II. Geometrie. 3. Die pythagoräische Geometrie.

II. Geometrie.
3. Die pythagoräische Geometrie.
Neben der Zahlenlehre haben sich die Pythagoräer
auch mit Geometrie beschäftigt. Schließlich ist ja der
bekannte Satz des Pythagoras eng mit ihrem Namen
verbunden.
Eine ganz besondere Bedeutung hatte für die Pythagoräer, wie schon erwähnt, das regelmäßige Fünfeck,
das sog. Pentagon. Damit wollen wir uns jetzt beschäftigen.
Man vermutet, dass das Studium des Pentagons die
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
2
I. Elementare Mathematik 1
Pythagoräer wahrscheinlich zur Entdeckung des Irrationalen gebracht hat. Eine Entdeckung die gleichzeitig eine ”Grundlagenkrise” ihrer eigenen Philosphie
ausgelöst haben muss, die ja von dem Grundsatz ausgegangen ist, dass ”alles Zahl” d.h. alles ”rational”
ist.
Wechselwegnahme im Pentagon
Die Pythagoräer haben nämlich entdeckt, dass (im
rechten Pentagon) die beiden einmal gestrichenen
Strecken gleich sind (Euklid, XIII,8). Also ist (im
unteren Pentagon) BA = BD. Weiter sind alle vier
eingezeichneten Winkel (im unteren Pentagon) gleich,
denn (wie wir später sehen werden) teilen die Diagonalen jeden Winkel des Fünfecks in drei gleiche Teile.
Demnach bildet ∆ACF ein gleichschenkliges Dreieck.
Insbesondere ist AC = CF. Damit haben wir die
folgende (geometrische)
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
§3 Pythagoräische Geometrie
3
Wechselwegnahme im Pentagon:
A
B
C
D
E
F
Wechselwegnahme im Pentagon
(BE,BA)
(BE − BA,BA)
(BE − BD,BA)
(DE,BD)
(DE,BD − DE)
(DE,BD − BC)
(DE,CD)
(DA,CD)
(CA,CD)
(CF,CD)
Die Wechselwegnahme von (Diagonale,Seite) des großen Fünfecks führt so zur Wechselwegnahme von (Diagonale,Seite) des kleinen Fünfecks. Der Prozess wieKlaus Johannson, Elementare Mathematik 1
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I. Elementare Mathematik 1
derholt sich und kommt niemals zum Halten. Er findet
also kein gemeinsames Maß. Es folgt, dass Diagonale
und Seite des Fünfecks kein gemeinsames Maß haben
können; ihr Verhältnis ist irrational. Man glaubt, dass
die Pythagoräer auf diese Weise das Irrationale entdeckt haben.
Philosophische Konsequenz: Die Existenz der Irrationalen konnten die griechischen Philosophen nun
heranziehen, um zu beweisen, dass eine Atomlehre, wie
etwa die von Demokrit, nicht richtig sein kann, denn
die Existenz von Irrationalen schließt die Existenz von
kleinsten Ausdehnungen (Atome) aus. Um dies aber
auf ein wissenschaftliches Fundament zu stellen, muss
man die Existenz des Fünfecks beweisen. Wann existiert das Fünfeck. Antwort der Pythagoräer: Wenn
es mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann.
In diesem Kapitel wird die Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks mit Hilfe von Zirkel und Lineal gezeigt.
Diese Konstruktion geht zurück auf die Pythagoräer
(die ja sogar die fünf platonischen Körper konstruiert
haben). Sie findet sich, nach einer Reihe von vorbereitenden Sätzen, als Aussage §11 in [Euklid, Die Elemente].
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
§3 Pythagoräische Geometrie
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Einige Winkel-Sätze im Kreis.
Satz. [ Euklid, III, §20 ] In der folgenden Figur ist
6
BEC = 26 BAC.
A
E
B
F
C
Der Mittelpunktswinkel ist das Doppelte aller Umfangswinkel
Beweis. Wir haben
180o = 6 AEB + 6 BEF und
180o = (6 BAE + 6 ABE) + 6 AEB
= 26 BAE + 6 AEB (da 6 BAE = 6 ABE)
Also
180o = 26 BAE + (180o − 6 BEF )
und so
26 BAE = 6 BEF. ♦
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6
I. Elementare Mathematik 1
Satz. [ Euklid, III, §21 ] Umfangswinkel über derselben
Sehne sind gleich.
D
C
A
B
Alle Umfangswinkel sind gleich
Beweis.
Die Umfangswinkel 6 ADB und 6 ACB) sind beide
halb so groß wie der Mittelpunktswinkel über derselben Sehne AB (nach Euklid, III, §20].
Damit sind die Umfangswinkel gleich, d.h.
