4. Vorlesung

Quantenmechanik I
Sommersemester 2013
QM Web–Page
http://einrichtungen.physik.tu-muenchen.de/T30e/
teaching/ss13/qm1.d.html
Hinweise
☞ Zusätzliche Übung: Aufgrund des großen Andrangs bieten
wir eine zusätzliche Montagsübung von 10 bis 12 Uhr in PH
3344 an.
Hinweise
☞ Zusätzliche Übung: Aufgrund des großen Andrangs bieten
wir eine zusätzliche Montagsübung von 10 bis 12 Uhr in PH
3344 an.
☞ Nächsten Mittwoch entfällt die Vorlesung & Zentralübung
(Tag der Arbeit)
Wellenfunktion
|Ψ(x, t)|2
a
W
b
=
Zb
=
Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in [a, b] zu finden
a
dx |Ψ(x, t)|2
Schrödinger–Gleichung
☞ Schrödinger-Gleichung in 1D
i~
∂
~2 ∂2
Ψ(x, t)
Ψ(x, t) = −
∂t
2m ∂x2
Schrödinger–Gleichung
☞ Schrödinger-Gleichung in 1D
i~
∂
~2 ∂2
Ψ(x, t)
Ψ(x, t) = −
∂t
2m ∂x2
☞ Schrödinger–Gleichung in 3D
i~
∂
~2 ~ 2
~2
Ψ(~r, t) = −
∇ Ψ(~r, t) = −
∆ Ψ(~r, t)
∂t
2m
2m
Schrödinger–Gleichung
☞ Schrödinger-Gleichung in 1D
i~
∂
~2 ∂2
Ψ(x, t)
Ψ(x, t) = −
∂t
2m ∂x2
☞ Schrödinger–Gleichung in 3D
i~
∂
~2 ~ 2
~2
Ψ(~r, t) = −
∇ Ψ(~r, t) = −
∆ Ψ(~r, t)
∂t
2m
2m
☞ Energie und Impuls als Operatoren
Energie E
Impuls
~p
↔
i ~ ∂t∂
~
↔ −i ~∇
Hamilton–Operator
☞ Hamilton–Operator für freies Teilchen
H = −
~2 ~ 2
~2
∇ = −
∆
2m
2m
Hamilton–Operator
☞ Hamilton–Operator für freies Teilchen
H = −
~2 ~ 2
~2
∇ = −
∆
2m
2m
➥ Schrödinger–Gleichung für freies Teilchen
i~
∂
Ψ(~r, t) = H Ψ(~r, t)
∂t
Energie
Hamilton–Operator
☞ Hamilton–Operator für freies Teilchen
H = −
~2 ~ 2
~2
∇ = −
∆
2m
2m
➥ Schrödinger–Gleichung für freies Teilchen
i~
∂
Ψ(~r, t) = H Ψ(~r, t)
∂t
☞ Hamilton–Operator für Teilchen in Potential V
H = −
~2 ~ 2
∇ + V(~r)
2m
Hamilton–Operator
☞ Hamilton–Operator für freies Teilchen
H = −
~2 ~ 2
~2
∇ = −
∆
2m
2m
➥ Schrödinger–Gleichung für freies Teilchen
i~
∂
Ψ(~r, t) = H Ψ(~r, t)
∂t
☞ Hamilton–Operator für Teilchen in Potential V
H = −
~2 ~ 2
∇ + V(~r)
2m
➥ Schrödinger–Gleichung für Teilchen in Potential V
∂
~2 ~ 2
i ~ Ψ(~r, t) = −
∇ + V(~r) Ψ(~r, t)
∂t
2m
Stationäre Systeme
☞ Annahme: V hängt nicht von der Zeit t ab
Stationäre Systeme
☞ Annahme: V hängt nicht von der Zeit t ab
➥ Separationsansatz
iEt
Ψ(~r, t) = ψ(~r) exp −
~
Stationäre Systeme
