4 Geometrie

I4.1
Planimetrie
A 21
4 Geometrie
A
H.-J. Schulz, Berlin
Bemerkungen zur elementaren Geometrie
In der Geometrie werden – ausgehend von durch Abstraktion
gewonnenen Grundfiguren (Punkt, Gerade, Ebene) und
Grundrelationen (Zugehrigkeit=Inzidenz, Symbol 2 ; Anordnung, Symbole <, = und >; Deckungsgleichheit=Kongruenz, Symbol ﬃ ; Stetigkeit=dichte Anordnung der
Punkte) – Axiome aufgestellt, die unmittelbar verstndlich
und nicht anderweitig zu beweisen sind.
Bild 1. Orientierung einer Ebene
4.1 Planimetrie
In der Planimetrie (Flchenmessung) wird eine unendlich
ausgedehnte Ebene als gegeben vorausgesetzt. In Bildern sind
nur endliche Ausschnitte darstellbar.
4.1.1 Punkt, Gerade, Strahl, Strecke, Streckenzug
Parallelen. Zwei Geraden heißen parallel, wenn sie keinen
oder alle Punkte gemeinsam haben. Aus den Axiomen folgt
fr die Schnittpunkte mehrerer Geraden:
– Zwei verschiedene, nichtparallele Geraden haben genau einen Punkt gemeinsam: den Schnittpunkt. n verschiedene,
nicht paarweise parallele Geraden ergeben n(n-1)/2
Schnittpunkte (z.B. haben vier Geraden sechs Schnittpunkte).
– Durch einen Punkt einer Ebene lassen sich unendlich viele
Geraden legen. Sie bilden ein Geradenbschel; der Schnittpunkt heißt Trger des Bschels.
– Die Gesamtheit aller zu einer gegebenen Geraden parallelen Geraden bildet ein Parallelenbschel oder eine Richtung. Der Trger des Parallelenbschels liegt im
Unendlichen.
– Durch drei verschiedene Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, lassen sich genau drei verschiedene Geraden
durch je zwei Punkte legen. Sie bestimmen eine Ebene im
Raum.
Halbgerade. Ein Punkt A auf der Geraden teilt diese in zwei
Halbgeraden.
Achse. Eine orientierte Gerade heißt Achse. Die Orientierung
(der Richtungssinn) einer Geraden wird durch einen Pfeil, der
den Durchlaufsinn angibt, oder ein geordnetes Punktepaar
kenntlich gemacht, dessen erster Punkt z.B. der Anfangspunkt
der Halbgeraden ist.
Strahl. Eine orientierte Halbgerade mit Anfangspunkt heißt
Strahl.
Strecke. Zwei verschiedene Punkte A, B auf einer Geraden
definieren die Strecke AB durch ihre Endpunkte. Zum Vergleich verschiedener Strecken mit Hilfe der Kongruenzaxiome werden Abbildungen der Ebene auf sich definiert, die
die Abstnde und Anordnungen der Punkte einer Figur in sich
nicht ndern, mit denen man aber Figuren „bereinanderschieben“ und auf Deckung vergleichen kann. Diese Abbildungen sind anschaulich mit den Bewegungen Parallelverschiebung, Drehung um einen Punkt und Spiegelung an einer
Geraden zu beschreiben.
Streckenzug. Eine zusammenhngende Folge von Strecken
verschiedener Richtung heißt Streckenzug (Polygonzug: Polygon=Vieleck). Die je zwei Strecken gemeinsamen Punkte
werden Eckpunkte genannt. Ist der Polygonzug geschlossen,
d.h. fallen Anfangspunkt der ersten Strecke und Endpunkt der
n-ten Strecke zusammen, so bildet der Polygonzug den Rand
eines n-Ecks mit den Strecken als Seiten. Die Verbindungs-
Bild 2. Ebene Winkel. a Richtungssinn; b Bezeichnungen; c Paarungen
strecken zweier Eckpunkte, die nicht Seiten sind, heißen Diagonalen. Ein Polygon ist konvex, wenn fr zwei beliebige
Punkte des Polygons auch alle Punkte der Verbindungsstrecke
zum Polygon gehren, anderenfalls ist es konkav.
4.1.2 Orientierung einer Ebene
Eine Gerade g zerlegt eine Ebene p in eine positive ðpþ Þ und
negative ðp Þ Halbebene; sie ist Rand fr jede dieser Halbebenen. Wird die Gerade orientiert mit der Wahl eines Strahls
gþ , so markiert die Kreislinie mit Durchlaufsinn die Orientierung der Ebene, die durch den Punkt B 2 gþ entsteht, wenn
gþ in pþ hineingedreht wird. Der mathematisch positive
Drehsinn einer Ebene ist entgegen dem Uhrzeigersinn
(Bild 1).
4.1.3 Winkel
Zwei Strahlen aþ ; bþ (Bild 2 a) mit gemeinsamem Anfangspunkt S (Scheitel) bilden die Schenkel zweier ungerichteter
Winkel (Pfeilbgen 1 und 2). So ist der Winkel \ ASB oder
\ðaþ ; bþ Þ mit den Pfeilen 1 und 2 entgegen dem Uhrzeigersinn mathematisch positiv. Er ist durch Zahlenwert und Richtung bestimmt. Nach der Grße (Bild 2 b) werden a spitze, b
rechte, g stumpfe, d gestreckte, e berstumpfe und z volle
Winkel unterschieden (Einheiten s. DIN 1315).
Winkel an zwei einander schneidenden Geraden (Bild 2 c).
Nebenwinkel sind a und b, b und g, g und d, d and a. Es gilt
a þ b ¼ 180; a hat mit b einen Schenkel gemeinsam. Scheitelwinkel sind a und g, b und d. Es gilt a=g und b=d. Supplementwinkel haben die Winkelsumme 180, Komplementwinkel 90.
4.1.4 Strahlenstze
Werden zwei parallele Geraden von einer dritten geschnitten,
so gelten fr die dabei entstehenden Winkel (Bild 3):
Bild 3. Winkel an Parallelen, die von einer Geraden geschnitten
werden
A 22
Mathematik – 4 Geometrie
A
Bild 4. Abstand des Punkts P von der Geraden g; d ¼ jPA1 j ¼
minjPAi j; i ¼ 1; 2; . . . ; l; . . .
Bild 6. hnliche Dreiecke. a Parallellage; b Spiegellage
Bild 5. Strahlenstze
Strahlenstzen, daß in hnlichen Polygonen die einander entsprechenden Seitenlngen proportional sind.
– Stufenwinkel ða; a0 Þ; ðg; g0 Þ; ðb; b0 Þ und (d, d) sowie Wechselwinkel ða; g0 Þ; ða0 ; gÞ; ðb; d0 Þ und ðb0 ; dÞ sind gleich.
– Entgegengesetzt liegende Winkel ða; d0 Þ; ða0 ; dÞ; ðb; g0 Þ
und ðb0 ; gÞ sind Supplementwinkel mit der Summe 180.
Beispiel: Aus
Jede dieser Eigenschaften ist notwendig und hinreichend dafr, daß zwei von einer dritten geschnittene Gerade parallel
sind.
Abstand. Vor allen Verbindungsstrecken PAi (Bild 4) zwischen einem Punkt P und einer Geraden g, mit P 62 g und beliebigen Punkten Ai 2 g, heißt die Strecke mit der kleinsten
Lnge jPAl j ¼ minjPAi j der Abstand d des Punkts P von der
Geraden. Der Punkt Al liegt auf der zu g senkrechten Geraden
durch P.
Fr viele Konstruktions- und Meßaufgaben sind folgende
Stze wichtig:
1. Strahlensatz (Thales). Werden zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen von (zwei) Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte (Streckenlngen) auf dem einen
Strahl wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen
Strahl. Nach Bild 5 ist
jSB1 j : jB1 B2 j ¼ jSA1 j : jA1 A2 j und
jSB1 j : jSB2 j ¼ jSA1 j : jSA2 j:
ð1Þ
Ferner gilt die Umkehrung des 1. Strahlensatzes (Beispiel s.
A 4.1.6).
2. Strahlensatz. Werden zwei von einem Punkt S ausgehende
Strahlen von (zwei) Parallelen geschnitten, so verhalten sich
die Abschnitte auf den Parallelen wie die entsprechenden von
S aus gemessenen Abschnitte auf jedem Strahl. Mit Bild 5
gelten also
jA1 B1 j : jA2 B2 j ¼ jSA1 j : jSA2 j und
jA1 B1 j : jA2 B2 j ¼ jSB1 j : jSB2 j:
jBCj : jB0 C0 j ¼ jBSj : jB0 Sj und jBAj : jB0 A0 j ¼ jBSj : jB0 Sj
(2. Strahlensatz; Bild 6) folgt jBCj : jB0 C0 j ¼ jBAj : jB0 A0 j und
jBCj : jBAj ¼ jB0 C 0 j : jB0 Aj ; also sind die Dreiecke 4(ABC) und
4ðA0 B0 C0 Þ hnlich.
Speziell fr Dreiecke ergeben sich hnlichkeitsstze, bei denen nicht alle Winkel bzw. Proportionen geprft werden mssen. Dreiecke sind hnlich, wenn sie bereinstimmen in zwei
Seitenverhltnissen, im Verhltnis zweier Seiten und in dem
von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel, in zwei gleichliegenden Innenwinkeln, im Verhltnis zweier Seiten und dem
der grßeren Seite gegenberliegenden Winkel.
4.1.6 Teilung von Strecken
Die Aufgabe, eine gegebene Strecke AB in einem beliebigen
reellen Verhltnis u= m: n mit jvj ¼ jATj : jTBj zu teilen, ist
mit Hilfe der Strahlenstze lsbar (Bild 7 a).
ußere und innere Teilung. Liegt der Teilungspunkt Ti zwischen A und B, so liegt eine innere Teilung vor; es sei u>0.
Liegt Ta außerhalb der Strecke AB, so ist es die ußere Teilung mit u<0.
Harmonische Teilung. Hier sind die Betrge der ußeren und
inneren Teilung gleich, also jATa j : jTa Bj ¼ jATi j : jTi Bj.
Goldener Schnitt. Er heißt auch stetige Teilung (Bild 7 b)
und
stellt
die
innere
Teilung
dar,
fr
die
jABj : jATj ¼ jATj : jTBj ist.
ð2Þ
Die Umkehrung des 2. Strahlensatzes ist nicht eindeutig,
wenn
jA1 B1 j < jSA1 j
ist.
Dann
ist
zwar
jA1 B3 j : jA2 B2 j ¼ jSA1 j : jSA2 j, aber jA1 B3 jjA2 B2 j.
4.1.5 hnlichkeit
Zwei Polygone heißen hnlich, wenn durch geeignete Drehung oder Spiegelung einander entsprechende Seiten parallele
Geraden werden, d.h., wenn die Figuren in der Form – also in
Anordnung und Grße aller Winkel –, jedoch nicht in den
Seitenlngen bereinstimmen. Weiterhin folgt mit den beiden
Bild 7. Teilung der Strecke AB. a ußere und innere Teilung; b stetige
Teilung (Goldener Schnitt)
I4.2
Trigonometrie
A 23
4.1.7 Pythagoreische Stze
Dreieck bilden, ist der Kreis durch A und B mit Mittelpunkt
M auf der Strecke AB (Bild 9 b). Im rechtwinkligen Dreieck
mit den Katheten a und b teilt der Fußpunkt F der Hhe hc
die Hypotenuse c in die Abschnitte a0 und b0 , die Projektionen
der Katheten auf die Hypotenuse.
Allgemeine Dreiecke
Hhensatz, Stze von Euklid und Pythagoras. Sie lauten
Beispiel: Gegeben ist die Strecke AB. Gesucht werden Ti fr u=3:5
und Ta fr u=-3:5. – Die Geraden durch (A, D) und (B, C) sind beliebige Parallelen. Mit Hilfe weiterer Parallelen (gestrichelt) ist die
Strecke AB in n+ m gleich große Strecken zu teilen (Bild 7 a).
Nach Bild 8 sind Eckpunkte A, B, C im mathematisch positiven Umlaufsinn zu definieren (4 ABC). Die Seiten a, b, c liegen gegenber den gleichlautenden Eckpunkten, und die Innenwinkel a, b, g haben den „gleichlautenden“ Eckpunkt als
Scheitel.
