Trigonometrie

Trigonometrie
Sinus, Kosinus und Tangens für spitze Winkel
Aufgabe:
Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck aus: b = 5 cm;
= 90°; a = 7 cm
C
90 °
b
a
c
A
(1) Berechne das Seitenverhältnis a zu c :
Berechnung von c:
c 2 a2 b 2
c
72
c
74
c
52
B
a
.
c
Seitenverhältnis
a : c 7 : 8,6023
a:c
0,8137
8,6023 cm
(2) Verlängere die Seite b um 1 cm (b = 6 cm). Messe dann die neue Seite a und die neue Seite c und
a
berechne dann das Seitenverhältnis a2 zu c 2 : 2 in dem neuen Dreieck.
c2
(3) Verlängere die Seite b nochmals um 1 cm (b = 7 cm). Messe dann die neue Seite a und die neue
a
Seite c und berechne dann das Seitenverhältnis a3 zu c 3 : 3 in dem neuen Dreieck.
c3
C3
C2
C1
b3
b2
a3
a2
b1
A
a1
c1
B1
Seite 1 von 33
B2
B3
zu (2):
a2 zu c 2 :
a2
c2
8,4
10,3228
0, 8137
a3 zu c 3 :
a3
c3
9,8
12,0433
0, 8137
zu (3):
MERKE:
In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt:
Bei gleichem Winkel ist das Verhältnis (Quotient) von a zu c gleich. Dieses Seitenverhältnis a:c bezeichnet
man als den Sinus des Winkels und schreibt:
a
c
sin
Gegenkathete
Hypotenuse
Diese Kenntnis benutzt man, um aus vorgegebenen Seiten Winkel zu berechnen.
C
Ankathete zu Winkel
Gegenkathete zu Winkel
a
b
A
c
Berechnung des Winkels :
sin
Gegenkathete
Hypotenuse
a
c
sin
0,8137 / sin 1 (TR)
7
8,6023
0,8137
5
8,6023
0,5812
54,46
Berechnung des Winkels :
sin
Gegenkathete
Hypotenuse
b
c
sin
0,5812 / sin 1 (TR)
35,54
Seite 2 von 33
Gegenkathete zu Winkel
Ankathete zu Winkel
B
Aufgaben zur Bestimmung des Sinus eines Winkels:
Gib zu jedem der folgenden Dreiecke das Seitenverhältnis an, das den Sinus des Winkels ausdrückt der
nicht 90° beträgt:
f
e
c
s
1
2
d
g
r
z
3
4
sin
sin
e
d
c
d
y
x
t
Dreieck 1
h
Dreieck 2
Dreieck 3
sin
h
g
sin
sin
f
g
sin
Seite 3 von 33
s
r
t
r
Dreieck 4
sin
sin
y
z
x
z
Der Kosinus und der Tangens eines Winkels
Aufgabe:
= 30°;
Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck aus: c = 8 cm;
= 60°
C
b1
90 °
a1
60 °
30 °
c1
A
B
Mit Hilfe der Winkelfunktion Sinus lassen sich jetzt fehlende Seiten des Dreiecks berechnen:
sin
Gegenkathete
Hypotenuse
a1
c1
sin
a1
/ 8
8
sin30 8 a1
b1
c1
b1
/ 8
8
sin60 8 b1
sin30
4 cm
Gegenkathete
Hypotenuse
sin60
a1
6,9282 cm
b1
Die Länge der drei Dreieckseiten beträgt also:
a1 = 4 cm;
b1 = 6,9282 cm;
c1 = 8 cm
Verlängere nun die Seite c um 2 cm:
C2
C1
b2
90 °
b1
90 °
60 °
60 °
30 °
c1
A1
a2
a1
B1
B2
c2
Auch hier lassen sich mit Hilfe der Winkelfunktion Sinus fehlende Seiten des Dreiecks berechnen:
sin
Gegenkathete
Hypotenuse
a2
c2
a2
/ 10
10
sin30 10 a2
sin30
5 cm
a2
sin
Gegenkathete
Hypotenuse
b2
/ 10
10
sin 60 10 b2
sin 60
8,6603 cm
b2
Die Länge der drei neuen Dreieckseiten beträgt also:
a2 = 5 cm;
b2 = 8,6603 cm;
c2 = 10 cm
Seite 4 von 33
b2
c2
Nun lassen sich auch andere Seitenverhältnisse auf ihre Größe hin untersuchen. Berechne dazu folgende
Seitenverhältnisse:
Die Seitenverhältnisse sind dabei immer bezogen auf den Winkel
1.)
3.)
a1
c1
Gegenkathete
Hypotenuse
4
8
a2
c2
Gegenkathete
Hypotenuse
5
10
a1
b1
Gegenkathete
Ankathete
4
6, 9282
0,5774
a2
b2
Gegenkathete
Ankathete
5
8,6603
0, 5773
0,5
2.)
0,5
b1
c1
Ankathete
Hypotenuse
6,9282
8
0,86603
b2
c2
Ankathete
Hypotenuse
8,6603
10
0,86603
Offensichtlich gilt:
MERKE:
In allen rechtwinkligen Dreiecken ( = 90°) sind folgende Seitenverhältnisse gleich:
1.)