☞ Annahme: V hängt nicht von der Zeit t ab
➥ Separationsansatz
iEt
Ψ(~r, t) = ψ(~r) exp −
~
☞ Einsetzen
∂
i ~ Ψ(~r, t) = i ~
∂t
iE
−
~
iEt
ψ(~r) exp −
= E Ψ(~r, t)
~
Stationäre Systeme
☞ Annahme: V hängt nicht von der Zeit t ab
➥ Separationsansatz
iEt
Ψ(~r, t) = ψ(~r) exp −
~
☞ Einsetzen
∂
i ~ Ψ(~r, t) = i ~
∂t
iE
−
~
iEt
ψ(~r) exp −
= E Ψ(~r, t)
~
➥ Stationäre Schrödinger–Gleichung
H Ψ(~r, t) = E Ψ(~r, t)
Stationäre Systeme
☞ Annahme: V hängt nicht von der Zeit t ab
➥ Separationsansatz
iEt
Ψ(~r, t) = ψ(~r) exp −
~
☞ Einsetzen
∂
i ~ Ψ(~r, t) = i ~
∂t
iE
−
~
iEt
ψ(~r) exp −
= E Ψ(~r, t)
~
➥ Stationäre Schrödinger–Gleichung
H Ψ(~r, t) = E Ψ(~r, t)
➥ Eigenwertgleichung für ψ
H ψ(~r) = E ψ(~r)
Wellenpakete
☞ Wellenfunktion für ein freies Teilchen in 1D
p · x
Ep · t
p2
Ψp (x, t) = Cp exp i
exp −i
mit Ep =
~
~
2m
Wellenpakete
☞ Wellenfunktion für ein freies Teilchen in 1D
p · x
Ep · t
p2
Ψp (x, t) = Cp exp i
exp −i
mit Ep =
~
~
2m
☞ Superpositionsprinzip
~2 ∂2
∂
i~ +
Ψ(i) (x, t) = 0
(i = 1, 2)
∂t 2m ∂x2
∂
~2 ∂2 (1)
y i~ +
Ψ (x, t) + Ψ(2) (x, t) = 0
2
∂t 2m ∂x
Wellenpakete
☞ Wellenfunktion für ein freies Teilchen in 1D
p · x
Ep · t
p2
Ψp (x, t) = Cp exp i
exp −i
mit Ep =
~
~
2m
☞ Superpositionsprinzip
~2 ∂2
∂
i~ +
Ψ(i) (x, t) = 0
(i = 1, 2)
∂t 2m ∂x2
∂
~2 ∂2 (1)
y i~ +
Ψ (x, t) + Ψ(2) (x, t) = 0
2
∂t 2m ∂x
➥ „Kontinuierliche Superposition“
Z∞
i
p2
Ψ(x, t) =
dp Cp exp
t
px−
~
2m
−∞
ebenfalls Lösung der Schrödinger–Gleichung
Dreidimensionale Wellenpakete
☞ Verallgemeinerung auf 3D
Z
~p 2
i
3
~p · ~r −
Ψ(~r, t) =
d p C~p exp
t
~
2m
Z
Z∞
Z∞
Z∞
d p :=
dpx dpy dpz
3
−∞
−∞
−∞
Dreidimensionale Wellenpakete
☞ Verallgemeinerung auf 3D
Z
~p 2
i
3
~p · ~r −
Ψ(~r, t) =
d p C~p exp
t
~
2m
☞ Normierbarkeit:
Z
d3 p |C~p |2 < ∞
Wahrscheinlichkeitsdichte
☞ Interpretation:
I. Ψ(~r, t) ist die Wahrscheinlichkeits–Amplitude einer Welle,
welche die Bewegung in Raum und Zeit beschreibt.
Wahrscheinlichkeitsdichte
☞ Interpretation:
I. Ψ(~r, t) ist die Wahrscheinlichkeits–Amplitude einer Welle,
welche die Bewegung in Raum und Zeit beschreibt.
II. ρ(~r, t) = |Ψ(~r, t)|2 = Ψ∗ (~r, t) · Ψ(~r, t) ist die
Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, dass sich das Teilchen zur
Zeit t am Ort ~r aufhält.
