Superposition von Wellen

Zusammenfassung EM Felder und Wellen
Stefan Rickli
Maxwell-Gleichungen
1)
2)
3)
Mikroskopische Maxwell-Gleichungen: E und B
Makroskopische Maxwell-Gleichungen (Materie): E, D, B und H
4)
lokal allgemein in Differentialform:
1)
1)
4)
2)
3)
𝑫(𝒓, 𝑡) = 𝜀0 𝑬(𝒓, 𝑡) + 𝑷(𝒓, 𝑡)
𝑩(𝒓, 𝑡) = 𝜇0 [𝑯(𝒓, 𝑡) + 𝑴(𝒓, 𝑡)]
4)
𝑉
𝜕
∫𝑩(𝒓, 𝑡) ⋅ 𝑑𝒂
𝜕𝑡 𝐴
𝜕𝐴
𝜕
∫ 𝑯(𝒓, 𝑡) ⋅ ⅆ𝒔 = ∫ [𝒋(𝒓, 𝑡) + 𝑫(𝒓, 𝑡)] ⋅ 𝑑𝒂
𝜕𝑡
𝜕𝐴
𝐴
∫ 𝑩(𝒓, 𝑡) ⋅ 𝑑𝒂 = 0
𝜕𝑉
𝜕
𝜌(𝒓, 𝑡)
𝜕𝑡
monochromatische Wellen:
Ansatz: 𝑬(𝒓, 𝑡) = Re{𝑬(𝒓) ⋅ 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 }
1)
2)
3)
4)
Vereinfachung: Linearisierung des Ausbreitungsmediums
lineare, isotrope Medien (im Vakuum (𝜀𝑟 = 𝜇𝑟 = 1) oder monochromatisch im Medium, siehe konstituierende Relationen):
𝑫 = 𝜀0 𝑬 + 𝑷
= 𝜀0 𝑬 + 𝜀0 χ𝐄
= ε0 (1 + 𝜒𝑒 )𝑬 = ε0 εr 𝑬
εr = (1 + 𝜒𝑒 ε0 ), 𝜒𝑒 : el. Suszeptibilität
⇒
𝑩 = 𝜇0 𝑯 + 𝜇0 𝑴 = 𝜇0 𝑯 + 𝜇0 𝜒𝑚 𝑯 = 𝜇0 (1 + 𝜒𝑚 )𝑯 = 𝜇0 𝜇𝑟 𝑯
𝜇𝑟 = (1 + 𝜒𝑚 ),
𝜒𝑚 : magn. Suszeptibilität
∫ 𝒋(𝒓, 𝑡) ⋅ 𝑑𝒂 = −
𝜕𝑉
𝜕
∫𝜌(𝒓, 𝑡) ⋅ 𝑑𝑉
𝜕𝑡 𝑉
Spektraldarstellung:
Annahme: keine räumliche Dispersion (siehe konst. Relationen)
∇ ⋅ 𝑫(𝒓) = 𝜌(𝒓)
∇ × 𝑬(𝒓) = 𝑖𝜔𝑩(𝒓)
∇ × 𝑯(𝒓) = −𝑖𝜔𝑫(𝒓) + 𝒋(𝒓)
∇ ⋅ 𝑩(𝒓) = 0
Übersicht über die in der totalen Stromdichte vorkommenden Terme:
𝒋𝑓𝑟𝑒𝑒 =𝒋(𝒓,𝑡)
∫ 𝑬(𝒓, 𝑡) ⋅ ⅆ𝒔 = −
Kontinuitätsgleichung:
Kontinuitätsgleichung:
∇ ⋅ 𝒋(𝒓, 𝑡) = −
∫ 𝑫(𝒓, 𝑡) ⋅ 𝑑𝒂 = ∫𝜌(𝒓, 𝑡) ⋅ 𝑑𝑉
𝜕𝑉
∇ × 𝑬(𝒓, 𝑡) = −
3)
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global allgemein in Integralform:
∇ ⋅ 𝑫(𝒓, 𝑡) = 𝜌(𝒓, 𝑡)
𝜕
𝑩(𝒓, 𝑡)
𝜕𝑡
𝜕
∇ × 𝑯(𝒓, 𝑡) = 𝑫(𝒓, 𝑡) + 𝒋(𝒓, 𝑡)
𝜕𝑡
∇ ⋅ 𝑩(𝒓, 𝑡) = 0
2)
Don’t panic!
finde zu gegebenen Grössen die entsprechenden Formeln
Was kann vereinfacht werden?
Was kürzt sich raus?
Umformen unter Zuhilfenahme der Aufgabenstellung, bis
die gesuchte Form erreicht ist.
1)
2)
3)
4)
̂ (𝒓, 𝜔) = 𝜌̂(𝒓, 𝜔)
∇⋅𝑫
̂ (𝒓, 𝜔) = 𝑖𝜔𝑩
̂ (𝒓, 𝜔)
∇×𝑬
̂ (𝒓, 𝜔) = −𝑖𝜔𝑫
̂ (𝒓, 𝜔) + 𝒋̂(𝒓, 𝜔)
∇×𝑯
̂ (𝒓, 𝜔) = 0
∇⋅𝑩
𝑫(𝒓) = 𝜀0 𝜀(𝜔)𝑬(𝒓)
𝑩(𝒓) = 𝜇0 𝜇(𝜔)𝑯(𝒓)
̂ (𝒓, 𝜔) =
𝑬
𝒋𝑡𝑜𝑡 (𝒓, 𝑡) = ⏞ ⏟
𝒋0 (𝒓, 𝑡)
source curr. dens.
𝒋free :
𝒋𝑏𝑜𝑢𝑛𝑑 :
𝒋0 :
𝒋𝑐𝑜𝑛𝑑 :
𝒋𝑑𝑖𝑠𝑝 :
𝒋𝑝𝑜𝑙 :
𝒋𝑚𝑎𝑔 :
𝒋𝑏𝑜𝑢𝑛𝑑
+ ⏟
𝒋𝑐𝑜𝑛𝑑 (𝒓, 𝑡) + ⏟
𝒋𝑑𝑖𝑠𝑝 (𝒓, 𝑡) + ⏞
𝒋𝑝𝑜𝑙 (𝒓, 𝑡) + ⏟
𝒋𝑚𝑎𝑔 (𝒓, 𝑡)
⏟
𝜎𝑬(𝒓,𝑡)
𝜀0
𝜕
𝑬(𝒓,𝑡)
𝜕𝑡
𝜕
𝑷(𝒓,𝑡)
𝜕𝑡
primäre Ströme, ‘freie’ Stromdichte, durchdringt Material
sekundäre Ströme, ‘gebundene’ Stromdichte, Reaktion der Materie, bleibt an Ort
Quellterm
Leitungs-Stromdichte, durch angelegtes E-Feld verursacht
Verschiebungs-Stromdichte (displacement current, z.B. Freisetzung von Ladungen,
welche sich absetzen)
Polarisierungs-Stromdichte (Reaktion der Materie auf angelegtes E-Feld)
Magnetisierungs-Stromdichte (Reaktion der Materie auf angelegtes H-Feld)
𝒋𝑝𝑜𝑙
𝒋𝑐𝑜𝑛𝑑
𝒋𝑚𝑎𝑔
Herleitung der Kontinuitätsgleichung
Das Umlaufintegral über das B-Feld ergibt:
∫ 𝑩(𝒓, 𝑡) ⋅ 𝑑𝑠 = 𝜇0 ∫𝒋𝑡𝑜𝑡 (𝒓, 𝑡) ⋅ 𝒏 ⅆ𝑎 +
𝜕𝐴
5)
1 ∞
∫ 𝑬(𝒓, 𝑡) ⋅ 𝑒 𝑖𝜔𝑡 ⋅ 𝑑𝑡
2𝜋 −∞
𝒋𝑑𝑖𝑠𝑝
∇×𝐌(𝒓,𝑡)
𝐴
1 𝜕
∫𝑬(𝒓, 𝑡) ⋅ 𝒏 ⅆ𝑎
𝑐 2 𝜕𝑡 𝐴
Definiere die Magnetisierung M als der Magnetisierungsstromdichte 𝒋𝑚𝑎𝑔 zugehöriges Feld:
∫ 𝑴(𝒓, 𝑡) ⋅ 𝑑𝑠 ≔ ∫𝒋𝑚𝑎𝑔 (𝒓, 𝑡) ⋅ 𝒏 ⅆ𝑎
𝜕𝐴
𝐴
∞
𝑬(𝒓, 𝑡) =
̂ (𝒓, 𝜔) ⋅ 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 ⋅ 𝑑𝜔
∫ 𝑬
−∞
̂ (𝒓, 𝜔) = 𝜀0 𝜀(𝜔)𝑬
̂ (𝒓, 𝜔)
𝑫
5)
treffen ebenfalls zu. Vgl (3.7) im Skript.
̂ (𝒓, 𝜔) = 𝜇0 𝜇(𝜔)𝑯
̂ (𝒓, 𝜔)
𝑩
Einsetzen und die magnetischen Feldanteile auf eine Seite bringen:
1
𝜕
∫ [ 𝑩(𝒓, 𝑡) − 𝑴(𝒓, 𝑡)] ⋅ 𝑑𝒔 = ∫ 𝑯(𝒓, 𝑡) ⋅ ⅆ𝒔 = ∫ [𝒋(𝒓, 𝑡) + 𝑫(𝒓, 𝑡)] ⋅ ⅆ𝒂
𝜕𝑡
𝜕𝐴 𝜇0
𝜕𝐴
𝐴
⇔
Benütze die konstituierenden Relationen für 𝑷 = 𝑓(𝑬) und 𝑴 = 𝑓(𝑩).
(𝑷(𝑬) und 𝑴(𝑩) sind Materialeigenschaften und Thema der Festkörperphysik)
∇ × 𝑯(𝒓, 𝑡) =
𝜕
𝑫(𝒓, 𝑡) + 𝒋(𝒓, 𝑡)
𝜕𝑡
globale Form
lokale Form
Daraus ergibt sich auch die Kontinuitätsgleichung:
Erklärung der Terme
𝑫 = 𝜀0 𝑬 + 𝑷:
𝑩 = 𝜇0 𝑯 + 𝜇0 𝑴
1) ∫𝜕𝑉 𝑫(𝒓, 𝑡) ⋅ 𝑑𝒂
2) ∫𝜕𝐴 𝑬(𝒓, 𝑡) ⋅ 𝑑𝒔
3) ∫𝜕𝐴 𝑯(𝒓, 𝑡) ⋅ 𝑑𝒔
4) ∫𝜕𝑉 𝑩(𝒓, 𝑡) ⋅ 𝑑𝒂
Die Reaktion der Materie auf ein externes Feld E ist das Polarisationsfeld P. Im Allgemeinen ist der Zusammenhang
nichtlinear.
Analoge Aussage mit H, M und B-Feld.
∇ ⋅ (∇ × 𝑯)
→
∇ ⋅ 𝒋(𝒓, 𝑡) +
𝜕
𝜌(𝒓, 𝑡) = 0
𝜕𝑡
testbearbeitung wegen syncproblem
Gesetz von Gauss
“Die elektrische Flussdichte über eine geschlossene Volumenoberfläche integriert ergibt die vorzeichenrichtige Summe der
Ladungen im Innern des Volumens.”
Faraday’sches Induktionsgesetz
“Das elektrische Feld entlang einer Flächenberandung aufintegriert entspricht der negativen zeitlichen Änderung des
magnetischen Flusses durch die Fläche hindurch.”
Gesetz von Ampère / Oersted mit maxwell’schem Korrekturterm
“Der magnetische Fluss durch eine Flächenberandung entspricht der Summe des Stromflusses durch die Fläche und der
zeitlichen Änderung der elektrischen Flussdichte innerhalb der Fläche.”
Magnetische Ladung existiert nur als Dipol
“Es existieren keine magnetischen Monopole. Der Nettofluss durch eine geschlossene Volumenoberfläche verschwindet
somit. Der Beitrag jeder Feldlinie wird durch eine gegensinnig orientierte Feldlinie gleichen Betrags ausgelöscht.“
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Zusammenfassung EM Felder und Wellen
Stefan Rickli
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Gesetz von Biot-Savart
EM at a glance
Verschiedene Formen von Wellen
Monochromatische Felder
Abgeleitete Grössen
𝑬(𝒓, 𝑡) ≔ Re{𝑬(𝒓) ⋅ 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 }
[𝐴] = V⋅s⁄m
[𝐵] = V⋅s⁄ 2 = T
m
[𝐷] = A⋅s⁄ 2
m
V
[𝐸] = ⁄m
[𝐹] = kg⋅m⁄ 2 = N
s
[𝐻] = A⁄m
[𝑀] = A⁄m
[𝑃] = C⁄ 2
m
[𝑆] = W⁄ 2 = N⁄m⋅s
m
Vektorpotential
magn. Flussdichte
el. Flussdichte
el. Feldstärke
Kraft
magn. Feldstärke
Magnetisierung
Polarisierung
Poynting-Vektor
𝑬(𝒓, 𝑡) ≔ Re{𝑬0 ⋅ 𝑒 𝑖𝒌⋅𝒓−𝑖𝜔𝑡 }
Kugelwellen
Zylinderwellen
Superposition von Hankelfunktionen (Linearkombination von
Besselfunktionen).
Poynting-Vektor
zeitgemittelt:
Erdbeschleunigung
Elementarladung
Coulomb
Masse Elektron
Lichtgeschwindigkeit
Vakuumpermeabilität
Vakuumpermittivität
9.81 ms
1.602 ⋅ 10−19 C
6.24 ⋅ 1018 𝑒
9.11 ⋅ 10−31 kg
2.998 ⋅ 108 ms−1
8.854 ⋅ 10−12 A s V −1 m−1
4π ⋅ 10−7 kg m s−2 A−2
g
e
C
𝑚𝑒
c
𝜀0
𝜇0
Wichtige Formeln und Definitionen
Kraftübertragung
𝑭 = 𝑞 ⋅ (𝑬(𝒓, 𝑡) + 𝒗(𝒓, 𝑡) × 𝑩(𝒓, 𝑡))
Kreiswellenzahl / wavenumber im Vakuum
𝜔 2𝜋
|𝒌𝟎 | = 𝑘0 = =
𝑐
𝜆
Kreiswellenzahl in Medium
𝜔
𝑘 = ⋅ √𝜀𝑟 𝜇𝑟 = 𝑘0 ⋅ 𝑛
𝑐
Brechungsindex / refractive index
𝑛 = √𝜀𝑟 𝜇𝑟
⟨𝑺(𝒓, 𝑡)⟩ = ⟨𝑬(𝒓, 𝑡) × 𝑯(𝒓, 𝑡)⟩ =
1
Re{𝑬(𝒓) × 𝑯∗ (𝒓)}
2
Erhaltungssätze
𝜕
𝜕
∫ 𝒋(𝒓, 𝑡) ⋅ 𝑑𝒂 = − ∫𝜌(𝒓, 𝑡) ⋅ 𝑑𝑉 ⇔ ∇ ⋅ 𝒋(𝒓, 𝑡) + 𝜌(𝒓, 𝑡) = 0
𝜕𝑡 𝑉
𝜕𝑡
𝜕𝑉
Ströme, die zu- oder abfliessen, müssen durch eine entsprechende
Ladungsänderung kompensiert werden.
1
𝑐 =
𝜀0 𝜇0
2
Wellenimpedanz
𝑍=
|𝑬|
𝜇0 𝜇𝑟
=
|𝑯| √ 𝜀0 𝜀𝑟
𝜕
𝑨(𝒓, 𝑡)
𝜕𝑡
el. Potential einer ruhenden Einzelladung (Elektrostatik!) in 𝒓′
𝑞
1
𝜙(𝒓) =
