Mathematik - Vorbereitung auf das Studium (Bereich

Aufgaben zur
Vorbereitung
Technik
© Prof. Dipl.-Math. Ursula Lunze
Seite 1
Test
Anhand des ausgegebenen Tests können Sie selbständig ermitteln, wo Ihre Schwächen und
Lücken liegen. Die Aufgaben sollen soweit wie möglich ohne Taschenrechner gelöst werden.
Insbesondere sollen Sie quadratische Gleichungen mit der Lösungsformel lösen, die Gleichungssysteme ohne Taschenrechner lösen, kein Grafikdisplay verwenden und keinen Solver. Die
Prüfungen in Mathematik werden ohne Taschenrechner oder mit einem einfachen
Taschenrechner (ohne Grafikdisplay, nicht programmierbar) geschrieben!
1.
Prozentrechnung:
Ihnen liegt eine Bestellung von 1.900 Büroleuchten vor. Erfahrungsgemäß entsteht bei der
Herstellung ein Ausschuss von 5%. Wie viel Büroleuchten müssen gefertigt werden, um die
volle Bestellmenge liefern zu können?
2.
Bruchrechnung:
Fassen Sie zu einem Bruch zusammen, und kürzen Sie soweit wie möglich.
a)
2
4
5
− 4 +
2
6x
3x
2x
2
2
b) a − b − 1
(Hinweis: Wenden Sie eine binomische Formel an.)
2a ( a + b )
c)
3.
− abc b − a 1
⋅
⋅
a − b ( − b)c a
Potenzgesetze:
Vereinfachen Sie
(2x y )
(4x y )
2
a)
3
4.
x −2 y −2
b)
xy −3 x −4
3 4
4 2
(
−3
c) x y
)x
2 4
23
Wurzelgesetze:
Vereinfachen Sie
3
5.
a 5b ⋅ a 3b4 ⋅ 6 a 5b4
Vereinfachen Sie
a)
1
1 1 1
+ +
a b c
b)
(
p+q − p−q
)
2
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6.
Taschenrechner:
Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke mit Hilfe des Taschenrechners auf 4
Nachkommastellen genau.
a)
2 2 2
c)
3
16
f)
b)
(
5− 3
1 1
−
3 4
ln( e 2 + 1)
g)
)(
2
5+ 3
)
2
d) sin 1,5
e)
ln e 2 + 1
e 2+ln 9
Gleichungsumstellung:
7.
8.
Lösen Sie die Gleichungen nach der angegebenen Variablen auf:
a)
0 = 10 .000 q − 12 .500 (q − 1)
b)
a+b
⋅y = F
2
nach b
c) k y – y = b y + a
nach y
nach q
Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf:
a)
1
2
−
=0
x +1 x + 3
b)
100 = 2 x + 40 +
250
x
9.
Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f(x) = (x-1)(x+2)2.
10.
Logarithmengesetze:
Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf:
a)
11.
200 = 50 ⋅ e 0 ,1 x
b)
2 e x − e −2 x = 0
c)
y=
e x + e− x
,x≥0
2
Folgen und Logarithmus:
Ein Waldbestand wird auf 2 Mill. m3, sein jährlicher Zuwachs (bezogen aufs Vorjahr) auf 4%
geschätzt.
a) Wie groß ist gemäß dieser Schätzung der Holzbestand nach 30 Jahren, wenn in der
Zwischenzeit kein Einschlag erfolgt?
b) Nach welchem Zeitraum ist der Waldbestand auf 13,4 Mill. m3 angewachsen?
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Gleichungssysteme:
12.
Geben Sie alle Lösungen der Gleichungssysteme an:
a) x - y = 1
x+y=2
b) x - y = 1
2x - 2y = 2
13.
Bestimmen Sie die Lösungen des Gleichungssystems
x1 + 2x 2 − 3x 3 = 6
2 x1 + x 2 + x 3 = 1
3x1 − 2 x 2 − 2 x 3 = 12
14.
Differenzialrechnung, Anstieg, Tangente:
Gegeben sei die Funktion f ( x ) =
x2 - 3x + 5 .
a) Berechnen Sie die Koordinaten desjenigen Punktes, in dem die Funktion den Anstieg – 3
hat.
b) Bestimmen Sie für diesen Punkt die Gleichung der Tangente an den Grafen von f(x).
c) Welchen Winkel bildet die Tangente mit der x- Achse?
15.
Differenzialrechnung, Kurvendiskussion:
Gegeben sei die Funktion f ( x ) = −
1 3
x + 6 x 2 + 12,3 x .
10
Bestimmen Sie von dieser Funktion
a) alle Nullstellen,
16.
b) alle Extremwerte und
c) alle Wendepunkte.
Integralrechnung:
Gegeben ist die Funktion f(x) = (x - 3) (x + 2) x. Gesucht ist die Fläche, die von f(x), der x Achse und den Senkrechten x = 2 und x = 6 begrenzt wird.
Trigonometrische Funktionen:
17.
Lösen Sie
2 sin x − tan x = 0 ,
0 ≤ x < 2π (Hinweis: Ersetzen Sie tan x durch die
Funktionen sin x und cos x.)
18.
Für welche x mit 0 ≤ x <2π gilt
a) sin x = −
1
3
2
b) tan x + tan 2x = 0
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19.
Beträge, Ungleichungen:
a) 3 − 2 − x ≥ 1 +
1
x
2
b)
x 2 + 2x − 8 < 0
Aufgaben
1
Gleichungen
1.1 Logarithmus- und Exponentialgleichungen
1.
Schreiben Sie zuerst das Ergebnis mit Hilfe des Logarithmus, vereinfachen Sie, und dann
rechnen Sie es aus.
a) eu = 5
b) 10x = 0,00002
c) 2x = 1000
Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke:
2.
log1 / b b + log b
3.
a log 4 2 −
1
b
(b > 0, b ≠ 1)
1
b ⋅a
log 4 8
b
(b ≠ 0 )
Lösen Sie die folgenden Gleichungen:
4.
ecos x = 1
5.
lg (4 x - 5) = 1,5 (x > 1,25)
6.
ln x + 1,5 ln x = ln( 2 x)
Lösen Sie die folgenden Gleichungen.
Hinweis: Die Gleichungen gleich zu potenzieren bzw. zu logarithmieren führt bei 7. und 9. zum
Ziel. Im Allgemeinen müssen Sie die Gleichung erst nach einer geeigneten Variablen umstellen
(10. –12.). So erhalten Sie bei diesen Aufgaben eine quadratische Gleichung, deren Lösungen
potenziert bzw. logarithmiert werden kann.
7.
2
e x − 2x = 2
8. (lg x) 2 − lg x = 2
9. ln (x2 - 1) = ln x + 1
(x >1)
10. 2x + 4⋅2-x - 5 = 0
11. ex + 2 e-x = 3
12. x
lg x
⋅ 5lg x =
0,2
x
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1.2 Trigonometrische Funktionen
1.
Für welche x mit 0 ≤ x <2π gilt
1
3
π
3 b) cos 2 x =
c) sin(x + ) + cos 2 x − 2 = 0
2
4
2
d) cos x + sin x = 1 e) tan x + tan 2x = 0 f ) cos x − sin x = 2
a) sin x = −
2.
Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der trigonometrischen Gleichungen:
a) tan 2(x + 1) = 1
2
cos( x − 1) =
b)
1
2
c) sin x = 1 − sin 2 x
Lineare Gleichungssysteme
Lösen sie die folgenden linearen Gleichungssysteme bevorzugt mit dem Additions- bzw.
Gaußverfahren.
1.
4.
6.
x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 - 3x2 - 2x3 = 5
2.
x1 + 2x2 - 3x3 = 6
2x1 + x2 + x3 = 1
3x1 - 2x2 - 2x3 = 12
x1 + x2 - x3 + 3x4 = -3
2x1 + x2 + x3 + 4x4 = -1
2x1 + 3x2 - 5x3 + 8x4 = -11
-x1 + x2 - 5x3 + x4 = -7
2x1 - x2 + 3x3 = 2
3x1 + 2x2 - x3 = 1
x1 - 4x2 + 7x3 = 6
7.
9.
x
-2x
x
2x
3
Differenzialrechnung
x + y - z = -3
2x + y + z = -1
2x + 3y - 5z = -1
3.
x1
+ x3 + x4
x1 + x2
+ x4
x1 + x2 + x3
x2 + x3 + x4
=1
=2
=3
=4
5.
x1
+ x3 +
x4 = 2
x2 + x3
=1
2x1 + x2
+ x4 = 2
3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 5
8.
x1 + 2x2 - x3 = -9
2x1 - x2 + 3x3 = 17
-x1 + x2 + 2x3 = 0
+ 4y - 2z - 2u = -7
+ y + 3z + u = 14
+ 2y + 2z - u = 5
- 2y - z - u = -9
3.1 Ableitungsregeln
Differenzieren Sie die folgenden Funktionen:
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1.
1
2
x≠0
b) f ( x) = sin(1+ x )
x
n
n
d) f ( x) = sin(1 + x ), n ∈ IN e) f ( x) = sin (1 + x), n ∈ IN
a) f ( x ) = sin ,
c) f ( x) = 1+ sin(x )
2
f) g(t)=a cos (α t + β).
2.
a) f ( x ) =
d) f(x)=
3.
4 x 4 + 3x 2 − x
3x − 6 x + 4
3
2
e x + ln x
sin x
a) f ( x) = sin x
2
d) f ( x) = cot 3x
4.
e) f ( x ) =
2 sin x + cos x
x
2
2
x2 +1
x−3
(x
b) f ( x ) =
a) y = (3 x2+5)7
2
+ 4x
e) f(x) = ln tan x
x2 + 3
b) y =
)
3
c) f ( x) =
ax + b
cx + d
f) f ( x ) =
x2
tan x
c)
f ( x) = e x
3
(
2
f) f ( x) = ax + bx + c
c) f (r) = r
)
5
2r+1
x