Bezeichnungen. Hhen ha ; hb ; hc sind Abstnde der Eckpunkte von ihren gegenberliegenden Seiten. Insbesondere
schneiden sich (Bild 8 a–c) die:
a Seitenhalbierenden sa ; sb und sc im Schwerpunkt S,
b Winkelhalbierenden wa ; wb und wg im Mittelpunkt Mi des
Innenkreises mit den Seiten als Tangenten,
c Mittelsenkrechten ma ; mb und mc im Mittelpunkt Mu des
Umkreises durch die Eckpunkte.
Fr die Hhen (Bild 8 d) gilt: ha : hb : hc ¼ 1=a : 1=b : 1=c.
Stze: Von je zwei verschieden großen Seiten eines Dreiecks
liegt der grßeren Seite der grßere Winkel gegenber. – Die
Summe der Innenwinkel betrgt 180. – Fr Dreiecke folgen
aus einer Formel zwei weitere durch zyklische Vertauschungen, also durch Ersetzen der Zahlentripel (a, b, c) und (a, b,
g) durch (b, c, a) und (b, g, a) oder (c, a, b) und (g, a, b).
Einteilung. Sie erfolgt nach Winkeln in spitz-, recht- und
stumpfwinklige Dreiecke sowie nach den Seiten in gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke.
Rechtwinkliges Dreieck
Hier heißen die Schenkel des rechten Winkels Katheten (a
und b in Bild 9 a) und die ihm gegenberliegende Seite Hypotenuse (c).
Satz von Thales. Der geometrische Ort aller Dreieckpunkte
Ci , die mit einer gegebenen Strecke AB ein rechtwinkliges
h2c ¼ a0 b0 ;
ð3Þ
a2 ¼ a0 c; b2 ¼ b0 c;
ð4Þ
a2 þ b2 ¼ c2 :
ð5Þ
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenusenlnge gleich der Summe der Quadrate der Kathetenlngen.
Der Beweis folgt aus der hnlichkeit der Dreiecke 4(ABC),
4(ACF) und 4(CBF). Seine allgemeine Form ist der Kosinussatz (s. A 4.2.2). Dreiecke lassen sich durch ihre Hhe in
rechtwinklige Teildreiecke zerlegen. Konvexe Polygone bestehen aus einzelnen Dreiecken (s. A 4.2.2).
Beispiel: Beweis fr die Konstruktion des goldenen Schnitts. – Nach
Bild 7 b mit jABj ¼ a; jATj ¼ x ¼ jASj; jTBj ¼ a x und jMBj ¼ a=2
gilt im Dreieck 4ABM der Satz des Pythagoras: a2 þ a2 =4 ¼ ðxþ
a=2Þ2 bzw. a:x=x:(a-x), also stetige Teilung.
4.2 Trigonometrie
Die Trigonometrie ist die Lehre von der Berechnung der Dreiecke mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen, auch Winkel- oder Kreisfunktionen genannt. Die hier behandelte ebene
Trigonometrie setzt das Dreieck in der Ebene voraus. Bei der
sphrischen Trigonometrie dagegen werden die Dreiecke von
Kreisbgen auf Kugeloberflchen gebildet. Mit der Erweiterung der Definition trigonometrischer Funktionen auf komplexe Variable ergeben sich Zusammenhnge mit den Exponential- und Hyperbelfunktionen.
4.2.1 Goniometrie
In der Goniometrie werden diejenigen Beziehungen der trigonometrischen Funktionen, die allein Winkel (s. A 4.1.3) betreffen, untersucht.
Trigonometrische Funktionen
Sie sind zunchst fr ungerichtete spitze Winkel im rechtwinkligen Dreieck als Verhltnisse von Seitenlngen definiert. Entsprechend Bild 9 a gilt mit der Ankathete b, der Gegenkathete a und der Hypotenuse c
Sinus :
ð6Þ
Kosinus :
Tangens :
Kotangens :
Trigonometrischer Satz von Pythagoras
sin2 a þ cos2 a ¼ 1;
ð7Þ
ð8Þ
ð9Þ
ð10Þ
tan a ¼ 1= cot a ¼ sin a= cos a;
Bild 8. Dreieck. a Seitenhalbierende und Schwerpunkt; b Winkelhalbierende und Innenkreis; c Mittelsenkrechte und Umkreis; d Hhen
1 þ tan2 a ¼ 1= cos2 a; 1 þ cot2 a ¼ 1= sin2 a
ð11Þ
sinð90 aÞ ¼ cos a; cosð90 aÞ ¼ sin a;
tanð90 aÞ ¼ cot a; cotð90 aÞ ¼ tan a:
ð12Þ
Die Anwendung der Definitionen auf rechtwinklige Dreiecke
als Teile von gleichseitigen Dreiecken oder Quadraten der
Kantenlnge 1 ergibt die Werte fr einige wichtige Winkel:
Bild 9. Stze des rechtwinkligen Dreiecks. a Pythagoras und Hhensatz; b Thales
A
A 24
A
Mathematik – 4 Geometrie
Funktionen beliebiger Winkel. Bild 10 a zeigt die fr einen
auf dem Kreis umlaufenden Punkt P=(x, y) geltenden Zuordnungen fr beliebige Winkel j. Die trigonometrischen Funktionen (Bild 10 b) – als Menge von Punktpaaren (x, y) im
Sinne der Abbildung einer Menge {x} ðx ¼ j=rad Zahlenwert
des Winkels, s. A 4.1.3) – sind
9
½sin ¼ fðx; yÞjx 2 R; y 2 ½1; 1; x7!y ¼ sin xg; >
>
>
½cos ¼ fðx; yÞjx 2 R; y 2 ½1; 1; x7!y ¼ cos xg; >
=
ð13Þ
½tan ¼ fðx; yÞjx 2 R n fð2n þ 1Þp=2jn 2 Zg;
>
x7!y ¼ tan xg; >
>
>
;
½cot ¼ fðx; yÞjx 2 R n fnpjn 2 Zg; x7!y ¼ cot xg:
cos- und sin-Funktionen sind beschrnkt und periodisch mit
der Periode 2p, d.h. sinðx þ 2pnÞ ¼ sin x, cosðx þ 2pnÞ ¼ cos x
; n 2 Z. tan- und cot-Funktionen sind unbeschrnkt und periodisch mit der Periode p, d.h. tanðx þ pnÞ ¼ tan x,
cotðx þ pnÞ ¼ cot x, n 2 Z. Sie haben Unstetigkeitsstellen (s.
Gln. (13)).
Nullstellen der Funktionen fr k 2 Z:
sin x ¼ tan x ¼ 0 fr x ¼ x k ¼ kp;
cos x ¼ cot x ¼ 0 fr x ¼ x k ¼ ð2k þ 1Þp=2:
Ungerade Funktionen:
fr den Winkel j in Grad, d.h. 0 % j % 90, daher auch als
Quadrantenrelationen bezeichnet
Fr Argumente jxj > 2p ist zuerst die Restklasse
z ¼ x modð2pÞ ¼ signðxÞfjxj 2p ent½jxj=ð2pÞg
zu bilden, d.h. von |x| das grßte ganzzahlige Vielfache von
2p, das kleiner bzw. gleich | x| ist, zu subtrahieren. Hierbei ist
entðxÞ die grßte ganze Zahl kleiner bzw. gleich x.
Funktionen desselben Arguments. Sie ergeben sich aus den
in Bild 10 a benutzten Dreiecken mit dem Satz von Pythagoras (s. Gln. (10) bis (12)).
sinðxÞ ¼ sin x; tanðxÞ ¼ tan x;
cotðxÞ ¼ cot x:
Gerade Funktion: cosðxÞ ¼ cos x.
Die Betrge aller Funktionswerte sind aus dem Intervall
0 % x % p=2 (I. Quadrant) zu entnehmen und daher in Tabellen nur fr dieses Intervall angegeben. Zur Reduktion auf das
Intervall 0 % x % p=2 gelten die Beziehungen sinngemß auch
Das Vorzeichen richtet sich nach dem Quadranten, in dem x
liegt.
Additionstheoreme. Sie geben die Relationen zwischen der
Anwendung der Funktion auf ein aus mehreren Winkeln gebildetes Argument und den Funktionen der beteiligten Winkel
an.
Summe und Differenz zweier Winkel. Aus Bild 11 folgt z.B.
sinða þ bÞ ¼
¼
Bild 10. Trigonometrische Funktionen. a Einheitskreis; b Darstellung
jAEj jADj þ jDEj
¼
jOEj
jOEj
jCBj jOCj jDEj jECj
þ
;
jOCj jOEj jECj jOEj
Bild 11. Zur Ableitung der Additionstheoreme
I4.2
9
sinða bÞ ¼ sin a cos b cos a sin b; >
>
>
cosða bÞ ¼ cos a cos b sin a sin b; >
=
tan atan b
tanða bÞ ¼ 1tan
a tan b ;
>
>
>
>
;
a cot b1
cotða bÞ ¼ cot
cot bcot a :
9
sinða þ bÞ þ sinða bÞ ¼ 2 sin a cos b; >
>
>
sinða þ bÞ sinða bÞ ¼ 2 cos a sin b; >
>
>
>
cosða þ bÞ þ cosða bÞ ¼ 2 cos a cos b; >
>
>
=
cosða þ bÞ cosða bÞ ¼ 2 sin a sin b;
sinða þ bÞ sinða bÞ ¼ cos2 b cos2 a >
>
>
>
¼ sin2 a sin2 b;
>
>
>
2
2
>
cosða þ bÞ cosða bÞ ¼ cos b sin a >
>
;
2
2
¼ cos a sin b:
ð16Þ
3
ð19Þ
n
n
sinðnaÞ ¼
sin a cosn1 a sin3 a cosn3 a
1 3
n
sin5 a cosn5 a þ . . . ;
þ
n
n5
sin2 a cosn2 a
cosðnaÞ ¼
cosn a 2
0 n
þ
sin4 a cosn4 a þ . . .
4
Satz von Euler und Moivre. Fr komplexe Zahlen (s. A 2.2.3)
gilt expðiaÞ ¼ cos a þ i sin a und ðcos a þ i sin aÞn ¼ cosðnaÞ
þi sinðnaÞ ¼ expðn iaÞ.
Potenzen der Funktionen. Die Umformung der Gln. (18) liefert
9
sin2 a ¼ ð1 cos 2aÞ=2; cos2 a ¼ ð1 þ cos 2aÞ=2; =
3
ð20Þ
sin a ¼ ð3 sin a sin 3aÞ=4;
;
cos3 a ¼ ð3 cos a þ cos 3aÞ=4:
Summen und Differenzen der Funktionen. Sie ergeben sich
aus den Gln. (16) mit a0 þ b0 ¼ b und a0 b0 ¼ a zu
Bild 12. Zyklometrische Funktionen
A
ð21Þ
Zyklometrische Funktionen
ð17Þ
2 cotða=2Þ
9
sin 3a ¼ 3 sin a 4 sin a;
>
>
=
sin 4a ¼ 8 sin a cos3 a 4 sin a cos a;
>
cos 3a ¼ 4 cos3 a 3 cos a;
>
;
cos 4a ¼ 8 cos4 a 8 cos2 a þ 1:
9
ab
ab >
cos
; >
>
>
>
2
2
>
>
=
aþb
ab
cos a þ cos b ¼ 2 cos
cos
;
>
2
2
>
>
>
>
aþb
ab >
;
cos a cos b ¼ 2 sin
sin
:>
2
2
A 25
sin a sin b ¼ 2 sin
Vielfache und Teile eines Winkels. Mit b=a oder a/2 folgen
9
sin 2a ¼ 2 sin a cos a; sin a ¼ 2 sinða=2Þ cosða=2Þ; >
>
>
>
cos 2a ¼ cos2 a sin2 a;
>
>
=
cos a ¼ cos2 ða=2Þ sin2 ða=2Þ;
ð18Þ
2 tanða=2Þ
2 tan a
>
tan 2a ¼ 1tan2 a ; tan a ¼ 1tan2 ða=2Þ ;
>
>
>
>
2
>
2
;
cot 2a ¼ cot a1 ; cot a ¼ cot ða=2Þ1 :
2 cot a
Trigonometrie
Sie werden auch Arcus- oder Bogenfunktionen genannt und
sind die Umkehrfunktionen (Inversen) der trigonometrischen
Funktionen. Die Spiegelung der trigonometrischen Funktionskurven an der Geraden y=x ergibt die Kurven der zyklometrischen Funktionen (Bild 12) in dem mit „Hauptwerte“ gekennzeichneten Bereich. Die implizierte Form der Umkehrfunktion zum Sinus ist x ¼ sin y, die explizite y ¼ arcsin x.