4𝜋𝜀0 |𝒓 − 𝒓′ |
Berechnung el. Potential mit Hilfe der skalaren Green’schen Funktion
1
∫ 𝐺 (𝒓, 𝒓′ )𝜌(𝒓′ , 𝑡) ⋅ 𝑑𝑉 ′
𝜙(𝒓, 𝑡) =
𝜀0 𝜀𝑟 𝑉 ′ 0
𝐺0 (𝒓, 𝒓′ ) =
1
𝜌0 (𝒓′ , 𝑡 − |𝒓 − 𝒓′ | 𝑛⁄𝑐 )
∫
⋅ 𝑑𝑉 ′
|𝒓 − 𝒓′ |
4𝜋𝜀0 𝜀 𝑉
𝑛(𝜔) = 𝑛 , 𝜀(𝜔) = 𝜀, 𝜇(𝜔) = 𝜇
Elektrostatik
Impulserhaltung
gilt im Vakuum (𝜌 = 0):
𝜕
∫𝑤 ⋅ 𝑑𝑉 = − ∫𝒋 ⋅ 𝑬 ⋅ 𝑑𝑉 + NL
𝜕𝑡 𝑉
𝑉
𝐼
𝐼𝐼
𝜕𝑉
Coulomb-Eichung
1 𝜕2
1 𝜕𝜙
⇒ [𝛻 2 − 2 2 ] 𝑨(𝒓, 𝑡) = −𝜇0 𝒋𝑡𝑜𝑡 + 2 𝛻
𝑐 𝜕𝑡
𝑐
𝜕𝑡
𝜌𝑡𝑜𝑡 (𝒓, 𝑡)
⇒
𝛻 2 𝜙(𝒓, 𝑡) = −
𝜀0
⇒
𝛻 ⋅ 𝑨(𝒓, 𝑡) = −
1
𝜕 𝜙(𝒓, 𝑡)
𝑐2 𝑡
Lorenz-Eichung
1 𝜕2
] 𝑨(𝒓, 𝑡) = −𝜇0 𝒋𝑡𝑜𝑡
𝑐 2 𝜕𝑡 2
2
1
𝜕
1
⇒ [𝛻 2 − 2 2 ] 𝜙(𝒓, 𝑡) = − 𝜌𝑡𝑜𝑡 (𝒓, 𝑡)
𝑐 𝜕𝑡
𝜀0
⇒ [𝛻 2 −
∇(𝜙) = 0
𝐼𝐼𝐼
I: Fluss des maxwell‘schen Spannungstensors durch eine Oberfläche
II: Impuls
III: 𝐹mech
⃡ × 𝒓] ⋅ 𝑑𝒂 +
∫ [𝑻
∇×𝑬=0 im Vakuum
∇ ⋅ 𝑬 = −∇2 𝜙 = 0
𝜕
𝜕
∫ ⃡𝑻 ⋅ 𝑑𝒂 − ∫𝐺field ⋅ 𝑑𝑉 = ∫ 𝐺mech ⋅ 𝑑𝑉
𝜕𝑡 𝑉
⏟𝜕𝑉
⏟
⏟𝑉 𝜕𝑡
𝛻 ⋅ 𝑨(𝒓, 𝑡) = 0
im monochromatischen Fall gilt unter Lorenzeichung
[∇2 + 𝑘 2 ]𝑨(𝒓) = −𝜇0 𝜇𝑟 𝒋0 (𝒓)
1
𝑬(𝒓) = 𝑖𝜔𝑨(𝒓) − ∇𝜙
[∇2 + 𝑘 2 ]𝜙(𝒓) = −
𝜌 (𝒓)
𝜀0 𝜀𝑟 0
Die Lösung der obigen DGL erfordert das Green’sche Kalkül (siehe
Strahlungsquellen).
𝜕
NL: Nichtlinearitäten
𝜕𝑉
Die Definition des magnetischen Feldes über das Vektorpotential mittels
𝑩(𝒓, 𝑡) = ∇ × 𝑨(𝒓, 𝑡) und Einsetzen in Maxwell 1) und 3) führt zu den
Beziehungen
4𝜋|𝑟−𝑟′ |
Maxwell 1) führt bei Elektrostatik (𝜕𝑡 𝑨 = 0) zu
𝜌
∇ ⋅ 𝑬 = −∇2 𝜙 =
𝜀
Laplace-Gleichung
∫ 𝑺 ⋅ 𝑑𝒂 +
Eichungen
exp(𝑖𝑘|𝑟−𝑟′ |)
Poisson-Gleichung
Energieerhaltung (siehe Energie und Impuls)
Drehmoment
Relation Lichtgeschwindigkeit ↔ Vakuumpermittivität /
Vakuumpermeabilität
Das Gesetz stellt eine Beziehung zwischen einem (statischen) B-Feld und
einem Quellstrom her.
𝜙(𝒓, 𝑡) =
Ladungserhaltung / Kontinuitätsgleichung
𝜇0 𝒋(𝒓′ ) × (𝒓 − 𝒓′ ) ′
∫
𝑑𝑉
|𝒓 − 𝒓′ |3
4𝜋 𝑉
Definition elektrisches (Skalar-)Potential
𝑬(𝒓, 𝑡) = −∇(𝜙(𝒓, 𝑡)) −
1
𝑬(𝒓, 𝑡) ≔ Re { 𝑬0 ⋅ 𝑒 𝑖𝑘𝑟−𝑖𝜔𝑡 }
𝑟
−2
𝑩(𝒓) =
elektrisches Potential
Ebene Wellen
Konstanten
Potentiale
𝜕
𝜕
∫𝒋 ⋅ 𝑑𝑉 = − ∫ 𝒋mech ⋅ 𝑑𝑉
𝜕𝑡 𝑉 field
𝑉 𝜕𝑡
magnetisches Vektorpotential
Definition magnetisches (Vektor-)Potential
𝑩=∇×𝑨
Berechnung Vektorpotential mit Hilfe der skalaren Green’schen Funktion
𝑨(𝒓) = 𝜇0 𝜇 ∫ 𝐺0 (𝒓, 𝒓′ )𝒋0 (𝒓′ , 𝑡) ⋅ 𝑑𝑉 ′
𝑉′
′)
𝐺0 (𝒓, 𝒓 =
exp(𝑖𝑘|𝑟−𝑟′ |)
4𝜋|𝑟−𝑟′ |
Im Fall eines einzigen harmonisch oszillierenden Dipols
exp(𝑖𝑘|𝒓 − 𝒓′ |)
𝑨(𝒓) = −𝑖𝜔𝜇0 𝜇𝑟
𝒑
4𝜋|𝒓 − 𝒓′ |
𝜇0 𝜇 𝒋0 (𝒓′ , 𝑡 − |𝒓 − 𝒓′ | 𝑛⁄𝑐 )
∫
⋅ 𝑑𝑉 ′
|𝒓 − 𝒓′ |
4𝜋 𝑉
𝑛(𝜔) = 𝑛 , 𝜀(𝜔) = 𝜀, 𝜇(𝜔) = 𝜇
𝑨(𝒓, 𝑡) =
Wellenlänge
𝜆=
2𝜋
𝑘
Relation Lichtgeschwindigkeit ↔ Wellenlänge
𝑐=
𝜆
= 𝜆𝑓
𝑇
Ausbreitungsgeschwindigkeit
𝑣0 =
𝜆
𝜔
= =𝑐
2𝜋
𝑘
𝜔
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Zusammenfassung EM Felder und Wellen
Stefan Rickli
Wellengleichungen quellenfrei
Doppeltes Anwenden der Rotation auf das E-Feld bzw. H-Feld führt zu
den allgemeinen, inhomogenen Wellengleichungen
∇ × ∇ × 𝑬(𝒓, 𝑡) +
1 𝜕 2 𝑬(𝒓, 𝑡)
𝜕
𝜕𝑷(𝒓, 𝑡)
= −𝜇0 (𝒋(𝒓, 𝑡) +
+ ∇ × 𝑴(𝒓, 𝑡))
𝑐 2 𝜕𝑡 2
𝜕𝑡 ⏟
𝜕𝑡
𝒋𝑡𝑜𝑡
∇ × ∇ × 𝑯(𝒓, 𝑡) +
1 𝜕 2 𝑯(𝒓, 𝑡)
𝜕𝑷(𝒓, 𝑡) 1 𝜕 2 𝑴(𝒓, 𝑡)
= ∇ × 𝒋(𝒓, 𝑡) + ∇ ×
− 2
𝑐 2 𝜕𝑡 2
𝜕𝑡
𝑐
𝜕𝑡 2
Monochromatische Wellen
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Superposition von Wellen
Evaneszente Wellen
Allgemeine Form
Betrachte die Dispersionsrelation:
𝑬(𝒓, 𝑡) = Re{𝑬(𝒓) ⋅ 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 }
𝑯(𝒓, 𝑡) = Re{𝑯(𝒓) ⋅ 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 }
Jede Superposition von Lösungen der homogenen Wellengleichung
erfüllt diese ebenfalls. Also ist
𝑘𝑧 = √𝜔 2 ⁄𝑐 2 − (𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 )
𝜔2
𝑐2
auch eine Lösung der Wellengleichung. De facto ist dies der vollständige
Satz von Lösungen für die quellfreie Helmholtzgleichung.
Achtung! Die Komponenten von k sind linear abhängig, weshalb eines
der Integrale wegfällt.
̂ 0 (𝒌, 𝜔) ⋅ 𝑒 ±𝑖𝒌𝒓−𝑖𝜔𝑡 ⋅ 𝑑𝜔𝑑 3 𝒌} mit 𝒌 ⋅ 𝒌 =
𝑬(𝒓, 𝑡) = Re {∫ ∫ 𝑬
Ebene Wellen
𝒌 𝜔
𝒋(𝒓, 𝑡) = 𝒋𝑓𝑟𝑒𝑒 (𝒓, 𝑡) = 𝒋0 (𝒓, 𝑡) + 𝒋𝑐𝑜𝑛𝑑 (𝒓, 𝑡) + 𝒋𝑑𝑖𝑠𝑝 (𝒓, 𝑡)
Für 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 > (𝜔⁄𝑐 )2 wird
𝑘𝑧 rein imaginär und somit
das elektrische Feld:
Solange der Raum quellenfrei ist, muss das el. Feld divergenzfrei sein.
∇⋅𝑬 =0
Gauss’sches Wellenpaket
𝐸(𝑥, 𝑡) = Re {∫𝐸̂ (𝑘) ⋅ 𝑒 𝑖𝑘𝑥−𝑖𝜔(𝑘)𝑡 ⋅ 𝑑𝑘}
im Vakuum
unter Annahme der Quellenfreiheit (𝒋𝑡𝑜𝑡 = 0) auf die erste Gleichung
ergibt sich die
homogene Wellengleichung im Vakuum
[∇2 −
1 𝜕2
] 𝑬(𝒓, 𝑡) = 0
𝑐 2 𝜕𝑡 2
Durch Ansatz mit Separation d. Var. kommt man auf die
Helmholtzgleichung:
𝜔2
[∇ + 2 ] 𝑬(𝒓) = 0
𝑐
2
𝑬(𝒓, 𝑡) = Re{𝑬𝟎 𝑒 ±𝑖(𝑘𝑥 𝑥+𝑘𝑦𝑦)−𝑖𝜔𝑡 } ⋅ 𝑒 ∓|𝑘𝑧 |𝑧
Ebene Wellen sind Lösungen der Helmholtzgleichung:
𝑬(𝒓) = 𝑬0 ⋅ 𝑒 ±𝑖𝒌𝒓
𝑬(𝒓, 𝑡) = Re{𝑬0 ⋅ 𝑒 ±𝑖𝒌⋅𝒓−𝑖𝜔𝑡 }
⇒
𝑯(𝒓) = 𝑯0 ⋅ 𝑒 ±𝑖𝒌𝒓
𝑯(𝒓, 𝑡) = Re{𝑯0 ⋅ 𝑒 ±𝑖𝒌⋅𝒓−𝑖𝜔𝑡 }
𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 , 𝑘𝑧 ∈ ℝ
aus ∇ ⋅ 𝑬 = 0
aus ∇ × 𝑬(𝒓, 𝑡) = −𝜕𝑡 𝑩(𝒓, 𝑡)
folgt 𝒌 ⋅ 𝑬 = 0
1
folgt 𝑯0 = 𝜔𝜇 𝜇 (𝒌 × 𝑬0 )
[∇2 + |𝒌0 |2 ]𝑬(𝒓) = 0
|𝒌|2 = 𝑘 2 = 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 + 𝑘𝑧2
Die Lösungen dieser DGL sind die komplexen Feldamplituden von
ebenen Wellen.
𝑛 = √𝜀𝑟 𝜇𝑟
Also gelten
Dispersionsrelation im Vakuum:
𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 + 𝑘𝑧2 = |𝒌0 |2 = 𝑘02 =
𝑘𝑧 = √𝑘 2 − 𝑘𝑥2 − 𝑘𝑦2 = √𝑘 2 − 𝑘∥2
⇔
𝜔2
𝑘 2 = 2 ⋅ 𝜀𝑟 𝜇𝑟 = 𝑘02 ⋅ 𝑛2 ,
𝑐0
𝜔2
𝑐2
𝑯(𝒓) =
𝑛
sin 𝜃
Mit Hilfe des Gesetz von Snellius (𝑛1 = sin 𝜃2 ) lässt sich 𝑘2,𝑧 bei einem
2
1
Übergang von Medium 1 in Medium 2 schreiben als
𝑛1 2 𝜀1 𝜇1
𝑘2,𝑧 = 𝑘2 √1 − 𝑛̃2 sin2 (𝜃1 ) , 𝑛̃2 = ( ) =
𝑛2
𝜀2 𝜇2
(𝑘−𝑘0 )2
2𝜎 2
−
𝐸̂ (𝑘) = 𝑒
Das reelle E-Feld im Vakuum (𝜔 = 𝑘𝑐) ist
1 2
(𝑥−𝑐𝑡)2
𝐸(𝑥, 𝑡) ∝ Re {𝑒 𝑖𝑘0 (𝑥−𝑐𝑡) 𝑒 −2𝜎
}
Phasengeschwindigkeit
0 𝑟
Es gilt die Dispersionsrelation
⇔
Es fällt also entlang der z-Achse exponentiell ab. I.d.R. ist die Amplitude
bereits nach einer Wellenlänge abgeklungen.
𝑘
Das Gauss‘sche Spektrum im k-Raum ist
1
1
[𝒌 × 𝑬(𝒓)] ⇔ 𝑬(𝒓) = −
(𝒌 × 𝑯(𝒓))
𝜔𝜇0 𝜇𝑟
𝜔𝜀0 𝜀𝑟
Der kritische Winkel, bei dem evaneszente Wellen auftreten, ist
1
𝜀2 𝜇2
𝜃𝑐 = arcsin ( 2 ) = arcsin (
)
𝑛̃
𝜀1 𝜇1
Die gesamte Energie der eintreffenden Welle wird nun reflektiert
(Totalreflexion).
Für alle 𝜃1 > 𝜃𝑐 wird die Welle in Medium 2 exponentiell gedämpft mit
Dämpfungsfaktor
𝛾 = 𝑘2 √𝑛̃2 sin2 (𝜃1 ) − 1
Erklärung:
Das Phänomen tritt auf, weil in Medium 1 haben wir eine eintreffende
𝜔
𝑘
Die Phasengeschwindigkeit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer
monochromatischen Wellenfront.
𝑣𝑝ℎ =
Gruppengeschwindigkeit
𝜕𝜔
𝜕𝑘
Die Gruppengeschwindigkeit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit eines
Wellenpakets.
𝑣𝑔 =
𝜔2
Im Material
Die Wellengleichungen schreiben sich im zeitharmonischen Fall
𝜔2
∇ × ∇ × 𝑬(𝒓) − 2 𝜀(𝜔)𝜇(𝜔)𝑬(𝒓) = 𝑖𝜔𝜇0 𝜇(𝜔)𝒋0 (𝒓)
𝑐
𝜔2
∇ × ∇ × 𝑯(𝒓) − 2 𝜀(𝜔)𝜇(𝜔)𝑯(𝒓) = ∇ × 𝒋0 (𝒓)
𝑐

