Kap. 4 Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Bei vielen Zufallsvorgängen lassen sich verschiedenen Ausgängen und Ergebnisse durch
Zahlen repräsentieren. Ein Beispiel dafür sind die verschiedenen Augenzahlen beim Wurf
eines Würfels. Bei Zufallsvorgängen, deren Ergebnisse keine Zahlen sind, wie z.B. das Werfen
einer Münze mit den beiden Ausgängen „Wappen“ oder „Zahl“, ist es auch zweckmäßig diesen
Ergebnissen Zahlen zu zuordnen. Eine Zufallsvariable erhält man, indem man den
Ergebnissen von Zufallsvorgängen Zahlen zuordnet. Wie in der deskriptiven Statistik
unterscheidet man zwischen diskreten und stetigen Zufallsvariablen.
Zufallsvariable
Die Zufallsvariable X ist eine Funktion, die jedem Elementarereignis aus der Ergebnismenge
eines Zufallsvorgangs genau eine Zahl zuordnet.
Die Zufallsvariable heißt diskret, wenn sie endlich viele oder abzählbar unendlich viele
reelle Werte annehmen kann.
Die Zufallsvariable heißt stetig, wenn sie jeden beliebigen reellen Wert in einem
endlichen oder unendlichen Intervall annehmen kann.
X : Zufallsvariable (Funktion) mit großen Buchstaben.
x k : Werte, die die Zufallsvariable annimmt, mit kleinen Buchstaben.
X = x k ; mit k = 1 ; 2 ; . . .
Folgende Zufallsvariable ist gegeben:
X : „Ereichte Augenzahl beim Wurf eines homogenen Würfels“
Geben Sie alle Werte an, die diese Zufallsvariable annehmen kann.
xk=1;2; 3;4 ;5;6
mit
k=1;2;3 ;4 ;5;6
Eine homogene Münze wird 4-mal geworfen. Wir definieren folgende Zufallsvariable
X : „Anzahl von Wappen beim 4-maligem Wurf einer homogenen Münze“
Wenn man z.B. als Ergebnis ( W Z Z W ),
d,.h. 2-mal „Wappen“ und 2-mal „Zahl“ erhält, so ist: X = 2
Geben Sie alle möglichen Werte an, die diese Zufallsvariable annehmen kann.
1
! "
Folgende Zufallsvariable ist gegeben:
X : „Ereichte Augenzahl beim Wurf eines homogenen Würfels“
Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten, für das Eintreten der jeweiligen Augenzahlen an.
P ( X = x1 ) = P ( X = 1 ) = 1/6 ;
P ( X = x3 ) = P ( X = 3 ) = 1/6 ;
P ( X = x5 ) = P ( X = 5 ) = 1/6 ;
P ( X = x2 ) = P ( X = 2 ) = 1/6 ;
P ( X = x4 ) = P ( X = 4 ) = 1/6 ;
P ( X = x6 ) = P ( X = 6 ) = 1/6 .
! "
Geben Sie für das obige Beispiel die Wahrscheinlichkeit an, eine Augenzahl größer als 2 zu
erhalten.
1. Lösungsmethode
P (X > 2) = P ( X = 3 ) + P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6)
=
1/6
+
1/6
+
1/6
+
1/6
= 4/6
2. Lösungsmethode
P (X > 2) = 1 – P (X
2)
= 1 – [ P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) ] = 1 – [ 1/6 + 1/6 ] = 4/6
2
Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable
Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit den Werten x 1 , x 2 , . . . .
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable X kann wie folgt durch die
Wahrscheinlichkeitsfunktion f ( x ) beschrieben werden.
f(xk) =pk = P(X=xk)
Dabei ist p k die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X den Wert x k annimmt.
Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable X ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die
Zufallsvariable X einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich einer vorgegebenen reellen Zahl
x ist.
F(x
f (xk
) = P(X ≤ x) =
)
xk ≤ x
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion erfüllt folgende Eigenschaften
f (x k)
(
f x
k
)
0
= 1
k
#
Die Wahrscheinlichkeiten f (x k ) = p k haben eine Analogie zu den relativen Häufigkeiten
fj
Die Verteilungsfunktion F (x ) hat eine Analogie zu den kumulierten relativen Häufigkeiten
Fj
Die Ereignisse X = x k bilden eine disjunkte Zerlegung von und wegen P ( ) = 1 gilt:
1 =
P( Ω
)=
p
k
k
! "
Folgende Zufallsvariable ist gegeben:
X : „Ereichte Augenzahl , beim Wurf eines homogenen Würfels“
Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X graphisch dar.
