1 Periodische Vorgänge

1 Periodische Vorgänge
Mithilfe eines Elektrokardiogramms (EKG)
kann man die Bewegungen des Herzens
sichtbar machen.
Katharina: „Der Zweite ist aber ganz schön
aufgeregt!“
Ken: „Ich glaube, der ist richtig krank!“
In Natur und Technik gibt es Vorgänge, die sich immer wieder in gleicher Weise wieder­
holen. Am folgenden Beispiel wird deutlich, wie man solche Vorgänge mithilfe von Funktionen beschreiben und grafisch darstellen kann.
Aus einem Wasserhahn läuft gleichmäßig Wasser in das Rohr eines Kippbrunnens (Fig. 2)
Nach 5 Sekunden ist so viel Wasser im Rohr, dass es kippt. Das Wasser fließt heraus und
das Rohr kippt wieder in die Ausgangsstellung zurück. In Fig. 1 ist der Graph der Funktion
f: Zeit (in s) ¥ Höhe des Auslaufs (in cm) dargestellt. Die Funktion f beschreibt einen
Vorgang, der sich alle 7 Sekunden wiederholt.
Dies erkennt man am Graphen daran, dass
dieser durch Verschiebung um 7 Einheiten
parallel zur Zeitachse auf sich selbst abge­
bildet wird. Es gilt: Für jeden Zeitpunkt t
muss die Höhe f (t) mit der Höhe nach
7 Sekunden übereinstimmen. Es muss also
für jeden Wert von t gelten: f (t + 7) = f (t).
Also gilt auch f (t) = f (t + 2 · 7) = f (t + 3 · 7)
Solche Funktionen heißen periodisch.
Fig. 1
Eine Funktion f heißt periodisch, wenn es eine Zahl p gibt, sodass für alle reellen Zahlen x
gilt: f (x + p) = f (x).
Die kleinste positive Zahl p mit dieser Eigenschaft nennt man die Periodenlänge von f.
Eine Funktion f ist genau dann periodisch, wenn sich ihr Graph durch Verschiebung
­parallel zur x-Achse auf sich selbst abbilden lässt. Die kürzeste Pfeillänge dieser Verschie­
bungen ist die Periodenlänge.
Fig. 2
Statt Periodenlänge
sagt man auch kurz
Periode.
Beispiel Periodische Funktionen erkennen – Periodenlänge bestimmen
Fig. 3 zeigt den Graphen einer Funktion.
Untersuche, ob sich der Graph durch
Verschiebung parallel zur x-Achse auf sich
selbst abbilden lässt und bestimme gege­
benenfalls die Periodenlänge.
Fig. 3
Lösung
Der Graph in Fig. 3 wird auf sich selbst
abgebildet, wenn man ihn um 3,5 Einhei­
ten parallel zur x-Achse verschiebt (siehe
Fig. 4).
Die Periodenlänge beträgt 3,5.
Fig. 4
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Aufgaben
1 Welche Funktionen sind periodisch? Begründe deine Entscheidung und gib gegebenen­
falls die Periodenlänge an.
a) Zeit ¥ Abstand der Erde von der Sonne
b)Zeit ¥ Wasserstand an der Küste in Helgoland
c) Zeit ¥ Ladung des Akkus eines Smartphones
2 Ein Punkt P bewegt sich mit gleichbleibender Geschwindigkeit um das Quadrat in Fig. 1
herum. Fig. 2 zeigt den Graphen der Funktion
f: Zeit ¥ Abstand des Punktes von der Geraden g.
a) Erläutere den Verlauf des Graphen in Fig. 2.
b)Gib einige Verschiebungen an, die den Graphen auf sich abbilden.
c) Wie ändert sich der Graph, wenn sich der Punkt mit dreifacher Geschwindigkeit um
das Quadrat herumbewegt?
Fig. 1
Fig. 2
3 Ein Punkt bewegt sich mit gleichbleibender Geschwindigkeit um ein gleichseitiges Drei­
eck (Fig. 3).
a) Skizziere den Graphen der Funktion f: Zeit ¥ Abstand des Punktes von der Geraden g.
b)Welche Periodenlänge hat die Funktion f aus Teilaufgabe a)?
c) Skizziere und erläutere den Verlauf des Graphen, wenn sich der Punkt mit gleich­
bleibender Geschwindigkeit auf einem Rechteck bewegt, dessen Seiten im Verhältnis 2 : 1
stehen.
Bist du schon sicher?
Fig. 3
Lösung | Seite 225
4 a) Unter welcher Bedingung ist die Funktion Zeit ¥ Höhe des Ventils über der Straße bei
einem fahrenden Fahrrad periodisch?
b)Skizziere den Graphen einer möglichen Funktion und gib ihre Periodenlänge an.
5 H a) Skizziere die Graphen zweier periodischer Funktionen. Tausche deine Skizzen mit
deinem Nachbarn. Prüfe, ob dein Nachbar wirklich Graphen von periodischen Funktionen
gezeichnet hat. Bestimme ggf. die Periodenlänge.
b)Notiere die Beschreibung eines periodischen Vorgangs. Tausche deine Notizen mit
­deinem Nachbarn. Skizziere einen zu der Beschreibung deines Nachbarn passenden
­Funktionsgraphen. Überprüft gemeinsam, wie gut die Skizze zu der Beschreibung passt.
Kannst du das noch?