Letztere besagt, daß am Einheitskreis y der Zahlenwert des
Bogens ist, dessen Sinus gleich x ist. Im Bild 13 sind y und z
Winkel; y ist im positiven Sinn, z entgegengesetzt skaliert.
Damit gilt
9
½arcsin ¼ fðx; yÞjx 2 ½1; 1; y 2 ½p=2; p=2; >
>
>
>
x7!y ¼ arcsin xg;
>
>
>
>
½arccos ¼ fðx; yÞjx 2 ½1; 1; y 2 ½0; p;
>
>
=
x7!y ¼ arccos xg;
ð22Þ
½arctan ¼ fðx; yÞjx 2 R; y 2 ðp=2; p=2Þ;
>
>
>
>
x7!y ¼ arctan xg;
>
>
>
>
>
½arccot ¼ fðx; yÞjx 2 R; y 2 ð0; pÞ;
>
;
x7!y ¼ arccot xg:
Im angelschsischen Sprachgebrauch gelten fr diese Funktionen die Bezeichnungen sin1 ; cos1 ; tan1 und cot1 (z.B.
auf Taschenrechnern).
Die Gln. (22) erklren zusammen mit den Gln. (13) die Umkehridentitten:
9
sinðarcsin xÞ x fr x 2 ½1; 1;
>
>
>
>
>
arcsinðsin xÞ x fr x 2 ½p=2; p=2; >
>
>
>
>
>
cosðarccos xÞ x fr x 2 ½1; 1;
>
>
>
=
arccosðcos xÞ x fr x 2 ½0; p;
ð23Þ
>
tanðarctan xÞ x fr x 2 R;
>
>
>
>
arctanðtan xÞ x fr x 2 ðp=2; p=2Þ; >
>
>
>
>
>
cotðarccot xÞ x fr x 2 R;
>
>
>
;
arccotðcot xÞ x fr x 2 ð0; pÞ:
Eigenschaften. Alle vier zyklometrischen Funktionen sind
im Bereich der Hauptwerte beschrnkt.
A 26
Mathematik – 4 Geometrie
A
Bild 13. Bogenfunktionswerte am Einheitskreis. a fr y ¼ arcsin x und
z ¼ arccos x ; b fr y ¼ arctan x und z ¼ arccot x
Nullstellen: arcsin x ¼ 0 fr x=0, arccos x =0 fr x=1 und
arctan x ¼ 0 fr x=0.
Ungerade Funktionen: arcsinðxÞ ¼ arcsin x;
arctanðxÞ ¼ arctan x.
Negative Argumente: arccosðxÞ ¼ p arccos x;
arccotðxÞ ¼ p arccot x.
k-ter Monotoniebereich der Sinus-Funktion: Mit p=2þ kp %
x % p=2 þ kp ist die Umkehrfunktion fr diesen Bereich der
k-te Nebenwert arck sin x fr k 2 Z. Damit wird
y ¼ arck sin x ¼ kp þ ð1Þk arcsin x
fr y 2 ½p=2 þ kp; kp þ p=2;
(
kp þ arccos x
fr k gerade
y¼
ðk þ 1Þp arccos x fr k ungerade
und y 2 ½kp; ðk þ 1Þp;
y ¼ arck tan x ¼ kp þ arctan x
fr y 2 ðp=2 þ kp; kp þ p=2Þ;
y ¼ arck cot x ¼ kp þ arccot x fr y 2 ðkp; ðk þ 1ÞpÞ;
k ¼ 0 liefert die Hauptwerte:
Beispiel: 0; 1ðx 4Þ2 þ sin x ¼ 0: – Einer Skizze entnimmt man den
Schnittpunkt der Parabel y ¼ 0; 1ðx 4Þ2 mit der Sinuskurve und
daß ein Wert x 2 ðp; 4Þ sein muß. Will man mit dem Iterationsverfahren (s. A 9.2.1) xiþ1 aus xi berechnen, so ist
xiþ1 ¼ p arcsin½ðxi 4Þ2 =10 ¼ p þ arcsin½ðxi 4Þ2 =10
zu bilden und damit auf den fr die Inversion gltigen Monotoniebereich zu reduzieren. Mit x0 ¼ 3;2 erhlt man nach einigen Schritten
xi ¼ 3;20486 als brauchbare Nherungslsung.
Beziehungen im Bereich der Hauptwerte. Es gelten:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ 9
arcsin x ¼ p=2 arccos x ¼ arctanðx= 1 x2 Þ; >
>
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ >
>
>
arccos x ¼ p=2 arcsin x ¼ arccosðx= 1 x2 Þ; >
>
>
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ >
>
=
2
arctan x ¼ p=2 arccotx ¼ arcsinðx= 1 þ x Þ;
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ >
>
arccot x ¼ p=2 arctan x ¼ arccosðx= 1 þ x2 Þ; >
>
>
>
>
>
arctanð1=xÞ
fr x > 0;
>
>
;
arccot x ¼
p þ arctanð1=xÞ fr x < 0:
ð24Þ
Hyperbelfunktionen
Sie sind spezielle Linearkombinationen der Exponentialfunktion (Bild 14 a), die sich als Lsung einer Reihe technischer
Bild 14. a Einheitshyperbel mit Sektor t/2 schraffiert; b Funktionsverlauf (Graph)
Probleme ergeben, wie der Hyperbelsinus (sinus hyperbolicus) sinh, der Hyperbelkosinus cosh, der Hyperbeltangens
tanh und der Hyperbelkotangens coth.
9
½sinh ¼ fðx; yÞjx 2 R; y 2 R;
>
>
>
>
>
>
x7!y ¼ sinh x ¼ ½expðxÞ expðxÞ=2g;
>
>
>
>
>
½cosh ¼ fðx; yÞjx 2 R; y 2 ½1; 1Þ;
>
>
>
>
>
x7!y ¼ cosh x ¼ ½expðxÞ þ expðxÞ=2g;
>
>
>
n
>
>
=
½tanh ¼ ðx; yÞjx 2 R; y 2 ð1; 1Þ;
ð25Þ
>
>
expðxÞ expðxÞ
>
>
x7!y ¼ tanh x ¼
;
>
>
expðxÞ þ expðxÞ
>
>
>
n
>
>
>
½coth ¼ ðx; yÞjx 2 R n f0g; y 2 R n ð1; 1Þ; >
>
>
>
>
>
>
expðxÞ þ expðxÞ
>
>
x7!y ¼ coth x ¼
:
;
expðxÞ expðxÞ
sinh, cosh und coth sind unbeschrnkt, tanh ist beschrnkt.
tanh und coth haben horizontale Asymptoten bei y=1.
Nullstellen: sinh x ¼ 0 fr x=0, tanh x ¼ 0 fr x=0.
Gerade Funktion: coshðxÞ ¼ cosh x.
Ungerade Funktionen: sinhðxÞ ¼ sinh x,
tanhðxÞ ¼ tanh x; cothðxÞ ¼ coth x:
Definitionsgemß ist
tanh x ¼ sinh x= cosh x ¼ 1= coth x;
sinh x þ cosh x ¼ expðxÞ;
sinh x cosh x ¼ expðxÞ;
9
>
>
>
>
>
>
=
>
>
cosh2 x sinh2 x ¼ 1; 1 tanh2 x ¼ 1= cosh2 x; >
>
>
>
;
2
2
coth x 1 ¼ 1=sinh x:
ð26Þ
I4.2
Additionstheoreme. Analog den Kreisfunktionen gilt
9
sinhðx yÞ ¼ sinh x cosh y cosh x sinh y; >
>
>
>
coshðx yÞ ¼ cosh x cosh y sinh x sinh y; >
>
>
=
tanh x tanh y
;
tanhðx yÞ ¼
>
1 tanh x tanh y
>
>
>
>
>
1 coth x coth y
>
;
cothðx yÞ ¼
:
coth x coth y
n
9
>
sinhðnxÞ ¼
coshn1 x sinh x
>
>
1 >
>
>
n
>
n3
3
>
>
þ
cosh x sinh x
>
>
3 >
=
n n1
;þ... þ
cosh x sinh x;
>
n 1
>
>
>
n
>
coshðnxÞ ¼ coshn x þ
coshn2 x sinh2 x >
>
>
>
>
n2
>
>
;
þ ... þ
sinhn x:
n
Trigonometrie
A 27
A
ð27Þ
ð28Þ
Bild 15. Areafunktionen
Deutung an der Einheitshyperbel. So wie x ¼ cos j; y ¼ sin j
eine Parameterdarstellung des Einheitskreises mit dem Parameter j ist, ergeben sich x ¼ cosh t; y ¼ sinh t fr die Einheitshyperbel. x2 y2 ¼ cosh2 t sinh2 t ¼ 1. Die Koordinaten
des Punkts P in Bild 14 b sind den Hyperbelsinus- und Hyperbelkosinuswerten des Parameters t zuzuordnen. Der Parameter
t ist ein Maß fr die Flche A des schraffierten Hyperbelsektors
OPF, wie mittels Integration nachweisbar ist.
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
t ¼ lnðcosh t þ cosh2 t 1Þ ¼ 2A:
ð29Þ
Die tanh-t-Werte sind Strecken auf der Scheiteltangente, die
coth- t-Werte Strecken auf der Geraden y=1, jeweils bis zum
Schnitt mit der Strecke OP.
Weiterhin gilt
8
>
>
<
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
9
0; >
arcoshð x2 þ 1Þ fr x
>
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
>
>
2
>
>
arsinh x ¼ arcoshð x þ 1Þ fr x < 0;
>
>
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
>
>
>
2
>
x þ1
x ﬃ
: artanh pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
>
¼
arcoth
;
>
x
>
x2 þ1
>
>
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
=
2
arcosh x ¼ arsinhð x 1Þ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ!
>
>
>
x2 1
>
>
¼ artanh
>
>
>
x
>
>
>
>
>
>
x
>
;
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
p
¼ arcoth
:
x2 1
4.2.2 Berechnung von Dreiecken und Flchen
Areafunktionen
Sie sind die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen
(Bild 15). Der Name (area=Flche) erklrt sich aus der Deutung der Hyperbelfunktion (Bild 14 b) an der Einheitshyperbel. Fr den Hyperbelsinus (berall streng monoton)
y ¼ sinh x ergibt sich als Inverse in impliziter Form x ¼ sinh y
bzw. explizit y ¼ arsinh x. Fr die Graphen der Areafunktionen gilt
9
½arsinh ¼ fðx; yÞjx 2 R; y 2 R;
>
>
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
>
>
>
>
x7!y ¼ arsinh x ¼ lnðx þ x2 þ 1Þg;
>
>
>
>
½arcosh ¼ fðx; yÞjx 2 ½1; 1Þ; y 2 ½0; þ1Þ;
>
>
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
>
>
>
x7!y ¼ arcosh x ¼ þ lnðx þ x2 1Þg;
=
n
ð30Þ
½artanh ¼ ðx; yÞjx 2 ð1; 1Þ; y 2 R;
>
>
>
>
>
1 1þx
>
x7!y ¼ artanh x ¼ 2 ln1x ;
>
>
n
>
>
>
½arcoth ¼ ðx; yÞjx 2 R n ½1; 1; y 2 R n f0g; >
>
>
>
;
1 xþ1
x7!y ¼ arcoth x ¼ 2 lnx1 :
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
So folgt aus Gl. (29) 2A ¼ t ¼ lnðx þ x2 1Þ ¼ arcosh x mit
x ¼ cosht.
Die Berechnung fehlender Bestimmungsstcke eines Dreiecks aus gegebenen kann mit Hilfe der trigonometrischen
Funktionen ber den in A 4.1.7 dargestellten Umfang fr
rechtwinklige Dreiecke hinaus erweitert werden. Das Problem
ist gelst, wenn aus drei gegebenen Grßen drei andere berechnet werden knnen.
Rechtwinkliges Dreieck. Hier (Bild 9 a) gelten nach dem
Satz von Pythagoras mit den trigonometrischen Funktionen
die Lsungen in Tab. 1 fr die fnf Grundaufgaben.
