21 Winkelfunktionen

§ 21 Winkelfunktionen
ww
21.1 Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
Ein Dreieck, in dem ein Winkel genau 90° hat nennt man ein rechtwinkliges Dreieck.
Für die Dreiecksseiten hat man hier verschiedene Bezeichnungen eingeführt.
 Hypothenuse: Ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck und liegt dem
rechten Winkel gegenüber.
 Kathete: Sind die Seiten, die zusammen den rechten Winkel bilden.
C
ex
w.

Kathete
Kathete
a
b
 B

c
Hypothenuse
A
Im Dreieck gilt:
 Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
 Satz des Pythagoras:
Kathete 2  Kathete 2  Hypothenuse 2
tre
hier :
a2  b2  c 2
ms
Gegenkathete
Hypothenuse
a
hier: sin    
c
 Sinus  Winkels  

bzw. sin    
b
c
Gegenkathete
Ankathete
a
hier: tan    
bzw.
b
 Tangens  Winkels  
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e
k.d
tar
Ankathete
Hypothenuse
b
a
hier: cos    
bzw. cos    
c
c
 Co sinus  Winkels  
tan    
b
a
1
Beispiele und Anwendungen
e
k.d
tar
ms
tre
ex
w.
ww
1. Wie hoch steht ein Drachen, wenn die gespannte Schnur von 50m Länge einen
Winkel von 52° mit dem Erdboden bildet? (Skizze)
h  39,4m
2. Eine Fichte wirft einen 30m langen Schatten. Die Sonnenstrahlen sind 35° gegen
den Erdboden geneigt. Wie hoch ist die Fichte?
h  21m
3. Ein 3,5m hoher Bahndamm hat ein achsensymmetrisches Trapez als
Querschnitt. Der Damm ist mit 10m oben halb so breit wie unten. Bestimme den
Böschungswinkel.
  35
4. Das obere Ende einer 5m langen Leiter erreicht an einer Hauswand eine Höhe
von 4,5m . Wie groß ist der Neigungswinkel der Leiter? Wie weit steht die Leiter
von der Hauswand entfernt?
  64 , s  2,2m
5. Eine Leiter bildet mit einer Hauswand einen Winkel von 20°, das untere Ende der
Leiter ist 20 dm von der Hauswand entfernt. Wie lang ist die Leiter?
  5,85m
6. Im Deutschen Museum hängt ein 60m langes Pendel. Jeden Tag wird es 140 cm
waagrecht ausgelenkt. Berechne den Auslenkwinkel und die maximale Hubhöhe
des Schwerpunktes.
  1,34 , h  1,6 cm
7. Ein Haus mit gleichschenkligem Satteldach ist 10m breit (von Dachrinne zu
Dachrinne) und 20m lang. Wie groß ist die Dachfläche bei einer Neigung von
50°?
A  311m2
8. Mainz liegt auf dem 50. Breitengrad. Wie viel Prozent des Erdumfangs muss man
zurücklegen, wenn man auf diesem Breitenkreis die Erde umrunden würde?
(Erdradius 6.370km )
p  64,3%
9. Neapel und New York liegen ziemlich genau auf dem 41. Breitengrad. Neapel hat
etwa die geographische Länge 14° Ost, New York 74° West. Wie weit ist es von
Neapel nach New York
a) auf dem Breitenkreis
dB  7383,8km
b) durch einen geraden Tunnel
dT  6679,1km
c) auf dem Großkreis?
10. Der offene Riementrieb ist ein Getriebe, bei dem ein Treibriemen eine Kraft von
einem Rad auf ein anderes Rad überträgt. So treibt beim Auto ein Keilriemen den
Ventilator und die Lichtmaschine an, beim Fahrrad überträgt die Kette die
Antriebskraft aufs Hinterrad.
Zwei Räder mit den Radien R  9,5 cm und r  4,5cm haben einen Achsabstand
von z  47 cm . Wie lang ist der Treibriemen?
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2
e
k.d
tar
ms
tre
ex
w.
ww
11. Die Cheopspyramide in Ägypten ist die größte Pyramide der Welt. Die
Grundkantenlänge der quadratischen Pyramide beträgt a  230m , der
Neigungswinkel ihrer Seitenkanten   42 Wie hoch war die Pyramide
ursprünglich (durch das Abbröckeln der obersten Steine ist sie heute 9,5m
niedriger)?
12. Eine punktförmige Masse hängt an einem gespannten Faden der Länge
  1,25m . Die Masse wird nun um einen Winkel von a  35 nach links
ausgelenkt. Berechnen Sie, um welche Höhe der Körper dabei angehoben
werden muss und um welche Strecke der Körper nach links ausgelenkt wird?
h  0,226m , s waagrecht  0,717m , sBogen  0,764m
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3
21.2 Der Einheitskreis
Für den Umfang eines Kreises mit dem Radius r gilt: U  2  r  
Ist r  1 (Einheitskreis), so ist U  2  
Am Einheitskreis gilt: Ein Vollkreis (Kreis mit Mittelpunktswinkel von 360°) hat den
Umfang 2 . Das heißt also, die Länge des Kreisbogens ist 2 .
ww
Definition: die Länge eines Kreisbogens mit dem
Radius r nennt man die Bogenlänge. Hat der Kreis
den Radius r  1 , so bezeichnet man die
Bogenlänge als Bogenmaß.