Wahrscheinlichkeitsdichte
☞ Interpretation:
I. Ψ(~r, t) ist die Wahrscheinlichkeits–Amplitude einer Welle,
welche die Bewegung in Raum und Zeit beschreibt.
II. ρ(~r, t) = |Ψ(~r, t)|2 = Ψ∗ (~r, t) · Ψ(~r, t) ist die
Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, dass sich das Teilchen zur
Zeit t am Ort ~r aufhält.
☞ Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Teilchen sich zur Zeit t
am Ort ~r im Volumenelement d3 r befindet
w(~r, t) = ρ(~r, t) · d3 r = |Ψ(~r, t)|2 · d3 r
~r
dz
dx dy
Wahrscheinlichkeitsdichte
☞ Interpretation:
I. Ψ(~r, t) ist die Wahrscheinlichkeits–Amplitude einer Welle,
welche die Bewegung in Raum und Zeit beschreibt.
II. ρ(~r, t) = |Ψ(~r, t)|2 = Ψ∗ (~r, t) · Ψ(~r, t) ist die
Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, dass sich das Teilchen zur
Zeit t am Ort ~r aufhält.
☞ Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Teilchen sich zur Zeit t
am Ort ~r im Volumenelement d3 r befindet
w(~r, t) = ρ(~r, t) · d3 r = |Ψ(~r, t)|2 · d3 r
☞ Normierung
Z
Z
Z
!
d3 r ρ(~r, t) =
d3 r |Ψ(~r, t)|2 =
d3 r Ψ∗ (~r, t) Ψ(~r, t) = 1
Beispiel: Freies Teilchen in kubischer Box
☞ Wellenfunktion für festes ~p
i
~p · ~r − E~p t
Ψ~p (~r, t) = C~p exp
~
E~p = ~p 2 /(2m)
Beispiel: Freies Teilchen in kubischer Box
☞ Wellenfunktion für festes ~p
i
~p · ~r − E~p t
Ψ~p (~r, t) = C~p exp
~
☞ Normierung
Z
Z
!
3
1 =
d r ρ(~r, t) =
d3 r |C~p |2 = V · |C~p |2
V
V
Beispiel: Freies Teilchen in kubischer Box
☞ Wellenfunktion für festes ~p
i
~p · ~r − E~p t
Ψ~p (~r, t) = C~p exp
~
☞ Normierung
Z
Z
!
3
1 =
d r ρ(~r, t) =
d3 r |C~p |2 = V · |C~p |2
V
ei α
y C~p = √
V
V
Vektorraum L2
☞ Quadrat–integrable Funktionen
Z∞
f quadrat–integrabel :⇔
dx |f (x)|2 = endlich
−∞
Vektorraum L2
☞ Quadrat–integrable Funktionen
Z∞
f quadrat–integrabel :⇔
dx |f (x)|2 = endlich
−∞
☞ Vektorraum der quadrat–integrablen Funktionen


Z∞


2
→ ; dx |f (x)|2 = endlich
=
f :


L
R
C
−∞
Beispiel: Gaußsche Wellenpakete in 1D
☞ Wellenfunktion
Z∞
i
p2
t
Ψ(x, t) =
px−
dp Φ(p) exp
~
2m
−∞
"
1
Φ(p) = A exp −
2
p − p0
∆p
2 #
Gauß–Verteilung
|Φ(p)|2
∆p
p0
p
Fourier–Transformation
☞ Fourier–Transformierte von f ∈
Z
dx
b
f (k) =
√ e−i k·x f (x)
2π
L2
Fourier–Transformation
☞ Fourier–Transformierte von f ∈
Z
dx
b
f (k) =
√ e−i k·x f (x)
2π
☞ Fourier–Rücktransformierte
Z
dx
√ ei k·x b
f (k)
f (x) =
2π
L2
Fourier–Transformation
☞ Fourier–Transformierte von f ∈
Z
dx
b
f (k) =
√ e−i k·x f (x)
2π
☞ Fourier–Rücktransformierte
Z
dx
√ ei k·x b
f (k)
f (x) =
2π
L2
☞ Beachte: Verschiedene Konventionen in verschiedenen
Büchern
Fourier–Transformierte einer Gauß–Verteilung (I)
☞ Fourier–Transformierte einer Gauß–Verteilung ist wieder eine
Gauß–Verteilung
f (x) =
y b
f (k)
=
x2
1
p√
exp − 2
2λ
πλ
s
2 2
λ k
λ
√ exp −
2
π
Gauß–Verteilung: Neben–Rechnungen
Ψ(x, t) =
=
!
