2.6 Komplexe Zahlen C 2.6.1 Imaginäre und komplexe Zahlen Mit

2.6 Komplexe Zahlen C
2.6.1 Imaginäre und komplexe Zahlen
Mit den reellen Zahlen können die meisten chemischen und
physikalischen Fragestellungen gelöst werden.
Zum Beispiel handelt es sich bei allen Messgrößen
(sogenannten Observablen), die in einem Experiment
bestimmt werden, um reelle Zahlen.
In der Chemie und Physik werden jedoch auch komplexe
Zahlen für die mathematische Beschreibung verschiedener
Vorgänge benötigt.
Beispiel:
Wellengleichung eines freien Teilchens
(Elektron, Proton, etc )
ψ(x, t) = N eikx e −iωt
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Einführung der imaginären Einheit i.
Per Definition gilt: i² = -1
Eine imaginäre Zahl ist eine Zahl, deren Quadrat eine
negative reelle Zahl ist.
Komplexe Zahlen:
Aus der Menge der reellen und imaginären Zahlen wird die
Menge der komplexen Zahlen C gebildet.
C ist definiert als:
C = { a + bi | a ∈ R, 𝐛 ∈ R, i² = -1 }.
Für die Zahlenmengen ergibt sich nun folgende Hierarchie:
N ⊆ Z ⊆Q ⊆ R ⊆ C
C bildet einen Körper.
In C ist jede algebraische Gleichung lösbar.
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2.6.2 Normaldarstellung komplexer Zahlen
Normaldarstellung (algebraische Darstellung) einer komplexen
Zahl z:
z = a + b • i mit a ∈ R und b ∈ R
a wird als der Realteil
R (z),
b wird als der Imaginärteil I (z) von z bezeichnet:
a = R (z),
b = I (z),
z = R(z) + I(z) • i .
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2.6.3 Gaußsche Zahlenebene und trigonometrische
Darstellung komplexer Zahlen
Gaußsche Zahlenebene mit den Punkten
𝑧1 = 3 + 2i, 𝑧 ∗1 = 3 – 2i und 𝑧2 = 1 + 4i.
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Der Punkt 𝑧1 = 3+2i kann durch seinen Betrag |𝑧1 | und das
Argument
ᵩ eindeutig charakterisiert werden.
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ᵩ kann mit dem Cosinussatz bestimmt werden. Es gilt:
𝐴𝑛𝑘𝑎𝑡ℎ𝑒𝑡𝑒
𝑎
cos(ᵩ) =
=
𝐻𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒
|𝑧|
ᵩ
Wegen cos( ) = cos(-
ᵩ
ᵩ
ᵩ) ist eine Fallunterscheidung nötig:
𝑎
= + arccos
|𝑧|
𝑎
= - arccos
|𝑧|
∀b≥0
∀ b < 0.
Weiterhin gilt:
ᵩ
b = |z| • sin ᵩ
a = |z| • cos
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Die trigonometrische Darstellung von z lautet daher:
z = |z| (cos(𝝋) + i sin(𝝋))
Gebräuchlicher ist die Exponentialdarstellung von z mit Hilfe
der Eulerschen Formel:
e i𝝋 = cos(𝝋) + i sin(𝝋)
e -i𝝋 = cos(𝝋) - i sin(𝝋).
Hiermit lautet die Exponentialdarstellung von z:
z = |z| e i𝝋
|z| e i𝜑 wird auch als Polardarstellung von z bezeichnet.
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2.6.4 Komplexe Konjugation
Zu jeder komplexen Zahl z = a + b • i gibt es eine komplex
konjugierte Zahl z ∗ mit:
z* = a - b • i
Es gilt:
R (z*) = R (z),
I (z*) = -I (z),
Geometrisch entsteht z* durch Spiegelung von z an der Gerade
der reellen Zahlen.
Eine reelle Zahl ist stets zu sich selbst komplex konjugiert:
z = z* ∀ z ∈ R.
In den anderen Darstellungen gilt entsprechend:
z* = |z| • ( cos(𝝋) - i • sin(𝝋)
z* = |z| • e -i𝝋 .
In der Literatur wird das komplexe Konjugierte zu z oft durch
einen Überstrich gekennzeichnet: z* = z
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2.6.5 Rechnen mit komplexen Zahlen
C bildet genau wie R einen Körper.
Die Rechenregeln für reelle Zahlen können daher analog auf
komplexe Zahlen übertragen werden.
