hat jedoch nicht
die Form, die es erlauben würde, v als Funktion von t direkt anzugeben. Anstelle der v(t)Abhängigkeit wird hier ein Zusammehang zwischen dv und dt, den Differentialen von v und t
hergestellt. Derartige Gleichungen, die Sie noch häufig in der Physik kennenlernen werden, heißen
Differentialgleichungen. In der Mathematik werden diese Gleichungen systematisch behandelt.
Wir wollen hier nur eine sehr spezielle Diskussion von (2.5) führen.
Wie erhält man nun v(t)? Hierzu müssen wir eine Lösung von (2.5) finden, d.h. eine Funktion
v(t), die genau die Differentialgleichung (2.5) erfüllt. Mit Glück kann man das manchmal durch
Probieren bekommen (versuchen Sie es!) Hier ist es allerdings etwas schwieriger.
Wir schreiben (2.5) zunächst in der Form
dv =
µudt
M◦ − µt
und integrieren beide Seiten
Z
v = µu
dt
.
M◦ − µt
Wie Sie in einer geeigneten Tabelle leicht finden, gilt
Z
dx
1
= ln(a + bx)
a + bx
b
(ln = Logarithmus zur Basis e.) Es folgt
v = −u ln(M◦ − µt) + C.
Es gilt noch, aus den physikalischen Gegebenheiten die Integrationskonstante C zu ermitteln. Gehen wir davon aus, daß v = 0 zum Zeitpunkt t = 0 war, so folgt
C = u ln M◦
und schließlich
M◦
v = u ln
M◦ − µt
.
Frage 2.5 Welche weiteren Kräfte wirken auf eine Rakete, die z.B. von der Erdoberfläche
startet? Wie kann man diese Kräfte in den Bewegungsgleichungen berücksichtigen?
24
2.3.3
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER DYNAMIK
Der vektorielle Charakter des Impulses
Bisher haben wir in diesem Kapitel im wesentlichen eindimensionale Bewegungen betrachtet
und dabei den Vektorcharakter der Größen wie F , v, b und p etwas vernachlässigt. Deshalb wollen
wir hier kurz einige Bemerkungen im Zwei- bzw. Dreidimensionalen anschließen.
Erhaltung Die Impulserhaltung gilt für den Vektor p, d.h. getrennt für jede Komponente, wie
das folgende Beispiel zeigt:
Zwei Körper bewegen sich in der x-y-Ebene und beeinflussen sich gegenseitig über eine Wechselwirkungskraft. Die auf den Körper A wirkende Kraft sei F = (Fx , Fy ). Die auf den Körper B
wirkende Kraft ist dann −F = (−Fx , −Fy ). Anwendung der erweiterten Form des zweiten Newtonschen Gesetzes ergibt
Fx = ṗAx = −ṗBx ,
Fy = ṗAy = −ṗBy .
Für die Komponenten des Gesamtimpulses gilt also
d
(p + pBx ) = 0
dt Ax
d
(p + pBy ) = 0
dt Ay
⇒
pAx + pBx = konst.
⇒
pAy + pBy = konst.
Dieses Ergebnis läßt sich auch auf eine beliebige Anzahl von Körpern übertragen. In einem System, auf das keine äußeren Kräfte wirken, bleibt der Gesamtimpuls nach Betrag und Richtung
konstant.
In Erweiterung der Gleichung (2.2) können wir die Koordinaten des Schwerpunktes in drei
Dimensionen (xM , yM , zM ) angeben. Das Ergebnis, zunächst für zwei Körper A und B, ist
xM = (mA xA + mB xB )/(mA + mB )
yM = (mA yA + mB yB )/(mA + mB )
zM = (mA zA + mB zB )/(mA + mB ).
Die Geschwindigkeit des Schwerpunktes hat die Komponenten
pAx + pBx
= konst.
mA + mB
pAy + pBy
vMy = ẏM =
= konst.
mA + mB
p + pBz
vMz = żM = Az
= konst.
mA + mB
vMx = ẋM =
Alle drei Komponenten sind damit konstant. Der Schwerpunkt eines Systems, auf das keine
äußeren Kräfte wirken, bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Geraden. Dies
kann als eine Verallgemeinerung des ersten Newtonschen Gesetzes betrachtet werden. Im folgenden Abschnitt wird gezeigt, daß auch das zweite Gesetz in eine verallgemeinerte Form gebracht
werden kann, die auf ein System von beliebig vielen Massenpunkten anwendbar ist.
25
2.3. IMPULS
2.3.4
Die Impulsänderung eines Teilchensystems
Wir betrachten ein System von N Teilchen. Fik sei die Kraft, die vom Teilchen i (Masse mi )
auf Teilchen k (Masse mk ) ausgeübt wird. Ferner wirke auf das Teilchen j eine externe Kraft Fj .
Die Impulsänderungsrate des gesamten Systems ist
ṗ =
N
X
ṗi =
i=1
N
X
(
Fi +
i=1
N
X
)
Fki .
k=1
Bei der Doppelsumme über i und k ist die Reihenfolge der Indizes gleichgültig. Es gilt daher
N X
N
X
Fik =
i=1 k=1
N X
N
X
Fki
i=1 k=1
und damit
N
N X
X
i=1 k=1
N
N
1 XX
Fik =
(Fik + Fki ).
2
i=1 k=1
Nach dem dritten Newtonschen Gesetz gilt aber Fik = −Fki und damit
ṗ =
N
X
Fi .
i=1
Die Impulsänderungsrate des Gesamtsystems ist gleich der Summe der externen Kräfte—eine erweiterte Form des zweiten Newtonschen Gesetzes. Im speziellen Fall, wo es keine externen
Kräfte gibt, ist ṗ = 0 (Impulserhaltung).
Der Ortsvektor rM des Schwerpunktes ist
rM
N
1 X
=
mi r i
M
i=1
(M = Gesamtmasse) Die Geschwindigkeit des Schwerpunktes ist
vM = ṙM = p/M.
Zwischen der Beschleunigung des Schwerpunktes bM und den externen Kräften besteht demnach
die Beziehung
X
Fi = MbM ,
i
die als eine weitere Alternativformulierung des zweiten Newtonschen Gesetzes betrachtet werden
kann:
Die Summe der externen Kräfte ist gleich dem Produkt aus der Gesamtmasse des Systems und der Beschleunigung des Schwerpunktes.
26
2.4
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER DYNAMIK
Reibung
Zur Behandlung der Grundgesetze der Physik geht man oft von einem idealisierten reibungs”
freien“ Zustand aus. In Wirklichkeit treten aber Reibungskräfte auf, die berücksichtigt werden
müssen, wenn wir die Bewegungen richtig quantitative beschreiben wollen. Es gibt verschiedene
Arten von Reibung, die unterschiedliche Geschwindigkeitsabhängigkeiten zeigen.
2.4.1
Coulomb-Reibung
Die sog. Coulomb oder trockene Reibung tritt dann auf, wenn zwei Festkörperoberflächen aneinander schleifen, z.B. wenn ein Holzklotz über eine Tischfläche geschoben wird. Mann
stellt experimentell fest, daß in diesem Fall, so lange sich der Klotz bewegt, die Reibungskraft
unabhängig von der Geschwindigkeit und proportional zur Kraft ist, mit der die beiden Oberflächen
aneinander gepreßt werden. Gleitet ein Block mit der Masse m auf einer horizontalen Fläche, ist die
Reibungskraft FR = µmg, unabhängig von der Größe der Kontaktfläche. Der Reibungskoeffizient
µ hängt von den Materialien und vom Zustand (Rauhigkeit) der Oberflächen ab.
Ruht der Klotz, so ist die Kraft, die benötigt wird, um ihn in Bewegung zu setzen, immer
größer als µmg aber noch proportional zur Normalkraft. Der Reibungskoeffizient für die sog.
Haftreibung (µ0 ) ist also größer als der für die Gleitreibung.
Der Koeffizient der Haftreibung läßt sich am einfachsten mit Hilfe einer geneigten Ebene bestimmen: Die zur Ebene parallele Komponente der Schwerkraft ist F = mg sin α, die Normalkraft
ist N = mg cos α und die maximale Reibungskraft damit FR = µN = µ0 mg cos α. Der Klotz
beginnt dann zu rutschen, wenn F = FR ist, d.h. µ0 = tan α.
Eine interessante Anwendung der Haftreibung ist die Reibung am Poller: Ein einziger Mann
kann ein großes Schiff festhalten, wenn er das Seil um einen Poller legt, s. Anleitung zum Versuch
M14 des Grundpraktikums.
2.4.2 Widerstand in Gasen und Flüssigkeiten
Wenn sich ein Körper durch ein Gas oder eine Flüssigkeit bewegt, entsteht eine geschwindigkeitsabhängige, der Bewegung entgegengerichtete Widerstandskraft. Die Geschwindigkeitsabhängigkeit richtet sich nach der sog. Reynoldschen Zahl, einem durch
Re = ρvl/η
definieten, dimensionslosen Parameter. Hier bedeuten v die Geschwindigkeit und l eine charakteristische Länge des Körpers, ρ die Dichte und η die Viskosität (s. Abschnitt 9.4.2) des Gases
bzw. der Flüssigkeiten. Bei kleinen Reynoldschen Zahlen (z.B. ein Kieselstein sinkt in Wasser)
ist der Widerstand im wesentlichen durch die Viskosität bestimmt und steigt proportional zur Geschwindigkeit v. Bei großen Reynoldschen Zahlen (z.B. ein Flugzeug bewegt sich durch die Luft)
wird der Widerstand durch den Impuls der Moleküle bestimmt, die auf den Körper treffen, und ist
proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit.
27
2.5. ANTWORTEN ZU DEN FRAGEN
2.5
Antworten zu den Fragen
Frage 2.1 Eine genaue Beantwortung dieser Frage würde exakte Kenntnisse der Massenverteilung innerhalb der Erde verlangen. Wir wollen hier eine Näherung suchen (so was macht der
Physiker jeden Tag!) und machen die vereinfachende Annahme, daß die Massenverteilung kugelsymmetrisch sei, d.h., daß die Dichte ρ nur von der Entfernung vom Mittelpunkt der Erde
abhängt. Die Masse innerhalb einer Kugelfläche mit dem Radius r, wo r < RE (RE = Erdradius)
ist, beträgt also
Z r
M(r) =
ρ(s)ds.
0
Im Text haben wir gesehen, daß das Gravitationsfeld einer Kugelschale innerhalb der Schale verschwindet und außerhalb den gleichen Wert hat, als ob die ganze Masse im Mittelpunkt wäre. Das
Gravitationsfeld an einem Punkt P innerhalb der Erde in einer Entfernung r vom Erdmittelpunkt
ist daher
GM(r)
g(r) =
.
r2
Wenn wir die weitere Annahme machen, daß die Dichte ρ konstant sei, dann ist
M(r) = ME
r3
3
RE
und damit
g(r) =
GME r
3
RE
,
und ist damit proportional zu r (wie bei einer Feder!).
Frage 2.2 Das einfachste Verfahren ist die Messung der Fallzeit t eines Körpers durch die
Strecke s (am besten im Vakuum). Die Erdbeschleunigung ergibt sich aus g = 2s/t 2 . Die genauesten Verfahren zur g-Bestimmung basieren auf diesem Prinzip; die Bewegung des fallenden Objekts wird aber kontinuierlich optisch erfaßt. Ein weiteres Verfahren zur absoluten g-Bestimmung
verwendet die Beziehung zwischen der Schwingungsperiode (T ) und der Länge (l) eines einfachen Pendels: g = 4π 2 l/T 2 . Genauer als das einfache Pendel ist das sog. Reversionspendel (s.
Abschnitt 7.3).
Geologen und Geophysiker wollen sehr kleine Lokale Änderungen von g möglichst genau
messen, weil diese Information über die Massenverteilung in der Erdkruste liefern. Die hierfür
verwendeten Meßinstrumente heißen Gravimeter“. Ein gängiger Gravimetertyp verwendet das
”
einfache Prinzip der Federwaage: Hängt man eine Masse m auf eine Feder der Länge L◦ auf, so
dehnt sich die Feder auf die Länge L = L◦ + mg/k aus (k = Federkonstante). Natürlich braucht
man eine auskeklügelte Technik und spezielle Vorsichtsmaßnahmen (z.B. exakte Temperaturkontrolle), um genaue Messungen machen zu können. Für weitere Einzelheiten wird auf die Webseite
eines Herstellers verwiesen.:
http://www.lacosteromberg.com/gravitymeters.htm
28
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER DYNAMIK
Frage 2.3 Wir betrachten ein System von N Massenpunkten m1 , m2 . . . mN ohne äußere Kräfte.
Es sei Fj k die Kraft, die mj auf mk ausübt. Die Impulsänderungsrate ist
ṗ =
XX
j
Fj k .
k6=j
Wenn wir in dieser Gleichung die Indizes j, k vertauschen, ändert sich nichts, weil beide von 1 bis
N verlaufen:
XX
ṗ =
Fkj .
j
k6=j
Wenn wir die beiden Gleichungen addieren, erhalten wir
XX
2ṗ =
(Fj k + Fkj ).
j
k6 =j
Das dritte Newtonsche Gesetz besagt aber, daß Fj k + Fkj = 0 ist. Damit ist ṗ = 0 bzw. p =
konstant.
Der Fall eines Systems von Teilchen mit externen Kräften wird im Abschnitt 2.3.4 behandelt.
Frage 2.4 In drei Dimension ist die Lage des Schwerpunktes durch den Ortsvektor
RM = (xM , yM , zM )
gegeben. Die Gleichungen für die Komponenten des Vektors RM sind formal identisch mit dem
eindimensionalen Fall:
m y + mB yB
m z + mB zB
m x + mB x B
;
yM = A A
;
zM = A A
.
xM = A A
mA + mB
mA + mB
mA + mB
Die Erweiterung auf N Massen m1 , m2 , . . . mN mit den Ortskoordinaten r1 . . . rN ist offensichtlich:
PN
PN
PN
mi zi
i=1 mi xi
i=1 mi yi
xM = PN
;
yM = P N
;
zM = Pi=1
.
N
m
m
m
i=1 i
i=1 i
i=1 i
Frage 2.5 Es gibt zunächst die Gravitationskraft Fg , die mit der Höhe h abnimmt. Mit RE =
Erdradius und g = Erdbeschleunigung am Boden gilt
Fg = −(M◦ − µt)g
(RE + h)2
RE2
.
Dann gibt es die Luftreibung Fr , die, zumindest in niedriger Höhe, proportional zum Quadrat der
Geschwindigkeit ist:
Fr = −kv 2 .
Die Differentialgleichung ist
(M◦ − µt)v̇ = µu + Fg + Fr ,
oder
(RE + h)2
d2 h
µu − k(dh/dt)2
=
−
g
.
2
M◦ − µt
dt 2
RE
29
Kapitel 3
Arbeit und Energie
3.1
Kinetische und potentielle Energie
Wir haben gesehen, daß die Einführung einiger weniger, aber wohldefinierter Begriffe (Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, Impuls) uns die Möglichkeit gegeben hat, einen relativ breiten Bereich physikalischer Vorgänge und Phänomene zu beschreiben. Insbesondere der Impuls hat
sich als eine Erhaltungskonstante ergeben, die interessante Konsequenzen ermöglichte.
Wir wollen uns jetzt einer weiteren wichtigen Erhaltungsgröße—der Energie—zuwenden. In
der Mechanik werden wir zwei Formen der Energie zu unterscheiden haben:
– die kinetische Energie (Energie der Bewegung) und
– die potentielle Energie (Energie der Lage).
Wir werden ferner die Arbeit als die von einer Kraft übertragene Energie einführen.
Wir haben im letzten Kapitel gesehen, daß das Produkt Kraft·Zeit der Zunahme des Impulses
entspricht:
F δt = δp,
oder in Integralform
Z
t2
F dt = 1p.
t1
Im folgenden wollen wir die physikalische Bedeutung des Produktes Kraft·Weg, das als Arbeit
bezeichnet wird, untersuchen. Dazu beschränken wir uns zunächst auf den eindimensionalen Fall
(F parallel zur x-Koordinate). Die Erweiterung auf drei Dimensionen wird im Abschnitt 3.2.2
behandelt.
Eine Kraft F wirke im Zeitintervall t1 bis t2 auf eine Masse m. Die Anfangs- und Endgeschwindigkeiten seien v1 bzw. v2 . Wir berechnen das Integral
Z x
2
A=
F dx,
x1
wobei x die Ortskoordinate bedeutet. Aus dem zweiten Newtonschen Gesetz ersetzen wir F durch
mv̇:
Z x
Z v
2m dv dx
2
1 2 v2
=
m v dv =
mv
.
(3.1)
A=
dt
2
x1
v1
v
1
Die Arbeit ist damit gleich der Zunahme im Wert der Funktion
30
KAPITEL 3. ARBEIT UND ENERGIE
1
Ek = mv 2
2
(3.2)
Diese Funktion der Geschwindigkeit wird als kinetische Energie bezeichnet.
Joule
Arbeit und Energie sind nach der obigen Definition skalare Größen. Die Einheiten sind
kg m2 s−2 oder Nm. Die Einheit 1 Nm wird als Joule (Symbol J) nach dem englischen
Physiker James Prescott Joule (1818–1889) bezeichnet.
Frage 3.1 Ein Körper der Masse 10 g fällt im Gravitationsfeld (Erdbeschleunigung =
9,81 ms−2 ) aus einer Ruhelage im luftleeren Raum 10 m tief. Wie groß ist die gewonnene
kinetische Energie?
Unsere letzte Aussage über den Zuwachs an kinetischer Energie ist allerdings nur bedingt richtig; nicht jede Kraftwirkung erzeugt direkt kinetische Energie. Dies erläutert folgende Betrachtung:
wir wählen eine Masse m, die im Gravitationsfeld der Erde an einem bestimmten Punkt A ruht.
Die Masse wird beliebig langsam (d.h. ohne nennenswerte kinetische Energie) senkrecht nach
oben zum Punkt B bewegt. Um dies zu erreichen, wird eine nach oben gerichtete Kraft F benötigt,
die gerade ausreicht, um das Gewicht der Masse auszugleichen (F = mg). Die von dieser Kraft
geleistete Arbeit ist
A = mgh
(h ist die Länge der Strecke AB). Die Masse m hat aber keine kinetische Energie gewonnen, sondern nur ihre Lage geändert. Wird der Körper am Punkt B freigelassen, so daß er im freien Fall
nach A zurückfällt, gewinnt er kinetische Energie. Da im freien Fall die Gravitationskraft mg allein
auf den Körper wirkt, ist nach Gleichung (3.1) die kinetische Energie des Körpers, wenn er den
Punkt A erreicht
Ek = mgh.
Die gesamte Arbeit A, die beim Transport nach B gegen die Gravitationskraft geleistet wurde,
erscheint beim Fall wieder als kinetische Energie. Hieraus muß man schließen, daß die Masse
m am Punkt B gespeicherte“ Energie besitzt, die erst später während des Falles als kinetische
”
Energie freigesetzt wird. Diese gespeicherte Energie nennen wir potentielle Energie.
Die obige Definition der potentiellen Energie für eine konstante Kraft läßt sich auf ein beliebiges Kräftefeld F (x) erweitern: Wird ein Körper vom Punkt x = x1 zum Punkt x = x2 bewegt,
erhöht sich seine potentielle Energie um die gegen die Kraft F (x) geleistete Arbeit:
Z
1Ep = −
x2
F (x) dx.
(3.3)
x1
Diese Gleichung definiert nur die Differenz der potentiellen Energie. Um den absoluten Betrag
angeben zu können, müssen wir einen Punkt als Nullpunkt der potentiellen Energie willkürlich
festlegen.
Beispiel: Gravitationsfeld. Die Graviationskraft, die zwischen zwei Massen m1 und m2 in der
Entfernung x wirkt, ist
Gm1 m2
,
F (x) = −
x2
31
3.2. FELD UND POTENTIAL
mit G = Gravitationskonstante. (Warum wird ein Minuszeichen gewählt?) Eine Änderung der
Entfernung von x1 auf x2 ergibt folgende Änderung in der potentiellen Energie:
Z x
2dx
1
1
1Ep = Gm1 m2
= Gm1 m2
−
.
2
x1 x2
x1 x
Wählen wir die Entfernung x = ∞ (keine Wechselwirkung) als Nullpunkt der potentiellen Energie, erhalten wir
Ep = −Gm1 m2 /x.
Frage 3.2 Eine Feder hat im kräftefreien Zustand die Länge L. Eine Verlängerung um den
Betrag l erfordert die Kraft F (l) = kl/L. Berechnen Sie die potentielle Energie Ep als Funktion der Verlängerung l, wobei Ep (0) = 0 gesetzt wird.
Nicht in jedem Fall wird die gegen eine Kraft geleistete Arbeit als potentielle Energie gespeichert. Bei Reibungskräften z.B. wird die als Arbeit verbrauchte Energie nicht wieder als kinetische
Energie freigegeben, sondern in Wärme umgewandelt, d.h. Gleichung (3.3) gilt nur für bestimmte
Kräfte, die als konservative Kräfte bezeichnet werden.
3.2
3.2.1
Feld und Potential
Eine Dimension
Die Kraft, die auf eine Masse m auf der Erdoberfläche wirkt, ist mg. Wenn wir die Koordinate
in senkrechter Richtung mit x bezeichnen, ist die potentielle Energie V (x) = −mgx. Eine andere
Masse m0 würde die Kraft m0 g erfahren und hätte die potentielle Energie −m0 gx. Um die Kraft zu
bekommen, multiplizieren wir mit g, und für die potentielle Energie multiplizieren wir mit −gx.
Die Größe g ist das Gravitationsfeld der Erde, und gx nennt man das Potential. Die Maßeinheiten
dieser beiden Felder sind N kg−1 bzw. J kg−1 . Wenn wir das Potential mit φ bezeichnen, können
wir folgende Beziehung schreiben:
dφ
g=− .
(3.4)
dx
Mit anderen Worten: Das Gravitationsfeld g ist der negative Gradient des Potentials φ. Das Beispiel war ein konstantes Feld; die Beziehung gilt aber allgemein für jedes Feld, das mit einem
eindeutigen skalaren Potential verknüpft ist. Um dies zu beweisen, betrachten wir ein Gravitationsfeld g(x), das allgemein von x abhängt. Die Kraft F = mg(x) leistet auf der Strecke dx die
Arbeit dA = mg(x)dx und die Zunahme der potentiellen Energie ist dEp = −mdφ = −mg(x)dx.
Daraus folgt dφ = −g(x)dx und damit (3.4).
Der Vorteil der Definition der Größe φ liegt darin, daß wir die Energie, die benötigt wird,
um eine Masse von xa nach xb zu bewegen einfach aus der Differenz des Potentials ausrechnen
können, ohne über die Kraft integrieren zu müssen:
Z x
b
1Ep =
mgdx = m(φ(xb ) − φ(xa )).
xa
In zwei oder drei Dimensionen ist die Situation etwas komplizierter, und die Vorteile des Potentialbegriffs werden noch deutlicher.
32
3.2.2
KAPITEL 3. ARBEIT UND ENERGIE
Drei Dimensionen
Aus den obigen Definitionen geht hervor, daß das Gravitationsfeld (Kraft/Masse) ein Vektorfeld sein muß, während das Potential (Energie/Masse) ein skalares Feld ist. In 3 Dimensionen
müssen wir also schreiben:
g(r) = (gx (r), gy (r), gz (r)).
Wir müssen jetzt die Arbeit in drei Dimensionen definieren.
Die kinetische Energie ist eine skalare Größe, da sie vom Quadrat der Geschwindigkeit
abhängt. In drei Dimensionen müssen wir den Betrag des Geschwindigkeitsvektors quadrieren:
1 1
Ek = mv 2 = m vx2 + vy2 + vz2 .
(3.5)
2
2
Um einen Ausdruck für die von einer Kraft geleistete Arbeit zu bekommen, untersuchen wir die
Wirkung einer Kraft F = (Fx , Fy , Fz ) auf die durch die Gleichung (3.5) gegebene kinetische
Energie des Körpers. Zunächst bilden wir die zeitliche Ableitung der kinetischen Energie:
Ėk = m(vx v̇x + vy v̇y + vz v̇z ).
Diese Gleichung läßt sich mit Hilfe des zweiten Newtonschen Gesetzes
Fx = mv̇x
usw.
wie folgt umformen:
Ėk = vx Fx + vy Fy + vz Fz .
Benutzen wir weiter die Beziehungen vx = ddx/dt usw., so erhalten wir schließlich für kleine
Änderungen
δEk = Fx δx + Fy δy + Fz δz.
Die rechte Seite dieser Gleichung stellt die von der Kraft F geleistete Arbeit (δA) dar und hat die
Form eines Produktes zwischen den Vektoren F und δr, wobei δr die Bewegung des Körpers im
Zeitintervall δt darstellt.
Diese Art von Produkt wird als Skalarprodukt bezeichnet. Allgemein gilt, daß das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b (geschrieben a.b) den Wert ab cos θ hat, wobei θ den Winkel
zwischen den beiden Vektoren bedeutet:
a.b = ax bx + ay by + az bz = ab cos θ.
Die durch eine Kraft F geleistete Arbeit ist also in drei Dimensionen als Skalarprodukt definiert:
δA = F .δr.
(3.6)
Die Arbeit ist Null, wenn die Bewegung senkrecht zur Richtung der Kraft stattfindet. Die kinetische
Energie bleibt konstant, weil der Geschwindigkeitsvektor nur seine Richtung, nicht jedoch den
Betrag, ändert. Nur eine Bewegung in Richtung der Kraft macht einen Beitrag zur Arbeit.
Wenn man ausrechnen will, wie viel Energie benötigt wird, um ein Gegenstand von einem Ort
zu einem anderen zu bringen, ist die Berechnung etwas komplizierter als beim eindimensionalen
Fall, weil es unendlich viele Wege von einem Punkt zum anderen gibt. Abb. 3.1 zeigt z.B. zwei
Wege von A nach B, die mit (1) und (2) bezeichnet sind. Wenn wir die auf dem Weg (1) geleistete
33
3.2. FELD UND POTENTIAL
B
(1)
(2)
A
Abbildung 3.1: Zur Berechnung der Arbeit
auf zwei Wegen (1) und (2) von A nach B in
einem dreidimensionalen Raum.
Arbeit berechnen wollen, müssen wir den Weg in kleine Abschnitte δr1 , δr2 , . . . aufteilen und (3.6)
anwenden. Die Gesamtarbeit ist
X
lim
Fi .ri .
alle δri →0
i
Dieser Grenzwert wird als Linienintegral“ bezeichnet und üblicherweise wir folgt geschrieben:
”
Z
A=
F .dr.
(1)
Wenn wir wieder das Gravitationsfeld als Beispiel nehmen, können wir F = mg schreiben, bzw.
in Komponenten
Fx = mgx
Fy = mgy
Fz = mgz .
In Analogie zum eindimensionalen Fall können wir aber schreiben:
gx =
∂φ
∂x
gy =
∂φ
∂y
gz =
∂φ
,
∂z
bzw. in Vektorschreibweise
g = ∇φ.
Damit ist
(3.7)
∂φ
∂φ
∂φ
dA = m∇φ.dr = m
dx +
dy +
dz = mdφ,
∂x
∂y
∂z
und für eine beliebige Änderung
1A = m1φ.
Das Ergebnis ist also unabhängig vom Intergrationsweg:
Z
Z
F .dr =
F .dr = m φB − φA .
(1)
(2)
Die Arbeit ist also unabhängig vom Weg und wird nur durch die Masse und die Potentialdifferenz
bestimmt. Für alle Felder, die als Gradient eines skalaren Potentials (Gleichung 3.7) dargestellt
34
KAPITEL 3. ARBEIT UND ENERGIE
werden können, gilt, daß das Linienintegral zwischen zwei Punkten unabhängig vom Weg ist. Das
Gravitationsfeld und das elektrische Feld erfüllen diese Bedingung, das Magnetfeld jedoch nicht.
Die Arbeit ist die von einer Kraft übertragene Energie. Manchmal interessieren wir uns dafür,
wieviel Energie in einem bestimmten Zeitintervall übergeben wird. Die Energieübertragungsrate
Ȧ wird als Leistung bezeichnet. Die Maßeinheit für diese physikalische Größe heißt Watt—abgekürzt W—nach dem Dampfmaschinenerfinder James Watt (1736–1819). Es gilt 1 W = 1 J s−1 .
Aus der Tatsache, daß die Kraft gleich dem Gradienten der potentiellen Energie ist, folgt, daß
ein stabiles Gleichgewicht durch ein Minimum der potentiellen Energie gekennzeichnet ist. Wir
behandeln zunächst den eindimensionalen Fall, d.h. die potentielle Energie Ep ist eine Funktion
einer Variablen x. Im Gleichgewicht ist F = 0 und damit dEp /dx = 0. Es handelt sich also
um ein Maximum, ein Minimum oder einen Wendepunkt der Funktion Ep (x) und damit auch der
Funktion φ(x) (Potential). Nur das Minimum stellt ein stabiles Gleichgewicht dar. In den anderen
Fällen führt eine beliebig kleine Störung zum Verlust des Gleichgewichts: Das Gleichgewicht ist
labil. Zusammenfassend:
Stabiles Gleichgewicht:
Labiles Gleichgewicht:
dφ
= 0;
dx
dφ
= 0;
dx
d2 φ
< 0,
dx 2
d2 φ
≥ 0.
dx 2
Wenn Ep konstant ist, bezeichnet man das Gleichgewicht als indifferent (keine Lage wird bevorzugt).
Die Funktion φ(x) kann mehrere Minima haben. Bei großen Störungen landet der Körper
immer im tiefsten Minimum. Dagegen kann er lange in einem höheren Minimum bleiben, wenn
die Störungen nicht zu groß sind. Das Gleichgewicht im tiefsten Minimum ist stabil, die anderen
bezeichnet man als metastabil.
In drei Dimensionen hat man ein stabiles Gleichgewicht, wenn alle erste Ableitungen Null und
alle zweite Ableitung negativ sind.
3.3
Der Energieerhaltungssatz und Anwendungen
Mit den oben eingeführten Größen kinetische und potentielle Energie ergibt sich jetzt eine
wichtige Konsequenz: In Systemen, für die die Gleichung (3.3) gilt, ist die Gesamtenergie E =
Ek + Ep konstant, d.h. die Energie stellt für solche Systeme eine Erhaltungsgröße dar. Kennen
wir die Energie eines solchen Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt, so kennen wir die Energie
für alle Zeit. Da uns die kinetische Energie aufgrund (3.2) etwas über die Geschwindigkeit aussagt,
können Energiebetrachtungen zu Aussagen über die Teilchenbewegung führen. Durch Anwendung
dieses Prinzips lassen sich Probleme der Newtonschen Dynamik oft einfacher lösen als durch
direkte Verwendung der Newtonschen Gesetze.
Im folgenden diskutieren wir einige Beispiele.
3.3.1
Das mathematische Pendel.
Ein Pendel, bestehend aus einer Punktmasse m an einem massenlosen Faden der Länge L, wird
um den Winkel θ ausgelenkt und freigelassen. Welche Geschwindigkeit hat der Pendelkörper am
untersten Punkt?
35
3.3. DER ENERGIEERHALTUNGSSATZ UND ANWENDUNGEN
α
θ
L
h
α
sα
Abbildung 3.2: Das mathematische Pendel,
bestehend aus einer Punktmasse m an einem
massenlosen Faden.
sin
o
mg c
mg
mg
Zunächst versuchen wir dieses Problem mit Hilfe des zweiten Newtonschen Gesetzes zu lösen:
Wir betrachten das Zwischenstadium (Abb. 3.2), bei dem der Winkel noch α beträgt, und die
Geschwindigkeit den Wert v erreicht hat. Die auf die Masse m wirkende Gravitationskraft mg läßt
sich in eine Radialkomponente mg cos α und eine Tangentialkomponente mg sin α aufspalten. Die
Radialkomponente wird durch die Seilspannung ausgeglichen, während die Tangentialkomponente
eine Änderung der Geschwindigkeit hervorruft. Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz gilt für
die Beschleunigung des Pendelkörpers:
mv̇ = mg sin α.
Zwischen α und v besteht die Beziehung
v = −Lα̇.
Aus diesen beiden Gleichungen erhalten wir folgende Differentialgleichung für α:
α̈ = −
g
sin α.
L
Es ist nicht einfach, die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung zu finden. Für hinreichend
kleine Auslenkungen können wir jedoch die Näherung sin α ≈ α verwenden und erhalten die
einfachere Differentialgleichung
g
α̈ = − α.
L
Die Lösungen dieser in der Physik sehr wichtigen Differentialgleichung werden ausführlich im
Kapitel 5 besprochen. Hier genügt es, die Lösung für die Anfangsbedingungen (α̇ = 0 und α = θ
bei t = 0) des betrachteten Problems angegeben. Sie lautet
p
α = θ cos(ωt)
mit
ω = g/L.
Der unterste Punkt (α = 0) wird bei t = π/2ω erreicht. Die Geschwindigkeit (−Lα̇) beträgt dann
p
v◦ = ωLθ sin(π/2) = θ gL.
(3.8)
36
KAPITEL 3. ARBEIT UND ENERGIE
Damit haben wir die Antwort auf die eingangs gestellte Frage. Es handelt sich jedoch um eine
Näherung. Das genaue Ergebnis läßt sich sehr einfach mit Hilfe von Energiebetrachtungen ermitteln:
Die Differenz in potentieller Energie zwischen der Ausgangsposition und dem tiefsten Punkt
ist (s. Abb. 3.2)
1Ep = mgh,
wobei h den Höhenunterschied bedeutet. Am tiefsten Punkt besitzt der Körper genau diesen Betrag
an kinetischer Energie, da die kinetische Energie am Anfang gleich Null war. Es gilt also
1 2
mv = mgh.
2 ◦
Zwischen h und θ besteht die geometrische Beziehung
h = L(1 − cos θ).
Wir erhalten also schließlich
v◦ =
p
2gL(1 − cos θ).
(3.9)
Für kleine Winkel kann man cos θ näherungsweise durch 1 − θ 2 /2 ersetzen. Unter diesen Bedingungen geht Gleichung (3.9) in Gleichung (3.8) über.
Frage 3.3 Bis zu welchen Werten des Winkels θ macht man mit der Näherung (3.8) einen
Fehler von weniger als (a) 0,1% (b) 1% ?
3.3.2 Stoßgesetze in einer Dimension
Wir haben im Abschnitt 2.3.2 bereits einige Gesichtspunkte des Stoßes besprochen. Wir wollen
im folgenden die Energiebilanzen beim Stoß betrachten:
Zwei Körper A und B mit den Massen mA und mB haben die Geschwindigkeiten vA und vB vor
0 bzw. v 0 nach dem Stoß. Allgemein gilt nach dem Prinzip der Impulserhaltung
dem Stoß und vA
B
0
mA vA + mB vB = mA vA
+ mB vB0 .
(3.10)
Für einen vollkommen inelastischen Stoß ist
0
vA
= vB0 =
mA vA + mB vB
.
mA + mB
In einem inelastischen Stoß wird kinetische Energie verloren: Sie beträgt vor dem Stoß
1
2
Ek = (mA vA
+ mB vB2 )
2
und nach dem Stoß
Ek0
(mA vA + mB vB )2
=
2(mA + mB )
Ek0
mA mB (vA − vB )2
− Ek = −
.
2(mA + mB )
mit der Differenz
1Ek =
(3.11)
Diese kinetische Energie wird in Wärme umgewandelt, sie ist durch Messung zu bestimmen.
3.3. DER ENERGIEERHALTUNGSSATZ UND ANWENDUNGEN
37
Frage 3.4 Welcher Anteil der kinetische Energie wird in Wärme umgewandelt, (a) wenn eine
Masse m auf eine gleich große, ruhende Masse stoßt, und beide Massen zusammenkleben, (b)
wenn eine Masse auf eine Mauer geworfen wird und an der Mauer kleben bleibt?
Wir bezeichnen einen Stoß als ideal elastisch, wenn die kinetische Energie voll erhalten bleibt.
In diesem Fall haben wir zusätzlich zu (3.10) die Bedingung
2
2
0
2
+ mB vB0 .
mA vA
+ mB vB2 = mA vA
(3.12)
0 und v 0 , die Geschwindigkeiten von A und B nach dem Stoß? Um dies zu erWie groß sind vA
B
mitteln, könnten wir (3.10) und (3.12) direkt benutzen. Hierbei ergeben sich aber Schwierigkeiten,
da (3.12) nicht linear ist. Deshalb wenden wir einen Trick an: Durch Umordnung der Gleichungen
(3.10) und (3.12) erhalten wir zwei lineare, homogene Gleichungen in mA und mB :
0
(vA − vA
)mA + (vB − vB0 )mB = 0
2
2
2
0
(vA
− vA
)mA + (vB2 − vB0 )mB = 0
Aus der Theorie linearer Gleichungssysteme wissen wir, daß diese Gleichungen nur dann eine
sinnvolle Lösung (mA , mB 6 = 0) haben, wenn die Determinante der Koeffizienten verschwindet:
0
vA − vA
vB − vB0 v 2 − v 0 2 v 2 − v 0 2 = 0
A
A
B
B
oder
0
0
0
(vA − vA
)(vB − vB0 )(vB + vB0 ) = (vA − vA
)(vB − vB0 )(vA + vA
).
0 und v = v 0 . Diese sind aber triZwei mögliche Lösungen dieser Gleichungen sind vA = vA
B
B
vial, da sie bedeuten, daß keine Wechselwirkung stattgefunden hat. Es bleibt also die allgemeine
Lösung:
0
vB − vA = −(vB0 − vA
).
(3.13)
Die Gleichung hat folgende physikalische Bedeutung: Die relativen Geschwindigkeiten der beiden Körper vor und nach dem Stoß sind dem Betrag nach gleich. Sie haben nur unterschiedliche
Vorzeichen, da sich die Körper A und B nach dem Stoß voneinander entfernen.
Zusammenfassung der Stoßgesetze:
– Für alle Zusammenstöße gilt der Impulserhaltungssatz. Konsequenz: Die Geschwindigkeit
des Schwerpunktes bleibt konstant.
– Für einen elastischen Stoß wird ferner die kinetische Energie erhalten. Konsequenz: Die
Relativgeschwindigkeit bleibt (bis auf das Vorzeichen) unverändert.
