kinetisch

34
4. Energie, Arbeit, Leistung, Impuls
35
Beispiel: Beschleunigung
m
Zentrale Größen der Physik:
Annahme: konstante Kraft
F
Beschleunigung:
Energie E, Einheit Joule (1 [J] = [Nm] = [kg m2/s2]
zurückgelegter Weg:
F
m
1 2
s = at
2
a=
Es gibt zwei grundsätzliche Formen von Energie:
v = at
erreichte Geschwindigkeit:
kinetische Energie:
mit Bewegung verbundene
Energie
potentielle Energie:
Geleistete Arbeit:
1
1
W = Fs = am at 2 = m (at ) 2
2
2
mit Wechselwirkungen
verbundene Energie
(„gespeicherte“ Energie)
Arbeit W, Einheit Joule
„Erzeugung von Energie durch Kraftanwendung (Transfer
von Energie zwischen Systemen)
1
W = m v 2 = Ekin
2
Die bei der Beschleunigung geleistete Arbeit wird zu kinetischer
Energie!
Beispiel: Hubarbeit
(Schwerkraft wirkt nach unten: die
aufgebrachte Kraft nach oben)
F = − mg
Es gilt:
Arbeit = Kraft mal Weg
W = F ⋅s
v!
m
h
geleistete Arbeit:
W = Fs = mgh = E pot
Die Arbeit wird zu potentieller Energie
36
Gleiche Arbeit! Die Potentielle Energie hängt nicht davon
ab, wie sie erzeugt wurde!
Beispiel: Spannen einer Feder
x
37
Kraft einer Feder (Hooke‘sches Gesetz)
F = − Dx
l
Allgemein:
Vektorielle Beschreibung
W = F ⋅s
geleistete Arbeit:
l
r
l
1
W = Fdx = ( Dx)dx = D l 2 = E pot
2
0
0
∫
(für geraden Weg
und konstante Kraft)
∫
∫
W = F ( r ) ds
=
r0
i
(für gerade
Teilstücken)
Potentielle Energie einer um l gedehnten (oder gestauchten) Feder.
4.1 Wegunabhängigkeit der pot. Energie
Beispiel: schiefe Ebene
F
m
W = mgh = E pot
F
Arbeit: über Rampe
l
α
Arbeit: direktes Heben
F⊥
h
W = Fs
= mg sin α l
h
= mg sin α
= mgh
sin α
∑
Fi ∆si
Beispiel: Hubarbeit im Schwerefeld (ortsunabhängige Kraft)
W=
n
∑
i =1
F∆si =
 0  ∆xi 

 
y
0
∆
  i 
i =1 


 mg  ∆zi 
n
∑
n
n
i =1
i =1
= ∑ mg∆zi =mg ∑ ∆zi = mgh
Eine Bewegung in x- oder y-Richtung spielt keine Rolle; es zählt
nur die Bewegung in Richtung der Kraft.
38
39
4.2 Energieerhaltung
Definition:
Ein Kraftfeld,
bei dem das Integral
r
∫
Für ein abgeschlossenes System gilt:
F ( r ) ds
Ekin + Epot = konstant
r0
nur von Anfangs- und Endpunkt, aber nicht
vom Weg abhängt, heißt konservativ.
Die Summe der kinetischen und der potentiellen Energie
ist konstant; sie ändert sich nur, wenn Arbeit am System verrichtet
wird.
Aber: potentielle Energie kann in kinetische Energie umgewandelt
werden und umgekehrt
Bemerkung: das Kraftfeld ist der negative Gradient der
potentiellen Energie
Beispiel: freier Fall
F (r ) = −∇E pot
∂

 E pot 
 ∂x

∂
= − E pot 
 ∂y

∂

 E pot 
 ∂z

Ein so gebildetes Kraftfeld ist immer konservativ!
nachher:
vorher:
h
m
h
m
E pot = mgh
E pot = 0
m
Ekin = v 2
2
Ekin = 0
Beispiel: Schwerefeld
F = −∇E pot
 0 