ex
w.
Wie groß ist nun aber das Bogenmaß b eines
Kreissektors mit dem Mittelpunktswinkel   25 ?
Nach dem klassischen Dreisatz gilt:
b  25 
b
25
25

b
 2  365   0,44

2 360
360
2  360 
b
tre
Allgemein gilt nun für das Bogenmaß b, das zum Mittelpunktswinkel  gehört (und
b

2

umgekehrt):

 b
 

2 360
360
180
b


180
180
b

ms

Die Einheit des Bogenmaß ist das Radiant (rad), wird aber der Einfachheit halber
weggelassen.
tar
1.) Wandle um in Bogen- bzw. Gradmaß (2 DZ)
 57,30° 65° 42,97° 160° 286,48° 300° 400° 515,66°
b 1
1,13 0,75
2,79 5
5,24 6,98 9
e
k.d
Wichtige Winkel!!
 0° 30° 45° 60° 90° 135° 180° 270° 360° 720°



3
3

2
4
b 0 6
4
3
2
4
2
Für die Bogenlänge Ub eines Kreissektors mit dem Radius r und dem Bogenmaß b
folgt:
Ub  r  b
Bsp.: Welchen Weg legt eine Schiffschaukel zurück, deren Schaukel eine Länge von
  3,0m und um einen Winkel von   15 ausgelenkt wird?
r 

Ub  r  b   
   ...  0,785...m  0,79m
180
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4
ww
21.3 Die Sinusfunktion
Wählt man auf einem Einheitskreis einen Punkt A, so folgt
für seine y-Koordinate:
y A  sin( ) (im Gradmaß) oder auch y A  sin(b) (im
Bogenmaß).
Das heißt also, dass jedem Wert von b genau ein Wert y A
zugeordnet werden kann.
sin  b 
ex
w.
tre
Trägt man auf der x-Achse den Winkel im Bogenmaß an und auf der y-Achse den
dazugehörigen Wert y A , so erhält man eine „Kurve“ (die Sinuskurve).
(Die Bezeichnung „Sinus“ leitet sich von dem lateinischen „sinus“ ab, was soviel heißt wie „Bogen“
oder „Busen“.)
Zeichnen wir den Graphen der Funktion f : x  sin(x) mit Hilfe einer Wertetabelle.
ms
Winkel 
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°




2
3
5
Bogenmaß x 0

6
4
3
2
3
4
6
Bogenmaß x 0 0,52 0,79 1,05 1,57 2,09 2,36 2,62 3,14
sin(x)
0 0,5 0,71 0,87 1 0,87 0,71 0,5
0
1
1
2
3
4
e
k.d
tar
Winkel 
210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
5
4
3
5
7
11
Bogenmaß x 76
2
4
3
2
3
4
6
Bogenmaß x 3,67 3,93 4,19 4,71 5,24 5,50 5,76 6,28
sin(x)
-0,5 -0,71 -0,87 -1 -0,87 -0,71 -0,5
0
5
6
1
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5
Lässt man für x alle reellen Werte zu, so sieht der Graph der Sinusfunktion
schließlich so aus!
Periode
ex
w.
ww


