9. Spezielle Relativitätstheorie - physik.fh

9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT)
Inhalt
9. Spezielle Relativitätstheorie
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
Galilei-Transformation
Lorentz-Transformation
Transformation von Geschwindigkeiten
Zeitdilatation
Längenkontraktion
Relativistischer Impuls
Relativistische Energie
7. Relativistischer Impuls
9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT)
Relativbewegungen
Es gilt:
• Die Bahnkurve eines Objektes ist nicht eindeutig.
• Die Geschwindigkeit eines Objektes ist nicht eindeutig.
Sie sind Funktion des Bezugssystems.
Beispiel:
• Ein Zug hat eine konstante Geschwindigkeit vZg.
• Im Zug bewegt sich Fahrgast mit Geschwindigkeit vFg.
Frage:
Wie groß ist vFahrgast ?
Antwort: Das hängt vom
Bezugssystem ab.
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Für den Beobachter, der im Zug ruht, gilt:
vFahrgast = vFg
Für den Beobachter, der am Bahndamm ruht, gilt:
vFahrgast = vFg + vZg
v = f (Bezugssystem)
9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT)
9.1 Galilei-Transformation
Allgemeine (abstrakte) Betrachtung (1-dimensional)
Annahmen:
1. Man hat zwei Bezugssysteme A und B.
2. Bezugssystem A ruht.
3. Bezugssystem B bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit
vB/A relativ zu A entlang der positiven x-Richtung.
4. In B ist Punktmasse P, die sich in x-Richtung bewegt.
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Es gilt für Bahnkurve xP/A (t) von P in A:
xP/A = xB/A + xP/B
xP/B (t) = Bahnkurve von P
in Bezugssystem B
xB/A (t) = Bewegung
von B relativ zu A
Es gilt für Geschwindigkeit vP/A:
Es gilt für Beschleunigung aP/A:
9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT)
Ein merkwürdiges Beispiel:
Zug mit vZg = 90 % der Lichtgeschwindigkeit c
relativ zum Bahndamm:
vZg = 0,9 c = 0,9 . 3 . 108 m/s
Fahrgast mit vFg = 30 % der Lichtgeschwindigkeit
relativ zum Zug:
vFg = 0,3 c = 0,3 . 3 . 108 m/s
Am Bahndamm ruhender Beobachter
sollte messen:
vFahrgast = (0,3 +0,9) c = 1,2 c > c
Widerspruch zu tatsächlichen Beobachtungen!
Es gilt:
• Lichtgeschwindigkeit c kann nicht überschritten werden.
• Obige Transformation der Geschwindigkeiten (Galilei-Transformation)
v << c
ist nur gültig, falls
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2.9. Spezielle Relativitätstheorie
9.2 Lorentz-Transformation
Wir hatten: Galilei-Transformation
- 2 Inertialsysteme S, S‘
- S‘ bewegt sich mit
u = konstant relativ zu S in x
- Zur Zeit t = t‘ = 0 gilt O = O‘
Annahme: P bewegt sich in die + x-Richtung
Für Punkt P gilt:
Keine zusätzlichen Kräfte, Newton gilt,
Erhaltungssätze (E, p, L) gelten
2.9.1 Experimente
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Experimente
1. Zugexperiment
Theorie:
Experiment:
2. Teilchenexperiment (1964 CERN)
Zerfall neutraler Pionen
Mittlere Lebensdauer der Pionen
Prinzip:
π0 à γ γ
τ = 10−8 s
Man bringe π0 auf v ca. c
Man messe vγ
(vπ0 = 0,99975 c)
Theorie: (Galilei) vγ = vπ0 + c = 1,99975 c
Messung:
vγ = c !!!!
Widerspruch !!!!!!!