X =xk
P ( X = x k) = f (x k)
F(x )
1
2
3
4
5
6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
6/6
3
$
F (Fx(kx )
)
1
f(x )
1/6
0,15
0,10
2/6
0,05
0
1/6
0
1
2
3
4
Augenzahl
5
6
x
–1
0
1
2
3 4 5
Augenzahl
6
xk
!%"
Folgende Zufallsvariable ist gegeben: (s. Aufgabe 1)
X : „Anzahl von Wappen beim 4-maligem Wurf einer homogenen Münze“
Geben Sie alle Werte an, die die Wahrscheinlichkeitsfunktion
sowie die Verteilungsfunktion dieser Zufallsvariable annehmen kann.
X =xk
P ( X = x k) = f (x k)
F(x )
!%%"
Geben Sie für die obige Aufgabe die Wahrscheinlichkeit dafür an,
" höchstens 2-mal Wappen (d.h., 2-mal Wappen oder weniger) zu erhalten.
" mindesten 2-mal Wappen (d.h., 2-mal Wappen oder mehr) zu erhalten.
4
&
'
Für eine stetige Zufallsvariable X in einem Intervall [ a ; b ] kann X jeden beliebigen Wert
annehmen. Die Wahrscheinlichkeiten werden in diesem Fall nicht mehr wie bei einer diskreten
Zufallsvariable auf nur bestimmte Punkte xk konzentriert, sondern sind kontinuierlich im
Intervall a X b verteilt. Für einen xk-Wert einer diskreten Zufallsvariable liefert die
Wahrscheinlichkeitsfunktion f ( xk ) die Wahrscheinlichkeit P ( X = xk ) oder in einem
bestimmten Intervall [a ; b] ist die Wahrscheinlichkeit P ( a X b ) die Summe der
jeweiligen Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen xk-Werte in diesem Intervall. Dagegen
für eine stetige Zufallsvariable sind die x-Werte in einem Intervall [a ; b] so viele, dass sie
nicht mehr abzählbar sind und folglich deren Wahrscheinlichkeiten auch nicht aufsummiert
werden können. Somit wird die Wahrscheinlichkeit einer stetigen Zufallsvariable in einem
Intervall mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsdichte oder Dichtefunktion f ( x ) angegeben. Die
Wahrscheinlichkeit in einem Intervall a X b wird durch die Fläche unterhalb der
Dichtefunktion in diesem Intervall repräsentiert.
&!%
Aus der Serienproduktion zur Herstellung von Autobatterien wurde eine Stichprobe vom
Umfang N = 40 entnommen. Die Messungen der Lebensdauer X (in Jahren) der Batterien
ergab die folgende Tabelle für Häufigkeitsverteilung:
j
Kj
1
2
3
4
5
6
7
dj
[ 1,5
[ 2,0
[ 2,5
[ 3,0
[ 3,5
[ 4,0
[ 4,5
;
;
;
;
;
;
;
2,0 )
2,5 )
3,0 )
3,5 )
4,0 )
4,5 )
5,0 )
mj
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
hj
fj
2
1
4
15
10
5
3
f
0,05
0,025
0,1
0,375
0,25
0,125
0,075
*
j
f
:=
d
Fj
j
j
0,1
0,05
0,2
0,75
0,5
0,25
0,15
0,05
0.075
0,175
0,55
0,8
0,925
1
" Zeichnen Sie
ein Histogramm der relativen Häufigkeiten.
ein Dichtehistogramm der Klassendichten der relativen Häufigkeiten und ein
Häufigkeitspolygon
ein geglättetes relatives Häufigkeitspolygon
Relative Häufigkeiten
f
j
(
##
0,375
0,250
0,125
0
1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75
1,5
5
Lebensdauer [Jahre]
Klassendichte der relative Häufigkeiten
" Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig aus der Produktion
entnommene Batterie eine Lebensdauer zwischen 3,5 bis 4,5 Jahre hat?
f *j
0,75
)
(*
+
##
0,50
0,25
0
1,25 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25
1,5
5
Lebensdauer [Jahre]
5
Klassendichte der relative Häufigkeiten
,
*
)
(*
+
0,75
0,50
0,25
0
1,75
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig
entnommene Batterie eine Lebensdauer
zwischen 3,5 bis 4,5 Jahre hat, ist der
Flächeninhalt des 5. und 6. Rechteckes, d.h.
0,5⋅0,5 + 0,5⋅0,25 = 0,375 oder die Fläche
unterhalb des Häufigkeitspolygons oder
näherungsweise die gefärbte Fläche unterhalb
der Glockenkurve des geglätteten
Häufigkeitspolygons (Dichtefunktion).