= −∇(mgz ) =  0 
 − mg 


Mit der Energieerhaltung folgt:
und damit:
mgh =
v = 2 gh
m 2
v
2
v
40
nachrechnen:
41
Körper am äußeren Umkehrpunkt:
zeitabhängige Höhe beim Fall
Zeit beim Erreichen von z=0
Geschwindigkeit hier
1
z (t ) = h − gt 2
2
2h
t=
g
1 2
Ekin = mvmin
=0
2
kinetische Energie ist minimal
1 2
1
E pot = Dxmax
= Dx02
2
2
potentielle Energie ist maximal
v = gt = 2 gh
Wegen der Energieerhaltung gilt damit:
Gleiches Ergebnis!
1
1
2
m( x0ω ) 2 = Dx0
2
2
Beispiel: harmonische Schwingung
m
mω 2 = D
x(t ) = x0 cos ωt
ω=
v (t ) = − x0ω sin ωt
D
m
Schwingungsfrequenz
Federpendel
x
Ständiges Umwandeln von potentieller in kinetische Energie
und umgekehrt.
Andere Herleitung:
es ist
Körper in der Mitte:
kinetische Energie ist maximal
potentielle Energie ist minimal
1 2
m
Ekin = mvmax
= ( x0ω ) 2
2
2
1 2
E pot = Dxmin
=0
2
also
Es gilt
das heißt
also
a (t ) = − x0ω 2 cos ωt
a = −ω 2 x (t )
F = ma
− Dx = −mω 2 x
ω=
D
m
42
4.3 Leistung
43
Beispiel: elektrische Birne, P=100 W (Leistung)
Leistung ist Arbeit pro Zeit
Einheit Watt
[W] = [J/s]=[Nm/s]
genauer:
P=
W
t
P=
dW
dt
Geleistete Arbeit ist
brennt 10 h:
W = Pt = 100 W*10 h = 1000 Wh
1000 Wh = 1000 W*3600s
= 3.6 106 Ws
= 3.6 MJ
Die gleiche Arbeit wird benötigt, um 360000 kg um 1m
anzuheben!
4.4 Impuls
W = Pt
„Herleitung“:
es gilt
m1
t
bzw.
W = ∫ Pdt
0
Kräfte:
Beispiel: Hubarbeit
10 kg werden um 10 m angehoben
W = mgh ≈ 1000 J
W 1000 J
geleistet in 5 min (300s):
P= =
= 3.3W
t
300s
1000 J
geleistet in 10 s:
P=
= 100W
10s
Arbeit:
actio = reactio
mit
mit
F = ma
dv
a=
dt
also
m1v1 + m2 v2
F1
F2
m2
F2 = − F1
m2 a2 = − m1a1
dv 2
dv1
m2
= −m1
dt
dt
d
( m1v1 + m2 v2 ) = 0
dt
bleibt konstant!
44
Definition:
45
4.5 Impulserhaltung
p = mv
Impuls:
actio = reactio gilt auch für ein System aus beliebig
vielen Körpern:
m1
Für einen einzelnen Körper gilt:
t
t
F (t )
v (t ) = v0 + a (t )dt = v0 +
dt
m
0
0
∫
∫
Mutipliziert mit m:
m2
m3
F1
F
3
F2
F6
m4
F5
N
∑ Fi = 0
F4
i =1
m5
m6
t
∫
p (t ) = p0 + F (t ) dt
Für die Summe der Impulse gilt:
0
Bei konstanter Kraft und
N N
N
0 0
p
=
(
p
+
F
t
)
=
p
+
t
∑ i ∑ i i ∑ i ∑ Fi
N
p0 = 0
i =1
p = F ⋅t
Impuls ist
Kraft mal Zeit!
(Erinnerung: Arbeit ist Kraft mal Weg)
i =1
i =1
i =1
0
= Pges
+ t ⋅ 0 = Pges
In einem System, auf das keine äußeren Kräfte wirken,
ist der Gesamtimpuls eine Erhaltungsgröße
46
Energieerhaltung:
4.6 Zentraler Stoß
Impuls- und Energieerhaltung bestimmen, welche Endzustände
eines Systems nach einer Wechselwirkung (Austausch von
Energie und Impuls) erlaubt sind.
Wechselwirkung
1 2 1 2 1 2
m1 v1 = m1 v '1 + m2 v '2
2
2
2
hier: eindimensional (Bewegung auf einer Linie)
m2
v '2
m1
1
1
2
2 1
2
m1v1 = m1v '1 + m2 v'2
2
2
2
v '1 = v1 −
p '1 , p'2 , p '3 ...
E1 , E2 , E3 ...
E '1 , E '2 , E '3 ...
∑ p =∑ p '
∑ E =∑ E '
Es gilt:
i
E ges = E ' ges
Damit lauten die beiden Gleichungen:
nachher
vorher
p1 , p2 , p3 ...
