Abitour-Lernkarten AnaGeo LK

S(–8|4|–7); T(3|–3|7); U(3|0|7)
Berechne
a) ST .
b) den Gegenvektor von UT .
 2
3
 
 
a   3  ; b   0 
5
 5 
 
 
S(8|–1|5); T(4|–5|7);
Berechne die Länge der Strecke ST.
S(–8|4|–7); T(3|–3|7);
Berechne den Mittelpunkt MST
auf zwei Arten.
Berechne 2  a  3  b .
A(3|4|–3), B(–1|2|4), C(2|3|–2)
Bestimme D so, dass
ABCD ein Parallelogramm ist.
 2
3
 
 
a   3  ; b   0 
5
 5 
 
 
Berechne a  b und axb
Überprüfe, ob die Punkte
A(–2|3|1), B(4|–1|2) und
C(–6|5|–2) ein
echtes Dreieck bilden.
A(3|4|–3), B(–1|2|5), C(2|3|–2)
Überprüfe, ob das Dreieck ABC
bei A einen rechten Winkel hat.
2
1
S(8|–1|5); T(4|–5|7);
 4 
 
ST   4   16  16  2 = 6
 2
 
3
S(–8|4|–7); T(3|–3|7),
U(3|0|7)
 11 
a) ST =  7 
 14 
 
0
b) – UT = TU =  3  .
0
 
4
S(–8|4|–7); T(3|–3|7);
a) MST =
((–8+3):2|(4–3):2|(7–7):2)
= (–2,5|0,5|0)
1
b) OMST  OS   ST
2
5
A(–2|3|1), B(4|–1|2), C(–6|5|–2)
6
 10 
 


AB   4  und BC   6  sind
 1
 4 
 


nicht kollinear A, B, C liegen
nicht auf einer Geraden.
 ABC ist ein echtes Dreieck.
7
A(3|4|– 3), B(–1|2|5), C(2|3|–2)
 4   1
   
AB  AC   2    1 = 14  0
 8   1
   
Kein rechter Winkel bei A.
 2
3
 
 
a   3  ; b   0 
5
 5 
 
 
 2  2  3  3   5 
2  a  3  b =  2  ( 3)  3  0    6 
 2  5  3  ( 5)   25 

  
6
A(3|4|–3), B(–1|2|4), C(2|3|–2)
OD  OA  BC [ = OC  AB ]
 D(6|5|–9)
8
a  b  2·3+(–3)·0+5·(–5) = –19
 ( 3)  ( 5)  5  0 
axb =  [2  ( 5)  5  3]  =
 2  0  ( 3)  3 


 15 
 
 25 
9
 
Eine Ebene ist gegeben
durch die Punkte
A(3|4|–3), B(–1|2|4)
und C(2|3|–2)
Gegeben sind eine Ebene
E: 2x–4y+4z=24 und
ein Punkt P(5|2|–3)
Bestimme einen
Normalenvektor
der Ebene.
Ermittle eine Gleichung
der Lotgeraden l
zu E durch P.
Zeichne den Punkt P(–2|3|1)
in ein Standard–
Koordinatensystem ein.
Welche Koordinaten hätte P,
wenn man ihn als Punkt im
xy–Koordinatensystem
abliest?
S(–8|4|–7), T(3|–3|7);
U(3|5|2)
Berechne eine
Parameterform
der Ebene ESTU.
 1
 2
 1




 
E: x   3   r   1   s   0  ;
 4 
 2
 2
 
 
 
2
 
n   2  ist ein NV von E.
 1
 
Ermittle ein KF von E.
Ein Würfel ABCDEFGH
ist gegeben durch
die Eckpunkte
A(–1|3|1), B(4|3|1), C(4|8|1).
Berechne die Kantenlänge a
und gib zwei weitere
Eckpunkte des Würfels an.
Der Punkt A(–1|2|3) und die
 1
2
 
 
Gerade g: x   3   t   1  spannen
 4 
 2 
 
 
eine Ebene E auf.
Ermittle eine
Parameterform von E.
 2
 1
 
 
g : x   3   r   2 
 1
 2 
 
 
0
 2 
 
 
h : x   3   r   4 
 2
 4
 
 
Ermittle die Lage von g zu h.
10
9
 4   1
n = AB x AC   2  x  1
 7   1
   
5
=  3 
 2
 
Der NV von E ist RV
der Lotgeraden:
5
 2


l: x  OP  t  n   2   t   4 
 3 
 4
 
 
11
a= AB =5;
OD  OA  BC  D(–1|8|1)
A, B, C liegen in der
Ebene z=1
 E(–1|3|6), F(4|3|6),
G(4|8|6), H(–1|8|6)
13
12
P(–2|3|1)
Von –2 auf der x–Achse,
3 LE parallel zur y–Achse und
dann 1 LE parallel zu z–Achse.
P‘(4|2)
14
Mit B(1|3|4) ist AB
ein zweiter RV.
 1
2
 2
 