Schiefwinkliges Dreieck. In ihm gelten die folgenden Stze
(zyklische Vertauschungen sind gekennzeichnet mit { ):
Sinussatz: Sinussatz
a
b
c
¼
¼
¼ 2r:
sin a sin b sin g
Kosinussatz oder verallgemeinerter Satz von Pythagoras:
9
a2 ¼ b2 þ c2 2bc cos a;
>
>
>
>
zyklische Vertauschung fhrt zu =
b2 ¼ c2 þ a2 2ca cos b und
c2 ¼ a2 þ b2 2ab cos g:
>
>
>
>
;
Umkehridentitten. Sie sind mithin
9
sinhðarsinh xÞ x arsinhðsinhxÞ fr x 2 R; >
>
>
>
>
coshðarcosh xÞ x fr x 2 ½1; 1Þ und
>
>
>
>
arcoshðcosh xÞ x fr x 2 ½0; 1;
=
tanhðartanh xÞ x fr x 2 ð1; 1Þ und
>
>
>
artanhðtanh xÞ x fr x 2 R;
>
>
>
cothðarcoth xÞ ¼ x fr x 2 R n ½1; 1 und >
>
>
;
arcothðcoth xÞ ¼ x 2 R n f0g:
Eigenschaften. Ungerade Funktionen sind
arsinhðxÞ ¼ arsinh x; artanhðxÞ ¼ artanh x;
arcothðxÞ ¼ arcoth x:
ð32Þ
Tabelle 1. Grundaufgaben fr rechtwinklige Dreiecke ðg ¼ 90Þ
ð31Þ
ð33Þ
ð34Þ
A 28
A
Mathematik – 4 Geometrie
Bedingte Identitten fr die Winkelfunktionen: Wegen
a þ b þ g ¼ 180 folgen aus den Additionstheoremen
Tabelle 3. Merkmale fr SSW
sin a ¼ sinðb þ gÞ;
sinða=2Þ ¼ cos½ðb þ gÞ=2; cos a ¼ cosðb þ gÞ;
cosða=2Þ ¼ sin½ðb þ gÞ=2 und { :
Summe der Projektionen. Jede Seite lßt sich aus den beiden
anderen Seiten berechnen; a ¼ b cos g þ c cos b und [
{ .
Tangenssatz oder Nepersche Formel:
ab ab
aþb
¼
tan
2
aþb
2
a þ b 180 g
mit
¼
und { :
2
2
tan
ð35Þ
Mollweidesche Formeln:
ðb þ cÞ sinða=2Þ ¼ a cos½ðb gÞ=2 und
ðb cÞ cosða=2Þ ¼ a sin½ðb gÞ2 sowie { :
Halbwinkelsatz:
sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
a
ðs bÞðs cÞ
tan ¼
und { :
2
sðs aÞ
)
ð36Þ
ð37Þ
Lsung der Grundaufgaben im schiefwinkligen Dreieck s.
Tab. 2.
Flchenberechnung s. Tab. 4.
4.3 Stereometrie
Die Stereometrie ist die Erweiterung der in A 4.1 und A 4.2
dargestellten euklidischen Geometrie der Ebene auf den dreidimensionalen Raum, in dem die Betrachtung auf die Punkte,
die nicht in einer Ebene liegen, ausgedehnt wird. Dieser
Raum wird mit R3 bezeichnet und durch ein Volumenmaß gemessen. Die Dimension eines Raums, die in der Vektoralgebra mit der Zahl der linear unabhngigen Basisvektoren definiert wird, ist in der axiomatischen Geometrie mit der Zahl
der Maße zur Messung von Eigenschaften der Punktmengen
erklrbar.
Teilmenge, ˙ Durchschnitt, ^ und, folglich (s. A 1.1) sowie
k parallel, 6k nicht parallel und windschief:
– Zwei Geraden (Bild 16) im Raum heißen parallel, wenn
sie in einer Ebene liegen (komplanar sind) und keine oder
alle Punkte gemeinsam haben. Nicht in einer Ebene liegende Geraden heißen windschief. Es gilt
k12 kg ) k12 E1 ^ g E1
und a
g.
– Eine Gerade hat mit einer Ebene gemeinsam: alle Punkte
(g E1 ), den Durchstoßpunkt D (a, b, c, d mit der Ebene
E2 ) und keine Punkte (a und E1 ). Hier ist k12 E2 und
D 2 a ^ D 2 E2 .
– Zwei Ebenen im Raum heißen parallel, wenn sie keine oder
alle Punkte gemeinsam haben. Zwei nichtparallele Ebenen
haben alle Punkte einer Geraden, der Schnittgeraden oder
Kante, gemeinsam. Es ist E2 kE3 ; E1 E2 ) k12 ¼ E1 ˙ E2
=Kante.
– Durch einen Punkt P im Raum lassen sich unendlich viele
Geraden legen. Sie bilden ein Bndel mit dem Trger D
und den Elementen a, b, c und d.
– Durch einen Punkt P im Raum (Bild 17) lassen sich unendlich viele verschiedene Ebenen legen. Sie bilden ein Ebenenbndel mit den Elementen E1 bis E4 und dem Trger
k ¼ E1 ˙ E2 ˙ E3 . Durch mindestens drei Ebenen, die einen
Punkt P ¼ E1 ˙ E3 ˙ E4 gemeinsam haben, wird in P eine
krperliche Ecke gebildet.
Die mathematisch positive Orientierung des Raumes entspricht einer Rechtsschraube. Die Winkel als geometrische
Figuren werden durch ihre Grßen (a; b; g; . . .) gekennzeichnet.
4.3.1 Punkt, Gerade und Ebene im Raum
Punkt, Gerade und Ebene sind die Grundelemente des Raums.
Innerhalb jeder Ebene des Raums gelten die Gesetze der Planimetrie. Die Erweiterung der Axiome und des Parallelenbegriffs ergeben mit den Symbolen 2 Element der Menge, Tabelle 2. Grundaufgaben fr schiefwinklige Dreiecke
Bild 16. Geraden und Ebenen im Raum
Bild 17. Ebenenbndel
I4.3
Tabelle 4. Umfang und Flche der wichtigsten ebenen Figuren
Stereometrie
A 29
A
A 30
A
Mathematik – 4 Geometrie
4.3.2 Krper, Volumenmessung
4.3.6 Guldinsche Regeln
Ein Krper ist eine abgeschlossene, einfach zusammenhngende Teilmenge des Raumes, dessen Randpunkte die Oberflche des Krpers bilden, die die inneren Punkte des Krpers
vollstndig umschließt. Die Menge aller inneren Punkte bildet
das Volumen (den Rauminhalt) des Krpers. Besteht die
Oberflche nur aus ebenen Flchen (Polygonen), so wird der
Krper Vielflchner (Polyeder) genannt (z.B. Vierflchner=
Tetraeder). Je zwei Polygone haben eine Seite, d.h. eine
Kante des Krpers, gemeinsam. n Polygone (n 2 N, n ^ 3) haben einen Eckpunkt des Krpers gemeinsam; sie bilden eine
n-kantige Ecke. Ist der Krper von krummen Oberflchen begrenzt, so heißt er Krummflchner. Kanten an einem Krummflchner entstehen entlang der Raumkurve, in der sich zwei
Oberflchen schneiden (z.B. Kegelmantel und Grundflche).
Die Guldinschen Regeln ermglichen die Berechnung komplizierter geformter Rotationskrper. Ihre Richtigkeit ist mit
den Mitteln der Integralrechnung beweisbar.
1. Guldinsche Regel zur Flchenberechnung. Der Flcheninhalt einer Rotationsflche ist gleich dem Produkt aus der
Bogenlnge s der sie erzeugenden Kurve und dem Umfang
des Kreises, den der Schwerpunkt der Kurve bei einer vollen
Umdrehung beschreibt (y0 Schwerpunktabstand von der
Drehachse).
4.3.3 Polyeder
Polyeder sind konvex, wenn fr zwei beliebige Punkte des Innern oder Randes auch alle Punkte der Verbindungsstrecke
zum Polyeder gehren, d.h., wenn es keine „nach innen springenden“ Ecken gibt.
Satz von Euler. Bezeichnet e die Anzahl der Ecken, f die Anzahl der Flchen und k die Anzahl der Kanten, so gilt im konvexen Polyeder e+ f-k=2 (z.B. fr den Wrfel mit e=8,
f=6 ist k=12, da 8+6-12=2).
Kantenwinkelsatz. An einer n-kantigen krperlichen Ecke
ist die Summe aller Kantenwinkel kleiner als 360.
Regelmßige Polyeder (platonische Krper) heißen die konvexen Polyeder, deren Begrenzungsflchen regelmßige kongruente Polygone sind. Es gibt nur die folgenden fnf regelmßigen Polyeder (s. Tab. 5): Tetraeder aus vier gleichseitigen Dreiecken, Hexaeder oder Wrfel aus sechs Quadraten,
Oktaeder aus acht gleichseitigen Dreiecken, Pentagondodekaeder aus zwlf gleichseitigen Fnfecken und Ikosaeder aus
20 gleichseitigen Dreiecken.
Abwicklung. Die lngentreue Abbildung einer Flche in eine
Ebene heißt Abwicklung. Beim Polyeder ist die Abwicklung
der Begrenzungsflche durch „Aufschneiden“ entlang einer
ausreichenden Zahl von Kanten und „Umklappen“ in ein zusammenhngendes System von Begrenzungsflchen, Netz genannt, anschaulich beschreibbar. Mit Hilfe der Abwicklung
lassen sich Oberflchenmaße von Krpern und Wege zwischen Punkten auf diesem Krperrand berechnen. Als Weg
bezeichnet man die Lnge aller Teilstrecken, die eine Verbindungslinie zwischen zwei Punkten auf den Begrenzungsflchen herstellen.
A ¼ 2py0 s
V ¼ 2py0 A:
ð39Þ
4.4 Darstellende Geometrie
Die Darstellende Geometrie hat die Aufgabe, rumliche Krper und Figuren in einer Zeichenebene so anschaulich darzustellen, daß alle wichtigen geometrischen Maße erkennbar
oder maßstabgerecht abnehmbar sind. Wegen der Informationsreduktion auf die zwei Dimensionen der Ebene sind beide
Forderungen nicht gleich gut zu erfllen; zu verwenden ist
die am besten geeignete Methode.
Zentralprojektion. Die geometrischen Strahlen projizieren
wie das Licht ein Bild des Gegenstands. Das Projektionszentrum Z liegt in endlicher Entfernung vom Objekt O und der
Bildebene p wie beim Schattenwurf mit einer punktfrmigen
Lampe (Bild 18 a).
Parallelprojektion. Das Bild wird maßhaltig, wenn das Projektionszentrum Z ins Unendliche gelegt wird wie beim
Schattenwurf durch die Sonne (Bild 18 b). Gegenber der Fotografie hat die geometrische Konstruktion den Vorteil, unsichtbare Krperkanten mittels gestrichelter Linien erkennbar
zu machen.
4.3.4 Oberflche und Volumen von Polyedern
Die Summe aller Flcheninhalte der Begrenzungspolygone
eines Krpers heißt Oberflche O. Der Rauminhalt V von
Krpern ergibt sich als Produkt dreier geeigneter Strecken
oder als Produkt von Grundflche und Hhe, jeweils versehen
mit einem Zahlenfaktor, der die vom Wrfel abweichende
Form bercksichtigt (s. Tab. 5).
Satz von Cavalieri. Krper mit parallelen, gleich großen
Grundflchen und gleichen Hhen haben gleiches Volumen,
wenn sie in gleichen Hhen ber der Grundflche flchengleiche, zur Grundflche parallele Querschnitte haben.
4.3.5 Oberflche und Volumen von einfachen
Rotationskrpern
Bei der Drehung um eine Gerade im Raum, Drehachse genannt, beschreibt jeder Punkt, der nicht auf der Geraden liegt,
einen Kreisbogen. Hierbei entstehen Zylinder, Kegel, Kugeln,
Paraboloide, Ellipsoide und Hyperboloide als Krper
(Tab. 5).
ð38Þ
2. Guldinsche Regel zur Volumenberechnung. Der Rauminhalt eines Rotationskrpers ist gleich dem Produkt aus dem
Flcheninhalt A der den Krper erzeugenden Flche und dem
Umfang des Kreises, den der Schwerpunkt der Flche bei einer vollen Umdrehung beschreibt.
