Klassische Elektrodynamik - Greiner, ReadingSample - Beck-Shop

Klassische Elektrodynamik
von
Walter Greiner
7., überarb. Aufl.
Klassische Elektrodynamik – Greiner
schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG
Harri Deutsch 2008
Verlag C.H. Beck im Internet:
www.beck.de
ISBN 978 3 8171 1818 2
328
IV Elektrodynamik
übrig. Der Druck, der von der Welle im zeitlichen Mittel ausgeübt wird, ist damit
μ ω 1/2 1 ∞
|
F|
σ
2ω
√
p=
= 2A2
exp −
κ z dz
ΔF
c
σπ
c
2 2
μ ω 1/2 1
σ
c
√ ·
.
= A2
c
σπ
2
ω
κ
2
0
Es ist κ = (2π μ σ · ω −1 )1/2 . Damit ergibt sich für den Druck p = A2 /(4π ). Der Druck
ist also unabhängig von der Beschaffenheit des Materials und der Frequenz der Welle.
Aufgabe 17.2
18
Hohlleiter und Hohlraumresonatoren
Wir untersuchen die Ausbreitung elektromagnetischer
Wellen in Hohlleitern und Hohlraumresonatoren, d. h. in
hohlen, zylinderförmigen Metallkörpern. Der Metallkörper hat überall den gleichen Querschnitt, und seine Oberfläche wird als idealer Leiter angenommen. Ist der Körper
geschlossen, spricht man von einem Hohlraumresonator,
ist er an den Enden offen, so wird er als Hohl- oder
Wellenleiter bezeichnet. In dem Zylinder befinde sich ein
homogenes Material mit der Dielektrizitätskonstanten ε
und der Permeabilität μ .
z
x
ε,μ
y
Mit einer Zeitabhängigkeit e− iω t des elektromagnetischen Feldes im Inneren des Zylinders nehmen die Maxwellgleichungen die folgende Gestalt an:
Ein Hohlleiter.
∇ × E = i ω B,
∇ · E = 0,
∇ × B = − iμ ε ω E ,
∇ · B = 0.
c
c
(18.1)
In diesen Gleichungen sind E und B noch miteinander gekoppelt. Wir bilden nochmals die Rotation und erhalten nach Umformungen die aus Kapitel 16 bekannten
Wellengleichungen (siehe Gl. (16.5a), (16.5b)):
∇2
E + με
ω2
E = 0,
∇2B + μ ε
ω2
B = 0.
(18.2)
c2
Aufgrund der Zylindersymmetrie des Problems erwarten wir in positiver und
negativer z-Richtung laufende Wellen oder entsprechende stehende Wellen:
E (x, y, z, t) = E (x, y)
± ikz− iω t
,
(18.3)
B(x, y, z, t) = B(x, y) e
c2
wobei die Wellenzahl k ein noch unbekannter reeller oder komplexer Parameter ist.
18 Hohlleiter und Hohlraumresonatoren
329
Mit diesem Ansatz vereinfacht sich die Wellengleichung (18.2), wenn wir den
Differentialoperator ∇2 umschreiben:
2
∂
∂2
∂2
∇2 =
+
+
= ∇2t + ∇2z ,
∂x2
∂y2
∂z2
E -Feld
wobei ∇2t der transversale Teil des Operators ist. Dann erhalten wir für das (entsprechend auch für B):
ω2
ω2
∂2
∇2 + μ ε 2 E = ∇2t + 2 + μ ε 2 E (x, y) · e± ikz− iω t
c
∂z
c
ω2
2
2 = ∇t + μ ε 2 − k E (x, y) · e± ikz− iω t = 0.
c
Diese Gleichung muß für alle t und alle z gelten, so daß
ω2
∇2t + μ ε 2 − k2 E (x, y) = 0
(18.4)
c
gilt. Wir zerlegen das Feld in eine Komponente parallel zur z-Achse und eine
senkrecht dazu
E = Ez + Et ,
B = Bz + Bt .
(18.5)
Jetzt zeigen wir, daß es genügt, die z-Komponenten des E - und B-Feldes zu kennen,
da sich die Transversalkomponenten durch sie darstellen lassen. Nach Gleichung
(18.1) gilt nämlich
∇ × E = iω B,
c
und unter Verwendung von (18.5) folgt
∇t + ∇z × Et + Ez = iω Bt + Bz .
c
Es ist nun
z × E
z = ∂Ez · ez × ez = 0.
∇
∂z
Die beiden Terme ∇t × Et und Bz sind die einzigen Vektoren in z-Richtung, so daß
wir komponentenweise aufspalten können:
t × Et = iω Bz ,
z × Et + ∇
t × E
z = iω Bt .
∇
∇
(18.5a)
c
c
Die letzte Gleichung multiplizieren wir vektoriell von links mit ∇z , was uns auf
iω z × Et + ∇z × ∇
t × Ez
∇z × Bt = ∇z × ∇
c
führt. Lösen wir die beiden zweifachen Vektorprodukte, dann ergibt sich dafür
∇z × ∇
z × Et = ∇z ∇
z · Et − ∇
z · ∇
z Et ,
∇z × ∇
t × Ez = ∇t ∇
z · Ez − ∇
z · ∇
t Ez .
330
IV Elektrodynamik
Zwei der Klammern sind Null, weil sie das Skalarprodukt zwischen orthogonalen
Vektoren darstellen. Damit erhalten wir die Gleichung
∂Ez
iω −∇2z =
Et + ∇t
∇z × Bt .
∂z
c
Nach Gleichung (18.3) gilt
∂2 −∇2z Et = − 2 Et (x, y) · e± ikz− iω t = k2
Et
∂z
und wir erhalten
k2
Et + ∇t
∂Ez
=
∂z
iω ∇z × Bt .
c
(18.6)
Entsprechend verfahren wir mit der zweiten Maxwellgleichung aus (1):
∇ × B = − iω μ ε E ,
c
die wir ebenfalls in ihren transversalen und longitudinalen Anteil aufspalten, was
t × Bt + ∇
t × Bz + ∇
z × Bt + ∇
z × Bz = − iω μ ε Et − iω μ ε Ez
∇
c
c
ergibt. Nach den gleichen Überlegungen reduziert sich die Gleichung auf
t × B
z × Bt − iω μ ε Et ,
z = −∇
∇
c
vgl. die zweite Gleichung (18.5a).
(18.7)
In Gleichung (18.6) wird die rechte Seite durch Gleichung (18.7) ersetzt:
∂Ez
iω ω2
2
k Et + ∇t
=− ∇
t × Bz + 2 μ ε Et .
∂z
c
c
Et auf, so folgt
Lösen wir nach 2
ω
∂
iω 2 μ
ε
−
k
E
=
∇
∇t × Bz .
E
+
t
t
z
c2
∂z
c
Setzen wir
ω2
c2
μ ε − k2 = 0 voraus, so ergibt sich nach Division die Gleichung
1
Et =
ω2
∇t ∂Ez − iω ez × ∇t Bz
∂z
c
(18.8a)
−k
c2
und vollkommen analog
1
∇t ∂Bz + iω μ ε ez × ∇t Ez .
Bt =
(18.8b)
∂z
c
ω2
2
με 2 − k
c
Die Transversalkomponenten werden also durch die longitudinalen Komponenten
vollständig bestimmt. Wir brauchen also nur die z-Komponente der Gleichung
με
2
18 Hohlleiter und Hohlraumresonatoren
331
(18.4) (bzw. der entsprechenden Gleichung für B) zu betrachten. Im folgenden
werden wir sehen, daß der gerade ausgeschlossene Fall ω 2 /c2 · μ ε − k2 = 0 durchaus auftreten kann. Er entspricht wegen der Dispersionsrelation für elektromagnetische Wellen gerade dem Fall einer nur in z-Richtung propagierenden Welle.
