M24

24. Die Exponentialfunktion
Exponentialfunktion, Logarithmus, Potenz
x n x 0 x1 x 2 x 3
x2 x3
Reihe: exp(x)  

 

 ... 1 x 

...
0! 1! 2! 3!
2
6
n  0 n!
n x n x 2 n x3
xn
Folge: exp( x )  lim (1  )  lim [ 1  ( )  ( ) 2  ( ) 3  ... ]
n
1 n 2 n
3 n
n
n

exp(x)  ex exp(1)  e
D=
Die Funktionalgleichung lautet:
ex1.ex2 = ex1+x2
e
x1. x2
e
∞ xn
1
∞ xm
2
∞
n1 xm
x
2
.
=  n!
 m! =   n! m!
n=0
m=0
k=0 n+m=k
∞
xn1 xk-n
2
=   n! (k-n)!
k=0 n=0
k
∞ 1
k
∞ 1
k
k!
=  k!  n! (k-n)! xn1 xk-n
2
k=0
n=0
=  k!  (nk) xn1 xk-n
2
k=0
n=0
∞ 1
=  k! (x1+x2) k = ex1+x2
k=0
1
exp(-x) = exp(x) Bew.: 1= exp(0) = exp(x-x) = exp(x).exp(-x)
exp(x) ist streng monoton wachsend mit W = (0,∞).
Bew.: ex > 1 für x > 0. ex+x = ex ex > ex . e0 = 1. e-x= 1/ex.
exp(x) wächst stärker als jede Potenz von x:
∞ xk
lim
xn
x  e
x
0
n+1
n
x
x
(n+1)!
x
Bew.: e =  k! > (n+1)!  exp(x) < x
 0 für x 
k=0
1
1
1
1
Irrationalität von e = 0! + 1! + 2! + 3! + ... = 2,71828...
∞
1
1
1
1
1
e =  n! = 0! + 1! + 2! + 3! + ...
n=0
m
Sei e = k mit m,k . k ≥ 2, da e nicht ganzzahlig ist.
Summiert man bis zum k-ten Glied, so bleibt der Rest
k
1
R = e -  n!
n=0
m
1
1
1
1
1
1
= k - (0! + 1! + ... + k! ) = (k+1)! + (k+2)! + (k+3)! + ...
Nach der linken Seite muß k!R  gelten, nach der rechten Seite:
1
1
1
1
1
1
k!R = k+1 + (k+1)(k+2) + (k+1)(k+2)(k+3) + ... < k+1 + (k+1)2 + (k+1)3 + ...
1
= k+1 
1
1
1 - k+1
1
= k <1
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion heißt
natürlicher Logarithmus oder logarithmus naturalis.
lnx ist streng monoton wachsend, D = (0,) und W = .
lnx
e =x
x
ln e = x
für x (0,)
für x 
ln(1) = 0
exp(ln(1)) = 1 = exp(0)
ln(e) = 1
exp(ln(e)) = e = exp(1)
1
ln(1/x) = - ln(x) exp(ln(1/x)) = 1/x = exp(ln(x)) = exp(-ln(x))
ln(x1x2)
ln(x1.x2) = ln(x1) + ln(x2) e
= x1x2 = e
lnx1. lnx2
e
=e
lnx1+lnx2
ln(xa) = a.ln(x) ln(xa) = ln(x.x...x) = ln(x) + ln(x) + ... + ln(x) = a.ln(x)
(ea)b = eab aber für a.b ≠ ab gilt eab ≠ e(ab)
Bew.:
ln((ea)b) = b.ln(ea) = b.a.ln(e) = a.b = ln(eab)
ln(e(ab)) = ab.ln(e) = ab ≠ a.b = ln(eab)
ln(x) wächst schwächer als jede Potenz von x: lim
lim
x 
exp ln x
exp x
Grenzwerte:
n
 lim
x 
x
x  exp x
n
0
ex  1
1
lim
x 0 x
ln x
1
lim
x 1 x  1
ln(x)
ln(x)
y
=
=
und
y
0
für
x
1
y
x-1
exp(ln(x))-1
e -1
ln x
x
n
0
Ableitung der Exponentialfunktion
d x
e  ex
dx


d x
d  xn
xn-1  xn-1
xn
x
e 

n



e




dx
dx n=0 n! n=1 n!
n=1 (n -1)!
n=0 n!
exp(x) ist die einzige Funktion mit dieser Eigenschaft und exp(0) = 1
f(x)
f´(x)exp(x) - f(x)exp(x)
f´(x) - f(x)
Bew.: (exp(x) )´ =
= exp(x) = 0 da f´= f.
exp2(x)
f(x)