Bild 18. Wrfel (O Objekt). a Zentral-, b Parallelprojektion
I4.4
Darstellende Geometrie
A 31
Tabelle 5. Oberflche und Volumen von Polyedern und Rotationskrpern; V Volumen, AO Oberflche, AM Mantelflche, AG Grundflche, U Umfang,
h Hhe, ru Radius der um-, ri Radius der einbeschriebenen Kugel
A
A 32
A
Mathematik – 4 Geometrie
Tabelle 5. (Fortsetzung)
I4.4
Darstellende Geometrie
A 33
Tabelle 5. (Fortsetzung)
4.4.1 Vergleich der Projektionsarten
Die Zentral- und die Parallelprojektion werden einzeln dadurch modifiziert, daß die Projektionsrichtungen senkrecht
oder schrg zur Projektionsebene p orientiert sind. Die „Gte“
der Abbildung ergibt sich aus der Invarianz (Unvernderlichkeit) der geometrischen Maße oder Maßverhltnisse des Objekts wie die Erhaltung der folgenden acht Grßen und Eigenschaften: Strecken, Winkel, Flchen, Parallelitt, Streckenverhltnisse, Teilungsverhltnisse fr Strecken zwischen drei
Punkten auf einer Geraden (s. A 3.1.6), Doppelverhltnisse
fr Strecken zwischen vier geordneten Punkten A, B, C und D
auf einer Geraden, also AC : BC ¼ AD : BD, und der Zugehrigkeit von Punkten zu einer Geraden (Inzidenz).
Es gengt, die bersichtlichen Projektionen eines ebenen
Dreiecks zu untersuchen. Als Modelle eignen sich dafr die
dreieckige Pyramide fr die Zentralprojektion mit dem Zentrum Z im Endlichen (Pyramidenspitze) und das dreieckige
Prisma fr die Parallelprojektion mit Z im Unendlichen, deren
Seitenkanten die Projektionsstrahlen sind. Die zu untersuchende Objektebene W kann parallel oder schrg zur Projektionsebene angeordnet sein; die Schnittgerade a=W ˙ p liegt
im Unendlichen bzw. in Endlichen. Damit ergeben sich die
vier Projektionen in Bild 19. Die von den Objektpunkten projizierten Bildpunkte erhalten einen Strich (0 ).
a Parallelprojektion zwischen parallelen Ebenen (a= 1 ,
Z= 1 ), die definitionsgemß Kongruenz erzeugt. Hierbei
sind alle acht Eigenschaften invariant.
b Zentralprojektion zwischen parallelen Ebenen (a= 1 ,
Z endlich). Sie erzeugt nach dem Strahlensatz (auf den Seitenflchen der Pyramide) hnlichkeit, d.h., invariant sind Winkel
und Parallelitt, Strecken-, Teil- und Doppelverhltnisse
(Strahlenstze in den Ebenen W und p) sowie die Inzidenz.
c Parallelprojektion zwischen geneigten Ebenen (a endlich, Z= 1 ) erzeugt perspektive Affinitt. Sie ist durch folgende Eigenschaften gekennzeichnet: Affine Punkte wie A
und A0 ; B und B0 liegen auf Parallelen gðAA0 ÞkgðBB0 Þ und erhalten damit die Parallelitt und Inzidenz. Affine Geraden
wie g(AB) W und g0 ðA0 B0 Þ p schneiden einander in einem
A
Punkt auf a; gðABÞ ˙ g0 ðA0 B0 Þ ¼ S 2 a: Die Strahlenstze, etwa fr \ðB0 SBÞ, erhalten die Teilungsverhltnisse.
d Zentralprojektion zwischen geneigten Ebenen (a endlich, Z endlich) erzeugt die perspektive Kollineation. Hier
sind nur noch Doppelverhltnis und Inzidenz invariant; es
gibt nur eine sehr „schwache“ Verwandtschaft zwischen Objekt und Bild. Ihre konstruktiven Merkmale sind: Kollineare
Punkte wie A und A0 ; B und B0 liegen auf Kollineationsstrahlen, die einander in einem Punkt Z schneiden und die Inzidenz
herstellen. Kollineare Geraden wie g(AB) W und
gðA0 B0 Þ p schneiden einander auf der Kollineationsachse
a=W ˙ p. Die Erhaltung des Doppelverhltnisses folgt aus
dem Sinussatz, etwa fr jCDj : jDEj ¼ jCAj : jEAj in der Ebene durch C0 ZA0 :
Aus diesen Projektionen werden die fr den Anwendungsfall
geeigneten Konstruktionen ausgewhlt. Hchste Ansprche
an Maßhaltigkeit und hnlichkeit erfllt die orthogonale Parallelprojektion auf mehrere Bildebenen bei Werkstattzeichnungen und Bauplnen. Bessere Anschaulichkeit ergibt die
schrge Parallelprojektion auf eine Tafel. Dem visuellen Eindruck am hnlichsten ist die Perspektive der Zentralprojektion
mit dem grßten Verlust an Maßhaltigkeit.
4.4.2 Orthogonale Zweitafelprojektion
Die orthogonale Zweitafelprojektion ist eine senkrechte Parallelprojektion des Objekts auf zwei senkrecht zueinander angeordnete Projektionsebenen p1 und p2 , die um die ihnen gemeinsame Schnittgerade y12 geklappt und so in die Zeichenebene gelegt werden (Bild 20). Dabei soll die vordere positive Grundrißebene pþ
1 zusammen mit der in sie hineingeklappten negativen Aufrißebene p
2 unterhalb von y12 liegen. Aus
der Zweitafelprojektion ergibt sich, daß der Punkt P1 senkrecht ber P01 in der Hhe P10 P001 angeordnet ist.
Es wird festgelegt, daß bei Gesamtansichten das abzubildende
Objekt vollstndig im I. Raum-Quadranten liegt und somit
þ
nur pþ
1 unterhalb y12 und p2 oberhalb y12 in der Zeichenebene
bentigt werden. Beim Klappvorgang bewegen sich die projizierten Punkte auf ebenen, zu y12 senkrechten Kreisbgen, deren Projektionen die in Bild 20 b gestrichelten Geraden senk-
A 34
Mathematik – 4 Geometrie
A
Bild 19. a–d Projektionsarten
Bild 21. Orthogonale Zweitafelprojektion von Geraden und einer
Ebene. a Schrgbild; b ebenes Bild
Bild 20. Orthogonale Zweitafelprojektion. a Schrgbild; b ebenes
Bild
recht auf y12 sind und die Ordner der Punkte Pi genannt und
mit oðPi Þ bezeichnet werden. Die Ordnerbedingung ist dann
oðP1 Þ?y12 und oðP01 Þ ¼ oðP001 Þ:
Darstellung von Gerade und Ebene
Gerade. Eine Gerade g, die in allgemeiner Lage in einer Ebene E liegt (Bild 21), hat als Projektionen die Geraden g0 und
g00 . Die Gerade kann gegeben sein durch zwei beliebige
Punkte P1 und P2 , deren Projektionen P01 ; P02 die Grundrißprojektion g0 und P001 , P002 die Aufrißprojektion g00 liefern, oder
durch die Durchstoß- oder Spurpunkte S1 und S2 , die jeweils
einen Punkt der Projektionen von g liefern. Die Projektion
von S1 auf p2 mit dem Ordner liefert S001 und damit g00 durch
S001 und S2 ¼ S002 . Die Projektion von S2 auf p1 mit dem Ordner
durch S2 liefert S02 , woraus g0 als Gerade durch S02 und S1 ¼ S01
folgt.
Ebene. Sie ist durch ihre Schnittgeraden e1 ¼ E ˙ p1 im
Grundriß und e2 ¼ E ˙ p2 im Aufriß eindeutig festgelegt. Sie
heißen Spurgeraden der Ebene E und schneiden einander auf
der Geraden y12 : Eine Vorstellung von der rumlichen Lage
einer durch e1 ; e2 gegebenen Ebene entsteht durch Aufklappen der Aufrißebene senkrecht zur Grundrißebene und Legen
der Ebene durch die einander schneidenden Geraden e1 ; e2 in
den Raum.
I4.4
Darstellende Geometrie
A 35
Hhengerade h ist jede Gerade parallel zur Grundrißebene
p1 . Ihre Projektion h00 im Aufriß ist eine Parallele zu y12 .
Liegt h in einer durch ihre Spuren gegebenen Ebene, so muß
ihre Projektion h0 im Grundriß eine Parallele zu e1 sein, die
die y12 -Achse im Ordnerfußpunkt O1 zum Durchstoßpunkt
D1 der Hhengeraden durch p2 schneidet.
A
h00 ky12 ^ h0 ke1 ^ h0 ˙ y12 ¼ y12 ˙ oðh ˙ p2 Þ;
es gilt h ˙ p2 ¼ h00 ˙ e2 :
Frontgerade f ist jede Gerade parallel zur Aufrißebene p2 : Ihre Projektion f 0 im Grundriß ist eine Parallele zu y12 . Liegt f
auf einer durch ihre Spuren e1 ; e2 gegebenen Ebene, so ist ihre
Projektion f 00 im Aufriß eine Parallele zu e2 , die die y12 -Achse im Ordnerfußpunkt O2 zum Durchstoßpunkt D2 der Frontgeraden durch p1 schneidet.
f 0 ky12 ^ f 00 ke2 ^ f 00 ˙ y12 ¼ y12 ˙ oðf ˙ p1 Þ;
es gilt f ˙ p1 ¼ f 0 ˙ e1 :
Diese beiden Begriffe bieten die Mglichkeit festzustellen, ob
ein Punkt P auf einer durch ihre Spuren gegebenen Ebene
liegt, indem man prft, ob P0 auch auf h0 liegt, wenn man
h00 ky12 durch P00 konstruiert und h0 ke1 mit Hilfe von
oðh ˙ p2 Þ gewonnen hat.
Die Darstellung eines ebenflchig begrenzten Krpers wird in
Bild 25 a mit der axonometrischen Projektion verglichen.
4.4.3 Axonometrische Projektionen
Axonometrische Projektionen sind orthogonale oder schrge
Parallelprojektionen (Bild 22) des Krpers zusammen mit einem angepaßten rumlichen Achsenkreuz auf eine Projektionsebene, die gegenber den orthogonalen Ein- und Mehrtafelprojektionen folgenden Vorteil hat: Eine Zeichnung zeigt
drei Ansichten, erspart also Arbeit und verbessert die Anschaulichkeit.
Bild 22. Axonometrische Darstellung eines Quaders und eines
Prismas
Bild 23. Beziehungen im Spurdreieck der orthogonalen Axonometrie.
a rumliche Darstellung; b Punkt O in die Ebene p geklappt
Klappen um sxz in die Zeichenebene. O bewegt sich dabei auf
einem Kreis, dessen Projektion die Senkrechte durch O0 auf
sxz ist, also auf dem Ordner von O bezglich sxz . Nach dem
Satz von Thales ist dann DðSx O1 Sz Þ rechtwinklig und damit
kongruent zu DðSx OSz Þ. Analog sind die beiden anderen Dreiecke DðSx O2 Sy Þ und DðSy O3 Sz Þ zu zeichnen. Da alle drei
Fußpunkte der Lote F1 ; F2 ; F3 auf den Dreieckseiten zwischen den Eckpunkten liegen, ist das Spurdreieck spitzwinklig. Auf den Strecken O1 Sx ; O1 Sz und O2 Sy lßt sich die Einheitsstrecke e fr die Koordinatenachsen im Objekt abtragen
und durch Projektion auf die Achsenbilder die Grßen der
Einheitsstrecken e0x ; e0y ; e0z fr jede Achsrichtung in dem axonometrischen Bild konstruieren. Die Quotienten
mx ¼ e0x =e ¼ cos a; my ¼ e0y =e ¼ cos b und
mz ¼ e0z =e ¼ cos g
Orthogonale Axonometrie
Bei der orthogonalen Axonometrie (Bild 23) ist die Projektionsrichtung senkrecht zur Zeichenebene orientiert. Zur Konstruktion eines axonometrischen Bildes wird ein beliebig
orientiertes rechtwinkliges Koordinatensystem x, y, z mit dem
Ursprung O benutzt. Die Achsen durchstoßen die Projektionsebne (Zeichenebene) p in den Spurpunkten Sx ; Sy und Sz , die
das Spurdreieck bilden, denn seine Seiten sind die Spuren der
xy-, xz- und yz-Ebene in p.