Solche Wellen können keine z-Komponenten des elektrischen oder magnetischen
Feldes haben, Ez = Bz = 0 (transversal elektromagnetische Wellen), daher sind die
rechten Seiten der Gleichungen (18.8a), (18.8b) nicht unendlich, sondern einfach
mathematisch nicht definiert.
Randbedingungen: Da wir die Zylinderoberfläche O als idealen Leiter annehmen,
müssen dort die Randbedingungen (vgl. Kapitel 17)
n · B = 0,
n × E = 0
erfüllt sein, wenn n der Normaleneinheitsvektor auf der Oberfläche ist (da wir
Oberflächenladungen und -ströme zulassen wollen, sind keine unmittelbaren Aussagen über Dn und Ht möglich). Diese Bedingung ist gleich der Forderung
Ez |O = 0,
(n · Bt )|O = 0.
Setzen wir in die zweite Gleichung Bt aus Gleichung (18.8b) ein, so wird
ω
1
∂Bz
(n · Bt )O = n ·
∇t
+ iμ ε (ez × ∇t )Ez 2
∂
z
c
ω
O
μ ε 2 − k2
c
1
∂Bz =
n · ∇t
= 0,
∂z O
ω2
μ ε 2 − k2
c
weil ez × ∇t Ez tangential zur Oberfläche O steht und deshalb n · (ez × ∇t Ez ) = 0 ist.
Damit ergibt sich für Bz die Bedingung
∂Bz ∂ ∂Bz ∂ ∂Bz ∂Bz n · ∇t
=0⇒
=
= 0,
= 0.
∂z ∂n ∂z ∂z ∂n ∂n O
O
O
O
Der letzte Schritt wird verständlich, wenn man bedenkt, daß die ganze z-Abhängigkeit der Welle von der Form Bz = Bz (x, y) · e i(kz−ω t) sein muß und daher ∂Bz /∂z =
ikBz ist.
Klassifizierung der Felder in Hohlleitern: TM-, TE- und TEM-Wellen: Die
zweidimensionale Wellengleichung (18.4) für Ez und Bz zusammen mit den Randbedingungen für Ez und Bz an der Zylinderoberfläche bilden ein Eigenwertproblem
(vgl. das Problem der schwingenden Membran aus der MechanikII).
Für eine gegebene Frequenz ω gibt es nur bestimmte axiale Wellenzahlen k, die
die Differentialgleichung und die Randbedingungen erfüllen (Wellenleiter), oder
für eine gegebene Wellenzahl k sind nur bestimmte Frequenzen zugelassen (Hohlraumresonator). Im allgemeinen können nicht beide Randbedingungen gleichzeitig
332
IV Elektrodynamik
erfüllt werden, weil die Randbedingungen unterschiedlich sind, obwohl die Eigenwertgleichungen formal übereinstimmen. Je nach den erfüllten Randbedingungen
unterscheidet man die Felder
transversal magnetisch TM: Bz = 0 überall, Ez |O = 0,
∂Bz transversal elektrisch TE: Ez = 0 überall,
= 0.
∂n O
Für TM-Wellen folgt die Randbedingung „Bz = 0 überall“ aus folgender Argumentation: Es gilt ohnehin stets ∂Bz /∂n|O = 0. Man muß aber auch Bz |O = 0
fordern, um die Randbedingung formal an die für das E-Feld anzupassen. Falls
aber Bz |O = 0 und ∂Bz /∂n|O = 0, so muß Bz überall verschwinden. Entsprechend
argumentiert man für TE-Wellen.
Im Spezialfall „Bz = Ez = 0 überall“ spricht man von transversal elektromagnetischen Wellen (TEM). Dann folgt aus den Gleichungen (18.8a) und (18.8b) für
γ2 ≡ με
ω2
c2
− k2 = 0
2
nur die triviale Lösung Bt = Et = 0. Wir müssen also μ ε ωc2 − k2 = 0 betrachten,
√
um nichttriviale Lösungen zu erhalten, d. h., für TEM-Wellen gilt k = μ ε · ωc .
Dies entspricht gerade der üblichen Dispersionsrelation für elektromagnetische
Wellen. Weil k als die Komponente des Wellenzahlvektors definiert wurde, die
für Propagation in z-Richtung steht (siehe Gl. (18.3)), ist also in diesem Fall
k = (0, 0, k), d. h., die Wellen propagieren ausschließlich in z-Richtung. Dak, E , B
ein Rechtssystem bilden, ist es fernerhin klar, daß Ez = Bz = 0 sein muß. Das ergibt
nämlich in den Gleichungen (18.8a) und (18.8b) den unbestimmten Ausdruck
0/0 (siehe Anmerkungen zu (18.8a), (18.8b)). Wir zeigen aber gleich, daß für
√
k = μ ε · ω /c und Bz = Ez = 0 (automatische Erfüllung der Randbedingungen)
E und B existieren.
transversale Lösungen der Maxwellgleichungen für TEM-Wellen erfüllen die Laplace-Gleichung in zwei Dimensionen (18.4):
Δ t
ETEM = 0
und
Δ tBTEM = 0.
(18.9a)
Wir zeigen, daß ETEM senkrecht auf BTEM steht. Aus der Maxwellgleichung folgt
sofort
ω
i BTEM = ∇ × ETEM = (∇t + ∇z ) × ETEM
c
= ∇t × ETEM +
∂
∂z
(ez × ETEM ).
Wegen Bz = 0 muß BTEM ein Vektor in der x, y-Ebene sein; das gleiche gilt für
ETEM . Dann ist aber ∇t × ETEM ein Vektor in z-Richtung. Da aber auf der linken
Seite der Gleichung nur ein Vektor in der x, y-Ebene liegt, folgt
∂
iω ∇t × ETEM = 0
und
(ez × ETEM) =
BTEM .
(18.9b)
∂z
c
18 Hohlleiter und Hohlraumresonatoren
333
Diese beiden Gleichungen folgen übrigens auch aus Gleichung (18.5a) mit
Ez = Bz = 0.
Daraus resultiert
BTEM = c · ∂ (ez × ETEM).
iω
∂z
(18.10)
ETEM darstellbar durch
Ist ETEM = E0 TEM e i(kz−ω t) ,
so erhalten wir
BTEM = c ik(ez × ETEM )
iω
und mit k = μ ε · ω /c folgt die Beziehung
BTEM = √μ ε (ez × ETEM ).
(18.11)
√
(18.12)
Zwischen dem elektrischen und dem magnetischen Feld besteht somit der gleiche
Zusammenhang wie bei der Ausbreitung einer Welle im unbegrenzten Medium.
Die Gleichungen (18.9a) und (18.9b) zeigen, daß ETEM und BTEM beide die
ETEM und BTEM aus skalaren
Laplace-Gleichung erfüllen. Es ist sogar so, daß Potentialen ableitbar sind, die auch wieder die Laplace-Gleichung erfüllen.
Da die Oberfläche des Leiters wegen der als unendlich
groß angenommenen Leitfähigkeit eine Äquipotentialfläche ist, kann die zweidimensionale Wellengleichung
nur trivial erfüllt werden, denn im Innern der Oberfläche
verschwindet E . Zur Ausbreitung eines TEM-Feldes ist
es notwendig, daß innerhalb des Leiters mindestens noch
eine zur z-Achse symmetrische Oberfläche geschaffen
wird, z. B. zwei konzentrisch kreisförmige Metallzylinder (Koaxialkabel).
a
b
TEM-Wellen können sich nur
in Koaxialkabeln ausbreiten.
Koaxialkabel
Beispiel 18.1
Ein Koaxialkabel kann eine reine TEM-Welle zusätzlich zu den TE- und TM-Wellen
übertragen, während in einem rohrförmigen Hohlleiter nur TE- und TM-Wellen transportiert
werden können. Für die TEM-Wellen gelten die Beziehungen:
√ ω
BTEM = √μ ε (ez × ETEM ).
k = με ,
Δ tETEM = 0,
sowie
c
Anstatt die Wellengleichung für E zu lösen, leiten wir das elektrische Feld aus einem
Potential φ ab. Das geht, weil ∇t × Et = 0, siehe Gleichung (18.9b), also
ETEM = (∇t φ ) e− i(ω t−kz) .