– Im allgemeinen Fall wird ein Teil der kinetischen Energie in Wärme umgewandelt.
Aus den Gleichungen (3.10) und (3.13) können wir jetzt explizite Ausdrücke für die Geschwin0 und v 0 für den Fall des vollkommen elastischen Stosses ableiten. Sie lauten:
digkeiten vA
B
(mA − mB )vA + 2mB vB
mA + mB
(mB − mA )vB + 2mA vA
vB0 =
.
mA + mB
0
vA
=
38
KAPITEL 3. ARBEIT UND ENERGIE
Der allgemeine Stoß: In Wirklichkeit geht bei jedem Stoß etwas Energie verloren. Die relative
Geschwindigkeit ist dann nach dem Stoß um einen bestimmten Faktor γ (0 ≤ γ ≤ 1) kleiner:
0
γ (vA − vB ) = −(vA
− vB0 ).
Die Lösungen für den allgemeinen Fall sind dann:
(mA − γ mB )vA + (1 + γ )mB vB
mA + mB
(mB − γ mA )vB + (1 + γ )mA vA
vB0 =
.
mA + mB
0
vA
=
Wenn wir γ = 0 bzw. γ = 1 in diese Gleichungen einsetzen, erhalten wir die schon bekannten
Ergebnisse für den inelastischen bzw. vollkommen elastischen Stoß.
3.3.3 Stoßgesetze in drei Dimensionen
Für einen elastischen Stoß in drei Dimension gelten die Erhaltung der kinetischen Energie und
die Erhaltung aller drei Komponenten des Impulses:
2
2
2
0
mA vA
+ mB vB2 = mA vA
+ mB vB0
0
0
+ mB vBx
mA vAx + mB vBx = mA vAx
0
0
mA vAy + mB vBy = mA vAy
+ mB vBy
0
0
mA vAz + mB vBz = mA vAz
+ mB vBz
Wenn nur die Anfangsgeschwindigkeiten bekannt sind, haben wir 6 Unbekannte, aber nur 4 Gleichungen. Wir benötigen also weitere Informationen, um das Problem zu Lösen. Welcher Art sie
sind, hängt vom Einzelfall ab. Ein einfaches Beispiel soll dies verdeutlichen:
y
v'Α
vΑ
b
m
x
α
r
r
m
Abbildung 3.3: Elastischer Zusammenstoß
zwischen zwei identischen harten Kugeln
(Masse m, Radius r). Eine Kugel hat vor
dem Stoß die Geschwindigkeit vA parallel
zur x-Achse, die andere ruht.
β
v'Β
Abb. 3.3 zeigt einen elastischen Stoß zwischen zwei identischen Kugeln (Masse m, Radius r).
Vor dem Stoß bewegt sich die eine Kugel von links nach rechts parallel zur x-Richtung, während
39
3.4. ANTWORTEN ZU DEN FRAGEN
die andere ruht. Der Stoß ist nicht zentral, d.h. die relative Bewegung ist nicht auf der Verbindungslinie der beiden Mittelpunkt. Der Stoßparameter b ist definiert als der in Richtung der relativen
Bewegung projizierte Abstand der Mittelpunkte (s. Abb. 3.3). Ist b = 0, handelt es sich um einen
zentralen Stoß, für b > 2r findet kein Stoß statt. Wir wollen nun die Geschwindigkeiten und
die Bewegungsrichtungen der beiden Kugeln nach dem Stoß in Abhängigkeit vom Stoßparameter
berechnen.
Neben der Annahme der Energieerhaltung wollen wir ferner davon ausgehen, daß die Kugeln
ideal glatt sind, so daß keine Reibungskräfte beim Stoß auftreten. Der beim Stoß übertragene Impuls ist deshalb parallel zur Verbindungslinie der beiden Mittelpunkte, und dies muß auch die
Bewegungsrichtung der getroffenen Kugel nach dem Stoß. Der Winkel β (Abb. 3.3) ergibt sich
aus der Geometrie:
b
sin β = .
(3.14)
2r
Da der übertragene Impuls in der durch die Bewegungsrichtung und die Kugelmittelpunkte
definierten Ebene liegt, brauchen wir die dritte Dimension (z) nicht zu berücksichtigen. Die Impulserhaltung ergibt für die x-Richtung
0
vA = vA
cos α + vB0 cos β
(3.15)
(die Masse m wurde gekürzt) und für die y-Richtung
0
0 = vA
sin α − vB0 sin β.
(3.16)
Wenn wir die Gleichungen (3.15) und (3.16) quadrieren und addieren, erhalten wir
2
2
2
0
0 0
vB cos(α + β).
vA
= vA
+ vB0 + 2vA
Aus der Energieerhaltung folgt aber
2
2
2
0
vA
= vA
+ vB0 .
Damit ist cos(α + β) = 0 oder
α + β = π/2.
Die beiden Kugeln bewegen sich also rechtwinklig zueinander nach dem Stoß. Da wir nun α und
0 und v 0 aus (3.15) und (3.16) bestimmen, indem wir jeweils die andere
β kennen, können wir vA
B
Größe eliminieren. Das Ergebnis ist
s
b2
b
0
vA
= vA ,
vB0 = vA 1 − 2 .
2r
4r
3.4
Antworten zu den Fragen
Frage 3.1 Die Kraft, die auf eine Masse m wirkt ist mg. In einer Fallstrecke s leistet diese Kraft
die Arbeit W = mgs, und die geleistete Arbeit ist gleich der kinetischen Energie des Körpers. Mit
m =0,001 kg, g = 9,81 m s−2 und s =10 m erhalten wir W =0,0981 J.
40
KAPITEL 3. ARBEIT UND ENERGIE
Frage 3.2 Wenn die Verlängerung der Feder von l auf l + dl erhöht wird, erhöht sich die potentielle Energie Ep um die geleistete Arbeit, d.h.
dEp = F (l)dl
oder
dEp
dl
=
kl
.
L
Integration ergibt
Ep =
kl 2
+ C.
2L
Mit der Festlegung E(0) = 0 ist C = 0, d.h.
Ep =
kl 2
.
2L
√
Frage 3.3 Der Fehler entsteht durch das Ersetzen von 2(1 − cos θ) durch θ . Der relative Fehler in % ist daher
√
θ − 2(1 − cos θ)
1= √
· 100%.
2(1 − cos θ)
Die nachfolgende Tabelle zeigt einige berechnete Werte:
θ [◦ ]
1%
..
..
.
.
8 0,081
9 0,103
..
..
.
.
27 0,931
28 1,002
◦
Der Fehler ist also bis 27 weniger als 1% und bis 8◦ weniger als 0,1%.
Frage 3.4 Die Fragen lassen sich mit einfachen Argumenten beantworten, können aber auch als
Spezialfälle der Gleichung(3.11) behandelt werden:
(a) Nach dem Stoß bewegt sich die doppelte Masse mit (wegen Impulserhaltung) der halben Geschwindigkeit. Da die Masse linear, die Geschwindigkeit aber quadratisch in die kinetische
Energie eingeht, wird die Energie halbiert. Die Hälfte wird also in Wärme umgewandelt. In Gleichung (3.11) setzen wir mA = mB = m, vA = v und vB = 0. Wir erhalten dann
1
1
1Ek = − mv 2 = − Ek◦ ,
4
2
1
◦
2
wo Ek = 2 mv die kinetische Energie vor dem Stoß ist.
(b) Da alle Geschwindigkeiten nach dem Stoß Null sind, geht offenbar die ganze kinetische
Energie verloren. Um diesen Fall mit Gleichung (3.11) zu behandeln, setzen wir mA = m, vA = v,
vB = 0 und lassen mB gegen ∞ gehen. Mit mB m ist mB /(m + mB ) ≈ 1, und Gleichung (3.11)
ergibt
1
1Ek = − mv 2 = Ek◦ .
2
41
Kapitel 4
Bezugssysteme
4.1
Das Inertialsystem
Um die physikalischen Gesetze überprüfen zu können, benötigen wir ein Verfahren, mit dem
wir die Lagen von Objekten im Raum quantitativ zu einem bestimmten Zeitpunkt messen und angeben können. Mit anderen Worten, wir brauchen ein Bezugssystem, ein Längenstandard und
eine Uhr. Als Uhr“ im weitesten Sinne kann jedes System verwendet werden, das eine wohlde”
finierte periodische Veränderung aufweist, z.B. die Schwingungen eines Pendels oder einer Lichtwelle.
Um die Lage eines Punktes P im Raum angeben zu können, legen wir zunächst einen Ursprung O fest, und geben den Vektor r an, die O mit P verbindet, also
−→
r = OP .
Der Vektor r wird als Ortsvektor des Punktes P bezeichnet. Es gibt viele Möglichkeiten, Koordinatensysteme zu definieren, mit denen der Ortsvektor quantitativ beschrieben werden kann. Wir
werden uns zunächst auf das sog. kartesische Koordinatensystem beschränken, die wie folgt definiert wird: Ausgehend vom Ursprung O werden drei senkrecht zueinander stehenden Richtungen
OX, OY, OZ festgelegt, die als Koordinatenachsen bezeichnet werden. Jeder beliebige Ortsvektor r läßt sich als lineare Kombination der drei Einheitsvektoren (Vektoren mit der Länge 1) ex ,
ey , ez darstellen, die parallel zu den drei Koordinatenachsen verlaufen:
r = xex + yey + zez .
Die Zahlen (x, y, z) werden als Komponenten des Vektors r bezeichnet. Jeder Vektor—z.B. v, b,
p—kann durch seine Komponenten im gleichen Koordinatensystem beschrieben werden.
Zwei verschiedene kartesische Koordinatensysteme S, S 0 können sich durch
– die Lage des Ursprungs und/oder
– die Richtungen der Koordinatenachsen
voneinander unterscheiden. Zwischen den beiden Systemen kann man mit Hilfe einer geeigneten
Koordinatentransformation umrechnen. Die Gesetze der Mechanik (und auch alle anderen Gesetze der Physik) werden durch diese Koordinatentransformation nicht beeinflußt, wenn sie keine
Zeitabhängigkeit aufweist. Dies ist der Fall, wenn sich das System S 0 relativ zu S nicht bewegt.
Systeme, in denen die Gesetze der Mechanik in der üblichen“ Form gelten, heißen Inertialsyste”
me. Wenn wir ein Inertialsystem S gefunden haben, dann wissen wir, daß alle Systeme, die sich
42
KAPITEL 4. BEZUGSSYSTEME
relativ zu S nicht bewegen, auch Inertialsysteme sind. Sie sind von physikalischen Standpunkt alle
gleichwertig.
Ausgehend von einem Inertialsystem S wollen wir jetzt untersuchen, ob es unter den Systemen, die sich relativ zu S bewegen, auch Inertialsysteme gibt. Ferner soll untersucht werden,
welche Form die Gesetze der Mechanik in den Systemen annehmen, die nicht zu den Inertialsystemen gehören. Wir beginnen mit dem einfachsten Fall einer linearen Bewegung mit konstanter
Geschwindigkeit.
S sei ein Bezugssystem, in dem die Newtonschen Gesetze gültig sind. Wir betrachten nun ein
zweites System S 0 , das sich mit der Geschwindigkeit u = (u, 0, 0) in x-Richtung bewegt. Die
Koordinatenachsen der beiden Systeme seien parallel zueinander, und zum Zeitpunkt t = 0 fallen
die Ursprünge zusammen. Ein Punkt mit den Koordinaten (x, y, z) im System S hat im System S 0
die Koordinaten:
x 0 = x − ut;
y 0 = y;
z0 = z.
Die Geschwindigkeitskomponenten im System S 0 erhalten wir, indem wir die Ortskoordinaten x 0 ,
y 0 , z0 nach der Zeit differenzieren:
vx0 = vx − u;
vy0 = vy ;
vz0 = vz ,
oder in Vektorform
v 0 = v − u.
Nehmen wir an, daß ein Körper durch die Einwirkung einer Kraft F eine Beschleunigung
b im System S erfährt. Wie groß ist die Beschleunigung b0 im System S 0 ? Wir differenzieren
Gleichungen für die Geschwindigkeitskomponenten noch einmal und erhalten:
b0 = b.
Die Beschleunigungen sind also gleich, und die Newtonschen Gesetze nehmen in beiden Systemen
die gleiche Form an. Dies gilt auch dann, wenn die relative Geschwindigkeit u nicht parallel zur
x-Achse verläuft. Die Koordinatentransformation lautet dann allgemein
r 0 = r − u t.
Dies ist die sog. Galilei-Transformation. Alle Systeme, die sich mit konstanter Geschwindigkeit relativ zu einem Inertialsystem bewegen, sind ebenfalls Inertialsysteme. Anders ausgedrückt:
Die Gesetze der Physik sind gegenüber der Galilei-Transformation invariant.
Frage 4.1 Der Pilot eines Flugzeugs will auf einem bestimmten Kurs über Grund fliegen, um
sein Ziel zu erreichen. Sein Kompaß zeigt ihm die Flugrichtung gegenüber der Luft. Wenn
Wind herrscht, ist die Geschwindigkeit über Grund die Vektorsumme der Windgeschwindigkeit und die Fluggeschwindigkeit relativ zur Luftmasse. Das Navigationproblem besteht darin,
folgende Fragen zu beantworten:
1. Welchen Kurs muß er steuern, um die gewünschte Richtung über Grund einzuhalten?
2. Was ist seine Geschwindigkeit über Grund?
Überlegen Sie, wie diese Fragen mit Hilfe der Galilei-Transformation zu beantworten sind.
Ein beschleunigtes System ist dagegen kein Inertialsystem. Betrachten wir z.B. ein System S 0 ,
das gegenüber dem Inertialsystem S die konstante Beschleunigung b◦ hat. In S gilt
F = mb.
43
4.2. ROTIERENDE SYSTEME
In S 0 ist die Beschleunigung jedoch b − b◦ . Ein Beobachter in diesem System, der nichts von
der Beschleunigung wüßte, würde daraus schließen, daß er sich in einem Gravitationsfeld“ der
”
Stärke −b◦ befindet, da auf eine Masse m die Kraft mb◦ ausgeübt werden muß, um sie an einer
bestimmten Stelle im System S 0 festzuhalten. Durch das Einführen von solchen Scheinkräften“
”
ist es möglich, beschleunigte Systeme wie Inertialsysteme zu behandeln. Betrachten wir dazu ein
einfaches Beispiel:
Ein Glas Wasser steht in einem Wagen, der mit einer konstanten horizontalen Beschleunigung
b fährt. Um welchen Winkel neigt sich die Wasseroberfläche? Die Wasseroberfläche liegt immer
senkrecht zur resultierenden Kraft (Abb. 4.1). Die senkrechte Gravitationskraft ist mg und die
horizontale Scheinkraft beträgt −mb. Für den Neigungswinkel φ gilt also:
tan φ = b/g.
mb
Abbildung 4.1: Das Verhalten einer Wasseroberfläche in einem horizontal beschleunigten System. Die Wasseroberfläche stellt
sich senkrecht zur resultierenden Kraft, die
sich durch Vektoraddition der vertikalen
Gravitationskraft mg und der horizontalen
Scheinkraft mb ergibt.
4.2
φ
mg
b
F
Rotierende Systeme
Die Newtonschen Gesetze wurden aus astronomischen Beobachtungen geschlossen. Das La”
borsystem“ in dem wir unsere Praktikumsversuche machen, ist eigentlich kein Inertialsystem,
befindet es sich doch auf der rotierenden Erde. Jede Rotation bewirkt Beschleunigungen. Bei Bewegungen im Labormaßstab“ sind die Abweichungen vom Verhalten im Inertialsystem jedoch so
”
klein, daß sie meistens vernachlässigt werden können. Dies gilt jedoch nicht für Bewegungen über
viel größere Entfernungen auf der Erde. Zum Beispiel wird das dynamische Verhalten der Atmosphäre ganz entscheidend von den Scheinkräften der rotierenden Erde beeinflußt. Es wäre jedoch
unsinnig, die Luftbewegungen in einem Bezugssystem zu beschreiben, das sich nicht mit der Erde dreht. Wir wollen daher die Scheinkräfte, die in rotierenden Systemen auftreten, systematisch
untersuchen:
Die Systeme S (Inertialsystem) und S 0 (Abb. 4.2) haben eine gemeinsame (senkrecht zur Zeichenebene stehende) z-Achse, und das System S 0 dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω um
diese Achse. Im Anfang (t = 0) liegen die x- und x 0 -Achsen übereinander. Zum Zeitpunkt t bilden
sie den Winkel ωt.
44
KAPITEL 4. BEZUGSSYSTEME
Massenpunkt
y
x'
y'
Abbildung 4.2: Koordinaten in einem Inertialsystem S und einem rotierenden System S 0 . Die Drehachse ist die gemeinsame z-Achse. Die Masse hat die Koordinaten
(x, y, z) im System S und (x 0 , y 0 , z0 ) im System S 0 .
ωt
b
O
x
a
Ein Massenpunkt mit den Koordinaten (x, y, z) bzw. (x 0 , y 0 , z0 ) bewege sich im System S 0 mit
der Geschwindigkeit
v 0 = (vx0 , vy0 , vz0 ).
Wir berechnen nun die Beschleunigung des Massenpunktes im Inertialsystem S. Zwischen den
Ortskoordinaten in beiden Systemen bestehen mit cos ωt = a/x 0 und sin ωt = b/y 0 , sowie x =
a − b (siehe Abb. 4.2) die Beziehungen:
x = x 0 cos ωt − y 0 sin ωt,
y = x 0 sin ωt + y 0 cos ωt,
z = z0 .
Wir differenzieren diese Gleichungen und erhalten die Geschwindigkeitskomponenten:
vx = (vx0 − ωy 0 ) cos ωt − (vy0 + ωx 0 ) sin ωt
vy = (vx0 − ωy 0 ) sin ωt + (vy0 + ωx 0 ) cos ωt
(4.1)
vz = vz0 .
Schließlich differenzieren wir noch einmal, um die Beschleunigung zu bestimmen:
bx = (bx0 − 2ωvy0 − ω2 x 0 ) cos ωt − (by0 + 2ωvx0 − ω2 y 0 ) sin ωt
by = (bx0 − 2ωvy0 − ω2 x 0 ) sin ωt + (by0 + 2ωvx0 − ω2 y 0 ) cos ωt
(4.2)
bz = bz0 .
Die physikalische Interpretation der Gleichungen (4.2) läßt sich am besten für einfache Spezialfälle diskutieren:
Spezialfall 1: Im System S 0 ruht eine Masse an der Stelle (a, 0, 0). Mit b0 = 0, v 0 = 0 und
r 0 = (a, 0, 0) ergibt (4.2)
b = ω2 a(− cos ωt, − sin ωt, 0).
Dies ist eine Beschleunigung mit dem Betrag ω2 a, die zum Ursprung, d.h. zum Drehpunkt hin
gerichtet ist. Es handelt sich also um die bekannte Zentripetalbeschleunigung. Im System S
beschreibt die Masse eine kreisförmige Bahn. Um die Masse m im System S 0 an der gleichen Stelle
zu halten, muß auf die Masse m eine Kraft mb = mω2 a ausgeübt werden. Im rotierenden System
45
4.2. ROTIERENDE SYSTEME
beobachten wir also eine radiale, von der Drehachse weg gerichtete Scheinkraft, deren Stärke
proportional zur Entfernung vom Drehpunkt ansteigt. Diese Kraft wird als die Zentrifugalkraft
bezeichnet.
Spezialfall 2: Eine Masse m befindet sich am Ursprung des Systems S 0 und bewegt sich mit der
Geschwindigkeit u in Richtung der x 0 -Achse. In diesem Fall gilt b0 = 0, r 0 = 0 und v 0 = (u, 0, 0).
Aus (4.2) erhalten wir für die Beschleunigung in S
b = 2ωu (− sin ωt, cos ωt, 0).
Für die Geschwindigkeit ergibt (4.1)
v = u (cos ωt, sin ωt, 0).
Wenn man nun das Skalarprodukt b.v bildet, stellt man fest, daß es immer den Wert 0 hat. Da b
und v selbst verschieden von 0 sind, bedeutet dies, daß die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Im System S 0 beobachtet man also eine senkrecht zur Bewegungsrichtung gerichtete
Scheinkraft, die als Coriolis-Kraft1 bezeichnet wird. Wenn die Bewegung, wie im betrachteten
Spezialfall2 ,in einer zur Drehachse senkrecht stehenden Ebene stattfindet, hat die Coriolis-Kraft
den Betrag 2mωu und ist im Gegensatz zur Zentrifugalkraft ortsunabhängig.
Der Ursprung der Coriolis-Kraft läßt sich qualitativ mit Hilfe eines einfachen Gedankenexperiments verstehen: Sie befinden Sich im Mittelpunkt eines geschlossen, zylindrischen Raumes, der
sich um die Symmetrieachse dreht. Die Drehrichtung sei von Ihnen aus gesehen nach rechts. Einer
zweiten Person, die am Rand des Zimmers steht, werfen Sie einen Ball zu. Im Inertialsystem bewegt sich der Ball in einer senkrechten Ebene. Während der Flugzeit des Balls hat sich das Zimmer
jedoch etwas nach rechts gedreht, so daß der Ball den Empfänger nicht erreicht. Wenn Sie nichts
von der Drehung wissen, haben Sie den Eindruck, daß der Ball von einer mysteriösen Kraft—eben
der Coriolis-Kraft—nach links abgelenkt wurde.
Isobaren
T
FD
FC
Abbildung 4.3: Die Bewegung der Luft um
ein Tiefdruckgebiet unter dem Einfluß der
Druckkraft Fd und der Coriolis-Kraft Fc .
Die Windrichtung ist parallel zu den Isobaren, auf der Nordhalbkugel entgegen dem
Uhrzeigersinn (von oben betrachtet).
Als Beispiel für die Wirkung der Coriolis-Kraft in der Erdatmosphäre zeigt Abb. 4.3 ein Tiefdruckgebiet. Die geschlossenen Kurven sind Isobaren, d.h. Linien konstanten Drucks. Da der
1 Nach
2 Den
dem französischen Mathematiker Gustave Gaspard de Coriolis (1792–1843)
allgemeinen Fall behandeln wir gleich.
46
KAPITEL 4. BEZUGSSYSTEME
Druck zum Zentrum hin abnimmt, erfahren die Luftmoleküle zunächst eine radiale Kraft nach innen und werden in diese Richtung beschleunigt. Aufgrund der Erdrotation entsteht aber dann eine
Coriolis-Kraft, die die Luftmassen auf der nördlichen Halbkugel nach rechts—und entsprechend
auf der südlichen Halbkugel nach links—ablenkt. Schließlich wird ein Gleichgewicht zwischen
Druckgradient und Coriolis-Kraft erreicht, wobei die Luftbewegung (Wind) kreisförmig um das
Zentrum des Tiefdruckgebietes verläuft. Diese Luftbewegung wird als der geostrophische Wind
bezeichnet.
Der allgemeine Fall: Wir wollen nun eine ganz allgemeine Drehgeschwindigkeit ω des Systems S 0 gegenüber dem Inertialsystem S betrachten. Als einzige—unwesentliche—Einschränkung nehmen wir an, daß der gemeinsame Ursprung beider Koordinatensysteme auf der Drehachse
liegt. Aus der im Abschnitt 1.3 gegebenen Definition des Vektors ω folgt, daß ein im System S 0
ruhender Punkt mit dem Ortsvektor r die Geschwindigkeit
v =ω×r
im Inertialsystem besitzt. In einem Zeitintervall δt beträgt die Änderung des Vektors r im System
S
δr = ω × r δt.
Daraus können wir die zeitliche Ableitung von r definieren:
δr
= ω × r.
δt→0 δt
ṙ = lim
(4.3)
Analog zu (4.1) und (4.2) wollen wir jetzt die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung b
im Inertialsystem S für einen Massenpunkt angeben, der sich im rotierenden System S 0 mit der
Geschwindigkeit v 0 bewegt. Dabei werden wir als Hilfsgrößen die im Abschnitt 4.1 eingeführten
Einheitsvektoren ex , ey , ez bzw. (in S 0 ) ex0 , ey0 , ez0 verwenden.
Der Ortsvektor des betrachteten Massenpunktes läßt sich als lineare Kombination der Einheitsvektoren des Systems S 0 darstellen:
r 0 = x 0 ex0 + y 0 ey0 + z0 ez0 .
(4.4)
Um die Geschwindigkeit zu bestimmen, müssen wir diesen Ausdruck nach der Zeit differenzieren,
wobei wir berücksichtigen müssen, daß die Einheitsvektoren ex0 , ey0 , ez0 nicht konstant sind, da sie
sich drehen. Wenn wir jeden dieser Vektoren für r in (4.3) einsetzen, erhalten wir
ėx0 = ω × ex0
usw.
Die Ableitung von (4.4) ist also (mit ẋ 0 = vx0 usw.)
v = vx0 ex0 + vy0 ey0 + vz0 ez0 + ω × (x 0 ex0 + y 0 ey0 + z0 ez0 )
oder in der komponentenunabhängigen Vektorschreibweise
v = r˙0 = v 0 + ω × r 0 .
Hierbei bedeutet v 0 die Geschwindigkeit des Massenpunktes im System S 0 . Um die Beschleunigung zu erhalten, müssen wir diese Gleichung noch einmal differenzieren:
b=
d 0
(v + ω × r 0 ).
dt
(4.5)
47
4.2. ROTIERENDE SYSTEME
Die Ableitung von v 0 erhalten wir durch Anwendung der gleichen Regeln wie bei der Ableitung
von r 0 :
v̇ 0 =
d 0 0
(vx ex + vy0 ey0 + vz0 ez0 ) = (v̇x0 ex0 + v̇y0 ey0 + v̇z0 ez0 ) + ω × v 0 = b0 + ω × v 0 ,
dt
(4.6)
wobei b0 die Beschleunigung des Massenpunktes relativ zum System S 0 bedeutet. Die Ableitung
von (ω × r 0 ) ist
ω × ṙ 0 = ω × (v 0 + ω × r 0 ).
(4.7)
Durch Einsetzen von (4.6) und (4.7) in (4.5) erhalten wir
b = b0 + 2ω × v 0 + ω × (ω × r 0 ).
Die physikalische Bedeutung dieser Gleichung läßt sich am besten erklären, wenn wir die Terme
umordnen und mit der Masse m multiplizieren, um die Kräfte erkennbar zu machen:
mb0 = mb − 2mω × v 0 − mω × (ω × r 0 ).
bzw.
F 0 = F + Fc + Fz .
Die im System S 0 beobachtete Beschleunigung wird durch eine Kraft F erklärt“, die sich
”
ergibt als Summe der tatsächlichen—auch im Inertialsystem vorhandenen—Kraft
F = mb
und der Scheinkräften Coriolis-Kraft
Fc = −2mω × v 0
(4.8)
Fz = −mω × (ω × r 0 ).
(4.9)
bzw. Zentrifugalkraft
Beispiel: Wir wollen uns zum Schluß noch mit der Frage beschäftigen, wie groß die durch
die Erdrotation verursachten Zentrifugal- und Coriolis-Kräfte im Vergleich zur Anziehungskraft
der Erde sind. Wir werden also die Beträge der Beschleunigungen mit der Fallbeschleunigung g
vergleichen.
Wir betrachten einen Zug, der mit 100 km h−1 in nördlicher Richtung fährt und sich gerade
Breitengrad θ (N) befindet (Abb. 4.4).
Aus (4.9) ergibt sich für die Zentrifugalbeschleunigung:
bz = Fz /m = ω × (ω × r 0 ).
Der Vektor bz steht senkrecht zur Drehachse und zeigt von ihr weg. Nach Ausführen der beiden
Vektorprodukte erhält man für den Betrag von bz
bz = ω2 RE cos θ
(RE = Erdradius). Der Maximalwert (am Äquator) ist ca. 0,03 m s−2 und damit viel kleiner als die
Gravitationsbeschleunigung (9,81 m s−2 ).
48
KAPITEL 4. BEZUGSSYSTEME
v'
θ
N
ω
θ
Abbildung 4.4: Geschwindigkeitsvektor v 0
eines auf der Erdoberfläche fahrenden Zuges
im rotierenden Bezugssystem der Erde. Der
Winkel θ zwischen v 0 entspricht dem Breitengrad.
S
Der Betrag der Coriolis-Beschleunigung ergibt sich aus (4.8) zu
bc = 2ωv 0 sin θ.
Diese Beschleunigung hat für horizontale Bewegungen ein Maximum am Pol (θ = π/2). Für
die Geschwindigkeit 100 km h−1 (27,78 m s−1 ) hat die Coriolis-Beschleunigung den maximalen
Wert 0,004 m s−2 und ist damit noch eine Größenordnung kleiner als die Zentrifugalbeschleunigung. Bewegt sich der Zug nicht nach Norden, sondern Ost-West, so ist der Vektor v 0 senkrecht
zu ω, und der Betrag der Coriolis-Beschleunigung ist gleich 2ωv 0 . Sie ist aber nicht horizontal,
sondern macht einen Winkel θ mit dem lokalen Erdradius. Die horizontale Komponente ist daher 2ωv 0 sin θ . Für eine beliebige Richtung, können wir den Vektor v 0 in eine Nord-Ost- und eine
Ost-West-Komponente aufspalten, und erhalten dann immer den Faktor sin θ in der horizontalen
Komponente der Coriolis-Beschleunigung. Der Betrag der horizontalen Komponente hat also immer den Wert 2ωv 0 sin θ .
Frage 4.2 In einer Wetterkarte werden die Isobaren typischerweise alle 5 hPa dargestellt. Aus
den Abstand der Isobaren in km können die Meteorologen die geostrophische Windgeschwindigkeit ermitteln. Können Sie die Formel dafür angeben?
4.3
Antworten zu den Fragen
Frage 4.1 Im Rahmen dieses Problems kann die Rotation der Erde vernachlässigt werden. Wir
definieren zwei Inertialsysteme“: S, S 0 , mit
”
x, x 0 k Ost, y, y 0 k Nord, z, z0 vertikal.
S ist das System, in dem die Luft ruht, und S 0 ist das mit der Erde gebundene System. Die Bewegung von S 0 relativ zu S (u) ist die negative Windgeschwindigkeit. Gegeben sind folgende
Größen:
– Der Kurs über Grund, dargestellt als der Winkel zwischen Nord und der Kurslinie (β 0 ) in
Abb. 4.5.
– Der Betrag der Eigengeschwindigkeit des Flugzeugs (v).
49
4.3. ANTWORTEN ZU DEN FRAGEN
N
v'
v
β'
β
α
W
u
x
Abbildung 4.5: Darstellung der verschiedenen Geschwindigkeitsvektoren für das Navigationsproblem: v = Geschwindigkeit relativ zur Luft, v 0 = Geschwindigkeit über
Grund, u = negative Windgeschwindigkeit.
Zu bestimmen sind β und v 0 .
O
S
– Der Betrag der Windgeschwindigkeit (u).
– Die Windrichtung, dargestellt als der Winkel zwischen Nord und der Richtung, aus der der
Wind kommt (α in Abb. 4.5).
Zu bestimmen sind:
– Der Steuerkurs des Flugzeugs, d.h. der Winkel β zwischen Nord und v.
– Der Betrag der Geschwindigkeit über Grund (v 0 ).
Die Komponenten der im Abb. 4.5 dargestellten Vektoren sind
v 0 = v 0 (sin β 0 , cos β 0 , 0),
v = v(sin β, cos β, 0).
u = u(sin α, cos α, 0).
Aus der Galilei-Transformation v 0 = v − u folgt:
v 0 sin β 0 = v sin β − u sin α
v 0 cos β 0 = v cos β − u cos α
(4.10)
(4.11)
Wenn wir v 0 aus (4.10) und (4.11) eliminieren, erhalten wir
(v sin β − u sin α) cos β 0 = (v cos β − u cos α) sin β 0 ,
oder
v sin(β − β 0 ) = u sin(α − β 0 ).
Die gesuchte Lösung für β ist damit
β = β 0 − arcsin
hu
v
i
sin(α − β 0 ) .
Die Lösung für v 0 erhalten wir, wenn wir die Gleichungen (4.10) und (4.11) quadrieren und addieren:
v 0 = v 2 + u2 − 2uv cos(α + β).
50
KAPITEL 4. BEZUGSSYSTEME
Frage 4.2 Betrachten wir die Bewegung eines würfelförmigen Luftpakets mit einer Kantenlänge von 1 m. Die Masse ist gleich ρ (= Luftdichte), und bei einer Windgeschwindigkeit w
beträgt die Horizontalkomponente der Coriolis-Kraft 2ρwω sin θ. Aus den Abstand der Isobaren
dP
kann man den Druckgradienten
bestimmen. Im Gleichgewicht müssen die Kräfte gleich sein,
dx
d.h.
dP
= 2ρwω sin θ
dx
bzw.
dP
dx
w=
.
2ρω sin θ
Die Luftdichte ist in niedriger Höhe bei 15◦ C1,225 kg m−3 , und die Drehgeschwindigkeit der Erde
ist ω = 7,27 · 10−5 s−1 .
51
Kapitel 5
Der Harmonische Oszillator
In diesem Kapitel wollen wir ein relativ einfaches System beschreiben, welches in der Natur
an vielen Stellen eine Rolle spielt: Die Bewegung eines schwingenden Teilchens, auf das mathematisch einfach beschreibbare Kräfte wirken. Wie läßt sich die Gesamtheit dieser Schwingungsvorgänge physikalisch so beschreiben, daß man für jedes konkrete System die Bewegungsgleichung eines in diesem schwingenden Massenpunktes angeben kann?
Alles ist eigentlich im Prinzip bereits klar, wenn man nur
mr̈ =
X
Fi
i
setzt, wobei r der Ortsvektor des Massenpunktes, m die Masse und die Fi alle auf den Massenpunkt
wirkende Kräfte sind. Für Spezialisten ist es natürlich möglich jetzt mit dem im dreidimensionalen
Raum definierten Ortsvektor weiterzurechnen. Wir wollen aber einen typischen Trick der Physik
anwenden: Wir betrachten die gesamte Bewegung zunächst nur in einer Dimension und können
uns später fragen, was sich ändert, wenn wir weitere Komponenten zulassen.
x
Abbildung 5.1: Beispiel für einen harmonischen Oszillator: eine auf einer Feder aufgehängte Masse m. Die von der Feder auf
die Masse ausgeübte Kraft ist proportional
zur Auslenkung aus der Ruhelage.
0
m
52
KAPITEL 5. DER HARMONISCHE OSZILLATOR
5.1
Die freie Schwingung
Das einfachste mechanische Modell des sog. harmonischen Oszillators ist eine an einer Feder
aufgehängte Masse m. Die Lage der Masse wird durch die Koordinate x beschrieben (Abb. 5.1).
Wird die Masse aus der Ruhelage (x = 0) gebracht, so erfährt sie eine Rückstellkraft F , die
proportional zur Auslenkung x, aber entgegengesetzt gerichtet ist:
F = −Dx,
wobei D die Federkonstante ist. Die Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes liefert für
diesen Fall:
mẍ = −Dx.
(5.1)
Um x(t) angeben zu können, suchen wir eine allgemeine Lösung von (5.1). Wie hier nicht
bewiesen werden kann1 , kann die allgemeine Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung als eine lineare Kombination zweier linear unabhängiger spezieller
Lösungen dargestellt werden.
Frage 5.1 Welche der Ihnen bekannten Funktionen sind Lösungen von (5.1)? Mit anderen
Worten: Welche Funktionen haben die Eigenschaft, daß sie (bis auf einen Faktor) die gleiche
Funktion ergeben, wenn sie zweimal differenziert werden?
Eine mögliche Lösung dieser Gleichung ist
x = sin ω◦ t.
(5.2)
Einsetzen in (5.1) ergibt eine Beziehung zwischen der Kreisfrequenz ω◦ und den Parametern m
und D:
ω◦2 = D/m.
(5.3)
Die Lösung (5.2) ist eine periodische Schwingung mit der Periode
r
m
2π
T =
= 2π
.
ω◦
D
Eine zweite, von (5.2) linear unabhängige Lösung der Bewegungsgleichung (5.1) ist
x = cos ω◦ t.
(5.4)
Für diese Lösung gilt auch die Beziehung (5.3). Die allgemeine Lösung der Gleichung (5.1) ist
eine lineare Kombination der speziellen Lösungen (5.2) und (5.4), also:
x(t) = A sin ω◦ t + B cos ω◦ t.
(5.5)
Die Konstanten A und B sind durch die Anfangsbedingungen gegeben. Dazu braucht man im
allgemeinen auch die Gleichung für die Geschwindigkeit, die man durch Ableitung von (5.5) bekommt
ẋ(t) = ω◦ A cos ω◦ t − ω◦ B sin ω◦ t.
(5.6)
53
5.1. DIE FREIE SCHWINGUNG
Frage 5.2 Bestimmen Sie A und B in (5.5) für folgenden sehr einfachen Fall: x(0) = x◦ ,
ẋ(0) = 0. (Dies ist der Fall, wenn Sie den Massenpunkt in Abb. 5.1 an die Stelle x = x◦
bringen und dort einfach loslassen.)
Wichtiger Hinweis: Jede Lösung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung ist stets
bis auf zwei Konstanten bestimmt. Diese beiden Konstanten ergeben sich, indem man
den Ort und die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt festlegt.
Die einfachste Festlegung ist natürlich die Angabe der Anfangsbedingungen, d.h. des Orts und
der Geschwindigkeit zur Zeit t = 0.
Beispiel: Die Masse befindet sich zum Zeitpunkt t = 0 in der Ruhelage und erhält dort durch
einen Stoß die Anfangsgeschwindigkeit v◦ . Die Anfangsbedingungen lauten:
x(0) = 0;
ẋ(0) = v◦ .
Einsetzen in (5.5) und (5.6) ergibt
B = 0;
Die Lösung also ist in diesem Fall
x=
A = v◦ /ω◦ .
v◦
sin ω◦ t.
ω◦
Frage 5.3 Wie macht sich eine Veränderung der Masse in Amplitude und Kreisfrequenz
bemerkbar?
Eine alternative Darstellung der allgemeinen Lösung (5.5) ist
x = a cos(ω◦ t + φ).
(5.7)
Die in dieser Gleichung enthaltenen Parameter a (Amplitude) und φ (Phase) werden ebenfalls durch die Anfangsbedingungen bestimmt. Sie sind mit den Parametern A und B der Gleichung (5.5) durch folgende Beziehungen verknüpft:
A = −a sin φ;
B = a cos φ.