47
i
i
i
Zwei Gleichungen,
zwei Unbekannte
(v‘1, v‘2)
⇒ eindeutige
Lösung!
Einsetzen:
2
 1
1
1 
m
2
2
m1v1 = m1  v1 − 2 v'2  + m2 v'2
2
2 
m1  2
Beispiel: zentraler Stoß zwischen zwei Massen, 2. Masse ruht
m1
v1
Impulserhaltung:
daraus folgt:
m2
v '1
p ges = p' ges
m1v1 = m1v '1 + m2 v '2
m v '1 = v1 − 2 v '2
m1
m1
m2
v '2
⇔
⇔
⇔
⇔
1
1
m 2m2
m m2
1
2
2
2
m1v1 = m1v1 − 1
v1v '2 + 1 22 v '22 + m2 v '2
2
2
2 m1
2 m1
2
2
m
1
2
0 = − m2 v1v'2 + 2 v'22 + m2 v'2
2m1
2
2
m + m1m2 2
m2 v1v '2 = 2
v '2
2m1
v '22 =
2m1
v1v '2
m1 + m2
48
Zwei Lösungen:
Lösung 1:
49
3. m1 >> m2
v '2 = 0
hier gilt:
v'1 = v1
v '2 ≈ 2v1
v '1 ≈ v1
(„Triviale“ Lösung: Stoß hat nicht stattgefunden)
Lösung 2:
Der stoßende Körper wird kaum verlangsamt; der
gestoßene Körper erhält die doppelte
Geschwindigkeit des stoßenden Körpers!
2m1
v1
m1 + m2
m
m − m2
v '1 = v1 − 2 v'2 = 1
v1
m1
m1 + m2
v '2 =
Allgemein: dreidimensionaler Stoß
m1
v1
v2
Diskussion dieses Resultats für verschiedene Fälle:
1. m1 = m2
v'2 = v1
hier gilt:
Hier gilt:
v '1 = 0
Der Impuls (und die kinetische Energie) werden
vollständig auf den gestoßenen Körper übertragen.
2. m1 << m2
hier gilt:
2m1
v1
m2
v '1 ≈ −v1
v '2 ≈
( p'2 ≈ 2 p1!)
Der stoßende Körper wird reflektiert; der gestoßene
Körper erhält den doppelten Impuls des stoßenden
Körpers!
m2
m1v1 + m2 v2 = m1v '1 + m2 v '2
Impulserhaltung
1 2 1
2 1 2 1 2
m1 v1 + m2 v2 = m1 v '1 + m2 v '2
2
2
2
2
Energieerhaltung
Dies sind 4 Gleichungen mit 6 Unbekannten (
v '1 , v '2
)
⇒ Lösung bestimmt bis auf zwei freie Parameter!
(z.B. legt die Wahl der Richtung von
fest)
v1 '
alle anderen Werte
50
51
Jetzt: Rakete
4.7 Anwendung der Impulserhaltung: Rakete
vw
m1
v1
Person in Boot in Ruhe wirft eine
Kugel mit Wurfgeschwindigkeit
vw (Geschwindigkeit relativ
zur Person)
v2
m2
m1
m
vD
Vortrieb durch Wurf:
m2
heiße Gase
Dadurch erhält das Boot (und
die Person) einen Impuls bzw.
eine Geschwindigkeit in
Gegenrichtung
Brennkammer und
Düse
v
In der Zeit ∆t wird die
Masse -∆m mit
Geschwindigkeit vD
ausgestoßen.
Treibstoff
Geschwindigkeitszunahme dadurch (∆m <<m):
∆v = −
∆m
vD
m
(m ist die Raketenmasse; die Masse der ausgestoßenen Gase ist -∆m)
Es gilt:
v1 + v2 = vW
Impulserhaltung:
m1v1 = m2 v2
Umformen und Übergang zu infinitesimal kleiner Zeit (∆t→dt):
also
m1v1 = m2 (vW − v1 )
⇒
m2
v1 =
vW
m1 + m2
v2 =
Für m1 << m2 wird dies zu:
v1 ≈ vW
dv
1
= − vD
dm
m
Integration über m:
m1
vW
m1 + m2
und
⇒
v2 ≈
Ausstoß von Masse erzeugt Vortrieb!
m1
vW
m2
m
m
0
0
dv
1
∫m dmdm = −m∫ m vD dm
v (m) − v (m0 ) = −vD (ln(m) − ln(m0 )) = vD ln(
m0
)
m
Falls v(m0) = 0 ist (Startgeschwindigkeit Null):
v = vD ln(
m0
)
m
Raketengeschwindigkeit
52
Die von einer Rakete erreichbare Geschwindigkeit
hängt von dem Verhältnis der Start- und Endmasse
und der Düsengasgeschwindigkeit ab.
Typische Werte:
53
Für die Reibungskraft gilt:
Körper bewegt sich („Gleitreibung“):