Eigenschaften der Sinusfunktion: f : x  sin  x 
1. \Wf   1;1 
Der Sinus nimmt den Maximalwert 1 für x k  2  k  2 mit k  ZZ an  HP.
ms
tre
Der Sinus nimmt den Minimalwert 1 für x k  32  k  2 mit k  ZZ an  TP.
2. Gf ist symmetrisch zum Koordinatenursprung
3. Die Sinusfunktion hat die Periode 2 .
Ein Wellenberg und das darauffolgende Wellental bilden die Periode der
Sinuskurve (da sich der gleiche Verlauf wiederholt!).
4. Die Nullstellen der Sinusfunktion sind Vielfache von  . Sie haben die Form
xn  n   mit n  ZZ .
Berechnung von Argumenten der Sinusfunktion
e
k.d
tar
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6
21.4 Die Kosinusfunktion
Wählt man auf einem Einheitskreis einen Punkt A, so folgt für seine x-Koordinate:
x A  cos( ) (im Gradmaß) oder auch x A  cos(b) (im Bogenmaß).
Das heißt also, dass jedem Wert von b genau ein Wert x A zugeordnet werden kann.
ex
w.
ww
Trägt man auf der x-Achse den Winkel im Bogenmaß an und auf der y-Achse den
dazugehörigen Wert x A , so erhält man eine „Kurve“ (die Kosinuskurve).
(Die Bezeichnung „Kosinus“ leitet sich von dem lateinischen „complementi sinus“, also Sinus des
Komplementärwinkels ab.)
tre
Zeichnen wir den Graphen der Funktion f : x  cos(x) mit Hilfe einer Wertetabelle.
ms
Winkel 
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°




2
3
5
Bogenmaß x 0

6
4
3
2
3
4
6
Bogenmaß x 0 0,52 0,79 1,05 1,57 2,09 2,36 2,62 3,14
cos(x)
e
k.d
tar
Winkel 
210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
5
4
3
5
7
11
Bogenmaß x 76
2
4
3
2
3
4
6
Bogenmaß x 3,67 3,93 4,19 4,71 5,24 5,50 5,76 6,28
cos(x)
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7
Lässt man für x alle reellen Werte zu, so sieht der Graph der Kosinusfunktion
schließlich so aus!
ex
w.
ww
Eigenschaften der Kosinusfunktion: f : x  cos  x 
1. \Wf   1;1 
Der Kosinus nimmt den Maximalwert 1 für xk  2k   mit k  ZZ an  HP.
Der Kosinus nimmt den Minimalwert 1 für xk   2k  1   mit k  ZZ an  TP.
e
k.d
tar
ms
tre
2. Gf ist symmetrisch zur y-Achse
3. Die Kosinusfunktion hat die Periode 2 .
4. Die Nullstellen der Kosinusfunktion sind Vielfache von  . Sie haben die Form
x n  2  n   mit n  ZZ .
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8
21.5 Die Tangensfunktion
Wählt man auf einem Einheitskreis einen Punkt A, so
schneidet die Halbgerade MA die Tangente an den
Einheitskreis durch den Punkt P im Punkt Q.
So gilt für die Länge der Strecke PQ  tan    (im Gradmaß)
ww
bzw. PQ  tan b  (im Bogenmaß).
Das heißt also, dass jedem Wert von b genau ein Wert PQ
zugeordnet werden kann.
Es gilt: tan  
MP1

PQ
e
k.d
tar
ms
tre
ex
w.
Gegenkathete PQ

Ankathete
MP
Trägt man auf der x-Achse den Winkel im Bogenmaß an und auf der y-Achse die
Länge der Strecke PQ , so erhält man eine „Kurve“ (die Tangenskurve).
(Die Bezeichnung „Tangens erklärt sich unmittelbar durch die Definition im Einheitskreis)
Zeichnen wir den Graphen der Funktion f : x  tan(x) mit Hilfe einer Wertetabelle.
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9
Winkel 
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°




2
3
5
Bogenmaß x 0

6
4
3
2
3
4
6
Bogenmaß x 0 0,52 0,79 1,05 1,57 2,09 2,36 2,62 3,14
tan(x)
ww
Winkel 
210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
5
4
3
5
7
11
Bogenmaß x 76
2
4
3
2
3
4
6
Bogenmaß x 3,67 3,93 4,19 4,71 5,24 5,50 5,76 6,28
tan(x)
tar
ms
tre
ex
w.
Lässt man für x alle reellen Werte zu, so sieht der Graph der Tangensfunktion
schließlich so aus!
e
k.d
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Eigenschaften der Tangensfunktion: f : x  tan  x 
1. IDf  IR\
1
2
 n    | n  ZZ

\Wf  IR
Gf ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
Die Tangensfunktion hat die Periode  .
Die Nullstellen der Tangensfunktion haben die Form xn  n   mit n  ZZ .
ww
2.
3.
4.
5.