2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75
Lebensdauer [Jahre]
Dichtefunktion (Wahrscheinlichkeitsdichte)
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariable X lässt sich durch die
Dichtefunktion oder Wahrscheinlichkeitsdichte f (x) oder durch die dazugehörige
Verteilungsfunktion:
x
F (x ) = P ( X ≤ x
)
f (u ) du
=
− ∞
beschreiben.
Die Dichtefunktion erfüllt folgende Eigenschaften:
f (x)
0
f ist stetig bis auf endliche Punkte
∞
f ( x ) dx = 1
− ∞
&!%%
" Zeichnen Sie für Daten des vorigen Beispiels
ein Kumulatives relatives Häufigkeitspolygon (die Empirische Verteilungsfunktion)
ein geglättetes kumulatives relatives Häufigkeitspolygon
-" Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig aus der Produktion
entnommene Batterie eine Lebensdauer weniger als 3,5 Jahre hat?
6
Häufigkeiten
Fj
.#
,
$
0,75
0,50
0,25
0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
Lebensdauer [Jahre]
/ #
(*
+
$
Kumulierte Relative Häufigkeiten
1,0
*
Lebensdauer [Jahre]
3,5
F ( 3 ,5 ) = P ( X ≤ 3 ,5
f ( x ) dx ≈ 0 , 55
) =
− ∞
2ba
Die Flugdauer X (in Minuten) einer Airline für Flüge von Berlin nach Rom sei eine stetige
Zufallsvariable. Die Flugdauer für diese Strecke kann zwischen 120 und 140 Minuten dauern.
Die Dichtefunktion, die diesen Flug beschreibt sei wie folgt:
f (x
0
1
)=
x < 120
für
120 ≤ x ≤ 140
für
20
0
x > 140
für
" Zeigen Sie, dass f eine Dichtefunktion ist..
" Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion und stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung
von X graphisch dar.
" Wie groß ist der Anteil an Flügen für diese Strecke, die weniger als 130 Minuten dauern?
"
Die Dichtefunktion ist in dem Definitionsbereich [120 ; 140] positiv.
Die Dichte Funktion ist in dem Definitionsbereich [120 ; 140] stetig.
∞
f ( x ) dx = 1 gilt:
Es muss noch überprüft werden, ob
− ∞
∞
120
0 dx +
f ( x )d x =
− ∞
140
120
− ∞
=
0
+
1
20
1
20
∞
0 dx
dx +
140
140
x
+
0
= 1
120
7
" Die Verteilungsfunktion ist:
x
120
F(x) =
x
− ∞
120
− ∞
0
=
0
F (x
) =
1
+
20
1
x − 6
20
1
du
x − 6
120 ≤ x ≤ 140
für
x > 140
für
F(x)
1/20
20
x < 120
für
f(x)
0
1
0 du +
f (u )d u =
$
1
120
Flugdauer [min]
140
0
x
120
140
Flugdauer [min]
x
" Die Wahrscheinlichkeit für alle Flugdauern unterhalb von X = 130 Minuten ist:
130
F ( 130 ) = P ( X ≤ 130
)=
120
0 ⋅d x +
f ( x )d x =
− ∞
130
120
− ∞
1
= 0 +
20
130
x
=
120
1
20
⋅ 130
1
20
⋅d x
−
1
20
⋅ 120
= 0,5
F(x)
f(x)
1
1/20
0,5
0,5
0
$
120
130
Flugdauer [min]
140
x
0
120
130
Flugdauer [min]
140
x
8
&
Wie groß ist der Anteil an Flügen für die Flugstrecke des vorigen Beispiels, die mehr als 130
Minuten dauern?
∞
f ( x ) dx = 1
Für die Gesamtwahrscheinlichkeit der Dichtefunktion gilt
− ∞
Folglich ist die Wahrscheinlichkeit für alle Flugdauern oberhalb von X = 130 Minuten ist:
P ( X > 130 ) = 1 −
[
P ( X ≤ 130 )
]
= 1 − F ( 130 ) = 1 − 0 , 5 = 0 , 5
f(x)
1/20
0
120
0
130
Flugdauer [min]
140
x
#
Ähnlich den Maßzahlen in der beschreibenden Statistik ordnet man der
Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable X Kennwerte oder Maßzahlen zu. Zu ihnen
zählen der Mittelwert (Erwartungswert) und die Varianz bzw. die Standardabweichung.