6
ADB = 6 ACB. ♦
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§3 Pythagoräische Geometrie
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Satz. [Euklid, III, §22] Für jedes Viereck im Kreis
ist die Summe von gegenüberliegenden Winkeln 180o .
B
C
A
D
Winkelsummen gegenüberliegender Winkel sind gleich zwei Rechte
Beweis. Wir haben
6
CAB + 6 ABC + 6 BCA = 180o
Weiter gilt (nach Euklid, III, §21])
6
6
ADB = 6 BCA
BDC = 6 CAB
und somit
6
ADC = 6 ADB + 6 BDC
= 6 BCA + 6 CAB
⇒
6
ADC + 6 ABC = 6 BCA + 6 CAB + 6 ABC
= 180o
♦
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Satz. [Euklid, III, §29] Sehnen gegenüber gleichen
Umfangswinkeln in gleichen Kreisen sind gleich, d.h.
6
BAC = 6 B ′ A′ C ′ ⇒ BC = B ′ C ′ .
C
C’
B
A’
D’
D
B’
A
Gleiche Sehnen bei gleichen Winkeln
Beweis. Sei 6 BAC = 6 B ′ A′ C ′ und seien D, D′
die Mittelpunkte der (gleichen) Kreise.
Dann haben wir
6
BDC = 6 B ′ D′ C ′ und
BD = B ′ D′ und CD = C ′ D′
und so
∆ABC = ∆A′ B ′ C ′
(nach dem Kongruenzsatz SWS).
Also insbesondere
BC = B ′ C ′ ♦.
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§3 Pythagoräische Geometrie
Tangenten.
Satz. [Euklid, III, 36a] Sei AD Strecke in einer Tangente und sei AB die Strecke durch den Mittelpunkt
des Kreises. Dann gilt:
AB · AC = AD2 .
D
A
C
P
B
Eine Tangenten Eigenschaft
Beweis.
AD2 = AP 2 − DP 2
= (AP + DP ) · (AP − DP )
= (AP + BP ) · (AP − CP )
= AB · AC. ♦
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Satz. [Euklid, III, 36b] AB · AC = AF 2 .
P
B
K
C
A
F
Eine verallgemeinerte Tangenten Eigenschaft
Beweis.
AB · AC = (AK + KC) · (AK − KC)
= AK 2 − KC 2 .
⇒ AB · AC + KC 2 = AK 2
AB · AC + (KC 2 + KP 2 ) = AK 2 + KP 2
AB · AC + P C 2 = AP 2
AB · AC + P F 2 = AP 2
AB · AC + P F 2 = AF 2 + P F 2
AB · AC = AF 2 . ♦
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§3 Pythagoräische Geometrie
Satz. [Euklid, III, 36c] Seien B, C und B ′ , C ′ die
Schnittpunkte zweier Geraden, die durch den Punkt A
gehen, mit dem Kreis. Dann gilt
AB · AC = AB ′ · AC ′ .
B’
C’
B
C
A
F
Eine Invariante am Kreis
Beweis.
AB · AC = AF 2
= A′ B ′ · A′ C ′ . ♦
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I. Elementare Mathematik 1
Satz. [Tangenten Kriterium] [ Euklid, III, §37 ]
In der unteren Figur gilt
BA · BC = BD2 ⇒
BD ist tangential zum Kreis.
D
A
C
F
B
E
Das Tangenten Kriterium
Beweis. [ Euklid, III, §37 ] Wir ziehen, als Hilfslinie,
die Tangente von B nach E. Dann ist
BA · BC = BE 2 (Euklid, III, §36)
BA · BC = BD2 (nach Voraussetzung)
und so
BE = BD
Also
△BF E = △BF D
(nach Kongruenzsatz SSS). Insbesondere
6
BDF = 6 BEF = 90o . ♦
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§3 Pythagoräische Geometrie
Satz. [ Euklid, III, §32 ]
6
A
13
DBE = 6 BCD.
D
C
E
F
B
Tangentenwinkel
Beweis. Wir haben
6
DBF = 6 BAD.
(die Schenkel der Winkel stehen paarweise aufeinander
senkrecht) und
6
6
DBF + 6 DBE = 180o ,
BAD + 6 BCD = 180o ,
(nach Euklid, III, §22)
Also insgesamt
6
DBF + 6 DBE = 6 BAD + 6 BCD
= 6 DBF + 6 BCD
Demnach
6
DBE = 6 BCD. ♦
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
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I. Elementare Mathematik 1
Konstruktion des Pentagons.
Den Griechen waren im Prinzip an der Konstruktion
aller regulären Polygone interessiert. Die Konstruktion von 3-Eck, 4-Eck und 6-Eck ist natürlich einfach.