o
Quellfreie Helmholtzgleichung
Setzt man voraus, dass keine Quellterme vorhanden sind (𝒋0 = 0):
[∇2 + |𝒌|2 ]𝑬(𝒓) = 0
[∇2 + |𝒌|2 ]𝑯(𝒓) = 0
wobei hier 𝑘 2 = 𝑘02 ⋅ 𝜀𝑟 𝜇𝑟 im Gegensatz zum Vakuum, wo 𝑛2 gefehlt hat.
2
𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 + 𝑘𝑧2 = |𝒌|2 = 𝑘 2 = 𝑘02 ⋅ 𝑛2 =
o


Dispersionsrelation im Material:
𝜔
⋅𝜀 𝜇
𝑐2 𝑟 𝑟
2
2
2
ebene Welle mit 𝑐 2 𝑛12 = 𝑘12 = 𝑘1,𝑥
+ 𝑘1,𝑦
+ 𝑘1,𝑧
, wobei alle
Komponenten reell sind.
2
2
Weil durch die Randbedingungen 𝑘∥2 = 𝑘1,𝑥
+ 𝑘1,𝑦
erhalten bleiben muss
Weiteres:

E, H, k bilden ein Rechtssystem

𝒌∥𝑺

Eigenschaften:
o
Periodizität:
2𝜋

zeitlich: 𝑇 = 𝜔
räumlich: 𝜆 =
𝜔2
und 𝑘2 durch 𝑘22 = 𝑐 2 𝑛22 gegeben ist, muss 𝑘2,𝑧 mit Hilfe der
Dispersionsrelation angepasst werden und kann hier durchaus komplexe
Werte annehmen.
2𝜋
𝑘
Ausbreitungsgeschwindigkeit: 𝑣0 =
in Material: 𝜆mat =
𝜆0
√𝜀𝑟𝜇𝑟
𝜆
2𝜋
𝜔
< 𝜆0 , 𝑐mat =
=
𝜔
𝑘
𝑐0
√𝜀𝑟𝜇𝑟
= 𝑐0
< 𝑐0
Surface Plasmons
…
Ebene Wellen sind keine physikalischen Lösungen, da sie
unendlich weit ausgedehnt sind und deshalb unendlich viel
Energie übertragen.
Rechenregeln:
∇ × 𝑬(𝒓) = 𝑖𝒌 × 𝑬(𝒓)
∇ ⋅ 𝑬(𝒓) = 𝑖𝒌 ⋅ 𝑬(𝒓)
Propagation (D’Alembert)
Das Feld zum Zeitpunkt 𝑡 am Ort
𝑧 = ℓ entspricht dem Feld zum
Zeitpunkt 𝑡 ′ = 𝑡 − ℓ⁄𝑐
am Ort 𝑧 = 0.
𝑧=0
𝑧=ℓ
𝒌
𝐸(𝑧 = 0, 𝑡) = 𝑓(𝑡) → 𝐸(𝑧, 𝑡) = 𝑓(𝑡 − 𝑧⁄𝑐 )
Ein alternativer Ansatz ist
𝑧 ′ = 𝑧 − 𝑡𝑐
zuletzt geändert: 06.04.2017 15:29, Version 49
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Zusammenfassung EM Felder und Wellen
Strahlungsquellen
Dieser Abschnitt
untersucht die
Auswirkungen einer
beliebigen
Strahlungsquelle am Punkt
𝒓′ auf das Feld in r.
2)
Elektrisches Feld eines Dipols
⇒
Abstrahlung in beliebigem Umfeld
mit
Felder eines Dipolstrahlers
1
∇ ⊗ ∇] 𝐺0 (𝒓, 𝒓′ )
𝑘2
Das E-Feld ist in Richtung des el. Dipols.
⃡ 0 (𝒓, 𝒓′ ) = [𝑰
⃡+
𝑮
𝜔2
𝜀(𝜔)𝜇(𝜔)𝑬(𝒓) = 𝑖𝜔𝜇0 𝜇(𝜔)𝒋0 (𝒓)
𝑐2
𝜔2
∇ × ∇ × 𝑯(𝒓) − 2 𝜀(𝜔)𝜇(𝜔)𝑯(𝒓) = ∇ × 𝒋0 (𝒓)
𝑐
Ähnlich lässt sich das magnetische Feld herleiten zu
⃡ 0 (𝒓, 𝒓′ )]𝒑
𝑯(𝒓) = −𝑖𝜔[∇ × 𝑮
Das H-Feld steht senkrecht zum Dipol.
Dipole
Zeitlich sich ändernde Dipole sind
elektromagnetische Punktquellen, die
kleinste strahlende Einheit
- el. Dipol p :
getrennte Ladung
𝑑
𝒋(𝒓, 𝑡) =
𝒑(𝑡) ⋅ 𝛿(𝒓 − 𝒓′ )
𝑑𝑡
- magn. Dipol m :
kreiselnde Ladung / Schleife
Induziertes Dipolmoment
Polarisierbare Materialien bilden in erster Näherung ein zum angelegten
E-Feld proportionales Dipolmoment aus:
𝒑=𝛼⋅𝑬
Vektorpotential eines
Dipols
Vorbereitend nimmt man folgende
Gegebenheiten zur Hand:
Definition des Vektorfelds: ∇ × 𝑨(𝒓, 𝑡) =
𝑩(𝒓, 𝑡)
Lorenz-Eichung: ∇ ⋅ 𝑨(𝒓, 𝑡) = 𝑖
𝑘2
𝜔
𝜙(𝒓, 𝑡)
Aus Maxwell 2) ∇ × 𝑬 ergibt sich für
𝑬(𝒓, 𝑡) = −𝜕𝑡 𝑨(𝒓, 𝑡) − ∇(𝜙(𝒓, 𝑡))
und für monochromatische Vorgänge mit 𝑨(𝒓, 𝑡) = Re{𝑨(𝒓) ⋅ 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 } und
𝜙(𝒓, 𝑡) = Re{𝜙(𝒓) ⋅ 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 }
𝑬(𝒓) = 𝑖𝜔𝑨(𝒓) − ∇(𝜙(𝒓))
Dies führt für Maxwell 3) ∇ × 𝐻 auf die Wellengleichung für das
Vektorpotential:
[∇2 + 𝑘 2 ]𝑨(𝒓) = −𝜇0 𝜇𝒋0 (𝒓)
Dyadische Green’sche Funktion
⃡ 0 (𝒓, 𝒓′ ) ist ein Tensor zweiter Stufe (Dyade),
𝑮
1
⃡ 0 (𝒓, 𝒓′ ) = [ ⃡
𝑮
𝑰 + 2 ∇ ⊗ ∇] 𝐺0 (𝒓, 𝒓′ )
𝑘
, ausgeschrieben in kartesischen Koordinaten:
exp(𝑖𝑘𝑅)
𝑖𝑘𝑅 − 1
3 − 3𝑖𝑘𝑅 − 𝑘 2 𝑅2 𝑹 ⊗ 𝑹
⃡ 0 (𝒓, 𝒓′ ) =
[(1 + 2 2 ) ⃡
]
𝑮
𝑰+
4𝜋𝑅
𝑘 𝑅
𝑘 2 𝑅2
𝑅2
Mit 𝑅 = |𝑹| = |𝒓 − 𝒓′ | und 𝑹 ⊗ 𝑹 dem äusseren Produkt von R mit
sich selbst (𝑹 ⊗ 𝑹 ≔ 𝑹 ⋅ 𝑹𝑇 ).
Die Dyade und 𝑹 ⊗ 𝑹 sind symmetrische Matrizen der Form
𝐺𝑥𝑥 𝐺𝑥𝑦 𝐺𝑥𝑧
(𝑥 − 𝑥 ′ )2 (𝑥 − 𝑥 ′ )(𝑦 − 𝑦 ′ )
⃡ 0 = [𝐺𝑥𝑦 𝐺𝑦𝑦 𝐺𝑦𝑧 ] 𝑹 ⊗ 𝑹 = (
𝑮
(𝑦 − 𝑦 ′ )2
⋮
𝐺𝑥𝑧 𝐺𝑦𝑧 𝐺𝑧𝑧
…
…
…
⋮)
…
Nahfeld (near field)
𝑅 ≪ 𝑘 → Terme mit (𝑘𝑅)−3 dominieren
𝑒 𝑖𝑘𝑅 1
𝑹⊗𝑹
⃡ 𝑁𝐹 =
𝑮
[ −⃡
𝑰+3
]
4𝜋𝑅 𝑘 2 𝑅2
𝑅2
Mittelfeld (intermediate field)
𝑅 ≈ 𝑘 → Terme mit (𝑘𝑅)−2 dominieren
𝑒 𝑖𝑘𝑅 𝑖
𝑹⊗𝑹
⃡ 𝐼𝐹 =
𝑮
[ ⃡
𝑰− 3
]
4𝜋𝑅 𝑘 𝑅
𝑅2
Im Vergleich zum Nah- und Fernfeld ist das Mittelfeld 90° ausser Phase.
Fernfeld (far field)
𝑅 ≫ 𝑘 → Terme mit (𝑘𝑅)−1 dominieren
𝑒 𝑖𝑘𝑅
𝑹⊗𝑹
⃡ 𝐹𝐹 =
𝑮
[ ⃡
𝑰−
]
4𝜋𝑅
𝑅2
Koordinatenwechsel
𝑖𝐴 (𝒓)
𝑖
⇔
𝑨(𝒓) = −𝑖𝜔𝜇0 𝜇𝒑𝐺0 (𝒓, 𝒓′ )
Die skalare Green’sche Funktion erfüllt die obige Differenzialgleichung
für den freien Raum (ansonsten siehe Vorlesung vom 1.4.15 und s.78-79
Skript):
exp(𝑖𝑘|𝒓 − 𝒓′ |)
𝐺0 (𝒓, 𝒓′ ) =
4𝜋|𝒓 − 𝒓′ |
zuletzt geändert: 06.04.2017 15:29, Version 49
Betrachtet man einen
einzelnen Dipol, welcher in
z-Richtung ausgerichtet ist
und schreibt man die Terme
in sphärischen Koordinaten,
werden 𝐸𝜑 , 𝐻𝑟 und 𝐻𝜃 zu
null und die anderen
Komponenten schreiben
sich
Felder einer beliebigen Strahlungsquelle
Gemäss dem Superpositionsprinzip kann eine beliebige Stromdichte in
Dipole und deren Stossantworten aufgeteilt werden. Das Integral
darüber liefert das Feld der gesamten Strahlungsquelle.
⃡ 0 (𝒓, 𝒓′ )𝒋(𝒓′ ) ⋅ 𝑑𝑉 ′
𝑬(𝒓) = 𝑖𝜔𝜇0 𝜇𝑟 ∫ 𝑮
𝑉′
⃡ 0 (𝒓, 𝒓′ )]𝒋(𝒓′ ) ⋅ 𝑑𝑉 ′
𝑯(𝒓) = ∫ [∇ × 𝑮
𝑉′
𝑃̅ =
𝐻𝜑 =
𝑑𝑊
1
= − ∫Re{𝒋∗ ⋅ 𝑬} ⋅ 𝑑𝑉 ′
𝑑𝑡
2 𝑉
Feldwinkelspektrum
Fouriertransformation
|𝒑| cos 𝜃 exp(𝑖𝑘𝑅) 𝑘 2
2
2𝑖
𝐸𝑟 =
[ 2 2−
]
4𝜋𝜀0 𝜀𝑟
𝑅
𝑘 𝑅
𝑘𝑅
|𝒑| sin 𝜃 exp(𝑖𝑘𝑅) 𝑘 2
1
𝑖
𝐸𝜃 =
[ 2 2−
− 1]
4𝜋𝜀0 𝜀𝑟
𝑅
𝑘 𝑅
𝑘𝑅
|𝒑| sin 𝜃 exp(𝑖𝑘𝑅) 𝑘 2
[
4𝜋𝜀0 𝜀𝑟
𝑅
−
𝑖
𝜀0 𝜀𝑟
− 1] √
𝑘𝑅
𝜇0 𝜇𝑟
Die in dieser Vorlesung relevanten Fouriertransformationen sind die
zeitliche Fouriertransformation
1 ∞
′
̂ 𝑡 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜔) =
∫ 𝑬(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 ′ ) ⋅ 𝑒 +𝑖𝜔𝑡 ⋅ 𝑑𝑡 ′
𝑬
2𝜋 −∞
∞
𝑬(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) =
̂ 𝑡 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜔′ ) ⋅ 𝑒 −𝑖𝜔′𝑡 ⋅ 𝑑𝜔′
∫ 𝑬
−∞
und die räumliche Fouriertransformation
∞
̂ 𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑘𝑧 , 𝑡) =
𝑬
′
∫ 𝑬(𝑥, 𝑦, 𝑧 ′ , 𝑡) ⋅ 𝑒 −𝑖𝑘𝑧 𝑧 ⋅ 𝑑𝑧 ′
−∞
∞
Daran kann man ablesen, dass

