Maßzahlen, Verhältniszahlen, Indexzahlen

Kapitel 4
Maßzahlen, Verhältniszahlen,
Indexzahlen
4.1
Maßzahlen
Ökonomische und andere Sachverhalte werden oft durch Maßzahlen beschrieben. Jede Maßzahl muss dabei ihren Ausgangspunkt von einer sachlichen Fragestellung nehmen, die auf die
quantitative Kennzeichnung irgendeines Sachverhaltes zielt. Eine sachliche Aufgabe und die aus
ihr erwachsende Fragestellung sind primär; aus ihnen - und nur aus ihnen - sind die Kriterien
für ihren Aufbau und die Erzeugung einer Maßzahl zu entwickeln.
Forderung: Äquivalenten Sachverhalten sollen gleiche Werte der Maßzahl entsprechen. Dabei
wird man oft jene Sachverhalte als äquivalent ansehen, welche gleiche Entscheidungen als Konsequenz nach sich ziehen.
Bsp 4.1.1: Daten aus österreichischen Volkzählung von 1951
Haushalte (ohne Anstaltshaushalte)
2205000
Wohnungen (ohne Notwohnungen)
2057000
Wohnungsdefizit
148000
Diese letzte Zahl ist nur beschränkt aussagefähig; denn es muss berücksichtigt werden, dass
leerstehende Wohnungen in Landgemeinden das Wohnungsdefizit in den Städten nicht voll ausgleichen.
Bsp 4.1.2: Die Produktion zweier Spinnereien soll verglichen werden. Da Spinnerei A den Schwerpunkt ihrer Produktion bei den niedrigen Nummern (dicke Garne), Spinnerei B bei den höheren
Nummern (dünne Garne) hat, ist die Vergleichbarkeit nicht von vorneherein gegeben. Sie kann
dadurch erreicht werden, dass man mittels Äquivalenzzahlen auf ein Standardprodukt, z.B.
Ne 20, umrechnet:
Tabelle 4.1:
Ne
Äquivalenzzahl
16
20
24
40
Summe
0.74
1.00
1.29
2.57
x
Produktion in t
A
B
45.
15.
20.
25.
10.
40.
5.
50.
80.
130.
Standardprod. in t
A
B
33.
11.
20.
25.
13.
52.
13.
129.
79.
217.
17
Interpretation der Äquivalenzzahl 0.74: Die Produktion von 1 t Ne 16 ist gleichwertig mit der
Produktion von 0.74 t Ne 20. Damit ist der Produktion von 45.t Ne 16 gleichwertig mit der
Produktion von 45 · 0.74 t = 33. t Ne 20.
4.2
Verhältniszahlen
Verhältniszahl := Quotient zweier Maßzahlen (evtl. · 100)
Arten von Verhältniszahlen
a) Gliederungszahlen: Eine Reihe von Teilgrößen wird auf eine übergeordnete Größe als
gemeinsame Basis bezogen.
Ware A
Beispiele: relative und prozentuale Häufigkeiten, Umsatz
Gesamtumsatz · 100
b) Beziehungszahlen: Zwei verschiedenartige, aber in sachlich sinnvoller Beziehung stehende Größen werden zueinander ins Verhältnis gesetzt.
Beispiele:
Jahresumsatz
Kapitalumschlag := durchschnittlich
investiertes Kapital
Kraftfahrzeugdichte in BW :=
Zahl der in BW zugelassenen Kraftfahrzeuge
Bevölkerungszahl von BW
Stromverbrauch
Produktion
c) Messzahlen: Eine Reihe gleichartiger Größen wird auf dieser Größen (oder auf einen
Durchschnitt) als gemeinsame Basis bezogen.
Beispiele:
Brutto-Sozialprodukt im Jahre...
· 100
Brutto-Sozialprodukt im (Bezugs-)Jahr 1990
Arbeitslosenzahl im Monat...
Arbeitslosenzahl im Jahresdurchschnitt · 100
Zahl der Arbeiter in der Fertigung
Zahl der Angestellten in der Fertigung · 100
