Weitere Fortsetzung Kap. 6-III Spezielle Stetige

Es lässt sich leicht zeigen, falls X eine normalverteilte Zufallsvariable ist, so ist die linear
transformierte Zufallsvariable g( X ) = a X + b mit zwei beliebigen reellen Zahlen a und b
ebenfalls normalverteilt.
Aus den Sätzen für den Erwartungswert und die Varianz der linear transformierten
Zufallsvariable g( X ) = a X + b einer beliebigen Zufallsvariable X ist bekannt, dass
µ g(X) = a · µ X + b
bzw. σ ² g(X) = a ² · σ ² X
ist (s. Kap. 4 Satz 5). Somit kann der folgende Satz formuliert werden.
Satz: Linearitätssatz der Normalverteilung
Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit dem Erwartungswert µ X und der Varianz
σ ² X sowie der Dichtefunktion:
1
f (x) =
2π σ
exp
−
2
x
1
x − µx
2
σx
2
Und seien a und b beliebige reelle Zahlen. Dann ist die linear transformierte Zufallsvariable
W = a X + b ebenfalls normalverteilt mit der Dichtefunktion
f (w
)=
1
2π
exp
σ w2
wobei der Erwartungswert µ
W
−
1
w − µw
2
σw
2
,
= a · µ X + b und die Varianz σ ² W = a ² · σ ² X sind.
Es lässt sich zeigen, falls X und Y zwei normalverteilte Zufallsvariablen sind, so ist ihre
Summe X + Y ebenfalls normalverteilt.
Aus den Sätzen für den Erwartungswert und die Varianz der Summe zweier beliebigen
Zufallsvariablen X und Y ist bekannt, dass
µ X+Y = µ X + µ Y
bzw.
σ ² X+Y = σ ² X + σ ² Y
ist (s. Kap. 4 Sätze 1 und 3). Somit kann der folgende Satz formuliert werden.
22
Satz: Additionssatz der Normalverteilung
Seien X und Y unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit den Erwartungswerten
µ X bzw. µ Y sowie den Varianzen σ ² X bzw. σ ² Y und den Dichtefunktionen:
f (x ) = fX
1
(x) =
exp
2π σ
−
2
x
2
1 x − µx
2
σx
bzw.
f (y
1
) = fY ( y ) =
2π σ
exp
2
y
−
1 y − µy
2
σy
2
Dann ist die Summe der beiden Zufallsvariablen W = X + Y ebenfalls normalverteilt mit
der Dichtefunktion
f (w
1
)=
2π
exp
−
σ w2
1
w − µw
2
σw
2
,
wobei der Erwartungswert µ w = µ X + µ Y und die Varianz σ ² W = σ ² X + σ ² Y sind.
Die folgenden Abbildungen zeigen graphisch die Vorgehensweise bei der Beweisführung
des obigen Satzes:
fX ( x )
fY ( y )
σY
σX
0
f ( x ; y ) = fX ( x ) · f
0
x
µX
Y
(y)
f( w )
y
µY
y
σW = σ ²X + σ ²Y
W=X+Y
µY
µX
x
w
0
µW = µX + µY
23
Aus den Sätzen 1) , 3) und 5) von Kapitel 4 lässt sich leicht folgende Bemerkung herleiten.
Die Differenz W = Y – X zweier normalverteilter Zufallsvariablen X und Y ist ebenfalls
normalverteilt. Der Erwartungswert von W ist dann µ W = µ Y − µ X und die Varianz
2
ist σ W
= σ Y2 + σ
2
X
.
Eine Maschine produziert Bolzen, deren Durchmesser normalverteilt ist mit dem Mittelwert
µ X = 9,8 [mm] und der Standardabweichung σ X = 0,1 [mm]. Eine andere Maschine stellt
Buchsen her, deren Durchmesser normalverteilt sind mit dem Mittelwert µ Y = 10,0 [mm]
und der Standardabweichung σ Y = 0,08 [mm].
!
Die beiden Durchmessern dürfen als unabhängig
voneinander betrachtet werden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bolzen in eine beliebig
ausgewählte Buchse passt?
σW = σ ²X + σ ²Y
f(w)
w0 = 0
µW = 0,2
µW = µY – µX
w
Der Durchmesser X der Bolzen ist
normalverteilt und der Innendurchmesser Y
der Buchsen ist ebenfalls normalverteilt.
Somit sind nach dem Additionssatz der
Normalverteilung die Summe oder die
Differenz der Durchmessern der beiden
auch normalverteilt. Ein Bolzen passt dann,
wenn Y > X ist, d.h., es muss gelten:
W= Y – X >0
24
"
$
"#
"
Wenn eine Zufallsvariable nicht selbst normalverteilt ist, sondern ihr Logarithmus
normalverteilt ist, so spricht man von einer Lognormalverteilung
Log-Normal-Verteilung
Die Verteilung einer stetigen Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion:
0
f (x) =
1
⋅
2π β
2
1
x
⋅ exp −
für
1
ln x − α
2
β
x ≤ 0
,
2
für
mit
β > 0
x > 0
heißt Lognormalverteilung.