Jede Achse steht senkrecht auf der durch die beiden anderen
Koordinaten gekennzeichneten Ebene (z.B. y-Achse ? xzEbene), und damit mssen bei orthogonaler Projektion auch
die Achsenbilder senkrecht auf den entsprechenden Spuren
stehen (z.B. y0 ?sxz ). Im Spurdreieck sind also die Achsenprojektionen x0 ; y0 ; z0 durch die Hhen gegeben; ihr gemeinsamer
Schnittpunkt O0 ist das Bild des Ursprungs. Die wahre Grße
des rechtwinkligen Dreiecks DðSx OSz Þ ergibt sich durch
ð40Þ
sind die Maßstabfaktoren, mit denen die Lngen in der jeweiligen Achsrichtung bei der Projektion multipliziert werden.
Die Neigungswinkel der Achsen gegen die Zeichenebene sind
a ¼ \ðO0 Sx OÞ; b ¼ \ðO0 Sy OÞ und g ¼ \ðO0 Sz OÞ: Da das
rumliche Achsenkreuz und die Projektionsrichtung zu p
rechtwinklig sein sollen, besteht eine Kopplung zwischen den
Winkeln a, b, g und den Maßstabfaktoren in Gl. (40). Fr die
Richtungskosinusse der Geraden OO0 im x, y, z-System von
Bild 23 a gilt cos2 d1 þ cos2 d2 þ cos2 d3 ¼ 1. Aus DðOSx O0 Þ
folgt a þ d1 ¼ 90 und mithin cos d1 ¼ cosð90 aÞ ¼ sin a
und cos2 d1 ¼ sin2 a ¼ 1 cos2 a: Hieraus folgt die Kopplungsbedingung
cos2 a þ cos2 b þ cos2 g ¼ m2x þ m2y þ m2z ¼ 2:
ð41Þ
Bei vorgegebenen Maßstabfaktoren sind die Neigungswinkel
a, b, g der Achsen aus Gl. (40) bekannt. Die Konstruktion des
Achsenkreuzbilds dazu wird mit Bild 24 erklrt. Die Hhe
A 36
Mathematik – 4 Geometrie
Dimetrie. mx : my : mz ¼ 0;5 : 1 : 1: Die Neigungen der y- und
pﬃﬃﬃ
z-Achse sind gleich; aus cos b ¼ cos g ¼ 2 2=3 folgt
pﬃﬃﬃ
b ¼ g ¼ 19;47. Fr die x-Achse ist cos a ¼ 2=3,
a ¼ 61;87: Zwischen den positiven Achsenstrahlen ergeben
sich nach der beschriebenen Konstruktion die Winkel
\ðx; yÞ ¼ 131;42, \ðx; zÞ ¼ 131;42 und \ðy; zÞ ¼ 97;18
(Bild 25 c).
A
Trimetrie. mx : my : mz ¼ a : b : c mit a 6¼ b 6¼ c 6¼ a, d.h., alle
drei Achsen haben verschiedene Neigungen.
Fr die Iso- und Dimetrie gibt es Liniennetze, die die Zeichenarbeit erleichtern. (In den Beispielen wird auf das Kennzeichen 0 fr Projektionsbilder verzichtet.)
Bild 24. Konstruktion des orthogonalen axonometrischen Achsenkreuzes
jOO0 j des Ursprungs ber p legt nur die Grße des Spurdreiecks fest (vgl. A 4.4.1; Zentralprojektion a= 1 , Z endlich ergibt hnlichkeit). Aus drei rechtwinkligen Hilfsdreiecken mit
O
0 werden mit a1 ¼ 90 a;
der gemeinsamen Kathete O
b1 ¼ 90 b; g1 ¼ 90 g die anderen Katheten O0 Sx ; O0 Sy
z als Lngen der Achsenprojektionen im Spurdreieck
und O0 S
bestimmt.
Nach Wahl einer z-Richtung und eines Ursprungs O0 kann das
0 O
zu DðO
Sz Þ kongruente Dreieck DðO0 OSz Þ an die z-Achse
gezeichnet werden. Es ist das um O0 Sz in die Zeichenebene
geklappte Sttzdreieck der z-Achse, die senkrecht auf der x,
y-Ebene steht. Deshalb schneidet die Senkrechte in O auf Sz O
die verlngerte z-Achse im Fußpunkt F3 , einem Punkt der
Spur sxy , die senkrecht auf der z-Achse steht (Bild 23). Die
0 Sx j und jO
0 Sy j schneiden diese
Kreissektoren um O0 mit jO
Spur sxy in den Punkten Sx und Sy , womit das Achsenkreuz
0 O
Sx Þ und
vollstndig bestimmt ist. Die Dreiecke DðO
0O
Sy Þ sind zu den Sttzdreiecken DðO0 OSx Þ der x-Achse
DðO
und DðO0 OSy Þ der y-Achse kongruent.
In der Praxis bzw. von der Norm werden nicht die Maßstabfaktoren selbst, sondern ihre Verhltnisse vorgegeben:
Isometrie. mx : my : mz ¼ 1 : 1 : 1: Die Neigungen der drei
Achsen sind gleich. Mit Gl. (41) folgt cos a ¼ cos b ¼ cos g ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2=3; a ¼ b ¼ g ¼ 35;26: Die positiven Strahlen der Achsenprojektionen bilden drei Winkel zu je 120(Bild 25 b). Die
z-Achse ist parallel zur Vertikalen.
Beispiel: Isometrische Konstruktion der Ellipse als Bild eines Kreises
(Radius r), der in der x, y-Ebene liegt (Bild 26). – Durch Abtragen
der Radien rx ¼ ry auf den Achsen knnen der Mittelpunkt M und das
achsenparallele Parallelogramm, das die Ellipse umschließt, gezeichnet werden. Die Parallelen durch M liefern die Berhrungspunkte T1
bis T4 : Die Hauptachse muß vom wahren Durchmesser 2 r des Kreises
sein. Damit liegt auf der Senkrechten zur z-Achse die Strecke
jABj ¼ 2r. Eine Senkrechte darauf durch den Ellipsenpunkt T2 schneidet den Hauptachsenkreis in C. Die Gerade MC schneidet die Parallele zur Hauptachse durch T2 in D und liefert damit die Lnge der Nebenachse jMDj ¼ b bzw. jEFj ¼ 2b. Diese Achsenkonstruktion benutzt die Parameterdarstellung der Ellipse, fr die in einem x, h-System mit Ursprung in M hT2 ¼ b sin j gilt. Nun ist die Ellipse punktweise oder mit Hilfe der Scheitelkrmmungskreise konstruierbar.
Schrge Axonometrie
Bei der schrgen Axonometrie ist die in Gl. (41) angegebene
Kopplung der Maßstabfaktoren aufgehoben. Fr beliebige
Wahl der Achsenrichtungen und der Einheitslngen darauf
besteht eine Projektionsrichtung, die ein rechtwinkliges,
rumliches Achsenkreuz auf das gewhlte Bild projiziert.
Diesem Vorteil steht der Nachteil entgegen, daß Bilder von
Kugeln Ellipsen werden, deren Hauptachsen nicht als Schatten spezieller Durchmesser einfach zu finden sind. Praktische
Anwendung finden zwei spezielle schiefe Axonometrien
(Bild 27):
Bild 26. Ellipse als Kleinbild in isometrischer Axonometrie
Bild 25. Maschinenteil. a orthogonale Zweitafelprojektion; b isometrische Axonometrie; c dimetrische Axonometrie
Bild 27. Quader. a Militr-; b Kavalierperspektive
I4.5
Methoden zur Darstellung analytisch nicht beschreibbarer geometrischer Objekte
a Militrperspektive. Bei ihr werden die x, y-Ebene
(Grundriß) parallel zur Zeichenebene, die Projektionsrichtung
unter 45 gegen p geneigt, so daß die z-Achse lotrecht nach
oben weist, und die Lngeneinheiten auf allen Achsen gleich
groß gewhlt. Damit werden alle zum Grundriß parallelen
Flchen in wahrer Grße, die lotrechten Strecken untereinander parallel und in wahrer Grße abgebildet (z.B. Stadtansicht
auf Stadtplan).
b Kavalierperspektive. Bei ihr werden die yz-Ebene (Aufriß) parallel zur Zeichenebene, die Projektionsrichtung unter
45 gegen die Bildebene geneigt und die Lngeneinheiten auf
den y-, z-Achsen gleich, auf der x-Achse mit mx ¼ 0;5 verkrzt gewhlt. Damit werden alle zum Aufriß parallelen Flchen in wahrer Grße abgebildet.
Fr beliebigen Projektionswinkel und andere Verkrzungen
ist die Bezeichnung Frontalperspektive blich.
4.5.2 Darstellung einer Raumkurve durch n+1
Sttzpunkte mit Hilfe von Spline-Funktionen
4.5.1 Problemstellung
Beim Bau von Fahrzeugen, Maschinen und Werkzeugen besteht das Bedrfnis, „glatte“ Oberflchen durch eine diskrete
Anzahl von Sttzpunkten (Knoten) zu legen, die aus Messungen oder numerischen Berechnungen bekannt sind. Polynominterpolation nach A 10 Gl. (25) erzeugt dabei große Welligkeiten, wenn der Grad des Polynoms grßer als drei wird,
whrend Approximationen mit einem Grad, der wesentlich
kleiner als die Zahl der Sttzpunkte ist, diese nicht mehr genau darstellt. Der Krper kann durch Raumkurven, Flchenoder Krperelemente dargestellt werden. Die Konstrukteure
zeichneten frher solche Kurven mit Hilfe dnner Straklatten
aus Holz oder Kunststoff (engl.: spline), die durch Strakgewichte in den Sttzpunkten fixiert wurden. Die Entwicklung
moderner CAD-Verfahren (s. C 8) machte die mathematische
Nachbildung des physikalischen Strakens erforderlich, um
rechnergesteuertes Zeichnen und interaktives Gestalten der
Flchen zu ermglichen.
Fr die dnne Straklatte (Bild 28) gilt nach C 2 Gl. (39) vereinfacht mit y0 1, daß fr die Biegelinie die Formnderungsenergie
Z
W ¼ 0;5 ðM 2 ðxÞ=E IÞ y00 dx
A
Eine Funktion, die sich stckweise aus Polynomen vom Grade k zusammensetzt, die (k-1)mal stetig differenzierbar ist
und durch die Sttzpunkte geht, heißt interpolierende SplineFunktion vom Grade k. Bevorzugt werden kubische Splines
(k=3) (Bild 29) gewhlt, da sie bei niedrigstem Grad einen
Wendepunkt enthalten.
Eine kubische Funktion wird durch vier Koeffizienten eindeutig festgelegt. Nach Ferguson werden zu ihrer Bestimmung
die Koordinaten zweier Punkte und die zugehrigen ersten
Ableitungen gewhlt, wodurch stckweise aneinandergesetzte
Kurvenstcke stetig differenzierbar anschließen.
Im Intervall t 2 [0;1] gilt fr das Polynom 3. Grads:
(Zur besseren Unterscheidung des Polynoms von den Sttzpunkten P wird es mit SðtÞ bezeichnet. Die Ableitung nach
dem Parameter t ist hier mit 0 notiert.)
