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Die Ebene- Aufstellen in PF;NVF- Kreuzprodukt- parmeterfrei
Winkelberechnungen: Gerade-Ebene
Abstandsberechnungen- Raum und Ebene : Gerade-Ebene
1.) Berechne aus der Parameterform der Ebene eine parameterfreie Form der Ebene, also
NVF der Ebene- auf 2 verschiedene Arten:
 7
  3
 7
 
 
 
a) X    1   s    2   t    2 
 1
  4
  8
 
 
 
 1
  5
  1
 
 
 
b) X    5   s    1   t    1 
  6
  2
  3
 
 
 
  3
  8
  3
 
 
 
c) X    3   s    5   t    2 
 7
  2
  4
 
 
 
Berechne weiters den Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den beiden
Richtungsvektoren der Ebene aufgespannt wird.
2.) Berechne die Gleichung jener Ebene  in NVF, die durch
a) P 4 /  7 /  9 geht und parallel zur Ebene  ......9 x  4 y  8 z  37 verläuft.
b) P 8 /  1/  4 geht und parallel zur Ebene  ......7 x  3 y  12 z  46 verläuft.
Skizze!!
3.) Stelle die Normalebene  in NVF zu g durch P dar
  5
  3
 
 
a) g......... X    5   t    5  P 5 / 0 /  8
  3
  2
 
 
  2
 0 
 
 
b) g......... X    1   t    2  P0 /  1 /  2
 0 
 0 
 
 
 0 
  2
 
 
c) g......... X    4   t    4  P 7 /  4 /  11
  4
  3
 
 
Kannst du die Gerade g durch Eliminieren des Parameters in die Normalvektorform
verwandeln????
4.) Bestimme die Parameterform jener Geraden g durch P, die normal auf die Ebene 
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steht! Skizze!!
a) P 4 /  5 /  2  .....4x  2 y  2z  19
b) P 3 /  9 /  1  .....5x  2 y  4z  4
5.) Gib die Gleichung der Ebene  in NVF an, die durch die 3 Punkte A, B und C gebildet
wird:
a) A 2 /  3 /  7 B0 /  1/  2 C 5 /  1/  4
b) A 2 /  4 /  5 B 3 / 0 /  1 C 2 /  4 /  1
c) A 1/  1/  7 B 4 /  3 /  2 C 8 / 0 /  1 Skizze!!!
6.) Gib die Gleichung der Ebene  in NVF an, wenn  durch P und g bestimmt ist:
  3
  4
 
 
a) g......... X    6   t   0  P 3 / 0 /  7 
  5
  3
 
 
  2
 1
 
 
b) g......... X    1   t    3  P 1 /  3 /  6
  2
  2
 
 
  3
  8
 
 
c) g......... X    2   t    5  P0 / 0 /  4
Skizze!!!
 0 
  2
 
 
7.) Gib die Gleichung der Ebene  in NVF an, wenn  durch die beiden einander
schneidenden Geraden g und h bestimmt ist:
  2
  5
 
 
a) g......... X    5   s    1 
  3
  2
 
 
  6
  9
 
 
b) g......... X    8   t    9 
  3
  4
 
 
  2
  1
 
 
h......... X    5   t   0 
  3
  3
 
 
  6
  4
 
 
h........ X    8   u    3 
  3
  2
 
 
Skizze!!!
8.) Gib die Gleichung der Ebene  in NVF an, wenn  durch die beiden parallelen Geraden
g und h bestimmt ist:
 1
  4
  6
  4
 
 
 
 
a) g......... X    5   t    2  h......... X    2   u    2 
  6
  3
 1
  3
 
 
 
 
  2
  3
 0 
  3
 
 
 
 
b) g......... X    1   t    2 
h......... X    5   u    2  Skizze!!!
  3
  5
 7
  5
 
 
 