das Magnetfeld keinen Nahfeldterm hat, das Nahfeld also durch
das elektrische Feld dominiert wird

die Felder transversal sind, da die 𝐸𝑟 -Komponente wegfällt

das Intermediate Field 90° ausser Phase mit dem Nah- und
Fernfeld ist

im Fernfeld 𝒌 ≈ 𝑘 ⋅ 𝒆𝑟 gilt, der Dipol strahlt also radial
1
̂ (𝑥, 𝑦, 𝑘𝑧′ , 𝑡) ⋅ 𝑒 +𝑖𝑘𝑧′ 𝑡 ⋅ 𝑑𝑘𝑧′
∫ 𝑬
2𝜋 −∞ 𝑧
Zu beachten sind die verschiedenen Vorzeichen in der zeitlichen und
räumlichen Fouriertransformation! Diese Konvention stellt sicher, dass
sich zurücktransformierte Wellen bei positiven Argumenten
entsprechend der gewohnten Koordinaten bewegen.
Abgestrahlte Leistung
i) Beugung und Überlagerung
𝑬(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) =
Übersicht Methoden
ungestörte Abstrahlung
Integriere den Poynting-Vektor über eine Kugel mit Radius 𝑟 ≫ 𝜆.
1
𝑃̅ = ∫ Re{𝑬(𝒓) × 𝑯∗ (𝒓)} ⋅ 𝑑𝒂
2 𝜕𝑉
Die Integration lässt sich vereinfachen, indem nur die Radialkomponente
des Poynting-Vektors im Fernfeld integriert wird:
1
⟨𝑺𝑟 ⟩ = Re{𝐸𝜃 𝐻𝜑∗ }
2
2𝜋 𝜋
𝑃̅ = ∫ ∫ |⟨𝑺𝑟 ⟩|𝑟 2 sin 𝜃 ⋅ 𝑑𝜃 𝑑𝜑
0
Siehe Prüfung Sommer 13 (?)
Für einen oszillierenden Dipol 𝒋0 (𝒓) ≔ −𝑖𝜔𝒑𝛿(𝒓 − 𝒓′ ) schreibt sich die
Gleichung nach Umformung
[∇2 + 𝑘 2 ]𝐺0 (𝒓, 𝒓′ ) = −𝛿(𝒓 − 𝒓′)
0
Der Strahler muss gegen sein eigenes und das zurückgeworfene Feld
arbeiten. Die Aufteilung des Felds am Punkt des Strahlers
𝑬(𝒓0 ) = 𝑬0 (𝒓0 ) + 𝑬𝑠 (𝒓0 ) ergibt für den Dipol
𝑃̅
6𝜋𝜀0 𝜀𝑟 1
=1+
Im{𝒑∗ ⋅ 𝑬𝑠 (𝒓0 )}
|𝒑|2 𝑘 3
𝑃̅0
, wobei 𝑃̅0 der oben berechneten ungestörten abgestrahlten Leistung
entspricht.
allgemein:
⃡ 0 (𝒓, 𝒓′ )𝒑
𝑬(𝒓) = 𝜔2 𝜇0 𝜇𝑮
∇ × ∇ × 𝑬(𝒓) −
wobei 𝐺0 (𝒓, 𝒓′ )𝑖 = 𝜔𝜇 𝑖 𝜇𝑝
http://blogs.ethz.ch/ricklis
Abstrahlung im Fernfeld senkrecht
zum Dipol steht.
Setzt man nun die für das Vektorpotential gefundene Lösung im
Ausdruck für das el. Feld ein und nutzt die Lorenz-Eichung, ergibt sich
𝑬(𝒓) = 𝑖𝜔𝑨(𝒓) − ∇(𝜙(𝒓))
1
= 𝜔2 𝜇0 𝜇 [1 + 2 ∇ ⊗ ∇] 𝐺0 (𝒓, 𝒓′ )𝒑
𝑘
Die Wellengleichungen
schreiben sich ohne
Nichtlinearitäten (siehe
Abschnitt
Wellengleichung):
1)
Stefan Rickli
Rotation eines Tensors 2. Stufe (Dyade):
0
Für einen idealen Dipol ergibt sich dann
|𝒑|2 𝑛3 𝜔4 |𝒑|2 𝜔𝑘 3
𝑃̅ =
=
4𝜋𝜀0 𝜀𝑟 3𝑐 3
12𝜋𝜀0 𝜀𝑟
Abstrahlcharakteristik
Um die Abstrahlcharakteristik zu bestimmen, setzt man die in eine
bestimmte abgestrahlte Leistung mit der total abgestrahlten Leistung ins
Verhältnis. Im Fall des Dipols gilt dann:
⟨𝑺𝑟 ⟩ 𝑟 2
𝑃̅ (𝜃, 𝜑)
3
= 2𝜋 𝜋
=
sin2 𝜃
𝑃̅
⟨𝑺
∫ ∫ 𝑟 ⟩𝑟 2 sin 𝜃 ⋅ 𝑑𝜃 𝑑𝜑 8𝜋
0
0
Die Richtcharakteristik des Nahfelds ist in Richtung von p, während die
𝒓′
𝒓(𝑥 ′ , 𝑦 ′ )
𝑥 − 𝑥′
𝒓(𝑥 ′ , 𝑦 ′ ) = 𝑹 − 𝒓′ = (𝑦 − 𝑦′ )
𝑧
Dies ist die Brute-Force Methode, um das Feld an einem Punkt in der
Bildebene aus dem Feld in der Quellebene zu erhalten.
Es werden Kugelwellen mit verschiedenen Amplituden und Phasen
aufsummiert.
exp(−𝑖𝑘𝑟(𝑥 ′ , 𝑦 ′ ))
∬ 𝐴(𝑥 ′ , 𝑦 ′ ) ⋅
⋅ 𝑑𝑥 ′ 𝑑𝑦 ′
𝑟(𝑥 ′ , 𝑦 ′ )
𝑧=0
mit 𝐴(𝑥 ′ , 𝑦 ′ ) einer Amplitudenfunktion und 𝑟(𝑥 ′ , 𝑦 ′ ) = |𝒓(𝑥 ′ , 𝑦 ′ )|.
4 / 17
Zusammenfassung EM Felder und Wellen
ii) Feldwinkelspektrum und Propagation
Stefan Rickli
entsprechend schnell abfallen, damit sie im Integral nicht
ins Gewicht fallen.
Das Feld in einer arbiträren z-Ebene aufgrund des Fernfelds schreibt sich:
𝑬(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
Im Fall der räumlichen Faltung unterscheidet man zwei relevante
𝑖𝑟𝑒 −𝑖𝑘𝑟
𝑘𝑥′ 𝑘𝑦′
1
′
′
′
∬
𝑬∞ ( , ) 𝑒 𝑖(𝑘𝑥 𝑥+𝑘𝑦𝑦±𝑘𝑧 𝑧) ⋅ ′ ⋅ 𝑑𝑘𝑥′ 𝑑𝑘𝑦′
Approximationen:
2𝜋
𝑘 𝑘
𝑘𝑧
′2 )≤𝑘 2
(𝑘𝑥′2 +𝑘𝑦
Fresnel- und Fraunhofer-Approximation
1
http://blogs.ethz.ch/ricklis
The Point-Spread function
Measure of the resolving power of an imaging system: the narrower the
function, the better the resolution.
1
Falls die Bildebene weit von Fernfeldquelle entfernt ist, kann 𝑘 ≈ 𝑘
𝑧
Im Integral
exp(−𝑖𝑘𝑟(𝑥 ′ , 𝑦 ′ ))
⋅ 𝑑𝑥 ′ 𝑑𝑦 ′
𝑟(𝑥 ′ , 𝑦 ′ )
kann, basierend auf der Annahme, dass wir uns genug weit entfernt
befinden, 𝑟(𝑥 ′ , 𝑦 ′ ) mit 𝑅 oder 𝑧 ersetzt werden.
Mit Hilfe der Paraxial-Approximation ergibt sich für den Exponenten
𝑥′𝑥 + 𝑦 ′𝑦
𝑥 ′2 + 𝑦 ′2
𝑟(𝑥 ′ , 𝑦 ′ ) ≈ 𝑅 − (
)+
⏟
𝑅
2𝑅
⏟ Fraunhofer
∬
𝐴(𝑥 ′ , 𝑦 ′ ) ⋅
𝑧=0
gesetzt werden und E zusammen mit 𝐸∞ bildet dann ein
Fouriertransformationspaar (Fourier-Optik).
Für 𝑧 = 0 sind E und 𝐸∞ ein perfektes Fouriertransformationspaar.
Gaussstrahlen
sind theoretische Konstrukte, denn sie erfüllen die Maxwell-Gleichungen
nicht! Dennoch eigenen sie sich für geeignete Approximationen.
Fresnel
Das Integral lässt sich so wesentlich einfacher lösen.
̂ (𝑘𝑥 ,𝑘𝑦 ;0)
𝑬
∞
⏞1
′
′
̂ (𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 ; 𝑧) = (
∬ 𝑬(𝑥 ′ , 𝑦 ′ ; 0) ⋅ 𝑒 −𝑖(𝑘𝑥 𝑥 +𝑘𝑦𝑦 ) ⋅ 𝑑𝑥 ′ 𝑑𝑦 ′ ) ⋅ 𝑒 ±𝑖𝑘𝑧 𝑧
𝑬
4𝜋 2 −∞
∞
̂ (𝑘𝑥′ , 𝑘𝑦′ ; 𝑧) ⋅ 𝑒 +𝑖(𝑘𝑥′ 𝑥+𝑘𝑦′𝑦) ⋅ 𝑑𝑘𝑥′ 𝑑𝑘𝑦′
𝑬(𝑥, 𝑦; 𝑧) = ∬ 𝑬
−∞
mit
𝑘𝑧 = √𝑘 2 − (𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 )
Dieses Vorgehen ist im Vakuum allgemeingültig, das Lösen des Integrals
beinhaltet aber 𝑘𝑧 , welches 1. ein Wurzelausdruck der
Integrationsvariablen ist und 2. imaginär werden kann, falls (𝑘𝑥′ 2 +
𝑘𝑦′ 2 ) ≥ 𝑘 2 =
𝜔2
𝑐02
.
Das Feld in der Quellebene (𝑧 = 0) kann durch räumliche
Fouriertransformation in das Feldwinkelspektrum zerlegt werden. Dies
kann interpretiert werden als eine räumliche Überlagerung von ebenen
Wellen, die das Feld in der 𝑧 = 0-Ebene erzeugen.
Bei der Propagation durch den reellen Raum wird im reziproken Raum
̂ = 𝑒 ±𝑖𝑘𝑧 𝑧 anmultipliziert.
der Propagator 𝐻
In der Bildebene wird anschliessend das propagierte Feldwinkelspektrum
durch inverse Fouriertransformation wieder in den reellen Raum
überführt.
Der Propagator führt dazu, dass Spektralanteile, deren örtliche Frequenz
die Begrenzung (𝑘𝑥′ 2 + 𝑘𝑦′ 2 ) ≥ 𝑘 2 überschreitet, exponentiell in zRichtung abfallen (evaneszente Wellen) und mit steigendem z relativ
schnell verschwinden.
Der Cutoff wird dabei umso schärfer, je grösser z ist.
1
𝜆
Die Auflösungsobergrenze ist bei ∆𝑥 ≈ 𝑘 = 2𝜋𝑛.
Paraxial-Approximation
Die Paraxial-Approximation ist eine Form von Kleinwinkelnäherung in
den Integralen mittels Taylorentwicklung.
Sie kommt zum Einsatz, wenn davon ausgegangen werden kann, dass
i)
die Bildebene genug weit von der Quellebene entfernt ist,
d.h.
𝑥 ′ 2 + 𝑦 ′ 2 ≪ 𝑅2
⇒
ii)
𝑟(𝑥 ′ , 𝑦 ′ ) = 𝑅√1 +
−2(𝑥𝑥 ′ − 𝑦𝑦 ′ ) + 𝑥 ′ 2 + 𝑦 ′ 2
𝑅2
𝑥 ′ 𝑥 + 𝑦 ′ 𝑦 𝑥 ′2 + 𝑦 ′2
≈𝑅−
+
𝑅
2𝑅
das Feld in der Quellebene hauptsächlich aus parallelen
Feldwinkelanteilen besteht, d.h.
𝑘𝑥′ 2 + 𝑘𝑦′2 ≪ 𝑘 2
𝑘𝑥′ 2 + 𝑘𝑦′ 2
⇒ 𝑘𝑧′ = 𝑘√1 − (𝑘𝑥′ 2 + 𝑘𝑦′ 2 )⁄𝑘 2 ≈ 𝑘 −
2𝑘
Die Amplituden der nicht parallelen Anteile müssen
zuletzt geändert: 06.04.2017 15:29, Version 49
Bei der Fresnel-Approximation der quadratische Term für die
Berechnung des Nahfelds und bei der Fraunhofer-Approximation nur der
lineare Term für das Fernfeld verwendet.
Weil die Approximationen voraussetzen, dass 𝑥 ′ und 𝑦 ′ im Verhältnis
zum Abstand nicht zu gross werden, muss das Feld in der Quellebene
räumlich beschränkt oder mindestens mit einem genug starken Abfall
gegen Aussen (z.B. Gauss Beam) sein.
Der Übergang von Fresnel- (Nahfeld, ebene Wellen) zu FraunhoferApproximation (Fernfeld, Kugelwellen) ist bei
1
𝑧0 = 𝑘𝐷2
8
mit 𝐷 = 2 ⋅ max {√𝑥 ′ 2 + 𝑦 ′ 2 }
2
𝑬(𝜌, 𝑧) = 𝑬𝟎
𝜔0 − 𝜌2 (𝑧) 𝑖 (𝑘𝑧−𝜂(𝑧)+𝑘𝜌2 ⁄2𝑅(𝑧))
𝑒 𝜔
𝑒
, 𝜌 = √𝑥 2 + 𝑦 2
𝜔(𝑧)
Strahlenradius:
Wellenfrontradius:
Gouy Phasenterm:
1
𝜔(𝑧) = 𝜔0 ( 1 + 𝑧 2 ⁄𝑧02 )2
𝑅(𝑧) = 𝑧 (1 + 𝑧02 ⁄𝑧 2 )
𝜂(𝑧) = arctan 𝑧/𝑧0
Der Gouy Phasenterm sorgt für einen
Phasenshift von 𝑧 → −∞ nach 𝑧 → ∞
|𝐸(𝑥,𝑦,𝑧)|
1
Grösse bei 𝜌, sodass |𝐸(0,0,𝑧)| = 𝑒
(Achtung! Durchmesser und Radius nicht verwechseln!)
Transverse Grösse:
Fernfeld-Approximation
Das Feld bleibt etwa über 2x die Rayleigh range kollimiert (Vergrösserung
des Umfangs um Faktor √2 an diesem Ort):
𝑘𝜔02
𝑧0 =
2
Der Öffnungswinkel ist approximativ
2
𝜃=
𝑘𝜔0
𝑥
𝒓
𝒔
𝒌
𝑘𝑥
0
𝑥
𝑘𝑧
Due to the loss of evanescent waves (with their high spatial frequencies)
and the finite angular collection, the point appears as a function with finite width.
Magnification:
Das Exakte E-Feld in einer arbiträren z-Ebene, gegeben durch das Feld in
der 𝑧 = 0-Ebene, ist:
∞
1
̂ (𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 ; 0) ⋅ 𝑒 +𝑖(𝑘𝑥′ 𝑥+𝑘𝑦′𝑦±𝑘𝑧′ 𝑧) ⋅ 𝑑𝑘𝑥′ 𝑑𝑘𝑦′
𝑬(𝑥, 𝑦; 𝑧) = 2 ∬ 𝑬
4𝜋 −∞
Es stellt sich heraus, dass das Fernfeld dann ausgedrückt werden kann
durch
𝑥⁄
𝑠𝑥
𝑟
𝑒 𝑖𝑘𝑟
̂ (𝑘𝑠𝑥 , 𝑘𝑠𝑦 ; 0) ⋅
𝑬∞ (𝑠𝑥 , 𝑠𝑦 ) = −2𝜋𝑖𝑘𝑠𝑧 𝑬
, 𝒔 = (𝑠𝑦 ) = (𝑦⁄𝑟)
𝑟
𝑠𝑧
𝑧⁄
𝑟
Im Fernfeld überlebt nur eine einzige ebene Welle mit dem radialen kVektor, der an den Betrachtungspunkt führt. Amplitude und Phase sind
durch die Fouriertransformierte der Quellebene gegeben.
Numerical aperture:
𝑓
𝑛1
⁄𝑛2 ∗ 2⁄𝑓
1
𝑁𝐴 = 𝑛1 sin(𝑀𝑎𝑥[𝜃1 ])
𝑓2
= ⁄𝑓 sin(𝑀𝑎𝑥[𝜃2 ])
𝑀=
1
Die numerische Apertur NA beschreibt das Vermögen eines optischen
Elements, Licht zu fokussieren.
2
Bei Gaussstrahlen ist 𝜃 = 𝑘𝜔 , also 𝑁𝐴 ≈ 2𝑛/𝑘𝜔0 .
0
Airy disk radius:
∆𝑥 = 0.6098
𝑀𝜆
𝑁𝐴
Durch Ähnlichkeit (siehe Skizze) stellt sich heraus, dass
𝑘𝑥 𝑥
~ = 𝑠𝑥 ⇒ 𝑘𝑥 = 𝑠𝑥 ⋅ 𝑘
𝑘 𝑟
𝑘 𝑥 ⁄𝑘
𝑘𝑥
𝒔 = (𝑘𝑦 ⁄𝑘) ⇒ 𝑘 ⋅ 𝒔 = (𝑘𝑦 )
𝑘𝑧
𝑘 𝑧 ⁄𝑘
Die Fouriertransformierte des Fernfelds in der 𝑧 = 0-Ebene ist nun
𝑖𝑟𝑒 −𝑖𝑘𝑟
𝑘𝑥 𝑘𝑦
̂ (𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 ; 0) =
ℱ{𝑬∞ (𝑠𝑥 , 𝑠𝑦 )} = 𝑬
𝑬 ( , )
2𝜋𝑘𝑧 ∞ 𝑘 𝑘
5 / 17
Zusammenfassung EM Felder und Wellen
Intensität / Interferenz
Stefan Rickli
http://blogs.ethz.ch/ricklis
Intensität zweier inkohärenter Felder:
‼ Intensität mehrere Felder ≠ Summe der Intensitäten ‼
im Vakuum
Messbare Intensität im Vakuum:
𝜀0 𝜀𝑟
⟨𝑬(𝒓, 𝑡) ⋅ 𝑬(𝒓, 𝑡)⟩
𝐼(𝒓) = √
𝜇0 𝜇𝑟
𝛼
𝛽
(allgemeinste Form)
1 𝑇
Zeitmittel: ⟨… ⟩ = ∫0 … ⋅ 𝑑𝑡
𝑇
𝒌𝟏
Bei monochromatischen Feldern im Fernfeld:
Gegeben: 𝑬(𝒓, 𝑡) = Re{𝑬(𝒓)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 }
1 𝜀0 𝜀𝑟
|𝑬(𝒓)|2
𝐼𝜔 (𝒓) = √
2 𝜇0 𝜇𝑟
Bei ebenen Wellen ist der Term ortsunabhängig:
Gegeben: 𝑬(𝒓, 𝑡) = Re{𝑬0 𝑒 𝑖𝒌⋅𝒓−𝑖𝜔𝑡 }
1 𝜀0 𝜀𝑟
|𝑬 |2
𝐼𝑒𝑊 = √
2 𝜇0 𝜇𝑟 𝟎
Reminder: Weil 𝑬(𝒓) ∈ ℂ, gilt |𝑬(𝒓)|2 = 𝑬(𝒓) ⋅ 𝑬∗ (𝒓).
Bei evaneszenten Feldern:
Gegeben: …
𝑬𝟐
𝜀0 𝜀𝑟
𝐼𝑖𝑛𝑐 (𝒓) = √
⋅ (|𝑬1 (𝒓)|2 + |𝑬2 (𝒓)|2 )
𝜇0 𝜇𝑟
Polarisationsabhängigkeit:
𝐼12 ∝ cos(𝜙(𝑬1 , 𝑬2 ))
Periode der Interferenzstreifen:
𝜆
Δ𝑥 =
sin 𝛼 + sin 𝛽
mit Hilfe des Poynting-Vektors
1 𝜀0 𝜀𝑟
|𝑬 |2 ⋅ 𝑒 −2𝑘𝑧 𝑧
𝐼(𝒓) = √
2 𝜇0 𝜇𝑟 0
1
𝒌𝟐
𝑬𝟏
1