Die erste wirklich schwierige Aufgabe ist die Konstruktion des 5-Ecks. Mit der Konstruktion des 7-Ecks sind
die Griechen nicht zu Rande gekommen. Nicht ohne
Grund. Man kann nämlich beweisen, dass das 7-Eck
nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann.
Die Konstruktion des Pentagons (= 5-Eck) ist äquivalent zur Konstruktion eines ”Basisdreicks”, d.h. zur
Konstruktion eines gleichschenkligen Dreiecks
∆(A, B, C) dessen Basiswinkel an den Ecken A, B
doppelt so groß sind wie der Winkel an der Spitze C:
C
A
B
Das Basisdreieck für das Fünfeck
denn dann ist 5 · 6 ACB = 5 · 72o = 360o .
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
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§3 Pythagoräische Geometrie
Konstruktion des Basisdreiecks.
Aufgabe. Man teile eine Strecke AB mit einem
Punkt C so dass AB · BC = AC 2 .
B
G
H
C
D
E
A
F
Konstruktion. [ Euklid, II, §11 ]
(1) Konstruiere das Quadrat, BD, über AB.
(2) Halbiere die Seite AD durch den Punkt
E.
(3) Trage die Strecke EB als EF ab.
Beh. F D · F A + AE 2 = EF 2 .
Dies wird wie folgt mit Hilfe eines ”Gnomons” (schattiert) gezeigt:
P
Q
R
K
L
M
N
F
A
E
D
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
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I. Elementare Mathematik 1
AE = ED
⇒M D = LE = P L
⇒KD = M D + KE = F D · F A = Gnomon
⇒F D · F A + EA2 = Gnomon + EA2 = F E 2 . ♦
Beh. Die Strecke AC = AF ist die gesuchte Lösung.
Betrachte das Diagramm der Aufgabe. Nach voriger
Beh. gilt:
F D · F A + AE 2 = EF 2
F D · F A + AE 2 = EB 2
F D · F A + AE 2 = BA2 + AE 2
F D · F A = BA2
F D · F G = BA2
Man nehme nun das Rechteck CD sowohl vom Rechteck HD als auch vom Quadrat BD weg und erhält:
BC · BA = BC · CG = F A2 = AC 2
und damit ist C der gesuchte Punkt.
♦
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
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§3 Pythagoräische Geometrie
Aufgabe. Konstruiere das Basisdreieck.
Konstruktion.
(1) Ziehe den Kreis mit Radius AB.
(2) Konstruiere C auf AB mit AB · BC = AC 2 .
(3) Konstruiere die Sehne BD mit BD = AC.
B
C
A
D
Konstruktion des Basisdreiecks
Beh. Das Dreieck ABD ist ein Basisdreieck.
Beweis. [Euklid, IV, §10] Wir müssen zeigen, dass
26 BAD = 6 ABD.
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
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I. Elementare Mathematik 1
Wir beweisen diese Behauptung unter der folgenden
Winkel Annahme
6
BDC = 6 CAD.
B
C
A
6
Es gilt:
D
BCD + 6 ACD = 180o = 6 CAD + 6 ACD + 6 ADC
6
und so
6
BCD = 6 CAD + 6 ADC
= 6 BDC + 6 ADC = 6 CBD
BCD = 6 CBD. Aber dann ist
CD = BD = AC (nach Konstruktion)
und deshalb
6
CAD = 6 ADC und 6 CAD = 6 BDC.
Also
26 CAD = 6 ADB
Damit ist mit △ABD das gesuchte Basisdreieck konstruiert. ♦
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
§3 Pythagoräische Geometrie
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Wir müssen jetzt noch den Beweis der Winkel Annahme
6 BDC = 6 CAD
nachtragen.
Der Beweis der Winkel Annahme benutzt einen Trick.
Der Trick besteht darin, die Winkel-Annahme als einen Satz über Winkel im Kreis zu formulieren, aber
in einem Kreis der verschieden ist von dem bisher benutzten.
Zum Beweis konstruieren wir also einen neuen Kreis
und zwar den Kreis durch die drei Punkte A, C, D
(wie konstruiert man dies mit Zirkel und Lineal?
Übung)
B
C
A
D
Zum Beweis der Winkel-Annahme
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
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I. Elementare Mathematik 1
Die entscheidende Eigenschaft, die uns weiterbringt,
ist die folgende
Beh. BD ist Tangente zum Kreis ACD.
Beweis der Beh. Wir haben
AB · BC = AC 2 = BD2
Also folgt die Behauptung aus dem Tangenten Kriteriums [Euklid, III, §37].
Somit folgt die Winkelannahme aus [Euklid, III, §32].
Damit ist alles bewiesen, d.h. das Basisdreieck (und
somit das Pentagon) ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar. ♦
Literatur.
Euklid, Elemente, Wissenschaftliche Buchgesellschaft
1981
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1