Die Anfangsbedingungen des oben behandelten Beispiels ergeben:
a = v◦ /ω◦ ;
φ = −π/2.
Mit diesem Applet:
http://www.ifp.uni-bremen.de/ryder/lv/applets/phd/federpendelplain.html
können Sie die Schwingungen eines Federpendels mit unterschiedlichen Massen und
Federstärken simulieren.
Die Form (5.7) der allgemeinen Lösung kann als die x-Komponente einer kreisförmigen Bewegung in der x-y-Ebene (Abb. 5.2) dargestellt werden. Der Punkt P bewege sich mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit ω◦ auf einem Kreis mit dem Radius a. Der Ausgangspunkt bei t = 0
sei Q. Ist φ der Winkel zwischen OQ und der x-Achse, dann ist der Winkel zwischen OP und
der x-Achse ω◦ t + φ. Die Projektion OP0 der Linie OP auf die x-Achse ist a cos(ω◦ t + φ). Die
Bewegung dieses Punktes wird also durch die Gleichung (5.7) beschrieben.
1 Siehe
z.B. R. Courant, Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, Band 2, Kap. 6.
54
KAPITEL 5. DER HARMONISCHE OSZILLATOR
y
a
P
Q
ωt
Abbildung 5.2: Darstellung einer harmonischen Schwingung als Projektion einer
Kreisbewegung mit der Winkelgeschwindigkeit ω◦ auf die x-Achse.
φ
O
P'
a
x
Hier ist ein Java-Applet:
http://didaktik.physik.uni-wuerzburg.de/˜pkrahmer/ntnujava/shm/shm.html,
das den Zusammenhang zwischen Kreisbewegung und harmonischen Schwingungen demonstriert.
5.2
5.2.1
Freie, gedämpfte Schwingungen
Kleine Dämpfung
Die Bewegung des frei schwingenden Massenpunktes, den wir im vorigen Abschnitt besprochen haben, gibt es in der physikalischen Realität nicht. Wir wissen aus Erfahrung, daß eine solche Bewegung nicht für alle Zeiten eine harmonische Schwingung darstellt. Vielmehr klingt die
Schwingung ab, der Körper kommt irgendwann zur Ruhe. In dem einfachen Modell (Abb. 5.1)
kommt der Körper in einer Gleichgewichtslage zur Ruhe. Wir wollen im folgenden versuchen,
dieses Abklingen“ physikalisch zu präzisieren. Dazu muß die Bewegungsgleichung um eine Wi”
derstandskraft erweitert werden.
Die Widerstandskraft wird von der Geschwindigkeit abhängen; die genaue Form der
Abhängigkeit hängt jedoch vom System ab. Der Luftwiderstand, der auf ein Auto wirkt, ist z.B.
proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit, während ein Körper, der sich langsam in einer
zähen Flüssigkeit bewegt, eine Kraft erfährt, die proportional zur Geschwindigkeit ist. Wir wollen
hier den Fall der linearen Abhängigkeit behandeln, aus dem einfachen Grund, daß nur dieser Fall
analytisch lösbar ist. Andere Fälle können jedoch numerisch gelöst werden. Fügen wir eine solche
Dämpfungs- bzw. Reibungskraft in die Gleichung (5.1) ein, so ergibt sich
mẍ + r ẋ + Dx = 0.
(5.8)
Es läßt sich leicht zeigen, daß Funktionen der Form (5.5) oder (5.7) keine Lösungen der Differentialgleichung (5.8) darstellen. (Probieren Sie diese Lösungen!) Für eine kleine Dämpfung, die als
kleine Störung der harmonischen Bewegung betrachtet werden kann, erwarten wir—aus physikalischen Gründen—eine harmonische Schwingung mit zeitabhängiger Amplitude. Wir versuchen
deshalb eine Lösung der Form:
x(t) = f (t) sin ωt,
(5.9)
55
5.2. FREIE, GEDÄMPFTE SCHWINGUNGEN
wobei ω und f (t) zu bestimmen sind.
Bevor Sie der hohen“ Mathematik folgen, versuchen Sie, graphisch darzustellen, wie
”
die Funktion f (t) der Gleichung (5.9) qualitativ aussehen könnte.
Um f (t) zu bestimmen, setzen wir (5.9) in (5.8) ein und hoffen, daß uns dies zu einer Lösung
führt. Zunächst werden die Differentialkoeffizienten gebildet:
ẋ = f˙ sin ωt + ωf cos ωt
ẍ = (f¨ − ω2 f ) sin ωt + 2ωf˙ cos ωt.
In Gleichung (5.8) dividieren wir durch m und ersetzen D/m durch ω◦2 (ω◦ = Kreisfrequenz der
ungedämpften Schwingungen):
r
ẍ + ẋ + ω◦2 x = 0.
(5.10)
m
Wenn wir den Lösungsansatz und die Ableitungen in (5.10) einsetzen, erhalten wir:
h
i
h
r ˙
r i
2
2
¨
˙
f + f + (ω◦ − ω )f sin ωt + ω 2f + f cos ωt = 0.
m
m
Diese Gleichung muß für alle Werte von t gelten. Daraus folgt die Bedingung, daß die beiden in
Klammern stehenden Ausdrücke jeweils für sich identisch gleich Null sein müssen:
r
f¨ + f˙ + (ω◦2 − ω2 )f = 0
m
r
2f˙ + f = 0.
m
(5.11)
(5.12)
Die Lösung der Gleichung (5.12) ist
f (t) = e−t/τ
mit
τ = 2m/r.
Die Funktion f ist also eine exponentiell abklingende Funktion mit der Zeitkonstante τ . Die gesuchte Lösung der Gleichung (5.8)—eine spezielle Lösung—ist eine harmonische Schwingung
mit exponentiell abklingender Amplitude:
x = e−t/τ sin ωt.
Der Parameter τ hat die Dimension Zeit und ist ein Maß für die Abklingzeit. In jedem Zeitintervall
τ nimmt die Amplitude im Verhältnis 1 : e ab.
Die Kreisfrequenz läßt sich aus Gleichung (5.11) ermitteln. Mit f = e−t/τ ist f˙ = −f/τ und
f¨ = f/τ 2 . Wir setzen für diese Ausdrücke in (5.11) ein und erhalten für ω
q
ω = ω◦2 − 1/τ 2 .
(5.13)
Die Dämpfung bewirkt demnach eine Verringerung der Frequenz gegenüber der ungedämpften
Schwingung. In der Näherung τ ω◦ 1 (kleine Dämpfung) können wir diese Änderung jedoch
vernachlässigen.
Auf ähnliche Weise läßt sich zeigen, daß auch die Funktion
x = e−t/τ cos ωt
56
KAPITEL 5. DER HARMONISCHE OSZILLATOR
eine möglich (spezielle) Lösung der Differentialgleichung (5.8) ist. (Probieren Sie es!) Die allgemeine Lösung ergibt sich wieder als Linearkombination zweier spezieller Lösungen:
x = e−t/τ (A sin ωt + B cos ωt) .
(5.14)
Als Beispiel betrachten wir die Lösung (5.14) für die Anfangsbedingungen x(0) = 0 und
ẋ(0) = v◦ . Wir erhalten B = 0 und A = v◦ /ω, also
x=
v◦ −t/τ
e
sin ωt.
ω
5.2.2 Große Dämpfung
Bei der physikalischen Diskussion der allgemeinen Lösung (5.14) haben Sie sicherlich gemerkt, √
daß diese Lösungsform zu Schwierigkeiten führt, sobald die Dämpfungskonstante r den
Wert 2 Dm überschreitet (τ ω◦ < 1), da die Kreisfrequenz ω in diesem als Quadratwurzel einer
negativen Zahl erscheint. Diejenigen von Ihnen, die Erfahrung im Umgang mit komplexen Zahlen haben, werden vielleicht trotzdem die richtige Lösung gefunden haben. Wenn wir uns aber auf
reelle Zahlen beschränken wollen, müssen wir einen neuen Lösungsansatz finden.
Als Lösung der Gleichung (5.10) für große Dämpfung probieren wir eine Exponentialfunktion
x = eλt . Einsetzen in (5.10) ergibt
2
λ2 + λ + ω◦2 = 0.
τ
Diese Gleichung hat die zwei Lösungen:
1
λ1 = − +
τ
r
1
− ω◦2 ;
τ2
1
λ2 = − −
τ
r
1
− ω◦2 .
τ2
Entsprechend gibt es für x(t) zwei linear unabhängige Lösungen. Die allgemeine Lösung lautet in
diesem Fall
x = A exp(λ1 t) + B exp(λ2 t)
(5.15)
Bevor Sie weiterlesen, untersuchen Sie selbst die Lösung (5.15) für verschiedene Anfangsbedingungen und Reibungswerte.
Man kann leicht sehen, daß die Funktion (5.15) keine periodische Schwingung darstellt. Nehmen wir als Beispiel die Anfangsbedingungen x(0) = x◦ und ẋ(0) = 0. Sie ergeben die Lösung
x=
x◦ λ2 exp(λ1 t) + λ1 exp(λ2 t) .
λ2 − λ1
Da λ1 und λ2 beide negativ sind, kann x in diesem Fall nie Null werden. Wenn die Anfangsgeschwindigkeit Null ist, bleibt die Masse also immer auf der selben Seite der Gleichgewichtslage,
die exponentiell angenähert wird.
57
5.3. ERZWUNGENE SCHWINGUNGEN
5.2.3
Kritische Dämpfung
Wenn es gilt, eine möglichst rasche Einstellung eines schwingfähigen Systems in einen neuen
Zustand zu erreichen2 , so darf die Dämpfung weder zu klein noch zu groß sein. Bei sehr kleiner
Dämpfung würde das System zu oft hin- und herschwingen, bei sehr großer Dämpfung würde es
sehr langsam zur neuen Gleichgewichtslage kriechen“. Ein guter Kompromiß ist der sog. ape”
”
riodische Grenzfall“ ω◦ = 1/τ bzw. r 2 = 4Dm. Leider geben unsere bisherigen Lösungsansätze
(wegen ω = 0 bzw. λ1 = λ2 ) jeweils nur eine spezielle Lösung (x = e−t/τ ). Für die allgemeine
Lösung brauchen wir also eine zweite spezielle Lösung.
Gleichung (5.10) hat im aperiodischen Grenzfall die Form
2
1
ẍ + ẋ + 2 x = 0.
τ
τ
Es läßt sich leicht zeigen, daß die Funktion te−t/τ eine weitere Lösung dieser Differentialgleichung
ist. Die allgemeine Lösung lautet also
x = (A + Bt)e−t/τ .
Mit diesem Applet:
http://www.netzmedien.de/software/download/java/oszillator/index.html
können Sie den Einfluß der Dämpfung in einer Simulation untersuchen. (In diesem Applet ist k = 1/τ ). Setzen Sie m = 1 kg und D = 16 N m−1 . Die Kreisfrequenz der
ungedämpften Schwingung ist ω◦ =?. Die kritische Dämpfung ist bei k =? Untersuchen
Sie das Verhalten bei schwacher Dämpfung, in der Nähe der kritischen Dämpfung und
bei starker Dämpfung. [Alle numerischen Eingaben müssen mit quittiert werden.]
5.3
Erzwungene Schwingungen
In der Physik werden häufig Systeme betrachtet, die in sich schwingfähig sind und auf die
zusätzlich von außen eine periodische Kraft wirkt (z.B. schwingendes Molekül in einem periodischen Feld, Ladungs- bzw. Stromschwingungen in elektrischen Schaltkreisen).
In der BewegungsP
gleichung, die wir am Anfang dieses Kapitels allgemein als mẍ = i Fi angegeben haben, kommt
jetzt (bei linearen Bewegungen) ein Glied
F (t) = F◦ cos ωt
hinzu. Die Frequenz der antreibenden Kraft (ω) kann beliebig sein. Die Bewegungsgleichung bei
erzwungener Schwingung lautet also
2
ẍ + ẋ + ω◦2 x = B cos ωt.
τ
mit
2m
,
τ=
r
2 Beispiel:
Drehspulmeßinstrument.
r
ω◦ =
D
m
und
(5.16)
B=
F◦
.
m
58
KAPITEL 5. DER HARMONISCHE OSZILLATOR
Eine derartige Differentialgleichung, die neben der Funktion x(t) und ihren Ableitungen noch weitere Glieder (hier die rechte Seite) enthält, nennt man eine inhomogene Differentialgleichung. Die
Lösung dieser Differentialgleichungen bereitet bereits einige ernste Schwierigkeiten; eine allgemeine Aussage über die Form der allgemeinen Lösung soll hier jedoch angeführt werden:
Man sucht zunächst die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung (in diesem
Fall mit F◦ = 0) und eine beliebige Lösung der inhomogenen Differentialgleichung. Die Summe
dieser beiden Funktion ist die gesuchte allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung3 .
In unserem Falle lautet also die Lösung
x(t) = xh (t) + xi (t),
wobei xh (t)—je nach Dämpfung—eine der uns schon bekannten Lösungen für die freie Schwingung ist. Die Funktion xi (t) müssen wir uns jedoch irgendwie beschaffen; dabei braucht xi (t)
keine wählbaren Konstanten zu enthalten, weil diese schon in xh (t) enthalten sind.
Können wir aus physikalischen Überlegungen raten“, welche Form die Funktion xi (t) haben
”
müßte? Zunächst können wir feststellen, daß die Funktion xh (t) immer mit der Zeit abklingt, da sie
Faktoren der Form e−t/τ enthält. Wenn wir lang genug warten, sehen wir also nur noch das durch
xi (t) dargestellte Verhalten. Die Funktion xh (t) beschreibt nur das Einschwingen“ des Systems
”
nach dem Einschalten“ der Kraft. Das Langzeitverhalten ist von den Anfangsbedingungen un”
abhängig. (Deshalb enthält xi (t) keine Integrationskonstanten). Es ist zu erwarten, daß das System
schließlich mit der von der antreibenden Kraft vorgegebenen Frequenz ω schwingt. Wir probieren
daher eine uns schon bekannte Funktion als Lösung:
xi = a cos(ωt − φ),
wobei die Amplitude a und die Phase φ (relativ zur Kraft) noch zu bestimmen sind. Wenn wir
diese Funktion in Gleichung (5.16) einsetzen, erhalten wir:
h
i
B
ω
ω
2
2
2
2
cos ωt + (ω◦ − ω ) sin φ − 2 cos φ sin ωt = 0.
(ω◦ − ω ) cos φ + 2 sin φ −
τ
a
τ
Da die Koeffizienten von cos ωt und sin ωt beide Null sein müssen, gelten die Gleichungen
ω
B
sin φ − = 0
(5.17)
τ
a
ω
(ω◦2 − ω2 ) sin φ − 2 cos φ = 0
(5.18)
τ
Gleichung (5.18) ergibt den Phasenwinkel φ in Abhängigkeit von der Frequenz ω und den Parametern ω◦ und τ des harmonischen Oszillators:
(ω◦2 − ω2 ) cos φ + 2
tan φ =
2ω
.
τ (ω◦2 − ω2 )
(5.19)
Um die Amplitude a zu bestimmen, müssen wir φ aus der Gleichung (5.17) eliminieren. Aus (5.19)
folgt
sin φ = p
cos φ = p
3 Siehe
2ω
τ 2 (ω◦2 − ω2 )2 + 4ω2
τ (ω◦2 − ω2 )
τ 2 (ω◦2 − ω2 )2 + 4ω2
,
.
z.B. R. Courant, Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, Bd. 1, Kap. 10 §3 oder G. Joos,
Theoretische Physik, I §9.
59
5.4. ENERGIEBETRACHTUNGEN
Einsetzen in (5.17) ergibt schließlich für die Amplitude der erzwungenen Schwingung
a=p
Bτ
τ 2 (ω◦2 − ω2 )2 + 4ω2
(5.20)
Abb. 5.3 zeigt, wie sich die Phase φ und die Amplitude a ändern, wenn die Frequenz ω der
antreibenden Kraft verändert wird. Wenn man den Nenner in Gleichung (5.20) nach ω ableitet,
zeigt sich, daß die Amplitude ein Maximum bei
ω=
q
ω◦2 − 2/τ 2 .
(Dies ist nicht die Frequenz der freien, gedämpften Schwingungen, vgl. Gleichung (5.13)). Bei
kleiner Dämpfung ist das Maximum nahe bei ω ≈ ω◦ . Dieses Phänomen heißt Resonanz. Der
Phasenunterschied zwischen der antreibenden Kraft und der Schwingung ist im Resonanzfall π/2,
was einer Viertelperiode entspricht. Dies bedeutet, daß die Kraft immer in Richtung der jeweiligen
Bewegung wirkt und ein Maximum im Nulldurchgang hat.
Hier ist ein Applet:
http://www.ifp.uni-bremen.de/ryder/lv/applets/phd/resonanzplain.html,
mit dem Sie alle Aspekte einer erzwungenen Schwingung in einer Simulation untersuchen können.
5.4
Energiebetrachtungen
In den Abschnitten 5.1 bis 5.3 haben wir den harmonischen Oszillator durch eine Bewegungsgleichung charakterisiert und jeweils die Funktion x(t) ermittelt und untersucht. Dies ist ein Verfahren, Aussagen über ein System zu gewinnen. Häufig erweist es sich in der Physik allerdings
zunächst als sinnvoll, die Energiebilanz eines Systems unter verschiedenen Bedingungen zu betrachten. Diese erlaubt bereits wichtige Aussagen über das System.
Wir berechnen nun die potentielle und kinetische Energie eines harmonischen Oszillators in
Abhängigkeit von der Zeit und im zeitlichen Mittel. Die potentielle Energie ergibt sich aus der
Arbeit, die benötigt wird, um die Auslenkung x zu erzeugen.
Z
Ep =
1
Dx dx = Dx 2 + C.
2
Setzen wir Ep = 0 für x = 0, so ist C = 0. Die kinetische Energie ist
1
Ek = mẋ 2 .
2
Somit erhalten wir für die Gesamtenergie eines harmonischen Oszillators:
E=
1 2
Dx + mẋ 2 .
2
60
KAPITEL 5. DER HARMONISCHE OSZILLATOR
Amplitude a
10
8
ωτ= 100
6
10
4
5
1
2
0
0
Phase φ
π
Abbildung 5.3: Amplitude (oben) und Phase (unten) eines harmonischen Oszillators
als Funktion der Frequenz ω der antreibenden Kraft für verschiedene Werte des
Dämpfungsparameters τ . Die Resonanz ist
ausgeprägter, je kleiner die Dämpfung.
0
0
1
ω/ω
2
1
ω/ω
2
ωτ= 100
10
1
5
5.5. SCHWINGUNGEN KOMPLEXERER SYSTEME
61
Setzt man für x(t) die allgemeine Lösung (5.7) für den ungedämpften Fall ein, so ergibt sich
allgemein
Da 2
cos2 (ω◦ t + φ)
2
ma 2 ω◦2 2
Da 2 2
Ek =
sin (ω◦ t + φ) =
sin (ω◦ t + φ)
2
2
Da 2
E = Ep + Ek =
.
2
Die Gesamtenergie ist also zeitlich konstant (Energieerhaltung) und proportional zum Quadrat
der Schwingungsamplitude. Innerhalb des Systems wird die Energie jedoch ständig zwischen den
beiden Formen ausgetauscht.
Im Falle einer gedämpften Schwingung nimmt die Amplitude nach e−t/τ ständig ab. Ist die
Dämpfung so klein, daß wir die Änderung des Exponentialfaktors über eine Schwingungsperiode
vernachlässigen können, so ist die über eine Periode gemittelte Gesamtenergie gleich der Energie
eines ungedämpften Oszillators mit der entsprechenden Amplitude:
Ep =
1
E = Da 2 e−2t/τ .
2
Die Energie eines gedämpften Oszillators nimmt ständig ab, da Arbeit gegen die Reibungskraft
geleistet werden muß.
Frage 5.4 Benutzen Sie die letzte Gleichung um auszurechnen, wieviel Energie der Oszillator
in einer Schwingungsperiode (2π/ω◦ ) verliert, und zeigen Sie, daß diese tatsächliche gleich
der gegen die Reibungskraft r ẋ geleisteten Arbeit ist. Betrachten Sie nur den Fall sehr kleiner
Dämpfung.
5.5
Schwingungen komplexerer Systeme
5.5.1 Zwei Massen
In der Physik betrachtet man oft die Schwingungen von mehreren durch elastische Kräfte (Federn) miteinander verbundenen Massen (z.B. Atome in einem Festkörpergitter). Um die Methodik
solcher Betrachtungen zu illustrieren, wird im folgenden ein sehr einfaches Beispiel (Abb. 5.4)
behandelt: Zwei gleiche Massen m sind miteinander und mit zwei festen Punkten über gleiche
Federn (Federkonstante D) verbunden. Die Auslenkungen bezogen auf die Gleichgewichtslagen
seien x1 bzw. x2 . Die Bewegungsgleichungen sind (mit ω◦2 = D/m)
ẍ1 = ω◦2 (x2 − 2x1 )
(5.21)
ẍ2 = ω◦2 (x1 − 2x2 ).
(5.22)
Wir fragen nun, ob es Lösungen x1 (t) und x2 (t) dieser Gleichungen gibt, bei denen die beiden
Massen mit der gleichen Frequenz schwingen.
Als Lösungen versuchen wir die Funktionen, die Lösungen des einfachen harmonische Oszillators darstellen:
x1 = a1 sin ωt + b1 cos ωt
x2 = a2 sin ωt + b2 cos ωt,
62
KAPITEL 5. DER HARMONISCHE OSZILLATOR
m
m
x1
x2
Abbildung 5.4: Zwei mit drei gleichen Federn gekoppelte Massen. Wegen der Feder,
die die beiden Massen miteinander verbindet, beeinflüssen sie sich gegenseitig.
wobei die Amplituden a1 , b1 , a2 , b2 sowie die Kreisfrequenz ω noch zu bestimmen sind. Einsetzen
in (5.21) und (5.22) führt zu folgenden Gleichungen für a1 , a2 :
(2ω◦2 − ω2 )a1 − ω2 a2 = 0
−ω2 a1 + (2ω◦2 − ω2 )a2 = 0,
und für b1 , b2 :
(2ω◦2 − ω2 )b1 − ω2 b2 = 0
−ω2 b1 + (2ω◦2 − ω2 )b2 = 0.
Es handelt sich hierbei um zwei Paare von Simultangleichungen für die vier Amplituden. Sowohl für das erste als auch für das zweite Gleichungspaar muß die Determinante der Koeffizienten
verschwinden. In beiden Fällen erhalten wir die Gleichung
(2ω◦2 − ω2 )2 − ω◦4 = 0.
Diese Bedingung wird für zwei Werte (ω1 , ω2 ) von ω erfüllt, und zwar für
√
ω1 = ω◦
und
ω2 = 3ω◦ .
Dementsprechend gibt es zwei Lösungen der Bewegungsgleichungen.
Für die Lösung 1 erhalten wir nach Einsetzen in die Simultangleichungen:
a1 = a2 ;
b1 = b2
⇒
x1 = x2 .
Die physikalische Deutung dieser Lösung lautet: Die beiden Masse schwingen mit der Frequenz
ω1 im gleichen Takt, d.h. mit der gleichen Phase.
Für die Lösung 2 erhalten wir dagegen
a1 = −a2 ;
b1 = −b2
⇒
x1 = −x2 .
Die Massen schwingen hier mit der Frequenz ω2 im Gegentakt, d.h. mit der Phasendifferenz π .
63
5.5. SCHWINGUNGEN KOMPLEXERER SYSTEME
x1 = x2
x 1 = -x 2
Abbildung 5.5: Die beiden Eigenschwingungen zweier mit drei gleichen Federn gekoppelter Massen.
Die Schwingungszustände eines Systems von Massenpunkten, bei denen alle Massenpunkte
mit der gleichen Frequenz und infolgedessen mit festen Phasenbeziehungen schwingen, heißen
Normalschwingungen oder Eigenschwingungen, und die entsprechenden Frequenzen Eigenfrequenzen. Unsere Betrachtung des einfachen Systems zweier Massen hat gezeigt, daß es in diesem
Fall nur zwei Eigenschwingungen gibt. Sie sind im Abb. 5.5 schematisch dargestellt.
Wählen wir den Zeitnullpunkt so, daß b1 = 0 ist, so lassen sich die Eigenschwingungen des
Zweimassensystems wie folgt mathematisch darstellen (mit a1 = a):
Lösung 1: (Abb. 5.5 links)
x1 = x2 = a sin ω1 t
mit
ω1 = ω◦ .
mit
ω2 =
Lösung 2: (Abb. 5.5 rechts)
√
x1 = −x2 = a sin ω2 t
3ω◦ .
Frage 5.5 Welche Anfangsbedingungen führen zu (a) Lösung 1, (b) Lösung 2?
Wenn Sie Abb. 5.5 (links) betrachten, sehen Sie, daß im Falle der Lösung 1 die mittlere Feder
ihre Länge nicht verändert. Diese Feder übt also keine zeitlich veränderlichen Kräfte auf die beiden
Massen aus.√Dies erklärt, warum die Frequenz dieser Eigenschwingung kleiner als die der Lösung
2 ist (ω2 = 3ω1 ).
Die allgemeine Lösung dieses Problems besteht aus einer linearen Kombination der Lösungen
1 und 2. Dabei müssen 4 Parameter frei wählbar sein, da die Anfangswerte von (x1 , ẋ1 , x2 und ẋ2
unabhängig voneinander festgelegt werden können.
x1 (t) ist zunächst eine beliebige lineare Kombination der Lösungen 1 und 2:
x1 = a1 sin ω1 t + b1 cos ω1 t + a2 sin ω2 t + b2 cos ω2 t.
Diese Gleichung enthält schon alle noch frei wählbaren Parameter: Die Lösung für x2 (t) ist durch
die oben abgeleiteten Bedingungen x2 = ±x1 gegeben:
x2 = a1 sin ω1 t + b1 cos ω1 t − a2 sin ω2 t − b2 cos ω2 t.
Die allgemeine Lösung, die gemischte“ Schwingungen enthält, entspricht einer chaotischen“
”
”
Bewegung, da die beiden Frequenzen nicht in einem rationalen Verhältnis zueinander stehen.
64
KAPITEL 5. DER HARMONISCHE OSZILLATOR
Frage 5.6 Versuchen Sie, für ein System von 3 Massen und 4 Federn die Bewegungsgleichungen und deren Lösungen zu finden. Können Sie das Frequenzspektrum“ eines Systems
”
von N Massen angeben? Wenn ja, haben Sie einen wichtigen Schritt auf dem Weg zu einer
Theorie der spezifischen Wärme von Festkörpern getan.
5.5.2
Schwach gekoppelte Schwingungen
Wenn die mittlere Feder im Abb. 5.4 sehr schwach ist, schwingen die beiden Massen zunächst
fast unabhängig voneinander. Die Kopplung durch die schwache Feder macht sich als kleine
Störung bemerkbar. Um das Verhalten eines solchen Systems beschreiben zu können, modifizieren
wir die Bewegungsgleichungen (5.21) und (5.22):
mẍ1 = −Dx1 + d(x2 − x1 )
mẍ2 = −Dx2 + d(x1 − x2 ),
wobei d( D) die Federkonstante der Kopplungsfeder bedeutet. Mit dem oben benutzten
Lösungsansatz erhalten wir für die Frequenzen der Normalschwingungen:
p
ω1 = D/m = ω◦
p
ω2 = (D + 2d)/m = ω◦ + δω.
Mit d D gilt δω/ω ≈ d/D. Die allgemeine Lösung ist:
x1 = a1 sin ω◦ t + b1 cos ω◦ t + a2 sin(ω◦ + δω) + b2 cos(ω◦ + δω)
x2 = a1 sin ω◦ t + b1 cos ω◦ t − a2 sin(ω◦ + δω) − b2 cos(ω◦ + δω).
Um die physikalische Bedeutung dieser Lösung deutlich zu machen, betrachten wir einen Spezialfall mit folgenden Anfangsbedingungen: Zum Zeitpunkt t = 0 befinden sich beide Massen am
jeweiligen Nullpunkt in Ruhe. Die Masse A wird angestoßen (Geschwindigkeit v). Es gelten also
x1 (0) = 0,
ẋ1 (0) = v,
x2 (0) = 0,
ẋ2 (0) = 0.
Mit der Näherung d/D 1 und mit Hilfe der trigonometrischen Beziehung
α∓β
α±β
cos
sin α ± sin β = 2 sin
2
2
erhalten wir dann die Lösung:
v
δωt
x1 =
cos
sin ω◦ t
ω◦
2
v
δωt
cos ω◦ t.
x2 =
sin
ω◦
2
Die beiden Schwingungen werden mit den sich relativ langsam ändernden Funktionen
sin(δω/2)
bzw.
cos(δωt/2)
moduliert, und zwar so, daß die Amplitude von x1 Null ist, wenn die von x2 ein Maximum aufweist, und umgekehrt. Die Schwingungsenergie wird also ständig zwischen den beiden Oszillatoren übertragen.
65
5.6. ANTWORTEN ZU DEN FRAGEN
5.6
Antworten zu den Fragen
Frage 5.1 Die genannte Eigenschaft haben die Funktionen sin, cos und exp:
f (t) = sin(αt)
⇒
f (t) = cos(αt)
⇒
f¨(t) = −α 2 f (t)
f¨(t) = −α 2 f (t)
f (t) = exp(βt)
⇒
f¨(t) = β 2 f (t).
Diese sind nur dann Lösungen von (5.1), wenn α 2 = D/m bzw. β 2 = −D/m gilt.
Frage 5.2 In Gleichung (5.5) setzen wir t = 0 und x = x◦ und erhalten B = x0 . Aus Gleichung
(5.6) erhalten wir mit t = 0 und ẋ = 0 A = 0. Die Lösung ist daher
x(t) = x◦ cos(ωt).
Frage 5.3 Wird die Masse größer, vermindert sich die Frequenz, und die Amplitude wird—bei
gleicher Anfangsgeschwindigkeit—größer.
Frage 5.4
In einer Periode (t = 0 bis t = 2π/ω) verliert der harmonische Oszillator die Energie
2π Da 2
Da 2 4π/ωτ
1E =
1−e
≈
= πa 2 ωr
2
ωτ
(mit D = mω2 und τ = 2m/r). Die Arbeit, die gegen die Reibung in einer Periode geleistet wird,
ist
Z
2π/ω
A=r
ẋdx,
t=0
d.h. mit x = a sin ωt
2 2
Z
2π/ω
A=a ω r
cos2 ωtdt = π a 2 ωr.
0
Also A = 1E.
Frage 5.5 Für Lösung 1:
x1 (0) = x2 (0) = 0;
ẋ1 (0) = ẋ2 (0) = aω1 .
(Die Massen werden gleichzeitig mit der gleichen Geschwindigkeit angeschoben.) Für Lösung 2:
x1 (0) = x2 (0) = 0;
ẋ1 (0) = −ẋ2 (0) = aω2 .
Die Massen werden gleichzeitig mit der gleichen Geschwindigkeit, aber in entgegengesetzten
Richtungen angeschoben.)
66
KAPITEL 5. DER HARMONISCHE OSZILLATOR
Frage 5.6 Für 3 Massen erhalten wir die Bewegungsgleichungen
ẍ1 = ω◦2 (−2x1 + x2 )
ẍ2 = ω◦2 (x1 − 2x2 + x3 )
ẍ3 = ω◦2 (x2 − 2x3 ).
Nach Einsetzen des Lösungsansatzes erhält man die Determinantengleichung (mit der Abkürzung
q = ω2 /ω◦2 ):
(2 − q)
1
0
1
(2 − q)
1 = 0
0
1
(2 − q)
mit den Lösungen

 2 √
q = 2 + √2 .

2 − 2.
Für n Massen erhalten wir ein n × n-Determinante:
(2 − q)
1
0
· · · 1
(2 − q)
1
· · · 0
1
(2 − q) · · · = 0.
..
..
..
.
.
.
67
Kapitel 6
Drehimpuls, Zentralkräfte
6.1
Drehmoment und Drehimpuls
Neben der linearen Beschleunigung hat eine Kraft im allgemeinen auch eine Drehwirkung.
Dies wird in einem einfachen Fall in Abb. 6.1 illustriert. Auf einen Balken, der sich um einen
Drehpunkt P drehen kann, wirken drei vertikale Kräfte: nach unten F1 und F2 im Abstand x1 bzw.
x2 vom Drehpunkt und nach oben die Kraft F am Drehpunkt. Damit der Balken im Gleichgewicht
ist, muß gelten: F = F1 +F2 . Dies ist aber keine ausreichende Bedingung, da der Balken sich noch
F
x2
x1
P
Abbildung 6.1: Zur Illustration der Drehwirkung von Kräften. Im Gleichgewicht tritt
weder eine Beschleunigung des Schwerpunktes noch eine Rotation des Balkens auf.
F1
F2
drehen kann. Gleichgewicht herrscht dann, wenn bei einer kleinen Drehung δθ keine Arbeit geleistet wird (Minimum der potentiellen Energie, s. Abschnitt 3.2.2). Bei einer Drehung δθ nach rechts
bewegt sich der Angriffspunkt der Kraft F1 die Strecke x1 δθ nach oben und der Angriffspunkt der
Kraft F2 die Strecke x2 δθ nach unten. Für Gleichgewicht gilt daher:
F1 δθx1 − F2 δθ x2 = 0
oder
F1 x1 = F2 x2 .
68
KAPITEL 6. DREHIMPULS, ZENTRALKRÄFTE
Die Größen −F1 x1 bzw. F2 x2 stellen die Drehwirkungen der Kräfte dar (positiv nach rechts,
negativ nach links). Wie können wir diese Definition verallgemeinern, um beliebige Kräfte
berücksichtigen zu können, die nicht all ein einer Ebene sein müssen? Dazu betrachten wir
einen Körper, auf den die Kräfte F1 , F2 , . . . mit verschiedenen Angriffspunkten r1 , r2 , . . . wirken. Abb. 6.2 zeigt eine der Kräfte, Fi , die am Punkt ri angreift.
δθ
Fi
ri
O
Abbildung 6.2: Zur allgemeinen Definition
des Drehmoments. Die drei Vektoren δθ , ri
und Fi liegen im allgemeinen nicht in der
gleichen Ebene.
Betrachten wir eine kleine Drehung δθ um eine beliebige Achse durch den Ursprung O. Die
Kraft Fi bewegt seinen Angriffspunkt um die Strecke δθ × ri . Die Kräfte leisten daher die Arbeit
δA =
X
Fi .(δθ × ri ).
i
Wir benutzen jetzt eine Eigenschaft des sog. Spatprodukts, nämlich
a.(b × c) = b.(c × a) = c.(a × b),
und erhalten
δA = δθ .
X
r i × Fi .
(6.1)
i
Im Gleichgewicht muß die rechte Seite der Gleichung (6.1) verschwinden. Da diese Bedingungen für eine beliebige Richtung des Vektors δθ gelten muß, folgt
X
ri × Fi = 0.
i
Die Drehwirkung, das sog. Drehmoment, einer Kraft, bezogen auf den Ursprung des Koordinatensystems, ist also das Vektorprodukt des Ortsvektors des Angriffspunktes mit der Kraft. Das
Drehmoment M einer Kraft F , die am Punkt r angreift, um einen beliebigen Punkt r◦ ist
M = (r − r◦ ) × F .
(6.2)
Im allgemeinen hängt M von r◦ ab. Für eine bestimmte Wahl von r◦ könnte M = 0 sein, ohne
daß dies notwendigerweise
für eine andere Wahl von r◦ der Fall ist. M ist nur dann für alle r◦ Null,
P
wenn auch i Fi gilt. Die Gleichgewichtsbedingungen sind daher:
69
6.1. DREHMOMENT UND DREHIMPULS
X
i
Fi = 0
und
X
(ri − r◦ ) × Fi = 0,
(r◦
beliebig).
i
Wenn die Drehmomente nicht P
im Gleichgewicht sind, wird bei einer Rotation eine Arbeit
geleistet. Aus (6.1) folgt mit M = i ri × Fi (Gesamtdrehmoment)
δA = M.δθ .
Diese Gleichung zeigt, daß die von einem Drehmoment geleistete Arbeit durch das Skalarprodukt
des Drehmoments mit dem Winkel gegeben ist. Bei einer Drehgeschwindigkeit ω ist die Leistung
durch
Ȧ = M.ω
gegeben.
Kräfte, die nicht im Gleichgewicht sind, verursachen eine Änderung des Impulses. Welche
Größe wird durch das Drehmoment geändert?
Es sei p der Impuls eines Massenpunktes am Punkt r. Aus dem zweiten Newtonschen Gesetz
folgt F = ṗ. Einsetzen in (6.2) mit r◦ = 0 ergibt
M = r × ṗ.
Analog zur Definition der Größe M als Moment der Kraft“ können wir eine Größe
”
L=r ×p
(6.3)
(6.4)
als Moment des Impulses“ definieren. Diese in Physik sehr viel benutzte Größe wird als Dre”
himpuls oder Drall bezeichnet.
Frage 6.1 In welchen SI-Maßeinheiten werden (a) Drehmoment und (b) Drehimpuls angegeben?
Eine wichtige Beziehung zwischen M und L erhalten wir, wenn wir die zeitliche Ableitung
von L bilden:
d
L̇ = m (r × ṙ) = m(r × r̈) + m(ṙ × ṙ) = r × ṗ.
dt
Mit (6.3) folgt
M = L̇.
(6.5)
Das Drehmoment ist also gleich der zeitlichen Ableitung des Drehimpulses. Diese Beziehung hat
genau die Form des zweiten Newtonschen Gesetzes, wenn wir M durch F und L durch p ersetzen.
Wie wir später sehen werden, gibt es weitere Analogien zwischen den Größen, die Drehungen bzw.
lineare Bewegungen beschreiben.
Das Drehmoment einer Kraft und der Drehimpuls einer Punktmasse beziehen sich immer auf
einen bestimmten Bezugspunkt. Der Betrag des Drehmoments ist das Produkt der Kraft mit dem
senkrechten Abstand des Kraftvektors vom Bezugspunkt (s. Abb. 6.2). Analog gilt für den Betrag
des Drehimpulses das Produkt des Impulses mit dem senkrechten Abstand des Impulsvektors vom
Bezugspunkt.