 
E: x   3   r   1  + s   1 
 4 
 2 
 7 
 
 
 
15
RV sind kollinear (Faktor k=–2)
g ||h.
 1
r  2
0  2 

  · 
  = 
3

3

r

2
r

3


   
 


 2 
 2  1 
 


   
g  h  g echt parallel zu h.
E: x  OS  r  ST  s  SU
 8 
 11 
 11
=  4   r   7   s   1 
 7 
 14 
9
 
 
 
16
 1
E: n  x  n   3 
 4
 
= 2·1–2·3+1·4 = 0
E: 2x – 2y + z = 0
Ein Flugzeug durchfliegt
P0(12|–4|8) und dann Q(8|0|6)
mit 720 km/h
(Einheit km).
Berechne die Position Pt
genau t Stunden nach
dem Durchflug von P.
Bei welchen Winkelaufgaben
kommen keine Beträge im
Zähler vor,
bei welchen wird
mit Sinus gerechnet?
Bestimme den Abstand des
Punktes P(4|–2|1) von der
 4 
2
Geraden g: x   5   t   1
 1
2
 
 
sowie den Lotfußpunkt F.
Wie zeigt man, dass eine
Gerade parallel zu
einer Ebene verläuft?
Wie ermittelt man zu
zwei Fluggeraden g(t) und h(t)
(gleiche Zeitmessung)
den kleinsten Abstand
der Flugzeuge?
Berechne den Abstand des
Punktes P(3|–4|4) zur
Ebene E: 2x – 2y + z = 6.
Wie führt man die
Berechnung des Abstandes
zweier paralleler Geraden
auf ein anderes
Abstandsproblem zurück?
Beschreibe, wie man einen
Punkt P an einer
Ebene E spiegelt.
17
Berechne das absolute
Minimum der Funktion
d(t) = g(t)–h(t)
= (gx (t)  hx (t))2  ...  (gz (t)  hz (t))2 .
Es genügt die Parabel
unter der Wurzel
zu minimieren, die
genau ein Minimum hat.
18
19
20
d(P,E) =
| 2  3  2  ( 4)  1 4  6 |
22  22  12
12
=
= 4 LE
3
PQ  6 ; 720:6 = 120;
g: x  OP  120  t  PQ
 12   480 
=  4  +t·  480 
 8   240 
  

Pt(12–480t|–4+480t|8–240t)
a) Winkel zwischen Vektoren
b) Winkel zwischen Gerade und
Ebene.
22
21
 8  2t   2 
  7  t    1  0
 2  2t   2 

  
 – 27 + 9t =0  t= 3 
F(2|2|5); PF = 6 LE
Man berechnet den Abstand
eines beliebigen Punktes der
einen Gerade von der
anderen Geraden.
23
Mithilfe der Lotgeraden
l: x  OP  t  n den
Fußpunkt F des Lotes
von P auf F bestimmen.
Den Bildpunkt P‘ mit
OP'  OP  2  PF  OF  PF
oder OP'  OF  PF
berechnen.
F(–4+2t|5–t|–1+2t)
Ansatz: PF  RVg  0
24
Das Skalarprodukt aus
Richtungsvektor
und Normalenvektor muss
null ergeben, d. h. die
Vektoren müssen senkrecht
zueinander verlaufen.
Eine Lampe in
L(3|–8|12) erzeugt einen
Schatten des Punktes
P(1|–4|8) auf dem Boden.
Ermittle den Schattenpunkt P‘.
Eine Lampe in L(1|–6|13)
erzeugt einen Schatten des
Punktes Q(7|–10|11) auf
der Ebene E: x+2y+2z=3.
Ermittle den Schattenpunkt Q‘.
Beschreibe, wie man
nachweist, dass eine
Gerade parallel zu einer
Ebene verläuft.
Ein Flugzeug in
P(–2|8|6) ist nach 30 s
in Q(0|6|5) (Einheit km).
Berechne seine
Geschwindigkeit in km/h.
Gegeben ist die Ebenenschar
Ea: 2x + 2y – z = a; a  IR.
Begründe die Lagebeziehung der
Ebenen zueinander und ermittle
die Ebene, auf der der
Punkt P(1|3|–5) liegt.
Welches Viereck liegt vor?
a) AB  DC
b) AB  DC  AB  AD = 0
c) AB  DC  AB  AD
d) AB  DC  AC  BD
e) AB  k  DC
f) AB  AD  BC  DC
Gegeben ist die Ebenenschar
Ea: 2x + 2y – z = a; a  IR.
Von welcher Scharebene hat
A(–1|2|4) den Abstand 6?
Et: 4x +2ty – 2tz =12; t  IR
 1
 1
 
 
g: x   9   r   2 
 1
 3 
 
 
Ermittle, für welche Werte
von t die Ebene
die Gerade schneidet.
25
26
27
28
Schattengerade s:
 1
6
x  OL  t  LP =  6   t   4 
 13 
 2 
 