. 1
1
23
1
"
Führt man ein Zufallsvorgang sehr oft durch (N
∞) , so nähern sich die relativen
Häufigkeiten f k für die jeweiligen x k -Werten den jeweiligen Werten der
Wahrscheinlichkeitsfunktion f ( x k ) = p k an. Somit kann man analog zum Mittelwert x
(arithmetischen Mittel) einer empirischen Verteilung eine Maßzahl für das Zentrum einer
Wahrscheinlichkeitsverteilung bilden, die als Erwartungswert µ der Verteilung bezeichnet
wird.
4
In der folgenden Tabelle ist die Wahrscheinlichverteilung der diskreten Zufallsvariable X:
X: Erreichte Augenzahl beim Wurf eines homogenen Würfels
dargestellt.
Weiterhin sind in der Tabelle die absoluten bzw. relativen Häufigkeiten eingetragen, die beim
wiederholten Zufallsexperiment von N = 1200 Würfen eines homogenen Würfels auftraten.
Zufallsvariable
k
1
2
3
4
5
6
X = xk
1
2
3
4
5
6
Wahrscheinlichkeits Absolute Häufigkeit:
funktion
f (xk) = pk
hk
1/6 = 0,166
190
1/6 = 0,166
180
1/6 = 0,166
205
1/6 = 0,166
210
1/6 = 0,166
195
1/6 = 0,166
220
Relative Häufigkeit:
N = 1200
fk = hk / N
0,158
0,15
0,171
0,175
0,162
0,183
9
" Bestimmen Sie für das Zufallsexperiment den Mittelwert x mit Hilfe der relativen
Häufigkeiten.
" Bestimmen Sie für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X den Mittelwert µ
(Erwartungswert)
" Mittelwert der Stichprobe (arithmetisches Mittel): (s. Kapitel 1)
M
x
xk ⋅
=
k
M =6
M
hk
x k ⋅fk
=
N
k
==
k = 1
M=6
x k ⋅fk
= ( 1 ⋅ 0 , 158 + 2 ⋅ 0 , 15 + 3 ⋅ 0 , 171 + 4 ⋅ 0 , 175 + 5 ⋅ 0 , 162 + 6 ⋅ 0 , 183 ) = 3 , 58
" Erwartungswert (Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung) :
x k = k
pk
x
µ =
k
(
⋅ f x
k
)
k ⋅f (k
====
k
= 1⋅
6
+ 2⋅
1
6
+ 3⋅
1
6
+ 4⋅
)
k = 1
M =6
1
M=6
1
6
+ 5⋅
1
6
+ 6⋅
1
6
= 3,5
Erwartungswert µ = E[ X ] einer Zufallsvariable
Der Erwartungswert E[ X ] einer Zufallsvariable X ist:
pk
µ
= E[X
]
xk ⋅ f (xk
=
)
,
falls X diskret ist.
k
Dabei ist p k = f ( x k ) die Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsvariable.
∞
µ = E[X ] =
x ⋅ f ( x ) dx
,
falls X stetig ist.
− ∞
Dabei ist f ( x ) die Dichtefunktion der stetigen Zufallsvariable.
10
52ba
Die Flugdauer X (in Minuten) einer Airline für Flüge von Berlin nach Rom sei eine stetige
Zufallsvariable mit der Dichtefunktion:
1
f (x) =
für
20
120 ≤ x ≤ 140
0
sonst
Berechnen Sie die mittlere Flugdauer für diese Strecke.
∞
120
x ⋅0 d x +
x ⋅ f ( x )d x =
µ =
− ∞
140
120
− ∞
0
=
x⋅
1
+
20
⋅
x2
2
1
20
∞
x⋅0 d x
dx +
140
140
+
0
= 130
120
Also beträgt die mittlere Flugdauer für diese Strecke 130 Minuten.
$
-'
-
-
1
Ist die Anzahl der Wiederholungen eines Zufallsexperiments (die Anzahl der Elemente einer
Stichprobe) sehr groß (N
∞) so kann die Varianz mit Hilfe von absoluten bzw. relativen
Häufigkeiten wie folgt berechnet werden.
M
hk ⋅ ( x k − x
k
s2 =
M
f
k
⋅ (xk − x
M
hk ⋅ ( x k − x
Sehr große N
===
N − 1
=
)2
)2
k
N
M
=
k
h
k
N
⋅ (xk − x
)2
)2
k
Dabei gibt M die Anzahl der verschiedenen Merkmalausprägungen.
Führt man ein Zufallsvorgang sehr oft durch (N
∞) , so nähern sich die relativen
Häufigkeiten f k für die jeweiligen x k -Werten den jeweiligen Werten der
Wahrscheinlichkeitsfunktion f ( x k ) = p k an. Somit kann man analog zur
Standardabweichung s einer empirischen Verteilung eine Maßzahl für die Streuung einer
Wahrscheinlichkeitsverteilung bilden, die als Standardabweichung σ der Verteilung
bezeichnet wird.