Wenn wir einen Punkt mit dem Ortsvektor r◦ als Bezugspunkt nehmen, lauten die Definitionen
von M und L
M = (r − r◦ ) × F ,
L = (r − r◦ ) × p.
70
KAPITEL 6. DREHIMPULS, ZENTRALKRÄFTE
Die Werte der Vektoren L und M sind daher im allgemeinen abhängig von der Wahl des Bezugspunktes. Das Gesamtdrehmoment von zwei Kräften F1 , F2 mit den Angriffspunkten r1 , r2 ist
M = (r1 − r◦ ) × F1 + (r2 − r◦ ) × F2 .
Einen interessanten Spezialfall erhalten wir, wenn wir annehmen, daß die beiden Kräfte den gleichen Betrag und die gleiche Richtung aber unterschiedliche Vorzeichen haben, d.h.
F1 = −F2 = F .
Man bezeichnet diese Kombination als Kräftepaar. Wir erhalten dann
M = (r1 − r2 ) × F .
Das Drehmoment ist in diesem Spezialfall unabhängig von der Wahl des Bezugspunktes. Sein
Betrag ist F a, wo a den senkrechten Abstand der beiden Kräfte bedeutet.
Frage 6.2 Eine Punktmasse bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn. Zeigen Sie, daß der Drehimpuls der Masse bezogen auf einen beliebigen Bezugspunkt P konstant ist. Welchen speziellen Wert erhält man, wenn P auf der Bahn liegt?
Wie wir später sehen werden, sind die Begriffe Drehmoment“ und Drehimpuls“ besonders
”
”
bei der Behandlung von Rotationsbewegungen (Planetenbahnen, Drehung starrer Körper) von Bedeutung. Das obige Beispiel zeigt jedoch, daß auch eine geradlinige Bewegung einen Drehimpuls
haben kann.
Als ein weiteres Beispiel untersuchen wir den Drehimpuls einer Kreisbewegung. Eine Punktmasse m bewege sich mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag v auf dem Umfang eines Kreises
mit dem Radius r. Es ist klar, daß diese Bewegung nicht kräftefrei ablaufen kann, da wir die Zentripetalkraft mv 2 /r benötigen, um die Kreisbewegung aufrechtzuerhalten. Der Drehimpuls bezogen
auf den Kreismittelpunkt hat den Betrag
L = |r × mv| = mrv
und ist damit zeitlich konstant. (Der Vektor L steht senkrecht zur Kreisebene). Dieses Ergebnis
ist im vollen Einklang mit der Gleichung (6.5), da das Drehmoment der Zentripetalkraft um den
Kreismittelpunkt stets den Wert Null hat.
Frage 6.3 Wenn man nicht den Kreismittelpunkte sondern einen anderen Punkt in der Kreisebene als Bezugspunkt wählt, ist der Drehimpuls der oben diskutierten Kreisbewegung nicht
konstant. Machen Sie sich dies für einen bestimmten Bezugspunkt (z.B. am Kreisumfang)
klar. Wie sieht es mit dem Drehmoment der Zentripetalkraft aus? Können Sie zeigen, daß
Gleichung (6.5) auch für diesen Fall gilt?
6.2
Drehimpulserhaltung
Einen wichtigen Erhaltungssatz, den Impulserhaltungssatz, haben wir bereits kennengelernt.
Die praktische Anwendung dieses Satzes wurde am Beispiel der Stoßgesetze erläutert. Wir wollen
nun die Frage untersuchen, ob es für den Drehimpuls einen ähnlichen Erhaltungssatz gibt. Mit
71
6.2. DREHIMPULSERHALTUNG
anderen Worten: Bleibt der Drehimpuls eines Systems von Punktmassen bei Abwesenheit externer
Kräfte konstant? Wir betrachten ein geschlossenes System von Punktmassen ohne äußere Kräfte.
Der Gesamtdrehimpuls des Systems ist die Summe der Drehimpulse der einzelnen Massen:
X
L=
Li .
i
Bezeichnen wir die auf die Masse mi wirkende Kraft mit Fi , so gilt
L̇ =
X
L̇i =
X
i
ri × Fi .
(6.6)
i
Die Kraft Fi , die im allgemeinen zeitabhängig ist, setzt sich zusammen aus der Wechselwirkung
mit allen anderen Massen des Systems:
Fi =
X
Fik .
k
Die rechte Seite der Gleichung (6.6) läßt sich als Doppelsumme schreiben:
L̇ =
XX
i
ri × Fik .
k
Die Reihenfolge der Indizes i, k kann vertauscht werden1 , d.h.
XX
i
ri × Fik =
i
k
Wir erhalten dann für L̇:
L̇ =
XX
rk × Fki .
k
1 XX
(rk × Fki + ri × Fik ).
2
i
k
Es gilt aber Fii = 0, und nach dritten Newtonschen Gesetz ist Fik = −Fki . Dies ergibt schließlich
L̇ =
1 XX
(rk − ri ) × Fki .
2
i
k
Wenn es sich bei dieser Wechselwirkung ausschließlich um Zentralkräfte handelt, d.h. wenn
die Wechselwirkungskraft parallel zur Verbindungslinie zwischen den beiden Punktmassen ist,
verschwindet das Vektorprodukt (rk − ri ) × Fki . Für ein solches System gilt dann der Drehimpulserhaltungssatz:
L̇ = 0
⇒
L = konst.
Während die Erhaltung des linearen Impulses allein aus den Newtonschen Gesetzen gefolgert werden konnte, brauchen wir für den Drehimpulserhaltungssatz die zusätzliche Annahme,
1 Wenn
auf.
Sie daran zweifeln, schreiben Sie einfach alle Glieder der Summe für eine kleine Anzahl (2 oder 3) Massen
72
KAPITEL 6. DREHIMPULS, ZENTRALKRÄFTE
daß zwischen Massenpunkten nur Zentralkräfte auftreten. Umgekehrt können wir aus einer experimentell belegbaren Konstanz des Drehimpulses in einem von äußeren Kräften freien System von
Massenpunkte darauf schließen, daß zwischen Massenpunkten nur Zentralkräfte auftreten.
Wenn äußere Kräfte auf das System einwirken, ist die Ableitung des Gesamtdrehimpulses
gleich der Summe der Drehmomente:
L̇ =
X
ri × Fi .
i
Die Werte der Größen, die in dieser Gleichung erscheinen, sind im allgemeinen von der Wahl des
Koordinatenursprungs abhängig. Es kann sein, daß es einen Bezugspunkt gibt, für den die Summe
der Momente Null ist. Der Drehimpuls um diesen Punkt ist dann zeitlich konstant, obwohl die
äußeren Kräfte nicht verschwinden. Es wurde z.B. oben gezeigt, daß der Drehimpuls einer Kreisbewegung um den Mittelpunkt konstant ist, weil das Drehmoment der Zentripetalkraft um diesen
Punkt immer Null ist.
6.3
Zentralkräfte
Ein wichtiges Beispiel für eine Zentralkraft ist die Gravitationskraft. Newton fand heraus, daß
zwischen zwei Punktmassen eine Kraft wirkt, die parallel zur Verbindungslinie der beiden Massenpunkten verläuft, und deren Betrag proportional zu den beiden Massen und umgekehrt proportional
zu ihrem Abstand ist (s. Abschnitt 2.2.2).
Beobachtungen der Bausteine“ des Atoms haben gezeigt, daß die dort beobachtbaren Kräfte
”
auch als Kräfte zwischen Mittelpunkten“ von Teilchen beschreibbar sind, die entlang der Verbin”
dungslinie gerichtet sind. Dies gilt insbesondere auch für die Wechselwirkung zwischen geladenen
Teilchen (Coulombsche Kraft).
Es ist deshalb sinnvoll, sich prinzipiell etwas genauer mit diesen Zentralkräften (Kräften zwischen Zentren) zu befassen.
m1
SP
r1
m2
rm
Abbildung 6.3: Definition der Vektoren r1 ,
r2 , r = r2 − r1 sowie rm = (m1 r1 +
m2 r2 )/(m1 + m2 ) für das Zweikörperproblem. O ist der Ursprung des Koordinatensystems, und m1 , m2 sind die beiden
Massenpunkten.
r2
O
Wir betrachten zunächst das Problem von zwei Körpern, die sich jeweils unter dem Einfluß
einer entfernungsabhängigen Zentralkraft bewegen. Die Ortsvektoren der Massen m1 , m2 seien r1
73
6.3. ZENTRALKRÄFTE
bzw. r2 (Abb. 6.3). Der Verbindungsvektor ist
r = r2 − r1 ,
und der Ortsvektor des Schwerpunktes ist
rm =
m1 r1 + m2 r2
.
m1 + m2
Die auf m1 wirkende Kraft ist
F = f (r)re ,
wobei re der zu r parallele Einheitsvektor ist; f(r) ist eine Funktion des Abstandes r = |r| der
beiden Massen voneinander. Die auf m2 wirkende Kraft ist −F . Damit gelten die Bewegungsgleichungen
m1 r̈1 = f (r)re ,
m2 r̈2 = −f (r)re .
(6.7)
Frage 6.4 Geben Sie f (r) für die Gravitation an.
Die Addition der Gleichungen (6.7) führt zum bekannten Ergebnis, daß die Geschwindigkeit
des Massenschwerpunktes konstant ist.
Wenn wir (6.7) durch m1 bzw. m2 dividieren und die Differenz bilden, erhalten wir die Gleichung
1
1
f (r)re .
r̈ = −
+
m1 m2
Führen wir den Begriff der reduzierten Masse µ ein, die durch
1
1
1
=
+
µ
m1 m2
(6.8)
definiert wird, erhalten wir die Bewegungsgleichung
µr̈ = −f (r)re .
(6.9)
Diese Gleichung beschreibt formal die Bewegung einer Masse µ, die sich unter dem Einfluß
einer bezüglich des Ursprungs des Koordinatensystems radialen Kraft bewegt. Wir haben das
Zweikörperproblem damit auf ein Einkörperproblem zurückgeführt.
Nachdem wir dieses Einkörperproblem gelöst haben, d.h. wenn wir r(t) bestimmt haben, können wir r1 (t) und r2 (t) angeben:
r1 = rm −
m2
r
m1 + m2
r2 = rm +
m1
r.
m1 + m2
Diese Gleichungen haben eine besonders einfache Form, wenn der Schwerpunkt als Ursprung des
Koordinatensystems gewählt wird (rm = 0). Noch einfacher wird es, wenn eine Masse (z.B. m1 )
viel größer als die andere ist (m1 m2 ). Es gilt dann r1 ≈ 0 und r2 ≈ r. Die schwere Masse (z.B.
die Sonne) ruht praktisch am Ursprung, und die Bewegung der leichten Masse (z.B. der Erde) wird
einfach durch die Lösung des Einkörperproblems beschrieben.
74
6.4
6.4.1
KAPITEL 6. DREHIMPULS, ZENTRALKRÄFTE
Die Planetenbahnen
Die Keplerschen Gesetze
Johannes Kepler (1571 bis 1630) beschrieb als Ergebnis genauer Beobachtungen folgende
Kepler Gesetzmäßigkeiten in den Bewegungen der Planeten:
1. Alle Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in deren einem Brennpunkt sich
die Sonne befindet.
2. Die Verbindungslinie Sonne-Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche
Flächen.
3. Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten um die Sonne sind proportional zur
dritten Potenz der großen Halbachsen der Ellipsen.
r+ d r
r
dA
α
d r = vdt
Abbildung 6.4: Zur Ableitung des zweiten
Keplerschen Gesetzes. Im Zeitintervall δt
bewegt sich der Planet von r nach r + δr.
Der Vektor r überstreicht dabei die Fläche
δA.
Kepler hat seine Erkenntnisse aus empirischen Daten abgeleitet; die Ihnen in der Mechanik
dargestellten theoretischen Vorstellungen basieren auf diesen Erkenntnissen. Umgekehrt muß der
theoretische Apparat ausreichen, um die Keplerschen Gesetze jetzt auch als Spezialfall der Bewegung im Zentralfeld herzuleiten.
Das zweite Keplersche Gesetz ist eine Folge der Drehimpulserhaltung und gilt für jede Zentralkraft. Wir leiten es mit einem kleinen Trick her: Wir betrachten ein sehr kleines Flächenstück
δA (s. Abb. 6.4), welches der Ortsvektor im Zeitintervall δt überstreicht. In diesem Zeitintervall
bewegt sich der Massenpunkt (d.h. der Planet) um die Strecke vδt. Der Betrag der überstrichenen
Fläche ist dann
1
δA = rv sin α δt.
2
rv sin α ist aber der Betrag des Vektors
r × v = L/m.
Es folgt daher
δA
L
=
.
δt
2m
75
6.4. DIE PLANETENBAHNEN
Aufgrund der Drehimpulserhaltung ist die rechte Seite dieser Gleichung konstant.
Hinweis: Es ist wichtig zu erkennen, daß wir zur Herleitung dieses Gesetzes eine Integration
der Bewegungsgleichung (6.9) nicht vorzunehmen brauchten, da wir aus einer Erhaltungsgröße
direkt Schlüsse ziehen konnten, ohne die speziellen Probleme der Bahn zu erörtern.
Die beiden anderen Gesetze ergeben sich als Folge der r −2 -Abhängigkeit der Gravitationskraft
aus den Bewegungsgleichungen. Es sei m1 = M = Masse der Sonne, und m2 = m = Masse des
Planeten. Die Funktion f (r) ist für die Gravitationswechselwirkung dann
f (r) = GMmr −2 .
Ferner gilt re = r/r. Einsetzen in (6.9) ergibt
r̈ = −G(M + m)r −3 r.
Für alle Planeten des Sonnensystems ist M m. Es gilt daher M + m ≈ M und r ≈ r2 . Wenn
wir die Sonne als Ursprung nehmen ist die Bewegung des Planeten daher in guter Näherung als
Lösung der Gleichung
r̈ = −GMr −3 r.
(6.10)
y=r sinφ
gegeben. Die Lösung der Gleichung (6.10) ist möglich, wenn wir einige einfache Tricks anwenden:
Eine erste Vereinfachung des Problems ergibt sich aus der Tatsache, daß die Bewegung in
einer Ebene—die r-v-Ebene—stattfindet, weil der Drehimpulsvektor L, der senkrecht auf r und
v steht, konstant ist. Wir brauchen also die dritte Dimension bei unseren Überlegungen nicht zu
berücksichtigen. Dies bedeutet natürlich nicht, daß alle Planetenbahnen in der gleichen Ebene
liegen.
Wir wählen zur Beschreibung der Bahn die x-y-Ebene und benutzen die Polarkoordinaten r, φ
(s. Abb. 6.5). Die Beziehung zwischen den Koordinatensystemen (x, y) und (r, φ) ist
r
φ
O
x=r cos φ
Abbildung 6.5: Zur Definition der Polarkoordinaten in der x-y-Ebene.
x = r cos φ;
y = r sin φ.
Die Bewegungsgleichung lautet in Komponentenform
ẍ = −GMr −2 cos φ,
ÿ = −GMr −2 sin φ.
(6.11)
76
KAPITEL 6. DREHIMPULS, ZENTRALKRÄFTE
Wir suchen die Bahngleichung unseres Planeten in der Form r(φ).
Bei einer Änderung δφ im Winkel φ überstreicht der Radiusvektor das Flächenelement
δA = r 2 δφ/2.
Damit ist
φ̇ = 2r −2 Ȧ.
Da nach dem zweiten Keplerschen Gesetz δA/δt konstant ist, können wir schreiben:
φ̇ = Kr −2 ,
wobei K eine Konstante ist. Mit (6.11) erhalten wir:
ẍ = −(GM/K)φ̇ cos φ,
ÿ = −(GM/K)φ̇ sin φ,
und durch Integration dieser Gleichungen:
ẋ = −(GM/K) sin φ + P ,
ẏ = (GM/K) cos φ + Q,
mit P und Q als Integrationskonstanten. Wir rechnen nun ẋ und ẏ in Polarkoordinaten um:
ẋ = ṙ cos φ − r φ̇ sin φ = −(GM/K) sin φ + P
ẏ = ṙ sin φ + r φ̇ cos φ = (GM/K) cos φ + Q.
Wenn wir r φ̇ durch K/r ersetzen und ṙ aus diesen Gleichungen eliminieren, erhalten wir die
gesuchte Beziehung zwischen r und φ:
Q
P
1
GM
sin φ +
cos φ.
(6.12)
= 2 −
K
K
r
K
Es läßt sich allgemein zeigen, daß
1
1 − e sin α sin φ − e cos α cos φ
=
r
a(1 − e2 )
(6.13)
die Gleichung eines Kegelschnitts in Polarkoordinaten ist, wenn man einen Brennpunkt als Ursprung von wählt. In dieser Gleichung haben die Symbole folgende geometrische Bedeutung (s.
Abb. 6.6):
2a ist die Länge der großen Hauptachse,
e ist die Exzentrizität und
α ist der Winkel zwischen der großen Hauptachse und der x-Achse.
Die Gleichung (6.12) stellt also einen Kegelschnitt dar. Da die Planetenbahnen geschlossen
sind, müssen sie die Form von Ellipsen haben. Damit ist gezeigt worden, daß das erste Keplersche
Gesetz aus dem Gravitationsgesetz folgt. Es bleibt noch, die Richtigkeit des dritten Gesetzes zu
überprüfen:
Die Gesamtfläche einer Ellipse ist
p
2
A = π a 1 − e2 .
77
6.4. DIE PLANETENBAHNEN
y
a
ae
α
x
Abbildung 6.6: Die Parameter eines Kegelschnitts am Beispiel der Ellipse.
Die Umlaufzeit ist
T = A/(dA/dT ) = 2A/K.
Damit ist
K = 2A/T = 2π a
2
p
1 − e2 /T .
Aus dem Vergleich der beiden Ellipsengleichungen (6.12) und (6.13) folgt
a(1 − e2 ) = K 2 /GM.
Wenn wir K aus den letzten beiden Gleichungen eliminieren, erhalten wir schließlich
T2
4π 2
.
=
GM
a3
Abbildung 6.7: Doppeltlogarithmische Darstellung des Zusammenhangs T ∼ a 3/2 für
die Planeten des Sonnensystems.
a = große Hauptachse (A.E.)
T 2 ist also proportional zu a 3 , entsprechend dem dritten Keplerschen Gesetz. Abb. 6.7 gibt die
tatsächlichen Daten für das Sonnensystem wieder.
100
Pluto
Neptun
1
Uranus
Saturn
Jupiter
10
Mars
Erde
Venus
Merkur
0.1 7
10
9
108
10
Periode (s)
10
10
78
6.4.2
KAPITEL 6. DREHIMPULS, ZENTRALKRÄFTE
Gesamtenergie und Form der Umlaufbahn
Wir haben bereits deutlich gemacht, daß die Bahnkurve eines Körpers auf den eine r −2 -Kraft
aus dem Koordinatenursprung wirkt (Zentralkraft) ein Kegelschnitt ist. Gleichung (6.12) gilt nicht
nur für die Bewegung der Planeten um die Sonne, sondern auch z.B. für die Bewegung des Mondes
oder eines künstlichen Satelliten um die Erde, wenn wir für M die Masse der Erde einsetzen. Um
die genaue Geometrie der Bahn zu bestimmen, genügt es, die Position des Satelliten und seine
Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt zu kennen. Es erscheint einleuchtend, daß eine
Beziehung zwischen der Energie des Körpers und der Bahnkurve bestehen wird. Diese soll im
folgenden gefunden werden.
Es sei v◦ die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt der kleinsten Entfernung r = a(1 − e) und v◦0
die Geschwindigkeit am entferntesten Punkt r = a(1 + e). Aus dem zweiten Keplerschen Gesetz
folgt
v◦ (1 − e) = v◦0 (1 + e).
(6.14)
Die Gesamtenergie ist die Summe der kinetischen Energie
Ek = mv 2 /2
und der potentiellen Energie
Ep = −GMm/r.
Da die Gesamtenergie Eg = Ek +Ep konstant sein muß, gilt für die beiden Extrempunkte a(1−e)
und a(1 + e)
mv◦2
GMm
mv◦02
GMm
−
=
−
.
(6.15)
2
a(1 − e)
2
a(1 + e)
Aus (6.14) und (6.15) erhalten wir
GM(1 + e)
v◦2 =
.
a(1 − e)
Wenn wir diesen Wert in den Ausdruck für die Gesamtenergie am Punkt der kleinsten Entfernung
einsetzen, erhalten wir schließlich für die Gesamtenergie:
Eg = −GMm/2a.
(6.16)
Für eine elliptische Bahn hängt die Gesamtenergie also nur von der Länge großen Hautpachse ab.
Wir können die Gesamtenergie als Parameter verwenden, um die Auswirkung der Anfangsbedingungen auf die Form der Bahnkurve eines Satelliten zu untersuchen. Es sei z.B. p die kleinste
Entfernung einer Satellitenbahn vom Mittelpunkt der Erde. Die Beziehung zwischen p, a und e ist:
p = a(1 − e).
Ersetzen wir a in Gleichung (6.16) durch p/(1 − e), erhalten wir nach Umformung folgende
Gleichung für die Ekzentrizität e als Funktion von p und Eg :
e = 1 + 2pEg /GMm.
Wir halten p konstant und geben dem Satelliten verschiedene horizontale Geschwindigkeiten v◦ .
Die Gesamtenergie ist
mv◦2 GMm
−
.
Eg =
2
p
79
6.5. ANTWORTEN ZU DEN FRAGEN
Tabelle 6.1: Form der Satellitenbahn in Abhängigkeit von der Gesamtenergie Eg . Anfangsbedingungen: Horizontale Geschwindigkeit in einer Entfernung p vom Erdmittelpunkt. = GMm/p.
a
b
c
d
e
f
Eg
>0
0
0 . . . − /2
−/2
−/2 . . . − −
e
Bahn
>1
Hyperbel
1
Parabel
1...0
Ellipse
0
Kreis
0 . . . − 1 Ellipse
−1
Gerade
Abhängig von Eg erhalten wir die in Tabelle 6.1 gezeigten Möglichkeiten für die Bahnform. In
dieser Tabelle wird die Abkürzung = GMm/p verwendet.
Die ersten beiden Bahnen (Eg ≥ 0) sind offene Bahnen, weil der Satellit in einer unendlichen
Entfernung von der Erde immer noch kinetische Energie besitzen würde. (Einige Kometen haben
Hyperbelbahnen um die Sonne und sind deshalb nur einmal beobachtet worden.)
Eine negative Exzentrizität der Ellipse bedeutet, daß p die maximale und nicht mehr die kleinste Entfernung ist.
Der Fall (f) entspricht v◦ = 0: Der Satellit hat am Anfang keine kinetische Energie und fällt
senkrecht auf die Erde zu.
Mit diesem Javav-Applet:
http://didaktik.physik.uni-wuerzburg.de/˜pkrahmer/ntnujava/Kepler/Kepler.html
können Sie Kepler-Bahnen mit verschiedenen Anfangsbedingungen ausprobieren.
6.5
Antworten zu den Fragen
Frage 6.1 Das Drehmoment ist Kraft mal Länge; die Einheiten sind also:
N m = kg m2 s−2 .
Der Name Joule (auch N m) wird nur für die Energieeinheit gebraucht. Drehimpuls ist Masse mal
Geschwindigkeit mal Länge, und die Einheiten sind
kg m2 s−1 .
Frage 6.2 Nehmen wir den Bezugspunkt als Ursprung, dann ist r der Ortsvektor des Massenpunktes m, und die Geschwindigkeit ist
v = ṙ = konst.
Der Drehimpuls ist
L = r × ṙ
und die Ableitung
L̇ = m(r × r̈ + ṙ × ṙ) = 0
(wegen r̈ = 0 und x × x = 0).
80
KAPITEL 6. DREHIMPULS, ZENTRALKRÄFTE
Der Drehimpuls ist also konstant. Es sei a der senkrechter Abstand des Ursprungs von der
Bahn des Massenpunktes. Am nächsten Punkt stehen r und v senkrecht aufeinander, woraus folgt
L = mva.
Mit a = 0 (Ursprung auf der Linie) ist ach L = O.
Frage 6.3 Es läßt sich allgemein—für jede Bewegung—zeigen, daß, obwohl sowohl der Drehimpuls L als auch das Drehmoment M von der Wahl des Koordinatensystems abhängen, die
Beziehung L̇ = M immer gilt:
Es seien r und r 0 = r − r◦ die Ortsvektoren des Massenpunktes in den Systemen S bzw. S 0 .
Der Drehimpuls bezogen auf den Ursprung des Systems S 0 ist
L0 = mr 0 × vecr
˙ 0 = m(r − r◦ ) × ṙ,
und die Ableitung ergibt
L̇0 = m(r − r◦ ) × r̈.
Die auf den Massenpunkt wirkende Kraft ist aber F = mr̈. Damit ist
L̇0 = (r − r◦ ) × F = M 0 .
Frage 6.4 Aus dem Gravitationsgesetz folgt
f (r) =
Gm1 m2
.
r2
81
Kapitel 7
Dynamik starrer Körper
7.1
Die Bewegung eines starren Körpers
Bisher haben wir uns ausschließlich mit der Bewegung von Massenpunkten beschäftigt. Ein
Massenpunkt ist aber ein abstrakter Begriff, der nie exakt der Wirklichkeit entspricht, da alle physikalischen Körper eine gewisse räumliche Ausdehnung haben. Wir müssen also wissen, wie die
Gesetze der Dynamik in eine Form gebracht werden können, die es uns erlaubt, die Bewegung von
starren Körpern zu beschreiben.
Es ist uns ein realer Körper vorgegeben, auf den Kräfte wirken. Er wird sich im Raum bewegen
und gewisse Eigenbewegungen vollführen. (Denken Sie an eine Weltraumstation!) Wie läßt sich
die Bewegung eines starren Körpers mathematisch beschreiben?
Um den Bewegungszustand eines Massenpunktes zu beschreiben, brauchen wir die drei Raumkoordinaten (x, y, z) und die drei Ableitungen ẋ, ẏ, ż bzw., um die Masse noch mit einzubeziehen, die Impulskomponenten px , py , pz . Aus x, y, z ergibt sich die potentielle Energie, und aus
(px , py , pz ) die kinetische Energie. Die Gesamtenergie E hängt daher von allen Komponenten ab:
E = Ep (x, y, z) + Ek (px , py , pz ).
Wenn es keine Einschränkungen des Ortes oder der Bewegung gibt, können alle 6 Koordinaten
unabhängig voneinander festgelegt werden, um z.B. die Anfangsbedingungen zu definieren. Wir
sagen, daß das Teilchen 6 Freiheitsgrade besitzt. Demnach hätte ein System von N Teilchen,
die sich unabhängig voneinander bewegen können, 6N Freiheitsgrade. Eine einfache harmonische
Oszillator hat 2 Freiheitsgrade.
Frage 7.1 In der Thermodynamik benutzt man folgendes Modell eines idealen, einatomigen Gases (s. Thermodynamik-Skript Abschnitt 2.1): Die Moleküle sind Massenpunkte, die
elastische Stöße miteinander machen, zwischen denen aber sonst keine Kräfte wirken. Der
sog. Gleichverteilungssatz (s. Thermodynamik-Skript Abschnitt 2.6) besagt, daß alle Freiheitsgrade im Mittel die gleiche thermische Energie haben. Pro Molekül zählt man aber nur
3 Freiheitsgrade. Für einen eindimensionalen harmonischen Oszillator (das Modell für die
Schwingungen eines zweiatomigen Moleküls) werden beide Freiheitsgrade gezählt. Können
Sie den Unterschied erklären?
Führen wir nun irgendwelche Einschränkungen ein, so werden die Freiheitsgrade des Systems
vermindert. Wird z.B. der Massenpunkt gezwungen, sich auf einer Fläche
g(x, y, z) = 0
82
KAPITEL 7. DYNAMIK STARRER KÖRPER
zu bewegen, so können wir nur zwei der drei Raumkoordinaten willkürlich festlegen, da die dritte
durch g = 0 festgelegt wird. In diesem Fall gibt es nur 2 + 2 = 4 Freiheitsgrade.
Als erstes Modell eines starren Körpers können wir ein System von N Massenpunkten betrachten, die fest miteinander verbunden sind. (Später werden wir kontinuierliche Massenverteilungen
einführen.) Wieviel Freiheitsgrade hat ein solches System, also allgemein ein starrer Körper?
2
c
3
a
b
1
Abbildung 7.1: Drei von N Massenpunkten,
die starr miteinander verbunden sind und dadurch einen starren Körper“ bilden.
”
Zunächst haben wir 6N Koordinaten der N Massenpunkte, die jedoch nicht unabhängig voneinander sind, da die Anordnung der Massenpunkte relativ zueinander bei allen Bewegungen beibehalten wird. (Der Körper ist starr.)
Wählen wir einen bestimmten Massenpunkt aus, so können wir alle drei Raumkoordinaten dieses Punktes frei wählen. Für einen zweiten Punkt können wir nur noch zwei Raumkoordinaten frei
wählen, da der Abstand a (Abb. 7.1) fest vorgegeben ist. Ein dritter Punkt hat eine feste Entfernung
vom Punkt 1 (b) und Punkt 2 (c) und kann sich nur noch auf einem Kreis um die Verbindungslinie
1–2 bewegen. Diese Bewegung kann mit einer zusätzlichen Koordinate (Drehwinkel) beschrieben
werden. Für die übrigen Punkte eines starren Körpers haben wir keine frei wählbaren Koordinaten
mehr. Insgesamt können also 6 Raumkoordinaten und die entsprechenden 6 Bewegungskoordinaten frei gewählt werden.
Nachdem wir die Anzahl der Koordinaten bestimmt haben, soll überlegt werden, welche Koordinaten zweckmäßig sind. Zunächst sei daran erinnert, daß die Bewegung des Schwerpunktes
eines Massenpunktsystems durch eine einfache Erweiterung des zweiten Newtonschen Gesetzes
beschrieben werden kann:
X
X
mi r̈m =
Fi .
i
i
(rm = Ortskoordinate des Schwerpunkts, Fi = auf die Masse mi wirkende Kraft). Der Impuls des
Körpers ergibt sich aus dem Produkt der Gesamtmasse M mit der Geschwindigkeit des Schwerpunktes, d.h. px = M ẋm usw. Es ist deshalb sinnvoll, die Koordinaten (xm , ym , zm ) des Schwerpunktes und die Komponenten des Impulses (px , py , pz ) als 6 der 12 benötigten Koordinaten zu
wählen.
Die restlichen Koordinaten ergeben sich aus der Überlegung, daß sich die Bewegung eines starren Körpers aus einer Translationsbewegung des Schwerpunktes und einer Rotationsbewegung
um eine Achse, die durch den Schwerpunkt verläuft, zusammensetzt. Um die Lage des starren
83
7.1. DIE BEWEGUNG EINES STARREN KÖRPERS
Körpers im Raum eindeutig zu definieren, muß man neben den Koordinaten des Schwerpunktes
auch die Orientierung des Körpers angeben. Dies könnte z.B. durch die Angabe von drei Rotationswinkeln ψx , ψy , ψz um die drei Koordinatenachsen geschehen. Diese Winkel bilden aber keinen
Vektor; die Reihenfolge der Rotationen muß spezifiziert werden. Eindeutiger ist die Angabe der
Polarkoordinaten φ, θ der Drehachse und des Drehwinkels α und diese Achse (s. Abb. 7.2).
Z
α
θ
O
φ
Abbildung 7.2: Definition der Polarkoordinaten zur Beschreibung der Drehbewegung
eines starren Körpers relativ zum Schwerpunkt.
Y
X
Frage 7.2 Ein homogener Würfel mit der Kantenlänge 1 hat folgende Ausgangslage: Der
Schwerpunkt (Mittelpunkt) des Würfels liegt am Ursprung des Koordinatensystems und die
Kanten sind parallel zu den Achsen OX, OY, OZ. Der Würfel wird 10 Einheiten in Richtung
des Vektors (1,1,0) verschoben und 300 um die zu (1,1,1) parallele Diagonale gedreht. Geben
Sie die Koordinaten xm , ym , zm , φ, θ, α der neuen Lage an.
Obwohl die Winkel ψx , ψy , ψz selbst keinen Vektor darstellen, sind ihre Ableitungen die
Komponenten der Drehgeschwindigkeit ω:
ω = (ωx , ωy , ωz ) = (ψ̇x , ψ̇y , ψ̇z ).
Mit der Drehgeschwindigkeit ω ist ein Drehimpuls L verbunden. Die Beziehung zwischen zwischen L und ω ist etwas komplizierter als die zwischen p, wie wir im Verlauf dieses Kapitels sehen
werden.
Die Gesetzmäßigkeiten der Translationsbewegung sind identisch mit denen der Bewegung
eines Massenpunktes. Hier kennen wir bereits relevante Gesetze und Größen. Im folgenden
beschäftigen wir uns deshalb zunächst ausschließlich mit der Rotationsbewegung, d.h. mit der Frage, wie der Körper auf ein Drehmoment M reagiert. Dabei wissen wir schon, daß die Änderung
des Drehimpulses durch
L̇ = M
gegeben ist. Was uns noch fehlt, ist die oben erwähnte Beziehung zwischen L und ω.
84
KAPITEL 7. DYNAMIK STARRER KÖRPER
7.2
Rotation um eine Symmetrieachse
7.2.1
Zweidimensionale Körper
Wir kennen für die Translationsbewegung die Beziehung p = mv zwischen Impuls, Masse
und Geschwindigkeit. Wir suchen nun die lineare Beziehung zwischen dem Drehimpuls L und der
Drehgeschwindigkeit ω eines starren Körpers, die die Rotationsträgheit“ berücksichtigt.
”
Wir untersuchen diese Frage zunächst an einigen einfachen Beispielen. Hierbei betrachten wir
die Massenverteilung im starren Körper als homogen und integrieren jeweils über alle Massenpunkte, betrachten jedoch zunächst nur zweidimensionale“ Körper, d.h. Körper, bei denen die
”
eine Dimension gegenüber den anderen beiden vernachlässigt werden kann.
Beispiel 1: Ein Ring mit der Masse M und dem Radius R dreht sich mit der konstanten Drehgeschwindigkeit ω um die z-Achse des Koordinatensystems. Die Masse M sei gleichmäßig über
den Ring verteilt. Die Masse eines Bogenelements ds, entsprechend dem Winkel dφ, ist dann
Mdφ/2π . Die Geschwindigkeit ist ωR, und der Betrag des Drehimpulses dieses Massenelements
ist
dL = (Mdφ/2π)(ωR)R = MR 2 ωdφ/2π.
Der Gesamtdrehimpuls des Ringes ist ein zur z-Achse paralleler Vektor mit dem Betrag
L = MR 2 ω.
Es besteht also eine lineare Beziehung zwischen dem Drehimpuls und der Drehgeschwindigkeit. Der Proportionalitätsfaktor, der in diesem Fall den Wert MR 2 hat, wird als Trägheitsmoment
bezeichnet. Das Trägheitsmoment I eines Ringes um den Mittelpunkt ist damit
I = MR 2 .
(7.1)
Frage 7.3 Geben Sie die SI-Einheiten für das Trägheitsmoment an.
Bei Rotationsbewegungen spielt das Trägheitsmoment offensichtlich die gleiche Rolle wie die
Masse bei linearen Bewegungen, wie die folgende Übersicht zeigt:
Translation
Rotation
Geschwindigkeit v ↔ Drehgeschw. ω
Masse m ↔ Trägheitsmoment I
Impuls p = mv ↔ Drehimpuls L = I ω
Beispiel 2: Eine dünne Scheibe dreht sich in der x-y-Ebene um den Mittelpunkt, der mit dem
Ursprung O des Koordinatensystems zusammenfällt. Der Radius der Scheibe sei R und die Masse
M. Das Trägheitsmoment eines Ringes mit dem Radius r und der Dicke dr ist nach (7.1)
dI = r 2 dm.
Die Masse dm ergibt sich aus der Fläche des Ringes im Verhältnis zur Gesamtfläche der Scheibe
(gleichmäßige Massenverteilung vorausgesetzt):
dm = M
2π r dr
2Mr dr
=
.
2
πR
R2
85
7.2. ROTATION UM EINE SYMMETRIEACHSE
Das Trägheitsmoment der Scheibe ist damit
2M
I= 2
R
Z
0
R
r 3 dr =
MR 2
.
2
(7.2)
Frage 7.4 Ein zentrales, kreisförmiges Loch mit dem Radius ρ < R wird aus der Scheibe
des letzten Beispiels herausgeschnitten. Können Sie das Trägheitsmoment des Restkörpers um
den Mittelpunkt angeben?
ω
l
x
dx
Abbildung 7.3: Zur Bestimmung des
Trägheitsmoments eines Stabs, der sich um
eine senkrecht zur Stabachse verlaufende
Achse durch den Mittelpunkt dreht.
Beispiel 3: Ein dünner Stab (Masse M, Länge l) dreht sich um eine Achse, die senkrecht auf die
Stabachse steht und durch den Mittelpunkt geht (Abb. 7.3). Das Element dx mit der Masse Mdx/ l
und der Geschwindigkeit ωx macht einen Beitrag Mωx 2 dx/ l zum Drehimpuls des Stabes. Das
Trägheitsmoment des Stabes ist damit
Z
Ml 2
M +l/2 2
.
(7.3)
I=
x dx =
l −l/2
12
Wir haben bis jetzt einfache zweidimensionale Körper betrachtet, die sich jeweils um eine feststehende Achse durch den Schwerpunkt drehen. Wie ändert sich das Trägheitsmoment, wenn der
gleiche Körper gezwungen wird, um eine andere Achse zu drehen? Es treten dabei zwar Zentrifugalkräfte auf, da der Schwerpunkt eine kreisförmige Bewegung um die Drehachse macht, aber die
Situation läßt sich durchaus physikalisch analysieren; die Identität von Dreh- und Schwerpunktachse ist nicht notwendig.
Beispiel 4: Der im vorigen Beispiel beschriebene Stab drehe sich um ein Ende. Um das
Trägheitsmoment zu bestimmen, brauchen wir nur die Integrationsgrenzen der Gleichung (7.3)
zu ändern:
Z
M l 2
Ml 2
I=
x dx =
.
(7.4)
l 0
3
An diesem Beispiel erkennen wir eine sehr wichtige Eigenschaft des Trägheitsmomentes:
86
KAPITEL 7. DYNAMIK STARRER KÖRPER
Der Wert des Trägheitsmoments hängt nicht nur von der Verteilung der Masse eines
Körpers ab, sondern auch von der Lage der Drehachse.