Nun lösen wir die Wellengleichung für φ :
Δ t φ = 0.
334
IV Elektrodynamik
Beispiel 18.1
In Polarkoordinaten umgeschrieben lautet die Laplace-Gleichung
2
1 ∂
1 ∂2
∂
+
+ 2 2 φ (, ϕ ) = 0.
2
y
∂
ρ
ϕ
R2
R1
x
mit
A=
∂ϕ
Auf dem inneren und äußeren Leiter ist das Potential jeweils
konstant: φ (R1 , ϕ ) = φ 1 und φ (R2 , ϕ ) = φ 2 . Da die Randbedingungen vom Azimutwinkel ϕ unabhängig sind, ist φ selbst
lediglich von abhängig. Die Wellengleichung vereinfacht sich
daher zu
∂φ
1 ∂
= 0.
∂
Veranschaulichung des Querschnittes
eines Koaxialkabels.
∂
∂
Ihre Lösung ist
φ () = A ln + B,
φ1 − φ2
φ ln R1 − φ 1 ln R2
;B = 2
,
ln R1 − ln R2
ln R1 − ln R2
wie man durch Einsetzen leicht beweist.
Die Feldkomponenten der TEM-Wellen lauten in
1. Zylinderkoordinaten
ETEM(, ϕ , z, t) = Ae e− i(ω t−kz) ;
BTEM(, ϕ , z, t) = √μ ε Aeφ e− i(ω t−kz) .
2. Kartesischen Koordinaten
A
(xex + yey ) e− i(ω t−kz) ;
x2 + y2
√
BTEM(x, y, z, t) = ε μ A (−yex + xey ) e− i(ω t−kz) .
x2 + y2
ETEM(x, y, z, t) =
Der Koeffizient A kann auch mit Hilfe des Maximalwertes eines Feldes E oder B auf dem
inneren oder äußeren Leiter ausgedrückt werden, wodurch die Kenntnis von φ 1 und φ 2
überflüssig wird. Der Koaxialleiter überträgt TEM-Wellen beliebiger Frequenzen mit der
Geschwindigkeit des Lichtes im Dielektrikum und eignet sich deshalb als Breitbandkabel
zur Übertragung breiter Frequenzbänder.
Falls der innere Leiter entfernt wird (R2 → 0), kann man B aus der Randbedingung
φ (R1 ) = φ 1 bestimmen. Das auf diese Weise erhaltene Potential φ () = A log(/R1 ) + φ 1
divergiert aber für = 0. Deshalb muß A Null sein. Das Potential wird konstant, d. h. es
gibt keine TEM-Wellen in Hohlleitern.
Die beiden Gleichungen (18.8a) und (18.8b) vereinfachen sich beträchtlich, wenn wir nur
TE- oder TM-Wellen betrachten. Wird die z-Abhängigkeit durch den Exponentialfaktor e ikz
gegeben, so werden die beiden Gleichungen für TM-Wellen gegeben durch
Bt = 1 iμ ε ω (ez × ∇t )Ez ,
Et = 1 ik∇t Ez ,
(1)
c
γ2
γ2
18 Hohlleiter und Hohlraumresonatoren
335
Beispiel 18.1 da Bz überall verschwindet. Zur Abkürzung
wurde γ 2
= με
· ω 2 /c2 − k2
gesetzt. Setzen wir
∇tEz aus der zweiten Gleichung in die erste ein, so vereinfacht sich Bt weiter zu
Bt = 1
2
γ
ω
γ2
iμ ε ez × Et
c
ik
=
μεω
ck
(ez × Et ).
Entsprechend folgt aus den Gleichungen (8a) und (8b) für TE-Wellen:
Et = − ω (ez × Bt ),
Bt = ik ∇t Bz ,
ck
γ2
(2)
da die Komponente Ez überall Null ist. Das wichtige Resultat dieser Betrachtungen ist
also, daß im Innern eines leitenden Rohres (Hohlleiter) reine Transversalwellen nicht mehr
möglich sind (TM, TE) außer für die speziellen TEM-Wellen. Die TM- und TE-Wellen haben
auch longitudinale Komponenten.
Die zweidimensionale Wellengleichung (18.4) gilt für jede der drei skalaren Vektorkomponenten, insbesondere für Ez und Bz . Zusammen mit den Randbedingungen bilden sie ein
Eigenwertproblem, nämlich
TM-Wellen:
(∇2t + γ 2 )Ez (x, y) = 0
TE-Wellen:
(∇2t + γ 2 )Bz (x, y) = 0
Ez |O = 0,
∂Bz = 0.
∂n O
Die Konstante γ 2 darf nie negativ werden, weil Ez und Bz Lösungen der Wellengleichung
sein müssen und auch den Randbedingungen genügen müssen. Wäre γ 2 negativ, so wäre
die Lösung eine Exponentialfunktion mit reellem Exponenten. Diese ist nicht periodisch
und kann die Randbedingung für positive und negative x, y-Werte nur trivial erfüllen. Zu
den positiven Eigenwerten γ λ2 erhalten wir eine Folge von Bzλ bzw. Ezλ , λ = 1, 2, . . . (die
explizite Lösung liefert γ als Funktion des Abmessungen des Kabels, siehe Beispiel 18.3).
Dann können wir aus (1) und (2) das TM- bzw. TE-Feld berechnen. Aus den Eigenwerten
γ λ2 bekommen wir für eine bestimmte Frequenz ω eine Wellenzahl k in Abhängigkeit von
λ . Aus γ λ2 = μ ε · ω 2 /c2 − k2 folgt
√
c2 γ λ2
c2 γ λ2
με
με
2
2
ω2 −
.
kλ = 2 ω −
,
kλ =
μ
ε
c
με
c
Wir setzen
E
c2 γ λ2
= ω λ2 , da dieser Ausdruck die Dimension einer Frequenz hat. Das liefert
√ με
ω 2 − ω λ2 .
kλ =
c
με
2
E
ω<ωλ
2
z
ω>ωλ
z
Abklingende und laufende TM- und TE-Wellen.
Die Wellenzahl kλ ist reell für ω ≥ ω λ und imaginär für ω < ω λ . Für imaginäre Wellenzahlen kλ erhalten wir als z-Abhängigkeit eine reelle Exponentialfunktion, d. h., die Welle klingt
336
IV Elektrodynamik
exponentiell ab: e i(kz−ω t) = e− iω t e−|k|z . Es können sich also nur Wellen der Frequenz
ω > ω λ im Wellenleiter fortpflanzen; ω λ stellt eine Grenzfrequenz dar. Die Abhängigkeit
der Wellenzahl kλ von der Frequenz ist in der Skizze dargestellt. Auf der Abszisse tragen
wir sowohl die Grenzfrequenzen ω λ als auch die laufende Frequenz ω , auf der Ordinate
kλ c 1
·
√
με
ω
auf. Es gilt die Beziehung
1
kλ c 1
·
=
√
kc 1
με ω
με
ω
ω 2 − ω λ2
ω
=
1−
ωλ
ω
2
,
k c 1
so daß für ω ω λ die linke Seite √λ · gegen 1 strebt.
με
ω1 ω2 ω3 ω4 ω5 ω6 ω
Abhängigkeit der Grenzfrequenzen ω λ
von der Frequenz ω und der Wellenzahl k .
ω
Aus der Skizze lesen wir ab, daß bei gegebener Frequenz ω
mit ω > ω 1 nur eine endliche Anzahl von Schwingungsmoden
sich in dem Wellenleiter ausbreiten können. Die Existenz einer solchen Frequenzschranke ist die Ursache dafür, daß die
Erscheinung nur im Hochfrequenzbereich auftritt. Die dazugehörige Wellenlänge muß kleiner als λ 1 = 2π ε /ω 1 ≈ a, die
Abmessung des Systems, sein, um durch das Rohr laufen zu
können (vgl. Beispiel 18.4). Auf dieser Eigenschaft beruht die
Hauptanwendung der Hohlleiter als Leiter von Mikrowellenfrequenzen (Telefon, Sender usw.).