Die Verteilungsfunktion der Lognormalverteilung ist:
x
F (x) = P(X ≤ x
x
) =
1
f ( u ) du =
2π β
0
− ∞
⋅
2
1
u
⋅ exp −
1
ln u − α
2
β
2
du
f(x)
!
α
α
α
"
β
β
β
x
0
25
%
)
&'
( '
&'
&'
"
Für eine beliebige log-normalverteilte Zufallsvariable X erhält man durch die Substitution
Y = ln X
eine Zufallsvariable Y , deren Verteilung der Gaußschen-Normalverteilung mit
= β genügt. Analog zu der standardisierten Variable erhält man durch die
Transformation
Y − α
ln X − α
Z =
=
β
= α und
β
eine Zufallsvariable , deren Verteilung der Standard- Normalverteilung gehorcht. Somit
lässt sich die Wahrscheinlichkeit einer log-normalverteilte Zufallsvariable X, für X < x 0,
d.h. P ( X < x 0 ) mit Hilfe der Verteilungsfunktion der Standard- Normalverteilung
bestimmen.
Die folgenden Abbildungen zeigen die graphisch Vorgehensweise zur Bestimmung der
Wahrscheinlichkeit P ( X x0 ) = F (x0 ) einer beliebigen log-normalverteilten
Zufallsvariable X mit Hilfe der Standard-Normalverteilung.
"
"
*
f ( x ) F ( x0 )
"
+ &'
f(y)
)
"
"#
(z)
F ( y0 )
Φ ( z0 )
=
=
0
x0
xo
1
2π β
2
y = ln x
0
1
x
0
x
exp
dy =
−
1
ln x − α
2
β
1
x
2π β
z =
z0
0
z
dx
yo
exp
2
y − α
β
y
2
1
dx
y0
α
−
−∞
dz =
1
y − α
2
β
1
β
dy
2
dy
1
2π
zo
exp
−∞
−
1
2
z
2
dz
26
Beziehung zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit P ( X x0 ) = F (x0 ) einer
beliebigen log-normalverteilten Zufallsvariable X mit Hilfe der StandardNormalverteilung
Sei x0 eine log-normalverteilte Zufallsvariable, dann lässt sich die Wahrscheinlichkeit
P ( X x0 ) mit Hilfe der Standard-Normal-Verteilung, wie folgt berechnen:
xo
F (xo
)
= P (X ≤ xo
)
1
=
2π β
0
zo
1
=
=
ln x o − α
β
x
⋅ exp −
⋅ exp −
2π
0
Dabei ist z o
⋅
2
1
1
2
z2
1
ln x − α
2
β
2
dz = P ( Z ≤ z o
dx
)=
Φ (zo
)
und µ = α und σ = β sind die Parameter der
Normalverteilung
,
Die Stromausbeute eines bestimmten Transistors wird in Einheiten des Logarithmus
Ia
gemessen, wobei Ia die Ausgangsstromstärke und Ie die Eingangsstromstärke
ln
Ie
angeben. Die Zufallsvariable ln
Ia
ist normalverteilt mit µ = 2 und σ = 0,1.
Ie
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Quotient
Die Zufallsvariable x =
Ia
Ie
Ia
Ie
geringer als 6,1 ist.
ist log-normalverteilt aber die Zufallsvariable y = ln
Ia
Ie
ist normalverteilt mit µ = 2 und σ = 0,1 daher gilt für die Log-Normalverteilung von X:
α = 2 und β = 0,1.
Es soll die Wahrscheinlichkeit für alle x-Werte kleiner als die obere Grenze x0 = 6,1
berechnet werden. Die Substitution liefert folgende obere Grenze für die Zufallsvariable Z:
zo
=
ln x o − α
β
=
ln 6 , 1 − 2
0 ,1
= −2
Somit erhält man für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
P(X
6,1 ) = P ( Z
– 2 ) = Φ ( – 2 ) = 0,0228
27
#
,
"
Die Lage- und Streu-Parameter der Log-Normalverteilung, wie der Mittelwert
(Erwartungswert) und die Varianz bzw. die Standardabweichung, können mit Hilfe der
Formeln zur Berechnung von Parametern stetiger Zufallsvariablen bestimmt werden. (s.
Kapitel 4: Zufallsvariablen)
Satz: Erwartungswert und Varianz der Log-Normalverteilung
Der Erwartungswert der Lognormalverteilung ist:
∞
x ⋅ f ( x ) dx = e
µ =
α +
1
2
β2
− ∞
Die Varianz der Lognormalverteilung ist:
∞
σ
2
f ( x ) ⋅ ( x − µ ) 2 dx =
=
eβ
2
− 1
⋅ e 2α
+ β2
− ∞
28