Bem: Gliederungs- und Messzahlen werden meist in % angegeben
Beispiel 4.2.1
Jahr
1991
1992
1993
Produktion
in t
2400
2800
3000
Meßzahl in %
1991 = 100
100
117.
125.
Meßzahl in %
1993 = 100
80.
93.
100
(Es wurde auf ganze % gerundet)
zum Vorjahr · 100
Wachstumsrate(in %) := Differenz
Wert im Vorjahr
18
Wachstumsrate in %
17.
7.
Beispiel 4.2.2 Die Aussage ”Der Platz neben dem Fahrer im PKW ist bei einem Unfall am
gefährlichsten” beruht auf der Berechnung der folgenden Gliederungszahl
Prozentuale Häufigkeit der Verkehrsopfer auf dem Platz neben dem Fahrer
=
Zahl der Verkehrsopfer auf dem Platz neben dem Fahrer
· 100
Zahl der Verkehrsopfer insgesamt
Eine bessere Auskunft über den Unfallrisiko liefert der Vergleich der Beziehungszahlen:
Prozentuale Häufigkeit der Verkehrsopfer auf dem Platz i
Prozentuale Häufigkeit der Besetzung des Platzes i
Beispiel 4.2.3: Illustration zur Verkleinerung des Ausfuhr-Koeffizienten bei der Zusammenfassung von Wirtschaftsgebieten :
Situation 1: 2 Staaten mit BSP (= Bruttosozialprod.) von je 100 Einheiten:
Abb 4-1
6
5
5
5
6
5 -
5
5
5 -
5
?
?
Ausfuhr-Koeffizient := Ausfuhr
BSP · 100 = 20(%) bei beiden Staaten
Situation 2: Bundesstaat aus den beiden Staaten: Ausfuhr–Koeffinzient =
30
200
· 100 = 15(%)
Bsp 4.2.4 für die Standardisierung von Maß– bzw. Verhältniszahlen
Wohlstandsstufe
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Mtl. Gesamtausgabe
pro Vollperson
von . . . bis unter . . .
(in ÖS)
unter 400
400 - 600
600 - 800
800 - 1000
1000 - 1200
1200 - 1400
1400 - 1600
1600 - 1800
1800 -2000
2000 - 2200
2200 - 2400
ab 2400
Anteil d. Ernährungsausgaben in %
Arbeiter
Angestellte
(Ei1 /G1i ) · 100 (Ei2 /G2i ) · 100
74.9
67.9
62.9
60.3
55.6
53.3
52.6
48.8
46.0
43.0
43.4
39.9
39.8
38.4
40.3
32.0
42.2
33.6
30.4
35.1
35.6
34.0
×
27.9
Aufgliederung d. Gesamtausgaben
nach Wohlstandsstufen in %
Arbeiter
Angestellte
gi1 · 100
gi2 · 100
1.9
0.3
18.8
9.4
23.2
17.9
21.1
17.8
15.6
16.2
11.5
11.2
3.5
5.4
2.2
2.9
1.0
7.4
0.8
2.4
0.4
2.3
0.0
6.8
Diese Daten stammen aus einer Konsumerhebung in Wien von 1954/55.
Erklärung der Größen in Bsp 4.2.4:
19
G1i
:= Gesamtausgaben der Arbeiter in Wohlstandsstufe i
G2i
:= Gesamtausgaben der Angestellten in Wohlstandsstufe i
G1i
Gesamtausgaben der Arbeiter in Wohlstandsstufe i
:=
=
11
Gesamtausgaben der Arbeiter insgesamt
P
G1j
gi1
j=1
gi2 :=
G2i
Gesamtausgaben der Angestellten in Wohlstandsstufe i
=
12
Gesamtausgaben der Angestellten insgesamt
P
G2j
j=1
Ei1
Ei2
:= Ernährungsausgaben der Arbeiter in Wohlstandsstufe i
:= Ernährungsausgaben der Angestellten in Wohlstandsstufe i
Durchschnittliche Anteile der Ernährungsausgaben:
Arbeiter: 100
12
P
i=1
E1
gi1 Gi1 = 52.5(%), Angestellte: 100
i
Im letzten Summanden der ersten Summe ist
1 = 0 ebenfalls = 0 setzen.
wegen g12
12
P
E2
gi2 Gi2 = 44.6(%).
i=1
1 /G1
E12
12
i
nicht erklärt. Trotzdem kann man ihn
Problem: Wie kann man aus dieser Tabelle bei Arbeitern und Angestellten ein Maß für den
