Trigonometrie

Trigonometrie
In diesem Themenbereich wenden wir uns den Winkeln im rechteckigen Dreieck zu. Du
hast auf deinem Taschenrechner sicher schon die Tasten „sin“, „cos“ und „tan“ gesehen.
Doch was bedeuten sie? Das wollen wir herausfinden.
Der Einheitskreis
Wir haben ein Koordinatensystem mit der x-Achse und der y-Achse. Nun wird ein Kreis
gebildet mit dem Radius r=1.
Der Winkel x spannt ein rechtwinkliges Dreieck auf.
Die Länge der Gegenkathete entspricht nun der
Funktion sin(x). Die Länge der Ankathete entspricht
der Funktion cos(x). Die Strecke der Länge AB
entspricht der Funktion tan(x).
sin: Sinus
cos: Cosinus
tan: Tangens
Nun möchten wir die Sinus- und Kosinuskurve
betrachten. Den Tangens lassen wir vorläufig weg.
Wie sehen diese aus?
Sinuskurve
Die Sinuskurve zeigt die Werte für sin(x) von 0° - 360° an. Im untenstehenden Bild
sehen wir, das sin(0) = 0 ist. Überschreitet man 180° werden die Werte der y-Achse
negativ.
Wir sehen dass man die Winkel auch im Bogenmass angeben kann. Du weißt: Umfang
eines Kreises ist 2r π , da r=1 ist der Umfang genau 2 π . 2 π =360°. Dies gilt nur für den
Einheitskreis.
 D. Marty
1
Kosinuskurve
Die Kosinuskurve zeigt die Werte für cos(x) von 0° - 360°. Der Wert cos(0) = 1. Warum?
Weil die Ankathete genau dem Radius (r=1) im Einheitskreis entspricht. Bei cos(90) ist
der Wert 0. Da nun die Ankathete den Wert 0 hat. Anschliessend werden die Werte bis
cos(270) negativ.
Jeder Wert für sin(x) und cos(x) bezieht sich also auf einen bestimmten Winkel im
Einheitskreis.
Winkel im rechtwinkligen Dreieck
Wichtig wird nun die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Sie ist im Einheitskreis
immer =r, also hat sie immer den Wert 1.
C
Es gilt:
sin( x) =
Gegenkathete a
=
Hypotenuse
c
cos( x) =
Ankathete
b
=
Hypotenuse c
Hypotenuse (c)
Gegenkathete (a)
A
x
Ankathete (b)
tan( x) =
B
Gegenkathete a
=
Ankathete
b
Wenn man also die Längen der drei Seiten des Dreiecks kenn kann man den Sinusoder Kosinuswert des Winkels x bestimmen.
Um nun den Winkel (x) zu erhalten nimmt man den Wert für sin(x) oder cos(x) und
nimmt jeweils die Umkehrfunktion davon. Den Arcussinus oder den Arcuscosinus. Auf
dem Taschenrechner sehen die Felder so aus: „sin-1“ oder „cos-1“.
 D. Marty
2
Aufgaben:
1. Zeichne waagrecht eine Gerade der 11cm. Am Ende der Gerade zeichnest du
senkrecht dazu eine Gerade der Länge 6cm. Zeichne dazu die Hypotenuse und
berechne diese mit dem Pythagoras. Der gesuchte Winkel ist jener links unten.
a) berechne sin(x) mit Hilfe der Formel von oben.
b) berechne den Winkel x mit dem Arcussinus.
c) berechne nun auch cos(x) und anschließend den Winkel mit dem Arcuscosinus
2. Untenstehendes rechtwinkliges Dreieck sei gegeben. Berechne den Winkel (x) indem
du die Katheten und die Hypotenuse abmisst.
x
Berechne anschließend noch den 3. Winkel.
3. Kurzaufgaben
a)
sin(63) = ……………….
b)
arccos (0.567)=………………
c)
Ankathete = 13.2cm
Hypotenuse = 16cm
Wie gross ist der Winkel x?
Gegenkathete: 6cm
Ankathete: 11cm
Lösungen
1
a)
c)
2
3
Hypotenuse: 12.53cm
Gegenkathete a
6
= =
= 0.48 b)
Hypotenuse
c 12.53
Ankathete
b
11
cos( x) =
= =
= 0.88
Hypotenuse c 12.53
Ankathete
b
11
cos( x) =
= =
= 0.93
Hypotenuse c 11.88
a) 0.89
b) 55.46°
c) 34.41°
sin( x) =
 D. Marty
arcsin(0.55)=28.61°
arccos(0.88)=28.61°
arccos(0.93)=22.25°
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Berechnung im allgemeinen Dreieck
Nun möchten wir versuchen, Berechnungen im allgemeinen Dreieck durchzuführen. Mit
Hilfe des Sinussatzes und des Kosinussatzes.
Der Sinussatz
Mit dem Sinussatz ist es möglich mit den Angaben
von zwei Seitenlängen und einem Winkel einen
zweiten Winkel zu bestimmen, oder mit zwei
Winkeln und einer Seitenlänge eine zweite
Seitenlänge zu bestimmen. Wer die Herleitung des
Sinussatzes kennen lernen möchte, der kann dies
selbständig tun. Im Anhang findest du die Angaben.
Satz: Die Seite eines Dreiecks verhalten sich
zueinander
wie
die
Sinuswerte
der
gegenüberliegenden Winkel!