Kennen wir das Trägheitsmoment Im um eine Achse durch den Schwerpunkt, so können wir
das Trägheitsmoment I um jede dazu parallele Achse mit Hilfe des Steinerschen Satzes ausrechnen:
I = Im + Ma 2
(7.5)
(a = Abstand der beiden Achsen, M = Masse des Körpers).
Frage 7.5 Leiten Sie Gleichung (7.4) mit Hilfe des Steinerschen Satzes aus (7.3) ab.
Der Steinersche Satz läßt sich für den eindimensionalen Fall1 wie folgt beweisen: Der starre
Körper bestehe aus den Punktmassen m1 , m2 , . . . mit den Koordinaten x1 , x2 , . . .. Die Koordinate
des Schwerpunktes ist
X
xm =
mi xi /M.
i
Das Trägheitsmoment um eine Achse durch den Schwerpunkt ist
Im =
X
mi (xi − xm )2 .
i
Das Trägheitsmoment um eine Achse durch (xm + a) ist
I=
X
i
mi (xi − xm − a)2 =
X
mi (xi − xm )2 − 2a
i
X
mi (xi − xm ) + a 2
i
X
mi = Im + Ma 2 .
i
Man kann den Satz auch intuitiv verstehen, wenn man die Bewegung eines starren Körpers als
die Kombination einer linearen Bewegung des Schwerpunktes mit einer Rotation des Körpers um
den Schwerpunkt betrachtet. Eine Drehbewegung um eine beliebige Achse Z besteht demnach aus
1. einer kreisförmigen Bewegung des Schwerpunktes um Z mit der Drehgeschwindigkeit ω
und
2. einer Rotation des Körpers um eine zu Z parallele Achse durch den Schwerpunkt mit der
gleichen Drehgeschwindigkeit.
Der Schwerpunkt beschreibt einen Kreis mit dem Radius a um die Drehachse und macht daher
(als Massenpunkt betrachtet) einen zusätzlichen Beitrag Ma 2 ω zum Drehimpuls. Der Beitrag der
Drehung um den Schwerpunkt ist Im ω. Der Gesamtdrehimpuls ist damit
L = (Im + Ma 2 )ω = I ω.
Daraus folgt Gleichung (7.5) für I .
Frage 7.6 Eine Scheibe dreht sich um einen Punkt am Umfang. Berechnen Sie das
Trägheitsmoment. (Drehachse senkrecht zur Ebene der Scheibe).
1 Wir
werden diesen Satz später allgemeiner formulieren.
87
7.2. ROTATION UM EINE SYMMETRIEACHSE
Y
x
dx
X
b
Abbildung
7.4:
Berechnung
des
Trägheitsmoments eines Rechtecks. Die
Drehachse ist die z-Achse. Das Rechteck
setzt sich zusammen aus Streifen der Dicke
dx parallel zur y-Achse.
O
a
Beispiel 5: Wir berechnen das Trägheitsmoment eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und
b um den Schwerpunkt. Die Figur setzt sich aus Stäben“ mit der Länge b und der Breite dx
”
zusammen (Abb. 7.4). Die Masse eines solchen Stabes ist M dx/a und sein Trägheitsmoment um
den eigenen Schwerpunkt beträgt (siehe Beispiel 3) Mb2 dx/12a. Das Trägheitsmoment dieses
Stabs um die z-Achse ist damit nach dem Steinerschen Satz
M b2
2
dI =
+ x dx.
a 12
Um das Trägheitsmoment des Rechtecks zu ermitteln, müssen wir über alle Stäbe“ integrieren:
”
Z
2 + b2 )
M(a
M +a/2 b2
I=
+ x 2 dx =
.
(7.6)
a −a/2 12
12
Bisher habe wir nur Spezialfälle von zweidimensionalen Körpern behandelt. Der allgemeine
Fall läßt sich wie folgt darstellen: Wir nehmen als Ursprung O den Punkt, wo die Drehachse die
Ebene des Körpers schneidet. Betrachten wir nun ein Flächenelement dx dy an der Stelle (x, y).
Die Masse des Flächenelements ist σ dx dy, wo σ die Flächendichte (Masse pro Flächeneinheit)
des Körpers darstellt. Im allgemeinen ist σ nicht konstant sondern eine Funktion von x und y. Der
Beitrag des Flächenelements zum Trägheitsmoment ist
dI = σ (x, y)(x 2 + y 2 ) dx dy.
Wir erhalten das Trägheitsmoment des Körpers durch Integration über die Fläche (F ):
Z
I=
σ (x, y)(x 2 + y 2 ) dx dy.
(7.7)
F
Als Beispiel für die Anwendung dieser Gleichung berechnen wir noch einmal das
Trägheitsmoment eines homogenen Rechtecks um den Mittelpunkt. Die Flächendichte ist in diesem Fall konstant und beträgt σ = M/ab. Die Koordinate x läuft von −a/2 bis +a/2 (Abb. 7.4),
und y läuft von −b/2 bis +b/2. Das Trägheitsmoment ist also
Z
Z
Z
M +b/2 +a/2 2
M +b/2 a 3
M(a 2 + b2 )
2
2
I=
(x + y ) dx dy =
+ ay dy =
.
ab −b/2 −a/2
ab −b/2 12
12
Frage 7.7 Verwenden Sie Gleichung (7.7), um das Trägheitsmoment eines gleichseitigen
Dreiecks um den Mittelpunkt einer Seite zu berechnen.
88
KAPITEL 7. DYNAMIK STARRER KÖRPER
7.2.2
Dreidimensionale Körper
Wir haben bis jetzt nur zweidimensionale“ Körper behandelt, die außerdem immer senkrecht
”
zur Drehachse lagen. Wie berechnet man das Trägheitsmoment und den Drehimpuls eines dreidimensionalen Körpers? Hier taucht eine Komplikation auf, die im zweidimensionalen Fall nicht
existiert: ω und L müssen nicht immer parallel sein!
Nehmen wir an, daß sich der Körper um die z-Achse dreht, d.h. ω = (0, 0, ω). Die Geschwindigkeit eines Teilchens mit der Masse m an der Stelle (xi , 0, zi ) = ri ist
vi = ω × ri = (0, ωxi , 0),
und der Drehimpuls dieses Teilchens um den Ursprung ist
Li = mi ri × vi = mi ω(−zi xi , 0, xi2 ).
Dieser Vektor ist senkrecht zum Ortsvektor ri . Die z-Komponente von Li ist unabhängig von zi
und hätte also den gleichen Wert, wenn das Teilchen mi in der x-y-Ebene wäre. Wenn wir nun
die z-Komponente des Gesamtdrehimpulses (Lz ) bestimmen wollen, müssen wir über alle im
Körper enthaltenen Teilchen aufsummieren. Da nur die Entfernung von der Drehachse und nicht
die Entfernung von der x-y-Ebene in die Rechnung eingeht, haben wir im Prinzip wieder das
zweidimensionale Problem: Es gibt eine modifizierte Form der Gleichung (7.7), wenn L parallel
zur z-Achse ist:
Z
ρ(r)(x 2 + y 2 )dV .
(7.8)
Lz = ω
V
In dieser Gleichung bedeutet ρ(r) die—im allgemeinen ortsabhängige—Dichte des Körpers, und
dV ist das Volumenelement dx dy dz.
Ist nun die Drehachse ω parallel zu einer bestimmten Symmetrieachse des Körpers, kann es
sein, daß die x- und y-Komponenten des Drehimpulses verschwinden. Gleichung (7.8) gibt uns
dann den Gesamtdrehimpuls des Körpers und L ist parallel zu ω . Im allgemeinen Fall ist L
jedoch nicht parallel zu ω. Wie man diesen allgemeinen Fall behandelt, wird in (7.4) ausführlich
besprochen. In diesem und dem folgenden Abschnitt beschränken wir uns auf Rotation um Symmetrieachsen des Körpers. Ein wichtiges Ergebnis der allgemeinen Theorie sei jedoch hier vorweggenommen:
Für jeden Körper lassen sich drei senkrecht zueinander stehenden Richtungen finden,
für die der Drehimpuls parallel zur Drehachse ist. Diese Richtungen werden die Hauptachsen des Körpers genannt.
Im Falle einer Rotation um eine Hauptachse kann das Trägheitsmoment wie im zweidimensionalen Fall als skalare Größe dargestellt werden. Die Werte dieser sog. Hauptträgheitsmomente
können mit Hilfe der Gleichung (7.8) bestimmt werden. Legen wir die Koordinatenachsen parallel
zu den Hauptachsen, erhalten wir folgende Ausdrücke für die Hauptträgheitsmomente (Ix , Iy , Iz ):
Z
Ix =
2
2
ρ(r)(y + z )dV ,
V
Z
Iy =
2
2
ρ(r)(z + x )dV ,
V
Z
Iz =
ρ(r)(x 2 + y 2 )dV .
V
(7.9)
Wenn der Körper hohe Symmetrie aufweist, lassen sich die Hauptachsen oft durch Symmetriebetrachtungen bestimmen. Auch ein völlig unregelmäßig geformter Körper besitzt jedoch immer
89
7.3. KINETISCHE ENERGIE, ANWENDUNGEN
drei senkrecht zueinander stehende Hauptachsen, deren Lagen rechnerisch oder experimentell bestimmt werden können.
Die Hauptachsen sind aber nicht immer eindeutig festgelegt. Die Achse eines Zylinders mit
gleichmäßiger Massenverteilung ist z.B. immer eine Hauptachse. Aufgrund der Rotationssymmetrie kann aber jede Richtung in der zur Achse senkrecht stehenden Ebene als zweite Hauptachse
gewählt werden. Die dritte Achse ist dann automatisch festgelegt. Bei einer Kugel kann jedes orthogonales Achsenkreuz gewählt werden.
Im folgenden seien die Hauptträgheitsmomente einiger einfacher Körper angegeben. In allen
Fällen wird gleichmäßige Massenverteilung (ρ = konstant) angenommen. M bedeutet immer die
Gesamtmasse des Körpers.
A: Für ein rechtwinkliges Parallelepiped mit Kanten der Länge a, b, c jeweils parallel zu den
x-, y- und z-Achsen gilt:
Ix = M(b2 + c2 )/12,
Iy = M(c2 + a 2 )/12,
Iz = M(a 2 + b2 )/12.
(7.10)
B: Ein hohler Kreiszylinder der Höhe H mit dem äußeren Radius R1 und dem inneren Radius
R2 , dessen Achse in z-Richtung liegt, hat die Trägheitsmomente:
Ix = Iy = M(3R12 + 3R22 + H 2 )/12,
Iz = M(R12 + R22 )/2.
(7.11)
C: Für eine Hohlkugel mit dem äußeren Radius R1 und dem inneren Radius R2 gilt
Ix = Iy = Iz =
2M(R15 − R25 )
5(R13 − R23 )
(7.12)
Versuchen Sie als Übungen die oben aufgeführten Ergebnisse mit Hilfe der Gleichungen (7.9)
bzw. durch Verallgemeinerung der Ergebnisse für zweidimensionale Körper zu beweisen. Die Ableitungen finden Sie im Anhang A.1.
7.3
Kinetische Energie, Anwendungen
Es bieten sich zwei Methoden an, die kinetische Energie eines sich drehenden starren Körpers
abzuleiten:
1. aus der von einem Drehmoment geleisteten Arbeit,
2. aus der kinetischen Energie aller zum Körper gehörenden Massenpunkte.
Methode 1: Ein Körper befinde sich zunächst in Ruhe in einem Inertialsystem. Eine Kraft F
greift an einem bestimmten Punkt P des Körpers an. Gleichzeitig wirkt eine betragsmäßig gleiche aber in der Richtung entgegengesetzte Kraft −F am Schwerpunkt S. Es wirkt daher um den
Schwerpunkt ein Drehmoment mit dem Betrag F a, wobei a den senkrechten Abstand der Kraft F
von S bedeutet. Die Gesamtkraft ist aber Null, d.h. der Schwerpunkt wird nicht beschleunigt. Der
Körper dreht sich um eine durch S verlaufende Achse, gewinnt aber keine Translationsenergie.
Die Richtung des Drehmoments sei parallel zu einer Hauptachse. Dreht sich der Körper mit der
Drehgeschwindigkeit ω um diese Hauptachse, so ist die in einem Zeitintervall dt von F geleistete
Arbeit
dA = F aω dt.
90
KAPITEL 7. DYNAMIK STARRER KÖRPER
Diese Arbeit entspricht aber gerade der Zunahme dEkr der kinetischen Energie der Rotation. Es
ist also
dEkr = F aω dt.
Aus der Beziehung Zwischen Drehmoment und Impulsänderung
Fa =
dL
dω
=I
dt
dt
folgt
F a dt = I dω
und damit
dEkr = I ω dω.
Mit der Anfangsbedingung Ekr = 0 für ω = 0 erhalten wir nach Integration:
1
Ekr = I ω2 .
2
(7.13)
Diese Gleichung ist völlig analog zu der Beziehung
1
Ekt = mv 2
2
für die kinetische Energie einer Translationsbewegung.
Methode 2: Ein Körper drehe sich mit der Drehgeschwindigkeit ω um eine Hauptachse, die wir
als z-Achse des Koordinatensystems wählen. Ein Volumenelement dV an der Stelle r = (x, y, z)
hat die Masse ρ dV , die Geschwindigkeit
q
v = ω x2 + y2
und damit die kinetische Energie
1
dEkr = ρ(x 2 + y 2 )ω2 dV .
2
Integration dieser Gleichung führt unter Verwendung von (7.9) zum gleichen Ergebnis (7.13) wie
die Methode 1.
Wir haben schon gesehen, daß sich die Bewegung eines starren Körpers aus einer Translationsbewegung des Schwerpunktes und einer Rotation um den Schwerpunkt zusammensetzen läßt.
Entsprechend ist die kinetische Energie insgesamt
1
Ek = Ekt + Ekr = (Mv 2 + I ω2 ).
2
Frage 7.8 Berechnen Sie das Verhältnis Ekt /Ekr eines rollenden Vollzylinders. (V = ωR)
Im folgende seien einige Beispiel für die Anwendung der bisher abgeleiteten Gesetzmäßigkeiten auf einfache Systeme gegeben.
7.3. KINETISCHE ENERGIE, ANWENDUNGEN
91
Beispiel 1: Bewegungsgleichung eines auf einer geneigten Ebene rollenden Zylinders.
Dieses Problem läßt sich am einfachsten aus Energiebetrachtungen lösen. Für einen Zylinder,
der ohne zu rutschen rollt, besteht zwischen v und ω die Beziehung,
v = ωR.
Für das Trägheitsmoment folgt aus (7.11) mit R1 = R und R2 = 0
I = MR 2 /2.
Die kinetische Energie ist damit
3
Ek = Mv 2 .
4
Dies entspricht bei einer reinen Translationsbewegung der kinetischen Energie einer Masse
3M/2. Gegenüber der reinen Translationsbewegung ist die Rollbewegung mit einer zusätzlichen
Trägheit (M/2) verbunden. Die Beschleunigung auf der geneigten Ebene ist also nicht g sin α (α =
Neigungswinkel, g = Erdbeschleunigung), sondern 23 g sin α, und die Beziehung zwischen x und t
ist (für x(0) = 0 und ẋ(0) = 0):
g sin α 2
x=
t .
3
Frage 7.9 Bestimmen Sie die kinetische Energie einer rollenden Kugel.
Beispiel 2: Das Anstoßen einer Billiardkugel. Eine auf dem Tisch ruhende Billiardkugel (Masse M, Radius R) erhält durch das Queue einen horizontalen Impulsstoß p. Die Höhe des Kontaktpunktes über der Tischoberfläche sei h. Durch den Stoß erhält die Kugel sowohl Impuls als auch
Drehimpuls. Der Impulsbetrag ist p, und die Geschwindigkeit v des Schwerpunktes unmittelbar
nach dem Stoß ist also
v = p/M.
Wenn der Stoß in der Horizontalebene zentral ist, erhält die Kugel eine Rotation um eine senkrecht
zu v stehende horizontale Achse. Der Betrag des Drehimpulses ist p(h − R), und die Drehgeschwindigkeit ist damit
ω = p(h − R)/I = 5p(h − R)/2MR 2 .
Frage 7.10 In welche Höhe muß die Kugel angestoßen werden, damit sie nach dem Stoß
eine reine Rollbewegung macht?
Beispiel 3: Das Reversionspendel. Ein Körper wird so aufgehängt, daß er frei um eine horizontale Achse durch den Punkt P (s. Abb. 7.5) schwingen kann. Der Abstand der Drehachse von
Schwerpunkt S sei k1 . Das Trägheitsmoment um die Drehachse ist nach dem Steinerschen Satz
I1 = Im + Mk12
(Im = Trägheitsmoment um eine parallele Achse durch den Schwerpunkt, M = Masse des Körpers). Bei einem Drehwinkel α aus der Ruhelage ist das Drehmoment
−Mgk1 sin α ≈ −Mgk1 α
92
KAPITEL 7. DYNAMIK STARRER KÖRPER
P
α
k1
S
k2
α Q
Abbildung 7.5: Schematische Darstellung
eines Reversionspendels. Das Pendel wird
zunächst am Punkt P und dann am Punkt Q
aufgehängt. S ist der Schwerpunkt.
Mg
für kleine Winkel. Die Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungen lautet also
(Im + Mk12 )α̈ = −Mgk1 α.
Die Kreisfrequenz der Schwingung (Kapitel 5) ist
s
Mgk1
ω1 =
.
Im + Mk12
(7.14)
Verlängern wir die Gerade PS nach Q mit SQ = k2 , so ist die Kreisfrequenz einer Schwingung
um eine parallele Achse durch Q
s
Mgk2
ω2 =
.
(7.15)
Im + Mk22
Durch Variation von k1 oder k2 kann man den Punkt finden, wo die beiden Frequenzen gleich sind.
Dann folgt aus den Gleichungen (7.14) und (7.15) mit ω1 = ω2 = ω:
g = ω2 (k1 + k2 ).
Diese Gleichung enthält nur die gemeinsame Kreisfrequenz und den Abstand zwischen den Punkten P und Q. Sie bildet die Grundlage für eine genaue experimentelle Methode zur Bestimmung
der Erdbeschleunigung g. Experimentell schwer zu bestimmende Größen wie der Abstand vom
Schwerpunkt oder das Trägheitsmoment I entfallen.
Beispiel 4: Der Kreisel. Ein Kreisel besteht aus einem Körper, meistens einer Scheibe auf einer
Achse, der sich um eine Hauptachse dreht. Wegen der Drehimpulserhaltung behält die Drehachse
des Kreisels ihre Lage im Raum, wenn der Kreisel so aufgehängt wird, daß keine Drehmomente
auf ihn wirken. Von dieser Eigenschaft des Kreisels, seine Orientierung beizubehalten, wird z.B.
in Flugzeuginstrumenten (Kreiselkompaß, künstlicher Horizont) Gebrauch gemacht. Wie verhält
sich ein drehender Kreisel unter dem Einfluß eines äußeren Drehmoments?
Abb. 7.6 zeigt einen Kreisel, dessen Spitze auf einer festen Unterlage ruht. Die Achse des
Kreisels ist jedoch um den Winkel α zur Vertikale geneigt. Damit befindet sich der Schwerpunkt
93
7.3. KINETISCHE ENERGIE, ANWENDUNGEN
Z
ω
S
A
α
b
Abbildung 7.6: Der Kreisel. Die Achse des Kreisels ist nicht senkrecht. Dadurch entsteht ein Drehmoment, das die
Präzessionsbewegung verursacht.
Mg
S nicht über dem Auflagepunkt A, und das Gewicht Mg erzeugt ein Drehmoment mit dem Betrag
Mgb sin α um den Punkt A, wobei b den Abstand AS bedeutet. Wir wählen das folgende Koordinatensystem: A ist der Ursprung und die z-Achse zeigt vertikal nach oben. Die Achse des Kreisels
befindet sich im Augenblick in der x-z-Ebene. Der Drehimpuls des Kreisels ist L = I ω .
Die Vektoren L und D (Drehmoment) haben die Komponenten
L = I ω(sin α, 0, cos α),
D = (0, Mgb sin α, 0).
Die Änderung in L bestimmen wir aus der Beziehung
dL = D dt.
Wenn wir die Komponenten einsetzen, erhalten wir
dL = (0, Mgb sin α dt, 0).
(7.16)
Daraus folgt, daß die Änderung in L immer senkrecht zu der Ebene ist, die die Vertikale und den
Vektor L enthält. Dies bedeutet, daß sich der Vektor L, und damit die Achse des Kreisels, auf einer
Kegelfläche um die Vertikale dreht. Diese Bewegung wird als Präzession bezeichnet. Die Kreisfrequenz  der Präzession läßt sich aus der Geometrie des im Abb. 7.7 gezeigten Vektordiagramms
ermitteln: Der Radius des Kreises, den die Spitze des Vektors L beschreibt, ist
r = L sin α = I ω sin α.
Der durch diese Rotation gegebene Betrag dL ist
dL = rdt = I ω sin α dt.
Mit 7.16 folgt schließlich
Mgb
.
Iω
Diese Gleichung zeigt, daß die Präzessionsgeschwindigkeit nicht von dem Neigungswinkel α
abhängt.
=
94
KAPITEL 7. DYNAMIK STARRER KÖRPER
Ω
r
L
α
dL
L+ d L
Abbildung 7.7: Die Präzession eines Kreisels. dL ist die Änderung des Drehimpulsvektors L im Zeitintervall dt.  ist die
Präzessionsgeschwindigkeit.
7.4
Allgemeine Rotationsgleichungen
7.4.1
Trägheitsmoment als Tensor
Im Abschnitt 7.2 wurde gezeigt, daß die einfache Beziehung
L = Iω
zwischen Drehimpuls und Drehgeschwindigkeit, in der das Trägheitsmoment als ein skalarer Faktor erscheint, nur dann gilt, wenn die Rotationsachse mit einer der Hauptachsen zusammenfällt. Im
allgemeinen, wie in einem einfachen Beispiel gezeigt wurde, sind die Vektoren ω und L nicht parallel zueinander. Das Trägheitsmoment muß also eine etwas kompliziertere Struktur haben. In den
bisher behandelten Beispielen konnten nur Drehungen um solche Hauptachsen behandelt werden.
Viele Fragen sind noch offen geblieben, z.B.
– Können wir eine allgemeingültige Definition des Trägheitsmoments finden, die eine
mögliche Nichtparallelität von L und ω berücksichtigt?
– Wie findet man die Hauptachsen?
– Welche Kräfte treten auf, wenn ein Körper gezwungen wird, sich um eine Achse zu drehen,
die keine Hauptachse des Körpers ist?
– Wie verhält sich ein Körper, der kräftefrei um eine allgemeine Drehachse rotiert?
Ein kleines Problem zur Einführung in das Thema dieses Abschnitts:
Frage 7.11 Ein Körper besteht aus zwei gleichen Massen m an den Enden eines leichten
Stabs mit der Länge 2l und dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω um eine Achse, die
durch den Mittelpunkt des Stabes geht aber in einem von 900 verschiedenen Winkel α zum
Stab (Abb. 7.8). Welche Kräfte bzw. Drehmomente werden auf die Achse ausgeübt? In welche
Richtung zeigt der Drehimpulsvektor?
Wie bestimmen wir den Drehimpuls eines Körpers, der sich um eine beliebige Achse dreht?
Wir nehmen ein System von starr miteinander verbundenen Massenpunkten als Modell für den
starren Körper. Die Masse eines Massenpunktes sei mi , sein Ortsvektor bezogen auf den Ursprung
O des Koordinatensystems, der auf der Drehachse liegt, ri . Wir berechnen den Drehimpuls dieses
Massenpunktes und addieren die Beiträge aller Massenpunkte des Körpers.
95
7.4. ALLGEMEINE ROTATIONSGLEICHUNGEN
ω
m
l
l
Abbildung 7.8: Ein einfacher starrer
”
Körper“, bestehend aus zwei Punktmassen
auf einem massenlosen Stab. Die Drehachse
bildet mit dem Stab einen Winkel α 6 = 90◦ .
α
m
Der Beitrag des Massenpunktes ist
Li = mi ri × vi = mi ri × (ω × ri ).
Wir wenden die Regel für das Vektorprodukt an und erhalten für die Komponenten:
Lxi = mi (yi2 + zi2 )ωx − mi xi yi ωy − mi zi xi ωz
Lyi =−mi xi yi ωx + mi (zi2 + xi2 )ωy − mi yi zi ωz
Lzi =−mi zi xi ωx − mi yi zi ωy + mi (xi2 + yi2 )ωz .
Summieren über alle Massen führt schließlich zum folgenden Gleichungssystem, das eine ganz
allgemeine Beziehung zwischen Drehimpuls L und Drehgeschwindigkeit ω darstellt:
Lx = Ixx ωx + Ixy ωy + Ixz ωz
(7.17)
Ly = Iyx ωx + Iyy ωy + Iyz ωz
Lz = Izx ωx + Izy ωy + Izz ωz
mit
Ixx =
X
i
mi (yi2 + zi2 ) usw.
Ixy = Iyx = −
X
mi xi yi usw.
(7.18)
i
Die übrigen Beziehungen ergeben sich durch zyklisches Vertauschen der Koordinaten (x → y →
z → x . . ..) Bei einer kontinuierlichen Massenverteilung können wir die Gleichungen (7.18) in
Integralform darstellen:
Z
Z
2
2
Ixx = ρ(r)(y + z )dV usw.
Ixy = Iyx = − ρ(r)xy dV usw.
(7.19)
V
V
Lineare Beziehungen der Form (7.17) zwischen Vektoren kommen in der Physik sehr häufig
vor. In Matrixform lauten die Gleichungen (7.17)
96
KAPITEL 7. DYNAMIK STARRER KÖRPER

 
 
Ixx Ixy Ixz
Lx
ωx
Ly  = Iyx Iyy Iyz  ωy 
Lz
Izx Izy Izz
ωz
(7.20)
L = Iˆω.
(7.21)
oder in symbolischer Form:
Die Größe Iˆ (die allgemeine Form des Trägheitsmoments) ist also keine skalare Größe, da
wir insgesamt neun Zahlen brauchen, um diese Größe zu bestimmen. Eine solche Größe wird als
Tensor zweiter Stufe2 bezeichnet und mathematisch als Matrix dargestellt.
Als Beispiel berechnen wir nun alle Komponenten des Trägheitsmoments für das in Abb. 7.8
dargestellten Beispiels unter folgenden Annahmen:
1. Der Mittelpunkt des Stabs fällt mit dem Ursprung des Koordinatensystems zusammen
2. ω ist parallel zur z-Achse
3. Der Stab liegt zum betrachteten Zeitpunkt in der x-z-Ebene.
Dazu brauchen wir zunächst die Koordinaten der beiden Massenpunkte:
r1 = l(sin α, 0, cos α),
r2 = −l(sin α, 0, cos α).
Die Komponenten des Trägheitsmoments berechnen wir nach Gleichung (7.18):

cos2 α
0 − sin α cos α
.
0
1
0
Iˆ = 2ml 2 
2
− sin α cos α 0
sin α

Mit ω = (0, 0, ω) erhalten wir für L
L = 2ml 2 ω sin α(− cos α, 0, sin α).
Wenn wir das Skalarprodukt des Vektors L mit den zum Stab parallelen Vektoren r1 bzw. r2 bilden,
finden wir
L.r1 = L.r2 = 0.
L ist also senkrecht zur Verbindungslinie zwischen den beiden Massen. (Dieses Ergebnis folgt
auch direkt aus der Definition L = m(r × v)).
Die Tatsache, daß die obigen Gleichungen keine zeitabhägigen Glieder enthalten, zeigt, daß die
Komponenten des Drehimpulses, bezogen auf ein mit dem rotierenden Körper verbundenen
Achsenkreuz konstant sind. In einem Inertialsystem rotiert L deshalb zusammen mit dem Körper
und mit der gleichen Drehgeschwindigkeit. Der Drehimpuls L ist also nicht konstant, und die
Rotation um diese Achse kann nur durch ein äußeres Drehmoment aufrechterhalten werden. Nur
in dem speziellen Fall, wo L parallel zur Drehachse ist (Hauptachsenrotation), bleibt dieser Vektor
während der Drehung konstant.
Im allgemeinen Fall ist die Größe des Drehmoments durch
M = L̇
2 Ein
Vektor ist ein Tensor erster Stufe.
7.4. ALLGEMEINE ROTATIONSGLEICHUNGEN
97
gegeben. In einem Zeitintervall dt bewegt sich die Spitze des Vektors L um die Strecke dL =
ω × L dt. Damit gilt
M = ω × L.
M ist also senkrecht zu ω und L und rotiert ebenfalls mit der Drehgeschwindigkeit ω. Der Betrag
von M ist ωL cos α und damit im betrachteten Spezialfall
M = 2mω2 l 2 sin α cos α = mωl 2 sin(2α).
In diesem einfachen Fall läßt sich das Drehmoment auch auf andere Weise bestimmen: Auf
jede Masse wirkt die Zentrifugalkraft Fz = mωl sin α, und der senkrechte Abstand zwischen den
beiden Kräften ist a = 2l cos α. Das Produkt Fz a ergibt das gleiche Ergebnis für M.
Bei α = 900 ist das Drehmoment Null, der Körper rotiert also kräftefrei um diese Achse. Der
Drehimpuls L ist parallel zur Drehachse ω.
Jede Drehachse, für die der Drehimpuls parallel zur Achse ist, wird als Hauptachse
bezeichnet.
Wird ein starrer Körper gezwungen, sich mit konstanter Geschwindigkeit ω um eine Achse zu
drehen, die nicht mit einer Hauptachse zusammenfällt, tritt ein umlaufendes Drehmoment auf.
Frage 7.12 Welche physikalischen Bedingungen müssen erfüllt werden, wenn ein Autorad
richtig ausgewuchtet“ wird?
”
7.4.2
Bestimmung der Hauptachsen
Bei Körpern, die eine gewisse Symmetrie aufweisen, fallen die Hauptachsen mit den Hauptsymmetrieachsen zusammen. Im allgemeinen Fall müssen wir die Parallelität der Vektoren L und
ω mathematisch formulieren: L und ω sind parallel zueinander, wenn die Beziehung L = λω
erfüllt wird, wo λ eine skalare Größe bedeutet:

  

Ixx Ixy Ixz
ωx
λωx
Iyx Iyy Iyz  ωy  = λωy  .
Izx Izy Izz
ωz
λωz
Diese Gleichung ergibt in Komponentenschreibweise:
(Ixx − λ)ωx + Ixy ωy + Ixz ωz = 0
Ixy ωx + (Iyy − λ)ωy + Iyz ωz = 0
Ixz ωx + Iyz ωy + (Izz − λ)ωz = 0
Wir haben wieder drei lineare, homogene Gleichungen, die nur dann eine sinnvolle Lösung haben,
wenn die Determinante der Koeffizienten verschwindet:
Ixx − λ
Ixy
Ixz Ixy
Iyy − λ
Iyz = 0.
I
Iyz
Izz − λ
xz
Diese ist eine kubische Gleichung in λ, die drei Lösungen (λ1 , λ2 , λ3 ) hat. Zu jedem Wert von
λ gehört eine Lösung für ω, die eine Hauptachse darstellt. Im Falle von symmetrischen Matrizen
mit reellen Komponenten (wie die Matrixdarstellung von Iˆ) haben die Hauptachsen einige für die
Physik wichtige Eigenschaften (Beweis s. Anhang A.4):
98
KAPITEL 7. DYNAMIK STARRER KÖRPER
1. Die Lösungen (λ1 , λ2 , λ3 ) sind immer reell. Es existieren daher immer drei Hauptachsen.
2. Wenn (λ1 , λ2 , λ3 ) alle verschiedene Werte haben, sind die entsprechenden Hauptachsen eindeutig bestimmt und stehen senkrecht aufeinander.
3. Haben zwei Hauptachsen den gleichen Wert von λ (z.B. λ1 = λ2 ), erfüllt auch jede lineare
Kombination dieser beiden Richtungen die Hauptachsenbedingung Lkω. Die Hauptachsen
sind also nicht eindeutig festgelegt. Es ist aber immer möglich, drei senkrecht zueinander
stehenden Richtungen als Hauptachsen festzulegen.
Da die Hauptachsen senkrecht aufeinander stehen, können sie als die Achsen eines kartesischen
Koordinatensystems verwendet werden. Wenn man dies tut, so müssen alle nichtdiagonalen Elemente des Tensors Iˆ verschwinden, damit die Bedingung Lkω für (ω, 0, 0), (0, ω, 0) und (0, 0, ω)
erfüllt wird. Damit nimmt die Matrixdarstellung von Iˆ folgende einfache Form an (Hauptachsendarstellung):


Ix 0 0
Iˆ =  0 Iy 0  .
0 0 Iz
Ix , Iy , Iz sind die sog. Hauptträgheitsmomente. Ihre Werte ergeben sich aus der Lösung der
kubischen Gleichung für λ.
7.4.3
Bewegungsgleichungen eines starren Körpers
In diesem Abschnitt wollen wir untersuchen, wie das Verhalten eines starren Körpers unter dem
Einfluß von Drehmomenten allgemein bestimmt werden kann. Wir beginnen mit dem kräftefreien
Fall, da die Bewegung eines starren Körpers auch dann recht kompliziert sein kann, wenn keine
äußeren Kräfte auf ihn wirken.
Zunächst stellen wir fest, daß aufgrund der Drehimpulserhaltung der Vektor L nach Betrag
und Richtung im kräftefreien Fall konstant sein muß. Wir haben gesehen, daß diese Bedingung
im allgemeinen nicht erfüllt wird, wenn die Drehgeschwindigkeit ω konstant ist, so daß ω nur
durch die Einwirkung äußerer Drehmomente konstant gehalten werden kann. Daraus folgt, daß
ω bei kräftefreier Bewegung im allgemeinen nicht konstant ist. Die Änderung in ω ergibt sich
quantitativ aus der Forderung L̇ = 0: Der Vektor ω muß sich so ändern, daß die Änderung in L,
die sonst auftreten würde, genau kompensiert wird. Bei konstantem ω wäre die Änderung in L im
Zeitintervall dt
(dL)1 = ω × L dt.
Die Änderung in ω ist dω = ω̇ dt, und die dadurch verursachte Änderung in L beträgt
(dL)2 = Iˆω̇ dt.
In der Hauptachsendarstellung gilt
L = (Ix ωx , Iy ωy , Iz ωz )
und
Iˆω̇ = (Ix ω̇x , Iy ω̇y , Iz ω̇z ).
Die Bedingung
(dL)1 + (dL)2 = 0
(7.22)
führt dann zu den folgenden Bewegungsgleichungen für den kräftefreien Fall:
ω̇x =
Iy − Iz
Ix
ωy ωz
ω̇y =
Iz − Ix
ωz ωx
Iy
ω̇z =
Ix − Iy
Iz
ωx ωy
(7.23)
99
7.4. ALLGEMEINE ROTATIONSGLEICHUNGEN
Bei den Gleichungen (7.23) handelt es sich um eine spezielle Form der sog. Eulerschen Gleichungen3 . In ihrer allgemeinen Form berücksichtigen diese Gleichungen die Wirkung von äußeren
Kräften: Auf der rechten Seite von (7.22) setzt man M dt ein, wobei M das äußere Drehmoment
ist. Das Ergebnis ist:
Ix ω̇x + (Iz − Iy )ωy ωz = Mx
Iy ω̇y + (Ix − Iz )ωz ωx = My
(7.24)
Iz ω̇z + (Iy − Ix )ωx ωy = Mz
Das Wandern der Drehachse bei der kräftefreien Bewegung eines starren Körpers wird als Nutation bezeichnet. Im allgemeinen Fall ist diese Bewegung ziemlich kompliziert. Um das Prinzip
zu zeigen, nehmen wir als Vereinfachung an, daß zwei Hauptwerte gleich sind, z.B. Ix = Iy . Aus
der dritten Gleichung folgt: ω̇z = 0, d.h. die z-Komponenten von ω ist konstant. Der Betrag von L
ist durch die Gleichung
L2 = Ix2 ωx2 + Iy2 ωy2 + Iz2 ωz2 ,
gegeben, die im ω-Raum ein Ellipsoid mit den Hauptachsen 2L/Ix , 2L/Iy und 2L/Iz darstellt.
Die zu einem bestimmten Wert von L gehörenden, möglichen Werte des Vektors ω sind durch die
Oberfläche dieses Ellipsoids gegeben. In diesem Fall (Ix = Iy ) ist das Ellipsoid rotationssymmetrisch um die z-Achse. Die Bedingung ωz = konstant bedeutet, daß sich die Spitze des Vektors ω
auf einer kreisförmigen Bahn um die z-Achse bewegt. Wegen der Symmetrie des Problems ist die
Drehgeschwindigkeit ωN (Nutationsgeschwindigkeit) konstant.
Der Winkel φ zwischen ω und der z-Achse ist konstant, und der Winkel zwischen der x-Achse
und der Projektion von ω auf die x-y-Ebene ist (bei geeigneter Wahl des Zeitnullpunktes) θ = ωN t.
Die Komponenten des Vektors ω und ihre Ableitungen sind:
ωx = ω sin φ cos ωN t
ωy = ω sin φ sin ωN t
ω̇x = −ωωN sin φ sin ωN t
ω̇y = ωωN sin φ cos ωN t
ωz = ω cos φ
ω̇z = 0.
Einsetzen in (7.23) ergibt
ωN =
Iz − Ix
ω cos φ.
Ix
(7.25)
Die Drehachse bewegt sich relativ zu den körperfesten Achsen mit dieser Winkelgeschwindigkeit
um die z-Achse.
Beispiel: Nutation der Erde. Die Erde ist eine etwas abgeplattete“ Kugel, die in guter Näherung
”
um eine Achse rotationssymmetrisch ist. Die Rotationsachse stimmt aber nicht genau mit der NS-Hauptachse überein. Infolgedessen wandert der Nordpol um einen Kreis von ungefähr 15 m
Durchmesser in einer Periode von rd. 427 Tagen. Wir können hier Gleichung (7.25) anwenden, um
die relative Differenz der Hauptträgheitsmomente der Erde zu bestimmen. Iz ist der Hauptwert des
Trägheitsmoments für die N-S-Hauptachse, und Ix der Wert für eine Achse in der Äquatorebene.