Gegenkathete
Hypotenuse
Sinus des Winkels
(sin )
2.)
Ankathete
Hypotenuse
Cosinus des Winkels
(cos )
3.)
Gegenkathete
Ankathete
Tangens des Winkels
(tan )
Aufgaben zur Bestimmung des Sinus eines Winkels:
Gib zu jedem der folgenden Dreiecke das Seitenverhältnis an, das den Sinus, den Kosinus und den Tangens des Winkels ausdrückt der nicht 90° beträgt:
f
e
c
s
1
2
d
g
r
z
3
4
x
t
Seite 5 von 33
h
y
Dreieck 1
sin
sin
cos
cos
tan
tan
e
d
c
d
c
d
e
d
e
c
c
e
Dreieck 2
Dreieck 3
sin
h
g
sin
sin
f
g
sin
cos
f
g
cos
cos
h
g
cos
h
f
f
h
tan
tan
tan
tan
Seite 6 von 33
s
r
t
r
t
r
s
r
s
t
t
s
Dreieck 4
sin
sin
cos
cos
tan
tan
y
z
x
z
x
z
y
z
y
x
x
y
Sinus, Kosinus, Tangens am rechtwinkligen Dreieck
54.5 °
3.658 cm
6.300 cm
2.198 cm
4.713 cm
65.0 °
1
2
25.0 °
5.129 cm
5.200 cm
48.0 °
35.5 °
5.200 cm
6.576 cm
3.416 cm
4.400 cm
33.3 °
4
3
6.222 cm
4.887 cm
42.0 °
56.7 °
Bestimme die jeweils angegebenen Werte. Runde, wenn nötig, auf vier Stellen nach dem Komma:
Dreieck 1:
Dreieck 3:
cos 65° =
Dreieck 2:
sin 35,5° =
sin 25° =
cos 35,5° =
tan 65° =
tan 35,5° =
sin 65° =
tan 54,5° =
tan 25° =
cos 54,5° =
cos 25° =
sin 54,5° =
tan 42° =
Dreieck 4:
sin 56,7° =
cos 48° =
sin 33,3° =
sin 48° =
cos 56,7° =
tan 48° =
cos 33,3° =
cos 42° =
tan 56,7° =
sin 42° =
tan 33,3° =
Seite 7 von 33
Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des jeweiligen Dreiecks. Überprüfe dann die gefundenen Werte
durch Nachmessen an der Zeichnung:
C
=
=
= 90°
b =
p =
q =
hc =
<BCD =
<ACD =
2.809 cm
A
B
D
6.500 cm
= 90°
=
=
a =
b =
c =
ha =
<DAB =
<CAD =
CD =
C
D 0.686 cm
B
A
1.936 cm
C
=
= 90°
=
a =
b =
hb =
D
<CBD =
<DBA =
AD =
CD =
3.954 cm
A
6.600 cm
Seite 8 von 33
B
Sinus, Kosinus, Tangens am rechtwinkligen Dreieck (Lösungen)
54.5 °
3.658 cm
6.300 cm
2.198 cm
4.713 cm
65.0 °
1
2
25.0 °
5.129 cm
5.200 cm
48.0 °
35.5 °
5.200 cm
6.576 cm
3.416 cm
4.400 cm
33.3 °
4
3
6.222 cm
4.887 cm
42.0 °
56.7 °
Bestimme die jeweils angegebenen Werte. Runde, wenn nötig, auf vier Stellen nach dem Komma:
Dreieck 1:
Dreieck 3:
cos 65° = 0,4227
Dreieck 2:
sin 35,5° = 0,5806
sin 25° = 0,4227
cos 35,5° = 0,8141
tan 65° = 2,1442
tan 35,5° = 0,7132
sin 65° = 0,9063
tan 54,5° = 1,4021
tan 25° = 0,4664
cos 54,5° = 0,5806
cos 25° = 0,9063
sin 54,5° = 0,8141
tan 42° = 0,9003
Dreieck 4:
sin 56,7° = 0,8357
cos 48° = 0,6691
sin 33,3° = 0,5490
sin 48° = 0,7432
cos 56,7° = 0,5490
tan 48° = 1,1107
cos 33,3° = 0,8357
cos 42° = 0,7432
tan 56,7° = 1,5222
sin 42° = 0,6691
tan 33,3° = 0,6569
Seite 9 von 33
Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des jeweiligen Dreiecks. Überprüfe dann die gefundenen Werte
durch Nachmessen an der Zeichnung:
C
= 25,6°
= 64,4°
= 90°
b = 5,9 cm
p = 1,2 cm
q = 5,3 cm
hc = 2,5 cm
<BCD = 25,6°
<ACD = 64,4°
2.809 cm
A
B
D
6.500 cm
= 90°
= 70,5°
= 19,5°
a = 6,2 cm
b = 5,8 cm
c = 2,1 cm
ha = 1,9 cm
<DAB = 19,5°
<CAD = 70,5°
CD = 5,5 cm
C
D 0.686 cm
B
A
1.936 cm
C
= 36,8°
= 90°
= 53,2°
a = 4,9 cm
b = 8,2 cm
hb = 4 cm
D
<CBD = 36,8°
<DBA = 53,2°
AD = 5,3 cm
CD = 2,9 cm
3.954 cm
A
6.600 cm
Seite 10 von 33
B
Sinus, Kosinus und Tangens im Einheitskreis
In der Zeichnung ist ein Viertelkreis mit dem Radius 10 cm gezeichnet. Mit Hilfe dieses Viertelkreises kann
man nun die Entwicklung von Sinus, Kosinus und Tangens im Bereich von 0° bis 90° (0
90 ) verfolgen. Zeichne dazu die Winkel von 0° bis 90° in 10°-Schritten ein und verlängere sie, wenn möglich, bis zur
senkrecht nach oben verlaufenden Linie. (Klebe dieses Arbeitsblatt ins Merkheft ein!)
