Übung 2

Übung 2: Grundbegriffe mathematischer
Statistik
In dieser Übung geht es um folgendes Zufallsexperiment: Mit zwei (idealen) Würfeln wird
gleichzeitig gewürfelt. Das Ergebnis des ersten Würfels wird nicht von dem Ergebnis des
zweiten Würfels beeinflusst. Es interessiert die Summe der Augen beider Würfel: Wenn beide
Würfel also z.B. die Zahl 1 zeigen, ergibt sich als Summe der Wert 2. "Summe der Augen" ist
die Zufallsvariable, um die es im folgenden gehen soll.
1. Erstellen Sie eine Tabelle, aus der hervorgeht, welche Ereignisse im Rahmen des
beschriebenen Zufallsexperiments möglich sind.
2. Mit welchen beiden Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten kann man die folgenden zwei
Fragen beantworten? Wenden Sie die entsprechenden Rechenregeln an, und überprüfen
Sie das Ergebnis, indem Sie die jeweilige Anzahl der "günstigen" Fälle aus der vorherigen
Tabelle (Frage 1) zur Gesamtzahl aller "gleichmöglichen" Fälle ins Verhältnis setzen
(klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff).
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit beiden Würfeln eine 6 zu erhalten? Anders
gefragt: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste und der zweite Würfel eine 6
zeigen?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit mindestens einem Würfel eine 6 zu erhalten?
Anders gefragt: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste oder der zweite Würfel
eine 6 zeigt (gemeint ist das inklusive Oder)?
3. Betrachten Sie jetzt wieder alle möglichen Ereignisse des Zufallsexperiments (s. Frage 1),
und berechnen Sie für jede Realisation des Zufallsexperiments die Zufallsvariable
"Summe der Augen".
a) Welche möglichen Ausprägungen kann die Zufallsvariable Augensumme annehmen?
b) Handelt es sich um eine diskrete oder eine kontinuierliche Zufallsvariable?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augen 5 beträgt?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Augensumme kleiner als 3 zu würfeln?
4. Betrachten Sie nun ein anderes Zufallsexperiment: Aus einem gut durchmischten
französischen Kartenblatt (52 Karten) wird verdeckt eine Karte gezogen und beiseite
gelegt. Danach wird das Kartenblatt erneut gemischt und verdeckt eine zweite Karte
gezogen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei beiden Karten um rote Karten
handelt? Anders gefragt: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste und die zweite
Karte rote Karten sind? Verwenden Sie zur Berechnung eine geeignete Rechenregel für
Wahrscheinlichkeiten.
b) Warum kann man in diesem Fall nicht von unabhängigen Ereignissen ausgehen? Welchen
Wert hat die entsprechende bedingte Wahrscheinlichkeit?
5. Die Gesamthochschule Baringhausen hat insgesamt 5.900 eingeschriebene Studenten und
besteht aus insgesamt 11 Fakultäten. Viele Studienrichtungen sind vertreten: sozial-,
natur- und geisteswissenschaftliche. Ein Lehrforschungsprojekt der Fakultät für
Soziologie plant eine Sozialerhebung der Studierenden. Aus Kostengründen kann keine
Totalerhebung durchgeführt werden. Für eine Zufallsstichprobe will man zunächst
abschätzen, mit welcher Wahrscheinlichkeit Studierende der verschiedenen
Studienrichtungen in der Stichprobe vorkommen können. Ebenso interessiert die
Verteilung nach Geschlecht und Studienabschnitt (Grund- und Hauptstudium). Die
folgende Tabelle beruht auf einer Auswertung der Studentensekretariats.
-----------------------------------------------------------------|
|
Studienabschnitt
|
|
|
|-------------------------|
|
|
| Grundstud. | Hauptstud. | Insgesamt |
|-------------------------+------------+------------+------------|
| Studien- | Geschlecht |
|
|
|
| richtung |
|
|
|
|
|------------|------------|
|
|
|
|
natur| männlich |
900 |
600 |
1500 |
|
wissen- |------------+------------+------------+------------|
| schaftlich | weiblich |
300 |
200 |
500 |
|------------+------------+------------+------------+------------|
|
sozial- | männlich |
500 |
300 |
800 |
|
wissen- |------------+------------+------------+------------|
| schaftlich | weiblich |
200 |
1000 |
1200 |
|------------+------------+------------+------------+------------|
| geistes- | männlich |
600 |
100 |
700 |
|
wissen- |------------+------------+------------+------------|
| schaftlich | weiblich |
200 |
1000 |
1200 |
|-------------------------+------------+------------+------------|
|
Insgesamt |
2700 |
3200 |
5900 |
------------------------------------------------------------------
Angenommen, man wählt zufällig einen Studierenden aus der Grundgesamtheit aller
Studierenden aus, was ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
a) dass er/sie ein naturwissenschaftliches Fach studiert? W(Naturwiss.) = ?
b) dass es sich um eine Frau handelt? W(weiblich) = ?
c) dass es sich um einen männlichen Studierenden mit sozialwissenschaftlicher Fachrichtung
handelt? W(Sozialwiss. UND männlich) = ?
d) dass es sich entweder um eine Person handelt, die ein geisteswissenschaftliches Fach
studiert, oder um eine weibliche Studierende? W(Geisteswiss. ODER weiblich) = ? Gemeint
ist das inklusive Oder.
e) dass die Person weder ein geisteswissenschaftliches Fach studiert, noch eine Frau ist, noch
sich im Hauptstudium befindet? W(nicht Geisteswiss. UND nicht weiblich UND nicht
Hauptstudium) = ?
6. Die vorherigen Fragen lassen sich leicht mit Hilfe der klassischen
Wahrscheinlichkeitsdefinition beantworten. Einige der Fragen betreffen
zusammengesetzte Ereignisse, z.B. einen männlichen Studierenden
sozialwissenschaftlicher Fachrichtung, und es stellt sich die Frage, wie man die
Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse (Sozialwissenschaften, Mann) kombinieren
kann, um die Wahrscheinlichkeit des zusammengesetzten Ereignisses zu bestimmen.
a) Demonstrieren Sie an Hand der Frage 5c, dass im allgemeinen Fall die Wahrscheinlichkeit,
sowohl das Ereignis A als auch das Ereignis B zu beobachten, nicht dem Produkt der
Einzelwahrscheinlichkeiten entspricht: W(A UND B) ungleich W(A)*W(B). Warum ist das
so?
b) Demonstrieren Sie bitte an Hand der Frage 5d, dass im allgemeinen Fall die
Wahrscheinlichkeit, entweder das Ereignis A oder das Ereignis B zu beobachten, nicht der
Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten entspricht: W(A ODER B) ungleich W(A)+W(B).
Warum ist das so?
Sie befragen 1000 Frauen, die alle 1 Kind haben, über die Anzahl ihrer Töchter. Welche
Wahrscheinlichkeitsfunktion ist hier für die Beschreibung geeignet und wie lauten
Erwartungswert und Varianz der Variable „Anzahl der Töchter“, wenn man davon ausgeht,
dass genauso viele Mädchen wie Jungen geboren werden. Wir gehen vereinfachend davon
aus, dass keine Kinder der befragten Mütter gestorben sind.
Wie kann man den Erwartungswert inhaltlich interpretieren?
Wie müsste man den Erwartungswert berechnen, wenn 1000 Frauen mit je 6 Kindern nach der
Anzahl ihrer Töchter befragt würden?