Beispiel 18.1
Phasen- und Gruppengeschwindigkeit: Betrachten wir das Momentbild einer
sinusförmigen fortschreitenden Welle, so verstehen wir unter der Wellenlänge
λ den Abstand zweier Punkte, die zu jedem Zeitpunkt die gleiche Phase haben
und unter der Phasengeschwindigkeit genau die Geschwindigkeit, mit der sich
die Schwingungsphase ausbreitet. Ist T die Schwingungsdauer, so gilt für die
Phasengeschwindigkeit
vp =
λ
T
=
λω
ω
= .
2π
k
(18.13)
In der Natur haben wir es jedoch nie mit monochromatischen Wellen bestimmter
Frequenz und Wellenzahl zu tun, denn selbst bei scheinbar monochromatischen
Lichtquellen handelt es sich um – wenn auch sehr kleine – Frequenzspektren und
Wellenlängenbereiche.
Solche allgemeineren Wellenbewegungen lassen sich durch Superposition von
harmonischen Wellen beschreiben. Als Wellengruppe definieren wir einen Wellenzug von endlicher Länge (jeder Sender sendet nur endlich lange; der ausgesandte
Wellenzug ist endlich). Wellengruppen können sich entweder in periodischer Folge
wiederholen oder unperiodisch gestaltet sein.
18 Hohlleiter und Hohlraumresonatoren
337
Da in einem Medium mit Dispersion die Phasengeschwindigkeit von der Frequenz ω abhängt, weil die
Dielektrizitätskonstante eine Funktion der Frequenz ist,
ε = ε (ω ), sind die Phasengeschwindigkeiten der verschiedenen Wellen verschieden. Mit Fortschreiten der
Welle ändern sich ständig die Phasendifferenzen, die Gestalt der Wellengruppe ändert sich also auch.
Infolge der Dispersion bewegt sich irgendeine Marke des
resultierenden Wellenbildes, z. B. der höchste Wellenberg, nicht mit der durchschnittlichen Phasengeschwindigkeit der verschiedenen Wellenkomponenten, sondern
mit der Gruppengeschwindigkeit
dω
vg =
.
(18.14)
dk
vg
Ψ(x,t)
x
Wellengruppe ohne periodische Wiederholung. Sie entsteht durch Überlagerung
sehr vieler ebener
Wellen
ψ (x , t ) = c (k ) e i(k x −ω t ) dk
(vgl. Bd. 1 Mechanik).
Nur in einem dispersionsfreien Medium ist die Phasengeschwindigkeit vp gleich
der Gruppengeschwindigkeit. Bevor wir jedoch den allgemeinen Fall studieren,
erläutern wir den Unterschied zwischen Phasen- und Gruppengeschwindigkeit an
einem einfachen Beispiel.
Wir betrachten die Überlagerung zweier Wellen mit gleicher Amplitude und
verschiedenen, aber benachbarten Frequenzen ω 1 , k1 bzw. ω 2 , k2 :
U(x, t) = A e i(k1 x−ω 1 t) + e i(k2 x−ω 2t)
k −k
k1 +k2
k2 −k1
ω 1 +ω 2
ω 1 −ω 2
ω 2 −ω 1
1 2
= A e i 2 x− i 2 t e i 2 x− i 2 t + e i 2 x− i 2 t
k +k
ω 1 +ω 2
1
2
k1 − k2
ω1 − ω2
= 2A cos
x−
t e i 2 x− i 2 t .
2
2
vg=
cos(
k1−k2 ω1−ω2
xt)
2
2
ω1−ω2
κ1 − κ 2
dω
dκ
k1+k2 ω1+ω2
x - 2 t)
e
2
i(
Querschnitt aus einer periodischen Folge von Wellenbergen. Der einzelne Wellenberg
bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit vg .
338
IV Elektrodynamik
Durch diese Umformung haben wir die Welle in einen mit ω 1 − ω 2 langsam
oszillierenden Amplitudenfaktor und einen mit ω 1 + ω 2 schnell oszillierenden
Phasenfaktor aufgespalten. Die Phase bewegt sich mit der Geschwindigkeit
ω1 + ω2
ω
für ω 1 ≈ ω 2 ≈ ω ,
vp =
≈
k1 + k2
k
die Amplitude (Wellengruppe) bewegt sich mit der geringeren Geschwindigkeit
ω1 − ω2
dω
.
vg =
→
k1 − k2
dk
Die Energie einer Welle wird durch die Amplitude bestimmt, die Gruppengeschwindigkeit gibt somit auch im allgemeinen die Geschwindigkeit des Energietransports an. Jedoch bedarf das Gebiet anomaler Dispersion einer besonderen
Betrachtung (siehe später Kapitel IV.19). Wir merken noch an, daß Gruppen- und
Phasengeschwindigkeit und der Begriff des Wellenpaketes im Band 1 der Vorlesungen (Mechanik 1, Kapitel 32) auf strengere Weise eingeführt und diskutiert
worden sind. Die Betrachtungen hier sollten das bereits Bekannte noch einmal ins
Gedächtnis zurückrufen und anschaulich untermauern.
Wellengeschwindigkeit im Hohlleiter
Beispiel 18.2
Im Hohlleiter gilt für die Wellenzahl einer Schwingungsmode λ die Beziehung
√ με
ω 2 − ω λ2 .
k = kλ =
c
Können wir für sehr große Frequenzen ω ω λ das zweite Glied unter der Wurzel vernachlässigen, so ist
√
με
ω,
k=
c
und wir erhalten für Phasen- und Gruppengeschwindigkeiten den gleichen Wert
vp =
c
ω
= √
λ
με
und
vg =
dω
c
=√ .
dk
με
Gänzlich andere Verhältnisse liegen vor, wenn diese Vernachlässigung nicht gemacht werden darf. Dann gilt für die Phasengeschwindigkeit
vp =
ω
kλ
c
= √
με
·
1
1−
ω2
λ
c
> √ ;
με
ω2
die Phasengeschwindigkeit ist im Wellenleiter größer als im freien Raum. Für die Gruppengeschwindigkeit gilt
2
ω 2 − ω λ2
dω
c kλ
c
=
=√
·
.
vg =
dkλ
με
ω
c2 2
2
με
kλ + ω λ
με
18 Hohlleiter und Hohlraumresonatoren
339
Wenn die Frequenz ω einer Schwingungsmode λ gegen deren Grenzfrequenz ω λ geht, dann
wird die zugehörige Phasengeschwindigkeit unendlich, die Gruppengeschwindigkeit wird
Null (kλ = 0). Die Welle kann sich im Hohlleiter nicht mehr ausbreiten. Es ist offensichtlich
immer
c2
vp · vg =
= c 2 .
με
Beispiel 18.2
Rechteckiger Hohlleiter
Beispiel 18.3
Wir betrachten einen Hohlleiter mit rechteckigem Querschnitt.
Die Lage des Koordinatensystems und die Dimensionen sind
in der Skizze gegeben. Die Oberfläche des Hohlleiters wird als
ideal leitend angenommen. Dann gelten die Randbedingungen
n · B = 0
und
n × E = 0,
y
E
b
(1)
wenn n der Normaleneinheitsvektor auf der Oberfläche des
Leiters ist. Schreiben wir die Bedingung (1) explizit auf, so
bedeutet das
Ey = Ez = Bx = 0
für x = 0, a
und
(2)
Ex = Ez = By = 0
für y = 0, b.
0
x
a
λ
2
Für die Feldstärken setzen wir eine in z-Richtung fortschreitende Welle an:
λ
E (x, y, z, t) = E (x, y) e i(kz−ω t) ,
z
(3)
B(x, y, z, t) = B(x, y) e i(kz−ω t) .