sin
cos
tan
0°
10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
80°
90°
Beziehungen zwischen Sinus,
Kosinus und Tangens:
1.) cos
=
2.) sin
=
3.) tan
=
4.)
90 °
Seite 11 von 33
sin
Gegenkathe te
Hypotenuse
cos
Ankathete
Hypotenuse
tan
Gegenkathe te
Ankathete
Sinus, Kosinus und Tangens im Einheitskreis
In der Zeichnung ist ein Viertelkreis mit dem Radius 10 cm gezeichnet. Mit Hilfe dieses Viertelkreises kann
man nun die Entwicklung von Sinus, Kosinus und Tangens im Bereich von 0° bis 90° (0
90 ) verfolgen. Zeichne dazu die Winkel von 0° bis 90° in 10°-Schritten ein und verlängere sie, wenn möglich, bis zur
senkrecht nach oben verlaufenden Linie. (Klebe dieses Arbeitsblatt ins Merkheft ein!)
sin
cos
tan
0°
0
1
0
10°
0,17
0,98
0,18
20°
0,34
0,94
0,36
30°
0,5
0,87
0,58
40°
0,64
0,77
0,84
50°
0,77
0,64
1,19
60°
0,87
0,5
1,73
70°
0,94
0,34
2,75
80°
0,98
0,17
5,67
90°
1
0
n.d.
Beziehungen zwischen Sinus,
Kosinus und Tangens:
1.) cos
= sin(90
)
2.) sin
= cos(90
)
3.) tan
=
sin
cos
, für
90
4.) (sin )2 (cos )2 1
90 °
Seite 12 von 33
sin
Gegenkathe te
Hypotenuse
cos
Ankathete
Hypotenuse
tan
Gegenkathe te
Ankathete
Beweise für die Zusammenhänge zwischen Sinus, Kosinus und Tangens:
zu 3.) Beweis:
tan
sin
cos
Gegenkathete
Hypotenuse
Ankathete
Hypotenuse
tan
tan
Gegenkathete Hypotenuse
Hypotenuse
Ankathete
tan
Gegenkathete
q.e.d.
Ankathete
zu 4.) Beweis:
2
sin
Gegenkathete
Hypotenuse
2
c os
Ankathete
Hypotenuse
Gegenkathete2
Hypotenuse2
2
1
2
1
Ankathete2
Hypotenuse2
1
Gegenkathete2 Ankathete2
Hypotenuse2
1
Hypotenuse 2
Hypotenuse2
1
1 1
Die Funktionen sin , cos , tan
für 0°
90°
Aufgabe:
Zeichne die Funktionen y1 = sin ; y2 = cos und y3 = tan für 0°
90° in ein Koordinatensystem ein.
Denke zuvor über die Achseneinteilung und den notwendigen Bereich nach!
1
08
06
04
02
10
20
30
40
50
Seite 13 von 33
60
70
80
90
Anwendung sin, cos, tan
Aufgabe:
Eine 60 m lange Feuerwehrleiter wird mit einem Neigungswinkel ( ) von 70° an eine Hauswand gelehnt.
a.) Wie hoch reicht die Leiter?
b.) In welchem Abstand von der Hauswand befindet sich der Fußpunkt der Leiter?
zu a.)
Gegenkathete
Hypotenuse
sin
sin70
x
60
x
60
sin70 60 x
sin70
x
56,38 m
Ankathete
Hypotenuse
cos
cos70
y
60
y
60
cos70
cos70 60
y
x
60m
zu b.)
y
20,52 m
oder :
Pythagoras :
70 °
y2
602
56,382
y
602
56,382
y
y
20,53 m
Aufgabe:
Eine Seilbahn überwindet auf einer ersten Teilstrecke von 250 m Länge eine Höhe von 180 m. Wie groß ist
der Steigungswinkel ?
sin
sin
sin
Gegenkathete
Hypotenuse
180
250
0,72
180m
250m
46,05
Der Steigungswinkel
beträt 46,05°.
Aufgabe:
Aus einer Entfernung von 102 m sieht man die Spitze eines Fernsehturmes unter einem Höhenwinkel von
42°. Wie hoch ist der Turm?