ex
w.
21.6 Berechnung von Argumenten trigonometrischer Funktionen
Oft hat man eine Gleichung der Form
sin(x)  a mit a   1; 1
zu lösen.
Mit Hilfe der INV-Taste des Taschenrechners kann man diese Gleichung recht gut
angehen.
1.) Lösen Sie folgende Gleichungen für x    2 ; 2 
tre
a) sin(x)  0,435
b) sin(x)  0,8415
c) sin(x)  0,581
d) sin(x)   31 2
Diese Aufgaben sind recht einfach, da der TR Werte liefert zwischen  2 und

2
.
ms
Ändert sich die Grundmenge, so wird die Lösungsfindung schon etwas interessanter!
Löse die Gleichung sin(x)  0,75 für x  0 ; 2 .
Der TR liefert: x1  0,8481
Es gibt aber noch eine zweite Lösung!
x2
Für die zweite Lösung folgt: x 2    0,8481  2,2935
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e
k.d
tar
x1
11
2.) Lösen Sie folgende Gleichungen für x  0 ; 2
a) sin(x)  0,2474
b) sin(x)  0,9086
1
5
2
d) sin(x) 
1
3
2
ww
c) sin(x) 
Noch interessanter!
Löse die Gleichung sin(x)  0,75 für x  0 ; 2 .
Hier liefert der TR den Wert x TR  0,8481
Zur Lösungsfindung benötigt man nun wieder den Graph der Sinusfunktion.
ex
w.
x TR
x1
x2
tre
ms
Durch Überlegung erhält man die beiden Lösungen:
x1    x TR    0,8481  3,9897
x 2  2  x TR  2  0,8481  5,4309
3.) Lösen Sie folgende Gleichungen für x  0 ; 2
c) sin(x)   51 5
d) sin(x)   4
e
k.d
tar
a) sin(x)  0,8415
b) sin(x)  0,0733
Interessiert man sich für die Lösungen der Gleichung sin(x)  a über der
Grundmenge IR , so bestimmt man zunächst die Lösungen für das Intervall 0 ; 2
und addiert zu diesen noch jeweils 2k   mit k  ZZ , dazu. (Periodizität der
Sinusfunktion!)
4.) Lösen Sie folgende Gleichungen für x  IR
a) sin(x)  0,8415
b) sin(x)  0,7174
c) sin(x)  0,6131
d) sin(x)   7
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12
5.) Lösen Sie folgende Gleichungen für x  0 ; 
a) cos(x)  0,435
b) cos(x)  0,8415
c) cos(x)  0,581
ww
d) cos(x)   31 2
Diese Aufgaben sind recht einfach, da der TR Werte liefert zwischen 0 und  .
6.) Lösen Sie folgende Gleichungen für x  0 ; 2
ex
w.
a) cos(x)  0,2474
b) cos(x)  0,9086
1
5
c) cos(x) 
2
d) cos(x)   31 2
7.) Lösen Sie folgende Gleichungen für x  IR
a) cos(x)  0,8415
b) cos(x)  0,7174
c) cos(x)  0,6131
tre
d) cos(x)   7
8.) Lösen Sie folgende Gleichungen für x    2 ; 2 
c) tan(x)  2
d) tan(x) 

2
9.) Lösen Sie folgende Gleichungen für x  IR
a) tan(x)  1
b) tan(x)  2
c) tan(x)  3
d) tan(x)   1
3
e
k.d
tar
ms
a) tan(x)  0,6
b) tan(x)  3
Berechnen Sie unter welchem Winkel sich die Geraden schneiden.
1.
f : x  2x
 x 0  18,43
g: x  x
1
2.
f : x  3x  5
g: x  2 x 1
3.
4.
5.
f : x  x2
f : x  x2  2
f : x  x 2  x
g : x  x2  x  1
g : x   x 2  2x  2
g : x  x2  x
6.
f : x   31 x 2  21 x
g : x  71 x 2  2x
7.
f:x
1
6
x
3
 13x


g : x   61 x 2  7x

1  8,13
 x 1  40,60 ;  x 2  40,60
 x  0  0
 x 5  13,9 ,  x 0  65,4 ,
 x  4  89,8
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8.
9.

f : x  x  x

 1
f : x  61 x 7  x 2
2
g : x  61 x  x  5 
g : x  x  x  1
m2  m1
1  m1  m2
   arctan
m2  m1
1  m1  m2
e
k.d
tar
ms
tre
ex
w.
ww
tan  
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