unterschiedlichen Anteil der Ernährungsausgabe errechnen, das nicht von der Verschiedenheit
der Wohlstandsstruktur abhängt? M.a.W.: Wie hoch wären etwa die durchschnittlichen Anteile
der Ernährungsausgaben, wenn bei Arbeitern und Angestellten die gleiche Verteilung auf die
einzelnen Ausgabenklassen vorläge?
Um ein solche Maß zu bekommen, muss man die unterschiedliche Wohlstandsstruktur künstlich
eliminieren: Man fixiert eine bestimmte Wohlstandsstruktur, d.h. man ordnet jeder Ausgabeklasse ein bestimmtes Gewicht gi zu und berechnet damit das gewogene arthrimetische Mittel
(vgl. (3.1.3)) aus den Anteilen der Ernährungsausgaben bei den Arbeitern bzw. Angestellten:
(4.2.1)
12
P
E1
i=1
gi Gi1 bzw.
i
12
P
i=1
E2
gi Gi2 mit gi ≥ 0 und
i
12
P
gi = 1.
i=1
Wie sind nun Gewichte gi geeignet zu wählen? (G1i , G2i sind hier keine Gewichte). Eine Möglichkeit ist, für gi die Wohlstandsstruktur der Arbeiter zugrunde zu legen, d.h. gi = gi1 zu wählen:
(4.2.2)
100
12
P
i=1
E1
gi1 Gi1 = 52.5(%),
100
i
12
P
i=1
E2
gi1 Gi2 = 49.4(%)
i
Dieses besagt: Wenn bei den Angestellten die gleiche Vert. auf die einzelnen Ausgabeklassen
vorläge wie bei der Arbeitern, würden sie im Durchschnitt 49.4% für Ernährung ausgeben,
während die Arbeiter 52.5% ausgeben. Der Unterschied zwischen Arbeitern und Angestellten ist
also zu einem beträchtlichen Teil echt, d.h. nicht bloß auf Unterschiede in der Wohlstandsverteilung zurückzuführen. Eine weitere Möglichkeit wäre, gi = gi2 zu wählen, also die Wohlstandsstruktur der Angestellten zugrunde zu legen. Dann gibt es aber bei diesem Beispiel Schwierigkeiten mit dem letzten Summanden in der ersten Summe in (4.2.1), weil der nicht erklärte Wert
1 /G1 mit einem Faktor g
E12
12 6= 0 multipliziert würde.
12
20
4.3
Einführung der verschiedenen Indizes
Indizes (=Indexzahlen) charakterisieren den Verlauf mehrerer sachlich zusammengehörender
Reihen in einer Zahlenreihe.
Allgemeine Bezeichnungen:
n: Anzahl der Warenarten
q0,k : Menge der k-ten Warenart im Basisjahr
p0,k : Preis der k-ten Warenart im Basisjahr pro ME
qj,k : Menge der k-ten Warenart im j-ten Berichtsjahr
pj,k : Preis der k-ten Warenart im j-ten Berichtsjahr pro ME
Beispiel 4.3.1: Produktion eines Kleinbetriebes:
Warenart
k
1
2
3
Menge
q0, k
10 000
5 000
1 000
Basisjahr
Preis pro ME
p0, k
60.100.200.-
1. Berichtsjahr
Menge Preis pro ME
q1, k
p1, k
11 000
62.5 000
110.900
200.-
2. Berichtsjahr
Menge Preis pro ME
q2, k
p2, k
11 000
68.5 000
110.900
205.-
ME:=Mengeneinheit
Wertindex (z.T. = Umsatzindex):
(4.3.1)
n
P
W0,j := k=1
n
P
pj,k ·qj,k
· 100
P
Pneuer Preis · neue Menge · 100)
(kurz:
alter Preis · alte Menge
p0,k ·q0,k
k=1
Der Wertindex beschreibt die Änderung des Gesamtwertes (z.B. Umsatz)
Preisindex nach Laspeyres:
(4.3.2)
n
P
pj,k ·q0,k
P = k=1
n
L 0,j
P
· 100
(kurz:
p0,k ·q0,k
k=1
P
Pneuer Preis · alte Menge · 100)
alter Preis · alte Menge
Beschreibung der Preisänderung auf der Basis der alten Mengen
Preisindex nach Paasche:
n
(4.3.3)
P
P
pj,k ·qj,k
k=1
n