 
Schnitt mit E:
1+6t+2(–6–4t)+2(13–2t) = 3
–6t = –12  t = 2
 Q‘(13|–14|9)
v=
=
Schattengerade
3
 2 


g: x  OL  t  LP =  8   t   4 
 12 
 4 
 
 
Bodenebene E: z=0
g  E: 12 –4t = 0  t = 3
P‘(–3|4|0)
Weg
= PQ :(30s)
Zeit
RV der Geraden und
NV der Ebene müssen
kollinear sein:
k u  n
km
3 km 6 km
= 360
h
30 s min
29
30
d(A,Ea) =
| 2  ( 1)  2  2  1 4  a |
6
3
 |–2–a| = 18
 –2–a=18 v –2–a = –18
 a = –20 v a = 16
g  Et:
4(1–r)+2t(9+2r)–2t(–1–3r)= 12
 –4r+18t+4tr+2t+6tr = 8
 r(–4+10t) = 8–20t
4(2  5t)
r=
= –2, falls t  0,4
2(2  5t)
Für t  0,4 schneiden sich die
Ebenen mit der Gerade in S(3|5|5).
E0,4 verläuft echt parallel zu g.
31
Die Ebenen sind parallel,
da der Normalenvektor
bei allen Ebenen gleich ist.
2·1+2·3–1·(–5) = a
 a = 13
32
a) Parallelogramm
b) Rechteck
c) Raute / Rhombus
d) Rechteck
e) Trapez
f) Drachenviereck
Wie überprüft man,
ob ein Punkt P
a) auf einer Strecke AB liegt.
b) In einem Parallelogramm
ABCD liegt
Wie ermittelt man zu einer
Geraden g: x  OA  r  AB
die Punkte auf g, die 5 LE
von A entfernt sind?
Wie bestimmt man
das Volumen
einer Dreiecks–
pyramide ABCS?
Die Koordinaten eines Punktes
P(a|b|c) sind gegeben.
Wie spiegelt man P
rechnerisch an
a) einer Koordinatenachse?
b) einer Koordinatenebene
c) einem Punkt Q?
Wie zeigt man, dass
a) ein Dreieck ABC
gleichschenklig ist?
b) ein gleichschenkliges
Dreieck auch
rechtwinklig ist?
Gegeben sei eine Pyramide
ABCS mit Volumen V.
Wo liegen alle Punkte S’,
die mit ABC das
gleiche Volumen V haben?
Berechne zu
E: 3x + 4y –z = 6
die Achsen–
abschnitte.
Beschreibe die Lage der Ebenen:
a) E: x = 2.
b) F: 3x + z = 6
c) Gib zu E und F einen
Normalenvektor an.
34
33
OP  OA  5 
AB
AB
35
a) x–Achse: P‘(a|–b|–c);
y–Achse: P‘(–a|b|–c);
z–Achse: P‘(–a|–b|c)
b) xy–Ebene: P(a|b|–c);
xz–Ebene: P(a|–b|c);
yz–Ebene: P(–a|b|c);
c) OP'  OP  2  PQ  OQ  PQ
a) Die Punktprobe
OP  OA  r  AB ergibt einen
Wert für r mit 0 r 1.
b) Die Punktprobe
OP = OA  r  AB + s· AD
ergibt für r und s Werte
mit 0 r, s 1
36
V=
1
3
G  h mit
1
 AB x AC
2
und
h = SF = d(S,E).
G = A(ABC) =
38
a) Man überprüft, ob
(mindestens) 2 Seitenvektoren
gleich sind.
37
6:3 = 2; Sx(2|0|0),
5:4=1,5; Sy(0|1,5|0),
b) Man untersucht, ob das
Skalarprodukt der gleich langen
Seitenvektoren
gleich null ist.
6:(–1) = –6; Sz(0|0|–6)
40
39
a) Parallel zur yz–Ebene
durch (2|0|0)
b) Parallel zu y–Achse
durch (2|0|0) und (0|0|6)
1. Auf der Ebene, die durch S
und parallel zu EABC verläuft.
2. Auf der Ebene, die durch S‘ und
parallel zur Ebene EABC verläuft.
S‘ ist die Spiegelung
von S an EABC.