Den Sinussatz schreibt man formell in der folgenden Schreibweise:
a
b
c
=
=
sin(α ) sin( β ) sin(γ )
:
Daraus lassen sich folgende drei Gleichungen konstruieren:
a
b
=
sin(α ) sin( β )
Beispiel:
a
c
=
sin(α ) sin(γ )
b
c
=
sin( β ) sin(γ )
Die Seitenlänge a eines Dreiecks beträgt 8cm. Die Seitenlänge b beträgt
9cm. Der Winkel α ist 52°. Berechne den Winkel β !
sin( β ) =
b ⋅ sin(α ) 9 ⋅ sin(52)
=
= 0.89
a
8
arcsin(0.89)=62.44°
Der Winkel β beträgt also 62.44°. Den dritten Winkel können wir nun sehr schnell auch
noch bestimmen: 180°-52°-62.44° = 65.56°= γ
Bestimmen wir noch kurz die dritte Seitenlänge c!
c=
a ⋅ sin(γ ) 8 ⋅ sin(65.56°)
=
= 9.24cm
sin(α )
sin(52°)
Ist in einem allgemeinen Dreieck eine Seite und ihr gegenüberliegender Winkel bekannt,
so lässt sich unabhängig vom dritten Bestimmungsstück das Dreieck auf jeden Fall mit
dem Sinussatz vollständig berechnen.
 D. Marty
4
Kosinussatz
Mit dem Kosinussatz ist es möglich mit den Angaben der drei Seitenlängen alle Winkel
zu bestimmen. Ausserdem kann man, wenn zwei Seiten und ihr eingeschlossener
Winkel gegeben sind die dritte Seitenlänge bestimmen.
Satz: Der Kosinussatz ist eigentlich gleich dem
Satz von Pythagoras nur für alle Winkel und nicht
nur für rechtwinklige Dreiecke.
Es lassen sich folgende drei Gleichungen definieren.
Die Herleitung findest du auch hier im Anhang.
Studiere diese.
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos(α )
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac ⋅ cos( β )
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos(γ )
Anschließend muss man noch die Wurzel ziehen!
Es lassen sich nun folgende Umformungen der Gleichungen vornehmen:
cos(α ) =
b2 + c 2 − a 2
2bc
Beispiel:
cos( β ) =
a 2 + c 2 − b2
2ac
cos(γ ) =
a2 + b2 − c2
2ab
Ein Dreieck hat die Seitenlängen b=6cm und c=9cm, welche den Winkel
α =32° einschließen. Berechne die restlichen Größen.
Seitenlänge a:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos(α ) = 36 + 81 − 108 cos(32) = 25.41cm 2
a = 25.41 = 5.04cm
Winkel β :
cos( β ) =
a 2 + c2 − b2
= 0.65
2ac
arccos(0.65) = 49.31°
Winkel γ :
180°-32°-49.31°=98.69°
Versuche nun selber Aufgaben zum Sinus- und zum Kosinussatz zu lösen. Auf der
nächsten Seite findest du eine Tabelle, in welcher immer drei Angaben gemacht werden
und drei werden gesucht.
 D. Marty
5
Aufgaben
a
b
c
7,5
α
β
45,76°
110,58°
8,22
39,07°
15,83
12,41
75,59°
3,74
4,18
13
11,24
6,03
14
15
15,62°
56,85°
76,47°
13,6
8,62
30,28°
28,96°
14,1
23,5
44,63°
35,87
30,26
25,35
27,11
4,42
7,04
17,27
14,98
11,68
18,31
48,29
36,48
85,44°
69,54°
30,30°
10,75
26,00°
20,23
29,26
 D. Marty
105,21°
53,13°
65,36
6,5
77,75°
36,68
24,35
47,68
83,96°
31,72°
25,35
32,91
γ
59,93°
7,21
86,86°
50,00°
6
Lösungen
a
b
c
α
β
γ
7,5
9,8
4,2
45,76°
110,58°
23,65°
6,18
8,22
9,75
39,07°
56,97°
83,96°
15,83
12,41
13,39
75,59°
49,40°
55,01°
3,74
4,18
6,87
28,06°
31,72°
120,22°
5,67
11,24
6,03
15,62°
147,74°
16,64°
13
14
15
53,13°
59,49°
67,38°
21,72
25,35
18,47
56,85°
77,75°
45,40°
32,91
36,68
43,17
47,83°
55,70°
76,47°
26,88
15,18
24,35
13,6
85,19°
34,25°
64,53°
115,47°
30,28°
8,62
12,77
17,18
28,96°
45,83°
105,21°
14,1
18,8
23,5
36,87°
53,13°
90°
71,19
65,36
92,74
49,93°
44,63°
85,44°
32,55
35,87
30,26
58,23°
69,54°
52,22°
47,68
25,35
27,11
130,67°
23,78°
25,55°
4,42
8,71
3,45
7,04
30,30°
96,23°
23,17°
53,47°
126,53°
17,27
14,98
10,75
82,56°
59,33°
38,11°
11,68
18,31
9,34
33,24°
120,76°
26,00°
48,29
36,48
20,23
113,64°
43,79°
22,57°
29,26
18,52
33,76
59,93°
33,21°
86,86°
6,5
5,83
7,21
58,66°
50,00°
71,34°
 D. Marty
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Anhang: Herleitungen
 D. Marty
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 D. Marty
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