P0,j = P
· 100
(kurz:
p0,k ·qj,k
k=1
P
Pneuer Preis · neue Menge · 100)
alter Preis · neue Menge
Beschreibung der Preisänderung auf der Basis der neuen Mengen
Mengenindex nach Laspeyres:
(4.3.4)
n
P
L
p0,k ·qj,k
k=1
n
Q0,j = P
· 100
(kurz:
p0,k ·q0,k
k=1
P
Palter Preis · neue Menge · 100)
alter Preis · alte Menge
Beschreibung der Produktionsentwicklung auf der Basis der alten Preise
21
Mengenindex nach Paasche:
(4.3.5)
n
P
k=1
n
P Q0,j = P
pj,k ·qj,k
· 100
(kurz:
pj,k ·q0,k
k=1
P
Pneuer Preis · neue Menge · 100)
neuer Preis · alte Menge
Beschreibung der Produktionsentwicklung auf der Basis der neuen Preise
Vorteil der Indizes nach Laspeyres: feste Bezugsgrößen
Vorteil der Indizes nach Paasche: aktuelle Bezugsgrößen
Bem.: Statt Jahren werden häufig andere Zeitabschnitte oder Perioden gewählt wie z.B. Monate.
4.4
4.4.1
Besondere Indexprobleme
Formale Eigenschaften
Ik,l sei einer in 4.3 eingeführten Indizes mit dem Berichtsjahr l bezogen auf das Basisjahr k
(statt ”0”wie oben). Die folgenden Regeln gelten (soweit sinnvoll) für Messzahlen exakt. Gelten
sie auch für Indexzahlen?
1
1
I0,j )( 100
Ij,0 ) = 1 ?
a) Zeitumkehrprobe: ( 100
1
1
1
I0,j ) = ( 100
I0,i )( 100
Ii,j ) ?
b) Rundprobe: ( 100
1
1
1
c) Faktorumkehrprobe:( 100
W0,j ) = ( 100
P0,j )( 100
Q0,j ) ?
Die Faktorumkehrprobe prüft also, ob die für eine Warenart gültige Beziehung
”Umsatz = Preis · Menge”
auch auf die entspechenden Indizes zu übertragen ist.
Die Zeitumkehr- und Rundprobe gelten für den Wertindex, der eigentlich eine einfache Messzahl ist, exakt. Für die andere Indizes gelten sie i.a. nur näherungsweise. Ebenso gilt die Faktorumkehrprobe exakt, wenn für einen Index eine Laspeyres–Formel und für den anderen eine
Paasche–Formel verwendet wird, sonst i.a. nur näherungsweise.
4.4.2
Einige Verfahren zur Behandlung von Indexreihen
Bsp. für eine Umbasierung: Von 1963 bis 1970 seien Indizes mit dem Basisjahr 1962 berechnet, ab 1971 aber mit dem Basisjahr 1970. Um aber eine einheitliche Indexreihe zu bekommen,
werden die Indizes auf das Jahr 1962 umbasiert. Dabei berechnet man die Näherung über Rundprobe:
(4.4.1)
1
∗
I1962,1970 )I1970,1971
:= ( 100
I1962,1971 ≈ I1962,1971
1
∗
I1962,1972 ≈ I1962,1972 := ( 100 I1962,1970 )I1970,1972
..
.
Einführung einer neuen Warenart:
Zu den bisherigen Warenarten kommt von dem Jahr j = 1 ab eine neue Warenart mit den
folgenden Daten hinzu:
pj,n+1 , qj,n+1 mit j ≥ 1, q0,n+1 = 0, p0,n+1 ist sinnlos. Ohne Schwierigkeiten kann der Mengenindex nach Paasche gebildet werden:
22
n
P
pj,k ·qj,k +pj,n+1 ·qj,n+1
k=1
n
P Q0,j = P
(4.4.2)
pj,k ·q0,k +pj,n+1
|
k=1
· q0,n+1
{z
100
}
=0
Der Mengenindex nach Laspeyres würde die sinnlose Größe p0,n+1 enthalten. Das Gleiche gilt für
den Preisindex nach Paasche. Andererseits berücksichtigt der Preisindex nach Laspeyres wegen
q0,n+1 = 0 die neue Warenart nicht und ist daher ab j = 2 nicht mehr brauchbar.
Häufig berechnet man die Indizes nach folgende Formeln:
(4.4.3)
P0,j
 P
n