d) y =
5.
b) f ( x ) =
2 x3 - 1
a) y = sin x - x cos x
b) f (t) = sin (5 t - 1)
c) y = ( 1 - tan x )2
sin x + 1
cos x
2
a) y = x ln x
b) y = ln sin x
c) y = (ln 2 x)4
d) y =
6.
d) f (t) =
ln t
t
g) y = e5x +1 + ex3
7.
a) y = ln
3
3x-2
e) y =
ex
x2
f) y = 3x
h) y = e2x sin 2x
b) y =
ln 2x
e3x
c) f (t) = ecos ω t
d) y = ln ( x ex)
3.2 Einfache Anwendungen
1.
Bestimmen Sie die Winkel, unter denen die Kurven der Funktionen die x- Achse schneiden:
a) f (x) = x (x2 - 4)
2.
b) f (x) =
x 3 − 2x
x
An welchen Stellen der Kurve mit der Gleichung f (x) =2 x3 - 9 x2 - 23 x + 112 bildet die
Tangente mit der x - Achse einen Winkel von 45°?
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3.
Unter welchem Winkel schneiden die Kurven der Funktionen y = x2 und y = x einander? Es
ist der spitze Schnittwinkel anzugeben.
4.
An welchen Stellen der Kurve mit der Gleichung y = 0,2 x3 + 1,2 x2 + 0,8 x - 2 bildet die
Tangente mit der x – Achse einen Winkel von 135°?
5.
Wo haben die folgenden Kurven f(x) waagerechte Tangenten?
a) f(x) = = 2x3 – 6,6 x2 +2,4 x -1,8
6.
b) f(x) = ln (1,5 – cos2x)
Die Tangentengleichung für den Punkt x0 ist aufzustellen.
a) y = 2x2 – 3x -1; x0 = ½
b) y = - 4x3 – x + 2; x0 = - ½
c) y = e-2x cos (4x + π); x0 = 0
3.3 Extremwertaufgaben
1.
Bestimmen Sie das Rechteck, das bei gegebenem Umfang U seinen größten Flächeninhalt
hat.
2.
Einem Kegel mit Grundkreisradius r und Höhe h soll ein Zylinder mit maximalen Volumen
einbeschrieben werden. Bestimmen Sie die Abmessungen und das Volumen dieses
Zylinders.
3.
Für welche Punkte (x,y) der Parabel y = x2 wird der Abstand d (x) vom Punkt P (1;2) extremal
(Fallunterscheidung!) ? Hinweis: x = - 1
3.4 Rekonstruktion von Funktionen
1.
Die Kurve einer ganzrationalen Funktion der Form f (x) = a x2 + b x + c schneidet die
y - Achse bei y = 6 und steigt im Punkt P (-3;0) unter dem Winkel - 45 ° an. Ermitteln Sie die
Gleichung der Funktion.
2.
Wie heißt die ganzrationale Funktion 3. Grades, deren Kurve die folgenden Bedingungen
erfüllt? Die Kurve hat im Punkt (2 ; -4) den Anstieg -3 und schneidet die Koordinatenachsen
in x = 4 und y = 4.
3.
Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion 3. Grades, die im Punkt (1; 0) ein relatives
Maximum besitzt. Außerdem hat f(x) in x = 2 eine Wendestelle. Die Wendetangente besitzt
an dieser Stelle den Anstieg -3. (Sekundarstufe II Sachsen)
4.
Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion 4. Grades, die symmetrisch zur y – Achse liegt, in
(0; 2) einen Wendepunkt hat und durch (1; 3) verläuft. (Sekundarst. II Sachsen)
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3.5 Kurvendiskussion
Führen Sie eine Kurvendiskussion der folgenden Funktionen durch (insbesondere Nullstellen,
Extrema, Wendepunkte, Skizze):
3
5
1 5
x −x
2.
f(x) = x2 ln x
3.
y=
4.
in Abhängigkeit von µ, σ (Gaußsche Glockenkurve oder Normalverteilung)
2
x −
x −
4 9
y=
2
1.
f ( x) = ϕ ( x; µ , σ) =
1
e
2π σ
−
( x − µ) 2
2σ 2
mit µ , σ > 0
Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale:
4
2
1
1
−
2
h) ∫
1
−x
− ,
dx
1
∫
2
g)
1
o
,
5
0
f )∫ (sin x + cos x)dx
1
π
1
−
a
d)∫ x dx
4
c) ∫ ( + x + x )dx
5
1 0
2.
b)∫ x dx
1
1
e)∫ ( + x)dx
x
3
2
−
3 2
a) ∫ x dx
b
9
1.
2
Integralrechnung
1
4
+x
Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale:
2
 a  a  2  a 3 
1− x 
a)  +   +    d x (a ∈ IR,x ≠ 0)
b) 
 dx
x x x 
 x 


