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Wahrscheinlichkeiten
I.
Baumdiagramme
generell
 Infos
 Mit welcher Wahrscheinlichkeit passiert irgendetwas?
 Wahrscheinlichkeiten kann man als: Bruch + Dezimalzahl + Prozent angeben!
 Der Wert liegt immer zwischen 0 und 100 (0% und 100%).
 Formel von Laplace
 Sind alle Ergebnisse eines Zufallexperiments gleich wahrscheinlich, so kann man
Wahrscheinlichkeiten leicht berechnen.
 P = (Anzahl der günstigen Ergebnisse/Anzahl der möglichen Ergebnisse)
 Beispiel
 Tabelle:
Ergebnis
absolute Häufigkeit
relative H.
relative H. in %
mathematische
WK

o
o
o
o

2
3
3/80
3,75
1/36
2,8
3
2
1/40
2,5
2/36
5,6
4
12
3/20
15
3/36
8,3
5
6
3/40
7,5
4/36
11,1
6
10
1/8
12,5
5/36
13,4
7
12
3/20
15
6/36
16,7
8
9
10
11
11/80
13,75
5/36
13,4
9
9/80
11,25
4/36
11,1
7
7/80
8,75
3/36
8,3
11
7
7/80
8,75
2/36
5,6
Bestimmung der mathematischen WK:
Das Experiment hat folgende mögliche Ergebnisse.
Ergebnismenge: 36
Alle diese Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich. Es sind 36 mögliche Ergebnisse.
6 Ergebnisse führen zur Augensumme 7  P (Augensumme 7) = 6/36
Graph = Häufigkeitsdiagramm = Histogramm:
 Pfadregel
 Mehrstufige Zufallsexperimente kann man durch Baumdiagramme beschreiben.
 Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis erhält man, indem man die
Wahrscheinlichkeiten längs des dazu gehörigen Pfades multipliziert (Pfadregel).
1
12
3
3/80
3,75
1/36
2,8
 Summenregel
 Wie groβ ist die Wahrscheinlichkeit, dass zusammen etwas passiert?
 Die WK der beiden Ergebnisse müssen daher nach der Summenregel addiert
werden.
mit zurücklegen
 Beispiel
 Aufgabe: Ziehe 2 Mal mit Zurücklegen.
 Baumdiagramm:

Wahrscheinlichkeit von RG + andere Ergebnisse:
ohne zurücklegen
 Beispiel
 Aufgabe: Ziehe 2 Mal ohne Zurücklegen.
 Baumdiagramm:

Wahrscheinlichkeiten:
2
reduziert
 Beispiel
 Aufgabe: Tim zieht nacheinander aus dem Behälter 3 Kugeln und notiert die
Buchstaben. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigen die 3 Kugeln seinen Namen,
wenn er:
a) die Kugeln nach jedem Ziehen zurücklegt?
b) die Kugeln nach jedem Ziehen nicht zurücklegt?
 Baumdiagramm + Wahrscheinlichkeit:
Euromilhões
 Aufgabe 1
 Aufgabe: Es gibt 50 Kugeln. Man darf 5 Kugeln tippen. Wie groβ ist die WK von
einem Gewinn?
 Baumdiagramm:
 Aufgabe 2
 Aufgabe: Es gibt 11 Sterne. Man darf 2 Sterne tippen. Wie groβ ist die WK ?
 Baumdiagramm:
 Aufgabe 3
 Aufgabe: Man kann auch den Jackpot gewinnen, wenn man die 5 Sterne und 2
richtige Sterne getippt hat. Wie groβ ist die WK?
 Baumdiagramm:
3
Anderes
II.
Erwartungswert
Wahrscheinlichkeitsverteilung + E(X)
 Erklärung mit Beispiel
 Einführung:
o Begriffe Zufallsvariable + Erwartungswert  anhand Spielsituation wiederholt

Aufgabe:
o Einsatz gezahlt: 1€
o Glücksrad (3/4 rot; ¼ blau): dreimal gedreht  wenn:
- 1x Blau = 1€
- 2x Blau = 3€
- 3x Blau = 6€ ausbezahlt

Frage:
o Gewinnt man bei dem Spiel auf lange Sicht?

Zufallsvariable X:
o entscheidend: Gewinn X in €  Zufallsvariable X kann Werte -1;0;2;5 annehmen
 Gewinn = Auszahlung - Einsatz
 Eine Zuordnung X, bei der jedem Ergebnis eines Zufallsversuches ein
Zahlenwert zugeordnet ist, nennt man Zufallsvariable.