11
Varianz
² = Var[ X ] und Standardabweichung
Die Varianz
einer Zufallsvariable
² einer Zufallsvariable X ist:
pk
σ
2
= Var [ X
]
f (xk
=
) ⋅(
xk − µ
)2
,
falls X diskret ist.
k
Dabei sind p k = f ( x k ) die Wahrscheinlichkeitsfunktion und
Erwartungswert der diskreten Zufallsvariable.
∞
σ
2
= Var [ X
]
) 2 dx ,
f (x )⋅ ( x − µ
=
der
falls X stetig ist.
− ∞
Dabei sind f ( x ) die Dichtefunktion und
Zufallsvariable.
der Erwartungswert der stetigen
#
Die Standardabweichung ist: σ =
σ
2
Die Varianz für diskrete bzw. stetige Zufallsvariablen kann auch mit der bequemeren
Formel berechnet werden.
%"
σ
2
2
k
− µ
dx
− µ
f ( x k )⋅ x
=
2
,
falls X diskret ist.
,
falls X stetig ist.
k
∞
%%"
σ
2
f (x)⋅ x
=
2
2
− ∞
6
In der folgenden Tabelle ist die Wahrscheinlichverteilung der diskreten Zufallsvariable X:
X: Erreichte Augenzahl beim Wurf eines homogenen Würfels
dargestellt.
Weiterhin sind in der Tabelle die absoluten bzw. relativen Häufigkeiten eingetragen, die beim
wiederholten Zufallsexperiment von N = 1200 Würfen eines homogenen Würfels auftraten.
Zufallsvariable
k
1
2
3
4
5
6
X = xk
1
2
3
4
5
6
Wahrscheinlichkeits Absolute Häufigkeit:
funktion
f (xk) = pk
hk
1/6 = 0,166
190
1/6 = 0,166
180
1/6 = 0,166
205
1/6 = 0,166
210
1/6 = 0,166
195
1/6 = 0,166
220
Relative Häufigkeit:
N = 1200
fk = hk / N
0,158
0,15
0,171
0,175
0,162
0,183
12
" Bestimmen Sie für das Zufallsexperiment die Varianz s mit Hilfe der relativen
Häufigkeiten.
" Bestimmen Sie für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X die Varianz σ
" Varianz der Stichprobe (Empirische Varianz): (s. Kapitel 1)
Mit Hilfe der relativen Häufigkeiten:
s2 =
=
x k = k ; N = 1200
M
N
N − 1
1200
f
k
⋅ (xk − x
)2
k
M = 6 ; x = 3 , 58
[ 0 , 158 ⋅ ( 1 − 3 , 58 )
1199
====
= 2,92
2
1200
1200 − 1
+ 0 , 15 ⋅ ( 2 − 3 , 58
M=6
k = 1
)2 +
fk ⋅ (k − x
)2
+ 0 , 183 ⋅ ( 6 − 3 , 58
)2
s = 1,708
" Varianz der Wahrscheinlichkeitsverteilung (Theoretische Varianz) :
x k = k
pk
σ
2
(
f x
=
k
)⋅( x k
− µ
k
=
)
2
6
⋅ ( 1− 3 , 5
= 2,923
)2 +
1
6
f ( k )⋅ ( k − 3 ,5
====
M = 6 ; µ = 3,5
1
M=6
⋅ ( 2 − 3,5
)2 +
)2
k = 1
+
1
6
⋅ ( 6 − 3 ,5
)2
= 1,709
13
]
&
#
Zweidimensionale (2D-) Zufallsvariable
Für Zufallsexperimente, in denen gleichzeitig zwei Merkmale beobachtet werden, werden die
beiden Zufallsvariablen X und Y zu einer 2-dimensionalen Zufallsvariable (X ; Y )
zusammengefasst.
Die Zufallsvariable heißt diskret, wenn sie endlich viele oder abzählbar unendlich viele
reelle Werte (x k ; y j ) eines 2D-Bereich annehmen kann.
Die Zufallsvariable heißt stetig, wenn sie jeden beliebigen reellen Wert (x ; y ) in einem
endlichen oder unendlichen 2D-Bereich annehmen kann.
Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Diskreten Zweidimensionalen Zufallsvariable
Seien X und Y diskrete Zufallsvariablen mit den Werten x 1 , x 2 , . . . bzw. y 1 , y 2 , . . .