sin2 x
c) x x x x dx
d)
dx (Hinweis: sin2 x + cos2 x = 1)
1 + cos x
1
e
dx
x + x +1
∫
∫
∫
∫
∫
Berechnen Sie den Flächeninhalt, der von folgenden Kurven eingeschlossen wird:
3.
f(x) = x3 und g(x) = 4x
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dx
4.
f(x) = - 0,5 x2 + 6 und g(x) = 1,5 x + 2
5.
f(x) = cos x und g(x) = sin x (Nur eine Fläche berechnen.)
6.
y = x2 - x + 6 und y = - x2 + 5 x + 2
7.
y = - x ( x - 3) und y = - 2 x.
5
Vektorrechnung
1.
r
-->
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des von den Vektoren a und b aufgespannten
Parallelogramms
r  4  r  −3 
r  1 r  3
b) a = - 4 , b =  1 .
a) a =  − 10  , b =  −1


 
 0
12
 −3 


 5 


2.
Durch die 3 Punkte A = (1, 4, - 2) , B = (3,1,0) und C = (- 1, 1 ,2) wird ein Dreieck festgelegt.
Berechnen Sie die Länge der 3 Seiten, die Winkel im Dreieck sowie den Flächeninhalt.
3.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes Q, der vom Punkt P = ( 3; 1;- 5 ) in Richtung
 3
r
des Vektors a = - 5 20 Längeneinheiten entfernt ist.
 4
4.
Welchen Winkel schließen die Vektoren a und b mit einander ein?
5.
r
r
a)
r  3 --> 1
a =  1 , b = 4
- 2
2
3
r  10 --> 
b) a = - 5 , b =  - 1
 10
 - 0,5
c)
r
r
r
r
a = i − 2 j + 5k ,
r
r
r
a = − i − 10 k
Bestimmen Sie die Lage der Geraden zueinander.
 −2 
 −1
r  

g1 : r = 1 + λ 1 
 
 
 1
3
 
 
b)
 −2 
 −1
r  

g1 : r =  1  + λ  1 
 1
3
 
 
c)
 −2 
 −1
r
g1 : r =  1  + λ  1 
 1
3
 
 
d)
 −2 
 −1
r  

g1 : r = 1 + λ 1 
 
 
 1
3
 
 
a)
 1
 2
r  
g2 : r = −3 + λ  −2 
 
 
 2
 −6 
 
 
 −4 
 2
r  

g2 : r =  3  + λ  −2 
7
 −6 
 
 
 −1
2
r
g2 : r =  0  + λ  −2 
 12 
 1
 
 
 −1
2
r  

g2 : r = 1 + λ −2 
 
 
 12 
 1
 
 
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Seite 10
6.
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte At (t;
1
t; 1), Bt (4; t + 1; -2) und Ct
2
1
t; 5; t - 3) mit t ∈ IR gegeben. Bestimmen Sie alle Parameter t, für die das Dreieck ∆ ABC
4
gleichseitig ist. (Abitur Sachsen)
(
7.
8.
In einem kartesischen Koordinatensystem seien die Punkte A ( 3; 2; 0) und B ( -3; -4; 0)
gegeben. Berechnen Sie die Koordinaten aller Punkte Ci der x - y - Ebene, für die die
Dreiecke ∆ ABCi rechtwinklig sind ( AB ⊥ ACi) und einen Flächeninhalt von 30 FE haben.
(Abitur Sachsen)
0
 1
r  
Durch die Gleichung x = 0 + t  1 
 
 
2
 
 
a
(t ∈ IR) wird für jedes a ∈ R eine Gerade ga bestimmt.
a) Für welches a besitzt die zugehörige Gerade ga mit der der Geraden h:
 0   −1
r
x =  4  + t  1 
 2  1 
   
(t ∈ IR) genau einen Schnittpunkt P? Berechnen Sie die Koordinaten von P
und den Schnittwinkel zwischen den Geraden ga und h.
b) Ermitteln Sie alle Werte von a, bei denen sich eine Gerade ia mit dem Richtungsvektor
 −a + 1
r
b =  5  mit der Geraden ga im Punkt Qa (1 + a; -2; -1 - 3a) orthogonal schneidet. (Abitur