Gehen wir mit diesem Ansatz in die Wellengleichung
1 ∂2 Δ− 2 2 C
=0
c ∂t
ein, so erhalten wir
2
2
∂
∂2 ω
2 +
C
+
−
k
C = 0,
∂x2
∂y2
c2
Veranschaulichung eines rechteckigen
Hohlleiters.
(4)
C stellvertretend für E und B steht.
wobei Außer der Wellengleichung (4) müssen die Feldstärken noch die Maxwellgleichungen
erfüllen:
1 ∂
iω
div E = 0,
rot B = · E = − E ,
c ∂t
c
(5)
1
i
∂
ω
div B = 0,
rot E = − · B =
B.
c ∂t
c
Für die Amplituden E (x, y) und B(x, y)
Randbedingungen erfüllt:
mπ
nπ
Ex = α cos
x sin y,
a
b
nπ
mπ
Ey = β sin
x cos y,
a
b
mπ
nπ
Ez = γ sin
x sin y,
a
b
aus (3) machen wir folgenden Ansatz, der die
mπ
nπ
x cos y,
a
b
nπ
mπ
By = β cos
x sin y,
a
b
mπ
nπ
Bz = γ cos
x cos y.
a
b
Bx = α sin
(6)
340
IV Elektrodynamik
Beispiel 18.3
Die gesamte Welle ergibt sich dann durch Multiplikation mit dem Phasenfaktor e i(kz−ω t) .
Die spezielle Art des Ansatzes wird sofort beim Einsetzen in eine der Maxwellgleichungen
klar. Wir erhalten dann Beziehungen zwischen den Konstanten des Ansatzes.
Das Einsetzen in die Wellengleichung (4) ergibt die Beziehung
mπ 2 nπ 2
ω2
+
+ k2 = 2 .
a
b
c
(7)
Offensichtlich gibt es nur einen reellen Wert für k, wenn die Frequenz ω größer ist als eine
Grenzfrequenz ω g , wobei gilt:
mπ 2 nπ 2
ω g = ω mn = c
+
.
a
b
Nach Definition liegt eine TE-Welle vor, wenn Ez = 0, also in Gleichung (6) γ = 0. TMWellen (Bz = 0) erhält man für γ = 0. Aus ∇ × E = iω /c · B und ∇ × B = − iω /c · E findet
man für die Beziehungen zwischen den Vorfaktoren in Gleichung (6):
nπ
iω − ikβ
α =γ
c
b
iω mπ
β = α ik − γ
c
a
(8)
mπ
nπ
iω γ =β
−α
c
a
b
und
−
nπ
iω
− β ik
α = γ
c
b
−
iω
mπ
β = α ik + γ c
a
−
iω
mπ
nπ
+α .
γ = −β c
a
b
(9)
Für TE-Wellen gilt (γ = 0):
mπ
nπ
m
β
= α
⇒ α ∼
a
b
n
sowie
ω
c
ω
c
α = −kβ
und
β ∼
m
,
n
α ∼
n
.
m
⇒
β = αk
n
β∼
m
(10)
(11)
Für TM-Wellen (γ = 0) analog:
mπ
nπ
β
=α
a
b
n
m
m
α ∼ ,
n
(12)
n
,
m
(13)
β ∼
⇒
sowie
m
β∼
n
und
α ∼
18 Hohlleiter und Hohlraumresonatoren
341
also gerade umgekehrt wie für TE-Wellen. Nichttriviale TM-Wellen ergeben sich nach
Gleichung (6) und (12), (13) nur, wenn m = 0 und n = 0 sind. Die TM-Welle mit der
niedrigsten Frequenz ist
TM
ω 11
=c
π2
π2
.
(14)
b2
Die nichtverschwindende TE-Welle mit der niedrigsten Frequenz (o. B. d. A. a > b) erhalten
wir analog aus Gleichungen (6), (10) und (11), falls entweder n = 0, m = 0 oder m = 0,
n = 0:
cπ
ω 10 =
.
a
Sie ist kleiner als die Grenzfrequenz der TM-Welle. Die zugehörige Wellenlänge ist
λ 10 = 2π c/ω 10 = 2a. Wir betrachten weiterhin die Grundwelle des TE-Typs ω 10 . Für das
elektrische Feld gilt dann
π x i(kz−ω t)
Ex = Ez = 0
und
Ey = β sin
e
.
a
Stellen wir den Sinus durch die Exponentialfunktion dar, so läßt sich die y-Komponente als
Überlagerung zweier Wellen schreiben:
π
π
β
i kz+ a x−ω t
i kz− a x−ω t
e
−e
.
Ey =
2i
Der Faktor i gibt eine Phasenverschiebung um π /2 an.
a2
+
Die Grundwelle erscheint somit als Überlagerung zweier Wellen, deren Wellennormalen in
der x, z-Ebene liegen. Der Winkel ε zwischen ihnen und der x-Richtung ist gegeben durch
π
1
cos ε = ∓ · .
a
π 2
+ k2
a
Wenn wir die Grenzfrequenz ω g einführen, so daß ω 2 /c2 = k2 + ω g2 /c2 , wobei gemäß (7)
mπ 2 nπ 2
2
2
und daher kc = ω 2 − ω g2 gilt für m = 1, n = 0, so folgt
ωg = c
+
a
b
cos ε = −
für die erste und
cos ε = +
ωg
ω
z
ωg
ω
für die zweite der beiden auftretenden Wellen. Das ganze Feld
E können wir uns daher entstanden denken durch fortgesetzte
Reflexion einer ebenen unter dem Winkel ε auftreffenden Welle
an den Flächen x = 0 und x = a. Für die Phasengeschwindigkeit
vp folgt
ω
ω
c
vp =
= =
ω 2
1
k
g
ω 2 − ω g2
1−
c
ω
c
c
=√
=
.
2
sin
ε
1 − cos ε
vp
ε
0
k
a
x
Die TE-Welle im rechteckigen Hohlleiter
kann als ebene Welle mit fortgesetzten
Reflexionen an den Wänden aufgefaßt
werden.
Sie ist gleich der Schnittgeschwindigkeit der Wellenebene mit der Ebene x = 0.
Beispiel 18.3
342
IV Elektrodynamik
Hohlraumresonatoren: Als Hohlraumresonator kann im Grunde jeder geschlossene Hohlkörper mit leitender Oberfläche dienen. Wir beschränken uns hier auf
zylinderförmige Hohlräume. Diese können wir uns entstanden denken aus zylindrischen Hohlleitern, die durch leitende ebene Flächen senkrecht zur Achse an beiden
Enden verschlossen wurden. Der Hohlraum wird durch die beiden Konstanten
ε und μ beschrieben. Da elektromagnetische Wellen an den beiden Endflächen
reflektiert werden, kommt es zur Ausbildung von stehenden Wellen in Richtung
der Achse (alle anderen Wellen verschwinden aufgrund destruktiver Interferenz).
Für TM-Wellen machen wir deshalb den folgenden Ansatz für den longitudinalen
Anteil:
Ez = ψ (x, y)(A sin kz + B cos kz)ez ,
Bz = 0.
Anmerkung: Es wäre auch der Ansatz Ez = ψ (x, y) · (A e ikz + B e− ikz )ez möglich.
Dies führt aber nur zu einer Redefinition der Konstanten A und B.
Der transversale Anteil ergibt sich daraus nach den Gleichungen (18.8a) und
(18.8b) zu
Et = k ∇t ψ (x, y)(A cos kz − B sin kz),
2
γ
Bt = 1 iμ ε ω ez × ∇t ψ (x, y)(A sin kz + B cos kz).
2
γ
c
Der Zylinder soll die Höhe d haben; wir legen die z-Achse so, daß die Stirnflächen
bei z = 0 und z = d liegen, dann gelten die Randbedingungen
Et (z = 0) = 0
und somit
A = 0.
