Mathe-Intensivierung * Jahrgangsstufe 9 * Sinus, Kosinus und

Mathe-Intensivierung * Jahrgangsstufe 9 * Sinus, Kosinus und Tangens
Bei allen folgenden Aufgaben ist jeweils geeignet zu runden!
Beachte: Alle Zeichnungen sind nicht maßstabsgetreu!
1. Das abgebildete Dreieck ist gleichschenklig mit a = b .
a) Es ist a = 5,0 und ß = 75o .
Berechne c und den Flächeninhalt des Dreiecks.
b
a
ß
b) Es ist a = 5,0 und c = 4,0 gegeben.
Berechne ß und den Flächeninhalt des Dreiecks.
c
b
2. In einem Rechteck betragen die Seitenlängen a = 3,0
und b = 7,0. Unter welchem Winkel $ schneiden sich
die beiden Diagonalen?
a
$
D
3. Das abgebildete Viereck ABCD ist eine Drache
mit der Symmetrieachse AC.
d
c
a
C
b
o
a) Gegeben ist a = 6,0 und b = 4,0 und = 45 .
Berechne die beiden Diagonallängen und ß.
b) Gegeben ist a = 6,0 und b = 4,0 und BC = 6, 0 .
Berechne alle Winkel.
A
ß
B
4. Das abgebildete Parallelogramm hat die
Seitenlängen a = 3,0 und b = 5,0 und den
Winkel = 70o.
b
a) Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.
$
b) Berechne den Schnittwinkel $ der beiden
Diagonalen.
5. Von einem Leuchtturm
der Höhe h = 80m über
dem Meer sieht man das
vordere bzw. hintere
Ende eines Segelschiffs
h = 80m
unter einem Tiefenwinkel
von $ = 79,2o bzw.
= 80,7o.
Berechne die Entfernung x
des Segelschiffs vom Leuchtturm
und die Länge a des Segelschiffs.
= 80,7o
$
$ = 79,2o
x = ?
a = ?
a
Mathe-Intensivierung * Jahrgangsstufe 9 * Sinus, Kosinus und Tangens * Lösungen
c/2
= cos ß ⇒ c = 2 ⋅ a ⋅ cos ß = 2 ⋅ 5, 0 ⋅ cos 75o = 2,588... ≈ 2,59
a
h
b
= sin ß ⇒ h = a ⋅ sin ß = 5, 0 ⋅ sin 75o = 4,829... ≈ 4,83
a
1
1
A = ⋅ c ⋅ h ≈ ⋅ 2, 59 ⋅ 4,83 ≈ 6, 25
2
2
c/2
c
4
b) cos ß =
=
=
= 0, 4 ⇒ ß = 66, 42...o ≈ 66, 4o
a
2a 10
α = ß und γ = 180o − 2 ⋅ ß ≈ 47, 2o
1. a)
a
h
ß
c
b
a 3
3
=
⇒ ε = tan −1 ( ) = 23,198...o ≈ 23, 2o
b 7
7
o
o
ϕ = 2 ⋅ ε ≈ 2 ⋅ 23, 2 = 46, 4
tan ε =
2.
a
$
α x
3. a) cos =
⇒ x = 6, 0 ⋅ cos(22,5o ) ≈ 5,54
d
2 a
x
α z
sin =
⇒ z = 6, 0 ⋅ sin(22,5o ) ≈ 2,30
A
2 a
γ z
2,30
a
sin =
⇒ γ ≈ 2 ⋅ sin −1 (
) ≈ 70, 2o
2 b
4, 0
γ y
cos =
⇒ y = 4, 0 ⋅ cos(35,1o ) ≈ 3, 27 also DB = 2 ⋅ z ≈ 4, 6 und AC
2 b
1
α z 3
α
b) z = ⋅ BD = 3, 0 und sin = = = 0,5 ⇒
= 30o und α = 60o
2
2 a 6
2
γ z 3
γ
sin = = = 0, 75 ⇒ = 48, 59...o und γ ≈ 97, 2o
2 b 4
2
o
2 ⋅β + α + γ = 360 ⇒ β ≈ 101, 4o und δ = β
D
c
y
z
ß
C
b
B
= x + y ≈ 8,8
b
h
= sin α ⇒ h = a ⋅ sin α = 3, 0 ⋅ sin 70o = 2,819... ≈ 2,82
a
h
$
a
A = b ⋅ h ≈ 5, 0 ⋅ 2,82 = 14,1
b
b2
b1
b) 1 = cos α ⇒ b1 = 3, 0 ⋅ cos 70o ≈ 1, 03 und b 2 = b − b1 ≈ 3, 97
a
h
2,82
h
2,82
tan ε =
≈
⇒ ε ≈ 35, 4o und tan λ =
≈
⇒ λ ≈ 25,1o
b 2 3, 97
2 ⋅ b1 + b 2 6, 03
4. a)
ϕ = λ + ε ≈ 25,1o + 35, 4o = 60,5o
5.
x
= tan ϕ ⇒
h
x = h ⋅ tan ϕ = 80m ⋅ tan 79, 2o ≈ 419 m
x+a
= tan ε ⇒
h
x + a = h ⋅ tan ε = 80m ⋅ tan 80, 7 o ≈ 489 m
⇒ a ≈ 489 m − 419m = 70m
= 80,7o
$
$ = 79,2o
h = 80m
x = ?
a = ?
a
h
b1