 −a 


Sachsen)
Lösungen - Test
1.
Beachten: 1.900 = 95%, 1.900 . 100 / 95 = 2.000
2.
3
2
a) 5x + 4x − 12
6x
3.
4
b) 3. binomische Formel: − a + b
2a
mit den Potenzgesetzen rechnen
a) x2 y4
b) xy
c) –1
c) y 8
x4
4.
Die Wurzeln als Potenzen schreiben und dann mit den Potenzgesetzen arbeiten: a4b3
5.
a) Erst den Nenner auf einen gemeinsamen Nenner bringen, dann den Kehrwert nehmen:
abc
bc + ac + ab
b) 2( p −
p2 − q 2 )
6.
a) 1,8340
b) 4
c) 0,125
7.
f) 2,1269
a) 5
g) 8,1548 = (3e)
b) 2F
y
8.
a) 1
d) 0,9975 (Bogenmaß)
e) 3
c)
−a
a
k − b −1
b) quadratische Gleichung: 5; 25
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Seite 11
9.
sofort ablesbar (eine Gleichung wird Null, wenn eine der Faktoren Null wird – einprägen!):
1, -2 (2-fach)
10.
b) . e2x liefert: e3x = ½, x = − ln 2
a) 10 ln 4 = 13,8629
c) y =
x
e +e
2
−x
3
2x
x
⋅ e x führt auf die quadratische Gleichung e − 2ye + 1 = 0 mit den
( )1,2 = y ±
y 2 − 1 ; x = ln  y − y 2 − 1  entfällt, da y − y 2 − 1 < 1 und damit
Lösungen e x


x = ln… < 0, aber vorausgeseztzt wurde y ≥ 0; y − y 2 − 1 einzige Lösung
x = ln  y + y 2 − 1 


11.
a) geometrische Folge: a31 = 2 . 1,0430 = 6.486.795,02 m3
13,4
2 = 48,5 Jahre
b) 2 . 1,04k = 13,4; k =
ln1,04
ln
12.
a) x =
3
1
,y=
2
2
b) unendlich viele Lösungen : x = λ + 1 , y = λ mit λ ∈ IR
13.
mit Hilfe des Additionsverfahrens müssen nur 3 Gleichungen umgeformt werden:
x1 = 2, x2 = -1, x3 = -2
14.
a) Anstieg einer Funktion = Anstieg der Tangente = 1. Ableitung in diesem Punkt
f ′( x ) = 2 x − 3 = −3 ⇒ x = 0 ⇒ P(0;5)
b) Geradengleichung: y = m x + n; m = -3; P(0;5) einsetzen: 5 = -3 . 0 + n ⇒ n =5
y = -3x + 5
c) tan α = -3 ⇒ α = -71,6° + 180° = 108,4°
15.
Nullstellen: 0; 61,98; -1,98;
Extremwerte: P(41;3.698,2) Maximum; P(-1;-6,2) Minimum
Wendepunkte: P(20;1.846)
f(x) = - 0,1 x3 + 6 x2 + 12,3 x
4000
3500
3000
2500
2000
y
1500
1000
500
0
-5
0
-500
5
10
15
20
25
30
35
40
45
x
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16.
Nullstellen: 3; -2; 0 (siehe auch Hinweis unter 9.), im Intervall [2 , 6] muss nur die Nullstelle 3
beachtet werden, das heißt das Integral muss an dieser Stelle geteilt werden:
3
6
2
3
∫ ( x − 3)(x + 2)x dx + ∫ ... ; Bestimmung der Stammfunktion, dazu die Klammern ausmultiplizieren:
∫ (x
3
)
− x 2 − 6x dx =
x4 x3
−
− 3x 2 ; Grenzen einsetzen:
4
3
5,08+159,75 = 164,83 FE
17.
tan x =
sin x , dann
cos x
.
cos x liefert: sin x (2 cos x – 1) = 0 ⇒ sin x = 0 und cos x = ½
0, 180°, 60°, 300° (oder in Bogenmaß) , Beachten: Es gibt mehrere Lösungen für
sin x und cos x.
18.
Beachten: Es gibt mehrere Lösungen für tan x und sin x
a) 240°, 300°
b) Additionstheorem:
sin(x + 2x)
π
= 0 ⇒ sin(3x) = 0 ⇒ 3x = kπ ⇒ x = k , k ∈ Z
cos x cos(2x)
3
oder alles auf tan x bringen, dazu Additionstheoreme für tan 2x anwenden: tan 2 x =
2 tan x
1 − tan 2 x
liefert: tan x ( - tan2x + 3) = 0 ⇒ 0, 180°, 60°, 240°, 120°, 300°
⇒ x = 60° k, k ∈ Z
19.
 x
a) Fallunterscheidung: x = 
− x
für x ≥ 0
 8
führt auf x ∈  0; 
für x < 0
 3
b) quadratische Gleichung lösen und in Linearfaktoren zerlegen: (x − 2 )(x + 4 ) < 0 ,
Fallunterscheidung der Faktoren führt auf x ∈ ( −4; 2 )
Lösungen - Aufgaben
1
Gleichungen
1.1 Logarithmus- und Exponentialgleichungen
1.
a) ln 5 ≈ 1,609
b) lg 0,00002 = lg (2 . 10-5 ) ≈ lg 2 – 5 ≈ -4,6989
c) lg 1000/ lg 2 = 3/ lg 2 ≈ 9,966
2.
3.
 1
 