Gegenkathete
Ankathete
FT
tan 42
102
tan 42 102 FT
FT 91,84 m
tan
tan 42
FT
102
FT
42 °
102m
Seite 14 von 33
Aufgabe:
C
Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit:
30 °
a = b = 6,5 cm;
= 30°;
=
= 75°
Berechne c; ; ; ha; hb; hc; A; u des Dreiecks
sin
2
sin
6,5 cm
c
2
6,5
b
c
2
6,5
2
30
sin
6,5 2
2
sin15 6, 5 2
c 3,4 cm
hc
a
sin
ha
c
sin
sin 75
ha
3,4
sin75 3,4 ha
c
ha
hc
a
sin 75
hc
6,5
sin75 6,5 hc
hb
A
A
a
ha
hb
c
A
3,3 cm
A
hc
ha
3,4
sin 75
c
sin 75
hc
6,5 cm
g h
2
3,4 6,3
2
10,71 cm2
u
a b c
u
2 6,5 3, 4
u
16,4 cm
B
6,3 cm
Aufgabe:
Gegeben ist eine Raute mit e = 5 cm und f = 9 cm.
a.) Zeichne die Raute.
b.) Berechne die Seitenlänge a der Raute, alle Winkel und den Flächeninhalt der Raute.
D
tan
e
2
f
2
2
wenn
sin
A
2
a
tan
2,5
4,5
2
58,1 dann
e
2
a
e f
2
a
58,1 dann
e
2
sin
A
tan
2
5 9
2
a
2
0,5
2
29,05
121,9 dann
2,5
sin29,05
A
a
121,9
58,1
5 cm
A
C
e
5,2 cm
f 9 cm
22,5 cm2
B
Seite 15 von 33
Aufgabe:
Zeichne einen Kreis mit r = 4 cm. Zeichne in den Kreis zwei Radien (r) ein, die einen Winkel ( ) von 100° am
Mittelpunkt (M) bilden. Verbinde die Endpunkte der beiden Radien durch eine Sehne (s).
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
Wie lang ist die Sehne (s)?
Wie groß ist der Abstand (a) der Sehne vom Kreismittelpunkt (M)?
Wie groß sind der Flächeninhalt (A1) und der Umfang (u) des Kreises?
Wie groß ist der Flächeninhalt (A2) des Dreiecks?
Wie viel Prozent der Fläche des Kreises beträgt die Fläche des Dreiecks?
zu a.)
sin
zu b.)
s
2
4
2
cos
s
4
2
2
100
sin
4 2 s
2
sin50 4 2 s
a
4
cos
4 a
2
100
cos
4 a
2
cos50 4 a
sin
s
2
a
6,1 cm
M
4 cm
2,6 cm
100 °
r
a
zu c.)
r2
A1
A1
A1
4
2
50,27 cm
2
u
2
r
u
2
4
u
25,1 cm
s
zu d.)
A2
A2
A2
g h
2
6,1 2,6
2
7,93 cm2
A 2 100
A1
p
p
p
7,93 100
50,27
15,8%
Zusatzaufgabe:
Beweise mit Hilfe von Pythagoras und der entsprechenden Winkelfunktion in einem gleichseitigen Dreieck,
dass folgendes gilt:
C
1
2
a.) sin60
b.) tan 60
ha
2
ha2
ha2
ha
a
3
a
2
2
a2
3
sin60
2
a
4
3 2
a
4
a
3
2
2
sin60
sin60
sin60
ha
a
tan60
a
2
3
a
a 3
2 a
1
3
2
tan60
tan60
tan 60
ha
ha
a
2
a
2
60 °
A
3
a
2
a 2 3
2 a
3
Seite 16 von 33
a
B
Spezielle Anwendung des Tangens
Aufgabe:
Auf einem Verkehrsschild findet man die Angabe: 12% Steigung.
Wie groß ist der Steigungswinkel ?
12% Steigung bedeutet: Auf einer waagerechten Länge von 100 Metern steigt die Straße um 12 Meter an.
12m
100m
12
100
tan
tan
0,12
Der Steigungswinkel beträgt 6,8°.
6,8
Wie groß müsste die Steigung in Prozent auf dem Schild eigentlich angegeben sein, wenn man die tatsächlichen Verhältnisse auf dem Verkehrsschild betrachtet?
Hinweis: Verkehrsschild ist ein gleichseitiges Dreieck!
x
tan30
tan30 100 x
x 57,7%
100
Die Steigung in Prozent müsste 57,7% sein!
Aufgabe:
Der Steigungswinkel der angeblich steilsten Straße der Welt im neuseeländischen Ort Duneddin beträgt 31°.
a.) Wie groß ist die Steigung dieser Straße in Prozent?
b.) Welcher Höhenunterschied (h) wird auf einer Fahrbahnstrecke von 450 Metern überwunden?
c.) Wie groß wäre der Steigungswinkel bei einer Steigung von 100%?
zu a.)
tan31
x
100
tan31 100
x
x
Die Steigung in Prozent beträgt 60,1%.
60,1%
zu b.)
450m
x
sin31
x
450
sin31 450
x
x
231,77 m
zu c.)
tan
100
100
tan
1
45
Seite 17 von 33
Regelmäßige Vielecke
Aufgabe:
Ein regelmäßiges Achteck besitzt die Seitenlänge a = 5 cm.