 
9.) Bestimme die Größe der 3 (Innen-)Winkel im Dreieck ABC:
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a) A 2 /  3 B4 /  1 C3 /  2
b) A1/  2 /  1 B2 /  4 / 1 C 1/ 1/ 5
10.) Bestimme einen Winkel zwischen den beiden Geraden g und h:
  2
 1
  3
 1
a) g......... X     t   
h...... X     u   
 1
  2
  1
 7
h........5 x  12 y  7
b) g.......3x  y  11
h........8 x  15 y  2
c) g.......4 x  3 y  5
  1
  7
d) g.......2 x  3 y  7
h...... X     u   
0
  4
Skizze!!!
Überprüfe deine Berechnung mittels Konstruktion!!!
11.) Bestimme einen Winkel zwischen der Geraden g und der Ebene 
  2
  3
 
 
a) g......... X    3   t    4 
 1
 0 
 
 
 .....2 x  3 y  6 z  20
 1
  3
 
 
b) g......... X    7   t    4 
 0 
  2
 
 
 .....5 x  7 y  3z  5
12.) Bestimme den Winkel zwischen den beiden Ebenen :
a)  1 ......3x  2 y  5z  6
 2 ......4x  3 y  z  13
b)  1 ......x  8 y  5z  6
 2 ......3x  z  8
Skizze!!!
Abstandsberechnungen
13.) Berechne mittels HNF den Abstand des Punktes von der angegebenen Geraden:
a) P5 /  2
g.......5x  12 y  10
b) P4 /  2
g.......8x  15 y  2
Überprüfe dein Ergebnis durch Abmessung in einer Konstruktion!
14.) Berechne die Länge der Höhe hc im folgenden Dreieck mittels HNF
A 6 /  3 B9 / 5 C 4 /  6
Gesucht ist weiters der Flächeninhalt des Dreiecks
Überprüfe dein Ergebnis durch Abmessung in einer Konstruktion!
15.) Berechne die Länge der Höhe ha im folgenden Dreieck mittels HNF
A 6 /  2 B0 / 2 C5 /  10
Gesucht ist weiters der Flächeninhalt des Dreiecks
Überprüfe dein Ergebnis durch Abmessung in einer Konstruktion
16.) Die Punkte A 1/ 2 / 3 B 2 /  2 / 0 C4 /  2 /  2 sind die Basiseckpunkte eines
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Tetraeders ABCS mit der Spitze S 11/  13 / 19
Berechne die Länge der Höhe h auf 2 verschiedene Arten:
1.) mittels HNF
2.) mittels Ermittlung des Fußpunktes- rein vektoriell
17.) Die Punkte A1/ 5 /  2 B4 / 1/ 4 C4 / 2 / 2 sind die Basiseckpunkte einer
dreiseitigen Pyramide ABCS mit der Spitze S 3 /  3 / 1
Berechne die Länge der Höhe h auf 2 verschiedene Arten:
1.) mittels HNF
2.) mittels Ermittlung des Fußpunktes- rein vektoriell
das vektorielle Produkt = Kreuzprodukt zweier Vektoren im Raum wird definiert als
 a x   bx   a y bz  b y a z 

      
n  a  b   a y    b y     a x bz  bx a z 
a  b   a b  b a 
x y 
 z  z  x y
Normalvektor auf 2 Vektoren im Raum!!
Parameterdarstellung einer Ebene in Vektorform
Bsp:



X  P  s a  t b
Normalvektorform einer Ebene
  3   12 
 3 
   



 ....... X   3   t  16   u  6 
 3    30 
  18 
  



X  n  X1  n
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Winkelberechnungen
Winkel zwischen 2 Geraden
cos  
a b
a b
oder
cos  
n1  n2
n1  n2
nie „gemischt“!!!
2.Winkel
 '  180 0   als Lösung!!
Winkel zwischen Gerade g und Ebene 
cos  
ne  a g
n  a g
2 Fälle:
  90 0    90 0  
 *  90 0     *  90 0
  gesuchterWinkel
2.Winkel  '  180 0   als Lösung!!
Winkel zwischen 2 Ebenen
cos  
n1  n2
n1  n2
2.Winkel  '  180 0   als Lösung!!
Abstand Punkt- Ebene HNF
Abstand Punkt-Ebene: Glied mit a 3 fällt weg!!!
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