3 Leonhardt
Euler (1707-1783).
100
KAPITEL 7. DYNAMIK STARRER KÖRPER
Der Winkel φ ist extrem klein, so daß wir cos φ = 1 setzen können. Der relative Unterschied in
den Hauptwerten ist damit
|Iz − Ix |
ω
1
= N =
.
Ix
ω
427
Frage 7.13 Es ist zu erwarten, daß Iz > Ix sein wird, da die Erde am Äquator den größten
Umfang hat. In welche Richtung wandert die Drehachse, von O nach W oder umgekehrt?
Zum Schluß des Kapitels seien hier zwei Ergebnisse ohne Beweis zitiert, die Sie als Übung
selbst beweisen können. Die Lösungen finden Sie im Anhang A.2 bzw. A.3
1. Kinetische Energie. Der allgemeine Ausdruck für die kinetische Energie eines drehenden
Körpers ist
1
Ekr = (Ixx ωx2 + Iyy ωy2 + Izz ωz2 ) + Ixy ωx ωy + Iyz ωy ωz + Izx ωz ωx .
2
2. Der Steinersche Satz. Der Steinersche Satz läßt sich allgemeiner formulieren. Es seien
(m) (m)
Ixx
, Ixy . . . die Trägheitsmomente eines Körpers bezogen auf ein Koordinatensystem S, in dem
der Schwerpunkt O als Ursprung dient. Ein zweites Achsenkreuz S 0 hat seinen Ursprung am Punkt
(X, Y, Z). Die Achsen der beiden Koordinatensysteme seien parallel zueinander. Die Masse des
Körpers sei M. Die Elemente des Trägheitsmomenttensors im zweiten System sind:
(m)
Ixx = Ixx
+ M(Y 2 + Z 2 ) usw.
7.5
(m)
Ixy = Ixy
− MXY usw.
Antworten zu den Fragen
Frage 7.1 Der Massenpunkt“ hat natürlich 6 Freiheitsgrade, aber drei davon—die Orts-ko”
ordinaten—tragen nichts zur Energie bei, weil es keine Wechselwirkung gibt. Der harmonische
Oszillator hat dagegen sowohl potentielle als auch kinetische Energie.
Frage 7.2 Die einzige Zahl, die nicht direkt aus der Problemstellung abgelesen oder aus Symmetrieüberlegungen ermittelt werden kann, ist der Winkel θ . Der Kosinus dieses Winkels ist das
Skalarprodukt der Vektoren (0, 0, 1) und (1, 1, 1) dividiert durch die Beträge der Vektoren:
√
cos θ = 1/ 3
⇒
θ = 54,7◦ .
Die übrigen Koordinaten sind:
xm = 10, ym = 10, zm = 0, φ = 45◦ , α = 30◦ .
Frage 7.3 Das Trägheitsmoment ist Masse mal (Länge)2 . Die SI-Einheiten sind also kg m2 .
101
7.5. ANTWORTEN ZU DEN FRAGEN
Frage 7.4 Die Rechnung ist die gleiche wie für eine volle Scheibe, nur laufen die Grenzen der
Integration von ρ bis R statt von 0 bis R:
Z
2M R 3
M(R 2 − ρ 2 )
r dr =
.
I= 2
2
R ρ
Frage 7.5 In der Gleichung
I = Im + Ma 2
ist
Im =
und
Ml 2
12
l
a= .
2
Damit ist
Ml 2 Ml 2
Ml 2
+
=
.
12
4
3
I=
Frage 7.6 Wir wende den Steinerschen Satz
I = Im + Ma 2
an. Aus (7.2) folgt
MR 2
.
2
Für einen Punkt am Umfang is a = R. Das Trägheitsmoment ist damit
Im =
I=
3MR 2
MR 2
+ MR 2 =
.
2
2
Frage 7.7 Die Seitenlänge des Dreiecks sei 2l. Wir wählen die Drehachse als die z-Koordinatenachse (s. Abb. 7.9) und berechnen das Trägheitsmoment um den Ursprung in der x-yEbene. Die
betreffende
√ Seite des Dreiecks wird als x-Achse gewählt, und die Höhe des Dreiecks in y-Richtung
ist damit 3l. Aufgrund der Symmetrie genügt es, über die rechte Hälfte zu integrieren√und mit 2
zu multiplizieren. Die x-Koordinate läuft von 0 bis l, und y bei gegebenem x von 0 bis 3(l − x)
(s. Abb. 7.9). Das Trägheitsmoment ist also
√
Z
l
Z
3(l−x)
I = 2σ
(x 2 + y 2 )dxdy.
x=0 y=0
Die Integration über y ergibt
√ Z l 3
I = 2σ 3 (l − 3l 2 x + 4lx 2 − 2x 3 )dx
0
102
KAPITEL 7. DYNAMIK STARRER KÖRPER
Y
3l
3 (l-x)
Abbildung 7.9: Zur Berechnung des
Trägheitsmoments eines gleichseitigen
Dreiecks um eine Achse durch den Mittelpunkt einer Seite.
√ Die Seitenlänge ist 2l,
die Höhe damit 3l, die Rotationsachse ist
die z-Achse, und die x-Achse ist parallel zu
einer Seite.
-l
O
und nach dem zweiten Integrationsschritt
√
2σ 3l 4
I=
.
3
Die Fläche des Dreiecks ist
√
A=
und mit der Masse M ist
3l 2 ,
M
σ =√
3l 2
und damit
2Ml 2
I=
.
3
Frage 7.8 Aus Gleichung (7.11) mit R1 = R und R2 = 0 erhalten wir
I=
MR 2
2
und dementsprechend
Ekr
1 2 MR 2 ω2
= Iω =
.
2
4
Mit v = ωR (Rollen) ist
1
MR 2 ω2
.
Ekt = Mv 2 =
2
2
Das Verhältnis ist also
Ekt
= 2.
Ekr
x
l
X
103
7.5. ANTWORTEN ZU DEN FRAGEN
Frage 7.9 Aus Gleichung (7.12) folgt mit R1 = R und R2 = 0
I=
2MR 2
.
5
Mit v = Rω erhalten wir für die kinetische Energie
Ek =
7MR 2 ω2
.
10
Frage 7.10 Damit die Kugel rollt, müssen v und ω die Bedingung v = Rω erfüllen. Mit v =
p/M und ω = 5p(h − R)/2MR 2 ergibt diese Bedingung h = 7R/5.
Frage 7.11 Nehmen wir den Mittelpunkt des Stabs als Ursprung. Aus L = r×mv und v = ω×r
folgt, daß L senkrecht zur Stabachse und in der durch den Stab und die Drehachse definierten Ebene liegt. L ist also nicht konstant, sondern rotiert mit der Drehgeschwindigkeit ω um die Drehachse. Um diese Bewegung aufrechtzuerhalten, brauchen wir also ein Drehmoment, das ebenfalls mit
dem Körper rotiert. Wie ausführlich später im Text besprochen wird, kompensiert dieses Drehmoment das Drehmoment der beiden Zentrifugalkräfte.
Frage 7.12 Der Schwerpunkt muß auf der Achse liegen, und die Achse muß parallel zu einer
Hauptachse sein.
Frage 7.13 Da das Verhältnis ωN /ω positiv ist, wandern die Pole in Richtung der Erdrotation,
also von W nach O.
104
KAPITEL 7. DYNAMIK STARRER KÖRPER
105
Kapitel 8
Wellen
8.1
Die Wellengleichung
Wirft man einen Stein ins Wasser, so bildet sich um die Auftreffstelle auf der Wasseroberfläche ein System von konzentrischen Ringen von Wasserbergen“ und Wassertälern“ aus, die
”
”
sich mit konstanter Geschwindigkeit ausdehnen. Dieses Phänomen zeigt, daß eine lokale Störung
sich räumlich ausbreiten kann. Die Störung besteht in diesem betrachteten Beispiel darin, daß einer Anzahl von Flüssigkeitsteilchen in dem ruhenden Gewässer durch den Steinwurf Impuls und
Energie übertragen worden ist. Diese lokale Impuls- und Energieänderung einer Anzahl von Teilchen wird nun über Entfernungen hinweg auf benachbarte Teilchen übertragen, Entfernungen, die
weit größer sind als der Bewegungsbereich der einzelnen Teilchen. Man bezeichnet nun diese Ausbreitung einer lokalen Störung in einem Medium als Wellenbewegung. Diese wellenförmige Ausbreitung von Energie und Impuls ist nur dadurch möglich, daß viele Teilchen im Wasser kollektiv
zusammenwirken.
Nach denselben Gesetzmäßigkeiten breiten sich auch Schallwellen, Radiowellen, Lichtwellen
aus. Wir wollen uns im folgenden diese Gesetzmäßigkeiten von Wellenbewegungen erarbeiten.
Als Beispiel für die mathematische Beschreibung einer Welle wollen wir Seilwellen (Abb. 8.1)
betrachten: Bei einem horizontal gespannten Seil breitet sich eine in vertikaler Richtung erzeugte Auslenkung des Seils, welche eine lokale Störung der Seilform darstellt, mit endlicher Geschwindigkeit v längs des Seils aus. An einem Punkt mit der Ortskoordinate x erfolgt die gleiche Auslenkung wie am Ursprung (x = 0), aber mit einer Zeitverzögerung x/v. Die Orts- und
Zeitabhängigkeit der Auslenkung kann daher allgemein durch eine Funktion der Form
y = f (t − x/v)
(8.1)
dargestellt werden.
Gleichung (8.1) stellt die allgemeinste Form einer Störung dar, die sich in einer Dimension mit
der Geschwindigkeit v 1 fortpflanzt. Wir wollen nun die Bewegungsgleichung speziell für transversale Seilwellen ableiten. Dazu betrachten wir das dynamische Verhalten eines kleinen Seilabschnitts (Abb. 8.2). Das Seil stehe unter einer Zugkraft F , welche örtlich und zeitlich konstant
sei.
Auf ein kleines Seilstück mit der projizierten Länge δx (Abb. 8.2) wirken die Zugkräfte F1
und F2 , die den gleichen Betrag aber unterschiedliche Neigungswinkel (α1 , α2 ) haben. Die x- und
1 Ist
v negativ, bedeutet dies, daß sich die Störung von rechts nach links, also in Richtung −x, bewegt.
106
KAPITEL 8. WELLEN
y
t=t1
v
t=t 2
v(t2-t1)
Abbildung 8.1: Die Auslenkung y eines
Seils zu zwei verschiedenen Zeiten (t2 , t1 ).
Die Störung bewegt sich mit der Geschwindigkeit v in x-Richtung.
x
y
α2
α1
F2
F1
Abbildung 8.2: Zur Ableitung der Bewegungsgleichung für Seilwellen. Wegen der
Krümmung des Seils erzeugt die Seilspannung eine resultierende Kraft in Richtung
des Krümmungszentrums.
dx
x
y-Komponenten der resultierenden Gesamtkraft sind:
δFx = F (cos α2 − cos α1 );
δFy = F (sin α2 − sin α1 ).
Wenn wir annehmen, daß der Neigungswinkel α des Seils überall sehr klein ist, dann gelten die
Näherungen:
∂y
sin α ≈ tan α =
∂x
und
cos α ≈ 1.
Im Rahmen dieser Näherung verschwindet die x-Komponente der Kraft, und wir erhalten für
die y-Komponente
∂y
∂y
∂ 2y
−
= F 2 δx.
δFy = F
∂x 2
∂x 1
∂x
Das zweite Newtonsche Gesetz ergibt daher für das betrachtete Seilstück (Masse δm)
δm
∂ 2y
∂ 2y
=
δF
=
F
δx.
y
∂t 2
∂x 2
107
8.2. HARMONISCHE WELLEN
Die Länge des Seilstücks beträgt (bei kleiner Neigung) δx, und die Masse ist daher µδx, wo µ die
Masse pro Längeneinheit ist (als konstant angenommen). Wenn wir δm in der letzten Gleichung
ersetzen erhalten wir schließlich folgende Bewegungsgleichung:
∂ 2y
F ∂ 2y
=
.
µ ∂x 2
∂t 2
Alle Funktionen der Form (8.1) sind Lösungen dieser Differentialgleichung, wie wir durch Bildung
der Differentialkoeffizienten leicht zeigen können: Mit den Abkürzungen f 0 (z) für ∂f/∂z sowie
f 00 (z) für ∂ 2 f/∂z2 folgt aus (8.1) mit z = x − vt
∂f
1
= − f 0 (t − x/v);
∂x
v
∂f
= f 0 (t − x/v);
∂t
Es gilt damit allgemein für Funktionen der Form (8.1)
∂ 2f
1 00
=
f (t − x/v)
∂x 2
v2
∂ 2f
= f 00 (t − x/v).
∂t 2
2
∂ 2y
2∂ y
=
v
.
∂t 2
∂x 2
(8.2)
Dies ist die sog. Wellengleichung. Ein Vergleich mit der für Seilwellen abgeleiteten Gleichung
zeigt, daß die Geschwindigkeit dieser Wellen durch
s
F
v=
µ
gegeben ist.
Die Differentialgleichung (8.2) ist sehr allgemein und bezieht sich nicht auf ein bestimmtes
physikalisches System. Die Eigenschaften des Systems beeinflüssen lediglich den numerischen
Wert von v. Aus den möglichen Lösungen von (8.2) können wir also viel über die allgemeinen
Eigenschaften von Wellen lernen. In jedem konkreten Fall müssen wir jedoch überprüfen, ob die
Wellengleichung in dieser Form tatsächlich für das betrachtete System gültig ist. Wir haben gesehen, daß Gleichung (8.2) für die Seilwellen im Rahmen der gemachten Näherung (kleine Auslenkungen) zutrifft. Sie gilt jedoch nicht, um ein Gegenbeispiel zu nennen, für die Ausbreitung von
Temperaturschwankungen in Festkörpern.
8.2
8.2.1
Harmonische Wellen
Laufende Wellen
Wir wollen als nächstes eine besonders wichtige Form einer Störung behandeln, nämlich eine
periodische Störung. Die Funktion
y = f (t − x/v) = A sin [ω(t − x/v)]
beschreibt eine periodische (sinusförmige) Störung, die sich mit der Geschwindigkeit v in der
positiven x-Richtung fortbewegt. Wir können eine solche harmonische Welle als Momentaufnah”
me“, d.h. y(x) mit t = konst. (Abb. 8.3a), darstellen, und als Filmaufnahme“, d.h. y(t) mit x =
”
konst. (Abb. 8.3b).
108
KAPITEL 8. WELLEN
y
λ = 2π/k
(a)
y
Τ =2π/ω
t= konst.
x
x= konst.
(b)
t
Abbildung 8.3: Darstellung einer laufenden,
harmonischen Welle: (a) y(x) für t = konst.
(b) y(t) für x = konst.
Die Wiederholungsperiode in der räumlichen Darstellung ist λ = 2π v/ω und wird als Wellenlänge bezeichnet. An einer Stelle (x = konst.) entspricht die Funktion y(t) der uns schon bekannten Bewegung eines harmonischen Oszillators mit der Kreisfrequenz ω. Die Schwingugsperiode
ist
2π
T =
.
ω
Analog zur Beziehung zwischen T und ω definiert man für die räumliche Darstellung die Größe
k=
2π
,
λ
die als Wellenzahl (bzw. Wellenvektor) bezeichnet wird. Die allgemeine Form einer harmonischen Welle ist daher
y = A sin(ωt ∓ kx + φ),
(8.3)
wobei das Pluszeichen für eine in −x-Richtung laufende Welle gilt. Die Parameter A (Amplitude)
und φ (Phase) werden durch die Randbedingungen bestimmt.
Frage 8.1 Geben Sie die Beziehung zwischen v, ω und k an.
8.2.2
Stehende Wellen
Nehmen wir an, ein Seil wird an einem Ende (x = 0) festgehalten (Abb. 8.4). Diese Bedingung
y(0, t) = 0 kann für alle Zeiten erfüllt werden, wenn wir zwei laufende Wellen gleicher Amplitude
aber unterschiedlicher Laufrichtung miteinander kombinieren, also
y = A sin(ωt − kx) − A sin(ωt + kx) = −2A cos ωt sin kx.
Diese Funktion stellt keine fortlaufende Welle dar. Es gibt nämlich Zeiten, zu denen die Auslenkung überall verschwindet (wegen cos ωt = 0):
t = (2n + 1)π/2ω,
n = 0, 1, 2, 3 . . . ,
und es gibt Orte, an denen die Auslenkung immer verschwindet (wegen sin kx = 0):
x = nπ/k = nλ/2;
n = 0, 1, 2, 3 . . . .
109
8.2. HARMONISCHE WELLEN
λ/2
Abbildung 8.4: Schwingung eines Seils, das
an der Stelle x = 0 festgehalten wird. Es
entsteht eine stehende Welle, die als die
Überlagerung von zwei in entgegengesetzten Richtungen laufenden Wellen betrachtet
werden kann.
Es gibt also sog. Schwingungsknoten, die eine feste Lage im Raum besitzen, während an allen anderen Stellen sich die Auslenkung periodisch ändert. Man bezeichnet diese Wellenform als
stehende Welle. In der Mitte zwischen zwei Knoten befinden sich Orte größter Auslenkung, sog.
Schwingungsbäuche. Wir halten fest: Stehende Wellen entstehen durch Überlagerung zweier Wellenzüge gleicher Amplitude und Wellenlänge, deren Ausbreitungsrichtung entgegengesetzt ist.
Befestigt man das Seil (Länge L) an beiden Enden, so können Schwingungen des Seils, d.h.
stehende Wellen, nur für bestimmte Wellenlängen und bestimmte Frequenzen bestehen. Um die
Randbedingungen zu erfüllen, muß nämlich L = nλ/2 (n = 1, 2, 3 . . .) sein, und damit
ω
n
f =
=
2π
2L
s
F
.
µ
(F = Zugkraft, µ = Masse pro Längeneinheit.) Man bezeichnet diese Frequenzen als die Eigenfrequenzen: sie sind charakteristisch für ein schwingungsfähiges System und abhängig von
seinen Eigenschaften (hier von L, F und µ). Die n = 1 zugeordnete stehende Welle bezeichnet
man als die Grundschwingung, die n > 1 zugeordneten als Oberschwingungen. Als Beispiel
vergegenwärtigen wir uns eine schwingende Saite. Wir können also die Grundfrequenz f einer
Saite durch Verändern ihrer Spannung abstimmen“, und wir können die Grundfrequenz durch
”
Abgreifen auf dem Griffbrett des Instruments, d.h. durch Verkleinerung von L, erhöhen. Für die
tieferen Töne verwendet man dickere Saiten, die einen höheren Wert von µ haben. Allen Musikinstrumenten, nicht nur den Saiteninstrumenten, liegen stehende Wellen zugrunde.
Frage 8.2 Ein Halbton (das kleinste Intervall in der westlichen Musik) entspricht einem
Frequenzverhältnis von 1:21/12 . Wie berechnet man die Abstände der Stege am Griffbrett einer
Gitarre?
8.2.3 Der Doppler-Effekt
Betrachten wir eine Quelle von harmonischen Wellen (z.B. Schallwellen), die sich mit der Geschwindigkeit u auf der x-Achse eines Koordinatensystems bewegt, in dem das Medium (z.B. Luft)
ruht. Die Quelle sendet Wellenberge“ im zeitlichen Abstand einer Schwingungsperiode 2π/ω aus,
”
110
KAPITEL 8. WELLEN
die sich mit der Geschwindigkeit v ausbreiten. In einer Schwingungsperiode bewegt sich die Quelle aber um die Strecke 2πu/ω in +x-Richtung. Der Abstand zwischen zwei Wellenbergen ist also
nicht λ, die Wellenlänge der ruhenden Quelle, sondern
λ0 = λ ± 2πu/ω,
wobei das Minuszeichen für die Wellen gilt, die sich sich in der gleichen Richtung wie die Quelle
bewegen (+x). Es gilt aber 2π/ω = λ/v und damit
u
1λ
u
λ0 = λ 1 ±
bzw.
=± .
(8.4)
v
λ
v
Diese Veränderung der Wellenlänge als Folge der Bewegung der Quelle wird als Doppler-Effekt2
bezeichnet.
Gleichung (8.4) zeigt, daß die relative Änderung der Wellenlänge 1λ/λ gleich dem Verhältnis
der Geschwindigkeit der Quelle zur Wellengeschwindigkeit ist. Ein ruhender Beobachter nimmt
eine entsprechende Änderung der Frequenz wahr, weil sich die Wellenberge mit der gleichbleibenden Geschwindigkeit v an ihm vorbei bewegen. Da die Frequenz umgekehrt proportional zur
Wellenlänge ist, folgt aus (8.4)
u −1
ω0 = ω 1 ±
.
(8.5)
v
Wenn die Geschwindigkeit der Quelle die Wellengeschwindigkeit überschreitet, ist eine Wellenfortpflanzung in Vorwärtsrichtung nicht mehr möglich, und es bildet sich eine sog. Schockwelle. Diese ist für den bekannten Überschall-Knall von Flugzeugen verantwortlich.
Frage 8.3 Mit welcher Geschwindigkeit müßte sich die Quelle bewegen, um eine Frequenzerhöhung von einem halben Ton (Frequenzverhältnis 21/12 : 1) zu verursachen? Die Schallgeschwindigkeit in Luft ist rd. 345 m s−1 .
Wenn sich der Beobachter auch bewegt (Geschwindigkeit w), gibt es eine weitere Verschiebung
der Wellenlänge bzw. der Frequenz, weil die Geschwindigkeit der Wellen relativ zur Beobachter
nicht mehr v sondern v ± w ist. Befindet sich der Beobachter vor der Quelle, sieht“ er eine Welle
”
mit der Wellenlänge λ0 nach Gleichung (8.4) und der relativen Geschwindigkeit v − w. Die vom
Beobachter wahrgenommene Frequenz ist deshalb
ω00 =
1 − w/v
2π(v − w)
=
ω.
.
λ0
1 − u/v
Befindet sich der Beobachter hinter der Quelle, muß das Minuszeichen in beiden Teilen des Bruchs
durch ein Pluszeichen ersetzt werden. Für den allgemeinen Fall gilt also
ω00 = ω.
1 ± w/v
.
1 ± u/v
(8.6)
Gleichung (8.6) gilt für ein Bezugssystem, in dem das Medium ruht. Wollen wir das Ergebnis auf ein anderes Inertialsystem übertragen, in dem sich das Medium bewegt, d.h., um beim
Beispiel der Schallwellen in Luft zu bleiben, in dem ein Wind“ herrscht, müssen wir diese Wind”
geschwindigkeit von allen Geschwindigkeiten abziehen, bevor wir Gleichung (8.6) anwenden. Ist
die Windgeschwindigkeit unbekannt, kann sie also durch Messung des Doppler-Effektes bestimmt
2 Nach
dem Entdecker Christian Doppler (1803-53).
8.2. HARMONISCHE WELLEN
111
werden. Diese Tatsache hat bei der Entwicklung der speziellen Relativitätstheorie eine wichtige
Rolle gespielt: Man hat nach einem Medium—dem sog. Äther—für elektromagnetische Wellen
gesucht, aber alle Versuche, den Ätherwind“ zu messen, scheiterten.
”
Im Falle kleiner Geschwindigkeiten (u, w v) vereinfacht sich Gleichung (8.6) zu
w−u
00
ω =ω 1±
.
v
In dieser Näherung hängt die Frequenzänderung nur von der relativen Geschwindigkeit zwischen
Quelle und Beobachter (w − u) ab.
8.2.4 Polarisation
Die Störung“, die sich in Form einer Welle fortpflanzt, ist entweder eine skalare Größe (wie
”
z.B. die Amplitude der Materiewellen in der Quantenmechanik) oder ein Vektor (wie im Falle
der eben besprochenen Seilwellen). Vektorwellen unterscheidet man nach ihrer Polarisation. Damit ist die Richtung des Vektors relativ zur Ausbreitungsrichtung gemeint. Nehmen wir an, daß
sich die Welle in x-Richtung fortpflanzt. Ist der Vektor, der die durch die Welle hervorgerufene Zustandsänderung beschreibt, ebenfalls parallel zur x-Achse, so spricht man von einer longitudinalen bzw. longitudinal polarisierten Welle. Dagegen handelt es sich um eine transversale
(transversal polarisierte) Welle, wenn die Störung in der y-z-Ebene, also senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, liegt.
Die Seilwellen stellen ein Beispiel für rein transversale Wellen dar. Bei solchen Wellen gibt es
immer zwei unabhängige Polarisationsrichtungen (y- und z-Achse). Eine transversale Welle, die
nur in einer Richtung (z.B. z) polarisiert ist, wird als linear polarisiert bezeichnet. Grundsätzlich
ist jede Mischung der beiden Polarisationszustände möglich. Ein anderes Beispiel der transversalen Wellen bilden die elektromagnetischen Wellen, bei denen die elektrischen und magnetischen
Feldvektoren senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehen.
Schallwellen in Festkörpern können entweder longitudinal oder transversal polarisiert sein.
Diese Wellen besitzen also drei unabhängige Polarisationszustände. In Gasen oder Flüssigkeiten
sind jedoch nur Longitudinalwellen möglich.
8.2.5 Beispiele
Die Gleichung für die Geschwindigkeit mechanischer Wellen in einem Kontinuum hat die
allgemeine Form
r
S
v=
.
(8.7)
T
S ist ein Maß für die Steifigkeit des Mediums, und T ist die spezifische Trägheit des Mediums. Im
Falle der Seilwellen ist S die Zugspannung und T die Masse pro Längeneinheit.
Bei Schallwellen in Gasen und Flüssigkeiten gilt S = 1/κ, wo κ die sog. Kompressibilität
(s. Abschnitt 9.1.2) bedeutet. Die Schallgeschwindigkeit beträgt√in Luft bei normalen Temperaturen rd. 300 m s−1 . Sie nimmt mit steigender Temperatur zu ∼ T , ist aber nicht vom Gasdruck
abhängig. In Wasser pflanzen sich Schallwellen mit einer Geschwindigkeit von rd. 1500 m s−1 fort.
In Festkörpern ist der Wert von S vom Polarisationszustand abhängig (s. Seite 124). Typische
Werte für die Schallgeschwindigkeit sind 5 km s−1 für longitudinale und 3 km s−1 für transversale
Wellen.
112
KAPITEL 8. WELLEN
Die Geschwindigkeit einer Welle ist manchmal von der Frequenz bzw. der Wellenlänge
abhängig. Dieses Phänomen heißt Dispersion. Beispiele sind:
– Elastische Wellen sehr hoher Frequenz bzw. mit sehr kleiner Wellenlänge. Bei Wellenlängen
in der Größenordnung der Atomabstände gilt Gleichung (8.7) nicht mehr, da das Medium
nicht mehr als Kontinuum betrachtet werden kann.
– Oberflächenwellen auf Flüssigkeiten.
– Elektromagnetische Wellen in Stoffen.
8.2.6
Transport von Energie und Impuls
Eine laufende mechanische Welle transportiert sowohl Energie als auch Impuls. Diese Eigenschaften wollen wir zunächst am Beispiel von transversalen Seilwellen untersuchen. Ein Seilabschnitt der Länge δx, an dem sich eine Welle vorbeibewegt, vollführt eine harmonische Schwingung mit der Amplitude A und der Frequenz ω der Welle: y = A sin(ωt). Die Geschwindigkeit ist
damit ẏ = ωA cos(ωt), und die kinetische Energie 12 µδxω2 A2 cos2 (ωt). Die Gesamtenergie der
Schwingung ist gleich der maximalen kinetischen Energie, d.h. δE = 21 µδxω2 A2 . Bezeichnen wir
die Energie pro Längeneinheit mit e, so erhalten wir
e=
δE
1
= µω2 A2 .
δx
2
Nun betrachten wir einen Wellenzug endlicher Länge, der sich in Richtung +x (nach rechts)
mit der Geschwindigkeit v bewegt. Es sei x◦ die Koordinate eines Punktes, der sich zu einem
bestimmten Zeitpunkt innerhalb des Wellenzugs befindet. In einem Zeitintervall δt wächst die
Länge des Stücks, das sich rechts von x◦ befindet, um vδt, während die Länge des Stücks, das sich
links von x◦ befindet, um den gleich Betrag abnimmt. Damit ist ein Energiebetrag evδt am Punkt
x◦ von links nach rechts vorbeigeflossen. Dies gilt für jeden Punkt innerhalb des Wellenzugs. Die
Energieflußrate (Energie pro Zeiteinheit, J s−1 = W) einer solchen Welle ist daher
1
Ė = µvω2 A2 .
2
Bei Schallwellen in dreidimensionalen Medien muß man den Energiefluß auf die Fläche senkrecht zur Ausbreitungsrichtung beziehen. Die so ermittelte Größe bezeichnet man als Energieflußdichte (j ). Für Seilwellen ist Ė das Produkt der Wellengeschwindigkeit mit der Energie pro
Länge. Analog folgt, daß j das Produkt der Wellengeschwindigkeit mit der Energie pro Volumen
ist. Das Ergebnis ist
1
(8.8)
j = ρvω2 A2 .
2
Es ist eine Eigenschaft aller Wellen (auch nichtmechanischer, wie z.B. elektromagnetischer
Wellen), daß der Energiefluß proportional zum Quadrat der Amplitude ist. Daher wird A2 als
Intensität der Welle bezeichnet.
Zur Untersuchung der Impulsübertragung betrachten wir wieder eine Seilwelle, aber in diesem
Fall eine stehende Welle auf einem Seil, der an beiden Enden festgehalten wird. Die stehende
Welle hat natürlich insgesamt keinen Impuls, da sie aus zwei Wellen gleicher Amplitude mit unterschiedlichen Laufrichtungen zusammengesetzt ist. Wenn aber die Welle y+ = A sin(ωt − kx)
mit dem Impulsfluß ṗ und die Welle y− = A sin(ωt + kx) mit dem Impulsfluß −ṗ verbunden ist,
entsteht trotzdem ein Impulsaustausch an den beiden Enden des Seils, weil die laufenden Wellen
dort erzeugt bzw. vernichtet werden müssen.
113
8.2. HARMONISCHE WELLEN
Es seien x = 0 und x = L die Koordinaten der beiden Enden. An der Stelle x = 0 kommt die
Welle y− von rechts an und geht nicht weiter. Damit wird der Impuls −ṗ pro Zeiteinheit an den
Haltepunkt übergeben. Gleichzeitig wird am Punkt x = 0 die Welle y+ erzeugt, wofür Impuls mit
der Rate ṗ erzeugt, d.h. von der Halterung abgegeben werden muß. Insgesamt wird also Impuls
mit der Rate −2ṗ an die Halterung abgegeben, d.h. die Welle übt die Kraft
Fw = −2ṗ
(8.9)
auf diesen Punkt aus. Wie entsteht nun diese Kraft?
Solange das Seil nicht Schwingt, besteht nur die Spannkraft F des Seils (in +x-Richtung).
Wird das Seil aber ausgelenkt, wirkt an der Stelle x = 0 nur noch die Komponente F cos α in xRichtung, wo α der Winkel zwischen dem Seil und der x-Achse bedeutet. Die Differenz zwischen
dieser Kraft und der Kraft F —gemittelt über die Zeit—ist die von der Welle ausgeübte Kraft Fw ,
d.h.
Fw = F h(cos α − 1)i ,
wobei die spitzen Klammern die zeitliche Mittelung bedeuten. In der Näherung kleiner Winkel
(α 1) gilt
1 D 2E
Fw = − F α ,
(8.10)
2
und α ist in guter Näherung gleich tan α, die Steigung der Kurve, die die Form des Seils beschreibt,
an der Stelle x = 0. Nach Abschnitt 8.2.2 ist diese Funktion
y = −2A cos(ωt) sin(kx).
Es ist also
dy α ≈ tan α =
= −2kA cos(ωt).
dx x=0
Einsetzen in (8.10) ergibt
E
1 D
Fw = − F 4k 2 A2 cos2 (ωt) = −k 2 A2 F,
2
und mit (8.9) schließlich
1
ṗ = k 2 A2 F.
2
Wenn wir ferner k 2 = ω2 /v 2 = µω2 /F verwenden erhalten wir
1
Ė
ṗ = µω2 A2 = .
2
v
Die letzte Beziehung zwischen Energiefluß, Impulsfluß und Geschwindigkeit ist sehr allgemein
und gilt z.B. auch für elektromagnetische Wellen.
Frage 8.4
Können Sie analog aus (8.8) die Impulsflußdichte (Impuls pro Zeit- und
Flächeneinheit) für eine Schallwelle ableiten? Welchen Druck übt eine Schallwelle, die von
einer Fläche reflektiert wird, auf diese Fläche aus?
114
8.3
8.3.1
KAPITEL 8. WELLEN
Überlagerung mehrerer Frequenzen
Schwebungen und Gruppengeschwindigkeit
Wir wollen die Überlagerung zweier Wellen y1 und y2 betrachten, die geringfügig unterschiedliche Kreisfrequenzen ω1 , ω2 haben. Wir nehmen aber an, daß die relative Frequenzdifferenz sehr
klein ist, und schreiben
ω1 = ω;
ω2 = ω + δω,
mit δω ω. Dementsprechend gilt für die Wellenzahlen
k1 = k;
k2 = k + δk.
Wir lassen zu, daß die Geschwindigkeit von der Frequenz abhängt (Dispersion). Der Einfachheit
halber nehmen wir an, daß die beiden Wellen die gleiche Amplitude A haben. Die resultierende
Welle (y1 + y2 ) ist
y = A sin(ωt − kx) + A sin [(ω + δω)t − (k + δk)x] .
Unter Einbeziehung der trigonometrischen Identität
a−b
a+b
cos
sin a + sin b = 2 sin
2
2
erhalten wir im Rahmen der Näherung
δω
δk
y = 2A sin(ωt − kx) cos
t− x .
2
2
(8.11)
Der erste Faktor stellt eine normale laufende Welle dar mit der Wellenzahl k, der Frequenz ω
und der sog. Phasengeschwindigkeit
vp = ω/k.
Der zweite Faktor stellt ebenfalls eine laufende Welle dar, die aber eine viel größere Wellenlänge
hat (wegen δk k). Es handelt sich daher um eine langwellige Modulation der Amplitude
(Abb. 8.5).
An einem Ort (x = konst.) bewirkt der Kosinusfaktor in (8.11), daß die Amplitude mit der
Frequenz δω/2 oszilliert. Diese Amplitudenschwankungen sind im akustischen Bereich oft hörbar
und werden als Schwebungen bezeichnet.
Die Geschwindigkeit, mit der sich die Modulation oder Wellengruppe im Raum fortbewegt,
ist nach (8.11) δω/δk oder im Grenzfall δω → 0
vg =
dω
dk
und heißt Gruppengeschwindigkeit.
Die Gruppengeschwindigkeit und die Phasengeschwindigkeit einer Welle sind nur dann gleich,
wenn die Beziehung zwischen ω und k—die sog. Dispersionsbeziehung—linear ist, d.h. wenn die
Phasengeschwindigkeit frequenzunabhängig ist.
Die Gruppengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit mit der Signale übertragen werden. Das
Signal, d.h. die Modulation der Welle, ist aber nicht immer sinusförmig und braucht nicht einmal
115
8.3. ÜBERLAGERUNG MEHRERER FREQUENZEN
y
x
Abbildung 8.5: Die Überlagerung von zwei
Wellen mit geringfügig unterschiedlichen
Frequenzen. Die Welle wird mit der Differenzfrequenz moduliert.
periodisch zu sein. Mit Hilfe der Fourier-Analyse3 lassen sich aber beliebige periodische oder
nichtperiodische Signale als Überlagerung von sinusförmigen Wellen verschiedener Wellenlängen
darstellen.
Hier können Sie mit der Überlagerung von Wellen experimentieren:
http://didaktik.physik.uni-wuerzburg.de/˜pkrahmer/
ntnujava/waveSuperposition/waveSuperposition.html
Frage 8.5 Die Beziehung zwischen k und ω für Lichtwellen in einer dispersiven Medium
läßt sich in einem bestimmten Frequenzbereich in folgender Form schrieben:
k=
aω + bω3
,
c
wo c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und a und b Materialparameter sind. Geben Sie vp
und vg als Funktionen der Frequenz an.
8.3.2 Fourier-Analyse
Jede beliebige periodische Funktion F (x) mit der Periode 2π/k◦ (z.B. eine Welle bei t = 0)
läßt sich als Summe rein sinusförmiger Funktionen darstellen:
F (x) =
X
an sin(−nk◦ x + φn ).
n
Solche Darstellungen nennt man Fourier-Reihen. Jede der Fourier-Komponenten ist eindeutig festgelegt durch die Fourier-Koeffizienten an und φn , die die Amplitude bzw. die Phasenlage der betreffenden Komponente festlegen. (Wie man diese Koeffizienten in einem konkreten Fall ermittelt,
werden Sie im Mathematikkurs erfahren). Auf der Grundlage der Fourier-Reihe ist es also möglich,
aus einer beliebigen Funktion alle sinusförmigen Komponenten, die diese Funktion aufbauen, her”
auszufischen“. Ist die Funktion F (x) die Momentaufnahme einer Welle, so kann diese Welle als
3 Jean
Baptiste Joseph Fourier (1768-1830).
116
KAPITEL 8. WELLEN
eine entsprechende Summe von sinusförmigen Wellen dargestellt werden:
X
F (x, t) =
an sin(ωn t − nk◦ + φn ).
n
Die Frequenzen ωn der Fourier-Komponenten lassen sich über die Dispersionsbeziehung ω(k)
bestimmen.
Eine nichtperiodische Wellenstörung (z.B. ein Puls) kann als Grenzfall einer periodische
Funktion mit unendlich langer Periode (k◦ → 0) aufgefaßt werden. Aus der Summe wird dann
ein Integral:
Z
∞
a(k) sin{ω(k)t − kx + φ(k)}dk.
F (x, t) =
0
Wir werden uns hier nicht weiter mit der Mathematik dieser Funktionen befassen. Auf eine
wichtige Eigenschaft der Pulsübertragung in dispersiven Medien sei jedoch hingewiesen: Eine
frequenzabhängige Phasengeschwindigkeit bedeutet, daß sich die verschiedenen Fourierkoeffizienten mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen. Dies hat zur Folge, daß die Phasenlagen
der Wellen relativ zueinander mit der Zeit verschoben werden. Die Form des Pulses bleibt also
nicht erhalten, sondern ändert sich während der Übertragung.