Man muss nur beachten, dass i² = -1 ist.
Je nachdem, welche Operationen anwendet werden soll, ist die
Verwendung der Normaldarstellung oder der Exponentialdarstellung praktischer.
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1.6.5 Rechnen mit komplexen Zahlen
Betrachten wir die komplexen Zahlen z1 und z2:
z1 = a1 + b1 • i
= |z1| e i𝝋1
z2 = a2 + b2 • i
= |z2| e i𝝋2
Gleichheit:
z1 = z2  a1 = a2, b1 = b2
und
z1 = 0  a1 = 0, b1 = 0
C unterliegt allerdings keiner Ordnungsrelation, d.h. eine
komplexe Zahl z1 kann nicht größer oder kleiner als eine andere
komplexe Zahl z2 sein.
( D.h. zum Beispiel z1 < z2 ist nicht definiert. )
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Addition und Subtraktion:
z1 + z2 = a1 + a2 + (b1 + b2)• i
z1 - z2 = a1 - a2 + (b1 - b2)• i
Die Addition von komplexen Zahlen entspricht einer Vektoraddition bzw. Vektorsubtraktion. Für die Addition und Subtraktion
ist die Normaldarstellung in der Regel praktischer.
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Multiplikation:
Normaldarstellung:
z1 • z2 = (a1 + b1•i) (a2 + b2•i)
= a1a2 + b1b2•i² + a1 b2•i + a2b1• i
= a1a2 - b1b2 + ( a1 b2 + a2b1 ) • i
Trigonometrische Darstellung:
z1•z2 = |z1|•(cos(𝝋1)+ i sin(𝝋1)) • |z2|•(cos(𝝋2)+ i sin(𝝋2))
*) =>
z1•z2 = |z1|•|z2|•(cos(𝝋1+𝝋2)+ i sin(𝝋1 + 𝝋2))
Exponentialdarstellung:
z1• z2 = |z1| ei𝝋1 • |z2| ei𝝋2
= |z1||z2| ei(𝝋1+𝝋2)
*) Additionstheorem:
sin ( 𝜶 + 𝜷 ) = sin 𝜶 cos 𝜷 + cos 𝜶 sin 𝜷
cos (𝜶 + 𝜷 ) = cos 𝜶 cos 𝜷 – sin 𝜶 sin 𝜷
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Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen multiplizieren
sich die Beträge und addieren sich die Winkel.
Anschaulich entspricht die Multiplikation mit einer komplexer
Zahl z1 daher einer Drehung um den Winkel 𝝋1 und einer
Streckung um |z1|.
Für die Multiplikation ist oft die exponentielle Darstellung
von z praktisch.
Es gilt:
|z1• z2 | = | z1 | • | z2 |
arg( z 1 + z 2 ) = arg( z1 ) + arg( z2 )
z • z* ist stets eine reelle Zahl:
z1 • z1* = (a1 + b1i) (a1 - b1i)
= a² + b² = |z1|²
z1• z1 *= |z1|e i𝝋1 • |z1|e -i𝝋1
= |z1|² e i ( 𝝋1-𝝋1 )
= |z1|² e0 = |z1|²
Daher gilt |z| = 𝑧 • 𝑧 ∗ (Betrag einer komplexen Zahl).
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Zur Abbildung:
Multiplikation von
z1 = 1+i ( mit |z1| = 2 und 𝜑1 = 45° ) und
z2 = -1+2i ( mit |z2| = 5 und 𝜑2 = 116,6° ) ergibt
z3 = z1 • z2 = -3 + i
( mit |z3| = 10 = 2
5 und 𝜑3 = 𝜑1 + 𝜑2 = 161,6° )
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Division (z2 ≠ 0):
Normaldarstellung:
Bei der Division z1 : z2 wird der Bruch zuerst mit z2 erweitert, um
einen reellen Nenner zu erhalten:
𝑧1
𝑧1 • 𝑧 ∗ 2
𝑧1 • 𝑧 ∗ 2
( 𝑎1 + 𝑏1 𝑖 ) • ( 𝑎2 − 𝑏2 𝑖 )
𝑎1 𝑎2 +𝑏1 𝑏2
𝑏1 𝑎2 −𝑎1 𝑏2
=
=
=
+
∗ =
𝑧2
𝑧2 • 𝑧 2
| 𝑧2 |²
( 𝑎2 + 𝑏2 𝑖 ) • ( 𝑎2 − 𝑏2 𝑖 )
𝑎2 ²+ 𝑏2 ²
𝑎2 ²+ 𝑏2 ²
Trigonometrische Darstellung:
𝑧1
𝑧2
=
|𝑧1 | (cos 𝜑1 +𝑖 sin(𝜑1 ))
𝑧2 (cos 𝜑2 +𝑖 sin(𝜑2 ))
=
|𝑧1 |
𝑧2
• ( cos(𝜑1 -𝜑2 ) + i sin (𝜑1 -𝜑2 ) )
Exponentielle Darstellung:
𝑧1
𝑧2
=
|𝑧1 | 𝑒 𝑖𝜑1
𝑧2 𝑒 𝑖𝜑2
=
|𝑧1 |
𝑧2
• 𝑒 𝑖(𝜑1 −𝜑2 )
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Potenzieren:
Für n ∈ N definieren wir 𝑧 0 := 1; 𝑧 𝑛 := 𝑧 𝑛−1 • z .
