Wahrscheinlichkeiten I. Baumdiagramme generell Infos Mit welcher Wahrscheinlichkeit passiert irgendetwas? Wahrscheinlichkeiten kann man als: Bruch + Dezimalzahl + Prozent angeben! Der Wert liegt immer zwischen 0 und 100 (0% und 100%). Formel von Laplace Sind alle Ergebnisse eines Zufallexperiments gleich wahrscheinlich, so kann man Wahrscheinlichkeiten leicht berechnen. P = (Anzahl der günstigen Ergebnisse/Anzahl der möglichen Ergebnisse) Beispiel Tabelle: Ergebnis absolute Häufigkeit relative H. relative H. in % mathematische WK o o o o 2 3 3/80 3,75 1/36 2,8 3 2 1/40 2,5 2/36 5,6 4 12 3/20 15 3/36 8,3 5 6 3/40 7,5 4/36 11,1 6 10 1/8 12,5 5/36 13,4 7 12 3/20 15 6/36 16,7 8 9 10 11 11/80 13,75 5/36 13,4 9 9/80 11,25 4/36 11,1 7 7/80 8,75 3/36 8,3 11 7 7/80 8,75 2/36 5,6 Bestimmung der mathematischen WK: Das Experiment hat folgende mögliche Ergebnisse. Ergebnismenge: 36 Alle diese Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich. Es sind 36 mögliche Ergebnisse. 6 Ergebnisse führen zur Augensumme 7 P (Augensumme 7) = 6/36 Graph = Häufigkeitsdiagramm = Histogramm: Pfadregel Mehrstufige Zufallsexperimente kann man durch Baumdiagramme beschreiben. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten längs des dazu gehörigen Pfades multipliziert (Pfadregel). 1 12 3 3/80 3,75 1/36 2,8 Summenregel Wie groβ ist die Wahrscheinlichkeit, dass zusammen etwas passiert? Die WK der beiden Ergebnisse müssen daher nach der Summenregel addiert werden. mit zurücklegen Beispiel Aufgabe: Ziehe 2 Mal mit Zurücklegen. Baumdiagramm: Wahrscheinlichkeit von RG + andere Ergebnisse: ohne zurücklegen Beispiel Aufgabe: Ziehe 2 Mal ohne Zurücklegen. Baumdiagramm: Wahrscheinlichkeiten: 2 reduziert Beispiel Aufgabe: Tim zieht nacheinander aus dem Behälter 3 Kugeln und notiert die Buchstaben. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigen die 3 Kugeln seinen Namen, wenn er: a) die Kugeln nach jedem Ziehen zurücklegt? b) die Kugeln nach jedem Ziehen nicht zurücklegt? Baumdiagramm + Wahrscheinlichkeit: Euromilhões Aufgabe 1 Aufgabe: Es gibt 50 Kugeln. Man darf 5 Kugeln tippen. Wie groβ ist die WK von einem Gewinn? Baumdiagramm: Aufgabe 2 Aufgabe: Es gibt 11 Sterne. Man darf 2 Sterne tippen. Wie groβ ist die WK ? Baumdiagramm: Aufgabe 3 Aufgabe: Man kann auch den Jackpot gewinnen, wenn man die 5 Sterne und 2 richtige Sterne getippt hat. Wie groβ ist die WK? Baumdiagramm: 3 Anderes II. Erwartungswert Wahrscheinlichkeitsverteilung + E(X) Erklärung mit Beispiel Einführung: o Begriffe Zufallsvariable + Erwartungswert anhand Spielsituation wiederholt Aufgabe: o Einsatz gezahlt: 1€ o Glücksrad (3/4 rot; ¼ blau): dreimal gedreht wenn: - 1x Blau = 1€ - 2x Blau = 3€ - 3x Blau = 6€ ausbezahlt Frage: o Gewinnt man bei dem Spiel auf lange Sicht? Zufallsvariable X: o entscheidend: Gewinn X in € Zufallsvariable X kann Werte -1;0;2;5 annehmen Gewinn = Auszahlung - Einsatz Eine Zuordnung X, bei der jedem Ergebnis eines Zufallsversuches ein Zahlenwert zugeordnet ist, nennt man Zufallsvariable. Baumdiagramm: o mit Baumdiagramm: kann man für diese Werte die WK bestimmen o + in einer Tabelle darstellen Tabelle: nennt man Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X Tabelle: o Die WK, dass X den Wert 0 annimmt, ist z.B. o Auf lange Sicht erwartet man aufgrund der Tabelle durchschnittlich: X P(X) -1 27/64 0 2 5 27/64 9/64 1/64 Erwartungswert: o Somit beträgt der zu erwartende durchschnittliche Gewinn 4 o Man nennt diesen Wert daher Erwartungswert von X, kurz E(X). o Bei dem Spiel wird man also auf lange Sicht pro Spiel etwa 6 ct verlieren. Definition Erwartungswert der Zufallsvariable X E(x) = gibt an, welchen Wert die Zufallsvariable X durchschnittlich annimmt. Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen X gibt an, welcher Wert durchschnittlich bei einer groβen Zahl von Durchführungen des (Zufalls)Versuches für die Zufallsvariable zu erwarten ist. Der Erwartungswert wird folgendermaβen berechnet: - Man bestimmt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen. - Man multipliziert jeden Wert der Zufallsvariablen mit seiner Wahrscheinlichkeit und addiert die Produkte. Glücksspiele Chuck your luck Einsatz: 1€ Regeln: 3x Würfeln + pro 6, gewinnt man 1€ Frage: Ist das Spiel vorteilhaft? Welchen Gewinn/Verlust hat man? Experiment: o Tabelle: Gewinn -1 = -12€ Gewinn 0 = 0€ Gewinn 1 = 4€ o Schlussfolgerung: Verlust + liegt zwischen -0,50€ bis 0€ Baumdiagramm: Wahrscheinlichkeit: Erwartungswert: Anzahl 6er Gewinn X Anzahl 0 -1 12 1 0 9 2 1 4 3 2 0 5 Beispiel anderes Spiel Aufgabe: Wahrscheinlichkeitsausrechnung: Wahrscheinlichkeitsverteilung: Erwartungswert: Antwort: fair / nicht fair Einsatz/Auszahlung verändern Definition Ein Spiel mit Erwartungswert 0 für den Gewinn nennt man auch faires Spiel. Ein Spiel mit einem negativen Erwartungswert für den Gewinn ist ein nicht faires Spiel. Beispiel: Einsatz + Auszahlung definieren gegeben: o Zufallsvariable X: Gewinn in € o Glücksspiel mit Einsatz 1€ o E(X) = -0,3 X -1 P(X) 2/3 0 1/6 1 1/10 4 1/15 Frage 1: o Wie groβ muss der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist? Lösung: Frage 2: o Ändere maximale Auszahlung so, dass das Spiel bei einem Einsatz von 1€ fair ist. Lösung: 6 III. Bernoulli-Versuche Definition generell Ein Bernoulli-Experiment hat genau 2 mögliche Ergebnisse (z.B. 6/nicht 6 ; Treffer/ Niete ; ja/nein ; baby/nicht baby, usw.). Führt man ein Bernoulli-Experiment n mal nacheinander durch (sodass die Durchführungen voneinander unabhängig sind), so bezeichnet man dies als Bernoulli-Kette der Länge n. Bernoulli-Formel Formel n = Anzahl der Experimente p = Erfolgswahrscheinlichkeit k = Anzahl der Erfolge Binomialkoeffizienten Beispiel: Pascalsches Dreieck: Berechnungen mit der Formel Beispiel 1 Aufgabe: Lukas übt Freiwürfe beim Basketball. Er trifft erfahrungsgemäβ bei 70% der Würfe. Er wirft 3 Mal. X = Anzahl der Treffer Baumdiagramm: Wahrscheinlichkeiten: 7 Formel von Bernoulli: Beispiel 2 Aufgabe: CR7 schieβt 7 Elfmeter im Training. Er trifft erfahrungsgemäβ bei 90% der Elfmeter. Lösung: 1) Berechne die WK, dass er genau 6 Mal trifft. 2) Berechne die WK, dass er mindestens 5 Mal trifft. 3) Berechne die WK, dass er weniger als 5 Mal trifft. Beispiel 3 Aufgabe: o Bei einem Multiple-Choice-Test gibt es 8 Fragen mit jeweils 3 vorgegebenen Antworten, von denen nur eine richtig ist. Ein Kandidat kreuzt rein zufällig je eine Antwort an. o Jedes Ankreuzen ist ein Bernoulli-Versuch. Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt p=1/3, die Wahrscheinlichkeit für eine Niete ist q = 1-p = 2/3. o Die Durchführung des Tests ist eine Bernoulli-Kette der Länge 3. o Man möchte wissen, mit welcher WK der Kandidat eine bestimmte Anzahl von Fragen richtig beantwortet. Lösung: 1) genau 4 richtige Antworten: 2) mindestens 4 richtige Antworten: 8 3) höchstens 3 richtige Antworten: 4) mehr als 4 richtige Antorten: Berechnung mit dem GTR Binominialverteilung Infos Eine Zufallsvariable X heiβt binomialverteilt mit den Parametern n und p wenn: sie sich als Trefferzahl bei einer Bernoulli-Kette der Länge nn und Trefferwahrscheinlichkeit p beschreiben lässt. Es gilt: Beispiel Reiβnagel Der GTR stellt Funktionen zur Berechnung von P (X = k) und P(X<k) zur Verfügung. Sie sind vor allem für groβe Werte von n hilfreich. Wird z.B. ein Reiβnagel 100-mal geworfen (WK, dass auf Seite landet: p=0,4), so kann man folgende Fragestellungen damit bearbeiten. o 1) Berechnung der WK P(X = 50), dass der Reiβnagel genau 50-mal auf der Seite landet. Einzugeben sind die Parameter n = 100 und p=0,4 sowie der Wert für k=50. P (X = k) = Bpd (k, n, p) o 2) Berechnung der WK P(x < 50), dass der Reiβnagel höchstens 50-mal auf der Seite landet. Einzugeben sind die Parameter n=100 und p=0,4 sowie der Wert für k=50. P (X < k) = Bcd (k, n, p) o 3) Berechnung der WK P(X > 50), dass der Reiβnagel mindestens 50-mal auf der Seite landet. Das Gegenereignis zu „X>50“ ist „X<49“, also gilt: P(X>50) = 1 - P(X<49) P (X > k) = 1 - P (X < (k-1) ) = 1 - Bcd (k-1, n, p) o 4) Berechnung der WK P(30 < X < 50), dass der Reiβnagel mindestens 30-mal und höchstens 50-mal auf der Seite landet. Es ist: P(30<X<50) = P(X<50) P(X<29) P (k1 < X < k2) = P(X < k2) - P(X < (k1-1) ) = Bcd (k2, n, p) - Bcd (k1-1, n, p) 9 o 5) Berechnung der WK P(X < 30 oder X > 50), dass der Reiβnagel höchstens 30mal oder mindestens 50-mal auf der Seite landet. Es ist: P(X<30 oder X>50) = P(X<30) + (1-P(X<49) P (X< k1 oder X > k2) = P(X < k1) + [ 1- P(X<(k2-1)) ] = Bcd (k1, n, p) + [1- Bcd (k2-1, n, p)] Beispiel Aufgabe: Etwa 20% der Deutschen sind Linkshänder. Wie groβ ist die WK, dass in einer Schulklasse mit 30 Schülern(/rinnen) Lösung: 1) genau 6 Linkshänder sind? 2) höchstens 5 Linkshänder sind? 3) mindesterns 10 Linkshänder sind? 4) die Zahl der Linkshänder im Bereich von 5 bis 10 liegt? Kontrolle der Ergebnisse man kann den Erwartungswert, die Binominialverteilung und das Säulendiagramm mit der Funktion „Stat-Menü“ kontrollieren o Liste 1 (muss markiert sein) Optn List Seq (x,x, 0, 4, 1) [0=Start ; 4=Ende ; 1=Schrittweite) exe o Dist Binm Bpd List 1 4 (=Anzahl Versuche) 0,4 (=p) List 2 2x Exit o Graph Set Graph Typ: HIST x: List 1 Frequency: List 2 Graph 1: Setting; Start 0; width: 0,2-0,5 Tabelle mit Begriffen Lösungsweg genau P (X=5) mit GTR Bernoulli Bpd (5,n,p) höchstens P (X < 5) P (X < 6) Bcd (5,n,p) alle bis 5 (mit 5) addieren mindestens P (X > 5) P (X > 4) 1- Bcd (4,n,p) alle ab 5 (mit 5) addieren weniger als P (X < 5) P (X < 4) mehr als P (X > 5) P (X > 6) alle unter 5 (ohne 5) + alle über 5 (ohne 5) + 10 Bestimmen der Länge einer Bernoulli-Kette Beispiel Aufgabe: Wie oft muss man würfeln, um mit einer WK von mindestens 90% Lösung: 1) mindestens eine Sechs zu würfeln? 2) mindestens fünf Sechsen zu würfeln? Lösung 2: o mit Funktion „Wertetabelle“ Funktion schreiben + suchen 11