Trigonometrie

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8. April 2017
Trigonometrie und Winkelfunktionen
Wie kann man Winkel messen?
Für die Winkelmessung gibt es 3 gebräuchliche
Einheiten:
1. Grad (engl. degree)
Voller Winkel (eine Umdrehung) = 360°
Rechter Winkel = 90°
1° = 60 = 3.600 
2. Neugrad oder Gon (engl. grad)
Voller Winkel (eine Umdrehung) = 400g
Rechter Winkel = 100g
3. Bogenmaß oder Radiant (engl. radiant)
Voller Winkel (eine Umdrehung) = 2 
Rechter Winkel = Error!
Das Bogenmaß ist das Verhältnis
Error! eines Kreises,
wenn der Winkelscheitel im Mittelpunkt liegt
Welche Winkelfunktionen gibt es
und wie sind sie definiert?
Anschauliche Definition über den Einheitskreis:
ein Kreis in einem Koordinatensystem mit dem
Mittelpunkt (0/0) und dem Radius 1.
Der Scheitel des Winkels liegt im Mittelpunkt und
eine Schenkel ist die Abszisse (x-Achse).
Der zweite Schenkel schneidet den Einheitskreis im Punkt S
Die Sinusfunktion:
Jedem Winkel wird die y-Koordinate des Punktes S
zugeordnet.
Schreibweise: y = sin() oder y = sin 
Die Kosinusfunktion:
Jedem Winkel wird die x-Koordinate des Punktes S
zugeordnet.
Schreibweise: y = cos() oder y = cos 
Die Tangensfunktion:
Der Tangens ist das Verhältnis zwischen Sinus und
Kosinus eines Winkels
tan(x) = Error!
Schreibweise: y = tan() oder y = tan  = tg 
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Beispiel 1:
Ermitteln Sie folgende Funktionswerte:
sin(0°), sin(270°), sin(/2), cos(), cos(60°), sin(45°), sin(810°), tan(0), tan(45°).
Welche Eigenschaften haben die
Winkelfunktionen?
Sinus und Kosinus sind über ganz R definiert.
d.h. die Dx = R
als Bilder treten bei Sinus und Kosinus nur Werte aus
[–1 / 1] auf.
( –  / +  )  [–1 / 1]
( –  / +  )  [–1 / 1]
y = sin(x)
y = cos(x)
Die Tangesfunktion ist bei allen Nullstellen von cos(x)
nicht definiert (durch 0 darf nicht dividiert werden), das
ist bei allen ungeraden Vielfachen von /2.
Allerdings treten alle reellen Zahlen als Bilder auf.
y = tan(x)
{R \ x  R, k  Z  x = Error!   ( –  / +  )
Sinus und Kosinus sind periodisch mit der Periode 2 ,
d.h. sin(x + k 2 ) = sin(x) mit k  Z
Tangens ist periodisch mit der Periode 
Wie schreibt man Potenzen von Sinusfunktionen?
(sin x)n = sinn x
Welche Zusammenhänge gibt es zwischen den
Winkelfunktionen?
für alle x  R gilt:
sin2 x + cos2 x = 1
cos x = sin Error!
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Beispiel 2:
Skizzieren Sie die Funktionsgraphen von sin(x), cos(x) und tan(x).
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Wie kann man eine allgemeine Sinusfunktion mit
bestimmten Eigenschaften darstellen?
Es gibt vier Parameter, die man ändern kann.
m ... Ruhelage, Mittelwert
a ... Amplitude
p ... Periode
v ... Verschiebung des Anfangspunktes,
Phasenverschiebung
Die „nackte“ Sinusfunktion hat:
m=0
a=1
p=2