Et (z = d) = 0 folgt für nichttriviale Lösungen die Beziehung
Aus sin kd = 0,
die uns eine Bedingung für die Wellenzahl k liefert:
lπ
k = , l = 0, 1, 2, . . . .
d
Mit diesen Beziehungen erhalten wir dann für die Amplituden die Gleichungen
Ez = Bψ (x, y) cos l π z ez , Et = −B l π sin l π z ∇t ψ (x, y),
d
dγ 2
d
Bz = 0,
Bt = B iμ ε ω cos l π z ez × ∇t ψ (x, y).
γ 2c
d
(18.15)
Für die TE-Wellen machen wir für den longitudinalen Anteil des Magnetfeldes
den analogen Ansatz einer stehenden Welle in Richtung der Zylinderachse. Da die
z-Komponente von B ohne Steigung durch die Stirnfläche geht und außerhalb das
Feld verschwindet, gilt jetzt
Bz (z = 0) = Bz (z = d) = 0.
18 Hohlleiter und Hohlraumresonatoren
343
Wir erhalten so entsprechend zu den obigen Überlegungen nun die Amplituden der
TE-Wellen:
Ez = 0,
Et = −A iω sin l π z ez × ∇t ψ (x, y),
cγ 2
d
z
z
l
π
Bz = Aψ (x, y) sin l π · ez , Bt = A
cos l π ∇t ψ (x, y).
d
dγ 2
d
(18.16)
Die nur von x und y abhängige skalare Funktion ψ (x, y) ergibt sich für beide
Schwingungsmoden aus der Wellengleichung (18.4)
(Δ t + γ 2 )ψ (x, y) = 0
unter der Randbedingung, daß ψ (für E ) bzw. ∂ψ /∂n (für B) auf der Oberfläche
des Resonators verschwindet.
Drücken wir die Konstante γ 2 durch Frequenz und Wellenzahl aus, so folgt
2
ω2
lπ
2
γ = εμ 2 −
.
c
d
Durch die Randbedingungen für die Lösungen des ψ -Anteils erhalten wir Gleichungen der Art
sin γ x = 0,
wenn x auf der Oberfläche des Hohlleiters liegt. Dies liefert eine Abhängigkeit
von γ 2 von einem Parameter λ
2
ω2
lπ
γ λ2 = ε μ 2λ −
.
(18.17)
c
d
Lösen wir nach der Eigenfrequenz (Resonanzfrequenz) auf, so erhalten wir
2
c
lπ
2
ωλ = √
γλ +
.
(18.18)
με
d
Die Resonanzfrequenzen des Hohlraumresonators können also durch Verschieben
der Stirnflächen (Abstand d) verändert werden.
Zylindrischer Hohlraumresonator
Beispiel 18.4
Wir betrachten einen Hohlraumresonator wie er in der Skizze gegeben ist. Wegen der
Zylindersymmetrie des Problems führen wir Zylinderkoordinaten ein, so daß die gesuchte
Funktion ψ (x, y) eine Funktion von und φ wird. Wegen der Rotationssymmetrie läßt sich
die Differentialgleichung separieren, und für ψ (, φ ) folgt:
ψ (, φ ) = ψ () · e imφ ,
m = 0, 1, . . . .
Dadurch nimmt die zweidimensionale Wellengleichung für ψ
∇2t + γ 2 ψ = 0
(1)
(2)
344
IV Elektrodynamik
Beispiel 18.4
in Zylinderkoordinaten die Form an
2
1 ∂
m2
∂
2
+
+
γ
−
ψ () = 0.
2
2
z
∂
d
R
y
x
Zylindrischer Hohlraumresonator.
∂
Dies ist die Besselsche Differentialgleichung (vgl. die Vorl.
über Mechanik II, Kapitel 10). Als Lösung finden wir somit für
den Radialteil Besselfunktionen. Die gesamte Wellenfunktion
lautet dann
ψ (, φ ) = Jm (γ m · ) · e imφ .
Die Besselfunktionen haben wir schon im Bereich der Mechanik bei der Behandlung der Membranschwingungen kennengelernt.
Für TM-Wellen folgt aus den Gleichungen (18.15) für das elektrische Feld
lπz
Ez = B · Jm (γ m · ) · e imφ cos
.
d
Die Randbedingung Ez ( = R) liefert eine weitere Bedingung für γ m :
Jm (γ m · R) = 0.
Die γ m erhalten also noch einen weiteren Index n, der die Nullstelle der Besselfunktion
angibt. Ist xmn die n-te Nullstelle der Besselfunktion Jm , so gilt dann
xmn
γ m ⇒ γ mn =
.
R
Dadurch ist Ez jetzt vollständig bestimmt. In Gleichung (2) eingesetzt, ergibt das für die
Resonanzfrequenzen:
2
πl
x2mn
π2l2
c
c
2
ω mnl = √
γ mn +
= √
+ 2 .
2
με
d
με
R
d
Die tiefste Frequenz bekommen wir für m = 0, n = 1, l = 0 (mit x01 = 2,4). Sie ist
2,4 c
ω 010 = √
· .
με R
Sie ist also unabhängig von der Höhe des Zylinders; ein Abstimmen durch die Veränderung
von d ist deshalb nicht möglich. Mit der Zeitabhängigkeit von e iω t ergibt sich für die
zugehörige TM010 -Welle:
Ez = B · J0 2,4 · e iω tez , Bt = iμ ε · ω 010 B · ez × ∇t J0 2,4 · e iω t .
2
R
R
c · γ 010
In Zylinderkoordinaten gilt für den transversalen Gradienten
∇t = ∂ e + ∂ eφ .
∂
∂φ
Da J0 (γ 010 · ) nur von abhängt, hat ∇t J0 (γ 010 · ) nur eine Komponente in eφ -Richtung,
steht also senkrecht zur z-Achse, d. h. ez × J0 (γ 010 · ) zeigt in eφ -Richtung. Somit erhalten
wir
Bt = Bφ = iμ ε ω 010 B ∂ J0 (γ 010 · ) · e iω teφ .
2
∂
cγ 010
18 Hohlleiter und Hohlraumresonatoren
345
Zwischen den Besselfunktionen bestehen folgende Beziehungen, die wir hier ohne Beweis
angeben:
dJm (x)
Jm−1 (x) − Jm+1 (x) = 2
und
J−m (x) = (−1)m Jm (x).
dx
Für m = 0 folgt daraus
d
J (x) = −J1 (x).
dx 0
Verwenden wir diese Beziehung für die Ableitung der Besselfunktion in Bφ , so erhalten wir
für das magnetische Feld
Bφ = − i√μ ε BJ1 (γ 010 · ) · e iω teφ .
Gehen wir von Gleichung (18.16) aus, so ergibt sich für TE-Wellen entsprechend
Bz = A · Jm (γ mn · ) · e imφ · sin
Aus
∂Bz
∂n
( = R) =
∂Bz
∂
lπz
.
d
(3)
( = R) = 0 folgt
∂
Jm (γ mn · )
= 0,
∂
=R
was gleichbedeutend ist mit
∂
∂(γ mn · )
Jm (γ mn · )|=R = 0.
Die γ mn werden jetzt also durch die Nullstellen der Ableitung der Besselfunktionen festgelegt. Setzen wir (3) in (2) ein, so finden wir für die Resonanzfrequenzen:
2
c
l2π2
γ mn
ω mnl = √
+ 2 .
με
R2
d
Nach Voraussetzung sei Bz = 0, womit wir für die tiefste Frequenz (mit J1 (x11 ) = 0,
x11 = 1,8) erhalten
1,8 c
R2
ω 111 = √
·
1 + 2,9 2 .
με R
d
Berücksichtigen wir die Zeitabhängigkeit e iω t von B, so ergibt sich für die TE111 -Welle
πz · e i(ω t+φ ) .
Bz = A · J1 (γ 111 ) sin
d
Im Gegensatz zur Grundfrequenz des TM-Modes kann die TE111 -Welle durch Veränderung
der Zylinderhöhe d abgestimmt werden. Für große Werte von d liegt ω 111 unter der Frequenz
ω 010 des TM-Modes und stellt somit die Grundfrequenz des Hohlraumresonators dar.