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer 2-dimensionalen diskreten Zufallsvariable (X ; Y )
lässt sich wie folgt durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion beschreiben.
f (x k ; y j ) = p k j = P ( X = x k ; Y = y j )
Dabei ist p k j die Wahrscheinlichkeit dafür, dass (X ; Y ) den Wert (x k ; y j) annimmt.
Die Verteilungsfunktion einer 2-dimensionalen diskreten Zufallsvariable (X ; Y ) ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass (X ; Y ) einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich eines
vorgegebenen reellen Werts (x ; y ) ist.
F ( x ;y
(
) = P(X ≤ x ; Y ≤y ) =
f xk ;y
xk ≤ x
j
)
y j ≤ y
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion erfüllt folgende Eigenschaften:
f (x k ; y j )
(
f xk ; y
k
0
j
)
= 1
j
14
Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Stetigen Zweidimensionalen Zufallsvariable
Seien X und Y stetige Zufallsvariablen. Dann lässt sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung
einer 2-dimensionalen stetigen Zufallsvariable (X ; Y ) durch die Dichtefunktion
(Wahrscheinlichkeitsdichte) f (x ; y) oder durch die dazugehörige Verteilungsfunktion:
y
x
F(x; y
) = P(X ≤ x ; Y ≤y ) =
f ( u ; v ) dv du
− ∞ − ∞
beschreiben.
Die Dichtefunktion erfüllt folgende Eigenschaften:
f (x ; y)
0
f ist stetig bis auf endliche Punkte
∞
∞
f ( x ; y ) dy dx = 1
− ∞ − ∞
7
Ein elektronisches System besteht aus zwei von einander unabhängigen Komponenten, wobei
X bzw. Y Zufallsvariablen für die Lebensdauer (in Jahren) der 1. bzw. 2. Komponenten sind.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Lebensdauer des Systems ist durch folgende
Dichtefunktion gegeben.
f (x ; y
0
)=
8e
−
sonst
(2x+ 4y )
x > 0 ; y > 0
für
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, so dass die Lebensdauer der 1. Komponente weniger
als 1 [Jahr] und die der 2.Komponente weniger als 3 [Jahre] beträgt.
P(X ≤ 1 ; Y ≤ 3) =
=
1
3
−∞
0
−∞
0
−∞
−∞
f ( x ; y ) dy dx
0 ⋅ dy dx
0
=
=
=
1
0
8e
[1
−2x
− e
⋅
− 12
+
4
[1
]⋅ [ 1
3
0
0
1
+
1
1
0
− e
− 12
− e
−2
]
8 e
]dx
8 e−(2x
−2x
−
[
1
4
+ 4y
) dy dx
3
⋅e
= 2 1 − e
−4y
dx
0
− 12
]⋅
−
1
2
1
e
−2x
0
= 0 , 9599 ⋅ 0 , 8646 ≈ 0 , 8299
15
Lösen Sie das obige Beispiel mit Hilfe der Verteilungsfunktion F ( x ; y )
Definition 9) Randverteilungen einer Diskreten Zweidimensionalen Zufallsvariable
Sei (X ; Y ) eine 2-dimensionale diskrete Zufallsvariable mit der
Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x ; y ) Dann ist
die Randverteilung für X = x k = x die Summe über alle Werte von Y:
fX
(
(x) = P(X = x) =
f x ;y
j
)
j
die Randverteilung für Y = y j = y die Summe über alle Werte von X:
fY
f (xk ;y
( y ) = P (Y = y ) =
)
k
Randverteilungen einer Stetigen Zweidimensionalen Zufallsvariable
Sei (X ; Y ) eine 2-dimensionale stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion f (x ; y )
Dann ist
die Randverteilung von X gegeben durch:
∞
fX
(x) =
f (x ; y
) dy
−∞
die Randverteilung von Y gegeben durch:
∞
fy
(y ) =
f (x ; y
) dx
−∞
16
Unabhängigkeit Zweier Zufallsvariablen
Seien X und Y Zufallsvariablen (diskrete oder stetige). Dann heißen X und Y unabhängig,
wenn die Ereignisse X x und Y y für beliebige Zahlen x und y unabhängig sind, also
falls gilt:
P(X
x ; Y
y)
= P(X
x ) · P(Y
y)
oder
f(x ; y)
=
fX(x ) · fY(y)
. Wenn dies auch nur für ein Wert ( x ; y ) nicht erfüllt ist, heißen X und Y abhängig.
4
Zeigen Sie, dass die Zufallsvariablen X und Y aus dem obigen Beispiel (Bsp. 6) unabhängig
sind.