b
−1
= b , also log 1 b = −1 und b-1 = b, also logb
b
1
2
4 = 4 = 2 , also log4 2 =
1
⇒
2
a
1
= −1 ⇒ - 1 - 1 = -2
b
1 1
a
− b a log 4 8 = − a ( log 4 4 + log 4 2 ) = − a
2 b
2
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4.
Logarithmieren mit ln: cos x = ln 1 = 0 ⇒ x = π/2 + k π mit
k ∈ IZ (unendlich viele Lösungen ; IZ = Menge aller ganzen Zahlen)
5.
Potenzieren: 4 x – 5 = 101,5 ⇒ x ≈ 9,1557
6.
Erst nach ln x auflösen:
7.
Logarithmieren führt zu der quadratischen Gleichung: x 2 − 2x − ln 2 = 0 ; zwei Lösungen:
x1 = 2,3012 und x2 = -0,3012
8.
(eventuell Substitution:
Lösung der quadratischen Gleichung: (lg x )2 − lg x − 2 = 0
u = lg x) liefert : lg x1 = 2 und lg x2 = - 1 ⇒ x1 = 100 ; x2 = 0,1
9.
Potenzieren mit e: x 2 − 1 = e ln x + 1 = xe ; Lösung der quadratischen Gleichung:
x2 – xe – 1 = 0 liefert x1 = 3,0465 ; x2 = – 0,3282 entfällt, da x < 1
10.
Gleichung mal 2x liefert die quadratische Gleichung: 2 2x − 5 ⋅ 2 x + 4 = 0 (eventuell
Substitution: u = 2x) ;
1
3
ln x + ln x = ln 2 + ln x
2
2
;
ln x = ln 2
⇒x=2
Lösungen: 2 x1 = 4 ⇒ x 1 = 2 ; 2 x 2 = 4 ⇒ x 2 = 0
1.2
Trigonometrische Gleichungen
1.
Beachten, dass die trigonometrischen Funktionen im entsprechenden Intervall mehrere
Lösungen haben.
a)
4π 5 π
,
3 3
b) Wurzel ziehen (2 Lösungen), dann nach x auflösen:
π 5 π 7 π 11π
,
,
,
6 6 6
6
c) z.B. nach cos x umstellen, liefert quadratische Gleichung für cos x mit der Lösung 1 (-2
entfällt), dann nach x auflösen: x = 0
d) z.B. mit Hilfe von cos = ± 1 − sin 2 x Gleichung durch Quadrieren nach sin x umstellen,
liefert quadratische Gleichung für sin x mit der Lösung 0 und 1: x = 0, π (Probe ist
2
wegen Quadrieren notwendig, dadurch entfällt die Lösung π)
e) Gleichung mit Hilfe der Additionstheoreme nach tan x umstellen, liefert quadratische
Gleichung für tan x mit der Lösung ± 3 , dann x = 0; π;
π 2π 4 π 5 π
;
;
;
3 3 3; 3
f) analog d) oder Kurvenbetrachtung liefert: keine Lösung
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π
k
=− ,
+ kπ , k ∈ Z
+ kπ , k ∈ Z
2
Lineare Gleichungssysteme
1.
L={(3; -2; 2)}
2.
L={(2; -1; -2)}
3.
2 7 4 1
L={(- 3; 3; 3; 3)}
4.
2
2
7
4
0
0
=
x
2
k
+ kπ ,
2
x
b) x k = ,
1
, k ∈Z
2
+ kπ ,
2
2
7
4
0
2
π
2
π
4
1
c) x k =
+k
3 4
a) xk = − ,
2
3
7
0
6
0
2.
unendliche viele Lösungen, 2- dimensionale Lösungsmenge
L={(2 - 2 r - s; -5 + 3 r - 2 s; r; s| r , s ∈ IR)}
5.
2
1
1
unendlich viele Lösungen, L={(1 - 3 s; 3 s; 1 - 3 s ; s | s ∈ IR)}
6.
keine Lösung
7.
keine Lösung
8.
L={(2, -4; 3)}
9.
L={(-1; 1; 3; 2)}
3
Differenzialrechnung
3.1 Ableitungsregeln
1.
a) −
1
x
2
cos
1
x
b) 2 x cos (1 + x2)
n −1
d) n xn-1 cos (1 + xn)
2.
a)
b)
c)
e) n sin
(1 + x) cos(1+x)
c) 2 x cos (x2)
f) - α a sin (α t + β)
12 x 6 − 48x 5 − 9 x 4 + 70 x 3 − 6 x 2 + 24 x − 4
(3x
3
− 6x 2 + 4
)
2
2 x cos x − x sin x − 4 sin x − 2 cos x
x3
ad − bc
(cx + d) 2
1
sin x − ln x cos x
x
sin 2 x
e x (sin x − cos x ) +
d)
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e)
(x − 3)2
x tan x ( 2 − x tan x ) − x 2
f)
3.
x 2 − 6x − 1
tan 2 x
d) −
(
6x
sin 2 3x 2
2
f) 5 ax + bx + c
4.
6.
3
4
b)
x
x2 + 3
3r + 1
c)
2r + 1
x3 + 1
2x 3 − 1 ( 2 x 3 - 1 )
b) 5 cos (5 t - 1)
c) -
b) cot x
c)
2 ( 1 - tan x )
cos2 x
1
1 + sin x
= 1 - sin x
2
cos x
a) x ( 2 ln x + 1)
d)