Bei 𝑧 = 2𝑘 ist die Amplitude noch 𝑒.
𝐼(𝒓) = |⟨𝑺(𝒓)⟩|
(Richtung des Poynting-Vektors interessiert nicht, d.h. bei Feldern erst
Richtung und Betrag abspalten und nur mit Beträgen arbeiten)
𝑧
Intensität zweier überlagerter Felder gleicher Frequenz:
Gegeben:
𝑬(𝒓, 𝑡) = Re{[𝑬1 𝑒 𝑖𝒌1 ⋅𝒓 + 𝑬2 𝑒 𝑖𝒌2 ⋅𝒓 ]𝑒 −𝑖𝜔𝑡 }
Dies ergibt die Intensität zweier kohärenter Felder:
𝜀0 𝜀𝑟
𝐼𝑐𝑜ℎ (𝒓) = √
⋅ |𝑬1 (𝒓) + 𝑬2 (𝒓)|2
𝜇0 𝜇𝑟
𝐼(𝒓) = 𝐼1 (𝒓) + 𝐼2 (𝒓) + 2𝐼12 (𝒓)
, wobei 2𝐼12 (𝒓) der Interferenzterm ⟨𝑬1 (𝒓, 𝑡) ⋅ 𝑬2 (𝒓, 𝑡)⟩ ist.
1 𝜀0 𝜀𝑟
𝐼12 (𝒓) = √
Re{𝑬1 𝑬∗2 𝑒 𝑖𝑘𝑥(sin 𝛼+sin 𝛽) }
2 𝜇0 𝜇𝑟
für monochromatische Wellen gilt
1
⟨𝑺(𝒓)⟩ = ⟨𝑺(𝒓, 𝑡)⟩ = ⟨𝑬(𝒓, 𝑡) × 𝑯(𝒓, 𝑡)⟩ = Re{𝑬(𝒓) × 𝑯∗ (𝒓)}
2
Im Fernfeld vereinfacht sich die Rechnung zu
1 𝜀 𝜀
⟨𝑺∞ (𝒓)⟩ = √ 0 𝑟 |𝑬(𝒓)|2 𝒏𝑟
2 𝜇0 𝜇𝑟
|𝑬(𝒓)|2 = 𝑬(𝒓) ⋅ 𝑬∗ (𝒓)
Leistung
Das geschlossene Oberflächenintegral über den zeitlich gemittelten
Poynting-Vektor entspricht der total generierten oder verbrauchten
Leistung im eingeschlossenen Volumen:
𝑃̅ = ∫ ⟨𝑺(𝒓)⟩ ⋅ 𝑑𝒂
𝜕𝑉
Intensität zweier ebener Wellen unterschiedlicher Frequenz:
Gegeben:
𝑬(𝒓, 𝑡) = Re{[𝑬1 𝑒 𝑖𝒌1 ⋅𝒓 + 𝑬2 𝑒 𝑖𝒌2 ⋅𝒓 ]𝑒 −𝑖𝜔𝑡 }
⟨𝑬1 (𝒓, 𝑡) ⋅ 𝑬2 (𝒓, 𝑡)⟩ = 0
Es gibt also keinen Interferenzterm!
⇒ 𝐼(𝒓) = 𝐼1 (𝒓) + 𝐼2 (𝒓)
zuletzt geändert: 06.04.2017 15:29, Version 49
Im Fernfeld vereinfacht sich die Rechnung:
𝑃̅∞ = ∫ 𝐼(𝒓) ⋅ 𝑑𝒂
𝜕𝑉
6 / 17
Zusammenfassung EM Felder und Wellen
Konstituierende Relationen
Die konstituierenden Relationen stellen den Zusammenhang zwischen P
und E sowie zwischen M und H her.
Es gibt
temporär dispersive Materialien:
𝜀⁄𝜇 hängen von der Vergangenheit ab (Zeit)
örtlich dispersive Materialien:
𝜀⁄𝜇 hängen von anderen Orten ab (Koordinaten)
Man kann bei temporär dispersiven Materialien die Polarisationsdichte
definieren:
𝑷(𝒓) = 𝜀0 𝜒𝑒 (𝜔)𝑬(𝒓), 𝑴(𝒓) = 𝜒𝑚 (𝜔)𝑯(𝒓)
𝜀𝑟 = 1 + 𝜒𝑒 (𝜔) 𝜇𝑟 = 1 + 𝜒𝑚 (𝜔)
Dies führt auf neue Helmholtz-Gleichung:
∇2 𝑬(𝒓) + 𝑘 2 𝑬(𝒓) = ∇2 𝑬(𝒓) + 𝑘02 𝑛2 𝑬(𝒓) = 0
𝜔
⇒ 𝑘 = 𝑘0 𝑛 = √𝜀𝑟 𝜇𝑟 , 𝑛 = √𝜀𝑟 𝜇𝑟
𝑐
Dies führt zu einer
i)
Änderung der Wellenlänge
ii)
Änderung der Ausbreitungsgeschwindigkeit
Lineare Medien
Im Allgemeinen ist dieser Zusammenhang nichtlinear und ortsabhängig.
In erster Näherung wird ein Medium aber mit Hilfe der TaylorEntwicklung linearisiert:
𝜕𝐷
1 𝜕2𝐷
|
𝐷 = 𝐷0 + |
𝐸+
𝐸2 + ⋯
𝜕𝐸 𝐸=0
2 𝜕𝐸 2 𝐸=0
∞
⇒
Stefan Rickli
lassen sich mit der Definition [𝜀 ′ (𝜔) + 𝑖
𝜎(𝜔)
𝜔𝜀0
http://blogs.ethz.ch/ricklis
s- und p-Polarisierung
] → 𝜀(𝜔) umschreiben in
die …
Reflexion und Brechung
Wellengleichungen in Materie:
𝜔2
∇ × ∇ × 𝑬(𝒓) − 2 𝜀(𝜔)𝜇(𝜔)𝑬(𝒓) = 𝑖𝜔𝜇0 𝜇(𝜔)𝒋0 (𝒓)
𝑐
𝜔2
∇ × ∇ × 𝑯(𝒓) − 2 𝜀(𝜔)𝜇(𝜔)𝑯(𝒓) = ∇ × 𝒋0 (𝒓)
𝑐
𝜔2
= 𝑘02
𝑐2
In Medien ohne primären Ladungen und Strömen sind Homogene
Lösungen wieder ebene Wellen, was auf die
Quellfreien Helmholtz-Gleichungen
∇2 𝑬(𝒓) + 𝑘 2 𝑬(𝒓) = 0,
𝑘 2 = 𝑘02 𝜀⏟
𝑟 𝜇𝑟
𝑛2 ≔
[∇2 + |𝒌|2 ]𝑬(𝒓) = 0
[∇2 + |𝒌|2 ]𝑯(𝒓) = 0
führt. Der Brechungsindex n korrigiert dabei die Wellenzahl und die
Ausbreitungsgeschwindigkeit.
⇒
allgemein
nützlich in Problemen:
1.
2.
𝜀 𝜀
1
= √𝜇 0𝜇𝑖 = 𝑍
0 𝑟
𝑖
Jede Grenzfläche liefert zwei Randbedingungen (eine für das el.
und eine für das magn. Feld) für die unbekannten Amplituden.
Jedes auf eine Grenzfläche eintreffende elektromagnetische Feld lässt
sich aus einer Superposition von p- und s-polarisierten Wellen darstellen.
Die allgemeine Form lässt sich wie folgt schreiben:
− cos 𝜙 cos 𝜃1
sin 𝜙
) 𝑒 𝑖𝑘[𝑥 sin 𝜃1 +𝑧 cos 𝜃1 ] , 𝐸0 = √𝐸𝑥2 + 𝐸𝑦2 + 𝐸𝑧2
𝑬(𝒓) = 𝐸0 (
cos 𝜙 sin 𝜃1
Sei 𝑬𝟏 (𝑟, 𝑡) ≔ Re{𝑬𝟏 ⋅ 𝑒 𝑖𝒌𝟏 ⋅𝒓−𝑖𝜔𝑡 } eine ebene Welle
𝑘𝑥
𝜔
mit 𝒌𝟏 = ( 𝑘𝑦 ) und |𝒌𝟏 | = 𝑘1 = 𝑐 ⋅ √𝜀1 𝜇1 = 𝑘0 ⋅ 𝑛1
𝑘𝑧1
z
Homogene Lösung der Maxwell-Gleichungen in
Materie, ebene Wellen:
𝑬𝟐
Es gilt {
𝒌𝟐
𝜀2 , 𝜇2
𝜔
⋅ √𝜀𝑟 𝜇𝑟 = 𝑘0 𝑛
𝑐
In Medien ohne primäre Ladungen und Ströme sind die entstehenden
homogenen Lösungen ebene Wellen.
Der Brechungsindex n korrigiert die Wellenzahl k und die
Ausbreitungsgeschwindigkeit.
𝑬(𝒓, 𝑡) = Re{𝑬𝟎 𝑒 ±𝑖𝒌⋅𝒓−𝑖𝜔𝑡 }
𝑘𝑖
𝜔𝜇0 𝜇𝑖
x
𝜀1 , 𝜇1
𝜃1
𝜙=0
𝜋
𝜙=2
→ 𝐸 (𝑝)
→ 𝐸 (𝑠)
und als Superposition 𝑬 = cos 𝜙 𝑬(𝑝) + sin 𝜙 𝑬(𝑠)
𝜃2
𝑘=
p Polarisation:
s Polarisation:
s-Polarisation
𝜃1
∞
𝑫(𝒓, 𝑡) = 𝜀0 ∫ ∫ 𝜀̃(𝒓 − 𝒓′ , 𝑡 − 𝑡 ′ )𝑬(𝒓′, 𝑡 ′ ) ⅆ𝑡 ′ 𝑑 3 𝒓′
−∞ −∞
Im Fourier-Raum wird aus der Faltung ein Produkt:
̂ (𝒌, 𝜔) = 𝜀0 𝜀(𝒌, 𝜔)𝑬
̂ (𝒌, 𝜔) lokal in (𝒌, 𝜔)
𝑫
Unter der Annahme, dass keine räumliche Dispersion (𝜀 = 𝜀(𝜔))
stattfindet, gilt dann:
̂ (𝒓, 𝜔) = 𝜀0 𝜀(𝜔)𝑬
̂ (𝒓, 𝜔), 𝑫(𝒓) = 𝜀0 𝜀(𝜔)𝑬(𝒓)
𝑫
̂ (𝒓, 𝜔) = 𝜇0 𝜇(𝜔)𝑯
̂ (𝒓, 𝜔), 𝑩(𝒓) = 𝜇0 𝜇(𝜔)𝑯(𝒓)
𝑩
Die Relation 𝑫(𝒓, 𝑡) = 𝜀0 𝜀𝑟 𝑬(𝒓, 𝑡) (und das magn. Äquivalent) für
zeitabhängige Felder funktioniert nur in einem dispersionsfreien Raum,
das heisst im Vakuum. Ansonsten muss mit den komplexen,
zeitunabhängigen Feldern und den frequenzabhängigen ε und μ
gerechnet werden.
Komplexe Permittivität
Die elektrische Leitfähigkeit eines Materials geht in den Imaginärteil der
elektrischen Feldkonstanten ein. Somit können Leitungsverluste
modelliert werden.
Herleitung mittels Ampère / Maxwell:
∇ × 𝑯(𝒓) = −𝑖𝜔𝑫(𝒓)
+⏟
𝒋𝑐𝑜𝑛𝑑 (𝒓) + 𝒋0 (𝒓)
⏟
𝜀0 𝜀 ′(𝜔)𝑬(𝒓)
𝜎(𝜔)𝑬(𝒓)
𝜎(𝜔)
] 𝑬(𝒓) + 𝒋0 (𝒓)
= −𝑖𝜔𝜀0 [𝜀 ′ (𝜔) + 𝑖
𝜔𝜀0
⏟
𝜀(𝜔)
Die Wellengleichungen
1 𝜕2𝑬
𝜕
𝜕𝑷
∇ × ∇ × 𝑬 + 2 2 = −𝜇0 (𝒋 +
+ ∇ × 𝑴)
𝑐 𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑡
2
1𝜕 𝑯
𝜕𝑷 1 𝜕 2 𝑴
∇×∇×𝑯+ 2 2 = ∇×𝒋+∇×
−
𝑐 𝜕𝑡
𝜕𝑡 𝑐 2 𝜕𝑡 2
zuletzt geändert: 06.04.2017 15:29, Version 49
Randbedingungen bei Übergang zweier
Medien:
𝒌𝟏
𝑬𝟏
Man kann jedes Feld schreiben als
𝑬𝑖 = 𝑬∥𝑖 + 𝐸𝑖⊥ ⋅ 𝒏
Die Parallel- bzw. Senkrechtkomponenten der Gesamtfelder (also einund ausfallende Wellen) müssen die folgenden Randbedingungen
erfüllen:
𝐷𝑖⊥ = 𝐷𝑗⊥
𝐵𝑖⊥ = 𝐵𝑗⊥
𝑬∥𝑖 = 𝑬𝑗∥
𝑯𝑖∥ = 𝑯𝑗∥
𝒌𝟏𝒓
𝑬𝟏𝒓
Dann sind also
𝑬1 (𝒓, 𝑡) = Re {𝑬1 𝑒 𝑖(𝑘𝑥 𝑥+𝑘𝑦 𝑦+𝑘𝑧𝟏 𝑧−𝜔𝑡) }
𝑬1𝑟 (𝒓, 𝑡) = Re {𝑬1𝑟 𝑒 𝑖(𝑘𝑥 𝑥+𝑘𝑦 𝑦−𝑘𝑧𝟏 𝑧−𝜔𝑡) }
Seien
𝑬1 (𝒓, 𝑡) = Re {𝑬1 𝑒 𝑖(𝑘𝑥 𝑥+𝑘𝑦 𝑦+𝑘𝑧𝟏 𝑧−𝜔𝑡) }
𝑬2 (𝒓, 𝑡) = Re {𝑬2 𝑒 𝑖(𝑘𝑥 𝑥+𝑘𝑦 𝑦+𝑘𝑧𝟐 𝑧−𝜔𝑡) }
𝑬1𝑟 (𝒓, 𝑡) = Re {𝑬1𝑟 𝑒 𝑖(𝑘𝑥 𝑥+𝑘𝑦 𝑦−𝑘𝑧𝟏 𝑧−𝜔𝑡) }
mit
Unter der Voraussetzung, dass keine Oberflächenladungen und –ströme
bestehen (können nur bei perfekt leitenden Oberflächen auftreten).
Pro Grenzfläche ergeben sich so zwei linear unabhängige
Randbedingungen.
Bspw. 𝐸𝑖∥ (𝑧 = 0) + 𝐸𝑟∥ (𝑧 = 0) = 𝐸𝑡∥ (𝑧 = 0) und 𝐻𝑖∥ + 𝐻𝑟∥ = 𝐻𝑡∥
allgemeiner (RB entstehen aus Maxwell-Gleichungen, angewendet auf
eine infinitesimale Grenzfläche):
(𝒓 ∈ 𝜕𝐷𝑖𝑗 )
𝒏 ⋅ [𝑩𝑖 (𝒓) − 𝑩𝑗 (𝒓)] = 0
𝒏 ⋅ [𝑫𝑖 (𝒓) − 𝑫𝑗 (𝒓)] = 𝜎(𝒓)
𝒏 × [𝑬𝑖 (𝒓) − 𝑬𝑗 (𝒓)] = 0
2
𝑘12 = 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 + 𝑘1𝑧
⇒
𝑘𝑧1 = √𝑘12 − (𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 )
𝑘𝑧2 = √𝑘22 − (𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 )
wobei der parallele Wellenvektor definiert ist als
𝑘∥ = √(𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 ) = 𝑘1 sin 𝜃1 = 𝑘2 sin 𝜃2
mit 𝜃1 : Einfallswinkel und 𝜃2 : Austrittswinkel
(𝒓 ∈ 𝜕𝐷𝑖𝑗 )
𝒏 × [𝑯𝑖 (𝒓) − 𝑯𝑗 (𝒓)] = 𝑲(𝒓)
𝜎(𝒓): Oberflächenladungsdichte
𝑲(𝒓): Oberflächenstromdichte
I.d.R. können 𝜎 = 0 und 𝑲 = 0 gesetzt werden, sie sind nur bei
perfekten Leitern (theoretischen Überlegungen) relevant.
𝑯(𝒓) =
0
(𝑠)
],
𝑬1𝑟 = [𝐸1𝑟
0
0
𝑬2 = [𝐸2(𝑠) ]
0
1
𝜇 𝜇
[𝒌 × 𝑬(𝒓)] und 𝑩(𝒓) = 𝜇0 𝜇𝑖 𝑯(𝒓), sowie 𝑍𝑖 = √ 0 𝑖
𝜔𝜇0 𝜇𝑖
𝜀0 𝜀𝑖
Dann ist
(𝒓 ∈ 𝜕𝐷𝑖𝑗 )
(𝒓 ∈ 𝜕𝐷𝑖𝑗 )
𝑬2 (𝒓, 𝑡) = Re {𝑬2 𝑒 𝑖(𝑘𝑥 𝑥+𝑘𝑦 𝑦+𝑘𝑧𝟐 𝑧−𝜔𝑡) }
und seien die Vektoren
0
𝑬1 = [𝐸1(𝑠) ] ,
0
und es gelte
𝒌𝟏
𝜃1
𝑘𝑧1
𝐻1 =
(𝑠)
⁄
1 −(𝑘𝑧1 𝑘1 )𝐸1
[
],
0
𝑍1
(𝑘𝑥 ⁄𝑘1 )𝐸1(𝑠)
𝐻2 =
⁄ )𝐸
1 −(𝑘𝑧2 𝑘2 2
[
]
0
𝑍2
(𝑘𝑥 ⁄𝑘2 )𝐸2(𝑠)
𝐻1𝑟 =
(𝑠)
⁄
1 (𝑘𝑧1 𝑘1 )𝐸1𝑟
[
]
0
𝑍1
(𝑠)
(𝑘𝑥 ⁄𝑘1 )𝐸1𝑟
(𝑠)
𝑘𝑥 = 𝑘∥
Es gilt das Gesetz von Snellius:
𝑛1 sin 𝜃1 = 𝑛2 sin 𝜃2
Es muss gelten
!
𝐸𝑖∥ = 𝐸𝑗∥ auf 𝜕𝐷𝑖𝑗
⇒
!
𝐻𝑖∥ =
⇒
𝐻𝑗∥
auf 𝜕𝐷𝑖𝑗
(𝑠)
(𝑠)
(𝑠)
[𝐸1 + 𝐸1𝑟 ] = 𝐸2
𝑘𝑧
𝑘𝑧
𝑘𝑧
1
1
(𝑠)
(𝑠)
(𝑠)
[− ( 1 ) 𝐸1 + ( 1 ) 𝐸1𝑟 ] = [− ( 2 ) 𝐸2 ]
𝑍1
𝑘1
𝑘1
𝑍2
𝑘2
7 / 17
Zusammenfassung EM Felder und Wellen
Stefan Rickli
(𝑠)
𝐸1
ist bekannt. Somit können die Gleichungen in Matrixform dargestellt
(𝑠)
(𝑠)
werden mit 𝐸1𝑟 und 𝐸2 unbekannt.
Total internal reflexion (TIR)
Das Zeitmittel obiger Formel beschreibt die Nettoflussdichte und lässt
sich in linearen, nicht-dispersiven Medien, bei welchen die Polarisationsund Magnetisierungsströme verlustfrei aufgebaut werden, wie folgt
ausdrücken:
1
∫ ⟨𝑺(𝒓)⟩ ⋅ 𝑑𝒂 = − ∫Re{𝒋∗ (𝒓) ⋅ 𝑬(𝒓)} ⋅ 𝑑𝑉
2 𝑉
𝜕𝑉
das transmittierte Feld wird evaneszent, wenn
𝑘∥ > 𝑘𝑜𝑢𝑡 = 𝑘2 ⇒ 𝑘2𝑧 ∈ 𝑖ℝ
Man kann so den Reflexionskoeffizienten herleiten:
𝑟 𝑠 (𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 ) ≡
(𝑠)
𝐸1𝑟
(𝑠)
𝐸1
=
𝑛2
Der kritische Winkel ist bei 𝜃 = arcsin (𝑛 ).
𝜇2 𝑘𝑧1 − 𝜇1 𝑘𝑧2
𝜇2 𝑘𝑧1 + 𝜇1 𝑘𝑧2
1
(𝑠)
𝑡 𝑠 (𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 ) ≡
𝐸2
(𝑠)
𝐸1
=
Die rechte Seite der Gleichung beschreibt die durchschnittliche
Energieabgabe innerhalb des Volumens V.
→ keine Energieübertragung über die Grenzfläche im Zeitmittel:
⟨𝑺⟩𝑧 = 0
aber
1
⟨𝑺⟩𝑥 = 𝑅𝑒{ 𝐸𝑦 𝐻𝑧∗ − 𝐸𝑧 𝐻𝑦∗ } ≠ 0
2
analog den Transmissionskoeffizienten:
2𝜇2 𝑘𝑧1
𝜇2 𝑘𝑧1 + 𝜇1 𝑘𝑧2
es gilt
1 + 𝑟𝑠 = 𝑡𝑠
=
http://blogs.ethz.ch/ricklis
Poynting-Vektor
𝑺(𝒓) = 𝑬 × 𝑯
bei ebenen Wellen gilt 𝑺 ∥ 𝒌
1 𝜀2 𝜇2
(𝑠) 2
(𝑝) 2
sin 𝜃1 (|𝑡 𝑠 |2 |𝐸1 | + |𝑡 𝑝 |2 |𝐸1 | ) ⋅ 𝑒 −2𝛾𝑧
√
2 𝜀1 𝜇1
zeitgemittelter Poynting-Vektor
p-Polarisation
1
⟨𝑺(𝒓)⟩ = Re{𝑬(𝒓) × 𝑯∗ (𝒓)}
2
Frustrated TIR
An der zweiten Grenzfläche entsteht eine weitere evaneszente Welle,
welche sich mit der Ausgehenden im Spalt überlagert. Es kann nun
Energie übertragen werden.
𝜀3 , 𝜇3
1
𝑛
arcsin (𝑛3 ) gelten.
1
𝜀2 , 𝜇2
𝑛
Ist 𝜃 > arcsin (𝑛3 ) oder 𝑘∥ > 𝑛3 𝑘0, dann
1
sind alle Wellen in Medium 2 und 3
evaneszent.
𝜀1 , 𝜇1
Sei der komplexe Feldvektor
− 𝑘𝑧1 ⁄𝑘1
− cos(𝜃)
] 𝑒 𝑖𝑘1 sin(𝜃)𝑥+𝑖𝑘1 cos(𝜃)𝑧 = 𝐸1 [
] 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑥+𝑖𝑘𝑧1 𝑧
𝑬1 (𝒓) = 𝐸1 [
0
0
𝑘𝑥 ∕ 𝑘1
sin(𝜃)
gegeben. Ansatz für die reflektierte und transmittierte Welle:
𝑬1𝑟 (𝒓) = 𝐸1𝑟 [
𝑘𝑧1 ⁄𝑘1
0 ]
𝑘𝑥 ∕ 𝑘1
𝑬2 (𝒓) = 𝐸2 [
− 𝑘𝑧2 ⁄𝑘2
]
0
𝑘𝑥 ∕ 𝑘2
𝜔2
𝜀𝜇
𝑐2 1 1
𝜔2
= 2 𝜀2 𝜇2
𝑐
2
𝑘𝑥2 + 𝑘𝑧1
=
2
𝑘𝑥2 + 𝑘𝑧2
Energie und Impuls
Coop-Filiale
𝑆1
w
Reflexionskoeffizient:
(𝑝)
𝑟 𝑝 (𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 ) ≡
𝐸1𝑟
𝜀2 𝑘𝑧1 − 𝜀1 𝑘𝑧2
=
𝜀2 𝑘𝑧1 + 𝜀1 𝑘𝑧2
(𝑝)
𝐸1
Transmissionskoeffizient:
𝑡 𝑝 (𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 ) ≡
𝑆2
(𝑝)
𝐸2
(𝑝)
𝐸1
𝜀1 𝜇2
2𝑘𝑧1 𝜀2
=√
𝜀2 𝜇1 𝜀2 𝑘𝑧1 + 𝜀1 𝑘𝑧2
𝑛̃ = √
𝜀1 𝜇2
𝜀2 𝜇1
es gilt
1 + 𝑟𝑝 = 𝑡 𝑝√