=
Z∞
−∞
Z∞
−∞
Z∞
−∞
i
dp Φ(p) exp
~
"
1
dp A exp −
2
p2
t
px−
2m
p − p0
∆p
2 #
exp
dp A exp − a p2 − 2b p + c
i
~
p2
t
px−
2m
Gauß–Verteilung: Neben–Rechnungen
Ψ(x, t) =
=
!
=
Z∞
−∞
Z∞
−∞
Z∞
−∞
i
dp Φ(p) exp
~
"
1
dp A exp −
2
p2
t
px−
2m
p − p0
∆p
2 #
exp
i
~
p2
t
px−
2m
dp A exp − a p2 − 2b p + c



a





b
Koeffizientenvergleich y






 c
=
=
=
1
it
+
2 (∆p)2 2m ~
p0
ix
+
2
2(∆p)
2~
2
1 p0
2 ∆p
Gauß–Verteilung: Neben–Rechnungen (II)
☞ Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte
Ψ(x, t) =
Ψ∗ Ψ =
r
π
exp Re(Z) + i Im(Z)
a
π
|A|2
exp 2 · Re(Z)
|a|
A
Z = Re(Z) + i Im(Z) =
b2
−c
a
Gauß–Verteilung: Neben–Rechnungen (II)
☞ Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte
Ψ(x, t) =
Ψ∗ Ψ =
r
π
exp Re(Z) + i Im(Z)
a
π
|A|2
exp 2 · Re(Z)
|a|
A
☞ Vereinfachungen
Re Z =
=
1
1
2
Re b − a c − Im
Im b2 − a c
Re
a
a
(∆p)2
p 2 −1
p0
0
~2
2
t
x
+
t
x
−
2
2
m
m
t2 (∆p)4
|
{z
}
1+
m2 ~ 2
p0 2
= x−
t
m
Gauß–Verteilung: Neben–Rechnungen (III)
☞ Wahrscheinlichkeitsdichte
" 2 #
x − v0 t
2
2 π
exp −
|Ψ(x, t)| = |A|
|a|
∆x(t)
mit
v0
=
∆x(t)
=
p0
m s
2
(∆p)2
~
1+ t
∆p
m~
Gauß–Verteilung: Neben–Rechnungen (III)
☞ Wahrscheinlichkeitsdichte
" 2 #
x − v0 t
2
2 π
exp −
|Ψ(x, t)| = |A|
|a|
∆x(t)
mit
v0
=
∆x(t)
=
p0
m s
2
(∆p)2
~
1+ t
∆p
m~
☞ Normierung:
Z
!
dx |Ψ(x, t)|2 = 1
Gauß–Verteilung: Neben–Rechnungen (III)
☞ Wahrscheinlichkeitsdichte
" 2 #
x − v0 t
2
2 π
exp −
|Ψ(x, t)| = |A|
|a|
∆x(t)
mit
v0
=
∆x(t)
=
p0
m s
2
(∆p)2
~
1+ t
∆p
m~
☞ Normierung:
Z
!