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
Berechne die Fläche des Achtecks (A8).
Berechne die Fläche des Umkreises (AK).
Um wie viel Prozent ist die Fläche des Umkreises größer als die Fläche des Achtecks?
Berechne den Umfang (u) des Inkreises.
Um wie viel Prozent ist der Umfang des Inkreises kleiner als der Umfang des Achtecks?
zu a.)
tan
a
2
h
2
A8
8
a h
2
a
2
h
tan
A8
8
h
2,5
tan22,5
h
6 cm
2
5 6
2
A8
45 °
120 cm2
sin
2
r2
AK
a
2
r
sin
r
2,5
sin22,5
r
6,5 cm
2
6,52
AK
132,73 cm2
AK
zu c.)
p
Pw 100
G
p
132,73 100
120
u
2
p
37,7 100
40
p
110,6% also um 10,6%
zu d.)
u
2
r
6
u
37,7 cm
zu e.)
p
Pw 100
G
h
r
zu b.)
a
2
r
a
p
94,25% also um 5,75%
Seite 18 von 33
Regelmäßige Vielecke
1.) Die Seitenlänge (s) eines regelmäßigen Zehnecks beträgt 4,5 cm.
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
f.)
g.)
h.)
Berechne seinen Flächeninhalt (AV).
Berechne den Radius (ru) seines Umkreises.
Berechne den Radius (ri) seines Inkreises.
Bestimme den Flächeninhalt (AKR) des Kreisringes aus Um- und Inkreis.
Um wie viel Prozent kleiner ist der Umfang (Ui) des Inkreises als der Umfang (Uz) des Zehnecks?
Um wie viel Prozent größer ist der Umfang (Uu) des Umkreises als der Umfang (Uz) des Zehnecks?
Um wie viel Prozent kleiner ist die Fläche (Ai) des Inkreises als die Fläche (Az) des Zehnecks?
Um wie viel Prozent größer ist die Fläche (Au) des Umkreises als die Fläche (Az) des Zehnecks?
Beschrifte das für die Berechnung wichtige Dreieck mit den Angaben s, ru und ri und führe die Berechnungen
im Hausheft durch. Benutze dazu die in den Aufgaben angegebenen Abkürzungen. Da das Zehneck in den
Originalmaßen gezeichnet wurde, kannst du deine Werte durch Messen vergleichen.
Seite 19 von 33
Regelmäßige Vielecke
s
2
ri
a.) tan18
s
2
tan18 ri
s
2 tan18
4,5
2 tan18
6,9 cm
ri
ri
ri
(ru2
d.) AKR
10 s ri
2
10 4,5 6,9
2
155,25 cm2
A10
A10
A10
(7,32
AKR
17,84 cm2
43,4 cm
p
43,4 100
10 4,5
f.) Uu
2
ru
p
Uu
2
7,3
Uu 100
Uz
Uu
45,9 cm
p
45,9 100
10 4,5
ri2
p
A i 100
Az
p
149,57 100
155,25
p
A u 100
Az
p
167,42 100
155,25
Ui
2
6,9
Ui
g.) A i
6,92
Ai
Ai
149,57 cm2
ru2
h.) A u
Au
Au
7,32
167,42 cm2
ri
ru
ru
ri
cos18
6,9
cos18
7,3 cm
c.) ri
6,92 )
Ui 100
Uz
ri
ru cos18
ru
p
2
ri
ru
ri2 )
AKR
e.) Ui
b.) cos18
96,44% also um 3,56%
102% also um 2%
96,34% also um 3,66%
107,84% also um 7,84%
allgemein:
ri
ru
s
2 tan 18
s
2 sin 18
e.) p
f.) p
2
10 s
2
10 s
s 100
10
96, 6883% also um 3,3117%
2 tan18 tan18
s 100
10
101,6641% also um 1,6641%
2 sin18 sin18
2
g.) p
s
100
2 tan18
10 s s
2 2 tan18
s2
100
4 (tan18)2
10 s2
4 tan18
s2 100 4 tan18
4 (tan18)2 10 s2
10
96,6883% also um 3,3117% (siehe Umfang!)
tan18
10
tan18
h.) p
106,8959% also um 6,8959% (siehe Umfang!)
(sin18)2
p
Seite 20 von 33
6,9 cm
Winkelfunktionen in Körpern
Aufgabe:
Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge a = 5cm. Wie groß ist der Winkel, den die Raumdiagonale (e)
des Würfels
a.) mit einer Kante des Würfels bildet (Winkel )?
b.) mit der Diagonalen (d) einer Seitenfläche bildet (Winkel )?
c.) (Führe die Berechnung für alle Würfel mit der Kantenlänge a durch.)
zu a.)
Berechnung der Flächendiagonalen d :
d2
a2
a2
d2
52
52
d
7,1 cm
e
Berechnung von
:
d
a
7,1
5
1,42
tan
tan
tan
d
a
54, 8
zu b.)
Berechnung der Raumdiagonalen e :
e2
a2
d2
e2
52
7,12
e
8, 7 cm
Berechnung von :
a
e
5
sin
8,7
35,1
sin
zu c.)