Beispiel 18.4
346
IV Elektrodynamik
Der Freie-Elektronen-Laser
Beispiel 18.5
Laser ist die Abkürzung für Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation; Lichtverstärkung durch induzierte Strahlungsemission. Die bekannten konventionellen Lichtquellen, also thermische Strahler und Gasentladungslampen, senden ein breites, regelloses Frequenzgemisch aus; zwischen verschiedenen räumlichen Punkten des elektromagnetischen
Strahlungsfeldes besteht keine Phasenkorrelation. Diese Strahlung wird als polychromatisch
und inkohärent bezeichnet. Erst mit Hilfe von Lasern wurde es möglich, ein Strahlungsfeld
hoher Monochromasie und Kohärenz zu erzeugen. Eigentlich beruht das Wirkungsprinzip
des Lasers auf rein quantenmechanischen Vorgängen der Wechselwirkung des Strahlungsfeldes mit der Materie. Bei den meisten Lasern benutzt man die Tatsache, daß Atome, Ionen
und Moleküle in verschiedenen Energiezuständen existieren können. Als einfaches Beispiel
sei angenommen, daß zwei Energiezustände 1 und 2 existieren. Die ihnen zugeordneten
Energieniveaus sind E1 und E2 , wobei E1 < E2 ist. Erfolgt ein Übergang von Niveau 1
nach 2, so wird Strahlung der der Energiedifferenz entsprechenden Wellenlänge absorbiert;
erfolgt der Übergang von Niveau 2 nach 1, so findet Emission statt. Der Übergang vom
höhergelegenen Niveau zum niedrigeren findet im allgemeinen spontan statt. Dieser Strahlungsvorgang ist statistischer Art, entsprechend ist das emittierte Licht inkohärent. Wird
aber ein Übergang von einem höheren zu einem niedrigeren Niveau erzwungen, so spricht
man von induzierter oder stimulierter Emission. Die Strahlung ist darin monochromatisch
und kohärent. Das ist der Vorgang, der für den Laser von grundsätzlicher Bedeutung ist.
Um die Funktionsweise der herkömmlichen Laser zu verstehen, ist eine Kenntnis der
Quantenmechanik unerläßlich.
Elektronenstrahl
Magnetfeld Bw
Verstärkte
elektromagnetische
Welle
Ebene
elektromagnetische
Welle
Schematisches Bild des Freie-Elektronen-Lasers.
Dies ist anders bei dem Freie-Elektronen-Laser. Dessen Wirkungsweise kann schon im
Rahmen der klassischen Elektrodynamik verstanden werden und soll in diesem Beispiel
dargestellt werden. Seine Wirkungsweise unterscheidet sich in vielerlei Hinsicht von der
Wirkungsweise anderer Laser. Wie andere Laser beruht er auf dem Prinzip der Lichtverstärkung durch stimulierte Emission, die stimulierte Emission erfolgt aber nicht durch den
Übergang zwischen gebundenen Elektronenzuständen definierter Energie. Das prinzipielle
Schema des Freie-Elektronen-Lasers ist in der Figur dargestellt. Eine elektromagnetische
ebene Welle trifft zusammen mit einem Strahl freier Elektronen auf ein magnetisches
Feld. Die Wechselwirkung eines geeigneten Magnetfeldes mit den Elektronen kann dazu
führen, daß die Elektronen ihre Energie in kohärenter Weise an die elektromagnetische
Welle abgeben und so zu einer Verstärkung derselben führen. Geeignet ist ein „wiggle“Feld. Das in der Figur eingezeichnete „Wackel“-Feld ist ein statisches magnetisches Feld,
das periodisch im Raum variiert. Die räumliche Periode bezeichnen wir mit λ w . Die
eingezeichneten Pfeile bezeichnen die Richtung des linearen transversalen Magnetfeldes
Bw = Bw cos 2π zex ,
λw
(1)
18 Hohlleiter und Hohlraumresonatoren
347
Beispiel 18.5 an Punkten im Abstand λ w /2 gemessen in z-Richtung. Statt eines solchen Feldes können
wir auch ein komplizierteres benutzen, das periodisch in x- und y-Richtung variiert:
Bw = Bw cos 2π zex + sin 2π zey .
(2)
λw
λw
Das Bw -Feld übt eine Kraft auf ein Elektron aus
Fw = ev × Bw .
c
(3)
Fw · v = 0 identisch Null ist, verrichtet das Bw -Feld keine Arbeit an dem Elektron.
Da Es induziert aber eine Oszillation des Elektrons transversal zur z-Richtung. Solch ein
oszillierendes Elektron erzeugt Synchrotron-Strahlung. Wichtig ist nun, daß das elektrische
Feld der von außen angelegten elektromagnetischen Welle Energie mit dem oszillierenden
Elektron austauschen kann. Hier gilt FE · v = e
E · v = 0. Dieser Energieübertrag ist es,
den man benutzt, um die elektromagnetische Welle, die sich entlang des Elektronenstrahls
bewegt, zu verstärken.
Wir wollen nun die Kräfte, die auf ein Elektron der Geschwindigkeit
v = vxex + vyey + vzez
(4)
wirken, etwas genauer untersuchen. Dabei bewegt sich das Elektron mit einer longitudinalen
Geschwindigkeit vz ≈ c, die in etwa gleich der Lichtgeschwindigkeit ist. Setzen wir dies
in Gleichung (3) ein und benutzen dabei das Bw -Feld (2), so erhalten wir die folgenden
Newtonschen Bewegungsgleichungen
e
2π ct
e
2π ct
v̇x = − Bw sin
,
v̇y =
Bw cos
.
(5)
m0
λw
m0
λw
Wir haben dabei vz ≈ c benutzt und vz t ≈ ct für die z-Koordinate des Elektrons geschrieben.
Integrieren wir diese Gleichungen, so erhalten wir
2π z
2π z
vx = Kc cos
,
vy = Kc sin
.
(6)
λw
λw
Hierbei haben wir den dimensionslosen „wiggle“-Parameter K
K=
eBw λ w
2π m0 c2
(7)
eingeführt. Nun sind diese klassischen Bewegungsgleichungen für relativistische Elektronen
so nicht richtig. Wir korrigieren sie, indem wir die Geschwindigkeitsabhängigkeit der
Masse des Elektrons berücksichtigen. Für ein Teilchen der Geschwindigkeit v ist die Masse
gegeben durch
m
m= 0
= γ m0 .
(8)
v2
1− 2
c
m0 ist die Ruhemasse des Teilchens. Wir setzen dies in Gleichung (5) ein, was zu einer
Ersetzung von K in Gleichung (6) durch K/γ führt:
Kc
2π z
Kc
2π z
,
vy =
.
(9)
cos
sin
vx =
γ
λw
γ
λw
348
IV Elektrodynamik
Beispiel 18.5
Benutzen wir nun die Definition von γ in Gleichung (8), so erhalten wir
γ2 − 1
vz2 = v 2 − vx2 − vy2 = c2
γ2 − 1
= c2
γ2
−
γ2
− vx2 − vy2
(10)
1 + K2
= c2 1 −
.
2
K 2 c2
γ2
γ
Dabei benutzten wir Gleichung (9). Für v ≈ c ist γ groß und wir können schreiben
1/2
1 + K2
1 + K2
≈
c
1
−
,
vz = c 1 −
γ2
2γ 2
(11)
wenn K nicht zu groß ist. Dies ist erfüllt, aufgrund der Vorgabe, daß vx und vy klein gegen
vz ≈ c sind. Das Bw -Feld ist nun üblicherweise stark genug gewählt, um die Trajektorie des
Elektrons zu bestimmen, im Gegensatz zu dem elektromagnetischen Feld der einlaufenden
ebenen Welle. Das Bw -Feld tauscht zwar keine Energie mit dem Elektron aus, aber indem
es dessen Trajektorie bestimmt, bestimmt es auch den Energieaustausch zwischen Elektron
und elektromagnetischer Welle.
