¨Ubungen zur Physik 2 – Lösungen zu Blatt 11

Übungen zur Physik 2 – Lösungen zu Blatt 11
(Dated: 19. Mai 2010)
I.
GLASFASER
Für den kritischen Winkel der Totalreflexion gilt sin θk = n3 /n2 = a/c (siehe Skizze). Desweiteren liest man
sin θ2 = b/c aus derpZeichnung ab. Nach dem Satz des Pythagoras ist a2 + b2 = c2 und daher a2 /c2 + b2 /c2 = 1.
Daraus folgt b/c = 1 − a2 /c2 . Mit der obigen Beziehung n3 /n2 = a/c ergibt sich daraus
q
(1)
sin θ2 = 1 − n23 /n22 .
Mit dem Brechungsgesetz n1 sin θ1 = n2 sin θ2 sowie mit n1 = 1 für Luft erhalten wir schließlich
q
q
sin θ1 = n2 1 − n23 /n22 = n22 − n23
(2)
p
θ1 muss also kleiner als arcsin n22 − n23 sein, damit der Strahl innerhalb der Faser total reflektiert wird. Mit n2 =
1.205 und n3 = 1.2 ergibt sich
q
θ1 = arcsin n22 − n23 = 6.30◦ .
(3)
II.
FERMAT’SCHES PRINZIP
1. Der Lichtweg von P1 (x1 , y1 ) über R(x, 0) nach P2 (x2 , y2 ) ist
q
q
s = s1 + s2 = (x − x1 )2 + y12 + (x2 − x)2 + y22
Wenn die Lichtlaufzeit T = s/c minimal sein soll, muss gelten: dT
dx = 0. Mit
!
Ã
dT
1
x − x1
x2 − x
p
=
−p
dx
c
(x − x1 )2 + y12
(x2 − x)2 + y22
(4)
(5)
folgt
x − x1
p
(x − x1 )2 + y12
x2 − x
=p
(x2 − x)2 + y22
=⇒
x2 − x
x − x1
=
.
s1
s2
(6)
Mit sin θ1 = (x − x1 )/s1 und sin θ2 = (x2 − x)/s2 (siehe Skizze) folgt
sin θ1 = sin θ2
(7)
Aus der Minimalforderung für die Lichtlaufzeit folgt also das Reflexionsgesetz:
sin θ1 = sin θ2
=⇒
θ1 = θ2
(8)
2
2. Die Zeit, die das Licht benötigt, um von P1 (x1 , y1 ) über R(x, 0) nach P2 (x2 , y2 ) zu gelangen, ist:
q
q
s1
s2
1
1
T =
+
=
(x − x1 )2 + y12 +
(x2 − x)2 + y22 .
v1
v2
v1
v2
(9)
Wenn wir jetzt den Punkt R auf der Grenzfläche y = 0 verschieben, so ändert sich die Laufzeit T um
(x − x1 )/v1
1 (x2 − x)
dT
(x2 − x)/v2
1 (x − x1 )
=p
−
.
−p
=
2
2
2
2
dx
v1
s1
v2
s2
(x − x1 ) + y1
(x2 − x) + y2
(10)
Wenn T minimal sein soll, muss dT /dx = 0 gelten. Daraus folgt wegen sin θ1 = (x − x1 )/s1 und sin θ2 =
(x2 − x)/s2
sin θ1
sin θ2
=
.
v1
v2
(11)
n1 sin θ1 = n2 sin θ2 .
(12)
Mit v1 = c/n1 und v2 = c/n2 folgt
Dies ist das Snellius’sche Brechungsgesetz.
III.
REFLEXION UND BRECHUNG AN GEKRÜMMTEN FLÄCHEN
A.
Reflexion
Für einen Strahl mit Abstand h zur optischen Achse, ist der Winkel α in der Skizze gegeben durch sin α = h/R.
Der Reflexionswinkel eines Strahls ist gegeben durch den Neigungswinkel der Tangente an dem Punkt wo er auf den
Spiegel trifft, also in diesem Fall wiederum α. Also ist der Winkel zwischen eingehendem und reflektiertem Strahl 2α.
Das Dreieck gegeben durch die Punkte MFA ist somit gleichschenklig und der Abstand MF ist gegeben durch R2 cos1 α .
Also ist der Abstand FO gegeben durch
µ
¶
µ
¶
1
R
f =R 1−
=R 1− √
.
(13)
2 cos α
2 R 2 − h2
B.
Brechung
1. Der Winkel α ist wiederum gegeben durch sin α = h/R. Nach dem Brechungsgesetz gilt n1 sin α = n2 sin β. Für
den Winkel γ gilt γ = α − β und somit ist der Abstand FO gegeben durch
f =
h
+ R(1 − cos α).
tan(α − β)
R(sin γ − cos α sin γ) + h cos γ
=
sin γ
R
(sin γ − cos α sin γ + sin α cos γ)
=
sin γ
R
(sin γ + sin β).
=
sin γ
(14)
(15)
(16)
(17)
Im letzten Schritt haben wir noch das Additionstheorem sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b benutzt.
2. Nun benutzen wir die Näherung, dass h ¿ R ist, da wir uns nur für achsennahe Strahlen interessieren. Dann
ist tan α ' sin α = h/R ' α und wir erhalten als Näherung für das Brechungsgesetz α = n2 /n1 β. Damit wird
aus Gleichung 14
f'
n2
h
=R
.
α(1 − n1 /n2 )
n2 − n1
(18)