Eine Funktion, die ihre Form ändert, läßt sich nicht durch Gleichung (8.1) darstellen und ist
keine Lösung der Wellengleichung (8.2). Der Trick mit der Fourier-Analyse funktioniert nur deshalb, weil die einzelnen Fourierkomponenten für sich Lösungen der Wellengleichung sind, jedoch
mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten.
Mit diesem Java-Applet:
http://didaktik.physik.uni-wuerzburg.de/˜pkrahmer/
ntnujava/sound/sound.html können Sie mit Fourier-Reihen experimentieren.
8.4
Antworten zu den Fragen
Frage 8.1 Aus v = f λ, f = ω/2π und λ = 2π/k folgt
v = ω/k.
Frage 8.2 Es sei L die Länge der Saite und xn der Abstand des nten Stegs vom oberen Ende.
Das Verhältnis der restlichen Länge zu L muß gleich dem umgekehrten Frequenzverhältnis sein,
d.h.
L − xn
= 2−n/12
L
oder
xn
= 1 − 2−n/12 .
L
Die ersten 12 Wert von xn /L sind:
n
1
2
3
4
5
6
xn 0,0561 0,1091 0,1591 0,2063 0,2508 0,2929
n
7
8
9
10
11
12
xn 0,3326 0,3700 0,4054 0,4388 0,4703 0,5000
117
8.4. ANTWORTEN ZU DEN FRAGEN
Frage 8.3 Nach Gleichung (8.5)—mit dem Minuszeichen, weil es um eine Erhöhung der Frequenz geht—gilt für die Frequenzen ν, ν 0
u
ν
1
= 1 − 0 = 1 − 1/12 = 0,05613
v
ν
2
und damit u ≈ 19 m s−1 .
Frage 8.4 Das Verhältnis Energiefluß/Impulsfluß ist die Wellengeschwindigkeit v (gilt auch
für Lichtwellen). Der Impulsfluß ist also ρω2 A2 , und der von einer reflektierten Welle ausgeübte
Druck ist
P = 2ρω2 A2 .
Frage 8.5 Aus
k=
aω + bω3
,
c
erhalten wir durch Umstellung direkt
vp =
ω
c
.
=
k
a + bω2
Die Ableitung der ersten Gleichung nach k ergibt
1=
und damit
vg =
a + 3bω2 dω
.
c
dk
dω
c
=
.
dk
a + 3bω2
118
KAPITEL 8. WELLEN
119
Kapitel 9
Mechanische Stoffeigenschaften
9.1
Elastizität
9.1.1
Dehnung eines Drahtes
Wenn die Kräfte F bzw. −F an beiden Enden eines Drahtes wirken, nimmt die Länge zu.
Bei ausreichend kleinen Kräften ist dieser Vorgang reversibel, d.h. die Länge geht auf den ursprünglichen Wert zurück, wenn die Kräfte entfernt werden. Eine solche Dehnung bezeichnet man
als elastisch. Im elastischen Bereich findet man experimentell eine Proportionalität zwischen der
Längenänderung und der Kraft, und zwar gilt
lF
,
EA
wobei l die Ausgangslänge, δl die Längenänderung und A die Querschnittsfläche des Drahtes
bedeuten. E ist eine Stoffeigenschaft, der Elastizitätsmodul oder Dehnungsmodul. Diese Beziehung, das sog. Hookesche1 Gesetz, läßt sich etwas allgemeiner formulieren, wenn wir folgende
Größen definieren:
– Die Dehnung ist die relative Längenänderung, d.h. im vorliegenden Fall = δl/ l.
– Die Spannung σ ist die Kraft pro Flächeneinheit, d.h. hier σ = F /A.
Das Hookesche Gesetz nimmt dann die einfache Form
δl =
σ = E.
(9.1)
Das Gesetz gilt auch für Kompression, d.h. für negative Spannungen und Dehnungen.
Wird die Elastizitätsgrenze überschritten, ist die Beziehung zwischen Dehnung und Spannung
nicht mehr linear, und plastische (irreversible) Verformung setzt ein. Wird die Spannung immer
weiter erhöht, kommt es schließlich zum Bruch.
Eine elastische Dehnung in einer Richtungen wird durch eine Kontraktion in allen dazu senkrechten Richtungen begleitet. Nimmt die Länge l des Drahtes zu, nimmt der Durchmesser d ab.
Das Verhältnis der negativen Querdehnung zur positiven Längsdehnung heißt Querkontraktionszahl oder Poissonsche Zahl ν:
−δd/d
.
(9.2)
ν=
δl/ l
Frage 9.1 Wie ändert sich das Volumen eines Drahts bei einer elastischen Dehnung?
1 Robert
Hooke (1635-1702).
120
KAPITEL 9. MECHANISCHE STOFFEIGENSCHAFTEN
9.1.2
Kompressibilität
Die Kompressibilität κ ist ein Maß für die Nachgiebigkeit eines Körpers gegenüber einer
Druckänderung δP . Ein Druck ist eine gleichmäßig auf alle Oberflächen wirkende, negative Zugspannung (δP = −σ ). Ist V das Volumen des Körpers und δV die durch die Druckänderung δP
hervorgerufene Volumenänderung, wird die Kompressibilität durch
κ=−
1 δV
V δP
definiert.
Nicht nur Festkörper, sondern auch Gase und Flüssigkeiten besitzen die Eigenschaft der Kompressibilität. Die übrigen in diesem Abschnitt diskutierten elastischen Eigenschaften beziehen sich
nur auf Festkörper.
Frage 9.2 Für ein ideales Gas“ gilt bei konstanter Temperatur P V = konst. Zeigen Sie, daß
”
unter diesen Bedingungen die Kompressibilität = 1/P ist.
Für Festkörper läßt sich κ als Funktion von E und ν ausdrücken. Dazu betrachten wir einen
Würfel mit der Kantenlänge a, auf den ein gleichmäßiger Druck δP = −σ wirkt. Die Koordinatenachsen (x, y, z) seien parallel zu den Kanten des Würfels. Die relative Längenänderung (δa/a)x
der zur x-Richtung parallelen Kanten setzt sich aus drei Beiträgen zusammen:
1. einer (negativen) Längsdehnung durch die in x-Richtung wirkende Kraft,
2. einer (negativen) Querkontraktion durch die in y-Richtung wirkende Kraft und
3. einer (negativen) Querkontraktion durch die in z-Richtung wirkende Kraft.
Das ergibt insgesamt:
δa
δP
= − (1 − 2ν).
a x
E
Da δa den gleich Wert in allen drei Richtungen hat, erhalten wir für die Volumenänderung
δV = (a + δa)3 − a 3 ≈ 3a 2 δa.
Damit ist
δV
3a 2 δa
3δa
δP
=
=
= −3 (1 − 2ν).
3
V
a
E
a
Wenn wir dieses Ergebnis in die Definition für κ einsetzen erhalten wir die Beziehung:
κE = 3(1 − 2ν).
(9.3)
Frage 9.3 Diese Gleichung zeigt, daß ν nicht größer als 0,5 sein kann. Warum?
9.1.3
Scherung
Abb. 9.1 zeigt die Auswirkung einer Kraft, die nicht senkrecht sondern parallel zur Oberfläche
angreift. Die entsprechende Spannung nennt man eine Schubspannung.
Der Körper habe die Form eines Würfels mit der Kantenlänge l, und die Kanten seien parallel
zu den Koordinatenachsen. Auf die obere x-y-Fläche wirkt eine Kraft mit dem Betrag F in yRichtung. Damit keine Translationsbeschleunigung auftritt, muß eine betragsmäßig gleiche Kraft
121
9.1. ELASTIZITÄT
z
F
δy
Abbildung 9.1: Die Deformation eines
Würfels unter der Wirkung einer Schubkraft
F in y-Richtung. Die gleich großen Kräfte
in −y-, +z- und −z-Richtung sind erforderlich, um das Gleichgewicht zu halten. Die
Deformation ist δy/ l ≈ α.
lα
y
x
in −y-Richtung auf die untere x-y-Fläche wirken. Ferner muß das Drehmoment durch Kräfte des
gleichen Betrags kompensiert werde, die in +z- bzw. −z-Richtung auf die x-z-Flächen wirken.
Die resultierende Deformation ist eine Verschiebung der oberen x-y-Fläche um eine bestimmte
Strecke δy parallel zur y-Achse, während die untere x-y-Fläche festgehalten wird. Alternativ kann
man die Verformung als eine Rotation der z-Kanten durch den Winkel α ansehen. Als Maß für die
Schubdehnung nehmen wir δy/ l ≈ α (für δy l). Die Schubspannung ist τ = F / l 2 . Zwischen
diesen beiden Größen herrscht ebenfalls eine lineare Beziehung:
(9.4)
τ = Gα,
wobei G den sog. Schubmodul bedeutet.
Der Schubmodul ist die entscheidende Größe bei der Drillung (Torsion) von Drähten. Dazu
betrachten wir in Abb. 9.2 zunächst einmal einen Hohlzylinder der Länge l mit dem Radius r und
der Wanddicke δr. Das untere Ende wird festgehalten, während das obere Ende um den Winkel
φ
A
r
δr
B
l
α
Abbildung 9.2: Torsion eines Hohlzylinders.
Das obere Ende wird relativ zum unteren
Ende durch den Winkel φ gedreht. Der Winkel α = rφ/ l ist die resultierende Schubdehnung.
C
φ gedreht wird. Dadurch bewegt sich der Punkt A nach B, und die Linie CA dreht sich um den
122
KAPITEL 9. MECHANISCHE STOFFEIGENSCHAFTEN
Winkel α nach CB. Die Schubdehnung ist also
α ≈ AB/ l = rφ/ l.
Die hierfür erforderliche Schubspannung ist nach Gleichung (9.4)
τ = Grφ/ l,
und die insgesamt auf die ringförmige Endfläche wirkende Kraft ist
δF = 2π rδrτ = 2πGφr 2 δr/ l.
Das durch diese Kraft ausgeübte Drehmoment ist
δM = F r = 2πGφr 3 δr/ l.
Einen Draht mit dem Radius R denken wir als aus solchen Hohlzylindern zusammengesetzt und
erhalten durch Integration
Z
πGR 4
2π Gφ R 3
r dr =
φ = Dφ.
M=
l
2l
0
Das Drehmoment ist also proportional zum Drehwinkel, und die Proportionalitätskonstante D
enthält als Materialparameter den Schubmodul G. Die starke Abhängigkeit von R macht es
möglich, mit feinen Drähten sehr kleine Kräfte zu messen (z.B. Gravitationswaage).
Ein Torsionspendel besteht aus einem Körper, der auf einem Draht aufgehängt wird. Die Kreisfrequenz der Torsionsschwingungen ist
r
D
,
ω=
I
wobei I das Trägheitsmoment des Körpers ist. Solche Schwingungsversuche können dazu dienen,
den Schubmodul zu messen.
9.1.4 Beziehungen zwischen den elastischen Konstanten
Zwischen den vier Größen E, G, ν und κ gibt es neben (9.3) noch eine Beziehung, die im
folgenden abgeleitet werden soll. Abb. 9.3 zeigt wieder in Projektion auf die x-y-Ebene einen
Würfel mit der Kantenlänge l. Auf diesen Würfel wirken eine Zugkraft in x-Richtung und eine
Druckkraft in y-Richtung mit dem gleichen Betrag F . Daraus resultieren die Dehnungen
x = σ (1 + ν)/E,
y = −σ (1 + ν)/E,
(9.5)
mit σ = F / l 2 .
Im Abb. 9.3 ist es aber deutlich zu erkennen, daß das innere, um 45◦ verdrehte Quadrat BCDE
(rot) eine Scherung erfährt. Dabei erfolgt die Rotation der Kanten symmetrisch, d.h. jede Kante
√
wird um den Winkel α/2 gedreht (vgl. Abb. 9.1). Die Kantenlänge des Quadrats BCDE ist l/ 2.
Aus dem Dreieck EFG folgt
√
x = (l/ 2) cos(π/4 − α/2) ≈ (l/2)(1 + α/2).
123
9.1. ELASTIZITÄT
y
F
A
B
G
F
E
α/2
x
y
α/2
l/ 2
Abbildung 9.3: Zur Ableitung der Beziehung zwischen E, G und ν. Auf einen
Würfel wirken die Zug- bzw. Druckkräfte
F . Der rote innere Bereich erfährt jedoch eine Schubdeformation.
F
D
F
C
x
l/2
F/2
B
A
l/2
F
l/ 2
F
l/2
F/2
F
Abbildung 9.4: Vergrößerte Darstellung des
Bereichs ABC aus Abb. 9.3 zur Berechnung der inneren Kräfte. Im Gleichgewicht
müssen sich die inneren und äußeren Kräfte,
die auf den dargestellten Ausschnitt wirken,
aufheben.
C
Andererseits entsteht x aus der Dehnung von l/2 mit x :
x = (1/2)(1 + x ).
Ein Vergleich der letzten beiden Gleichung führt zu folgender Beziehung zwischen den Dehnungen:
x = α/2.
(9.6)
Es bleibt noch herauszufinden, welche Schubspannung für die Schubdehnung α verantwortlich
ist. Dazu betrachten wir das Gleichgewicht des Dreiecks ABC, das in Abb. 9.4 vergrößert dargestellt wird. Auf die Fläche BC wirkt eine Kraft, die wir in eine zur Fläche senkrechten Komponente
F⊥ und eine zur Fläche parallelen Komponente Fk aufteilen können. Aus der Gleichgewichtsbedingung, daß sich die Kräfte zu Null addieren müssen, folgt
√
F⊥ = 0,
Fk = F / 2.
√
Auf√die Fläche BC wirkt also eine reine Schubkraft. Diese Kraft F / 2 verteilt sich auf die Fläche
l 2 / 2. Die gesuchte Schubspannung ist also
τ = F / l 2 = σ.
124
KAPITEL 9. MECHANISCHE STOFFEIGENSCHAFTEN
Aus (9.4) folgt dann
(9.7)
α = σ/G
Aus (9.5), (9.6) und (9.7) folgt schließlich die gesuchte Beziehung:
E = 2G(1 + ν).
(9.8)
Beispiele für die elastischen Konstanten einiger Substanzen sind in Tabelle 9.1 zusammengestellt. Nach den Gleichungen (9.3) und (9.8) sollte die Zahlen in den letzten beiden Spalten gleich
1 sein. Im Rahmen der durch die Anzahl der Ziffern ausgedruckten Genauigkeit ist dies der Fall.
Tabelle 9.1: Beispiele für die elastischen Konstanten E, G und 1/κ (jeweils in Einheiten von
109 Pa) sowie ν. Die Zahlen in den letzten beiden Spalten sollten idealerweise gleich 1 sein.
Stoff
E
G
Aluminium (rein)
72
27
α-Eisen
218
84
Cr-V-Federstahl
212
80
Iridium
530 210
Blei
17
6
Quarzglas
76
33
1/κ
ν
75 0,34
172 0,28
170 0,28
370 0,26
44 0,44
38 0,17
2G(1 + ν)
E
3(1 − 2ν)
κE
1,005
0.986
0,966
0,998
1,016
1,016
1,000
1,041
1,058
1,005
0,932
0,990
Aus Gleichung (9.8) folgt mit 0 < ν < 0,5, daß das Verhältnis E/G zwischen 2 und 3 liegen
muß. Die Geschwindigkeit von Schallwellen in einem Festkörper ist
p
u = C/ρ,
wo C = E für Longitudinalwellen bzw. C = G für √
Transversalwellen
und ρ ist die Dichte. Die
√
Longitudinalwellen sind daher immer um den Faktor 2 bis 3 schneller als die Transversalwellen.
9.2
9.2.1
Ruhende Flüssigkeiten und Gase: (Hydrostatik)
Der hydrostatische Druck
Aufgrund der Abwesenheit von Scherkräften in Flüssigkeiten und Gasen herrscht im Gleichgewicht ein Druck, der überall gleich ist (bis auf Gravitationseffkte, siehe unten). Die Einheit des
Drucks ist 1 Pascal (Pa) = 1 Nm−2 . Der normale atmosphärische Druck am Boden ist rd. 105 Pa.
Die Gleichverteilung des Drucks in einer Flüssigkeit kann man zur hydraulischen Verstärkung
von Kräften ausnutzen. Abb. 9.5 zeigt das Prinzip einer hydraulischen Presse. Zwei mit Kolben versehene Zylinder mit unterschiedlichen Durchmessern d2 bzw. d2 sind mit einer Flüssigkeit gefüllt
und mit einem Schlauch verbunden. Drückt man auf den kleinen Kolben mit der Kraft F1 , so
wird der Druck P = 4F1 /π d12 erzeugt. Am größeren Kolben entspricht dieser Druck der Kraft
F2 = πd22 P /4 = F1 (d2 /d1 )2 . Die Kraft wird daher im Verhältnis der Querschnittsflächen der
Zylinder verstärkt.
Bewegt sich der kleine Kolben um die Strecke 1x1 , wird das Volumen V = π1x1 d12 /4 der
Flüssigkeit transportiert. Die resultierende Bewegung des großen Kolbens ist 1x2 = 4V /πd22 =
125
9.2. RUHENDE FLÜSSIGKEITEN UND GASE: (HYDROSTATIK)
F2
F1
∆ x2
∆ x1
Abbildung 9.5: Zum Prinzip der hydraulischen Presse. Es gilt F1 /F2 = 1x2 /1x1 =
(d1 /d2 )2 .
d2
d1
1x1 (d1 /d2 )2 . Unter Vernachlässigung der Reibung sind die Wege im umgekehrten Verhältnis zu
den Kräften. Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Betrachtung der geleisteten Arbeit.
9.2.2
Schweredruck
Unter dem Einfluß der Schwerkraft steigt der Druck mit der Tiefe innerhalb einer Flüssigkeit,
wie man durch eine Betrachtung des statischen Gleichgewichts zeigen kann (s. Abb. 9.6). Auf ein
Luft, Druck = Pο
Flüssigkeit,
Dichte = ρ
z
δx
P
δz
P + δP
Abbildung 9.6: Zur Berechnung der
Änderung des Drucks mit der Tiefe in einer
Flüssigkeit bzw. Gas.
δy
G
kleines Volumenelement mit den Kantenlängen δx, δy, δz, das sich in der Tiefe z unterhalb der
Oberfläche befindet, wirken folgende Vertikalkräfte (ρ ist die Dichte der Flüssigkeit):
1. Die nach unten gerichtete Gewichtskraft ist G = ρgδxδyδz.
2. Der Druck P in der Tiefe z übt die Kraft P δxδy auf die obere Fläche nach unten aus.
3. Der Druck P + δP in der Tiefe z + δz übt die Kraft (P + δP )δxδy auf die untere Fläche
nach oben aus.
126
KAPITEL 9. MECHANISCHE STOFFEIGENSCHAFTEN
Die Gleichgewichtsbedingung (Summe der Kräfte = 0) führt zu folgender Differentialgleichung
für die Variation der Druck mit der Tiefe:
(9.9)
dP = ρgdz.
Die Dichte einer Flüssigkeit ändert sich kaum mit dem Druck. Mit ρ = konstant kann man
Gleichung (9.9) leicht integrieren:
P = P◦ + ρgz,
(9.10)
wo P◦ den Druck an der Oberfläche bedeutet.
Gleichung (9.9) gilt auch für Gase, nicht jedoch die Näherung ρ = konstant. Bei konstanter
Temperatur ist die Dichte eines Gases umgekehrt proportional zum Druck P . Gleichung (9.9) hat
dann die Form
dp
= kg dz
P
mit der Lösung
P = P◦ ekgz .
Der Druck eines Gases nimmt also exponentiell mit der Tief zu bzw. exponentiell mit der Höhe ab.
Wie wir später bei der Behandlung der Thermodynamik sehen werden, hängt die Konstante k von
der Temperatur und von der Masse der Gasmoleküle ab.
Frage 9.4 Welcher Druck herrscht in 1000 m Tiefe im Ozean?
Zur Messung von Gasdruckdifferenzen verwendet man einen Manometer (s. Abb. 9.7a), der aus
einem teilweise mit einer Flüssigkeit gefüllten U-Rohr besteht. Das eine Ende verbindet man mit
dem Gefäß, in dem der Druck P gemessen werden soll, das andere Ende mit einem Referenzdruck,
z.B. dem Atmosphärendruck P◦ . Der Druck P ergibt sich aus dem Niveauunterschied 1h und der
Dichte ρ der Flüssigkeit:
P = P◦ + ρg1h.
Atmosphärendruck P
Vakuum
Meßdruck
P
Hg
∆h
Abbildung 9.7: (a) Manometer: P = P◦ +
ρg1h. (b) Quecksilberbarometer: P◦ =
ρHg gl.
(a)
l
(b)
Der Absolutwert des Atmosphärendrucks läßt sich mit einem Quecksilberbarometer bestimmen (s. Abb. 9.7b). Die Dichte des Quecksilbers ist so groß, daß eine Höhendifferenz von nur
9.2. RUHENDE FLÜSSIGKEITEN UND GASE: (HYDROSTATIK)
127
76 cm einer Druckänderung von 105 Pa entspricht. Wenn man also ein an einem Ende offenes Glasrohr, dessen Länge etwas mehr als 76 cm beträgt, mit Quecksilber füllt, senkrecht stellt und das
offene Ende in ein Behälter mit Quecksilber taucht, entsteht am oberen Ende ein Vakuum, und der
aktuelle Atmosphärendruck ergibt sich aus der Bestimmung der Länge der Quecksilbersäule:
P◦ = ρHg gl.
9.2.3
Auftrieb - Prinzip von Archimedes
Wenn ein Festkörper in eine Flüssigkeit getaucht wird, wirkt auf jedes kleine Flächenelement
ds eine Kraft P ds aufgrund des in der Flüssigkeit herrschenden hydrostatischen Drucks P . Die
Kräfte sind überall senkrecht zur Oberfläche des Körpers. Wegen der Zunahme des Drucks mit
der Tiefe (Gleichung (9.10)) sind die Kräfte, die auf die Unterseite des Körpers wirken, größer als
die, die auf die Oberseite wirken. Die Summe aller Kräfte ergibt daher eine nach oben gerichtete
resultierende Kraft (Auftrieb), die das scheinbare Gewicht vermindert. Für Körper mit einfachen
Formen, z.B. Quader, läßt sich die Auftriebskraft einfach rechnen. Das Ergebnis für einen beliebig
geformten Körper läßt sich durch folgendes Argument ermitteln:
Der vom Körper besetzte Raum war vorher mit der Flüssigkeit gefüllt, die sich in statischem
Gleichgewicht mit der Umgebung befand. Auf das Flüssigkeitsvolumen, das genau die gleiche
Größe und die gleiche Form wie der Festkörper hat, wirkt also eine Auftriebskraft, die genauso
groß ist wie das Gewicht der in diesem Volumen enthaltenen Flüssigkeit. Da die Druckverteilung
durch die Anwesenheit des Körper nicht verändert wird, muß dieser den gleichen Auftrieb wie die
Flüssigkeit erfahren. Der Auftrieb (Gewichtsverminderung) ist demnach gleich dem Gewicht der
verdrängten Flüssigkeit. Dieses Prinzip wurde zuerst von Archimedes entdeckt. Es trifft sowohl
für Gase als auch für Flüssigkeiten zu und läßt sich wie folgt allgemein formulieren:
Jeder Körper erfährt in einer Flüssigkeit bzw. in einem Gas eine Auftriebskraft, deren
Betrag gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeits- bzw. Gasmenge ist.
Das Prinzip von Archimedes läßt sich etwas formaler“ ableiten, indem man die Arbeit be”
rechnet, die geleistet werden muß, um den Körper innerhalb der Flüssigkeit eine gewisse Strecke
h nach oben zu bewegen. Diese Arbeit ist F h, wo F die Gesamtkraft ist, die auf den Körper wirkt
(Gewicht - Auftrieb), und ist gleich der Änderung der potentiellen Energie des Systems Körper
+ Flüssigkeit. Die Änderung der potentiellen Energie des Körpers ist Mk gh, wo Mk seine Masse ist. Der Körper tauscht seine Position mit dem gleichen Volumen der Flüssigkeit (Masse Mf ).
Dadurch ändert sich die potentielle Energie der Flüssigkeit um den Betrag −Mf gh. Damit gilt:
F
Gesamtkraft
=
Mk g
−
Mf g
Körpergewicht
verdrängtes Gewicht
Bezeichnen wir die Dichte der Flüssigkeit mit ρf und die des Körpers2 mit ρk , erhalten wir für das
scheinbare Gewicht eines Körpers mit dem Volumen V
F = V g(ρk − ρf ).
Wenn F positiv ist (ρk > ρf ), sinkt der Körper; wenn F negativ ist, steigt er und schwimmt auf
der Oberfläche. Ein schwimmender Körper verdrängt ein Flüssigkeitsvolumen, das genau seinem
eigenen Gewicht entspricht.
Frage 9.5 Welcher Anteil des Volumens eines Eisbergs ist unter Wasser? Die Dichten von
Salzwasser und Eis sind 1,05 bzw. 0,95 g cm.−3 .
2 Im
Falle eines inhomogenen Körpers (z.B. eines Hohlkörpers) gilt hier die mittlere Dichte, d.h. Masse/Volumen.
128
9.3
9.3.1
KAPITEL 9. MECHANISCHE STOFFEIGENSCHAFTEN
Oberflächeneigenschaften
Oberflächenenergie, Oberflächenspannung
In einer Flüssigkeit wirken starke Anziehungskräfte zwischen den Molekülen. Im Prinzip übt
jedes Molekül eine Kraft auf jedes andere Molekül aus. Die Stärke der Anziehungskraft fällt jedoch
schnell mit der Entfernung ab. Wenn wir also die Kraft bestimmen wollen, die auf ein bestimmtes
Molekül wirkt, können wir die Moleküle vernachlässigen, die außerhalb einer Kugel mit einem
bestimmten Radius r sind, die etwa die nächsten und übernächsten Nachbarn einschließt.
Für Moleküle, die sich in einer Entfernung d < r von der Oberfläche befinden, ragt ein Teil
des Kugelvolumens in die Gasphase hinein, wo die Moleküldichte viel geringer ist. Auf die Oberflächenmoleküle wirkt deshalb eine resultierende Kraft, die senkrecht zur Oberfläche steht und zum
Inneren der Flüssigkeit zeigt (s. Abb. 9.8). Es muß daher Arbeit geleistet werden, um ein Molekül
B
F
A
Abbildung 9.8: Zum Ursprung der Oberflächenenergie einer Flüssigkeit. Die auf das
Molekül A wirkende Kraft ist im Mittel 0,
während B eine Kraft spürt, die senkrecht
zur Oberfläche steht.
an die Oberfläche zu bringen. Es kostet auch Energie, um zusätzliche Oberflächen zu erzeugen,
z.B. durch Aufteilung einer Flüssigkeit in Tropfen. Die Energie pro Flächeneinheit der Oberfläche
heißt (spezifische) Oberflächenenergie ().
Die Existenz der Oberflächenenergie führt dazu, daß sich Flüssigkeiten so verhalten, daß
die Oberfläche möglichst klein wird. Kleine Tropfen sind kugelförmig, weil die Kugel die
kleinstmögliche spezifische Oberfläche hat. Die Oberfläche wirkt wie eine gespannte Haut.
Betrachten wir als Beispiel einen Seifenfilm, der auf einem Rahmen gespannt ist und durch Verschieben einer Kante gedehnt werden kann (s. Abb. 9.9). Die Länge der beweglichen Kante sei
l. Eine Bewegung um eine Strecke d erhöht die Oberfläche um den Betrag 2dl (der Seifenfilm
hat zwei Oberflächen) und erfordert daher die Arbeit 2dl. Diese Arbeit wird von der Kraft F
geleistet. Es gilt also
F d = 2dl.
F ist aber gerade die Kraft, mit der die Oberfläche an der Kante mit der Gesamtlänge 2l zieht. Die
Kraft pro Längeneinheit wird als Oberflächenspannung σ bezeichnet:
σ = F /2l = .
129
9.3. OBERFLÄCHENEIGENSCHAFTEN
d
l
F
Abbildung 9.9: Dehnung eines Seifenfilms:
Zur Definition der Oberflächenspannung.
Durch die Strecke d leistet die Kraft F die
Arbeit F d. Die Wasseroberfläche vergrößert
sich dabei um 2ld.
Die Oberflächenenergie und die Oberflächenspannung σ sind also numerisch gleich. Sie habe
natürlich auch die gleichen Einheiten, da J m−2 (Energie/Fläche) und N m−1 äquivalent sind.
Beispiele für die Oberflächenspannungen einiger Flüssigkeiten bei 18◦ C in J m−2 bzw. N m−1
sind:
Quecksilber 0,471
Wasser
0,0729
Benzol
0,029
Ethylether
0,017
9.3.2
Tropfen und Blasen
Wenn eine Flüssigkeit langsam aus einer Pipette oder einem undichten Wasserhahn läuft, bilden sich Tropfen. Ein Tropfen reißt dann ab, wenn das Gewicht nicht mehr durch die Oberflächenspannung getragen werden kann. Hat die Öffnung einen Radius r, beträgt die maximale
Kraft der Oberflächenspannung 2π rσ . Das Gewicht eines Volumens V ist Vρg. Das Tropfenvolumen ist damit
V = 2πrσ/ρg.
Das Versprühen von Flüssigkeiten erfordert Energie nicht nur für die kinetische Energie der
Tropfen sondern auch für die neu erzeugte Oberfläche. Bei einem Gesamtvolumen V und einem
Tropfenradius r hat man n = 3π V /4r 3 Tropfen mit der Oberfläche 4πr 2 . Die dafür benötigte
Energie ist
E = 3V σ/r.
Frage 9.6 Ein Volumen V einer Flüssigkeit mit der Oberflächenspannung σ wird mit
einer Düse versprüht und bildet Tropfen mit dem Radius r. Wieviel Oberflächenenergie
muß dabei aufgebracht werden? Um 1 l Wasser zu verdampfen, benötigt man 2,26 MJ (s.
Thermodynamik-Skript, Abschnitt 4.1). Können Sie aus dieser Information die Größe eines
Wassermoleküls schätzen?
Die Oberflächenspannung erzeugt einen Überdruck innerhalb eines Tropfens. Abb. 9.10 zeigt
die Kräfte, die eine Hälfte eines kugelförmigen Tropfens auf die andere übt. Die Oberfläche zieht
mit einer Kraft, die durch das Produkt des Kreisumfangs mit der Oberflächenspannung gegeben ist
130
KAPITEL 9. MECHANISCHE STOFFEIGENSCHAFTEN
Oberflächenspannung
r
∆P
Druckkraft
Abbildung 9.10: Zur Ableitung des Innendrucks eines Flüssigkeitstropfens. Wir betrachten die Kräfte, die eine Hälfte des Tropfens auf die andere ausübt.
(2πrσ ). Das Gleichgewicht verlangt, daß diese Kraft durch die Druckkraft (πr 2 1P ) kompensiert
wird. Daraus folgt
1P = 2σ/r.
Für eine Seifenblase mit der doppelten Oberfläche gilt 1P = 4σ/r.
In einer Gasblase innerhalb einer Flüssigkeit herrscht der gleiche Überdruck wie in einem
Tropfen. Wenn Gas durch ein Rohr mit dem Radius r in eine Flüssigkeit eingeführt wird, bildet
sich eine gewölbte Grenzfläche, die den kleinsten Radius hat, wenn die Fläche eine Halbkugel mit
dem Radius r bildet. Der benötigte Druck in einer Tiefe h ist daher
1P = ρgh + 2σ/r.
9.3.3
Kapillarität
Wenn eine Flüssigkeit in Kontakt mit einer Festkörperoberfläche tritt, treffen sich in einer Linie
drei Grenzflächen mit unterschiedlichen Energien (s. Abb. 9.11):
σl
σs
α σsl
(a)
Abbildung 9.11: (a) Zur Berechnung des
Kontaktwinkels. Die Kräfte σs , σl und σsl
müssen im Gleichgewicht sein. (b) α = 0,
(c) 0 < α < π/2, (d) α = π/2, (e)
π/2 < α < π . (f) α = π .
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
131
9.3. OBERFLÄCHENEIGENSCHAFTEN
– Die Grenzfläche zwischen der Flüssigkeit und der Gasphase (Oberflächenspannung σl )
– Die Grenzfläche zwischen dem Festkörper und der Gasphase (Oberflächenspannung σs )
– Die Grenzfläche zwischen dem Festkörper und der Flüssigkeit (Oberflächenspannung σsl )
Da die Flüssigkeitsoberfläche frei beweglich ist, stellt sich der Kontaktwinkel nach der Gleichgewichtsbedingung
σs = σsl + σl cos α
bzw.
cos α = (σs − σsl )/σl
ein.
Abhängig von den Werten der verschiedenen Oberflächenspannungen gibt es folgende
Möglichkeiten:
– σs − σsl ≥ σl : Die Oberfläche wird durch die Flüssigkeit benetzt (α = 0, Abb. 9.11b).
– 0 < σs − σsl < σl : 0 < α < π/2 (Abb. 9.11c).
– σs − σsl = σl : α = π/2 (Abb. 9.11d)
– 0 > σs − σsl > −σl : π/2 < α < π (Abb. 9.11e).
– σs − σsl ≤ −σl : Die Flüssigkeit hat das Streben, möglichst wenig von der Oberfläche zu
benetzen (α = π , Abb. 9.11f).
Die Oberflächenspannung von Flüssigkeiten ist für den Kapillareffekt verantwortlich.
Abb. 9.12 zeigt ein senkrechtes Kapillarröhrchen mit dem Radius r, dessen unteres Ende in ei-
r
α
h
Abbildung 9.12: Der Kapillareffekt. Es ergibt sich ein Gleichgewicht zwischen der
Kraft, die durch die Oberflächenspannung
auf die Flüssigkeitssäule wirkt, und dem
Schweredruck.
ner Flüssigkeit gehalten wird. Wenn der Kontaktwinkel unter π/2 ist, steigt die Flüssigkeit, bis
ein Gleichgewicht zwischen der Oberflächenspannung und der Druckdifferenz erreicht wird. Die
Oberflächenspannung zieht auf dem Umfang 2π r mit der Kraft 2πσ cos α nach oben, und die
Druckdifferenz ρgh übt auf die Fläche π r 2 die Kraft πr 2 ρgh nach unten. Wenn wir diese beiden
Kräfte gleich setzen, erhalten wir
2σ cos α
h=
.
rρg
Wenn α > π/2 ist (z.B. Quecksilber), ist h negativ, d.h. die Flüssigkeitsoberfläche im Rohr ist
niedriger als die der Umgebung. Für die Kombination Wasser/Glas ist α ≈ 0.
Frage 9.7 Wie weit steigt Wasser in einem Röhrchen mit einem Radius von 0,1 mm?
132
9.4
9.4.1
KAPITEL 9. MECHANISCHE STOFFEIGENSCHAFTEN
Bewegung von Flüssigkeiten und Gasen
Ideale Flüssigkeiten
Ideale—im Gegensatz zu reale—Flüssigkeiten haben keine innere Reibung. Eine Bewegung
mit konstanter Geschwindigkeit ist also kräftefrei; Beschleunigungen dagegen benötigen Druckdifferenzen. Als Beispiel zeigt Abb. 9.13 schematisch den Fluß einer idealen Flüssigkeit durch ein
horizontales Rohr, dessen Querschnitt von A1 auf A2 verändert. Wir gehen davon aus, daß es sich
um eine stationäre, laminare Strömung handelt. Stationär bedeutet, daß die Geschwindigkeit an
jedem Ort zeitlich konstant ist. Eine laminare Strömung ist durch Strömungslinien ohne Wirbel
charakterisiert, die im Falle einer stationären Strömung zeitlich konstant sind und gleichzeitig die
Bahnen der Flüssigkeitsteilchen darstellen (Abb. 9.13).
Querschnitt A1
Querschnitt A2
P P'
R
R'
P1
P2
S'
S
Abbildung 9.13: Stationäre, laminare Strömung einer idealen Flüssigkeit
durch ein horizontales Rohr mit einer
Querschnittsverengung. Die mit Pfeilen versehenen Linien sind die Strömungslinien.
Q Q'
v2δt
v1δt
Da Flüssigkeiten praktisch inkompressibel sind, muß bei einer Querschnittsverengung (A1 →
A2 ) die Geschwindigkeit entsprechend erhöht werden(v1 → v2 ), um den gleichen Volumendurchfluß zu erreichen. Aus dieser Überlegung folgt die sog. Kontinuitätsgleichung
A1 v1 = A2 v2 .
(9.11)
Eine Erhöhung der Geschwindigkeit bedeutet aber eine Erhöhung der kinetische Energie. Es muß
daher Arbeit geleistet werden, und dies kann nur eine Druckdifferenz aufgebracht werden.
Betrachten wir das Volumen der Flüssigkeit, die sich zu einem bestimmten Zeitpunkt t zwischen den Flächen PQ und RS (Abb. 9.13) befindet. Im Zeitintervall δt bewegt sich die Fläche PQ
durch die Strecke v1 δt nach P’Q’, und die Fläche RS durch die Strecke v2 δt nach R’S’. Während
dieser Zeit wirkt auf die Fläche PQ die Kraft P1 A1 in Richtung der Strömung und auf die Fläche
RS die Kraft P2 A2 entgegen der Strömung. Die auf das betrachtete Volumen insgesamt im Intervall
δt geleistete Arbeit ist also
δW = (P1 A1 v1 − P2 A2 v2 )δt = (P1 − P2 )δV ,
wobei δV = A1 v1 δt = A2 v2 δt das im Zeitintervall δt transportierte Volumen bedeutet. (Wir haben
hier die Kontinuitätsgleichung (9.11) verwendet).
133
9.4. BEWEGUNG VON FLÜSSIGKEITEN UND GASEN
In der gleichen Zeit hat das gleiche Teilvolumen des betrachteten Flüssigkeitsvolumens seine
kinetische Energie um den Betrag
1
δEk = ρδV (v22 − v12 )
2
erhöht. Die Energiebilanz ergibt
1
1
P1 + ρv12 = P2 + ρv22
2
2
oder
1
P + ρv 2 = konst.
2
In Worten ausgedruckt bedeutet diese Gleichung: Die Summe des Drucks und der kinetischen
Energiedichte (Kinetische Energie pro Volumeneinheit) einer Flüssigkeit ist konstant.