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Einstein hilft mit SRT
Basiert auf zwei Postulaten (nicht beweisbar):
1. Die physikalischen Gesetze sind unabhängig vom betrachteten
Inertialsystem
2. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht
(elektromagnetische Welle) ist in allen Inertialsystemen gleich,
unabhängig von der Bewegung der Sender (bzw. Empfänger):
cVakuum = 300 000 km/s
Einstein ersetzt Galilei-Transformation durch Lorentz-Transformation
Für Punkt P (1-dim)
mit
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9.3 Transformation von Geschwindigkeiten
Annahme:
Masse bewegt sich entlang der x-Richtung.
in Zeit dt wird in S‘ Strecke dx‘ zurückgelegt.
Division 1. Gl. durch 2. Gl.
und Multiplikation mit
dt/dt = 1 (rechte Seite)
Analog:
Beispiele:
v << c
v = c
v‘ = v – u
v‘ = c
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9.4 Zeitdilatation
S‘ mit u relativ zu S
B‘eo in S‘ misst: ∆t‘ = 2d/c
(1)
Beo in S
misst:
mit
(2)
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(1) in (2) eingesetzt:
Quadrieren und
nach ∆t auflösen :
Tests zur Zeitdilatation
1. Makroskopische Uhr
1971 Atomuhr in Flugzeug 1 x um die Welt: ∆t = 200 ns
2. Mikroskopische Uhr (z.B. Myon) µ− à e− + 2ν
Mittlere Lebensdauer
τ = 2,2 10−6. s (Eigenzeit)
1968 CERN:
vµ = 0,9966 c .
Theorie: ∆t = 26,7 µs
Messung: ∆t = 26,2 +- 0,5 µs
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9.5 Längenkontraktion
Gedankenexperiment
Beobachter in S‘
mit Eigenlänge l0
l
Beobachter in S
Länge Lineal = l
Zeit: Quelle – Spiegel = ∆t1
Zeit: Spiegel − Quelle = ∆t2
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Hinweg: (Quelle-Spiegel)
Rückweg: (Spiegel-Quelle)
Gesamtweg:
Es gilt:
Längenkontraktion: von S aus erscheint Lineal kürzer als in S‘
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Gemäß
l = l0 / γ
erscheint der Fahrradfahrer
Verkürzt.
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9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT)
Von Punkten A, B, C, D
werde Licht ausgesandt
Weitentfernter Beobachter
sieht Licht von A, C, D
9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT)
Beobachter sieht Wagen gedreht
Lorentzkontraktion führt zur
Verkürzung
Das würde man sehen
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Elektrisches Feld einer bewegten Punktladung v/c = 1/3
9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT)
Elektrische Feld einer bewegten Punktladung v/c = 4/5
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9.6 Relativistischer Impuls
Problem falls man klassische Definition von p = mv beibehält.
1. Lorentztransformation von v
2. Existenz eines Grenzimpulses
Man findet:
1. Impulserhaltung gilt
2. Es existiert kein Grenzimpuls
Lösung: Man modifiziere
Definition des Impulses
Verletzung Impulserhaltung
Widerspruch!
mit
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Änderung des Impulses als Funktion von v
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9.7 Relativistische Energie
Kinetische Energie klassisch:
Ekin = ½ m .v2
(folgte aus Gleichung zur Arbeit)
Kinetische Energie relativistisch:
(folgt aus Gleichung zur Arbeit mit relativistischer Kraft)
Problem: E = 0 falls v = 0
mit T = (relativistische) kinetische Energie
= T + E0
Gesamtenergie = Kinetische Energie + Ruheenergie
Konsequenz:
Teilchen haben Ruheenergie.
0
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Änderung der kinetischen Energie als Funktion von v
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Konsequenz:
Beispiele:
Masse ist äquivalent zur Energie.
Kernfusion, Kernspaltung,
Angabe der Masse in eV/c2 , z.B. me = 0,5 MeV/c2
9. Spezielle Relativitätstheorie (SRT)
Zusammenhang E = f(p)
Klassisch:
Relativistisch:
Beweis:
(1)
Aus (2) – (1) folgt:
(2)