∞
fX
(x) =
f (x ; y
) dy =
f (x ; y
) dx =
−∞
∞
fy
(y ) =
−∞
8
In einer Lieferung befinden sich 12 Dioden, von denen 4 defekt sind. Es werden 2 Dioden Mit
Zurücklegen gezogen. Dabei sind folgende Ereignisse definiert:
A: Defekte Diode bei der 1. Ziehung,
A : Keine defekte Diode bei der 1. Ziehung,
B: Defekte Diode bei der 2. Ziehung,
B : Keine defekte Diode bei der 2. Ziehung
Die Zufallsvariablen für die obigen Ereignisse lauten dann:
X: Ziehen einer Diode bei der 1. Ziehung
Dabei nimmt X die Werte 0 für eine intakte Diode und 1 für eine defekte Diode an.
Y: Ziehen einer Diode bei der 2. Ziehung
Dabei nimmt Y die Werte 0 für eine intakte Diode und 1 für eine defekte Diode an.
Zeigen Sie, dass die Zufallsvariablen X und Y unabhängig sind.
17
A
P(A
B
B
B) = 16/144
4/12
A
A
8/12
4/12
B
8/12
B
P(A
B
B) = 32/144
A
4/12
P(A
A
B
B) = 32/144
8/12
A
B
B
P(A
B)) = 64/144
Da (X ; Y ) eine diskrete 2-dimensionale Zufallsvariable ist gilt:
P ( X = x k ; Y = y j ) = f (x k ; y j )
fX
(
(x) = P(X = x) =
j
)
f (xk ;y
)
f x ;y
j
fY
( y ) = P (Y = y ) =
k
0
Y
1
X
0
f ( 0 ; 0 )=
64
f ( 0 ; 1 )=
144
f X ( 0 ) = f (0 ; 0) + f (0 ; 1)
32
144
=
1
f ( 1 ; 0 )=
32
f ( 1 ; 1 )=
144
=
64
144
+
32
144
=
8
144
12
144
32
=
144
+
16
144
=
+
144
f Y( 1 ) = f (0 ; 1) + f (1 ; 1)
32
+
32
144
=
8
12
f X ( 1 ) = f (1 ; 0) + f (1 ; 1)
16
=
f Y( 0 ) = f (0 ; 0) + f (1 ; 0)
64
16
144
=
4
12
12
4
12
12
Für alle Wertepaare ( x ; y ) muss gelten: P ( X = x ; Y = y ) = P ( X = x ) · P ( Y = y )
f ( 0 ; 0 )=
f ( 0 ; 1 )=
f ( 1 ; 0 )=
f ( 1 ; 1 )=
64
144
32
144
32
144
16
144
f X ( 0 ) · f Y( 0 ) =
8
·
8
=
64
12 12
144
8 4
32
f X ( 0 ) · f Y( 1 ) =
·
=
12 12
144
4 8
32
f X ( 1 ) · f Y( 0 ) =
·
=
12 12
144
4 4
16
f X ( 1 ) · f Y( 1 ) =
·
=
12 12
144
Da die Bedingung erfüllt ist, sind die Zufallsvariablen X und Y unabhängig.
18
5
In einer Lieferung befinden sich 12 Dioden, von denen 4 defekt sind. Es werden 2 Dioden
Ohne Zurücklegen gezogen. Dabei sind folgende Ereignisse definiert:
A: Defekte Diode bei der 1. Ziehung,
A : Keine defekte Diode bei der 1. Ziehung,
B: Defekte Diode bei der 2. Ziehung,
B : Keine defekte Diode bei der 2. Ziehung
Die Zufallsvariablen für die obigen Ereignisse lauten dann:
X: Ziehen einer Diode bei der 1. Ziehung
Dabei nimmt X die Werte 0 für eine intakte Diode und 1 für eine defekte Diode an.
Y: Ziehen einer Diode bei der 2. Ziehung
Dabei nimmt Y die Werte 0 für eine intakte Diode und 1 für eine defekte Diode an.
Zeigen Sie, dass die Zufallsvariablen X und Y abhängig sind.
A
B
P(A
B
B) = 12/132
3/11
A
A
8/11
4/12
B
B) = 32/132
P(A
B) = 32/132
P(A
B) = 56/132
A
B
8/12
4/11
A
B
P(A
7/11
B
A
B
B
0
Y
1
X
0
f(0;0) =
1
f(
f Y(
f(0;0) =
f(0;1) =
56
132
)=
;
)=
56
132
32
132
f(0;1) =
f(
f Y(
32
132
)=
;
fX(0) =
fX(
56
132
+
32
132
=
8
12
) =
)=
f X ( 0 ) · f Y( 0 ) =
f X ( 0 ) · f Y( 1 ) =
f(1;0) =
f X ( 1 ) · f Y( 0 ) =
f(1;1) =
f X ( 1 ) · f Y( 1 ) =
19
0
#
-
#
Satz 1)
Für den Erwartungswert der Summe von zwei Zufallsvariablen X und Y gilt:
E[X+Y] = E[X] + E[Y]
=
µ X+Y
#
µX
+
µY
Dabei ist egal , ob X und Y unabhängig oder abhängig sind.