Das elektrische Feld der Welle schreiben wir in der Form
E = E0 sin 2π z − ω t + φ 0 ex + cos 2π z − ω t + φ 0 ey .
λ
λ
(12)
Diese Darstellung ist zur Kombination mit dem Bw -Feld am geeignetsten. Die Form des Bw Feldes bestimmt die Polarisation der abgegebenen Strahlung. Linear transversale Bw -Felder
führen zu linearer Polarisation, helix-förmige Bw -Felder wie (2) zu zirkularer Polarisation.
Die Leistung, die die ebene Welle an einem Elektron der Geschwindigkeit v verrichtet, ist
dann:
Ẇ = e
E · v
2π z
2π z
Kc
= eE0
− ω t + φ0
cos
sin
λ
γ
+ sin
= eE0
= eE0
mit
Kc
γ
Kc
φ = 2π
γ
1
λ
sin 2π
2π z
λ
1
λ
λ
+
cos
1
λw
2π z
λ
(13)
− ω t + φ0
z − ω t + φ0
sin φ
+
1
z − ω t + φ0
λw
(14)
Gemäß der Einsteinschen Formel E = mc2 = γ m0 c2 können wir (13) auch schreiben als
Kc
Ẇ = γ̇ m0 c2 = eE0
sin φ
(15)
γ
oder
γ̇ = eE0
K
γ m0 c
sin φ .
(16)
18 Hohlleiter und Hohlraumresonatoren
349
Beispiel 18.5 Benutzen wir ż = vz , wobei vz durch (11) gegeben ist, können wir auch eine Gleichung für
die Phasenänderung angeben, wie sie von dem sich bewegenden Elektron gesehen wird.
1
1
φ̇ = 2π
+
vz − ω
λ
λw
1 + K2
2π c
(17)
1−
−
λ
λw
γ
2γ 2
λw 1 + K2
2π c
1− 1+
=
λw
λ
2γ 2
Im Freie-Elektronen-Laser ist die Anregungsperiode λ w in der Größenordnung von cm,
während die Wellenlänge der elektromagnetischen Welle λ viel kleiner ist. Also gilt
λ w /λ 1 und somit
2π c
λw 1 + K2
1−
.
(18)
φ̇ ≈
·
λw
λ
2γ 2
= 2π c
1
+
1
φ ist konstant (φ̇ = 0) für den Wert der Elektronenenergie γ m0 c2 , so daß
λw
2
γ 2 = γR
=
(1 + K 2 ).
2λ
(19)
γ R definiert die Elektronen-Resonanz-Energie. Dies können wir in der folgenden Weise
verstehen. Wenn das Elektron in Richtung der z-Achse eine Strecke Δz in der Zeit Δt =
Δz/vz fliegt, dann sieht es eine Änderung der Phase des Feldes (12). Diese Phasenänderung
Δ Φ ist gegeben durch
Δz
2π c
1
1
Δ Φ = ω Δt −
=
Δz
−
c
λ
vz
c
c
2π
Δz
−1
(20)
=
λ
vz
≈
2π
λ
Δz
1 + K2
.
2γ 2
Dabei haben wir (11) mit vz ≈ c benutzt. Speziell gilt Δ Φ = 2π , wenn Δz = λ w und γ 2 = γ R2
ist. Das heißt, für ein Elektron mit der Resonanzenergie ist die Periode des elektromagnetischen Feldes und die Periode des anregenden Bw -Felds gleich. Nach Gleichung (20) hängt
die Resonanzenergie von der Periode λ w und der Strke Bw des Magnetfeldes ab. Wir haben
nun zwei gekoppelte Gleichungen (16) und (18) für γ und φ :
2
γR
Kc
2π c
sin φ ,
γ̇ = eE0
φ̇ =
1− 2 .
(21)
γ m0 c
λw
γ
Diese Gleichungen beschreiben ein einzelnes Elektron im Feld des anregenden Magneten
und im Feld der monochromatischen ebenen elektromagnetischen Welle. Aus diesen Gleichungen geht hervor, daß ein Elektron Energie der elektromagnetischen Welle aufnehmen
(φ̇ > 0) oder an diese abgeben (φ̇ < 0) kann. Ein Energiegewinn der Elektronen entspricht
der Absorption der elektromagnetischen Welle, die Energieabgabe der Elektronen der stimulierten Emission. Man könnte annehmen, daß ein Elektronenpuls, der in die Anregungszone
injiziert wird, eine gleichmäßige Verteilung von φ -Werten aufweist, und so der mittlere Wert
des sin φ ungefähr Null ist und Absorption und Emission sich im Mittel die Waage halten.
Dies ist aber nicht so. Aus Gleichung (11) und Gleichung (19) erhalten wir
350
IV Elektrodynamik
vz ≈ c 1 −
und damit
v̇z ≈
2cλ γ R2
λ wγ 3
2
λ γR
λ wγ 2
γ̇ .
(22)
(23)
Das heißt, ein Elektron wird in longitudinaler Richtung beschleunigt oder abgebremst, je
nachdem ob es Energie aufnimmt (φ̇ > 0) oder abgibt (φ̇ < 0). Damit führt der Energieaustausch mit der elektromagnetischen Welle nicht nur zur Veränderung der Elektronenenergie, sondern auch zur einer Neuanordnung der räumlichen Elektronenverteilung
entlang der z-Achse, wobei die schnelleren Elektronen die langsameren einholen. Auf der
makroskopischen Skala bleiben die Elektronen gleichverteilt, aber der Bündelungsprozess
auf mikroskopischer Skala kann zu einem Nettoenergiegewinn der Strahlung, also zu
stimulierter Emission statt Absorption führen. Welcher Prozess nun eintritt, hängt von der
Verteilung der Elektronenenergien ab. Eine detailliertere Analyse führt zu den folgenden
drei Punkten:
a) Emission tritt auf, wenn die Elektronenenergie so gewählt ist, daß γ > γ R , Absorption
tritt auf, wenn γ < γ R gilt.
b) Die maximale Emission tritt auf, wenn für die Elektronenenergie γ ≈ (1 + 0,2/Nw )γ R
gilt. Nw ist die Anzahl der Perioden des anregenden Bw -Felds.
c) Die Emission ist sehr klein, es sei denn der Elektronenpuls hat eine sehr scharfe
Energieverteilung.
Der diskutierte Prozess der stimulierten Emission im Freie-Elektronen-Laser ist ein klassischer Prozess. Stimulierte Emission läßt sich aus rein klassischen Gleichungen ableiten. Sie
ist aber prinzipiell verschieden von der stimulierten Emission im herkömmlichen Laser, bei
dem feste Energieniveaus in Atomen oder Molekülen be- und entvölkert werden. Deswegen
ist der hier besprochene Lasertyp auch nicht an bestimmte Frequenzen gebunden, sondern
läßt sich für einen weiten Frequenzbereich abstimmen. Die Gleichung (19) definiert für
jede Wellenlänge λ eine resonante Elektronenenergie, in deren Näehe Emission auftreten
kann. Da die Resonanzenergie ebenso von den Charakteristiken des Bw -Feldes, also der
Größe der Feldstärke und deren Periode λ w abhängt, kann die Abstimmung auf eine
bestimmte Wellenlänge entweder durch Variation der Bw -Feld-Parameter oder aber der
Elektronenenergie erreicht werden. Damit ist es möglich, daß Freie-Elektronen-Laser in
einem Wellenlängenbereich von mm bis 10−8 cm eingesetzt werden können.
Beispiel 18.5
19
Lichtwellen
Bei Lichtwellen gilt
c·k
ω
ω (k) =
oder
k(ω ) = n(ω ) ,
(19.1)
n(k)
c
wobei c die Vakuumlichtgeschwindigkeit und n(k) (n(ω )) der Brechungsindex
des betreffenden Mediums ist. Wir erhalten dann als Phasengeschwindigkeit nach
Gleichung (18.3)
ω (k)
ω
c
c
vp =
=
oder
vP =
=
.
k
n(k)
k(ω )
n(ω )