 exp(x) = const.
d ln( x ) 1

Ableitung der Logarithmusfunktion
dx
x
dln(x)
1
1
1
= dexp(ln(x)) = exp(ln(x)) = x für 0 < x < 
dx
dln(x)
Die allgemeine Potenz ax mit der positiven Basis a ( 1) und
dem Exponenten x kann mit Hilfe von a = elna auf die
Exponentialfunktion zurückgeführt werden.
ax = (elna)x = ex lna
Damit findet man nach der Kettenregel
d x
a  a x ln a
dx
x lna dxlna
d
de
(ax)´ = dx ex lna = dxlna dx = ex lna lna = ax lna
Die Umkehrfunktion ist der Logarithmus zur Basis a, loga.
alogax = x = logaax
(logax nur für positive x definiert)
Der Logarithmus gibt an, mit welchem Exponenten man
die positive Basis a potenzieren muß, um die Zahl x zu
erhalten.
y
a =x

logax = y
y
Briggssche Logarithmen: 10 = x
 lgx = y
log a
1 = logaa = loga(b b ) = logba.logab (wenn ay = b, dann a = b1/y)
logbx
logax = loga(b
) = logbx.logab = loga b.logb x
lnx = ln10.lgx sowie lgx = lge.lnx
d
1
Die Ableitung des Logarithmus zur Basis a: dx loga x  .
x ln a
dlogax
logae
dlnx/lna
1
=
= .
= x
dx
dx
x lna
Man berechne die Zahl e als Grenzwert einer Folge und einer
Reihe jeweils auf 4 Kommastellen genau.
Welches ist die größte Zahl, die man im Zehnersystem mit drei
Ziffern schreiben kann (Exponentialschreibweise!), und wieviel
Stellen besitzt sie?
1 + [99lg9]
Logarithmisch ableiten: xx
x3e4xsin4x
Wotans Ring Draupnir
t/s
Anzahl
t/s
10
Anzahl
Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
t/s
Anzahl
10
Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11
Sterne in der Milchstraße
t/s
Anzahl
10
Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11
Sterne in der Milchstraße
14
Bakterien im menschlichen Darm
t/s
Anzahl
10
Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11
Sterne in der Milchstraße
14
Bakterien im menschlichen Darm
20
Kombinationen des Rubikwürfels
41019 = 8!12!21137/2
t/s
Anzahl
10
Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11
Sterne in der Milchstraße
14
Bakterien im menschlichen Darm
20
Kombinationen des Rubikwürfels
22
Sterne im Weltall
41019 = 8!12!21137/2
t/s
Anzahl
10
Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11
Sterne in der Milchstraße
14
Bakterien im menschlichen Darm
20
Kombinationen des Rubikwürfels
22
Sterne im Weltall
34
Bakterien in den Erdmeeren
41019 = 8!12!21137/2
t/s
Anzahl
10
Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11
Sterne in der Milchstraße
14
Bakterien im menschlichen Darm
20
Kombinationen des Rubikwürfels
22
Sterne im Weltall
34
Bakterien in den Erdmeeren
38
größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1
41019 = 8!12!21137/2
t/s
Anzahl
10
Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11
Sterne in der Milchstraße
14
Bakterien im menschlichen Darm
20
Kombinationen des Rubikwürfels
22
Sterne im Weltall
34
Bakterien in den Erdmeeren
38
größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1
59
Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen
41019 = 8!12!21137/2
t/s
Anzahl
10
Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11
Sterne in der Milchstraße
14
Bakterien im menschlichen Darm
20
Kombinationen des Rubikwürfels
22
Sterne im Weltall
34
Bakterien in den Erdmeeren
38
größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1
59
Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen
80
Protonen im Weltall
41019 = 8!12!21137/2
t/s
Anzahl
10
Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11
Sterne in der Milchstraße
14
Bakterien im menschlichen Darm
20
Kombinationen des Rubikwürfels
22
Sterne im Weltall
34
Bakterien in den Erdmeeren
38
größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1
59
Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen
80
Protonen im Weltall
43 min
1000! übertroffen
41019 = 8!12!21137/2
t/s
Anzahl
10
Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11
Sterne in der Milchstraße
14
Bakterien im menschlichen Darm
20
Kombinationen des Rubikwürfels
22
Sterne im Weltall
34
Bakterien in den Erdmeeren
38
größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1
59
Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen
80
Protonen im Weltall
43 min
?
1000! übertroffen
999
41019 = 8!12!21137/2
t/s
Anzahl
10
Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11
Sterne in der Milchstraße
14
Bakterien im menschlichen Darm
20
Kombinationen des Rubikwürfels
22
Sterne im Weltall
34
Bakterien in den Erdmeeren
38
größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1
59
Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen
80
Protonen im Weltall
43 min
1000! übertroffen
11 a 263 d 999
41019 = 8!12!21137/2