Berechnung der Flächendiagonalen d :
Winkel
d2
a2
tan
d
a 2
a2
tan
:
d
a
a 2
a
54,7356
Berechnung der Raumdiagonalen e :
W inkel :
e2
a2
sin
e
a 3
d2
sin
2
a
e
a
a 3
35,2644
Seite 21 von 33
1
3
1
3
3
Winkelfunktionen in Körpern
1.) Die Grundfläche einer quadratischen Pyramide mit der Grundkante a = 6cm bildet mit jeder ihrer Seitenflächen einen Winkel von 60°.
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
f.)
Berechne das Volumen (V) und die Oberfläche (O) der Pyramide.
Wie lang ist die Seitenkante (s) der Pyramide?
Wie groß ist der Winkel zwischen einer Seitenkante (s) und der Grundfläche?
Wie groß ist der Winkel zwischen einer Seitenfläche und der Höhe (h)?
Wie groß ist der Winkel zwischen einer Seitenkante (s) und der Grundkante (a)?
Wie groß ist der Winkel zwischen der Höhe (h) und der Seitenkante (s)?
Klebe dieses Arbeitsblatt in dein Merkheft ein!
ha
h
s
a
Seite 22 von 33
Winkelfunktionen in Körpern (Lösungen)
zu a.)
h
a
2
tan
a
2
tan
cos
h
tan 60 3
h
ha
h
ha
5,2 cm
ha
zu b.)
zu c.)
2
ha
s2
62
s
s
a
2
2
32
6,7 cm
2
sin
sin
a
2
ha
a
2
cos
3
cos 60
6 cm
zu d.)
h
s
5,2
6,7
50,9
V
a2 h
3
O
a2
2 a ha
V
62 4,2
3
O
62
2 6 6
V
62,4 cm3
O
108 cm2
zu e.)
tan
a
2
h
tan
3
5,2
30
Seite 23 von 33
ha
a
2
6
tan
3
63,4
tan
zu f.)
cos
h
s
5,2
6,7
39,1
cos
Sinus, Kosinus und Tangens
1. Aufgaben aus der Geometrie
Hinweis: Fertige zu jeder der Aufgaben eine übersichtliche Skizze an und benenne die Stücke entsprechend
der Aufgabenstellung.
1.) In einem rechtwinkligen Dreieck ( = 90°) ist gegeben: q = 2,5 cm ;
Berechne a, b, c, p, h c ; .
= 35°.
2.) In einem Rechteck schneiden sich die beiden Diagonalen unter einem Winkel von =110°. Jede Diagonale ist 7,2 cm lang. Berechne die Seiten a und b des Rechtecks und den Winkel , unter der die Diagonale die Seite a schneidet.
3.) In einem gleichschenkligen Dreieck (a = b) ist gegeben: h c = 4,6 cm ;
= 56°.
Berechne a, b, c, , .
4.) In einem symmetrischen Trapez (b = d) ist gegeben: a = 6 cm; c = 4 cm;
Berechne b, d, h, , und den Flächeninhalt A.
= 60°.
5.) In einem Kreis hat eine Sehne mit der Länge s = 5,5 cm einen Abstand a = 2,5 cm vom Mittelpunkt M
des Kreises.
Berechne den Radius r und den Mittelpunktswinkel dieses Kreises?
6.) In einem Kreis mit dem Radius r = 20 cm ist ein Zwölfeck einbeschrieben. Berechne den Flächeninhalt
dieses Zwölfecks.
7.) Einem Kreis mit dem Radius r = 8 cm ist ein Achteck einbeschrieben und umbeschrieben. Wie groß ist
der Unterschied der beiden Flächeninhalte?
8.) Eine Gerade verläuft durch die Punkte A(2/5) und B(4/1). Unter welchem Winkel schneidet die Gerade
die x-Achse ( ) und die y-Achse ( )?
Lösungen in nicht geordneter Reihenfolge: (Alle Angaben ohne Gewähr!)
Winkel
Längen
(cm)
Flächen
(cm2)
56°
95,4°
120°
63,4°
55°
10,4
19,3
1158
4,3
3,7
8,5
2,2
3,1
7,4
6,1
211,2 180,56
68°
3,8 1,3
6,6
30,6 1204,32
35°
26,6°
120°
1,8
5,8
5,5
6,2
1,7
2,0
2,0
2. Anwendungsaufgaben
Hinweis: Fertige zu jeder der Aufgaben eine übersichtliche Skizze an in der das Bestimmungsdreieck deutlich erkennbar ist. Berechne dann mit Hilfe der Winkelfunktionen oder mit Pythagoras.
1.) Der Bewegungsmelder einer Außenleuchte wird montiert. Er wird in einer Höhe h = 1,80 m angebracht
und soll die Grundstücksbreite e = 6,50 m überwachen.
Wie groß muss der Neigungswinkel des Bewegungsmelders sein?
2.) Von der 6,20 m hohen Kaimauer eines Hafens wird ein Schiff mit einem Theodolit angepeilt. Der Theodolit ist 1,50 m hoch. Das Schiff erscheint unter einem Tiefenwinkel = 2,6°.