v=0
-5
-4
-3
-2
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1-1 0
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
Allgemeine Sinusfunktion:
f (x) = m + a.sin Error!
Beispiel 3:
Ermitteln Sie die Gleichung eines periodischen Vorgangs mit folgenden Eigenschaften: Die Funktionswerte
pendeln zwischen –5 und 15, wobei ein Maximum zum Zeitpunkt t = 20 und das nächste Minimum bei t = 26
auftritt.
Beispiel 4:
Ein periodischer Vorgang hat die Gleichung f(t) = 300 + 50 sin (0,02 t + 5). t im Bogenmaß. Welche
Eigenschaften hat die Funktion?
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Wie kann man aus Funktionswerten Argumente
berechnen?
Winkelfunktionen sind über dem gesamten
Defintionsbereich nicht bijektiv, d.h. die
Umkehrfunktion existiert nur über dem sogenannten
Hauptstamm, also
für Sinus und Kosinus über dem Bereich [–1 / +1] mit
dem Defintionsbereich [– Error! / Error!] oder [–90°
/ 90°]
für Tangens über dem Bereich ( –  / +  ) mit dem
Definitionsbereich [– Error! / Error!] oder [–90° /
90°]
Die Umkehrfunktionen heißen
Arkussinus (arcsin bzw. sin–1)
Arkuskosinus (arccos bzw cos–1)
Arkustangens (arctan bzw tan–1)
Beispiel 5:
Lösen Sie die Gleichung 5 cos x = 4,33 mit x in Grad.
Wie stellen sich die Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck dar?
Bezeichnungen bezogen auf den Winkel 
GK ..........Gegenkathete ....... (liegt  gegenüber)
AK ..........Ankathete ............. (ist ein anliegender Schenkel von )
HY ..........Hypotenuse .......... (liegt dem rechten Winkel gegenüber)
sin  = Error!
cos  = Error!
tan  = Error!
Beispiel 6:
Die Firsthöhe eines Daches beträgt 3,50 m. Die
Dachbodenbreite vom Fußpunkt des Firstbalkens bis
zum Rand beträgt 6,51 m. Wie groß ist die Dachneigung und die
Länge der Dachstuhlbalken, wenn ein Traufenüberstand von 45 cm
erreicht werden soll?
Beispiel 7:
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Um die Höhe eines Turmes h zu bestimmen, wird seine Spitze zuerst aus einer bestimmten Entfernung x
anvisiert. Der Blickwinkel (Elevationswinkel) ist  = 1,8°. Man geht dann um d = 800 m näher und bestimmt
den Elevationswinkel mit  = 2,3°. Wie hoch ist der Turm und wie weit sind die Beobachtungspunkte vom
Fußpunkt des Turms entfernt?
Welche Beziehung gibt es für allgemeine Dreiecke?
Übliche Beschriftung eines Dreiecks:
Der Eckpunkt A mit dem Winkel 
liegt der Seite a gegenüber
Sinussatz:
Error! = Error!
Nur für die Fälle:
kein Winkel bekannt, bzw.
ein Winkel und die anliegenden Seiten
Kosinussatz:
c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ
Beispiel 8:
In einem Gelände soll die Strecke x gemessen werden. Eine direkte Vermessung ist wegen eines Sees nicht
möglich. Vom Standpunkt S werden die Strecken a = 3,5 km und b = 4,8 km und der Winkel  = 34°18‘25“
bestimmt. Wie groß ist x und der Winkel ?
B