FR = µF⊥
m0
=6
m
Reibungskoeffizient
vD = 2000 ms
Körper ruht („Haftreibung “):
vEnd ≈ 3600 ms
Damit:
F ' R = µ ' F⊥
4.8 Reibung
Reibung verwandelt Arbeit in Wärmeenergie
⇒Verlust von kinetischer Energie ohne Erzeugung
von potentieller Energie
Es gibt verschiedene Formen der Reibung; diese lassen
sich näherungsweise durch Gesetze beschreiben.
1. Coulomb-Reibung
FR
m
v
F⊥
Die Reibungskraft ist unabhängig von der Geschwindigkeit
und der Auflagefläche!
Typische Werte:
Stahl auf Stahl
(poliert)
Gummi auf Asphalt
Oberflächenreibung:
die Bewegung eines
mit
Anpresskraft F ⊥ auf
die Oberfläche gedrückten
Körpers erzeugt eine
Reibungskraft F
R
µ ' ≈ 0.7
µ ≈ 0.4
µ ' ≈ 1.2
µ ≈ 1.0
µ ' ≈ 0.6
µ ≈ 0.4
trocken
naß
54
Beispiel: maximal mögliches Beschleunigen eines Autos
55
3. Newton-Reibung
Drehende Räder können maximal die Haftreibungskraft auf die
Straße ausüben, blockierende Räder die Gleitreibungskraft.
Die maximal mögliche (positive oder negative!)
Beschleunigung ist damit:
a=
bzw.
FR µF⊥ µ mg
=
=
= µg
m
m
m
F'
a' = R = µ ' g
m
FR
Schneller Körper in leichter Flüssigkeit
oder Gas
v
Hier gilt für die Reibungskraft:
1
F = cW ρ Av 2
2
v
Geschwindigkeit
Ein Fahrzeug mit Gummireifen kann auf Asphalt also
mit maximal 1.2 g beschleunigen!
cW
Widerstandsbeiwert des Körpers
A
Querschnittsfläche des Körpers
(senkrecht zur Geschwindigkeit)
Die Kraft ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit!
2. Stokes-Reibung
Bei der Bewegung aufgebrachte Leistung:
FR
Kugel in viskoser (zäher)
Flüssigkeit
v
Hier gilt für die Reibungskraft:
F = 6πηrv
v
Geschwindigkeit
P=
η
r
Fs
1
= Fv = cW ρ Av 3
t
2
Beispiel: Auto
Viskositätskonstante
der Flüssigkeit
Kugelradius
Die Kraft ist proportional zur Geschwindigkeit!
A = 2.5 m2
ρ = 1.29 kg/m3 (Luft)
cW = 0.3
v = 100 km/h (27.8 m/s) :
F = 374 N
P = 10393 W ( = 14 PS)
v = 200 km/h (56 m/s) :
F = 1495 N
P = 83146 W ( = 113 PS)
56
4.9 Inelastischer Stoß
57
Die kinetische Energie wird verringert. Es gilt nur die Erhaltung der
Gesamtenergie:
„Reibungseffekte“ (Umwandlung kinetischer Energie in
Wärmeenergie) verändern Stöße.
Ekin + E pot + EW = E 'kin + E ' pot + E 'W
Hier ist
Beispiel: vollinelastischer zentraler Stoß
m1
m1
m2
v1
m2
v '1 = v '2
Kugeln bleiben zusammen
Dämpfer
Es gilt:
Impulserhaltung
⇔
⇔
Pges = P ' ges
m1v1 = m1v '1 + m2 v '2 = (m1 + m2 )v '1
v '1 =
m1 v1
m1 + m2
Für die kinetische Energie gilt:
vorher:
nachher:
1
kin
E ges
= m1v12
2
1
1
1
E 'kin
m1v'12 + m2 v'22 = (m1 + m2 )v'12
ges =
2
2
2
2
1 m1
m1
kin
v12 =
=
E ges
2 m1 + m2
m1 + m2
E pot = E ' pot = 0
Damit gilt für die Wärmeenergie:
E 'W = EW + Ekin − E 'kin
= EW +
m2
Ekin
m1 + m2
Die fehlende kinetische Energie ist in Wärmeenergie umgewandelt
worden.
Merke: bei inelastischen Prozessen gilt Impulserhaltung, aber
nicht die Erhaltung der kinetischen Energie! (sondern
nur die Erhaltung der Gesamtenergie)