In der Normaldarstellung muss das Binom ausmultipliziert
werden:
𝒛𝒏 = (𝒂 + 𝒊𝒃)𝒏 .
In der trigonometrischen Darstellung kommt man auf die
Moivre-Formel
𝒏
𝒛𝒏 = (|𝒛|(𝐜𝐨𝐬 𝝋 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝋))𝒏 = |z| 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝝋 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝒏𝝋 .
In der Exponentialdarstellung erhält man
𝒏
𝒛𝒏 = |z| 𝒆𝒊𝒏𝝋
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Für die Multiplikation folgt daraus
Normaldarstellung:
z1 • z2 = (a1 + b1•i) (a2 + b2•i)
= a1a2 + b1b2•i² + a1 b2•i + a2b1• i
= a1a2 - b1b2 + ( a1 b2 + a2b1 ) • i
Trigonometrische Darstellung:
z1•z2 = |z1|•(cos(𝝋1)+ i sin(𝝋1)) • |z2|•(cos(𝝋2)+ i sin(𝝋2))
z1•z2 = |z1|•|z2|•(cos(𝝋1+𝝋2)+ i sin(𝝋1 + 𝝋2))
Exponentialdarstellung: (Sonderfall z² )
z1• z1 = |z1|e i𝝋1 • |z1|e i𝝋1
= |z1||z1| e i ( 𝝋1+𝝋1 )
= |z1|²e i 2𝝋1
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Radizieren:
Im Gegensatz zur Eindeutigkeit der Wurzel einer reellen Zahl
ist die Wurzel einer komplexen Zahl z mehrdeutig, da für jede
natürliche Zahl n ≥ 2 stets n verschiedene komplexe Zahlen
w0,w1, … ,w n-1 existieren, so dass wn k = z für k = 0, 1, …,n-1
gilt.
Das Radizieren ist i.Allg. nur in der trigonometrischen
Darstellung und der Exponentialdarstellung möglich.
Trigonometrische Darstellung:
Exponentialdarstellung:
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Radizieren:
Graphische Konstruktion:
Die Punkte, die den verschiedenen Wurzeln entsprechen,
bilden ein regelmäßiges n-Eck auf dem Kreis mit
dem Radius 𝑛 |𝑧| und dem Mittelpunkt in z = (0; 0).
Für k = 0 erhält man den Hauptwert von
0 ≤ 𝜑 < 2 𝜋 gilt.
𝑛
|𝑧| , falls
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Logarithmieren:
( in der Exponentialdarstellung oft sinnvoll )
ln z = ln(|z|𝑒 i( 𝜑 + 2k𝜋 ) ) = ln |z| + i( 𝜑+2k𝜋 )
für k ∈ Z
Der Logarithmus einer komplexen Zahl besitzt unendlich viele
Werte. Der Wert für k = 0 heißt Hauptwert von ln z, falls
0 ≤ 𝜑 < 2 𝜋 gilt.
Graphische Konstruktion:
Alle Logarithmenwerte besitzen denselben Realteil ln |z|.
Die Imaginärteile zweier verschiedener Logarithmenwerte
unterscheiden sich um 2𝜋•i.
Daher liegen alle Logarithmenwerte auf einer Parallelen zur
imaginären Achse.
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Bemerkung:
Für komplexe Zahlen gilt die Dreiecksungleichung:
| z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 |
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