1 - ln t
t2
e)
g) 5 e5x + 1 + 3 x2 ex3
7.
3x 2 e x
) (2ax + b)
a) x sin x
d)
c)
e) cot x + tan x
a) y´= 42 x (3 x2 + 5)6
d) −
5.
b) 3( x + 2) x 2 + 4 x
a) 2 x cos x2
f) 3x ln 3
h) 2 e2x ( sin 2x + cos 2x )
1
a) 3 x - 2
d) 1 +
ex ( x - 2 )
x3
4 (ln 2 x )3
x
b)
1
1
(
x - 3 ln 2 x )
e3x
c) - ω sin ω t ecos ω t
1
x
3.2 Einfache Anwendungen
1.
a) x = 0 , α = 104,04°
und x = ± 2 , α = 82,87°
b) x = 2 , α = 70,53°
und x = - 2 , α = 109,47°
2.
x = - 1 und x = 4
3.
Schnittpunkte x2 = x ⇒ x1 = 0; x2 = 1
f(x) = x2, f´(x) = 2x; f´(0) = 0 = tan α ⇒ α = 0
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g(x) = x; g´(x) = 1; g´(0) = 1 = tan β ⇒ β = 45°
(0;0): β - α = 45° und (1;1): arctan 2 – 45° = 18,43°
4.
f´(x) = tan 135° = -1 ⇒ x1 = -1, x2 = - 3
5.
a) f´(x) = 0 ⇒ x2 -2,2 x + 0,4 = 0 ⇒ x1 = 2, x2 = 0,2
b) kπ/2, k ∈ Z
6.
a) f´(0,5) = -1 = m; y = mx + n = -x + n, (0,5; -2) einsetzen: y = –x – 3/2 oder
Tangentengleichung
y − y0
= m = f ′( x )
x − x0
b) -4 x + 1
c) y = 2x – 1
3.3 Extremwertaufgaben
1.
2.
3.
x und y seien die Seiten des Rechtecks, dann x = y = U/4 und A = U2/16, d.h. das Rechteck
ist ein Quadrat.
h
h
= z ; nach hz
r r − rz
2
3
umstellen und in V des Zylinders einsetzen, V(rz) = πrz h - πrz h/r → max ; rz = 2/3 r,
hz = h/3, V = 4/27 r2 h π
ges.: Höhe hz, Radius rz des Zylinders; laut Ähnlichkeitssatz gilt:
Abstand: d = ( x − 1) + ( y − 2) = ( x − 1) + ( x − 2) → max/ min ,
führt auf 4x3 – 6x – 2 = 0,
Minimum: P (-1; 1) d = 5; Maximum: P(1/2 - 3/2; 1- 3/2); d = 11/4 + 3 3 / 2
absolutes Minimum: P (1/2 + 3/2; 1 + 3/2 )
d = 11/4 -3 3 / 2
2
2
2
2
2
3.4 Rekonstruktion von Funktionen
1.
y = x2 + 5 x + 6
2.
Ansatz: y = ax3 + bx2 + cx + d; (0;4)⇒ f(0)=d = 4;
(4;0) ⇒ f(4) = 64a + 16b + 4c + 4 = 0
(2;-4) ⇒ f(2) = 8a + 4b +2c + 4 = -4
f´(2) = 12a + 4b + c = -3
führt auf 3 lineare Gleichungen mit 3 Unbekannten: f(x) = 0,5 x3 – 1,5 x2 - 3x + 4
3.
Ansatz: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d; folgenden Bedingungen müssen erfüllt sein:
(1; 0): f(1) = a + b+ c + d = 0
Max: f´(1) = 3a + 2b + c = 0
Wendestelle: f´´(2) = 12a + 2b = 0
Anstieg -3: f´(2) = 12a + 4b + c = -3
Lösung der 4 linearen Gleichungen mit 4 Unbekannten führt auf:
a = 1, b = -6, c = 9; d = -4
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Überprüfen der hinreichenden Bedingung nicht vergessen: f´´(1) = -6 < 0 und f´´´(2)=6 ≠ 0
erfüllt ⇒ f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 4
4.
Ansatz: f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e; folgenden Bedingungen müssen erfüllt sein:
Symmetrie zur y – Achse: f(x) = ax4 + cx2 + e
(0; 2): f(0) = e = 2; (1; 3): f(1) = a + e = 3; f´´(0) = 2c = 0 führt auf f(x) = x4 + 2
Überprüfen der hinreichenden Bedingung nicht vergessen: f´´(0) = 0, f(4)(0) = 24 > 0,
deshalb liegt an dieser Stelle ein Minimum vor und kein Wendepunkt, keine Funktion erfüllt
diese Eigenschaft!
3.5 Kurvendiskussion
1.
D=R
5
3
Extrempunkte: Pmax ( −
;−
); Pmin (
3
6 5
3
;
3
6 5
Nullstellen: ; −
5
0
ungerade, d.h. zentralsymmetrisch zum Ursprung
;
)
Wendepunkte: (0; 0) Sattelpunkt; (-1,23; 1,29); (1,23; -1,29)
0
2.
D = ( ; ∞)
Extrempunkte: Pmin (
e
;−
1 2
1
Nullstellen: 1
e
)
Wendepunkte: (0,223; -0,075)
3
3
3.
D = R \ { ;−
}
Nullstellen: -2, 2