Satz 2)
Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen. Dann gilt für den Erwartungswert des
Produkts von X und Y :
E[X·Y] = E[X]·E[Y]
µ X·Y
=
µX · µY
Satz 3)
Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen. Dann gilt für die Varianz der Summe von X
und Y :
Var [ X + Y ] = Var [ X ] + Var [ Y ]
σ ² X+Y
#
=
σ²X
+
σ²Y
Für die Standardabweichung gilt: σ [ X + Y
]
=
( Var [ X ] + Var [ Y ] )
Satz 4)
Sei X eine Zufallsvariable und g( X ) eine von X abhängige Funktion. Dann gilt für den
Erwartungswert von g( X ) :
pk
E [g ( X
g(xk
)] =
)⋅ f ( x k )
,
falls X diskret ist.
k
Dabei ist p k = f ( x k ) die Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsvariable.
∞
E [g ( X
)] =
g ( X ) ⋅ f ( x ) dx
,
falls X stetig ist.
− ∞
Dabei ist f ( x ) die Dichtefunktion der stetigen Zufallsvariable.
20
Satz 5)
Sei X eine Zufallsvariable und seien a und b beliebige reelle Zahlen und g( X ) = a X + b
eine Zufallsvariable. Dann gilt
für den Erwartungswert :
E [g( X ) ] = E [ a X + b ] = a · E [ X ] + b
=
µ g(X)
+ b
a·µX
und für die Varianz :
Var [g( X ) ] = Var [ a X + b ] = a ² · Var [ X ]
σ ² g(X)
=
a ²·σ²X
9 2b
Ein elektronisches System besteht aus zwei von einander unabhängigen Komponenten. Das
System funktioniert, wenn beide Komponenten funktionieren (d.h. , wenn die 1. und die 2.
Komponente gleichzeitig funktionieren). X bzw. Y seien die Zufallsvariablen für die
Lebensdauer (in Jahren) der 1. bzw. 2. Komponenten. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für
die Lebensdauer des Systems ist durch folgende Dichtefunktion gegeben.
f (x ; y
0
)=
8e
−
sonst
(2x+ 4y )
für
x > 0 ; y > 0
Berechnen Sie die mittlere Lebensdauer des Systems.
∞
E[X Y
]
∞
x y ⋅ f ( x ; y ) d y dx
=
− ∞ − ∞
0
0
∞
∞
x y ⋅ 8e −( 2 x
x y ⋅ 0 ⋅ d y dx +
=
0
−∞ −∞
0
−4y − 1
8x e−2x
+
(− 4)
0
∞
8x e−2x
=
−1
(0) −
16
− ∞
=
1 −2x − 1
2
(− 2)
2
∞
⋅e
− x
=
0
) ⋅ d y dx
0
∞
=
+ 4y
2
∞
=
− ∞
1
2
dx
0
∞
dx
y
⋅e−
(0 ) −
1
2
x e − 2 x dx
− 1
4
=
1
8
= 0 , 125 [ Jahre ]
21
6
Da die Zufallsvariablen des obigen Beispiels voneinander unabhängig sind, kann die mittlere
Lebensdauer einfacher durch E [ X · Y ] = E [ X ] · E [ Y ] bestimmt werden. Lösen Sie das
obige Beispiel, indem Sie das Produkt von E [ X ] und E [ Y ] berechnen.
7
Sei X eine (eindimensionale) Zufallsvariable, die die Anzahl von Autos beschreibt, die an
einem Vormittag die Waschanlage C&W passieren. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser
Zufallsvariable ist in der folgenden Tabelle gegeben.
k
X=xk
P ( X = x k) = f (x k)
1
4
1/12
2
5
1/12
3
6
1/4
4
7
1/4
5
8
1/6
6
9
1/6
" Bestimmen Sie die mittlere Anzahl von Autos, die an einem Vormittag die Waschanlage
C&W benutzen.
" Sei g( X ) = 10 X – 5 das Einkommen in € des Betreibers für die Waschanlage. Geben
Sie das mittlere Einkommen für einen Vormittag an.
"
E[X] =
"
E [ g( X ) ] =
22