SðtÞ ¼ a3 t3 þ a2 t2 þ a1 t þ a0 ¼ ðxðtÞ; yðtÞ; zðtÞÞT
4.5 Methoden zur Darstellung analytisch
nicht beschreibbarer geometrischer Objekte
A 37
ð42Þ
mit den Randbedingungen
Sð0Þ ¼ P0 ¼ ðx0 ; y0 ; z0 ÞT
Sð1Þ ¼ P1 ¼ ðx1 ; y1 ; z1 ÞT
S0 ð0Þ ¼ P00 ¼ ðx00 ; y00 ; z00 ÞT
S0 ð1Þ ¼ P01 ¼ ðx01 ; y01 ; z01 ÞT
¼
a0 ;
¼ a3 þ a2 þ a1 þ a0 ;
ð43Þ
¼
a1 ;
¼ 3a3 þ 2a2 þ a1 :
Die Koeffizienten aj ¼ ðajx ; ajy ; ajz ÞT mit j=0, 1, 2, 3 sind
Vektoren fr die drei Raumkoordinaten x, y, z, die aus dem
Gleichungssystem (43) zu berechnen sind
a0 ¼ P0 ; a1 ¼ P00 ; a2 ¼ 3P0 3P1 2P00 P01
a3 ¼ 2P0 2P1 þ P00 þ P01 :
Eingesetzt in Gl. (42) und nach den gegebenen Werten umsortiert ergibt sich die Form
SðtÞ ¼P0 ð2t3 3t2 þ 1Þ þ P1 ð2t3 þ 3t2 Þ
þ P00 ðt3 2t2 þ tÞ þ P01 ðt3 t2 Þ:
Fr die Kurvensegmente zwischen den Punkten Pj1 ; Pj mit
j ¼ 1; 2; . . . ; ðn 1Þ ergeben sich (n-1) Polynome
Sj ðtÞ ¼Pj1 ð2t3 3t2 þ 1Þ þ Pj ð2t3 þ 3t2 Þ
þ P0j1 ðt3 2t2 þ tÞ þ P0j ðt3 t2 Þ
ð44Þ
fr die gilt:
Sj ð0Þ ¼ Pj1 ; Sj ð1Þ ¼ Pj ; S0j1 ð1Þ ¼ S0j ð0Þ;
S00j1 ð1Þ ¼ S00j ð0Þ:
ð45Þ
minimiert werden muß. Dies wird durch Polynome 3. Grads
des Parameters t 2 [0;1] gelst, die kubische Kurvensegmente
zwischen den Sttzpunkten Pj , Pjþ1 mit j ¼ 0; 1; 2; . . . ; n darstellen. Diese Kurven gehen fr die Randwerte von t durch
die Sttzpunkte und stimmen dort in der Tangentenrichtung
und der Krmmung berein.
Aus Gl. (44) und (45) folgen die Ableitungswerte P0j bei gegebenen Punktkoordinaten. Gl. (44) zweimal nach t differenziert ergibt, mit den Randbedingungen Gl. (45) fr die inne-
Bild 28. Straklatte als physikalischer Spline und mathematische
Nachbildung
Bild 29. Zylindrische Schraubenlinie ZðtÞ approximiert durch eine
Spline-Funktion SðtÞ
A 38
A
Mathematik – 4 Geometrie
ren Segmente von P1 bis Pn1 , (n-1) lineare Gleichungen, die
sich rekursiv lsen lassen
P0j1 þ 4P0j þ P0jþ1 ¼ 3Pj1 þ 3Pjþ1
fr j ¼ 1; 2; . . . ; ðn 1Þ:
Tabelle 7. Berechnete Steigungswerte P0j ¼ ðx0j ; y0j ; z0j ÞT
ð46Þ
Fr die beiden ußeren Segmente knnen die Randbedingungen fr zwei bevorzugte Flle aufgestellt werden:
Fall I. Die Enden sind frei, d. h. die Krmmung verschwindet
in den ußeren Punkten: S001 ð0Þ ¼ 0 ¼ S00n ð1Þ also folgt damit
2P00 þ P01 ¼ 3P0 þ 3P1
und
P0n1 þ 2P0n ¼ 3Pn1 þ 3Pn :
ð47Þ
Fall II. Die Enden sind eingespannt, d. h. die ersten Ableitungen sind in den Endpunkten vorgegeben:
S01 ð0Þ ¼ P00 und S0n ð1Þ ¼ P0n :
ð48Þ
Damit lassen sich fr jedes Segment beliebige Zwischenpunkte nach Gl. (44) ausrechnen und zeichnen.
Beispiel: Gegeben sei ein Stck einer zylindrischen Schraubenlinie,
die exakt durch die Gleichung ZðsÞ ¼ ðcosðsÞ; sinðsÞ; sÞT im Intervall s 2 ½0; p beschrieben wird, und das an (n+1)=4 Sttzpunkten
zum Vergleich der Darstellungsgte durch eine Spline-Funktion SðtÞ
approximiert werden soll (s. Bild 29), Tab. 6.
Die Steigungen in den Endpunkten sind bekannt, so daß der Fall II
vorliegt (Gl. (48)):
P00
P03
¼ Z01 ð0Þ ¼ ðx00 ; y00 ; z00 ÞT
¼ Z03 ð1Þ ¼ ðx03 ; y03 ; z03 ÞT
¼ ð0; 1; 1Þ
Die in Gl. (44) auftretenden Hermite-Polynome des Parameters t heißen Binde- oder Basisfunktionen (blending-functions). Durch die Wahl anderer Bindefunktionen kann das Verhalten der approximierenden glatten Kurve beeinflußt werden. Das gibt dem interaktiv arbeitenden Konstrukteur die
Mglichkeit, durch einen Polygonzug das Verhalten im Groben vorzugeben. Bevorzugt werden die Punkte zur Bestimmung des Polygons gewhlt. Bei (n+1) Polygoneckpunkten
Pj mit j ¼ 0; 1; . . . ; n im Parameterintervall t 2 ½0;1 erfolgt die
Darstellung der Bezier-Kurve durch
SðtÞ ¼
¼ ð0; 1; 1ÞT :
¼0
: x00
: x00 þ 4 x01 þ x02
¼ 3 1 þ 3 ð0;5Þ ¼ 4;5
:
x01 þ 4x02 þ x03 ¼ 3 0;5 þ 3 ð1Þ ¼ 4;5
0
:
x3 ¼ 0:
Aufgelst ergeben sich die Werte x00 ¼ 0 ; x01 ¼ 0;9 ; x02 ¼ 0;9 ;
x03 ¼ 0, die zusammen mit den Punktkoordinaten in Gl. (44) eingesetzt
werden:
x1 ðtÞ ¼ 1 ð2t3 3t2 þ 1Þ þ 0;5 ð2t3 þ 3t2 Þ 0;9 ðt3 t2 Þ:
Durch Umsortieren nach Potenzen von t folgen auch die Koeffizienten ajx der Gl. (42) fr das erste Segment, nmlich
x1 ðtÞ ¼ 0;1 t3 0;6 t2 þ 1;
Analog lassen sich die Gleichungen fr die anderen Segmente und fr
die y- bzw. z-Koordinaten aufschreiben. Die Ergebnisse sind in Tab. 7
zusammengefaßt.
Die Abweichungen sind graphisch nicht darstellbar.
Dieser einfachen Anwendbarkeit der Spline-Funktion steht
der Nachteil gegenber, daß die nderung eines Sttzpunkts
vollstndige Neuberechnung erfordert. Kurvenzge mit beabsichtigten Knicken (Unstetigkeiten der ersten Ableitung) oder
sprunghafter nderung der Krmmung (Unstetigkeiten der
zweiten Ableitung) werden in Bereiche zerlegt, fr die jeweils eigene Spline-Funktionen berechnet werden.
Pj Bnj ðtÞ;
wobei als Basisfunktionen Bnj ðtÞ die Bernsteinfunktionen dienen. Sie lauten
n j
Bnj ðtÞ ¼
t ð1 tÞnj mit der Eigenschaft
j
ð49Þ
n
X
Bnj ðtÞ 1:
j¼0
So ist B10 ¼ 1 t und B11 ¼ t, ferner B30 ¼ ð1 tÞ3 ,
B31 ¼ 3t ð1 tÞ2 ; B32 ¼ 3t2 ð1 tÞ und B33 ¼ t3 , wie in
Bild 30 a, b fr n=1 und n=3 graphisch dargestellt.
Beispiel: Es soll die Sinuskurve im ersten Quadranten mittels des Polygons durch die willkrlich gewhlten Punkte P0 ; P1 ; P2 ; P3 nach
Bild 31 als Bezier-Kurve SðtÞ approximiert werden (Tab. 8).
also
a3x ¼ 0;1; a2x ¼ 0;6; a1x ¼ 0; a0x ¼ 1:
n
X
j¼0
T
Aus Gl. (48) und (46) folgt
ð48Þ
ð46Þ j ¼ 1
j¼2
ð48Þ
4.5.3 Bezier-Kurven
SðtÞ ¼
xðtÞ
yðtÞ
mit xðtÞ; ¼
yðtÞ; ¼
3
X
j¼0
3
X
xj B3j ðtÞ und
yj B3j ðtÞ
j¼0
xðtÞ ¼ 0;5 3tð1 tÞ2 þ 1;2 3t2 ð1 tÞ þ ðp=2Þ t3
yðtÞ ¼ 0;5 3tð1 tÞ2 þ 3t2 ð1 tÞ þ t3
dx ¼ 100ðxðtÞ t p=2Þ=ðt p=2Þ %
dy ¼ 100ðyðtÞ sinðxðtÞÞÞ= sinðxðtÞÞ %:
Die Genauigkeit ist fr graphische Anwendungen wohl ausreichend.
Tabelle 6. Sttzpunkte Pj
Bild 30. Bezier-Kurven fr n=1 und n =3
I4.5
Methoden zur Darstellung analytisch nicht beschreibbarer geometrischer Objekte
A 39
Parameters u wird – anders als bisher – durch den Knotenvektor U ¼ ðu0 ; u1 ; . . . ; un Þ mit uj % ujþ1 in ganzzahlige Segmente
u 2 ½j; j þ 1 ¼ ½uj ; ujþ1 zerlegt. Wie bei den Bezier-Kurven
n
X
Pj Njk ðuÞ mit den normierten
gilt die Darstellung SðuÞ ¼
j¼0
Basisfunktionen der Ordnung k, die rekursiv berechnet werden:
1 fr u 2 ½j; j þ 1
Nj1 ðuÞ ¼
0 fr u 2
6 ½j; j þ 1
Bild 31. Definierendes Polygon P0 ; P1 ; P2 ; P3 und Sinuskurve angenhert als Bezier-Kurve (vgl. Tab. 8)
Tabelle 8. Bezier-Interpolation
4.5.4 B-spline-Kurven
Fr die B-spline-Kurve werden spezielle, nur stckweise definierte Polynome, die Basis-splines, als Bindefunktionen gewhlt. Sie verbinden die (n+1) Ecken Pj eines die gewnschte Kurve umschreibenden Polygons. Das Intervall des
und
Njk ðuÞ ¼
u j k1
j þ k u k1
N ðuÞ þ
N ðuÞ:
k1 j
k 1 jþ1
ð50Þ
Die Basisfunktion Njk ðuÞ ist ein Polynom vom Grade (k-1),
das gerade das Intervall [ j, j+k] berspannt und (k-2)mal stetig differenzierbar ist (Tab. 9).
Damit wird erreicht, daß eine Ecke die Gestalt der Kurve nur
lokal beeinflußt und die Kurve Knicke, Wendepunkte oder
Schleifen nachbilden kann, wenn das Polygon diese Eigenschaften aufweist. Das definierende Polygon wird durch die
Ordnung k=2 nachgebildet. Fr hhere Ordnungen fllt die
Kurve steifer aus. Die Kurve liegt in der konvexen Hlle des
k-Ecks der Sttzstellen Pj ; . . . Pjþk1 . Mit einfachen Knoten
ergibt die Aneinanderreihung der B-splines periodische Basisfunktionen mit der Periode k.
Werden m Knoten an der Stelle uj zusammengelegt, wird die
Reichweite der Basisfunktionen verringert und die Differenzierbarkeit an der Stelle uj auf (k- m-2) reduziert. so ergeben
sich nichtperiodische Basisfunktionen, die – im Sonderfall
des Knotenvektors aus je k-fachem Anfangs- und Endknoten
– eine Bernstein-Basis darstellen.
Tabelle 9. B-spline-Polynome der Ordnung k und ihre Kurven. (Es werden nur die in den Parameterabschnitten von Null verschiedenen Funktionen
angegeben)
A
A 40
A
Mathematik – 4 Geometrie
Fr die B-splines kann auch das umgekehrte Verfahren entwickelt werden: Sind am Anfang des Entwurfs einige Punkte
der gesuchten Kurve bekannt, so kann mit dem zugehrigen
Polygon so lange gearbeitet werden, bis die gewnschte Form
erreicht ist.
4.5.5 Flchendarstellung
Die Darstellung einer Flche erfolgt durch Linien, die auf der
Flche liegen, so daß die Techniken fr Kurven passend in
den dreidimensionalen Raum bertragen werden.