4 9
0
Polstellen: -3, 3


Extrempunkt: Pmax  ; 
Wendepunkte: keine
Asymptote: y = 1 (Verhalten für x → ±∞ )
4.
Gaußsche Glockenkurve: Verlauf siehe „10 DM - Schein“

1 
,
keine Nullstellen, symmetrisch bei x = µ , Extrempunkt: P µ,
2π σ 





1
1
 , P µ − σ ,

Wendepunkte: P  µ + σ ,
2π e σ 
2π e σ 


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4
Integralrechnung
2
2
e) ln +
≈ ,
π
2
h) mit Bogenmaß arbeiten:
3
2
2
a
a
−
+C
x
x
2
− ln x + x + C
x
7
c) mit Potenzen arbeiten und nach den Potenzgesetzen zusammenfassen:
8
2
x
3
8 2
b) ausmultiplizieren und Bruch zerlegen: −
2
1
a) ausmultiplizieren: aln x −
d)
3 2
g) mit Bogenmaß arbeiten: π
f) 2
2.
,
2
c)
8
3 3
)
1 3
−a
6
2
1
(b
4
b)
4
a)
1 4
8
2 3
1
.
x +C
d) für sin2x trigonometrischen Pythagoras einsetzen, 3. Binomische Formel anwenden und
kürzen:
x − sin x + C
e) Bruch mit dem Wurzelausdruck
3.
2
0
∫ ... +
∫ ... = 8 FE
0
x −
x + 1 erweitern:
2
3
3
 ( x + 1) − x  +C

3

−2
17
,
∫ ... = 21,87 FE
4.
−4,70
5
π
4
∫ ...
5.
6.
π
4
= 2,83 FE
A = 1 FE (Schnittpunkte: x =1, x =2)
3
7.
A = 125/6 FE ( Schnittpunkte: x = 0, x = 5)
5
Vektorrechnung
1.
a)
I a × b I = 352 + 32 + 342 = 48,89 FE
b)
51,16 FE
2.
r
r
r
I a I= (− 4 0
r
r
2 )T = 20 , I b I = (− 2 − 3 4 )T = 29 , I c I = (2 − 3 2)T = 17
r r
boc
-4+9+8
cos α = r r =
, α = 54,16°;analog β, β = 77,47°,
29 . 17
b c
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γ = 180 – α – β = 48,37° oder analog wie oben
r
1 → →
1 r
AB× AC = 9 FE oder A= 2 I b I I c I sin α = 9 FE
2
r
11,49
r
r
a 
r ( Q ) = r ( P ) + 20 r =  - 13,14
a 
6,31
r
r
aob
cos α = r r a) α = 79,92° b) α = 51,34° c) α = 157,90°
a b
A=
3.
4.
5.
a) g1 II g2 und g1 ≠ g2
b) g1 = g2
c) S(-5; 4; 10) ; 84,23° (spitzer Winkel)
d) windschief
6.
r r r r r r
a − b , a − c , b − c in Abhängigkeit von t bestimmen, gleichsetzen von 2 Abständen und
lösen der quadratischen Gleichung: t = 20/3 entfällt (da der 3. Abstand dann anders ist), t =
4 Lösung
7.
Ci(x,y,0) , rechtwinklig, also Skalarprodukt = 0 und A =30, damit x und y bestimmen:
C1(8,-3,0) , C2(-2,7,0)
8.
a) a = -1; P(2; 2; 0), Skalarprodukt 70,53°
b) Skalarprodukt = 0 ⇒ a1 = 2, a2 = - 3; Schnittpunkt überprüfen: Q2 (3, -2; -7) ∉ g2, d.h. Q2
ist nicht Schnittpunkt, a1 = 2 entfällt; Q-3 (-2; -2; 8) ∈ g-3 ∧ Q-3∈i-3 ⇒ a = - 3
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