10. Vorlesung EP I. Mechanik 7. Schwingungen (freie, gedämpfte

10. Vorlesung EP
I. Mechanik
7. Schwingungen
(freie, gedämpfte und erzwungene Schwingung,
Resonanz, Schwebung)
Versuche:
Pendel mit zwei Längen
Sandpendel ohne/mit Dämpfung
erzwungene Schwingung mit
ω < ω0, ω = ω0, ω > ω0 („Texastower“)
„Tacoma Bridge“ Film
zwei gekoppelte Pendel
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7. Schwingungen
Schwingungen
Schwingung: räumlich und zeitlich wiederkehrender (=periodischer) Vorgang
Zu besprechen:
•ungedämpfte freie Schwingung
•gedämpfte freie Schwingung
•erzwungene gedämpfte Schwingung
Ungedämpfte freie Schwingungen
Beispiel Federpendel
(a) in Ruhe
(b) gespannt: Auslenkung x
Rückstellkraft der Feder
a)
b)
FR = −Dx
(c) losgelassen
c)
Bewegung erfolgt nach den bekannten Gesetzen:
M a = −Dx
(2. Newtonsches Axiom)
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Hier werden wir mal differenzieren:
a=
dv
dt
;
dx
d 2x
v=
ergibt a = 2
dt
dt
(mit unseren Differenzen ∆ könnten wir auch schreiben:
a=
∆v
;
∆t
 ∆x 
∆ 
∆x
 ∆t 
v=
ergibt a =
∆t
∆t
Mit diesen Ableitungen erhalten wir aus dem 2. Newtonschen Axiom
eine neue Gleichung:
(*)
d 2x
M 2 + Dx = 0
dt
ist eine Differentialgleichung. Die Lösung muß eine Funktion x(t) sein,
deren 2. Ableitung proportional zur Funktion selber ist.
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Lösungsansatz: (**)
x( t ) = A0 cos(ω 0 t + ϕ 0 )
(Sinusfunktion wäre auch möglich.)
„harmonische Schwingung“
x(t) ≡ momentane Auslenkung
A0 = maximale Auslenkung = maximale Amplitude
φ(t): = ω0t + φ0=Phase der Schwingung, wobei Anfangsphase φ0
beliebig.
dϕ
= ω0
dt
= Kreisfrequenz
ω0 1
→ f0 =
=
2π T
ist Frequenz der Schwingung.
T ist die Periode der Schwingung
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Setzen wir (**) in (*) ein und verwenden, dass
d(sin(ω 0 t)
= ω 0 cos(ω 0 t)
dt
ist, so erhalten wir:
-Mω02 cos(ω0t + ϕ0) + D cos(ω0t + ϕ0) = 0.
ω0 =
d(cos(ω 0 t)
= −ω 0 sin(ω 0 t) und
dt
Daraus folgt:
D
M
Maximalamplitude A0 ist beliebig und hängt nur von der Anfangsbedingung
ab. Graphische Darstellung der Lösung:
x(t) =A0 cos(ωt + φ0)
= A0 cos(φ(t))
Wenn die Kraft auf einen Körper proportional zur Auslenkung aus
der Ruhelage ist, vollführt er eine harmonische Schwingung.
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Anderes Beispiel: Schwerependel
Idealfall „mathematisches Pendel“: Punktmasse m, Faden masselos
(sonst: „physikalisches Pendel“)
Die Schwerkraft FG= mg wird zerlegt in F´ (wird durch
Fadenspannung FFaden kompensiert) und Ftangential =
=sin α·mg ≈ α · mg (kleine Auslenkung).
Diese bewirkt eine Beschleunigung d2x/dt2 = ℓ·d2α/dt2:
m·ℓ·d2α/dt2 = α·m·g
d2α/dt = (g/ℓ)·α
Lösung: α = α0 ·cos ωt
(Newton II),
F´ = -FFaden
Einsetzen in obige Differenzialgleichung ergibt:
ω=
Bogenstrecke dx = ℓ·α,
d2x
d 2α
= l⋅ 2
dt 2
dt
g
l
l hängt also
g
nicht von der Masse ab, nur von der Fadenlänge.
Die Schwingungsdauer T = 2π/ω =2π
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Gedämpfte Schwingung
Zusätzlich zur Rückstellkraft (-D·x) wirkt eine Reibungskraft (-γ·v=- γ·dx/dt)
z.B. Stokesche Reibung bei Schwingung in Flüssigkeit oder Gas.