Ein Raumpunkt auf der Flche kann durch zwei unabhngige
Parameter u, v mittels dreier Funktionen fr die Koordinaten
beschrieben werden durch die allgemeine Form P ¼ ðx; y; zÞ ¼
ðxðu; uÞ; yðu; uÞ; zðu; uÞÞ. Es werden drei Kategorien von Flchen unterschieden:
Strakflchen, dargestellt durch die Kurven ebener Schnitte
mit der Flche, z. B. Hhenlinien in Landkarten, Wasserlinien
und dazu parallele Kurven im Schiffbau oder Rumpfquerschnitte im Schiff- und Flugzeugbau.
Mit geeigneten Bindefunktionen F folgt
Pðu; uÞ ¼
n
X
Pðuj ; uÞ Fj ðuÞ
fr Schnitte uj ¼ const
Pðu; uk Þ Fj ðuÞ
fr Schnitte uk ¼ const;ð51Þ
j¼0
oder
Pðu; uÞ ¼
m
X
k¼0
womit das Problem auf die einparametrische Kurvendarstellung reduziert ist.
Produktflchen sind aus der Interpolation von diskreten
Sttzpunkten darstellbar, die meist in einem Rechteckraster
angeordnet sind. Analog zur Kurvendarstellung nach Ferguson werden vier Randkurven ringfrmig zusammengefgt.
Die parametrischen partiellen Ableitungen in den Sttzstellen
sichern die stetigen Anschlsse, um die Kurven an beliebigen
Stellen innerhalb dieses Rahmens zu interpolieren
Pðu; uÞ ¼
n X
m
X
Pðuj ; uk Þ Fj ðuÞ Fk ðuÞ:
ð52Þ
j¼0 k¼0
Summenflchen werden aus zwei einparametrischen Kurvenfamilien gebildet. Es wird das die Flche berspannende
Liniennetz Pðuj ; uÞ und Pðu; uk Þ aufgebaut, die ebenfalls ber
rechteckigen (fr kugelige Flchen auch dreieckigen) Flchenrastern erklrt sind. Allgemein ergibt sich die Darstellung
Pðu; uÞ ¼ ðFj ðuÞ þ Fk ðuÞ Fj ðuÞ Fk ðuÞÞ Pj;k ðu; uÞ: ð53Þ
Der negative Term bercksichtigt die Tatsache, daß bei der
Kombination der beiden Kurvenscharen die Werte der
Schnittpunkte doppelt vorhanden sind und daher die Mittelebene subtrahiert werden muß.
Fr die Summenflche nach Coons folgt mit den Bezeichnungen des Bildes 32 das Flchenstck ber dem rechteckigen
Raster mit den vier Randkurven Pð0; uÞ; Pð1; uÞ; Pðu; 0Þ;
Pðu; 1Þ im ebenen Parameterbereich (u, u) 2 [0;1] [0;1].
Pðu; uÞ ¼Pð0; uÞ F0 ðuÞ þ Pð1; uÞ F1 ðuÞ
þ Pðu; 0Þ F0 ðuÞ þ Pðu; 1Þ F1 ðuÞ
Pð0;0Þ F0 ðuÞ F0 ðuÞ Pð0;1Þ F0 ðuÞ F1 ðuÞ
ð54Þ
Pð1;0Þ F1 ðuÞ F0 ðuÞ
Pð1;1Þ F1 ðuÞ F1 ðuÞ:
Die Fj ðuÞ; Fk ðuÞ sind wieder geeignete Bindefunktionen mit
Eigenschaften, die die Stetigkeitsforderungen zum jeweils benachbarten Flchenstck erfllen.
Bild 32. Flchenstck ber rechteckigem Raster, dargestellt durch
vier Sttzpunkte, Randkurven und partiellen Ableitungen in den
Sttzpunkten
Im einfachsten Fall der linearen Coonsschen Flche leisten
die linearen Lagrange-Polynome (A 10 Gl. (24)) den stetigen
Anschluß an die Nachbarflchen, wobei allerdings Knicke
auftreten knnen
F0 ðuÞ ¼ 1 u; F1 ðuÞ ¼ u;
F0 ðuÞ ¼ 1 u; F1 ðuÞ ¼ u:
ð55Þ
Um dies zu vermeiden, muß die Stetigkeit der ersten partiellen Ableitungen und die gemischte zweite Ableitung (Twistvektor genannt) durch Bindefunktionen eingefhrt werden
Pu ¼ ¶P=¶u; Pv ¼ ¶P=¶u; Puv ¼ ¶2 P=¶u ¶u:
Damit folgt nach umfangreicher Schreibarbeit fr die bikubische Coonsche Flche, mit den Hermite-Polynomen
F0 ðuÞ ¼ 2u3 3u2 þ 1; F1 ðuÞ ¼ 2u3 þ 3u2 ;
G0 ðuÞ ¼ u3 2u2 þ u;
G1 ðuÞ ¼ u3 u2
ð56Þ
mit u 2 ½0;1 und analog fr u 2 ½0;1 und den Randkurven
Pð0; uÞ, Pð1; uÞ, Pðu; 0Þ, Pðu; 1Þ sowie den partiellen Ableitungen Pu ; Pv ; Puv in Matrixschreibweise
2
3
F0 ðuÞ T
6
7
6 F1 ðuÞ 7
7
Pðu; uÞ ¼6
6 G ðuÞ 7
4 0
5
G1 ðuÞ
2
3
Pð0;0Þ Pð0;1Þ j Pv ð0;0Þ Pv ð0;1Þ
6
7
6 Pð1;0Þ Pð1;1Þ j Pv ð1;0Þ Pv ð1;1Þ 7
6
7
6
7 ð57Þ
6 5
7
6
7
6 P ð0;0Þ P ð0;1Þ j P ð0;0Þ P ð0;1Þ 7
4 u
5
u
uv
uv
Pu ð1;0Þ Pu ð1;1Þ j Puv ð1;0Þ Puv ð1;1Þ
3
2
F0 ðuÞ
7
6
6 F1 ðuÞ 7
7
6
6 G ðuÞ 7:
5
4 0
G1 ðuÞ
Die Bestimmung des Twistvektors macht in der Praxis die
meisten Schwierigkeiten und er wird fr nicht zu hohe Ansprche oft zu Null gesetzt. Es gibt dann etwas flach wirkende
Flchen.
Beispiel: Mit einer lngeren Rechnung an der Flche von Bild 33 mit
den untenstehenden Daten im Rechteck 0 % x % 1 und 0 % y % 2 soll
die Berechnung der Coonsschen Flche demonstriert werden:
I5.1
Analytische Geometrie der Ebene
A 41
Aus Gl. (57) folgt
2
3 2
3
3 2
F0 ðuÞ T 0 0 0 0
2u3 3u2 þ 1
6 F ðuÞ 7 6 1 1 0 0 7 6 2u3 þ 3u2
7
6 1
7 6
7
7 6
xðu; uÞ ¼ 6
76
7
7 6
4 G0 ðuÞ 5 4 1 1 0 0 5 4 u3 2u2 þ u 5
3
2
1 1 0 0
G1 ðuÞ
u u
2
3T 2 3
0
2u3 3 u2 þ 1
6 2u3 þ 3 u2
7 617
6
7 6 7
¼6
7 6 7 ¼ u:
4 u3 2 u2 þ u 5 4 1 5
u3 u2
1
Analog ergeben sich
yðu; uÞ ¼ 2v3 þ 3v2 þ u
und
zðu; uÞ ¼ u3 3u2 þ u þ 5u3 10u2 þ u þ 9:
Bild 33. Bikubische Coonssche Flche Pðu; uÞ ¼ ðxðu; uÞ; yðu; uÞ;
zðu; uÞÞ
Die Randkurven sind
zðu; 0Þ ¼ u3 3u2 þ u þ 9;
Pð0;0Þ ¼ ð0; 0; 9Þ; Pu ð0;0Þ ¼ ð1; 0; 1Þ; Pv ð0;0Þ ¼ ð0; 1; 1Þ
Pð0;1Þ ¼ ð0; 2; 5Þ; Pu ð0;1Þ ¼ ð1; 0; 1Þ; Pv ð0;1Þ ¼ ð0;1; 4Þ
Pð1;0Þ ¼ ð1; 0; 8Þ; Pu ð1;0Þ ¼ ð1;0; 2Þ; Pv ð1;0Þ ¼ ð0; 1; 1Þ
Pð1;1Þ ¼ ð1; 2; 4Þ; Pu ð1;1Þ ¼ ð1;0; 2Þ; Pv ð1;1Þ ¼ ð0;1; 4Þ
zðu; 1Þ ¼ u3 3u2 þ u þ 5;
zð0; uÞ ¼ 5u3 10u2 þ u þ 9;
zð1; uÞ ¼ 5u3 10u2 þ u þ 8:
und verschwindendem Twistvektor Puv ð0; 0; 0Þ.
In entsprechender Weise knnen auch Bezier- und B-spline-Flchen
entwickelt werden.
5 Analytische Geometrie
ben Symbol bezeichnet.
U. Jarecki, Berlin
5.1.2 Strecke
5.1 Analytische Geometrie der Ebene
5.1.1 Das kartesische Koordinatensystem
Zugrunde gelegt wird ein orthogonales kartesisches Koordinatensystem (O; e1 ; e2 ) in der positiv orientierten Ebene
(Bild 1). In einem Punkt O (Ursprung, Nullpunkt oder Anfangspunkt) sind zwei Vektoren e1 und e2 der Lnge 1 (Normiertheit) senkrecht zueinander angeheftet (Orthogonalitt).
e1 wird durch eine Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn um
p=2 mit e2 zur Deckung gebracht (positive Orientierung). Die
durch O verlaufenden und entsprechend e1 und e2 orientierten
Geraden heißen Koordinatenachsen: die x- oder AbszissenAchse und die y- oder Ordinaten-Achse.
Jeder Vektor a der Ebene lßt sich eindeutig als Linearkombination der Vektoren e1 und e2 darstellen: a ¼ ax e1 þ
ay e2 ¼ ðax ; ay Þ, wobei ax und ay seine Koordinaten sind.
Durch die Auszeichnung eines Punkts O als Koordinatenursprung kann außerdem jedem Punkt P der Ebene (Bild 1) umkehrbar eindeutig ein geordnetes Zahlenpaar (x, y) bzw. ein
!
Ortsvektor r ¼ OP ¼ xe1 þ ye2 mit den Punktkoordinaten x
und y zugeordnet werden, wobei x Abszisse und y Ordinate
von P bzw. r heißen. Punkt und Ortsvektor werden im folgenden als synonyme Begriffe verwendet und hufig mit demsel-
Bild 1. Ebenes kartesisches Koordinatensystem
Die Punkte r1 ¼ ðx1 ; y1 Þ und r2 ¼ ðx2 ; y2 Þ seien Anfangs- und
!
Endpunkt der (gerichteten) Strecke P1 P2 (Bild 2 a) Ein
!
Punkt r ¼ ðx; yÞ liegt genau dann auf P1 P2 , wenn fr t 2 [0, 1]
gilt r ¼ r1 þ tðr2 r1 Þ oder x ¼ x1 þ tðx2 x1 Þ und
y ¼ y1 þ tðy2 y1 Þ: Wird t ¼ t2 und 1 t ¼ t1 gesetzt, so lassen sich diese Gleichungen auch schreiben
x ¼ t1 x1 þ t2 x2
t þt ¼1
r ¼ t1 r1 þ t2 r2 oder
fr 1 2
y ¼ t1 y1 þ t2 y2
0 % t1 ; t2
Lnge. Sie betrgt
!
jP1 P2 j ¼ jr2 r1 j ¼
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ðx2 x1 Þ2 þ ðy2 y1 Þ2 ¼ l:
Richtung (Bild 2 a). Sie ist bestimmt durch den orientierten
!
Winkel a ¼ \ðe1 ; P1 P2 Þ, um den e1 gedreht werden muß, damit er die gleiche Richtung und den gleichen Richtungssinn
!
wie P1 P2 hat. a ist bis auf Vielfache von p bestimmt durch
cos a ¼ ðx2 x1 Þ=l; sin a ¼ ðy2 y1 Þ=l:
!
Bild 2. Strecke P1 P2 . a Darstellung; b Teilung
A