Baumdiagramm:
o mit Baumdiagramm: kann man für diese Werte die WK bestimmen
o + in einer Tabelle darstellen  Tabelle: nennt man Wahrscheinlichkeitsverteilung
der Zufallsvariablen X

Tabelle:
o Die WK, dass X den Wert 0 annimmt, ist z.B.
o Auf lange Sicht erwartet man aufgrund der Tabelle
durchschnittlich:

X
P(X)
-1
27/64
0
2
5
27/64 9/64 1/64
Erwartungswert:
o Somit beträgt der zu erwartende durchschnittliche Gewinn
4
o Man nennt diesen Wert daher Erwartungswert von X, kurz E(X).
o Bei dem Spiel wird man also auf lange Sicht pro Spiel etwa 6 ct verlieren.
 Definition
 Erwartungswert der Zufallsvariable X
E(x) =
gibt an, welchen Wert die Zufallsvariable X durchschnittlich annimmt.


Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen X gibt an, welcher Wert
durchschnittlich bei einer groβen Zahl von Durchführungen des (Zufalls)Versuches
für die Zufallsvariable zu erwarten ist.
Der Erwartungswert wird folgendermaβen berechnet:
- Man bestimmt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen.
- Man multipliziert jeden Wert der Zufallsvariablen mit seiner Wahrscheinlichkeit
und addiert die Produkte.
Glücksspiele
 Chuck your luck
 Einsatz: 1€
 Regeln: 3x Würfeln + pro 6, gewinnt man 1€
 Frage: Ist das Spiel vorteilhaft? Welchen Gewinn/Verlust hat man?

Experiment:
o Tabelle:
Gewinn -1 = -12€
Gewinn 0 = 0€
Gewinn 1 = 4€
o Schlussfolgerung:
Verlust + liegt zwischen -0,50€ bis 0€
 Baumdiagramm:

Wahrscheinlichkeit:

Erwartungswert:
Anzahl 6er
Gewinn X
Anzahl
0
-1
12
1
0
9
2
1
4
3
2
0
5
 Beispiel anderes Spiel
 Aufgabe:

Wahrscheinlichkeitsausrechnung:

Wahrscheinlichkeitsverteilung:

Erwartungswert:

Antwort:
fair / nicht fair  Einsatz/Auszahlung verändern
 Definition
 Ein Spiel mit Erwartungswert 0 für den Gewinn nennt man auch faires Spiel.
 Ein Spiel mit einem negativen Erwartungswert für den Gewinn ist ein nicht faires
Spiel.
 Beispiel: Einsatz + Auszahlung definieren
 gegeben:
o Zufallsvariable X: Gewinn in €
o Glücksspiel mit Einsatz 1€
o E(X) = -0,3
X
-1
P(X) 2/3
0
1/6
1
1/10
4
1/15

Frage 1:
o Wie groβ muss der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist?
 Lösung:

Frage 2:
o Ändere maximale Auszahlung so, dass das Spiel bei einem Einsatz von 1€ fair ist.
 Lösung:
6
III.
Bernoulli-Versuche
Definition
 generell
 Ein Bernoulli-Experiment hat genau 2 mögliche Ergebnisse (z.B. 6/nicht 6 ; Treffer/
Niete ; ja/nein ; baby/nicht baby, usw.).
 Führt man ein Bernoulli-Experiment n mal nacheinander durch (sodass die
Durchführungen voneinander unabhängig sind), so bezeichnet man dies als
Bernoulli-Kette der Länge n.
Bernoulli-Formel
 Formel
 n = Anzahl der Experimente
 p = Erfolgswahrscheinlichkeit
 k = Anzahl der Erfolge

 Binomialkoeffizienten
 Beispiel:

Pascalsches Dreieck:
Berechnungen mit der Formel
 Beispiel 1
 Aufgabe: Lukas übt Freiwürfe beim Basketball. Er trifft erfahrungsgemäβ bei 70%
der Würfe. Er wirft 3 Mal.  X = Anzahl der Treffer
 Baumdiagramm:

Wahrscheinlichkeiten:
7

Formel von Bernoulli:
 Beispiel 2
 Aufgabe: CR7 schieβt 7 Elfmeter im Training. Er trifft erfahrungsgemäβ bei 90%
der Elfmeter.
 Lösung:
1) Berechne die WK, dass er genau 6 Mal trifft.
2) Berechne die WK, dass er mindestens 5 Mal trifft.
3) Berechne die WK, dass er weniger als 5 Mal trifft.
 Beispiel 3
 Aufgabe:
o Bei einem Multiple-Choice-Test gibt es 8 Fragen mit jeweils 3 vorgegebenen
Antworten, von denen nur eine richtig ist. Ein Kandidat kreuzt rein zufällig je eine
Antwort an.
o Jedes Ankreuzen ist ein Bernoulli-Versuch. Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt
p=1/3, die Wahrscheinlichkeit für eine Niete ist q = 1-p = 2/3.
o Die Durchführung des Tests ist eine Bernoulli-Kette der Länge 3.
o Man möchte wissen, mit welcher WK der Kandidat eine bestimmte Anzahl von
Fragen richtig beantwortet.
 Lösung:
1) genau 4 richtige Antworten:
2) mindestens 4 richtige Antworten:
8
3) höchstens 3 richtige Antworten:
4) mehr als 4 richtige Antorten:
Berechnung mit dem GTR  Binominialverteilung
 Infos
 Eine Zufallsvariable X heiβt binomialverteilt mit den Parametern n und p  wenn:
sie sich als Trefferzahl bei einer Bernoulli-Kette der Länge nn und
Trefferwahrscheinlichkeit p beschreiben lässt.  Es gilt:
 Beispiel Reiβnagel
 Der GTR stellt Funktionen zur Berechnung von P (X = k) und P(X<k) zur
Verfügung. Sie sind vor allem für groβe Werte von n hilfreich. Wird z.B. ein
Reiβnagel 100-mal geworfen (WK, dass auf Seite landet: p=0,4), so kann man
folgende Fragestellungen damit bearbeiten.
o 1) Berechnung der WK P(X = 50), dass der Reiβnagel genau 50-mal auf der Seite
landet. Einzugeben sind die Parameter n = 100 und p=0,4 sowie der Wert für k=50.
 P (X = k) = Bpd (k, n, p)
o 2) Berechnung der WK P(x < 50), dass der Reiβnagel höchstens 50-mal auf der
Seite landet. Einzugeben sind die Parameter n=100 und p=0,4 sowie der Wert für
k=50.
 P (X < k) = Bcd (k, n, p)
o 3) Berechnung der WK P(X > 50), dass der Reiβnagel mindestens 50-mal auf der
Seite landet. Das Gegenereignis zu „X>50“ ist „X<49“, also gilt:
P(X>50) = 1 - P(X<49)
 P (X > k) = 1 - P (X < (k-1) ) = 1 - Bcd (k-1, n, p)
o 4) Berechnung der WK P(30 < X < 50), dass der Reiβnagel mindestens 30-mal
und höchstens 50-mal auf der Seite landet. Es ist: P(30<X<50) = P(X<50) P(X<29)
 P (k1 < X < k2) = P(X < k2) - P(X < (k1-1) ) = Bcd (k2, n, p) - Bcd (k1-1, n, p)
9
o 5) Berechnung der WK P(X < 30 oder X > 50), dass der Reiβnagel höchstens 30mal oder mindestens 50-mal auf der Seite landet. Es ist: P(X<30 oder X>50) =
P(X<30) + (1-P(X<49)
 P (X< k1 oder X > k2) = P(X < k1) + [ 1- P(X<(k2-1)) ]
= Bcd (k1, n, p) + [1- Bcd (k2-1, n, p)]
 Beispiel
 Aufgabe: Etwa 20% der Deutschen sind Linkshänder. Wie groβ ist die WK, dass in
einer Schulklasse mit 30 Schülern(/rinnen)
 Lösung:
1) genau 6 Linkshänder sind?
2) höchstens 5 Linkshänder sind?
3) mindesterns 10 Linkshänder sind?
4) die Zahl der Linkshänder im Bereich von 5 bis 10 liegt?
 Kontrolle der Ergebnisse
 man kann den Erwartungswert, die Binominialverteilung und das Säulendiagramm
mit der Funktion „Stat-Menü“ kontrollieren
o Liste 1 (muss markiert sein)  Optn  List  Seq (x,x, 0, 4, 1) [0=Start ; 4=Ende
; 1=Schrittweite)  exe
o Dist  Binm  Bpd  List 1  4 (=Anzahl Versuche)  0,4 (=p)  List 2 
2x Exit
o Graph  Set  Graph Typ: HIST  x: List 1  Frequency: List 2  Graph 1:
Setting; Start 0; width: 0,2-0,5
Tabelle mit Begriffen
Lösungsweg
genau
P (X=5)
mit GTR
Bernoulli
Bpd (5,n,p)
höchstens
P (X < 5)
 P (X < 6)
Bcd (5,n,p)
alle bis 5 (mit
5) addieren
mindestens
P (X > 5)
 P (X > 4)
1- Bcd (4,n,p)
alle ab 5 (mit 5)
addieren
weniger als
P (X < 5)
 P (X < 4)
mehr als
P (X > 5)
 P (X > 6)
alle unter 5
(ohne 5) +
alle über 5
(ohne 5) +
10
Bestimmen der Länge einer Bernoulli-Kette
 Beispiel
 Aufgabe: Wie oft muss man würfeln, um mit einer WK von mindestens 90%
 Lösung:
1) mindestens eine Sechs zu würfeln?
2) mindestens fünf Sechsen zu würfeln?

Lösung 2:
o mit Funktion „Wertetabelle“  Funktion schreiben + suchen
11