Übungen zur Vorlesung

UNIVERSITÄT DORTMUND
Wintersemester 2013/14
Fakultät Statistik
23.01.2014
Prof. Dr. Jörg Rahnenführer
Dipl.-Math. Eugen Rempel
Übungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik
Musterlösung Übungsblatt 6
Aufgabe 19: Exponentialverteilung
Sei X eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter λ.
(a) Sei λ = 1. Bestimmen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:
P (X ≥ 2), P (X ≥ 2.5), P (X ≥ 17|X ≥ 15), P (X ≥ 7.5|X ≥ 5).
Für eine Exponentialverteilung mit λ = 1 ist
F (x) = P (X ≤ x) = 1 − exp {−x}.
Die Wahrscheinlichkeiten lassen sich also wie folgt berechnen:
P (X ≥ 2) = P (X > 2) = 1 − P (X ≤ 2) = 1 − F (2) = 1 − (1 − exp {−2}) ≈ 0.1353,
P (X ≥ 2.5) = P (X > 2.5) = 1 − P (X ≤ 2.5) = 1 − F (2.5) = 1 − (1 − exp {−2.5}) ≈ 0.0821,
P (X ≥ 17) ∩ P (X ≥ 15)
P (X ≥ 17)
exp {−17}
P (X ≥ 17|X ≥ 15) =
=
=
= exp {−2},
P (X ≥ 15)
P (X ≥ 15)
exp {−15}
P (X ≥ 7.5) ∩ P (X ≥ 5)
P (X ≥ 7.5)
exp {−7.5}
P (X ≥ 7.5|X ≥ 5) =
=
=
= exp {−2.5}.
P (X ≥ 5)
P (X ≥ 5)
exp {−5}
(b) Weisen Sie für allgemeines λ die „Gedächnislosigkeit“ der Exponentialverteilung nach. Zeigen Sie also
für beliebiges x > 0 und h > 0:
P (X > x + h|X > x) = P (X > h).
P (X > x + h, X > x)
P (X > x + h)
=
P (X > x)
P (X > x)
1 − F (x + h)
1 − (1 − exp {−(λ (x + h))})
=
=
1 − F (x)
1 − (1 − exp {−(λ (x)})
exp {−(λ (x + h))}
=
= exp {−λ x − λ h − (−λ x)}
exp {−(λ (x)}
= exp {−λ h} = 1 − (1 − exp {−λ h})
P (X > x + h|X > x) =
= 1 − F (h) = P (X > h).
Aufgabe 20: Erwartungswert und Varianz
Berechnen Sie die Erwartungswerte und Varianzen der durch die folgenden Dichten gegebenen Verteilungen:
(a)
1
1
2 {x=2}
+ 13 1{x=6} +
1
1
12 {x=−3}
+
1
1
,
12 {x=3}
x ∈ Z.
Es gilt:
X
E(X) =
p(xj ) · xj .
xj ∈{2,6,−3,3}
Also:
1
1
1
1
E(X) =
·2 +
·6 +
· (−3) +
·3
2
3
12
12
1 1
= 1 + 2 − + = 3.
4 4
Weiter gilt:
Var(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 .
Berechne zunächst:
1 2
·2
2
1 2
E(X ) =
+
·6
3
9
9
= 2 + 12 +
+
12 12
3
31
= 14 + = .
2
2
2
Damit gilt:
Var(X) =
+
1
· (−3)2
12
31
31 − 18
13
− 32 =
=
2
2
2
+
1
· 32
12
(b) f (x) = 6 x (c − x), x ∈ [0, c] mit c > 0 , c ∈ R.
∞
Z c
(6 cx2 − 6x3 ) dx
E(X) =
x · 6 x (c − x)1[0,c] (x) dx =
−∞
0
Z c
1 3 1 4 c
2
3
(cx − x ) dx = 6 cx − x
= 6
3
4
0
0
1 4 1 4
6 4 1 4
= 6 c − c = c = c .
3
4
12
2
Z
∞
Z c
(6 cx3 − 6x4 ) dx
x2 · 6 x (c − x)1[0,c] (x) dx =
0
−∞
c
Z c
1
1
= 6
(cx3 − x4 ) dx = 6 cx4 − x5
4
5
0
0
6 5
3 5
1 5 1 5
= 6 c − c = c = c .
4
5
20
10
E(X 2 ) =
Z
3
⇒ Var(X) = E(X ) − [E(X)] = c5 −
10
2
2
1 4
c
2
2
5
=c
3
1 3
− c .
10 4
(c) Sei X ∼ Poi(λ) (Poisson-Verteilung). Zeigen Sie: E(X) = λ und Var(X) = λ.
Für die Dichte der Poisson-Verteilung gilt:
p(x) = exp {−λ}
E(X) =
∞
X
∞
x · exp {−λ}
x=0
= λ·
λx
x!
∞
X
exp {−λ}
x=1
λx X
λx
=
x · exp {−λ}
x!
x!
x=1
(x−1)
λ
(x − 1)!
=λ·
∞
X
exp {−λ}
x=0
λx
= λ · 1 = λ.
x!
Die vorletzte Gleichheit gilt, da es sich um eine Dichte handelt.
E(X 2 )
=
(∗)
=
=
∞
X
∞
X
λx
λx
= exp {−λ}
x2 ·
x!
x!
x=0
x=0
∞
X
λx
λx
exp {−λ}
x·
+ (x − 1) x
x!
x!
x=0
X
∞
∞
X
λx
λx
exp {−λ}
+
(x − 1)!
(x − 2)!
x2 · exp {−λ}
=
exp {−λ} λ
=
2
x=1
∞
X
x=2
λ(x−1)
(x − 1)!
|x=1 {z
}
exp {λ}
λ+λ
mit (∗) x + (x − 1) x = x + x2 − x = x2 .
+ exp {−λ} λ2
∞
X
λ(x−2)
(x − 2)!
|x=2 {z
}
exp {λ}
⇒ Var(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 = λ + λ2 − (λ)2 = λ.
Aufgabe 21: Tschebyscheff-Ungleichung
Seien X1 , . . . , Xn unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2 = 1.
P
Zur Schätzung von µ wird das Stichprobenmittel X̄n := n1 ni=1 Xi gebildet. Beantworten Sie mit Hilfe von
der Tschebyscheff’schen Ungleichung die folgenden Fragen:
(a) Wie viele Beobachtungen n müssen erhoben werden, damit der Mittelwert X̄n mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0.95 höchstens um c = 0.5 vom Erwartungswert abweicht?
Hinweis: Berechnen Sie zunächst den Erwartungwert und die Varianz von X̄n .
Zunächst gilt:
n
E(X̄n ) =
1X
1
E(Xi ) = n µ = µ.
n
n
i=1
X
n
1
n
σ2
Var(X̄n ) = 2 Var
Xi = 2 Var(Xi ) =
n
n
n
i=1
.
Mit der Ungleichung von Tschebyscheff gilt:
P (|X̄n − µ| > )
≤
σ2
n
2
=
σ2
n 2
σ2
n 2
σ2
⇔ P (|X̄n − µ| ≤ ) ≥ 1 −
n 2
⇔ 1 − P (|X̄n − µ| ≤ ) ≤
mit =c=0.5,σ 2 =1
⇒
P (|X̄n − µ| ≤ 0.5) ≥ 1 −
⇔
n = 80.
4
1
= 1 − = 0.95
n
n
1
4
(b) Wie viele Beobachtungen n müssen erhoben werden, damit der Mittelwert X̄n mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0.99 höchstens um c = 0.5 vom Erwartungswert abweicht?
1−
4 !
= 0.99
n
⇔
n = 400.