Wie groß ist die Entfernung e des Schiffes von der Kaimauer?
3.) Die Bugwelle eines Schiffes hat immer einen Öffnungswinkel von etwa 40°. Ein Schiff fährt in der Mitte
eines 160 m breiten Flusses.
Wie weit ist sein Bug vom Auftreffpunkt der Welle am Ufer entfernt?
Seite 24 von 33
4.) Der Amazonas hat von seinem Eintritt in die Tiefebene bis zur Mündung in den Atlantik auf etwa 4800
km Länge ein Gefälle von 106 m.
Wie groß ist der durchschnittliche Gefällwinkel ?
5.) Die steilste Straße der Welt soll im neuseeländischen Ort Duneddin sein. Sie besitzt den Steigungswinkel = 31°.
a.) Wie viel Prozent Steigung sind das?
b.) Welcher Höhenunterschied h besteht auf einer 450 m langen Strecke?
6.) Die Rohrleitung eines Wasserkraftwerkes fällt um 450 m. In einer Karte mit dem Maßstab 1:25000 ist sie
4,2 cm lang eingezeichnet.
Berechne den Neigungswinkel und die Länge e der Leitung.
7.) Bei einer Stehleiter (Grundform ist ein gleichschenkliges Dreieck) mit 3m langen Holmen ist der Öffnungswinkel = 30°.
a.) Wie hoch befindet sich die Leiterspitze über dem Boden?
b.) Wie weit stehen die beiden Holme auseinander?
c.) Um wie viel cm kommt die Leiterspitze tiefer, wenn sich von 30° auf 40° vergrößert?
Lösungen in nicht geordneter Reihenfolge: (Alle Angaben ohne Gewähr!)
Winkel
25,4°
74,5°
0,0013°
60%
Strecken
2,90 m
231,77 m 169,57 m 233,9 m
1050 m
1,55 m
8 cm
3. Körperberechnungen
Hinweis: Fertige zu jeder der Aufgaben eine übersichtliche Skizze an in der das Bestimmungsdreieck deutlich erkennbar ist. Berechne dann mit Hilfe der Winkelfunktionen oder mit Pythagoras.
1.) In einer quadratischen Pyramide beträgt die Länge der Seitenhöhe ha = 8,5 cm. Der Winkel
einer Seitenfläche und der Grundfläche der Pyramide beträgt 65°.
zwischen
a.) Berechne das Volumen (V) und die Oberfläche (O) dieser Pyramide.
b.) Wie groß ist der Winkel zwischen der Seitenkante (s) und der Grundseite (a) dieser quadratischen Pyramide?
2.) Körniges Material lässt sich zu einem Kegel aufschütten. Die Größe des dabei entstehenden Böschungswinkel
ist vom angeschütteten Material abhängig (siehe Tabelle). Berechne die fehlenden
Werte dieser Tabelle:
Material
Böschungswinkel ( )
Kegeldurchmesser (d)
Umfang der Grundfläche (u)
Kegelhöhe (h)
Kegelradius (r)
Seitenlinie des Kegels (s)
Grundfläche (A)
Mantelfläche des Kegels (M)
Kegelvolumen V
a.)
Kohle
45°
18 m
b.)
Sand
25°
c.)
Erde
37°
36 m
4,5 m
3.) Berechne die Größe der Winkel ,
zwischen den Flächendiagonalen (e, f, g) und der Raumdiagonalen (d) in einem Quader mit den Seitenlängen a = 10 cm, b = 3 cm und c = 6 cm.
Seite 25 von 33
Sinus, Kosinus und Tangens Geometrie (Lösungen)
zu 1.)
hc
q
tan
hc
tan
q
hc
tan35 2,5
hc
1,8 cm
b2
hc 2
q2
hc 2
b2
1,82
2,52
p
b
3,1 cm
p
p
C
p q
hc 2
q
a
b
1,82
2,5
1,3 cm
hc
c
c
p q
a2
c2
b2
c
1,3 2,5
a2
3,82
c
3,8 cm
a
2,2 cm
A
55
D
b
e
b
sin
b
sin35 7, 2
b
4,3 cm
e
a2
e2
b2
a2
7,22
a
5,8 cm
C
35
b
4,32
a
A
b
b
b
B
C
zu 3.)
hc
b
sin
B
p
3,12
zu 2.)
sin
q
hc
si n
4,6
sin56
a 5,5 cm
c
2
b
cos
56
c
2
cos
c
cos56 5,5 2
c
6, 2 cm
68
b
b
A
hc
a
c
B
zu 4.)