6 Ordne der Datenreihe den Boxplot zu.
Reihe 1: 35, 31, 35, 27, 36, 27, 26, 36, 40, 20, 26, 38, 20, 39, 22, 40 Reihe 2: 38, 24, 40, 20, 39, 21, 23, 40, 28, 37, 34, 34, 27, 38, 32, 26
vgl. Seite 210
Lösung | Seite 226
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2 Sinusfunktion und Kosinusfunktion
Der Aufhängepunkt einer Gondel befindet
sich beim Start genau in Höhe der Gera­
den g. Wenn man weiß, um wie viel Grad
sich das Riesenrad gedreht hat, kann man
die Höhe der Gondel berechnen.
Reschad: „Klar, aber dann muss man auch
wissen, in welcher Richtung es sich dreht.“
Viktor: „Und wie soll das gehen, wenn es
sich um mehr als 90° dreht?“
Bewegungen auf einer Kreislinie sind periodische Vorgänge. Diese lassen sich mithilfe
von Sinus und Kosinus beschreiben.
Der Punkt P
​ α​ ​ (Fig. 1) liegt im ersten Quad­
ranten auf einem Einheitskreis. Für ihn gilt ​P​α​ ​( cos (α) | sin (α) )​(siehe Seite 64).
Dreht man den Punkt P
​ α​ ​ ausgehend von
der positiven x-Achse gegen den Uhrzei­
gersinn, so vergrößert sich α und wird
schließlich größer als 90°. Der Punkt P
​ ​α​
bewegt sich dabei nacheinander in die
Fig. 1
Quadranten II, III und IV (Fig. 2).
Man bezeichnet die Koordinaten von P
​ ​α​ auch in diesem Fall mit cos (α) und sin (α). Auf
diese Weise wird es möglich, auch den Winkeln α mit 90°< α < 360° einen Sinus- und
einen Kosinuswert zuzuordnen (Fig. 2).
Bezeichnung der Quadranten:
Fig. 2
Man erkennt: Sowohl die x-Koordinate als auch die y-Koordinate von P
​ α​ ​ werden nicht
größer als 1, aber auch nicht kleiner als – 1. Es gilt: – 1 ≤ sin (α) ≤ 1 und – 1 ≤ cos (α) ≤ 1.
Am Einheitskreis lässt sich außerdem ablesen: sin (360°) = sin (0°) und cos (360°) = cos (0°).
___
Bei Drehungen der Strecke ​O
​ P​α​​ können auch Winkel über 360° oder negative Winkel auf­
treten. Wie man die Definition von Sinus und Kosinus auch auf solche Winkel überträgt,
zeigen Fig. 3 und Fig. 4.
Fig. 3
Fig. 4
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V Trigonometrie – beliebige Dreiecke
Mithilfe des Punktes P
​ α​ ​ am Einheitskreis kann man jedem Winkel α einen Sinus- und
­einen Kosinuswert z­ uordnen. So entstehen die Funktionen α ¥ sin (α) und α ¥ cos (α). Sie heißen Sinusfunktion und Kosinusfunktion.
Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion sind periodisch mit der Periodenlänge 360°.
Für alle Winkel α gilt also: sin (α + k ·360°) = sin (α) und cos (α + k · 360°) = cos (α).
Dabei ist k eine beliebige ganze Zahl.
Die Sinusfunktion α ¥ sin (α) und die Kosinusfunktion α ¥ cos (α) sind periodisch.
Die Periodenlänge beträgt 360°.
Es gibt zu jedem Winkel α einen Sinus- und einen Kosinuswert.
Für die Funktionswerte gilt: – 1 ≤ sin (α) ≤ 1 und – 1 ≤ cos (α) ≤ 1.
Um die Graphen von α ¥ sin (α) und α ¥ cos (α) zu zeichnen, genügt die Kenntnis der
Funktionswerte für Winkel α mit 0 ≤ α ≤ 90°, denn die Graphen der ­Sinus- und Kosinus­
funktion sehen in einem geeigneten Koordinatensystem so aus:
vgl. hierzu Aufgabe 1
auf Seite 136
Fig. 1
Eigenschaften der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion
1. Beide Graphen haben dieselbe Form.
Verschiebt man den Graphen der Sinus­
funktion­um 90° nach links oder den der
Kosinusfunktion um 90° nach rechts, so
sind beide G
­ raphen deckungsgleich. Das
bedeutet: cos (α) = sin (α + 90°) und sin (α) = cos (α – 90°).
2. Der Graph der Sinusfunktion ist punkt­
symmetrisch zum Ursprung, der Graph der
­Kosinusfunktion ist achsensymme­trisch zur
y-Achse. Das bedeutet: sin (– α) =  – sin (α) und cos (– α) = cos (α).
Fig. 2
3. Es gilt: sin (180° – α) = sin (α) und cos (180° – α) = – cos (α) (Fig. 2).
4. Außerdem ist cos (360° – α) = cos (α) und sin (360° – α) = – sin (α) (Fig. 3).
5. Zu jedem Winkel α kann man ein recht­
winkliges
Dreieck mit der Hypotenuse
___
​​OP​α​​  zeichnen, dessen Katheten parallel zu
den Koordinatenachsen sind. Figur 4 zeigt
ein solches Dreieck für einen Winkel α mit 180° < α < 270°.
Das Anwenden des Satzes von P
­ ythagoras
ergibt: Die Gleichung ​sin​2​ (α) + ​cos​2​ (α) = 1 gilt für alle Winkel α.
Fig. 3
Fig. 4
2 Sinusfunktion und Kosinusfunktion
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