Übungen Tutorium

Übungen 5: Theoretische Verteilungen
Diskrete Verteilungen
Gleichverteilung:
Alle Elementarereignisse müssen die gleiche Wahrscheinlichkeit haben!
z.B. idealer Münzwurf; Würfelwurf, etc.
Binomialverteilung:
n
P( X  k )  b(k ; n; p)     p k  (1  p)nk
k 
, 0  p 1
Dabei ist p die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses X (z.B., „Zahl“), welches k-mal auftreten
soll.
Erwartungswert der Binomialverteilung:
E( X )  n  p
Varianz der Binomialverteilung:
VAR( X )  n  p  (1  p)
Neben Einzelwahrscheinlichkeiten sind auch Summenwahrscheinlichkeiten zu ermitteln:
Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A mehr / weniger als k-mal vorkommt:
P( X  k )  P( X  0)  P( X  1)  ...  P( X  k )
P( X  k )  1  P( X  k )  1  ( P( X  0)  P( X  1)  ...  P( X  k ))
Aufgabe 1)
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei dreimaligem Münzwurf genau zweimal „Wappen“
zu werfen ?
Aufgabe 2)
Wie wahrscheinlich ist es, beim dreimaligen Würfeln genau 2 Sechsen zu Würfeln?
Aufgabe 3)
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit beim fünfmaligen Werfen einer Münze höchstens
dreimal Zahl zu werfen?
Stetige Verteilungen
Bisher „überschaubare“ Zufallsexperimente, d.h. es gab nur relativ wenige mögliche
Ereignisse. Typ. Beispiel ist der einfache Würfelwurf mit seinen 6 möglichen Ereignissen. Ein
solches Zufallsexperiment, bei dem die Ereignisse einzelne, isolierte Werte sind, wird diskret
genannt, die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung wird diskrete
Wahrscheinlichkeitsverteilung oder kurz: diskrete Verteilung genannt. Binomialverteilung ist
ein typisches Beispiel hierfür. Hier kann man die Wahrscheinlichkeit für Elementarereignisse
mittels der Formel (siehe oben) berechnen.
Problem: Ergebnisse von Zufallsexperimenten müssen nicht immer diskrete Werte sein. Z.B.
kann die zufällige Wartezeit auf einen Bus irgendeinen Wert in dem Intervall [0,∞)
annehmen. Er kann in 1 Minute und 23.75 Sekunden, aber auch eine Zehntelsekunde später
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eintreffen. In so einem Fall spricht man von einem stetigen Zufallsexperiment, bzw. einer
stetigen Verteilung. Hier werden nicht mehr für Elementarereignisse, sondern für Intervalle
die Wahrscheinlichkeit bestimmt.
Normalverteilung:
Wichtigste Verteilungsfunktion, ist eine stetige Verteilung, deren Dichte die Form einer
Glocke hat Gauß’sche Glockenkurve. Inhaltlich bedeutet dies, dass die Ereignisse im
mittleren Bereich große Wahrscheinlichkeit haben, Ereignisse in den Randbereichen eher
seltener auftreten werden.
Die Normalverteilung wird mit N(µ, σ2) abgekürzt. Dabei sind µ und σ Parameter der
Normalverteilung, welche die Lage und die Breite der Glockenkurve bestimmen.
µ = ist der Erwartungswert der Verteilung; Bereich mit der größten Wahrscheinlichkeit
σ2 = Varianz der Verteilung und bestimmt die Breite
Bei der Normalverteilung N(µ, σ2) hat jedes Intervall [a,b] eine bestimmte
Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Fläche unter der Dichte ƒN auf
diesem Intervall.
1 x 

 

 
1
2
f X ( x) 
e
 2
2
,  x
 Formel ist sehr kompliziert, daher werden Wahrscheinlichkeiten bei der Normalverteilung
mit Hilfe von Tabellen bestimmt!
Tafeln enthalten immer nur positive Werte; wegen der Symmetrie der NV gilt aber für
negative xi:
( x )  1  (  x )  (  x )  1   ( x )
Standardnormalverteilung:
Statt riesige Tabellen für unterschiedliche Parameter µ und σ2 zu erstellen, wurde nur eine
Normalverteilung mit µ = 0 und σ2 = 1 tabelliert. Dies reicht aus, weil eine N(µ, σ2)Verteilung immer in eine N(0,1)-Verteilung umgerechnet werden kann. Für µ = 0 und σ2 = 1
heißt die Verteilung Standardnormalverteilung.
Umrechnen einer N(µ, σ2)-Verteilung in eine N(0,1)-Verteilung geschieht durch die
z-Transformation:
z
x

Beim Ausrechnen von Wahrscheinlichkeiten wird immer auf die Tabelle der
Standardnormalverteilung zurückgegriffen!
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Aufgabe 4)
Aus der Erfahrung sei bekannt, dass die jährliche Niederschlagsmenge X (in mm) einer
Region in etwa normalverteilt ist mit Mittelwert μ = 400 und Standardabweichung σ = 100.
a) mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Niederschlagsmenge X zwischen 300 und
425?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Niederschlagsmenge X größer als 425?
Hinweis: die Werte der Verteilungsfunktion sind der entsprechenden Tabelle zu entnehmen.
Aufgabe 5)
Eine Zufallsvariable X besitze die folgende Verteilung:
x
0
1
2
3
P(X=x)
0.40
0.30
0.15
0.15
Berechne E(X) und Var(X)
Aufgabe 6)
In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, von denen 4 rot gefärbt sind. Wir ziehen 4 Kugeln mit
zurücklegen.
X: Anzahl der roten Kugeln.
Warum liegt hier eine Binomialverteilung vor?
Erstelle eine Tabelle mit den Wahrscheinlichkeiten, genau k Erfolge (rote Kugeln) zu haben.
Bestimme den Erwartungswert und prüfe, ob µ = kmax.
Aufgabe 7)
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Pendler mit dem Auto zur Arbeit fährt, sei 0,9.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 10 Pendlern einer Siedlung alle 10 mit
dem Auto fahren?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 8 von 10 Pendlern mit dem Auto
fahren?
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