dx |Ψ(x, t)|2 = 1
➥ Wahrscheinlichkeitsdichte
" 2 #
1
x − v0 t
ρ(x, t) = |Ψ(x, t)| = √
exp −
∆x(t)
π ∆x(t)
2
Zerfliessen einer Gauß–Verteilung
|Ψ(x)|2
x
zurück
Zerfliessen einer Gauß–Verteilung
|Ψ(x)|2
x
zurück
Zerfliessen einer Gauß–Verteilung
|Ψ(x)|2
x
zurück
Zerfliessen einer Gauß–Verteilung
|Ψ(x)|2
x
zurück
Zerfliessen einer Gauß–Verteilung
|Ψ(x)|2
x
zurück
Zerfliessen einer Gauß–Verteilung
|Ψ(x)|2
x
zurück
Zerfliessen einer Gauß–Verteilung
|Ψ(x)|2
x
zurück
Zerfliessen einer Gauß–Verteilung
|Ψ(x)|2
x
zurück
Zerfliessen einer Gauß–Verteilung
|Ψ(x)|2
x
zurück
Zerfliessen einer Gauß–Verteilung
|Ψ(x)|2
x
zurück
Zerfliessen einer Gauß–Verteilung
|Ψ(x)|2
x
zurück
Zerfliessen einer Gauß–Verteilung
|Ψ(x)|2
x
zurück
Zerfliessen einer Gauß–Verteilung
|Ψ(x)|2
x
zurück
Zerfliessen einer Gauß–Verteilung
|Ψ(x)|2
x
zurück
Zerfliessen einer Gauß–Verteilung
|Ψ(x)|2
x
zurück
Zerfliessen einer Gauß–Verteilung
|Ψ(x)|2
x
zurück
Zerfliessen einer Gauß–Verteilung
|Ψ(x)|2
x
zurück
Zerfliessen einer Gauß–Verteilung
|Ψ(x)|2
x
zurück
Zerfliessen einer Gauß–Verteilung
|Ψ(x)|2
x
zurück
Zerfliessen einer Gauß–Verteilung
|Ψ(x)|2
x
zurück
Zerfliessen einer Gauß–Verteilung
|Ψ(x)|2
x
zurück
Zerfliessen einer Gauß–Verteilung
|Ψ(x)|2
x
zurück
Zerfliessen einer Gauß–Verteilung
|Ψ(x)|2
x
zurück
Zerfliessen einer Gauß–Verteilung
|Ψ(x)|2
x
zurück
Zerfliessen einer Gauß–Verteilung
|Ψ(x)|2
x
zurück
Gruppen- & Phasengeschwindigkeit
☞ Gruppengeschwindigkeit eines Wellenpakets
dE(p)
d(~ ω)
v0 =
=
dp p=p0
d(~ k)
Gruppen- & Phasengeschwindigkeit
☞ Gruppengeschwindigkeit eines Wellenpakets
dE(p)
d(~ ω)
v0 =
=
dp p=p0
d(~ k)
E(p) =
p2
2m
Gruppen- & Phasengeschwindigkeit
☞ Gruppengeschwindigkeit eines Wellenpakets
dE(p)
p0
d(~ ω)
v0 =
=
=
dp p=p0
d(~ k)
m
Gruppen- & Phasengeschwindigkeit
☞ Gruppengeschwindigkeit eines Wellenpakets
dE(p)
p0
d(~ ω)
v0 =
=
=
dp p=p0
d(~ k)
m
☞ Phasengeschwindigkeit: E(p)/p = p/(2m)
δ–Funktion aus Lorentz–Funktion
1
ε
δ(x − a) =
lim
π εց0 ε2 + (x − a)2
|
a
δ–Funktion aus Lorentz–Funktion
1
ε
δ(x − a) =
lim
π εց0 ε2 + (x − a)2
|
a
δ–Funktion aus Lorentz–Funktion
1
ε
δ(x − a) =
lim
π εց0 ε2 + (x − a)2
|
a
δ–Funktion aus Sinus–artiger Funktionen
1
sin (ℓ · (x − a))
δ(x − a) =
lim
π ℓ→∞
x−a
|
a
δ–Funktion aus Sinus–artiger Funktionen
1
sin (ℓ · (x − a))
δ(x − a) =
lim
π ℓ→∞
x−a
|
a
δ–Funktion aus Sinus–artiger Funktionen
1
sin (ℓ · (x − a))
δ(x − a) =
lim
π ℓ→∞
x−a
|
a