𝜀2 𝜇1
𝜀1 𝜇2
zirkulare Polarisierung
bedingt, dass s- und p-polarisierter Teile im Betrag (Achtung normieren!)
gleich gross sind und einen Phasenunterschied von 90° haben.
𝑖
0
1
also (1) und (0) ⋅
√2
0
𝑖
Spezielle Winkel
Brewster-Winkel
𝑛2
, 𝜀2 𝑘𝑧1 = 𝜀1 𝑘𝑧2 ⇒ 𝑟 𝑝 = 0
𝑛1
Eine p-polarisierte Welle wird unter diesem Einfallswinkel perfekt
transmittiert.
tan(𝜃1 ) =
zuletzt geändert: 06.04.2017 15:29, Version 49
w: Schokoladendichte
𝑆𝑖 : Schokoladenfluss
„was reingeht, muss wieder rausgehen, ausser im Inneren ändert sich
was“
𝜕𝑩
𝜕𝑫
∫ (𝑬 × 𝑯) ⋅ 𝑑𝒂 = − ∫ [𝑯 ⋅
+𝑬⋅
+ 𝒋 ⋅ 𝑬] ⋅ 𝑑𝑉
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑉
𝑉
Die Energiedichte ist
1
𝑤 = [𝑫 ⋅ 𝑬 + 𝑩 ⋅ 𝑯]
2
bei zeitharmonischen Feldern
1
𝑤
̅ = [𝑫(𝒓) ⋅ 𝑬∗ (𝒓) + 𝑩(𝒓) ⋅ 𝑯∗ (𝒓)]
4
Energiedichte in dispersiven und
verlustbehafteten Medien
(mehr auf 2015-03-25 08.58.46.jpg)
totale zeitgemittelte Energiedichte
𝑤
̅ = [𝜀0
𝑑[𝜔𝜀 ′ (𝜔)]
𝑑[𝜔𝜇′ (𝜔)]
⟨𝑬 ⋅ 𝑬⟩ + 𝜇0
⟨𝑯 ⋅ 𝑯⟩]
𝑑𝜔
𝑑𝜔
Wellenfluss durch die Oberfläche
Energieveränderung
Umwandlung der Energie in Wärme
nichtlineare Terme, =0 bei lin. Medien
In linearen und nicht-dispersiven Medien fallen die letzten beiden Terme
weg und man findet, dass nur das elektrische, nicht aber das
magnetische Feld Arbeit verrichtet.
Tensor Definition
1
⃡ (𝒓, 𝑡) = [𝜀0 𝜀𝑟 𝑬 ⊗ 𝑬 + 𝜇0 𝜇𝑟 𝑯 ⊗ 𝑯 − (𝜀0 𝜀𝑟 𝐸 2 + 𝜇0 𝜇𝑟 𝐻2 )𝑰
⃡]
𝑻
2
wobei ⊗ das äussere (dyadische) Produkt beschreibt (𝐴 ⊗ 𝐵 ≔ 𝐴 ⋅ 𝐵𝑇 )
ausgeschrieben:
𝜀(𝐸𝑥2 − 𝐸 2 ⁄2) + 𝜇(𝐻𝑥2 − 𝐻2 ⁄2)
[
𝜀𝐸𝑥 𝐸𝑦 + 𝜇𝐻𝑥 𝐻𝑦
𝜀𝐸𝑥 𝐸𝑧 + 𝜇𝐻𝑥 𝐻𝑧
𝜀𝐸𝑥 𝐸𝑦 + 𝜇𝐻𝑥 𝐻𝑦
𝜀(𝐸𝑦2 − 𝐸 2 ⁄2) + 𝜇(𝐻𝑦2 − 𝐻2 ⁄2)
𝜀𝐸𝑦 𝐸𝑧 + 𝜇𝐻𝑦 𝐻𝑧
𝜀(𝐸𝑧2
𝜀𝐸𝑥 𝐸𝑧 + 𝜇𝐻𝑥 𝐻𝑧
𝜀𝐸𝑦 𝐸𝑧 + 𝜇𝐻𝑦 𝐻𝑧
]
− 𝐸 2 ⁄2) + 𝜇(𝐻𝑧2 − 𝐻2 ⁄2)
mit 𝜀 = 𝜀0 𝜀𝑟 und 𝜇 = 𝜇0 𝜇𝑟
Für den Stresstensor muss immer das Gesamtfeld in Betracht gezogen
werden! (Z.B. einfallendes und reflektiertes Feld superponiert)
Kontinuitätsgleichung für Impuls
⃡ (𝒓, 𝑡) ⋅ 𝑑𝒂 =
∫ 𝑻
𝜕𝑉
𝜕
[𝑮 + 𝑮mech ]
𝜕𝑡 field
𝑮fielⅆ : Feldimpuls (siehe unten)
𝑮mech : Mechanischer Impuls
⇒
𝜕 1
⃡ ⋅ 𝑑𝒂 −
∫ 𝑻
∫(𝑬 × 𝑯) ⋅ 𝑑𝑉 = ∫[𝜌𝑬 + 𝒋 × 𝑩] ⋅ 𝑑𝑉
𝜕𝑡 𝑐 2 𝑉
⏟𝜕𝑉
⏟
⏟𝑉
𝐼
I:
II:
III:
𝐼𝐼
𝐼𝐼𝐼
Fluss des Spannungstensors durch Oberfläche
Impuls
𝐹mech
Feldimpuls im Vakuum (Abraham density)
1
∫[𝑬 × 𝑯] ⋅ 𝑑𝑉
𝑐2 𝑉
Gemäss der newton’schen Definition der Kraft 𝑭 =
Strahlungsdruck
1
𝒑(𝒓) = 2 ∫⟨𝑺(𝒓)⟩ ⋅ 𝑑𝑉
𝐼𝐼
𝐼
𝑐 𝑉
𝑤
⏞
𝑺
⏞
Kraft: Impuls, der eine Fläche (𝑑𝑥 𝑑𝑦) pro Zeiteinheit dt durchdringt:
𝜕 ⏞
1
(𝑬 × 𝑯) ⋅ 𝑑𝒂 + ∫ [𝑫 ⋅ 𝑬 + 𝑩 ⋅ 𝑯] ⋅ 𝑑𝑉
∫ ⏞
𝑑𝒑 1
𝑑𝑧
𝜕𝑡 𝑉 2
= ⟨𝑺⟩𝑑𝑥𝑑𝑦
→𝑐
𝜕𝑉
𝑑𝑡 𝑐 2
𝑑𝑡
1
𝜕𝑷
𝜕𝑬
𝜇0
𝜕𝑴
𝜕𝑯
= − ∫𝒋 ⋅ 𝑬 ⋅ 𝑑𝑉 − ∫ [𝑬 ⋅
− 𝑷 ⋅ ] ⋅ 𝑑𝑉 − ∫ [𝑯 ⋅
−𝑴⋅
] ⋅ 𝑑𝑉 Strahlungsdruck:
2
𝜕𝑡
𝜕𝑡
2
𝜕𝑡
𝜕𝑡
⏟𝑉
⏟𝑉
⏟ 𝑉
1
𝒑 = ⟨𝑺⟩
𝐼𝐼𝐼
𝐼𝑉
𝑉
𝑐
S : Energieflussdichte, Poynting Vektor
Es gilt die Impulserhaltung:
w : Elektromagnetische Energie
I:
II:
III:
IV/V:
𝑅 = |𝑟|2
Maxwell’scher Spannungstensor
𝑮field =
Elektromagnetischer Impuls
Ersetzen von B und D mit den allgemein gültigen Ausdrücken liefert
1
𝒑𝑚𝑒𝑐ℎ = [1 + 𝑅] ⟨𝑺⟩
𝑐
Annahme: Polarisierungs- und Magnetisierungsströme verlustfrei
Im Fernfeld kann die Welle mit ebenen Wellen approximiert werden und
es gilt
11
⟨𝑺∞ (𝒓)⟩ =
|𝑬(𝒓)|2 𝒏𝑟
2 𝑍𝑖
Damit FTIR auftritt, muss für den
𝑛
Einfallswinkel arcsin (𝑛2 ) < 𝜃 <
Der Druck auf reflektierende Fläche ist
𝒑𝑖𝑛 = 𝒑𝑟𝑒𝑓 + 𝒑𝑚𝑒𝑐ℎ
𝑑𝒑
𝑑𝑡
gilt
⃡ (𝒓, 𝑡)⟩ ⋅ 𝑑𝒂
⟨𝑭⟩ = ∫ ⟨𝑻
𝜕𝑉
weil die Ableitung des Feldimpulses, gemittelt über eine Wellenperiode,
Null ergibt.
Ein Teilintegral ergibt die Kraft, welche auf die integrierte Fläche wirkt.
resultierender Strahlungsdruck
⟨𝑝⟩ = 𝒏 ⋅
⟨𝑭⟩
1
⃡ (𝒓, 𝑡)⟩ ⋅ 𝒏 ⋅ 𝑑𝒂
= 𝒏 ⋅ ∫⟨𝑻
𝐴
𝐴 𝐴
Verhalten des Strahlungsrucks bei
1)
Absorption:
x1
2)
Reflexion:
x2
3)
Transmission:
0
Reflektivität
𝑅 = |𝑟|2 = 1 − 𝑇
8 / 17
Zusammenfassung EM Felder und Wellen
Stefan Rickli
𝑛𝜋
Abgestrahlte Leistung wird durch DOS beeinflusst. Im Fall des Vakuums
> 𝑘 : exponential decay just like evanescent waves
𝑑
𝜔2
(𝑛(𝜔) = 1) ist 𝜌(𝜔) = 2 3 .
→ High-pass filter
𝜋 𝑐
Waveguides & Resonators
Resonators confine electromagnetic energy
Waveguides guide this electromagnetic energy
9.1 Resonators
Consider a rectangular box with sides 𝐿𝑥 , 𝐿𝑦 , 𝐿𝑧
We now search solutions for Helmholtz: [ ∇2 + 𝑘 2 ] 𝐸 = 0
(𝑥)
1. Ansatz: 𝐸𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸0 𝑋(𝑥) 𝑌(𝑦) 𝑍(𝑧) ; 𝐸𝑦 = …
2. Separation of variables
1 𝑑2𝑋 1 𝑑2𝑌 1 𝑑2𝑍
+
+
+ 𝑘2 = 0
𝑋 𝑑 𝑥2 𝑌 𝑑 𝑦2 𝑍 𝑑 𝑧2
2
2
2
3. Set constants to − 𝑘𝑥 , −𝑘𝑦 , −𝑘𝑧 , which implies
𝜔2
𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 + 𝑘𝑧2 = 𝑘 2 = 2 𝑛2 (𝜔)
𝑐
4. We obtain tree separate equations
2
𝑑2𝑋
𝑑
𝑌
𝑑2𝑍
+ 𝑘𝑥2 𝑋 =
+ 𝑘𝑦2 𝑌 = 2 + 𝑘𝑧2 𝑍 = 0
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦 2
𝑑𝑧
(𝑥)
5. → 𝐸𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸0 [𝑐1,𝑥 𝑒 − 𝑖𝑘𝑥 𝑥 + 𝑐2,𝑥 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑥 ] …
… [𝑐3,𝑥 𝑒 − 𝑖𝑘𝑦𝑦 + 𝑐4,𝑥 𝑒 𝑖𝑘𝑦𝑦 ][𝑐5,𝑥 𝑒 − 𝑖𝑘𝑧𝑧 + 𝑐6,𝑥 𝑒 𝑖𝑘𝑧 𝑧 ]
6.Boundary conditions:
𝐸𝑥 (𝑦 = 0) = 𝐸𝑥 (𝑦 = 𝐿𝑦 ) = 0 = 𝐸𝑥 (𝑧 = 0) = 𝐸𝑥 (𝑧 = 𝐿𝑧 )
7. Use ∇ ∗ 𝐸 = 0 , ( ∇ ∗ 𝐻 = 0, ∇ 𝑥 𝐸 = 0 )
𝑥
𝑦
𝑧
] sin [ 𝑚 𝜋 ] sin [ 𝑙 𝜋 ]
𝐿𝑥
𝐿𝑦
𝐿𝑧
𝑥
𝑦
𝑧
(𝑦)
𝐸𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸0 sin [𝑛 𝜋 ] cos [ 𝑚 𝜋 ] sin [ 𝑙 𝜋 ]
𝐿𝑥
𝐿𝑦
𝐿𝑧
𝑥
𝑦
𝑧
(𝑧)
𝐸𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸0 sin [𝑛 𝜋 ] sin [ 𝑚 𝜋 ] cos [ 𝑙 𝜋 ]
𝐿𝑥
𝐿𝑦
𝐿𝑧
𝑛 (𝑥) 𝑚 (𝑦)
𝑙 (𝑧)
𝐸 +
𝐸 +
𝐸 =0
𝐿𝑥 0
𝐿𝑦 0
𝐿𝑧 0
(𝑥)
𝐸𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸0 cos [𝑛 𝜋
Dispersion relation / mode structure of the resonator
2
𝑛2 𝑚2 𝑙 2
𝜔𝑛𝑚𝑙
𝜋 2 [ 2 + 2 + 2 ] = 2 𝑛2 (𝜔𝑛𝑚𝑙 ) ,
𝑛, 𝑚, 𝑙 ∈ ℤ0
𝐿𝑥 𝐿 𝑦 𝐿𝑧
𝑐
Density of States (DOS)
Finite-size box with equal length: 𝐿 = 𝐿𝑥 = 𝐿𝑦 = 𝐿𝑧
2
𝐿 𝜔𝑛𝑚𝑙
→ 𝑛2 + 𝑚2 + 𝑙 2 = [ ∗
𝑛(𝜔𝑛𝑚𝑙 )]
𝜋
𝑐
If 𝑛, 𝑚, 𝑙 ∈ ℝ ∶ 𝑟0 = [ 𝜔𝑛𝑚𝑙 𝐿 𝑛(𝜔𝑛𝑚𝑙 )⁄(𝜋𝑐)]
The number of different modes in interval [ 𝜔 … 𝜔 + ∆𝜔]
𝑑𝑁(𝜔)
𝜔2 𝑛3 (𝜔)
∆𝜔 = 𝑉
∆𝜔
𝑑𝜔
𝜋2 𝑐3
States that there are more modes for higher frequencies.
Density of States (DOS)
𝜔2 𝑛3 (𝜔)
𝜋2 𝑐3
DOS: number of modes per unit volume V and unit frequency ∆𝜔
𝜌(𝜔) =
Number of modes
𝜔2
𝑁(𝜔) = ∫ ∫ 𝜌(𝜔) 𝑑𝜔 𝑑𝑉
𝑉
𝜔1
Example: Power emitted by a dipole
𝜋 𝜔2
|𝑝|2 𝜌(𝜔)
𝑃̅ =
12 𝜀0 𝜀
zuletzt geändert: 06.04.2017 15:29, Version 49
Quality factor
Due to losses such as absorption and radiation, the discrete frequencies
broaden to a finit line width ∆𝜔 = 2𝛾
𝑄 = 𝜔0 /𝛾
Measure for how long energy can be stored in a resonator
Due to the losses, the electric field diminishes:
𝜔0
𝐸(𝑟, 𝑡) = 𝑅𝑒{ 𝐸0 (𝑟) exp [ (𝑖𝜔0 − ) 𝑡]
2𝑄
Where 𝜔0 is one of the resonant frequencies 𝜔𝑛𝑚𝑙 .
Spectrum of the stored energy density
𝜔02
𝑊𝜔 (𝜔0 )
𝑊𝜔 (𝜔) =
4𝑄2 (𝜔 − 𝜔0 )2 + (𝜔0 ⁄2𝑄)2
Cavity Perturbance (Disturbance theory of a resonator)
Particle absorption or a change of the index of refraction can lead to a
shift of the resonance frequency
Unperturbed system (𝜔0 ∶ 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑛𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑦)
∇ 𝑥 𝐸0 = 𝑖𝜔0 𝜇0 𝜇(𝑟) 𝐻0 ,
∇ 𝑥 𝐻0 = − 𝑖𝜔0 𝜀0 𝜀(𝑟) 𝐸0
Perturbed system ( ∆𝜀, ∆𝜇 ∶ 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑜𝑓 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑙𝑒)
∇𝑥𝐸 =
𝑖𝜔𝜇0 [ 𝜇(𝑟) 𝐻 + ∆𝜇(𝑟) 𝐻 ]
∇ 𝑥 𝐻 = − 𝑖𝜔𝜀0 [ 𝜀(𝑟) 𝐸 + ∆𝜀(𝑟) 𝐸 ]
Bethe-Schwinger cavity perturbation formula
∫ [ 𝐸0∗ 𝜀0 ∆𝜀(𝑟) 𝐸 + 𝐻0∗ 𝜇0 ∆𝜇(𝑟) 𝐻 ] 𝑑𝑉
𝜔 − 𝜔0
= − ∆𝑉
𝜔
∫𝑉[ 𝜀0 𝜀(𝑟) 𝐸0∗ 𝐸 + 𝜇0 𝜇(𝑟) 𝐻0∗ 𝐻 ] 𝑑𝑉
Assuming a small effect of the perturbation on the cavity: 𝐸 = 𝐸0 , 𝐻 =
𝐻0
∫ [ 𝐸0∗ 𝜀0 ∆𝜀(𝑟) 𝐸0 + 𝐻0∗ 𝜇0 ∆𝜇(𝑟) 𝐻0 ] 𝑑𝑉
𝜔 − 𝜔0
= − ∆𝑉
𝜔
∫𝑉[ 𝜀0 𝜀(𝑟) 𝐸0∗ 𝐸0 + 𝜇0 𝜇(𝑟) 𝐻0∗ 𝐻0 ] 𝑑𝑉
For a weakly-dispersive medium:
𝜔 − 𝜔0
∆𝑊
𝑊0
= −
⇔ 𝜔 = 𝜔0 [
]
𝜔
𝑊0
𝑊0 − ∆𝑊
Cut-off frequency
𝑛𝜋𝑐
𝜔𝑐 =
,
𝑛 ∈ { 1, 2, … }
𝑑 𝑛(𝜔𝑐 )
Below the cut-off frequency, waves cannot propagate
𝑃ℎ𝑎𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑡𝑦 𝑣𝑝ℎ = 𝜔⁄𝑘𝑧𝑛
𝜔 > 𝜔𝑐 ∶
𝐺𝑟𝑜𝑢𝑝 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑡𝑦 𝑣𝑔 = 𝑑𝜔⁄𝑑𝑘𝑧𝑛
TM-Modes: magnetic field parallel to surfaces of plates
Ansatz: plane wave propag. at angle 𝜃 to surface normal
𝐻1 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐻0 𝑛𝑦 𝑒 [ −𝑖𝑘𝑥 cos 𝜃+𝑖𝑘𝑧 sin 𝜃 ]
Coming from the upper plate, it gets reflected at the bottom:
𝐻2 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐻0 𝑛𝑦 𝑒 [ 𝑖𝑘𝑥 cos 𝜃+𝑖𝑘𝑧 sin 𝜃 ]
Superposition of the fields:
𝐻(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐻1 + 𝐻2 = 2 𝐻0 𝑛𝑦 𝑒 𝑖 𝑘 𝑧 𝑠𝑖𝑛𝜃 cos(𝑘 𝑥 cos 𝜃)
Boundary condition at top interface 𝑧 = 𝑑 leads to
𝑘𝑑 cos 𝜃 = 𝑛𝜋 ,
𝑛 ∈ { 0, 1, 2, … }
𝑘𝑧𝑛 = √𝑘 2 − 𝑛2 [𝜋⁄𝑑 ]2 ,
𝑛 ∈ { 0, 1, 2, … }
TEM / 𝑇𝑀00 – Mode
In contrast to the TE-modes, there exists a mode for 𝑛 = 0.
This mode does NOT have a cut-off frequency like all other TM- and TEmodes.
For 𝑇𝑀00 ∶
𝑘𝑧 = 𝑘
This is a transverse electric field: neither the electric nor the magnetic
field show in the direction of propagation.
Hollow Metal Waveguides
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Propagation constant / longitudinal wavenumber
2
𝜔𝑛𝑚
𝑛2 𝜋 2 𝑚2 𝜋 2
𝑘𝑧 = √𝑘 2 − 𝑘𝑡2 = √ 2 𝑛2 (𝜔𝑛𝑚 ) − [ 2 + 2 ]
𝑐
𝐿𝑥
𝐿𝑦
As there is no zero mode, there is always a cut-off.
𝐻𝑧𝑥𝑦 = 0
TM-Modes :
𝑛𝜋
𝑚𝜋
𝑥 ] sin [
𝑦 ] , 𝑛, 𝑚 ∈ { 1, … }
𝐿𝑥
𝐿𝑦
𝑛 = 0 𝑜𝑟 𝑚 = 0 lead to zero-field solutions and are forbidden. The lowest frequency mode is 𝑇𝑀11 .
𝐸𝑧𝑥𝑦 (𝑥, 𝑦)
= 𝐸0𝑧 sin [
Optical Waveguides
For very high / optical frequencies (200-800 THz) , metal waveguides become lossy.
For Total Internal Reflection (TIR), we require:
1.
𝑛1 > 𝑛2 ( core optically denser material)
𝑛
2.
Angle to surface normal 𝜃 > 𝜃𝑐 = arctan [ 𝑛2 ]
1
In contrary to metal waveguides, we have evanescent fields that stretch
out into the surrounding medium with the lower index of refraction 𝑛2 .
These fields ensure that no energy is radiated away from the waveguide.
TM-Modes
Medium 1:
Medium 2:
𝑘1 = [ 𝑘𝑥1 , 0, 𝑘𝑧 ]
𝑘2 = [ 𝑘𝑥2 , 0, 𝑘𝑧 ]
𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸 𝑥𝑦 (𝑥, 𝑦) ∗ 𝑒 𝑖𝑘𝑧 𝑧
𝐸 = 𝐸𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣 + 𝐸𝑙𝑜𝑛𝑔 = 𝐸 𝑥 𝑛𝑧 + ( 𝐸 ∗ 𝑛𝑧 ) 𝑛𝑧
The transverse field components can be calculated using the longitudinal
field components:
Ansatz:
Waveguides
Used to carry electromagnetic energy from A to B
Parallel-Plate waveguides
Material with 𝑛(𝜔) sandwiched between two conductors
TE-Mode:
no electric field in propagation direction
TM-Mode:
no magnetic field in propagation direction
TE-Modes: electric field parallel to surfaces of the plates
Ansatz: plane wave propag. at angle 𝜃 to surface normal
𝐸1 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸0 𝑛𝑦 𝑒 [ −𝑖𝑘𝑥 cos 𝜃+𝑖𝑘𝑧 sin 𝜃 ]
𝑘1
Coming from the upper plate, it gets re𝐸1 𝑘
𝐸2 d
flected at the bottom:
2
θ
𝐸2 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = − 𝐸0 𝑛𝑦 𝑒 [ 𝑖𝑘𝑥 cos 𝜃+𝑖𝑘𝑧 sin 𝜃 ]
Superposition of the fields:
𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸1 + 𝐸2 = −2𝑖 𝐸0 𝑛𝑦 𝑒 𝑖 𝑘 𝑧 𝑠𝑖𝑛𝜃 sin(𝑘 𝑥 cos 𝜃)
Quantisation of the normal wavenumber: field must fulfil boundary condition at the upper plate: 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑑) = 0
sin[ 𝑘𝑑 cos 𝜃 ] = 0 → 𝑘𝑑 cos 𝜃 = 𝑛 𝜋
𝑘𝑥 = 𝑘 cos 𝜃
→ 𝑘𝑥𝑛 = 𝑛 𝜋⁄𝑑 ,
𝑛 ∈ {1,2, … }
2
As 𝑘 = 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑧2 , we can find the propagation constant
2
𝑘𝑧𝑛 = √𝑘 −
𝑘𝑥2𝑛
=
√𝑘 2
−
𝑛2 [𝜋⁄𝑑]2
,
𝑛 = 0 : zero-field (trivial solution for TE-modes)
𝑛 ∈ { 1,2, … }
TE-Modes:
𝐸𝑧𝑥𝑦 = 0
𝑛𝜋
𝑚𝜋
𝑥
𝐿𝑦
𝐻𝑧𝑥𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝐻0𝑧 cos [ 𝐿 𝑥] cos [
𝑦 ] , 𝑛, 𝑚 ∈ {0,1, … }
Transverse wavenumber:
𝑘𝑡2 = [ 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 ] = 𝜋 2 [
𝑛2 𝑚2
],
+
𝐿2𝑥 𝐿2𝑦
𝑛, 𝑚 ∈ {0, 1, … }
Frequency of the 𝑇𝐸𝑛𝑚 modes:
𝜔𝑛𝑚 =
𝜋𝑐
𝑛2 𝑚2
,
√ +
𝑛(𝜔𝑛𝑚 ) 𝐿2𝑥 𝐿2𝑦
𝑛, 𝑚 ∈ {0,1, … }
Watch out: 𝑇𝐸00 does not exist! Therefore, 𝑛 = 0 = 𝑚 is not a valid solution; the lowest frequency modes are hence 𝑇𝐸01 𝑎𝑛𝑑 𝑇𝐸10 .
In order to be evanescent outside the waveguide, we require 𝑘𝑧 > 𝑘2 .
However, to propagate inside, we need
𝑘2 < 𝑘𝑧 < 𝑘1
If we solve those fields, we receive
𝑝
𝑝
(𝑘𝑧 ) 𝑟𝑏𝑐
(𝑘𝑧 ) 𝑒 2𝑖𝑘𝑥1 𝑑 = 0
1 + 𝑟𝑎𝑏
𝑝
𝑝
Here, 𝑟𝑎𝑏
𝑎𝑛𝑑 𝑟𝑏𝑐
are the Fresnel coefficients for p-pol.
TE-Modes
Here, we receive a similar equation:
𝑠 (𝑘 ) 𝑠 (𝑘 ) 2𝑖𝑘 𝑥1 𝑑
1 + 𝑟𝑎𝑏
=0
𝑧 𝑟𝑏𝑐
𝑧 𝑒
9 / 17
Zusammenfassung EM Felder und Wellen
Appendix
Fallunterscheidungen
Wichtig wichtig wichtig! Ist 𝑘2𝑧 ∈ ℂ oder 𝑘2𝑧 ∈ ℝ?
Physikalisches
Stefan Rickli
Approximationen
Energieformen
𝐸𝑝𝑜𝑡 = 𝑞 ⋅ 𝛷(𝑥)
1
𝐸𝑘𝑖𝑛 = 𝑚𝑣 2
2
𝐸𝑘𝑖𝑛 + 𝐸𝑝𝑜𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Vektor-/Komplexanalysis
1 𝑏2
,
2 𝑎2
√𝑎2 + 𝑏2
1
√1 + 𝜀 ≈ 1 + 𝜀
2
1
≈ 1−𝜀
1+𝜀
1
≈ 1+𝜀
1−𝜀
Kleinwinkelapproximation
𝑎
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≈ 1−
Differentialoperatoren
|𝒛|2 = 𝒛 ⋅ 𝒛∗ = ⟨𝒛, 𝒛⟩
𝑎≫𝑏
2
|𝑎 + 𝑏| =
|𝑎|2
+
|𝑏|2
+ 2 Re{𝑎 ⋅ 𝑏
Sei 𝑲 ein Vektorfeld 𝑲(𝑥, 𝑦, 𝑧).
∗}
𝑖𝜑
𝑎 + 𝑖𝑏
𝑧
𝐴⋅𝑒
|=1
|
| = | ∗| = |
𝑎 − 𝑖𝑏
𝑧
𝐴 ⋅ 𝑒 −𝑖𝜑
Gradient
Stärke und Richtung des steilsten Anstiegs einer skalaren Funktion
𝜕
𝜕𝑥1
∇ ≡
⋮
𝜕
(𝜕𝑥𝑛 )
𝑎𝑦 𝑏𝑧 − 𝑎𝑧 𝑏𝑦
𝒂 × 𝒃 = ( 𝑎𝑧 𝑏𝑥 − 𝑎𝑥 𝑏𝑧 )
𝑎𝑥 𝑏𝑦 − 𝑎𝑦 𝑏𝑥
sin(𝜃) ≈ 𝜃 , cos(𝜃) ≈ 1 , tan(𝜃) ≈ 𝜃
Taylorreihen
Allgemein:
𝑛
𝑗𝑥𝑛0 𝑓(𝑥)
𝑓 (𝑘) (𝑥0 )
(𝑥 − 𝑥0 )𝑘 + 𝑂(|𝑥 − 𝑥0 |𝑛+1 )
=∑
𝑘!
𝑘=0
𝑑𝑓(𝑥0 )
1 𝑑 2 𝑓(𝑥0 )
(𝑥 − 𝑥0 ) +
(𝑥 − 𝑥0 )2
≈ 𝑓(𝑥0 ) +
𝑑𝑥
2! 𝑑𝑥 2
Einige Taylorreihen:
2
ln(1 + 𝑥) = 𝑥 −
𝑥
+⋯
2
∞
= ∑ (−1)𝑘−1
(𝑘=0)
∞
𝑛
𝑛
(1 + 𝑥)𝑛 = 1 + ( ) 𝑥 + ⋯ = ∑ ( ) 𝑥 𝑘
1
𝑘
(𝑘=0)
∞
𝑥
𝑒 = 1+𝑥+⋯
𝑥𝑘
= ∑
𝑘!
𝜕
𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 )
𝜕𝑥1
∇(𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 )) =
⋮
𝜕
𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 )
(𝜕𝑥𝑛
)
Koordinatentransformation
𝑘
𝑥
𝑘
Manchmal gelingt es, bei einer Koordinatentransformation nach sehr
elementaren Umformungen direkt Komponenten ablesen zu können.
Z.B. bei einem el. Dipol, dessen Achse in z-Richtung ausgerichtet ist.
Das ist viel schneller als die in den Übungen vorgeschlagenen
Koordinatentransformationen.
Divergenz
Tendenz, ob etwas hin- oder wegfliesst
Kartesisch → Sphärisch
1.
Formel in kartesischer Vektorform schreiben
2.
Alle x,y,z in der Formel durch 𝑅 sin 𝜃 cos 𝜑 etc
entsprechend der Tabelle ersetzen
3.
Gemeinsame Faktoren herausziehen. Schauen, ob jetzt
sphärische Einheitsvektoren da stehen.
Eventuell lässt sich auch eine Summe entsprechend
aufteilen.
Rotation
Sphärische Einheitsvektoren in kartesischen Koordinaten:
cos 𝜃 cos 𝜑
sin 𝜃 cos 𝜑
− sin 𝜑
𝒆𝑟 = ( sin 𝜃 sin 𝜑 ) , 𝒆𝜃 = ( cos 𝜃 sin 𝜑 ) , 𝒆𝜑 = ( cos 𝜑 )
cos 𝜑
− sin 𝜑
0
Laplace (skalar)
∇ ⋅ 𝑲(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝜕𝐾𝑦
𝜕𝐾𝑥
𝜕𝐾
(𝑥, 𝑦, 𝑧) +
(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Tendenz, um Punkt zu rotieren
𝜕𝑦 𝐾𝑧 − 𝜕𝑧 𝐾𝑦
∇ × 𝑲 = ( 𝜕𝑧 𝐾𝑥 − 𝜕𝑥 𝐾𝑧 )
𝜕𝑥 𝐾𝑦 − 𝜕𝑦 𝐾𝑥
(𝑘=0)
𝑥3
+⋯
3!
𝑥2
= 1− +⋯
2!
𝑥3
=𝑥− +⋯
3
𝑥3
=𝑥+ +⋯
3!
𝑥2
= 1+ +⋯
2!
𝑥3
=𝑥+ +⋯
3
sin 𝑥 = 𝑥 −
cos 𝑥
arctan 𝑥
sinh 𝑥
cosh 𝑥
artanh 𝑥
Δ(𝑓) ≔ ∇2 (𝑓) = (∇ ⋅ ∇)(𝑓) = ∇2 𝑓
Δ(𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 )) =
𝜕𝑓
𝜕𝑓
(𝑥 , … , 𝑥𝑛 ) + ⋯ + 2 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 )
𝜕𝑥12 1
𝜕𝑥𝑛
Laplace (vektoriell)
𝒆𝑟
Δ(𝐾1 )
Δ(𝑲) = ∇2 (𝑲) = ∇2 𝑲 = ( ⋮ )
Δ(𝐾𝑛 )
𝒆𝜑
𝒆𝜃
∇ × (∇(𝑓)) = 0
∇ ⋅ (∇ × 𝑲) = 0
∇ × (∇ × 𝑲) = ∇(∇ ⋅ 𝑲) − Δ(𝑲)
∇ ⋅ (𝑓 ⋅ 𝑲) = ∇(𝑓) ⋅ 𝑲 + 𝑓 ⋅ (∇ ⋅ 𝑲)
∇ ⋅ (𝑲 × 𝑳) = 𝑳 ⋅ (∇ × 𝑲) − 𝑲 ⋅ (∇ × 𝑳)
∇ ⋅ (𝑓 ⋅ (∇ × 𝑲)) = ∇(𝑓) ⋅ (∇ × 𝑲)
Jacobimatrix
𝑇
∇(𝑓1 (𝒙))
𝑇
𝜕𝑥1 𝑓1
𝜕𝑥1 𝑓2
𝐷𝒇(𝒙) = ∇(𝑓2 (𝒙)) =
⋮
⋮
𝑇
𝜕
( 𝑥1 𝑓𝑛
(∇(𝑓𝑛 (𝒙)) )
𝜕𝑥2 𝑓1
⋱
…
…
⋱
…
𝜕𝑥𝑛 𝑓1
⋮
⋮
𝜕𝑥𝑛 𝑓𝑛 )
Integralsätze
Gauss
∫(∇ ⋅ 𝑲) ⋅ 𝑑𝑉 = ∮ 𝐾 ⋅ 𝒏 ⋅ 𝑑𝑎
𝑉
𝜕𝑉
Stokes
∫(∇ × 𝑲) ⋅ 𝒏 ⋅ 𝑑𝑎 = ∮ 𝑲 ⋅ 𝑑𝒙
𝐴
zuletzt geändert: 06.04.2017 15:29, Version 49
𝜕𝐴
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Zusammenfassung EM Felder und Wellen
Stefan Rickli
http://blogs.ethz.ch/ricklis
räumliche Fouriertrafo
Fouriertransformationstabelle
Die in dieser Vorlesung relevanten Fouriertransformationen sind die
zeitliche Fouriertransformation
1 ∞
′
̂ 𝑡 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜔) =
∫ 𝑬(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 ′ ) ⋅ 𝑒 +𝑖𝜔𝑡 ⋅ 𝑑𝑡
𝑬
2𝜋 −∞
𝑓(𝑡) =
1 ∞
′
∫ 𝐹(𝜔′ )𝑒 𝑖𝜔 𝑡 ⋅ 𝑑𝜔′
2𝜋 −∞
∞
⇔
′
𝐹(𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡 ′ )𝑒 −𝑖𝜔𝑡 ⋅ 𝑑𝑡 ′
−∞
∞
𝑬(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) =
̂ 𝑡 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜔′ ) ⋅ 𝑒 −𝑖𝜔′ 𝑡 ⋅ 𝑑𝜔′
∫ 𝑬
−∞
und die räumliche Fouriertransformation
̂ 𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑘𝑧 , 𝑡) =
𝑬
∞
′
∫ 𝑬(𝑥, 𝑦, 𝑧 ′ , 𝑡) ⋅ 𝑒 −𝑖𝑘𝑧 𝑧 ⋅ 𝑑𝑧 ′
−∞
∞
1
̂ (𝑥, 𝑦, 𝑘𝑧′ , 𝑡) ⋅ 𝑒 +𝑖𝑘𝑧′ 𝑡 ⋅ 𝑑𝑘𝑧′
∫ 𝑬
𝑬(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) =
2π −∞ 𝑧
Zu beachten sind die verschiedenen Vorzeichen in der zeitlichen und räumlichen
Fouriertransformation! Diese Konvention stellt sicher, dass sich zurücktransformierte Wellen bei
positiven Argumenten entsprechend der gewohnten Koordinaten bewegen.
Fouriertransformationen von vektoriellen Funktionen werden komponentenweise durchgeführt!
zeitliche Fouriertrafo
∞
̂ (𝜔)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 ⋅ 𝑑𝜔
𝑬(𝑡) = ∫ 𝑬
̂ (𝜔) =
𝑬
⇔
∞
1 ∞
∫ 𝑬(𝑡)𝑒 𝑖𝜔𝑡 ⋅ 𝑑𝑡
2𝜋 −∞
Zeitbereich: 𝑓(𝑡)
Frequenzbereich: 𝑓̂(𝜔)
𝑎𝑓(𝑡) + 𝑏𝑔(𝑡)
𝑎𝑓̂(𝜔) + 𝑏𝑔̂(𝜔)
𝑓(𝑡 − 𝑎)
𝑒 𝑖𝜔𝑎 𝑓̂(𝜔)
𝑓(𝑎𝑡)
|𝑎|
𝑒 𝑖𝑎𝑡 𝑓(𝑡)
𝑓̂(𝜔 + 𝑎)
𝜕
1
𝑛
𝜔
𝑓̂ ( 𝑎 )
Anwendung: Feldwinkelspektrum
̂ (𝑘𝑥 ,𝑘𝑦 ;0)
𝑬
∞
⏞1
′
′
̂ (𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 ; 𝑧) = (
∬ 𝑬(𝑥 ′ , 𝑦 ′ ; 0) ⋅ 𝑒 −𝑖(𝑘𝑥 𝑥 +𝑘𝑦 𝑦 ) ⋅ 𝑑𝑥 ′ 𝑑𝑦 ′ ) ⋅ 𝑒 ±𝑖𝑘𝑧 𝑧
𝑬
4𝜋 2 −∞
𝑓̂(𝜔)
(𝜕𝑡) 𝑓(𝑡)
(−𝑖𝜔)𝑛
𝑡 𝑛 𝑓(𝑡)
𝜕
(−𝑖)𝑛 ( ) 𝑓̂(𝜔)
𝜕𝜔
(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑡)
2𝜋𝑓̂(𝜔)𝑔̂(𝜔)
𝑓(𝑡)𝑔(𝑡)
(𝑓̂ ∗ 𝑔̂)(𝜔)
∞
̂ (𝑘𝑥′ , 𝑘𝑦′ ; 𝑧) ⋅ 𝑒 +𝑖(𝑘𝑥′ 𝑥+𝑘𝑦′ 𝑦) ⋅ 𝑑𝑘𝑥′ 𝑑𝑘𝑦′
𝑬(𝑥, 𝑦; 𝑧) = ∬ 𝑬
𝑛
−∞
mit
{
1,
0,
−𝑎 ≤ 𝑡 < 𝑎
sonst
2
𝑒 −𝑎𝑡 ,
𝑎>0
𝑒 −𝑎|𝑡| ,
𝑎>0
1
𝑘 2 +𝑡 2
,
𝑘>0
𝑒 𝑖𝑎𝑡
cos(𝑎𝑡)
sin(𝑎𝑡)
zuletzt geändert: 06.04.2017 15:29, Version 49
𝑘𝑧 = √𝑘 2 − (𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 )
sin(𝜔𝑎)
𝜔𝜋
𝜔2
1
√4𝜋𝑎
1
𝑒 − 4𝑎
𝑎
𝜋 𝑎 2+𝜔 2
1
2𝑘
𝑒 −𝑘|𝜔|
𝛿(𝜔 + 𝑎)
1
2
(𝛿(𝜔 + 𝑎) + 𝛿(𝜔 − 𝑎))
1
2𝑖
(𝛿(𝜔 + 𝑎) − 𝛿(𝜔 − 𝑎))
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Zusammenfassung EM Felder und Wellen
Jacobideterminante für Trafo von kartesischen Koordinaten:
zuletzt geändert: 06.04.2017 15:29, Version 49
Stefan Rickli
𝑟
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𝑟 2 sin 𝜗
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Formelsammlung Analysis
Stefan Rickli
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Einige Ableitungen
Triviale Funktionen
𝐶
Potenzen
0
𝑥
Wurzeln
𝑥 𝑛 (𝑛 ∈ ℝ)
𝑛𝑥 𝑛−1
√𝑥
1
𝑥
1
𝑥𝑛
(𝑥 ≠ 0)
−
−
( (𝑛 ∈ ℝ, 𝑥 ≠ 0)
[𝑓(𝑥)]𝑛 (𝑛 ∈ ℝ)
1
1
1
𝑛
√𝑥 (𝑛 ∈ ℝ, 𝑛 ≠ 0, 𝑥 > 0)
𝑥2
𝑛
𝑛[𝑓(𝑥)]𝑛−1 𝑓 ′ (𝑥)
Logarithmus
1
𝑒𝑥
𝑒𝑥
ln 𝑥 (𝑥 > 0)
𝑒 𝑏𝑥 (𝑏 ∈ ℝ)
𝑏𝑒 𝑏𝑥
log 𝑎 𝑥 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑥 > 0)
𝑎 𝑥 (𝑎 > 0)
𝑎 𝑥 ln 𝑎
lg 𝑥 (𝑥 > 0)
𝑥
1
ln 𝑓(𝑥) (𝑓(𝑥) > 0)
Trigonometrische Funktionen
sin 𝑥
cos 𝑥
cos 𝑥
− sin 𝑥
Hyperbolische Funktionen
sinh 𝑥
cosh 𝑥
1
sin 𝑥
cos2 𝑥
1
−
sin 𝑥
cot 𝑥 =
1
tan 𝑥
cos 𝑥
1
2
cos2 𝑥
(𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ)
−
= sec 2 𝑥
1
sin2 𝑥
Trigonometrische Umkehrfunktionen
√1−𝑥 2
−
arccos 𝑥 (|𝑥| < 1)
1
√1−𝑥 2
1
arctan 𝑥
−
𝑥
cosh 𝑥
sinh 𝑥
−
1
sinh 𝑥
sinh 𝑥
cosh2 𝑥
− csch 𝑥 coth 𝑥
1
cosh2 𝑥
1
tanh 𝑥
(𝑥 ≠ 0)
−
1
sinh2 𝑥
1
arsinh 𝑥
√1+𝑥 2
1
arcosh 𝑥 (|𝑥| > 1)
√𝑥 2 −1
1
artanh 𝑥 (|𝑥| < 1)
1+𝑥 2
arccot 𝑥
coth 𝑥 =
0.4343
Hyperbolische Umkehrfunktionen
1
arcsin 𝑥 (|𝑥| < 1)
1
tanh 𝑥
= − cosec 2 𝑥
ln 𝑒 ≈
1
𝑥 ln 𝑎
𝑓(𝑥)
cosh 𝑥
cosech 𝑥 = csch 𝑥 =
sin2 𝑥
𝜋
tan 𝑥 (𝑥 ≠ (2𝑘 + 1) , 𝑘 ∈ ℤ)
sech 𝑥 =
log a 𝑒 =
𝑓 ′(𝑥)
𝑏𝑎𝑏𝑥 ln 𝑎
cos 𝑥
1
𝑥
𝑥
𝑎𝑏𝑥 (𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 > 0)
cosec 𝑥 = csc 𝑥 =
𝑛
𝑛 √𝑥 𝑛−1
𝑥 𝑛+1
Exponentialfunktion
sec 𝑥 =
2√𝑥
1
1
1+𝑥 2
1−𝑥 2
−
arcoth 𝑥 (|𝑥| > 1)
1
𝑥 2 −1
1
arcsec 𝑥 (𝑥 > 1)
𝑥√𝑥 2 −1
−
arccosec 𝑥 (𝑥 > 1)
1
𝑥√𝑥 2 −1
Integralrechnung
Regeln
∫(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
∫ 𝜆 ⋅ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝜆 ⋅ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝐺(𝑥) − ∫ 𝑓 ′ (𝑥)𝐺(𝑥) 𝑑𝑥
(∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥)|𝑥=𝜑(𝑦) = ∫
𝑓(𝜑(𝑦))𝜑 ′ (𝑦) 𝑑𝑦
Addition
Skalare Multiplikation
Partielle Integration
Substitution
Spezialfälle der Substitution
𝑏 𝑓′ (𝑥)
∫𝑎
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥 = [ln|𝑓(𝑥)|]𝑏𝑎
𝑏
𝑠
1
∫𝑎 (𝑓(𝑥)) 𝑓 ′ (𝑥) 𝑑𝑥 = [𝑠+1 (𝑓(𝑥))
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑟𝑥
1
+ 𝑠) 𝑑𝑥 = ⋅
𝑟
𝑠+1 𝑏
𝑟𝑏+𝑠
∫𝑟𝑎+𝑠 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧
]
𝑎
Integrationstechniken:

Partielle Integration: Oftmals sinnvoll, wenn ein Faktor ersten Grades oder ein Logarithmus zum Ableiten vorhanden ist.

Wenn man es schafft, aus einem Polynom eine Reihe zu bilden, ist die Integration danach wesentlich einfacher.

Substitution bei rationalen Funktionen (wenn Zähler ungeraden Grad hat)

Trigonometrische Funktionen evtl. durch e-Funktionen ausdrücken

Partialbruchzerlegung
zuletzt gespeichert: 06.04.2017 15:29:00, Version 49
13
Formelsammlung Analysis
Stefan Rickli
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Grundintegrale
∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =
∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =
∫ 𝑥 𝑠 𝑑𝑥 =
1
+𝑐
𝑛 ∈ ℤ≥0 , 𝑥 ∈ (−∞, ∞)
+𝑐
𝑛 ∈ ℤ≤2 ∧ 𝑥 ∈ (−∞, 0) ∧ 𝑥 ≠ 0
+𝑐
𝑠 ∈ ℂ ∖ {−1} ∧ 𝑥 ∈ (0, ∞)
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
𝑥 𝑠+1
𝑠+1
𝑥
∫ 𝑥 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝑐
𝑥
𝑥
𝑥
∫ 𝑒 𝑑𝑥 = 𝑒 + 𝑐
𝑥
∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 (ln 𝑥 − 1) + 𝑐
𝑥
∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝑐
∫ arcsin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 arcsin 𝑥 + √1 − 𝑥 2
𝑥
∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝑐
∫ arccos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 arccos 𝑥 − √1 − 𝑥 2
1
∫ cos2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝑐
𝑥
∈ (−∞, ∞) ∧ 𝑥 ≠ 0
∈ (−∞, ∞)
∈ (0, ∞)
∈ (−∞, ∞)
∈ (−∞, ∞)
𝜋
𝜋
2
2
∈ (𝑘𝜋 − , 𝑘𝜋 + ) , 𝑘 ∈ ℤ
1
∫ sin2 𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝑐
∫ tan 𝑥 𝑑𝑥 = − ln|cos 𝑥| + 𝑐
𝑥 ∈ (−∞, ∞)
∫ sinh 𝑥 𝑑𝑥 = cosh 𝑥 + 𝑐
∫ arsinh 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 arsinh 𝑥 − √𝑥 2 + 1
𝑥 ∈ (−∞, ∞)
∫ cosh 𝑥 𝑑𝑥 = sinh 𝑥 + 𝑐
2−1
arcosh
𝑥
𝑑𝑥
=
𝑥
arcosh
𝑥
−
√𝑥
∫
1
𝑥 ∈ (−∞, ∞)
∫ cosh2 𝑥 𝑑𝑥 = tanh 𝑥 + 𝑐
𝜋
𝜋
2
2
1
∫ sinh2 𝑥 𝑑𝑥 = − coth 𝑥 + 𝑐
∫ tanh 𝑥 𝑑𝑥 = ln cosh 𝑥 + 𝑐
𝑥 ∈ (𝑘𝜋 − , 𝑘𝜋 + ) , 𝑘 ∈ ℤ
1
∫ arctan 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 arctan 𝑥 − 2 ln(1 + 𝑥 2 )
∫ atanh 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 artanh 𝑥 + 2 ln(1 − 𝑥 2 )
∫ coth 𝑥 𝑑𝑥 = ln|sinh 𝑥| + 𝑐
1
∫ cot 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 ln|sin 𝑎𝑥| + 𝑐
1
∫ √1−𝑥2 𝑑𝑥 = arcsin 𝑥 + 𝑐
𝑥 ∈ (−1,1)
∫ − √1−𝑥2 𝑑𝑥 = arccos 𝑥 + 𝑐
𝑥 ∈ (−1,1)
1
𝑥 ∈ (−∞, ∞)
1
1
𝑥 ∈ (1, ∞)
∫ √𝑥2 −1 𝑑𝑥 = arcosh 𝑥 + 𝑐
1
∫ 1−𝑥2 𝑑𝑥 = artanh 𝑥 + 𝑐
𝑥 ∈ (−1,1)
∫ 1−𝑥2 𝑑𝑥 = artanh 𝑥 + 𝑐
𝑥 ∈ (−∞, −1) ∨ (1, ∞)
1
1
1
1
𝑥 ∈ (−∞, ∞) ∧ 𝑥 ≠ −1 ∧
𝑥≠1
𝑥 ∈ (−∞, ∞)
𝑥+1
∫ 1−𝑥2 𝑑𝑥 = 2 ⋅ ln |𝑥−1| + 𝑐
1
𝑥
∫ sin2 𝑥 𝑑𝑥 = 2 −
𝜋
∫0 sin3 𝑥
𝜋
∫0 sin4 𝑥
𝑑𝑥 =
𝑑𝑥 =
4
1
𝑥 ∈ (−∞, ∞)
∫ 1+𝑥2 𝑑𝑥 = arctan 𝑥 + 𝑐
∫ √1+𝑥2 𝑑𝑥 = arsinh 𝑥 + 𝑐
sin(2𝑥)
4
∞ sin(𝑥)
∫−∞
3
3𝜋
8
Gebrochenrationale Funktionen
𝑑𝑥
𝑑𝑥 = 𝜋
𝑥
1
Irrationale Funktionen
𝑥
∫ 𝑎2 +𝑥 2 = 𝑎 arctan 𝑎
∫√
𝑑𝑥
𝑎2 −𝑥 2
= arcsin
𝑥
𝑎
|𝑥| < 𝑎, 𝑎 > 0
𝑑𝑥
1
𝑥
1
𝑎+𝑥
∫ 𝑎2 −𝑥 2 = 𝑎 artanh 𝑎 = 2𝑎 ln |𝑎−𝑥|
∫√
𝑑𝑥
𝑥
𝑎2 +𝑥 2
= arsinh = ln|𝑥 + √𝑥 2 + 𝑎2 |
𝑎
|𝑥| < 0, 𝑎 > 0
𝑑𝑥
∫ 𝑥 2−𝑎2
1
𝑥
1
𝑎
𝑎
2𝑎
= − arcoth =
ln |
𝑥−𝑎
𝑥+𝑎
|
𝑎>0
∫√
𝑑𝑥
𝑥
𝑥 2 −𝑎2
= arcosh = ln|𝑥 + √𝑥 2 − 𝑎2 |
𝑎
|𝑥| > 0, 𝑎 > 0
|𝑥| > 0, 𝑎 > 0
Standard-Substitutionen
Integral
Substitution
𝑥=
∫ 𝑓(𝑥, √𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥
Differential
𝑡 2 −𝑏
𝑎
𝑑𝑥 =
2𝑡 𝑑𝑡
𝑎
√𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑡
∫ 𝑓(𝑥, √𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) 𝑑𝑥
∫ 𝑓(𝑥, √𝑎 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥
∫ 𝑓(𝑥, √𝑎 + 𝑥 2 ) 𝑑𝑥
∫ 𝑓(𝑥, √𝑥 2 − 𝑎) 𝑑𝑥
𝑥 = 𝛼𝑡 + 𝛽
𝑥
√𝑎 − 𝑥 2
𝑥
√𝑎 + 𝑥 2
𝑥
√𝑥 2 − 𝑎
= √𝑎 sin 𝑡
= cos 𝑡
= √𝑎 sinh 𝑡
= cosh 𝑡
= √𝑎 cosh 𝑡
= sinh 𝑡
Bedingung
𝑡≥0
𝑑𝑥 = 𝛼 𝑑𝑡
wähle α, γ > 0 und β so, dass eine der 3
Varianten gilt:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝛾 2 ⋅ (1 + 𝑡 2 )
= 𝛾 2 ⋅ (1 − 𝑡 2 )
= 𝛾 2 ⋅ (𝑡 2 − 1)
𝑑𝑥 = cos 𝑡 𝑑𝑡
− ≤𝑡≤
𝑑𝑥 = cosh 𝑡 𝑑𝑡
𝑡∈ℝ
𝑑𝑥 = sinh 𝑡 𝑑𝑡
𝑡≥0
𝑑𝑡
∫ 𝑓(𝑒 𝑥 , sinh 𝑥 , cosh 𝑥) 𝑑𝑥
𝑒𝑥 = 𝑡
∫ 𝑓(sin 𝑥 , cos 𝑥) 𝑑𝑥
𝑥
tan = 𝑡
2
𝑑𝑥 =
∫ 𝑓(𝑥 2 , 1 + 𝑥) 𝑑𝑥
tan 𝑥 = 𝑡
𝑑𝑥 = 1 + tan2 𝑥
𝑑𝑥 =
𝜋
𝜋
2
2
𝑡 > 0 mit sinh 𝑥 =
𝑡 2 −1
2𝑡
und cosh 𝑥 =
𝑡
𝑡 2 +1
2 𝑑𝑡
−𝜋 < 𝑥 < 𝜋 mit sin 𝑥 =
2𝑡
zuletzt gespeichert: 06.04.2017 15:29:00, Version 49
1+𝑡 2
cos 𝑥 =
1−𝑡 2
2𝑡
1+𝑡 2
und
1+𝑡 2
14
Formelsammlung Analysis
Stefan Rickli
http://blogs.ethz.ch/ricklis
Trigonometrische Funktionen
Definitionen
𝑒 𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥
sin 𝑥 =
cos 𝑥 =
𝑒 𝑖𝑥 −𝑒 −𝑖𝑥
𝑒 𝑥 = ∑∞
𝑘=0
(−1)𝑛
2𝑖
𝑒 𝑖𝑥+𝑒 −𝑖𝑥
2𝑛+1
= ∑∞
=𝑥−
𝑛=0 (2𝑛+1)! 𝑥
2
= ∑∞
𝑛=0
(−1)𝑛
(2𝑛)!
𝑥 2𝑛 = 1 −
𝑥2
𝑥3
+
2!
+
3!
𝑥4
4!
𝑥5
−
5!
𝑥6
−
6!
𝑥7
7!
±⋯
𝑥𝑘
𝑘!
=1+
𝑥
+
1!
𝑥2
2!
+
𝑥3
3!
+⋯, 𝑥 ∈ℝ
sin(𝑥 + 𝑖𝑦) = sin 𝑥 cosh 𝑦 + 𝑖 cos 𝑥 sinh 𝑦
cos(𝑥 + 𝑖𝑦) = cos 𝑥 cosh 𝑦 + 𝑖 sin 𝑥 sinh 𝑦
±⋯
Gegenseitige Darstellung
tan 𝑥 =
sin 𝑥
sec 𝑥 =
cos 𝑥
+ cos2
1
cos 𝑥
, csc 𝑥 = cosec 𝑥 =
sin2 𝑥
𝑥=1
1
1 + tan2 𝑥 = 2 = sec 2 𝑥
sec 2 𝑥 − tan2 𝑥 = 1
1 + cot 2 𝑥 =
csc 2 𝑥 − cot 2 𝑥 = 1
cos 𝑥
1
sin2 𝑥
= csc 2 𝑥
1
sin 𝑥
, cot 𝑥 =
1
tan 𝑥
=
𝑎
sin 𝛼
sin(𝑥 ± 𝑦) = sin 𝑥 cos 𝑦 ± cos 𝑥 sin 𝑦
cos(𝑥 ± 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 ∓ sin 𝑥 sin 𝑦
tan(𝑥 ± 𝑦) =
=
sin(𝑥±𝑦)
1∓tan 𝑥 tan 𝑦
cos(𝑥±𝑦)
arctan 𝑥 arctan 𝑦∓1
cos(𝑥±𝑦)
arctan(𝑥 ± 𝑦) =
sin 𝑥
Sinussatz
Additionstheoreme
tan 𝑥±tan 𝑦
cos 𝑥
=
arctan 𝑥±arctan 𝑦
sin(𝑥±𝑦)
2 sin 𝑥 sin 𝑦 = cos(𝑥 − 𝑦) − cos(𝑥 + 𝑦)
2 cos 𝑥 cos 𝑦 = cos(𝑥 − 𝑦) + cos(𝑥 + 𝑦)
=
𝑏
sin 𝛽
=
𝑐
sin 𝛾
=
𝑎𝑏𝑐
2𝐴
= 2𝑟
α: Winkel gegenüber von a
Cosinussatz
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛾
γ: Winkel zwischen a und b
2 sin 𝑥 cos 𝑦 = sin(𝑥 − 𝑦) + sin(𝑥 + 𝑦)
Summe zweier trigonometrischer Funktionen
sin 𝑥 + sin 𝑦 = 2 sin
sin 𝑥 − sin 𝑦 = 2 sin
𝑥+𝑦
2
𝑥−𝑦
2
cos
cos
𝑥−𝑦
cos 𝑥 + cos 𝑦 = 2 cos
2
𝑥+𝑦
cos 𝑥 − cos 𝑦 = 2 sin
2
𝑥+𝑦
2
𝑦+𝑥
2
cos
sin
𝑥−𝑦
2
𝑦−𝑥
2
Symmetrien
sin(−𝑥) = − sin 𝑥
cos(−𝑥) = + cos 𝑥
tan(−𝑥) = − tan 𝑥
arctan(−𝑥) = − arctan 𝑥
sec(−𝑥) = + sec 𝑥
csc(−𝑥) = − csc 𝑥
Umrechnung in andere trigonometrische Funktionen
sin(arccos 𝑥) = cos(arcsin 𝑥) = √1 − 𝑥 2
𝑥
sin(arctan 𝑥) =
2
cos(arctan 𝑥) =
tan(arcsin 𝑥) =
tan(arccos 𝑥) =
√1+𝑥
1
√1+𝑥 2
𝑥
√1−𝑥 2
√1−𝑥 2
𝑥
Doppelwinkel
sin(2𝑥) = 2 sin 𝑥 cos 𝑥 =
2 tan 𝑥
1+tan2 𝑥
cos(2𝑥) = cos2 𝑥 − sin2 𝑥 = 1 − 2 sin2 𝑥 = 2 cos2 𝑥 − 1 =
1−tan2 𝑥
1+tan2 𝑥
cos(2𝑥) cos(𝑥) + sin(2𝑥) sin(𝑥) = cos(𝑥)
tan(2𝑥) =
2 tan 𝑥
1−tan2 𝑥
arctan(2𝑥) =
=
2
arctan 𝑥−tan 𝑥
arctan2 𝑥−1
2 arctan 𝑥
=
arctan 𝑥−tan 𝑥
2
Quadrat von trigonometrischen Funktionen
1
sin2 𝑥 = (1 − cos(2𝑥))
2
1
cos2 𝑥 = (1 + cos(2𝑥))
tan2 𝑥 =
2
1−cos(2𝑥)
1+cos(2𝑥)
zuletzt gespeichert: 06.04.2017 15:29:00, Version 49
15
Formelsammlung Analysis
Stefan Rickli
http://blogs.ethz.ch/ricklis
Hyperbolische Funktionen
Definitionen
sinh(𝑥) =
cosh(𝑥) =
tanh 𝑥 =
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥
2
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
2
sinh 𝑥
cosh 𝑥
=
1
2𝑛+1
= ∑∞
=𝑥+
𝑛=0 (2𝑛+1)! 𝑥
1
2𝑛
= ∑∞
=1+
𝑛=0 (2𝑛)! 𝑥
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥
𝑥2
2!
𝑥3
+
3!
𝑥4
4!
+
𝑥5
+
5!
𝑥6
6!
𝑥7
+⋯, ℝ → ℝ
sinh(𝑥 + 𝑖𝑦) = sinh(𝑥) cos(𝑦) + 𝑖 cosh(𝑥) sin(𝑦)
± ⋯ , ℝ → [1, ∞)
cosh(𝑥 + 𝑖𝑦) = cosh(𝑥) cos(𝑦) + 𝑖 sinh(𝑥) sin(𝑦)
+
7!
, ℝ → (−1,1)
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
+ √𝑥 2 +
arsinh 𝑥 = ln(𝑥
1) , ℝ → ℝ
arcosh 𝑥 = ln(𝑥 + √𝑥 2 − 1) , [1, ∞) → ℝ+
0
1
1+𝑥
2
1−𝑥
artanh 𝑥 = ln
, ℝ → (−1,1)
1
𝑥+1
2
𝑥−1
arcoth 𝑥 = ln
Gegenseitige Darstellung
cosh2 𝑥 − sinh2 𝑥 = 1
arsinh 𝑥 = sgn 𝑥 arcosh(√𝑥 2 + 1)
arcosh 𝑥 = arsinh (√|𝑥|2 − 1) , (𝑥 > 1)
sin(𝑖𝑧) = 𝑖 sinh 𝑧 ⇔ sinh(𝑖𝑧) = 𝑖 sin 𝑧
cos(𝑖𝑧) = cosh 𝑧 ⇔ cosh(𝑖𝑧) = cos 𝑧
Additionstheoreme
sinh(𝑥 ± 𝑦) = sinh 𝑥 cosh 𝑦 ± cosh 𝑥 sinh 𝑦
cosh(𝑥 ± 𝑦) = cosh 𝑥 cosh 𝑦 ± sinh 𝑥 sinh 𝑦
tanh(𝑥 ± 𝑦) =
tanh 𝑥±tanh 𝑦
1±tanh 𝑥 tanh 𝑦
Symmetrien
sinh(−𝑥) = − sinh 𝑥
cosh(−𝑥) = cosh 𝑥
diverse nützliche Facts (2)
Werte irrationaler Zahlen
𝜋 ≅ 3.14159 …
𝑒 ≅ 2.71828 …
√2 ≅ 1.41421 …
√3 ≅ 1.73205 …
√5 ≅ 2.23607 …
Wichtige Winkel
α
0°
0
30°
𝜋
tan 𝛼
0
1⁄√3
6
45°
𝜋
1
4
60°
𝜋
√3
3
90°
𝜋
(∞)
2
120°
2𝜋
−√3
3
135°
−1
3𝜋
4
150°
5𝜋
−1⁄√3
6
180°
𝜋
0
zuletzt gespeichert: 06.04.2017 15:29:00, Version 49
16
Zusammenfassung EM Felder und Wellen
Bemerkungen
Stefan Rickli
(V3)
1 Ressourcen zu „Word und Formeleditor“
Notation
Fett gedruckte Symbole sind Vektoren.
Gelbe Markierungen bezeichnen i.d.R. Abschnitte, welche eine Überarbeitung nötig haben, weitere Infos von den markierten Quellen
nötig hätten oder unklar sind.
Disclaimer
Diese Formelsammlung ist über eine längere Zeit entstanden und gewachsen. Es besteht trotzdem ein gewisses Risiko, dass sich
einige Fehler versteckt gehalten haben. Ich freue mich deshalb über jegliches Lob, Dank, Anmerkungen und (Fehler-)Verbesserungen.
Meine Zusammenfassungen werden fortlaufend korrigiert und aktualisiert veröffentlicht.
Weiterverarbeitung:
Weil ich es nicht ausstehen kann, dass ständig das Rad neu erfunden werden muss, habe ich das Originaldokument mit veröffentlicht
mit der Einladung, sich hier für die eigene Formelsammlung zu bedienen. Ihr könnt diese Zusammenfassung also gerne
weiterverarbeiten und / oder auch in überarbeiteter Form veröffentlichen.
Haltet jedoch die Herkunft der kopierten/übernommenen Teile so gut wie möglich nachvollziehbar, falls ihr weiter veröffentlicht.
Obiges gilt auch für alle anderen Formelsammlungen von mir, welche diesen Bemerkungstext (noch) nicht enthalten.
Quellenangaben:
Aus Platz- und Zeitgründen (blame the 'Prüfungsstress') fehlen natürlich praktisch jegliche Quellenangaben (worüber ich auch schon
ab und zu fluchen musste). Ich versuche jedoch in diesem Abschnitt die Arbeiten zu referenzieren, von denen ich wissentlich kopiert
habe:
Wesentliche Bestandteile:
allgemein
Ergänzungen,
Abschnitt "Waveguides und
Resonatoren"
Textbeschreibungen der
Maxwell-Gleichungen
Skript "Elektromagnetische Felder und Wellen" FS 2016 und Notizen aus der Vorlesung
von Lukas Novotny
PVK Zusammenfassung von Andreas Biri
Zusammenfassung von Matthias Grob
Revisionsverlauf:
1.0
1.1
1.2
20.09.2015
24.02.2016
27.08.2016
erste Veröffentlichung
Update letzte Seite
Seite 8: Übersetzungsfehler: momentum übersetzt sich zu Impuls, nicht Moment
Seite 8: resultierender Strahlungsdruck: die linke Seite ist eine skalare Grösse,
nicht vektoriell.
Seite 10: Vektoridentitäten: es sollte rot(grad(f))=0 und nicht rot(div(K))=0 sein.
Dank an Dominik Bisang für die Hinweise!
To Do
-
http://blogs.ethz.ch/ricklis
Lorenzsches Leistungsspektrum
Teil über Energie und Leistung ist nicht klar genug
zuletzt gespeichert: 06.04.2017 15:29:00, Version 49
Stefan Rickli
Stefan Rickli
Stefan Rickli
Es gibt ein paar Ressourcen, welche mir sehr geholfen haben, den Formeleditor in Word zu meistern:
Microsoft Word formula editor: https://support.office.com/en-us/article/Linear-format-equations-and-Math-AutoCorrect-in-Word-2e00618d-b1fd-49d8-8cb4-8d17f25754f8?ui=en-US&rs=en-US&ad=US
Unicode Nearly Plain-Text Encoding of Mathematics: http://www.unicode.org/notes/tn28/
o
das ist der Standard, an den sich der Editor (fast vollständig) hält. Ist sehr gut beschrieben und dokumentiert.
Ausnahme sind Umrahmungen, welche nicht die ganze Funktionalität erhalten haben.
Die Zeichenübersicht des Editors selber: wenn man mit der Maus über ein Zeichen fährt, zeigt es einem den TastaturShortcut an, den man eingeben kann
Nice to know:
Alt + Shift + 0
erstellt eine neue Formel
der Leerschlag ist euer Freund! Er veranlasst den Formeleditor, die Syntax bis zum aktuellen Punkt zu überprüfen und das
Zeug fixfertig bis zu dem Punkt, wo ihr seid, darzustellen (ausser es gibt noch offene Klammern).
o
verhält sich der Editor mal komisch, liegt es zu 95% daran, dass etwas in der Syntax nicht stimmt. Hier hilft
ab und an mal, sich die Formel im linearen Modus anzuschauen, wo alles bis auf Sonderzeichen wieder
auseinander genommen wird. Das einzige, mit dem der Editor Mühe hat, sind grosse Eq-Arrays und
mehrzeiliges Zeug.
Wenn die Formel auf einer eigenen Zeile steht, veranlasst ein Leerschlag ausserhalb nach der Formel (also AUSSERHALB
des Formeleditorfelds) den Editor, die Formel im Inline-Modus darzustellen (Formel braucht weniger Platz)
o
siehe Tabellen in dieser ZF, dort habe ich das konsequent benutzt. Löscht mal das Leerzeichen nach einer
Formel, das ein Integral enthält 
benutzt die Backslash (\) Befehle! Wenn man sich die beiden Dokumente oben ausdruckt und zur Referenz hält, geht es
nicht lange, bis man alles mit der Tastatur machen kann und nie absetzen muss, um was mit der Maus zu machen
\ensp und \emsp können helfen, um grössere, gewollte Abstände zu realisieren
\\eqarray ordnet mit jedem & einmal links und dann wieder rechts an
bastelt euch eure eigenen Shortcuts
o
zum Beispiel

\La für ⇐

\Ra für ⇒

\Lra für ⇔

oder \to für ein →

oder eine leere 4x4 Matrix als \4x4 mit (■(&&&@&&&@&&&@&&&)) und einem Leerschlag
am Ende (damit der Ausdruck gleich aufgebaut wird)

etc
o
dazu einfach das entsprechende Zeichen in die Zwischenablage kopieren und im Formeleditor unter
„Formeloptionen“ (in den Tools als kleiner Pfeil unten rechts zu finden) und „Math. Autokorrektur“ einfügen
und den entsprechenden Backslashbefehl definieren
o
manchmal ist es sinnvoll, noch eigene Funktionsnamen zu definieren, welche der Editor erkennen soll, wenn
man sie häufig benutzt. Z.B. Imag()

ansonsten Leerschlag funktionsname\funcapply Leerschlag
die mathematische Autokorrektur ist manchmal auch ausserhalb des Formeleditors nützlich. Ich hab das in den Optionen
auch aktiviert
Wenn Word langsam wird wegen vielen anzuzeigenden Formeln, hilft
o
1. die Entwurfsansicht (anstatt Seitenlayout). Wenn man sich damit abfindet, dass dann ab und zu das
Layout (noch) nicht dargestellt oder updated wird (nicht beirren lassen), kann man gut die kritischen
Abschnitte bearbeiten. Achtung: Bilder werden NICHT angezeigt, sondern einfach mit einem Leerschlag
repräsentiert!
o
2. reinzoomen, bis weniger Formeln sichtbar sind.
17