p1,k qk



k=1


100
n

P


p0,k qk

k=1
=
n
P


p q +p
q

 k=1 j,k k j,n+1 n+1


100

n
P



qn+1
p0,k qk +p∗
für
j=1
für
j = 2, 3, ...
0,n+1
k=1
mit dem festen Gewichtungsschema q1 , q2 , · · · , qn+1 und dem fiktiven Preis für Warenart (n+1)
in dem Jahr j = 0
p∗0,n+1 = p1,n+1 P100
0,1
(4.4.4)
Diese Formel beruht auf der Annahme, dass die fiktiven Preisentwicklung der Warenart (n + 1)
von 0 nach 1 genau gleich der gemeinsamen Preisentwicklung der bisherigen Warenarten 1, · · · , n
ist, dass also gilt:
P0,1
100
Bei der Mengengewichtung erscheint es zweckmäßig, in Anlehnung an die Laspeyres-Formel für
q1 , . . . , qn die bisher verwendeten Gewichte beizubehalten und für qn+1 die Menge der neuen
Warenart (n + 1) aus einem Jahr nach Beendigung die Übergangsphase zu übernehmen. Ist
j = 0 als Basisjahr gewählt worden und ist die Übergangsphase auf das Jahr j = 1 beschränkt,
so ergibt das die folgende Wahl der Mengengewichte.
!
p1,n+1 = p∗0,n+1 ·
(4.4.5)
qk = q0,k
für
k = 1, . . . , n;
qn+1 = q2,n+1
Substitution: Bei Warenart n kommt von Jahr j = 0 zu Jahr j = 1 eine neue Qualität auf
den Markt, die die bisher gängige Qualität verdrängt (Bsp.: neues Kfz.-Modell). Dabei sollen
folgende Bezeichnungen für die Mengen bzw. Preise verwendet werden:
Jahr 0 :
Jahr 1 :
Jahr j(j ≥ 2) :
n Warenarten mit q0,k und p0,k (k = 1, . . . , n)
(n − 1) Warenarten mit q1,k und p1,k (k = 1, . . . , n − 1)
Warenart n in der alten Qualität mit q1,n und p1,n
Warenart n in der neuen Qualität mit q̂1,n und p̂1,n
(n − 1) Warenarten mit qj,k und pj,k (k = 1, . . . , n − 1)
Warenart n in der neuen Qualität mit q̂j,n und p̂j,n
Die durch die Qualitätsänderung bei ”n” verursachte Preisänderung soll bei der Preisberechnung
des Preisindexes eliminiert, also nicht als echte Preisänderung registriert werden.
23
(4.4.6)
P0,j =
 n−1
P