x
a

A
b
S
Lösungen
Beispiel 1:
Ermitteln Sie folgende Funktionswerte:
sin(0°), sin(270°), sin(/2), cos(), cos(60°), sin(45°), sin(810°), tan(0), tan(45°).
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sin(0°) = 0
sin(270°) = –1
sin(/2) = 1
cos() = –1
cos(60°) = 0,5
0
sin(45°) = 5 , weil x- und y-Koordinate von S gleich groß sind, daher (sin(45°))2 + (sin(45°))2 = 1
sin(810°) = sin(810° – 2 · 360°) = sin(90°) = 1
tan(0) = Error! = Error! = 0
tan(45°) = 1, weil sin(45°) = cos(45°)
Beispiel 2:
Skizzieren Sie die Funktionsgraphen von sin(x), cos(x) und tan(x).
sin(x):
y = cos(x)
y = tan(x)
Beispiel 3:
Ermitteln Sie die Gleichung eines periodischen Vorgangs mit folgenden Eigenschaften: Die Funktionswerte
pendeln zwischen –5 und 15, wobei ein Maximum zum Zeitpunkt t = 20 und das nächste Minimum bei t = 26
auftritt.
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Zwischen Maximum und nachfolgendem Minimum vergeht eine halbe Periode  p = 12.
Die Mittellage ist das arithmetische Mittel zwischen Maximum und Minimum, also m = 5.
Die Amplitude ist der Abstand von Maximum oder Minimum zu der Mittellage oder die halbe Differenz
zwischen Maximum und Minimum, daher a = 10
Die Phasenverschiebung erhält man, indem man einen möglichen Startpunkt (S liegt auf der positiven xAchse, Mittellagendurchgang mit positiver Steigung) ermittelt. Bei uns eine Viertelperiode vor dem Maximum,
also v = 3. Dieser Wert ist nicht eindeutig bestimmbar, jedes geradzahlige Vielfache der Periode kann addiert
werden. Möglich also auch: v = 27, v = 51, v = –21 usw.
Die Darstellung ist also: f(t) = 5 + 10 sin Error! = 5 + 10 sin(0,524 t – 1,57)
Beispiel 4:
Ein periodischer Vorgang hat die Gleichung f(t) = 300 + 50 sin (0,02 t + 5). t im Bogenmaß. Welche
Eigenschaften hat die Funktion?
Die Werte schwanken um die Mittellage 300 zwischen 250 und 350. Die Periode beträgt wegen 0,02 =
Error! gleich 314. Der Startpunkt liegt wegen 0,02 t + 5 = 0  t = – 250 oder –250 + 314 = 64 . Das erste
Maximum mit positivem t tritt zum Zeitpunkt t = 142,5 auf, das nächste Minimum bei t = 299,5
Beispiel 5:
Lösen Sie die Gleichung 5 cos x = 4,33 mit x in Grad.
5 cos x = 4,33  cos x = 0,866  x = arccos(0,866) = 30°
Allerdings löst auch x = – 30° bzw.  30° + k · 360° (k  Z) die Gleichung.
Beispiel 6:
Die Firsthöhe eines Daches beträgt 3,50 m. Die Dachbodenbreite vom Fußpunkt des Firstbalkens bis zum
Rand beträgt 6,51 m. Wie groß ist die Dachneigung und die Länge der Dachstuhlbalken, wenn ein
Traufenüberstand von 45 cm erreicht werden soll?
tan  = Error!   = arctan Error! = arctan (0,537…) =
28,264…°
Dachneigung = 28° 15‘ 50“
sin  = Error!  d = Error! = 7,39 m
Länge der Balken = 7,39 + 0,45 m = 7,84 m.
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Beispiel 7:
Um die Höhe eines Turmes h zu bestimmen, wird seine Spitze zuerst aus einer bestimmten Entfernung x
anvisiert. Der Blickwinkel (Elevationswinkel) ist  = 1,8°. Man geht dann um d = 800 m näher und bestimmt
den Elevationswinkel mit  = 2,3°. Wie hoch ist der Turm und wie weit sind die Beobachtungspunkte vom
Fußpunkt des Turms entfernt?
tan  = Error! und tan  = Error!
Auflösen nach h und Vergleich ergibt:
(d + x) tan  = x tan  
d tan  = x (tan  – tan )
x = Error! = 2.877 m
h = x tan  = 115,6 m
Beispiel 8:
In einem Gelände soll die Strecke x gemessen werden. Eine direkte Vermessung ist wegen eines Sees nicht
möglich. Vom Standpunkt S werden die Strecken a = 3,5 km und b = 4,8 km und der Winkel  = 34°18‘25“
bestimmt. Wie groß ist x und der Winkel ?
Es gilt : Kosinussatz x2 = a2 + b2 – 2ab cos 
also:
 = 34 + Error! = 34,306…
x2 = 3,52 + 4,82 – 2 · 3,5 · 4,8 · cos (34,306) = 7,535…
x = 2,75
B

x
a
Es gilt: Sinussatz: Error!
sin  = Error! = 0,984…
 = arcsin 0,984… = 79,667…° = 79°40‘03“.

A
b
S
Die Strecke AB ist 2,75 km lang und der Winkel beim
Punkt B ist 79,667° = 79°40‘03“.
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