1
b
cos
b
b
b
1
cos
1
cos 60
d
2,0 cm
h
b
sin
h
sin
D
60
b
c
120
h
d
h
sin 60 2
A
(6 4) 1,7
2
h
1,7 cm
A
8,5 cm2
A
Seite 26 von 33
C
a
b
B
zu 5.)
tan
s
2
a
2
2,75
2
2,5
95,5
tan
2
r2
a2
s
2
r2
2,52
2,752
r
3,7 cm
s
a
r
M
zu 6.)
cos
M
h
r
2
h
cos
h
h
sin
2
s
sin
cos15 20
s
sin15 20 2
19,3 cm
s
10, 4 cm
2
r
s
2
r
2
r 2
A
12 s h
2
A
6 10,4 19,3
A
1204,32 cm2
r
h
s
zu 7.)
cos
h
h
r
2
sin
2
a1
h
r
2
cos 22,5 8
a1
r 2
2
sin22,5 8 2
h
7,4 cm
a1
6,1 cm
tan
a2
cos
a1
2
r
a2
2
h
2
tan
h
h 2
a2
2
tan22, 5 8 2
a2
6,6 cm
A
Aa
A
211,2 180,56
A
30,64 cm2
sin
r
8 cm
Ai
Ai
8 6,1 7,4
2
180,56 cm
a2
2
a1
45 °
h
r
Aa
8 6,6 8
2
Aa
211,2 cm2
Ai
Seite 27 von 33
zu 8.)
4
2
2
tan
tan
6
90
90
63,4
A
5
63, 4
26, 6
4
3
4
2
1
B
2
1
2
3
4
Sinus, Kosinus und Tangens Anwendungsaufgaben (Lösungen)
zu 1.)
e
h
6,5
tan
1,8
74,5
tan
h
e
zu 2.)
1,5
e
tan87,4
e
6,2 1,5
tan87,4 7,7
e
169,57 m
87,4°
6,2
S
e
zu 3.)
S
sin20
x
x
80
x
80
sin20
233,90 m
x
160m
Seite 28 von 33
5
zu 4.)
sin
0,106
4800
0,0013
4800km
106m
zu 5.)
zu a.)
450m
zu b.)
x
tan31
100
x tan31 100
x 60,1%
h
h
sin31
450
h sin31 450
h 231,77 m
zu 6.)
e
e
4,2 cm 25.000
e
e
105.000 cm
1050 m
450m
450
sin
1050
25,4
zu 7.)
zu a.)
zu b.)
h
cos15
3
h cos15 3
h
2,90 m
sin15
s
2
3
s
sin15 3 2
s
1,55 m
3m
h
zu c.)
h
3
cos 20 3
2,82 m
cos 20
a
2,90 m 2,82 m
h
h
a
a
290 cm 282 cm
8 cm
Seite 29 von 33
s
Sinus, Kosinus und Tangens Körperberechnungen (Lösungen)
zu 1.)
zu a.)
h
sin65
8,5
h sin65 8,5
a
2
cos 65
8,5
a cos 65 8,5 2
h
7,7 cm
a
7,2 cm
V
a2 h
3
O
a2
V
133,056 cm3
O
7,22
O
174,24 cm2
s2
ha2
a
2
s2
8,52
3,62
s
9, 2 cm
7,22 7,7
3
ha
h
2 a ha
2 7, 2 8, 5
s
zu b.)
a
2
s
cos
cos
3,6
9, 2
66,96
2
a
zu 2.)
zu a.)
u
d
u
18
h
r
tan
h
tan
r
h
tan 45 9
h
9m
u
56,55 m
s2
h2
r2
s2
92
92
s
12,73 m
A
r2
A
92
A
254,47 m2
M
r s
M
9 12,73 M
359,93 m2
V
r2 h
3
V
92 9
3
763,407 m3
h
s
r
V
Seite 30 von 33
zu b.)
u
d
d
36
d 11,46 m
h
r
tan
h
h
h
s2
h2
r
5,73 m
r2
s2 2,672 5,732
s 6,32 m
tan r
tan 25 5,73
2,67 m
h
A
r2
A
5,732
A
M
r s
M
5,73 6,32
M 113,77 m2
V
r2 h
3
V
5,732 2,67
3
s
103,15 m2
r
3
V
91,801m
r
4,5 cos37
u
22,56 m
zu c.)
cos
r
s cos
r
r
s
3,59 m
d
7,18 m
u
d
u
7,18
h
s
sin
h
h
sin
h
sin37 4,5
h
2,71 m
A
r2
A
3,592
A
40,49 m2
M
r s
M
3,59 4,5
M
50,75 m2
V
r2 h
3
V
3,592 2,71
3
V
36, 575 m3
s
s
Seite 31 von 33
r
zu 3.)
e2
a2
b2
e2 102 32
e 10,4 cm
d2
e2
c2
d2 10,42 62
d 12,0 cm
c
d
e
d
10,4
cos
12
29,9
cos
e
a
f2
b2
c2
d2
e2
f2
32
62
d2
10,42
f
6,7 cm
b
c2
62
c
d 12,0 cm
d
f
cos
d
6,7
cos
12
56,1
f
b
a
g2
a2
g2
102
c2
62
g 11,7 cm
d2
e2
c2
d2
10,42
62
c
d 12,0 cm
d
g
cos
d
11,7
cos
12
12,8
g
b
a
Seite 32 von 33
Verschiedene Winkelarten
Tiefenwinkel
Höhenwinkel
Öffnungswinkel
Gefällwinkel
Steigungswinkel
45 °
Neigungswinkel
Böschungswinkel
45 °
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