p1,k qk +p1,n qn



k=1

· 100

n−1

P


p0,k qk +p0,n qn

für j = 1
k=1
n−1
P


pj,k qk +p̂j,n q̂n



k=1


· 100

n−1
P


p0,k qk +p̂∗ q̂n

für j = 2, 3, . . .
0,n
k=1
q1 , . . . , qn bzw. q1 , . . . , qn−1 , q̂n sind feste Gewichtungsschemata mit qn als Bezugsmenge von Warenart n in der alten und q̂n in der neuen Qualität, die durch folgenden fiktiven Preis ergänzt
werden :
p
0,n
p̂∗0,n := p̂1,n p1,n
(4.4.7)
Diese Formel beruht hier auf der Annahme, dass die fiktive Preisentwicklung für die Warenart
n bei der neuen Qualität von 0 nach 1 genau gleich der (realen) Preisentwicklung bei der alten
Qualität ist, dass also gilt:
p̂1,n ! p1,n
p̂∗0,n = p0,n
Bei der Mengenentwicklung erscheint es wie oben zweckmäßig für q1 , . . . , qn die bisher verwendeten Gewichte beizubehalten und für q̂n die Menge von Warenart n in der neuen Qualität aus
einem Jahr nach Beendigung der Übergangsphase zu nehmen. Unter der gleichen Voraussetzungen wie oben ergibt das:
(4.4.8)
4.5
qk = q0,k
für k = 1, . . . , n;
q̂n = q̂2,n
Einige regelmäßig veröffentlichte Indizes
a) Preisindex für die Lebenshaltung
Eine Berechnungsgrundlage dieses Indexes ist der Warenkorb. Das ist die Bezeichnung
für die Zusammenfassung aller Warenarten mit den zugehörigen durchschnittlichen Warenmengen bezogen auf einen Haushalt. Der Durchschnitt wird dabei über eine genau
festgelegte Verbrauchgruppe gebildet, z.B. über aller privaten Haushalte oder über alle
2-Personen-Haushalte von Renten- und Sozialhilfeempfängern.
Zur Ermittlung der Preise der Waren aus dem Warenkorb muss eine gesonderte statistische
Untersuchung durchgeführt werden.
b) Index der Großhandelspreise
c) Index der industriellen Bruttoproduktion
Bei diesem Index werden Mengen mit Bruttoproduktionswerten pro ME (= Mengeneinheit) gewichtet.
Bruttoproduktionswert =
wirtschaftl. Umsatz
+
− Bestandsveränderungen an Halbfertig- und Fertigerzeugnissen
+ selbsterstellte Anlagen
d) Index der industriellen Nettoproduktion
Hier werden Mengen mit Nettoproduktionswerten pro ME gewichtet.
24
Nettoproduktionswert =
Bruttoproduktionswert − Materialverbrauch
− vergebene Lohnarbeiten − bezogene Handelsware
Ein noch bessere Maß für die Eigenleistung ist die Wertschöpfung, die aber wegen des
wesentlich höheren Erhebungsaufwandes in d) nicht verwendet wird.
Wertschöpfung =
4.6
Nettoproduktionnswert − sonst. Vorleistungen
− Abschreibung − indirekte Steuern zuzüglich Subventionen
Subindizes
Im Statistischen Jahrbuch für die BRD werden neben dem allgemeinen Preisindex für die Lebenshaltung Subindizes für einzelne Verbrauchsgruppen veröffentlicht, und zwar (nach einer
früheren Systematik) für Ernährung, Getränke und Tabakwaren, Wohnung, Heizung und Beleuchtung, Hausrat, Bekleidung, Reinigung und Körperpflege, Bildung und Unterhaltung, Verkehr. (Für die neue Systematik vgl. neuere Ausgaben des Stat. Jahrbuchs).
Mit diesen Subindizes kann die Berechnung des Gesamtindexes etwas vereinfacht werden, wenn
man die Anteile der einzelnen Verbrauchsgruppen an den Gesamtausgaben für die Lebenshaltung
kennt. Wie das geschieht, soll für die Aufteilung in zwei Verbrauchsgruppen I und II durchgeführt
werden, die die Warenarten 1, . . . , m bzw. (m + 1), . . . , n enthalten sollen. Mit dieser Aufteilung
kann der Gesamtpreisindex P0,j z.B. für j = 1 in folgender Weise umgerechnet werden, wobei
q1 , . . . , qn feste Bezugsmengen sein sollen.
1
P0,1 =
100
m
P
p1,k qk +
k=1
n
P
p1,k qk
k=m+1
n
P
k=1
p0,k qk
=
m
P
k=1
n
P
k=1
p0,k qk
p0,k qk
m
P
· k=1
m
P
p1,k qk
+
p0,k qk
k=1
n
P
p0,k qk
k=m+1
n
P
p0,k qk
k=1
n
P
k=m+1
· P
n
p1,k qk
p0,k qk
k=m+1
Die jeweils zweiten Brüche in den beiden Summanden sind gerade die Preisindizes für die Ver′ bzw. P ′′ bezeichnen. Sie sind also Subindizes. Die
brauchsgruppen I und II, die wir mit P0,1
0,1
jeweils ersten Brüche lassen sich als die Anteile der Verbrauchsgruppen I und II an den (u. U.
fiktiven) Gesamtausgaben deuten. Diese Anteile bezeichnen wir mit g′ bzw. g′′ . Das ergibt für
j = 1 und analog für allgemeine j:
(4.6.1)
′′
′
+ g′′ · P0,j
P0,j = g′ · P0,j
Wegen der Eigenschaften g′ , g′′ ≥ 0 und g′ + g′′ = 1 ist (4.6.1) ein gewogenes arithmetisches
Mittel (vgl (3.1.3)), mit dem man hier und analog für den Fall von mehr als zwei Verbrauchsgruppen aus den Subindizes und den Ausgabenanteilen den Gesamtindex berechnen kann.
Die Berechnung der Subindizes erfolgt z. T. deshalb, weil sie ein gewisses Interesse besitzen, z.
T. auch deshalb, weil gewisse Manipulationen (Änderungen im Gewichtungsschema, Substitutionen usw.) durch das Vorhandensein von Subindizes erleichtert werden. Subindizes sind nicht
auf die behandelte Anwendung beschränkt, sondern auch auf andere Bereiche anwendbar.
25