Wir haben die potentielle Energie jedoch noch nicht berücksichtigt. Im statischen Fall (Ek = 0)
haben wir Gleichung (9.10) abgeleitet, wo der Term ρgz als (negative) potentielle Energiedichte
interpretieren können. Gleichung (9.10) sagt also aus, daß im statischen Fall die Summe aus Druck
und potentieller Energiedichte konstant ist. Wenn wir nun beide Energieformen berücksichtigen,
erhalten wir die Aussage
1
P + ρv 2 + ρgh = konst.,
2
(9.12)
wo h die Höhe (positiv nach oben) bedeutet. Diese bemerkenswerte Gleichung wurde zuerst von
Daniel Bernoulli (1700–1782) aufgestellt und wird daher allgemein als Bernoulli-Gleichung bezeichnet. Obwohl sie streng nur für inkompressible Flüssigkeiten gilt, kann sie auch auf Gase
angewendet werden, wenn Druckänderungen klein im Vergleich zum Gesamtdruck sind.
Es folgen einige Beispiele für die Anwendung der Bernoulli-Gleichung: Beispiele für die Anwendung der Bernoulli-Gleichung
Beispiel 1: Das Prandtlsche Staurohr. Dieses Gerät (s. Abb. ??a) dient zur Messung von
Strömungsgeschwindigkeiten und besteht aus zwei konzentrischen Röhren, deren gemeinsame
Achse parallel zur Strömung steht. Das innere Rohr ist vorne offen (A), und das Außenrohr hat
an der Seite eine kleine Öffnung (B). Beide Röhre sind an ein Gerät angeschlossen, das die Druckdifferenz mißt und keinen Durchfluß erlaubt. Am Punkt A staut sich die Strömung, d.h. die Geschwindigkeit ist 0, während am Punkt B die volle Strömungsgeschwindigkeit v herrscht. Der
Druck am Punkt A ist daher nach (9.12) höher als der Druck am Punkt B. Die Differenz
1
1P = ρv 2
2
wird als Staudruck bezeichnet und ist ein Maß für die Strömungsgeschwindigkeit.
Beispiel 2: Das hydrodynamische Paradoxon“ (Abb. ??b). Strömt ein Gas oder eine
”
Flüssigkeit aus einem mit einem runden Flansch (F) versehenen Rohr wird eine parallel zum
Flansch angeordnete Platte (P) nicht abgestoßen, sondern angezogen, wenn der Abstand nicht zu
groß ist.
134
KAPITEL 9. MECHANISCHE STOFFEIGENSCHAFTEN
B
(a)
A
∆P
F
(b)
P
h
(c)
v
Abbildung 9.14:
Beispiel 3: Leckendes Gefäß. Aus einem kleinen Loch in der Wand eines Behälters tritt
Flüssigkeit mit der Geschwindigkeit v aus (Abb. ??c). Das Loch befindet sich in einer Tiefe h
unter der Oberfläche. In der Flüssigkeit kurz vor dem Loch herrscht daher der Druck P + ρgh
(P = Atmosphärendruck) und die Geschwindigkeit ist praktisch Null. Kurz außerhalb des Loches
ist der Druck P und die Geschwindigkeit v. Die Bernoulli-Gleichung (9.12) ergibt dann
p
v = 2gh.
Dies ist genau die Geschwindigkeit, die eine Masse im freien Fall nach der Strecke h erreicht.
Frage 9.8 Der italienische Mathematiker und Physiker Evangelista Torricelli1 (1608–1647)
hat die obige Beziehung aus dem Prinzip der Energieerhaltung abgeleitet. Können Sie seine
Argumente nachvollziehen?
9.4.2 Innere Reibung (Viskosität)
Die innere Reibung einer Flüssigkeit äußert sich dadurch, daß eine Schubkraft benötigt wird,
um einen Geschwindigkeitsgradienten in der Flüssigkeit aufrechtzuerhalten. Abb. 9.15 zeigt zwei
Möglichkeiten zur Erzeugung eines solchen Gradienten: (a) eine Flüssigkeit zwischen einer ruhenden und einer bewegten Platte, und (b) eine Flüssigkeit zwischen zwei konzentrischen Zylindern,
wobei der innere gedreht und der äußere festgehalten wird.
1 Von
1641-42 war er Galileo Galileis Sekretär.
135
9.4. BEWEGUNG VON FLÜSSIGKEITEN UND GASEN
Im ersten Fall stellt sich ein konstanter Geschwindigkeitsgradient ein, und die Schubkraft für
eine Fläche S ist
z
r
v
Abbildung 9.15: Zur Definition der Viskosität. Flüssigkeit (a) zwischen zwei Platten, die sich relativ zueinander mit der Geschwindigkeit v bewegen (b) zwischen zwei
Zylindern, von denen sich der innere mit der
Drehgeschwindigkeit ω rotiert.
ω
R1
R2
(a)
(b)
F = ηvA/z,
wo η ein Stoffparameter, die Viskosität, ist. Bei anderen Geometrien ist der Gradient nicht immer
konstant. Allgemein gilt jedoch für die Schubspannung σ = F /A:
σ =η
dv
.
dz
In Abb. 9.15b dreht sich der innere Zylinder (Radius R1 ) mit der Winkelgeschwindigkeit ω.
Das dafür benötigte Drehmoment sei M. Betrachten wir eine Zylinderfläche mit dem Radius r und
der Länge l innerhalb der Flüssigkeit. Im stationären Zustand (keine Beschleunigung) muß das auf
diese Fläche wirkende Drehmoment gleich −M sein, d.h.
dv
dv
· r = −2πlr 2 η .
M = −Fläche · Schubspannung · Radius = −(2π rl) · η
dr
dr
Integration dieser Gleichung mit der Randbedingung v = 0 für r = R2 ergibt:
M
1
1
v=
−
.
2πηl r
R2
De Bedingung v = ωR1 für r = R1 ergibt schließlich die Geschwindigkeit v als Funktion von r
und der Drehgeschwindigkeit ω:
ωR12 (R2 − r)
v=
r(R2 − R1 )
und das für die Bewegung benötigte Drehmoment
M=
2πηlωR12 R2
.
(R2 − R1 )
136
KAPITEL 9. MECHANISCHE STOFFEIGENSCHAFTEN
dy
y=Rsinα
dα
α
x
R
Abbildung 9.16: Laminare Strömung durch
ein Rohr. Im stationären Zustand (keine Beschleunigung) muß die Druckkraft, die auf
einen zylindrischen Ausschnitt (Radius r)
wirkt, gleich dem Widerstand sein, die durch
die innere Reibung entsteht.
Wegen der inneren Reibung wird ein Druckgradient benötigt, um eine Flüssigkeit mit konstanter Geschwindigkeit durch ein Rohr zu transportieren. Abb. 9.16 zeigt den Fluß durch ein Rohr mit
Durchmesser R. Auf der Strecke l ist das Druckgefälle 1P . Betrachten wir einen zylindrischen
Bereich der Flüssigkeit mit dem Radius r. Die Druckdifferenz übt auf diesen Querschnitt die Kraft
FP = π r 2 1P
aus, und die auf den Zylindermantel wirkende Reibungskraft ist
FR = −2πrlη
dv
.
dr
Für den stationären Zustand gilt FP = FR und damit
dv = −
1P
rdr.
2lη
Integration mit der Randbedingung v(R) = 0 ergibt
v=
1P (R 2 − r 2 )
.
4lη
(9.13)
Die Strömungsgeschwindigkeit hat also ein Maximum in der Mitte und nimmt quadratisch mit
dem Radius ab.
Um den Gesamtfluß V̇ (Volumen pro Zeiteinheit) zu ermitteln, betrachten wir zunächst eine
dünne Zylinderschale mit dem Radius r und der Dicke δr. Der Volumenstrom durch diese Schale
ist das Produkt der Stirnfläche 2π rδr mit der Geschwindigkeit aus Gleichung (9.13). Wir integrieren dann über den Gesamtquerschnitt:
Z
π1P R 2
π1P R 4
2
V̇ =
(R − r )rdr =
.
2lη 0
8lη
Definieren wir den Strömungswiderstand W als das Verhältnis 1P /V̇ , so erhalten wir für das
betrachtete Rohrstück
8lη
W =
.
πr 4
137
9.5. ANTWORTEN ZU DEN FRAGEN
9.5
Antworten zu den Fragen
Frage 9.1 Das Volumen eines Drahts mit der Länge l und dem Radius r ist
V = πr 2 l.
Bei einer Dehnung ändern sich l und auch r. Die Volumenänderung ist
δV = 2πrlδr + πr 2 δl.
Bei einer Spannung σ gilt aber
δl
δr
= σ E und
= −νσ E.
l
r
Somit ist
δV
= σ E(1 − 2ν).
V
Frage 9.2 Die Ableitung von P V = konst. ergibt
P δV + V δP = 0,
bzw.
κ=−
1 δV
1
= .
V δP
P
Frage 9.3 Weder κ noch E können negativ sein: Ein Draht würde sich unter einer Zugspannung
zusammenziehen, oder das Volumen eines Gases würde bei Erhöhung des Drucks größer werden!
Frage 9.4 Mit h = 1000 m, ρ = 1000 kg m−3 und P◦ ≈ 105 Pa ist der Druck
P = P◦ + ρgh = (105 + 9,81 · 106 ) Pa ≈ 100 atm.
Frage 9.5 Es sei V das Volumen des Eisbergs und Vu das Volumen des verdrängten Wassers.
Die Masse des Eisvolumens V (Dichte ρE ) muß gleich der Masse des Wasservolumens Vu (Dichte
ρW ) sein:
VρE = Vu ρW .
Der Unterwasser-Anteil ist daher
VU
0,95
=
≈ 0,9.
V
1,05
138
KAPITEL 9. MECHANISCHE STOFFEIGENSCHAFTEN
Frage 9.6 Wenn wir V durch das Volumen eines Tropfens (4πr 3 /3) dividieren, erhalten wir die
Anzahl der Tropfen. Die Energie ergibt sich als Anzahl der Tropfen mal Oberfläche (4πr 2 ) mal
Oberflächenspannung:
3V σ
3V
2
E=
· 4πr · σ =
.
3
r
4πr
Der Verdampfungsvorgang kann man als Zerteilung in Tropfen mit je einem Molekül auffassen. Um den Radius“ des Wassermoleküls abzuschätzen, setzen wir also E = QD (Verdamp”
fungswärme) und erhalten
3V σ
r=
.
QD
Dies ist natürlich nur eine grobe Näherung, weil wir den Begriff der Oberflächenenergie nicht
ohne weiteres auf kleine Cluster von Molekülen oder gar auf ein einziges Molekül anwenden
können. Die Größenordnung sollte aber stimmen. Mit V = 10−3 m3 , σ = 0,0729 J m−2 und
QD = 2,26 MJ kg−1 erhalten wir r ≈ 0,1 nm. (Der H-O-Abstand in einem Wassermolekül ist
tatsächlich 0,0957 nm!)
Frage 9.7 Aus
h=
2σ cos α
rρg
folgt mit σ = 0,0729 J m−2 , α = 0◦ , r = 10−4 m, ρ = 1000 kg m−3 und g = 9,81 m s−2
h = 14,9 cm.
Frage 9.8 Wenn eine Masse δm aus dem Gefäß herausfließt, fällt die Flüssigkeitsoberfläche um
genau den Betrag, der dieser Masse entspricht. Die Änderung der potentiellen Energie entspricht
dem Fallen einer Masse δm durch die Höhe h. Diese Energie erscheint als kinetische Energie der
Masse δm, die daher die gleiche Geschwindigkeit hat, als ob sie von der Höhe h gefallen wäre.
139
Anhang A
Ergänzungen zum Kapitel 7
A.1
Beispiele für Berechnung von Trägheitsmomenten
Bei den nachfolgenden Beispielen wird davon ausgegangen, daß die Körper eine homogene
Massenverteilung besitzen, d.h. die Dichte ρ wird als konstant angenommen. M bedeutet immer
die Gesamtmasse des jeweiligen Körpers.
Rechtwinkliges Parallelepiped
Wir betrachten einen Quader mit den Kantenlängen a, b, c parallel zu den Koordinatenachsen
x, y, z. Wir wenden Gleichung (7.9) an, um zunächst Ix zu berechnen. Es gilt ρ(r) = konst., und
das Volumenelement ist dV = adydz. Damit ist
Z b/2
Z c/2
Ix = aρ
dy
dz(y 2 + z2 ) = abcρ(b2 + c2 )/12.
−b/2
−c/2
I (y) und I (z) erhält man durch zyklisches Vertauschen der Parameter a, b, c. Mit M = abcρ
(Masse des Körpers) erhalten wir schließlich:
Ix =
M
M(b2 + c2 ),
12
Iy =
M 2
(c + a 2 ),
12
Iz =
M 2
(a + b2 ).
12
Alternativ kann man den Quader als eine Stapelung von dünnen Rechtecken betrachten. Die
obigen Gleichungen folgen dann direkt aus (7.6).
Hohler Kreiszylinder
Wir lösen das Problem zunächst für einen Vollzylinder (Radius R, Höhe H ). Wir nehmen den
Schwerpunkt als Ursprung des Koordinatensystems und die Zylinderachse als z-Achse. Da der
Zylinder als eine Stapelung von dünnen Scheiben betrachtet werden kann, ergibt sich Iz direkt aus
(7.2):
MR 2
Iz =
.
2
Aus Symmetriegründen wissen wir, daß Ix = Iy ist. Um Ix zu bestimmen, behandeln wir
zunächst den Fall einer dünnen Scheibe, die sich um einen Durchmesser (x-Achse) dreht (siehe Abb. A.1). Die Scheibe setzte sich Zusammen aus Stäben, die parallel zur x-Achse verlau-
140
ANHANG A. ERGÄNZUNGEN ZUM KAPITEL 7
dy
y=Rsinα
dα
α
x
R
Abbildung A.1: Zur Berechnung des
Trägheitsmoments einer Scheibe um
einen Durchmesser (hier die x-Achse).
Im nachfolgenden Abschnitt wird das
gleiche Bild benutzt, um die Berechnung
des Trägheitsmoments einer Kugel zu
veranschaulichen.
fen. Ein Stab in einer Entfernung y von der x-Achse macht einen Beitrag dIx = y 2 dM zum
Trägheitsmoment, wobei dM die Masse bedeutet. Die Länge dieses Stabs (Abb. A.1) ist 2R cos α.
Das Verhältnis der Masse dM zur Gesamtmasse M ist gleich dem Verhältnis der Fläche 2R cos αdy
zur Gesamtfläche πR 2 . Damit ist
dIx =
2M
cos αy 2 dy.
πR
Mit y = R sin α und dy = R cos αdα folgt
2MR 2
Ix =
π
Z
π/2
sin2 α cos2 αdα
−π/2
Das Ergebnis der Integration findet man am bequemsten durch Nachschlagen in Tabellen von Integralen (z.B. in Bronstein et al. Taschenbuch der Mathematik1 ):
Z π/2
α sin(4α) π/2
π
2
2
sin α cos αdα =
−
= .
8
32
8
−π/2
−π/2
Das gesuchte Trägheitsmoment ist also
Ix =
MR 2
.
4
Dieses Ergebnis wenden wir nun an, um das Trägheitsmoment des Zylinders um die x-Achse zu
berechnen. Der Beitrag einer Scheibe der Dicke dz in der Höhe z ist nach dem Steinerschen Satz:
2
R
2
dIx =
+ z dM.
4
Mit dM = Mdz/H erhalten wir
2
Z
M H /2 R 2
R
H2
2
.
Ix =
+ z dz = M
+
H −H /2 4
4
12
1 Auch
als CD-ROM erhältlich.
141
A.1. BEISPIELE FÜR BERECHNUNG VON TRÄGHEITSMOMENTEN
Zusammenfassend erhalten wir also für den Vollzylinder:
Ix = Iy = M
R2 H 2
+
;
4
12
Iz =
MR 2
.
2
(A.1)
Die Trägheitsmomente eines Hohlzylinders (Außenradius R1 , Innenradius R2 ) erhalten wir,
indem wir die Trägheitsmomente eines Zylinders mit dem Radius R2 von den entsprechenden
Werten eines Zylinders mit dem Radius R1 abziehen. Da sich aber die Masse—nicht jedoch die
Dichte—dabei ändert, rechnen wir die Gleichungen (A.1) zunächst mit Hilfe der Beziehung M =
πR 2 Hρ um:
4
R4
R
H 2R2
Ix = Iy = π Hρ
+
; Iz = πHρ .
4
12
2
Nun können wir R = R1 bzw. R = R2 setzen und die Differenz bilden:
Ix = Iy = π Hρ
!
R14 − R24 H 2 (R12 − R22 )
+
;
4
12
Iz = πHρ
R14 − R24
.
2
Die Masse des Hohlzylinders ist M = π(R12 − R22 )Hρ. Wenn wir π Hρ durch M/(R12 − R22 )
ersetzen, erhalten wir als Endergebnis
M
Ix = Iy =
4
R12
+ R22
H2
+
;
3
Iz =
M 2
(R + R22 ).
4 1
Hohlkugel
Wie im Falle des Zylinders beginnen wir mit einer Vollkugel und berechnen das
Trägheitsmoment des Hohlkörpers als Differenz. Wir verwenden wieder Abb. A.1, die aber
in diesem Fall als Schnitt durch eine Kugel aufgefaßt werden soll. Für eine Kugel ist das
Trägheitsmoment für alle Richtungen gleich. In Abb. A.1 betrachten wir die y-Achse als die Drehachse. Das Volumenelement ist eine parallel zur x-z-Ebene verlaufende Scheibe mit der Dicke dy
im Abstand y vom Ursprung. Das Volumen der Scheibe ist dV = π(R cos α)2 dy und die Masse
daher
3π(R cos α)2 dy
3 cos2 αdy
.
dM = M
=
M
4R
4π R 3
Der Beitrag der Scheibe zum Trägheitsmoment ist
dI = dM
(R cos α)2
3MR cos4 αdy
=
,
2
8
und mit dy = R cos αdα
3MR 2
I=
8
Z
π/2
cos5 αdα.
−π/2
Das Integral berechnet man einfach mit der Substitution u = sin α:
1
2u3 u5
16
+
= .
cos αdα =
(1 − u ) du =
(1 − 2u + u )du = u −
3
5 −1 15
−π/2
−1
−1
Z
π/2
5
Z
1
2 2
Z
1
2
4
142
ANHANG A. ERGÄNZUNGEN ZUM KAPITEL 7
Das Trägheitsmoment einer Vollkugel ist also
Ix = Iy = Iz = I =
2MR 2
5
Um die Differenzmethode anwenden zu können, setzen wir M = (4/3)π R 3 ρ:
8πρ 5
R .
15
Eine Hohlkugel mit dem Außenradius R1 und dem Innenradius R2 hat daher das Trägheitsmoment
I=
I=
8πρ 5
(R1 − R25 ).
15
Die Gesamtmasse der Hohlkugel ist
4πρ 3
(R1 − R23 ).
3
In Abhängigkeit von der Gesamtmasse ist das Trägheitsmoment also
M=
I=
A.2
2M(R15 − R25 )
5(R13 − R23 )
.
Kinetische Energie der Rotation
Der Körper bestehe aus Massenpunkten m1 , m2,... an den Stellen r1 , r2 , . . .. Bei einer Rotationsgeschwindigkeit ω hat die Masse mi die Geschwindigkeit ω × ri . Die kinetische Energie ist
damit
1X
Ek =
mi |ω × ri |2 .
2
i
Die Komponenten des Vektors ω × ri sind
(ω × ri )x = ωy zi − ωz yi
(ω × ri )x = ωz xi − ωx zi
(ω × ri )z = ωx yi − ωy xi .
Dies ergibt für die kinetische Energie
i
1X h
mi (ωy zi − ωz yi )2 + (ωz xi − ωx zi )2 + (ωx yi − ωy xi )2 =
Ek =
2
i
1X h 2 2
mi ωx (yi + zi2 ) + ωy2 (zi2 + xi2 ) + ωz2 (xi2 + yi2 )
2
i
i
−2ωx ωy xi yi − 2ωy ωz yi zi − 2ωz ωx zi xi .
Mit Hilfe der Gleichungen (7.17) können wir die Summen mit den Elementen des Trägheitsmoment-Tensors gleichsetzen:
1
Ek = (Ixx ωx2 + Iyy ωy2 + Izz ωz2 ) + Ixy ωx ωy + Iyz ωy ωz + Izx ωz ωx .
2
143
A.3. DER STEINERSCHE SATZ
A.3
Der Steinersche Satz
(m)
(m)
Zum Beweis des Steinerschen Satzes berechnen wir Ixx
und Ixy
für den Schwerpunkt rm =
(xm , ym , zm ) und die entsprechenden Werte Ixx und Ixy für den Punkt rm + R = (xm + X, ym +
Y, zm + Z). Die Gleichungen (7.18) gelten für den Ursprung (0, 0, 0). Um das Trägheitsmoment
um einen beliebigen Punkt r zu bestimmen, ersetzen wir ri in (7.18) durch ri − r. Wir erhalten für
den Schwerpunkt
i
X h
(m)
Ixx
=
mi (yi − ym )2 + (zi − zm )2
(A.2)
i
(m)
Ixy
=−
X
mi (xi − xm )(yi − ym )
(A.3)
i
und für den Punkt rm + R
Ixx =
h
i
mi (yi − ym − Y )2 + (zi − zm − Z)2
X
(A.4)
i
X
Ixy = −
mi (xi − xm − X)(yi − ym − Y ).
(A.5)
i
Wenn wir die Quadrate in der Gleichung (A.4) entwickeln erhalten wir:
i
X h
Ixx =
mi (yi − ym )2 + (zi − zm )2
i
− 2Y
X
mi (yi − ym ) − 2Z
X
i
+
X
mi (zi − zm )
i
mi (Y 2 + Z 2 ).
(A.6)
i
Die Koordinaten des Schwerpunktes sind durch
P
P
m
x
my
xm = Pi i i ; ym = Pi i i ;
i mi
i mi
gegeben, d.h es gilt
X
mi (xi − xm ) =
X
i
mi (yi − ym ) =
P
mz
zm = Pi i i
i mi
X
i
mi (zi − zm ) = 0.
i
Mit (A.7) und (A.2) folgt aus (A.6)
(m)
Ixx = Ixx
+ M(Y 2 + Z 2 )
(M =
P
i
mi ). Ähnlich folgt aus (A.3), (A.5) und (A.7)
(m)
− MXY.
Ixy = Ixy
Die übrigen Komponenten erhält man durch zyklisches Vertauschen von x, y, z.
(A.7)
144
A.4
ANHANG A. ERGÄNZUNGEN ZUM KAPITEL 7
Eigenschaften der Hauptachsen
Eine kubische Gleichung hat immer mindestens eine reelle Lösung. Nennen wir diese λ3 und
wählen wir die entsprechende Hauptachse als die z-Achse. Die Komponenten des Iˆ-Tensors be0 , I 0 , usw. Aus Iˆω = λ ω für ω = (0, 0, ω)
zogen auf das neue Koordinatensystem seien Ixx
xy
3
folgt
0
0
0
Ixz
= Iyz
= 0 und Izz
= λ3 .
Der Tensor hat daher die Form
 0

0
Ixx Ixy
0
0
0
Iyy
0 ,
Iˆ = Ixy
0
0 λ3
und die homogenen Gleichungen für die anderen beiden Hauptachsen lauten
0
0
− λ)ωx + Ixy
ωy = 0
(Ixx
0
0
Ixy
ωx + (Iyy
− λ)ωy = 0.
Die Determinantengleichung ergibt
2
0
0
0 0
0
λ2 − (Ixx
+ Iyy
)λ + Ixx
Iyy − Ixy
=0
mit den Lösungen
q
1 0
0
2
0
0
2
0
λ=
I + Iyy ± (Ixx − Iyy ) + 4Ixy ,
2 xx
die reell sein müssen, da unter der Wurzel nur positive, quadratische Terme vorkommen. Damit ist
bewiesen, daß es immer drei Lösungen gibt, wobei zwei davon oder alle drei gleich ( entartet“)
”
sein können.
Wir zeigen nun, daß die Hauptachsen orthogonal sind. Es seien ω(1) und ω(2) zwei Hauptachsen, und λ1 bzw. λ2 die entsprechenden Hauptwerte, d.h. es gilt
Iˆω(1) = λ1 ω(1) ,
und
Iˆω(2) = λ2 ω(2) .
Wir bilden nun die Skalarprodukte
ω(1) .Iˆω(2) = λ2 ω(1) .ω(2) ,
ω(2) .Iˆω(1) = λ1 ω(1) .ω(2) .
(A.8)
(A.9)
Aufgrund der Symmetrie des Tensors Iˆ sind die linken Seiten dieser beiden Gleichung gleich. Dies
läßt sich z.B. durch die explizite Darstellung in Komponenten nachweisen:
ω(1) .Iˆω(2) = ωx(1) (Ixx ωx(2) + Ixy ωy(2) + Ixz ωz(2) )
+ ωy(1) (Ixy ωx(2) + Iyy ωy(2) + Iyz ωz(2) )
+ ωz(1) (Ixz ωx(2) + Iyz ωy(2) + Izz ωz(2) )
= Ixx ωx(1) ωx(2) + Iyy ωy(1) ωy(2) + Izz ωz(1) ωz(2)
+ Ixy (ωx(1) ωy(2) + ωx(2) ωy(1) )
+ Ixz (ωx(1) ωz(2) + ωx(2) ωz(1) )
+ Iyz (ωy(1) ωz(2) + ωy(2) ωz(1) )
A.4. EIGENSCHAFTEN DER HAUPTACHSEN
145
Der letzte Ausdruck ist symmetrische bezüglich den Komponenten von ω(1) und ω(2) , d.h. wir
können die beiden Vektoren vertauschen, ohne daß sich der Wert ändert. Wenn wir Gleichung
(A.9) von (A.8) abziehen erhalten wir also
(λ1 − λ2 )ω(1) .ω(2) = 0.
Ist λ1 6 = λ2 , so ist ω(1) .ω(2) = 0, d.h. die beiden Vektoren sind senkrecht zueinander.
Wir können 3 Fälle unterscheiden:
– Drei unterschiedliche Hauptwerte: Die drei Hauptachsen sind eindeutig definiert und stehen
senkrecht aufeinander. Beispiel: Quader mit drei unterschiedlichen Kantenlängen.
– Zwei Hauptwerte sind gleich und von dritten verschieden: Die mit dem nicht entarteten
Hauptwert verbundene Hauptachse ist eindeutig, die anderen beiden stehen senkrecht dazu,
sind aber in der Ebene nicht weiter festgelegt. Beispiel: Zylinder.
– Alle drei Hauptwerte sind gleich: All Hauptachsen sind frei wählbar. Beispiele: Kugel,
Würfel.
146
ANHANG A. ERGÄNZUNGEN ZUM KAPITEL 7
Index
Aerodynamik, 132
Anfangsbedingungen, 6, 8
Arbeit, 29
Archimedes, 127
Äther, 111
Atmosphäre, 43
Auftrieb, 127
Bahnkurve, 8, 9
Barometer, 126
Bernoulli, Daniel, 133
Bernoulli-Gleichung, 133
Beschleunigung, 4
als Ableitung, 4
mittlere, 4
Bewegung, 2
1D, 2
2D, 6
kreisförmig, 10
3D, 9
Bezugssystem, 41
Inertialsystem, 41
rotierendes, 43
Bohrloch, 18
Coriolis-Kraft, 45, 47, 48
Dehnung, 119
eines Drahtes, 119
elastische, 119
Differentialgleichung, 23
Differentialkoeffizient, 3
Doppler-Effekt, 110
Drehgeschwindigkeit, 83
Drehimpuls, 69, 83
Definition, 69
Erhaltung, 70, 71
Kreisbewegung, 70
lineare Bewegung, 70
Drehmoment, 67, 68
Arbeit, 69
Definition, 68
Druckmessung, 126
Dynamik, 15
Eisberg, 127
Elastizität, 119
Drillung, 121
Hookesches Gesetz, 119
Konstanten, 122
Beispiele, 124
Scherung, 120
Schubdehnung, 120
Schubmodul, 121
Schubspannung, 120
Torsion, 121
Ellipse, 76
Energie, 29
Einheit, 30
Erhaltung, 34
kinetische, 29, 30
potentielle, 29, 30
Feder, 31
Gravitationsfeld, 30
Erdbeschleunigung, 19
Erde, 18, 43, 73, 99
Euler, Leonhardt, 99
Exzentrizität, 76
Flüssigkeit, ideale, 132
Fourier, Jean Baptiste Joseph, 115
Fourier-Analyse, 115
Freiheitsgrad, 81
Galilei, Galileo, 16
Galilei-Transformation, 42
Gasblase in Flüssigkeit, 130
Geschwindigkeit, 2, 6
147
148
als Ableitung, 4
als Grenzwert, 3
als Vektor, 7
Betrag, 7
Komponenten, 7
mittlere, 3
Gewicht, 15
Gleichgewicht, 34, 67
Gleitreibung, 26
Gravitation, 15, 17, 30, 72
Gesetz, 17
Gravitationsfeld, 18
Gravitationskonstante, 18
Kraft, 17
Haftreibung, 26
Hauptachse, 76
Hooke, Robert, 119
hydraulische Presse, 124
Hydrodynamik, 132
Hydrostatik, 124
Druck, 124
Scheredruck, 125
Impuls, 19, 24
Definition, 20
eines Teilchensystems, 25
Einheiten, 20
Erhaltung, 20, 25
Integral, 5
bestimmtes, 5
unbestimmtes, 5
Integrationskonstante, 6, 9
Joule (J), 30
Joule, James Prescott, 30
Kapillareffekt, 131
Kapillarität, 130, 131
Kegelschnitt, 76
Kepler, Johannes, 74
Planetengesetze, 74
Kilogramm (kg), 16
Kompressibilität, 120
Kontaktwinkel, 131
Koordinatenachsen, 41
Koordinatensystem, 41
kartesisches, 41
INDEX
Kraft, 15
Angriffspunkt, 67
Coulomb, 72
Drehwirkung, 67
Einheit, 17
Kräftepaar, 70
Kreisbewegung, 70
Leistung, 34
Definition, 34
Einheit, 34
Longitudinalwellen, 124
Manometer, 126
Masse, 15, 16, 19
Einheit, 16
reduzierte, 73
schwere, 19
träge, 19
Meter (m), 1
Mond, 11, 15, 19
Newton (N), 17
Newton, Isaac, 16, 19
Bewegungsgesetze, 16, 19, 25, 69, 71, 82,
106
Gravitationsgesetz, 17, 19, 72
Oberflächenenergie, 128
Oberflächenspannung, 128
Ortsvektor, 6, 41
Oszillator, harmonischer, 51
Energie, 59
erzwungene Schwingungen, 57
Amplitude, 59
Einschwingen, 58
Phase, 58
Resonanz, 59
freie Schwingungen, 51
Amplitude, 53
Kreisfrequenz, 52
Phase, 53
Schwingungsperiode, 52
gedämpfte Schwingungen, 54
Abklingzeit, 55
große Dämpfung, 56
kleine Dämpfung, 54
Kreisfrequenz, 55
149
INDEX
kritische Dämpfung, 57
Paradoxon, hydrodynamisches, 133
Pendel, 34
Planeten, 74, 75
Poissonsche Zahl, 119
Polarkoordinaten, 75, 83
Prandtlsches Staurohr, 133
Quecksilberbarometer, 126
Querkontraktion, 119
Rakete, 22
Randbedingungen, 8
Reibung
Coulomb (trockene), 26
innere, 26, 134
Reibungskoeffizient, 26
Reynoldschen Zahl, 26
Rohrströmung, 135
Strömungswiderstand, 136
Volumenstrom, 136
Satellitenbahnen, 78
Schallgeschwindigkeit, 124
Schallwellen, 124
Scheinkraft, 43, 45
Schockwelle, 110
Schwerkraft, 8
Schwerpunkt, 21
Schwerpunktkoordinaten, 73
Schwingung komplexer Systeme, 61
Eigenfrequenzen, 63
Normalschwingungen, 63
schwache Kopplung, 64
Seifenblase, 130
Seilschwingungen, 109
Eigenfrequenzen, 109
Sekunde (s), 1
skalare Größe, 7
Sonne, 73, 75
Sonnensystem, 75, 77
Spatprodukt, 68
starrer Körper, 81, 139
Bewegungsgleichung, 98
dreidimensional, 88
Eulersche Gleichungen, 99
kinetische Energie, 89, 100, 142
Kreisel, 92
Präzession, 93
Kugel, 91
Nutation, 99
Reversionspendel, 91
Schwerpunkt, 82
Steinerscher Satz, 143
Symmetrieachsen, 84
Trägheitsmoment
allg. Definition, 94
als Tensor, 94, 96
dünner Stab (Ende), 85
dünner Stab (Schwerpunkt), 85
Hauptachsen, 88, 94, 97, 144
Hauptträgheitsmomente, 88, 98
Hohlkugel, 89, 141
Hohlzylinder, 89, 139
Kugel, 89
Parallelepiped, 89, 139
Rechteck, 87
Ring, 84
Scheibe, 84, 86
Scheibe mit Loch, 85
Steinerscher Satz, 86, 87, 91, 100
Zylinder, 89
zweidimensional, 84
Zylinder, 91
Staudruck, 133
Stoffeigenschaften, 119
Stoß, 21, 36, 38
1D, 36
3D, 38
allgemein, 37
ideal elastisch, 37
inelastisch, 21, 36
Stoßparameter, 39
Système International (SI), 1, 16
Tachometeranzeige, 2, 7
Tiefdruckgebiet, 45
Torricelli, Evangelista, 134
Torsionspendel, 122
Torsionsschwingungen, 122
Transversalwellen, 124
Tropfen, 129
Vektor, 7
Betrag, 10
150
Komponenten, 10
Viskosität, 26
Viskosität, 134
Waage, 15
Balkenwaage, 15
Federwaage, 15
Watt (W), 34
Watt, James, 34
Wechselwirkung, 15, 17
Wellen, 105
Energieflußdichte, 112
Energietransport, 112
Gruppengeschwindigkeit, 114
harmonische, 107
Impulstransport, 112
Intensität, 112
laufende, 107
Phasengeschwindigkeit, 114
Schallwellen, 111
Schwebungen, 114
Schwingungsperiode, 108
Seilwellen, 105
Geschwindigkeit, 107
stehende, 108
Schwingungsbäuche, 109
Schwingungsknoten, 109
Seilschwingungen, 109
transversale, 105, 111
Polarisation, 111
Wellengleichung, 107
Wellenlänge, 108
Wellenvektor, 108
Wellenzahl, 108
Wind, 46
geostrophische, 46
Winkelgeschwindigkeit, 10
als Vektor, 12
Wurf, 8
Zentralkraft, 71, 72
Zentrifugalkraft, 45, 47, 97
Zentripetalbeschleunigung, 44
Zweikörperproblem, 72
INDEX
151
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
Abbildungsverzeichnis
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x(t) für ein Auto . . . . . . . . . . . . . .
x(t) nicht linear . . . . . . . . . . . . . . .
Integration der Geschwindigkeit . . . . . .
Bewegung in der x-y-Ebene . . . . . . . .
Der freie Wurf . . . . . . . . . . . . . . . .
Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . .
Geschwindigkeitsvektor der Kreisbewegung
Allgemeine Bewegung . . . . . . . . . . .
Winkelgeschwindigkeit . . . . . . . . . . .
2.1
2.2
Kraftmessung mit Waage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Inelastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1
3.2
3.3
Arbeit in drei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Das mathematische Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Elastischer Stoß zwischen 2 gleichen Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Wasseroberfläche im beschleunigten System . . . . . .
Rotierendes Koordinatensystem . . . . . . . . . . . .
Windbewegung um Tiefdruckgebiet . . . . . . . . . .
Geschwindigkeit im rotierenden System der Erde . . .
Geschwindigkeitsvektoren für das Navigationsproblem
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43
44
45
48
49
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Masse auf einer Feder . . . . . . . . .
Projektion der Kreisbewegung . . . .
Resonanz . . . . . . . . . . . . . . .
Zwei mit Federn gekoppelte Massen .
Eigenschwingungen von zwei Massen
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51
54
60
62
63
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
Drehwirkung von Kräften . .
Definition des Drehmoments
Zweikörperproblem . . . . .
Das 2. Keplersche Gesetz . .
Polarkoordinaten . . . . . .
Parameter der Ellipse . . . .
Sonnensystem . . . . . . . .
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67
68
72
74
75
77
77
7.1
7.2
Drei Punkte in einem starren Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
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2
3
5
6
9
10
11
12
12
152
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
Trägheitsmoment eines Stabs . . . . . . . . . .
Trägheitsmoment eines Rechtecks . . . . . . .
Reversionspendel . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Präzession . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einfacher starrer Körper . . . . . . . . . . . .
Trägheitsmoment eines gleichseitigen Dreiecks.
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85
87
92
93
94
95
102
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
Seilwellen . . . . . . . . . . . .
Seilwellen: Bewegungsgleichung
Harmonische Welle . . . . . . .
Stehende Seilwellen . . . . . . .
Gruppengeschwindigkeit . . . .
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106
106
108
109
115
Schubdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Torsion eines Hohlzylinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zur Ableitung der Beziehung zwischen E, G und ν . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung der inneren Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prinzip der hydraulischen Presse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zur Berechnung der Änderung des Drucks mit der Tiefe . . . . . . . . . . . . .
Manometer und Quecksilberbarometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zum Ursprung der Oberflächenenergie einer Flüssigkeit. . . . . . . . . . . . . .
Zur Definition der Oberflächenspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Innendruck eines Tropfens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zur Erklärung des Kontaktwinkels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Kapillareffekt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stationäre, laminare Strömung einer idealen Flüssigkeit durch ein Rohr. . . . . .
Beispiele für die Anwendung der Bernoulli-Gleichung: (a) Das Prandtlsche Staurohr, (b) das hydrodynamische Paradoxon“,(c) Austritt einer Flüssigkeit aus einer
”
kleinen Öffnung in einer Gefäßwand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.15 Zur Definition der Viskosität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.16 Laminare Strömung durch ein Rohr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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121
121
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130
130
131
132
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
9.10
9.11
9.12
9.13
9.14
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. 134
. 135
. 136
A.1 Trägheitsmoment einer Scheibe um einen Durchmesser. . . . . . . . . . . . . . . . 140