Kräftegleichung (Differentialgleichung)
d 2 x  dx 
M 2 + γ  + Dx = 0
dt
 dt 
Ansatz: x(t) = A0e-δt cos(ω t + φ0)
Diese Funktion erfüllt die Gleichung und ergibt δ=γ/(2M) und ω =
D
− δ 2 = ω02 − δ 2
M
Im Vergleich mit der ungedämpften Schwingung (s.o., ω = ω0 = D / M
ist die Schwingung langsamer und nimmt exponentiell ab.
Versuch Sandpendel
mit Styroporplatte
)
„Einhüllende“ e-δt mit „Dämpfungsfaktor“ δ
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Starke Dämpfung
Obige Lösung gilt für schwache Dämpfung (ω0 > δ). Bei stärkerer
Dämpfung schwingt das System nicht mehr, sondern „kriecht“
zum Nullpunkt.
Kriechfall
Anwendungen des
aperiodischen
Grenzfalls:
Stoßdämpfer,
Anzeigegeräte
D
− δ2 < 0
m
D
− δ2 = 0
m
D
− δ 2 > 0 (gedämpfte
m
Schwingung)
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Erzwungene (gedämpfte) Schwingung
Treibende periodische Kraft mit Kreisfrequenz ω
x1(t)
x1(t)
x(t)
x(t)
Bewegungsgleichung:
d 2 x  dx 
M 2 + γ  + Dx = F1 ⋅ cos(ωt )
dt
 dt 
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Lösung x(t) = A2·cos(ωt – φ2) für t >> Einschwingzeit
Nach Einschwingvorgang verblüffend einfach:
• Schwingung mit anregender Frequenz ω
• Amplitude und Phase abhängig von relativer Anregungsfrequenz
(und Dämpfung)
Phasenverschiebung φ2 gegenüber der
Auslenkung der Anregung
2γω
tan ϕ2 = 2
ω0 − ω 2
Maximale Auslenkung
kleine Dämpfung
große Dämpfung
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Das Phänomen Resonanz
Bei erzwungenen Schwingungen reichen kleine Kräfte aus, um mit der Zeit sehr
große Amplituden zu erzeugen.
Voraussetzung: Antriebsfrequenz ganz nahe an Resonanzfrequenz ω0 und
schwache Dämpfung.
→ Auto mit kaputten Stoßdämpfern
(siehe Diagramm auf voriger Seite)
(d.h. Schwingung läuft
der Kraft um 90° = π/2
hinterher)
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Anharmonische periodische Vorgänge
Viele periodische Vorgänge kann man nicht durch eine einzelne Sinus- oder
Kosinusfunktion beschreiben, obwohl die Bewegung einen definierte Periode
(T = 1/f0 = 2π/ω0) besitzt.
Mathematisch kann man aber beweisen (Fourier-Theorem), dass ein periodischer Vorgang durch eine Summe (Überlagerung) von (i. A.) sehr vielen harmonischen Teilschwingungen (sin(ωnt), cos(ωnt) mit ωn=n · ω0) beschrieben werden
kann:
x(t ) = a 0 + a 1 cos (ω 0 t )+ a 2 cos (2 ⋅ω 0 t ) + ... b1 sin (ω 0 t ) + b 2 sin (2 ⋅ω 0 t ) + ...
Fourieranalyse: Zerlegung einer periodischen Funktion in diese Teilschwingungen
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Überlagerung von Schwingungen ähnlicher Frequenz
führt zu Amplitudenmodulationen bzw. Schwebungen
5 Perioden
5.5 Perioden
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Versuch: gekoppelte Pendel
Durch die schwache Federkopplung wirkt eine erzwingende Kraft F2
auf das zunächst ruhende Pendel. Nach mehreren Schwingungen
nimmt die Amplitude von x1(t) ab, während m2 mit wachsender Amplitude
schwingt, bis m1 still steht. Dann wiederholt sich der Vorgang in umgekehrter
Richtung, d.h. die Schwingungsenergie wechselt periodisch von Pendel 1
zu Pendel 2.
Jedes Pendel vollführt somit eine Schwebung. Diese läßt sich als Überlagerung
von 2 Schwingungen mit leicht verschiedenen Frequenzen darstellen.
→ sogenannte „Eigenschwingungen“.
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Gekoppelte Oszillatoren
z.B. 2 Schwerependel mit zwischengespannter Feder.
Es gibt zwei Schwingungsmoden („Eigenschwingungen“):
Überlagerung beider Schwingungsmoden ergibt Schwebung:
Oszillation wechselt von
einem Pendel zum anderen
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