Flex Time - MathemaTech

Flex Time
Wiederholung: Wie werden Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis hergeleitet? Beantworte die
folgenden Fragen in dein Heft.
Als Hilfestellung kannst du folgendes Video ansehen:
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https://www.youtube.com/watch?v=AWZW1OwpT-w
Aufgaben:
Überprüfe deine Ergebnisse am Einheitskreis sowie anhand der Sinus- bzw. Cosinusfunktion.
1.
2.
3.
4.
5.
Bei welchem Winkel α gilt cos(α) = 0?
Bei welchem Winkel α gilt sin(α) = 0?
Bei welchem Winkel α gilt cos(α) = sin(α)?
Welchen Wert hat tan(90°)?
Ordne den Sinus- und Cosinuswerten mit Pfeilen das richtige Vorzeichen zu.
cos(45°)
Positiv
cos(89°)
sin(91°)
sin(270°)
Negativ
cos(359°)
sin(359°)
6. Welche Aussagen gelten für das abgebildete Dreieck? (Kreuze die zutreffenden an!)
 𝑏 sin(𝛽) =
1
𝑐
 c sin(𝛼) = 𝑎
𝑐
 tan(𝛾) = 𝑎
 𝑏 sin(𝛽) = 𝑐
 𝑎² = 𝑐 2 − 𝑏 2
7. Von einem Dreieck kennt man die Seiten 𝑎 und 𝑐 sowie den Winkel 𝛽. Finde eine Formel, mit
der die Höhe ℎ𝑎 berechnet werden kann.
Class Time
Sieh dir folgende Videos an und beantworte die Aufgaben in dein Heft:

https://www.youtube.com/watch?v=RxEB8Q3zVJs
Aufgaben:
8. Von einem allgemeinen Dreieck kennt man die Seiten 𝑎 = 5 𝑐𝑚 und 𝑏 = 4 𝑐𝑚, sowie den
Winkel 𝛼 = 20,56° . Berechne die fehlenden Seiten, Winkel und die Höhe hc!
9. Aus der Entfernung siehst du die Spitze eines Kirchturms unter einem Höhenwinkel 𝛼.
Wenn du dich um 𝑥 Meter näherst erscheint die Spitze unter dem Höhenwinkel 𝛽.
Zeichne dazu eine passende Skizze und beschreibe wie die Höhe des Kirchturms durch die
bekannten Größen berechnet werden kann!
Didaktischer Kommentar Flex Time
Die einfachen Aufgaben zu Beginn dienen dazu, dass sich die SchülerInnen mit dem Stoff genau
auseinandersetzen. Es sollen optimale Voraussetzungen geschaffen werden, um das Erlernen des
darauffolgenden Stoffes zu erleichtern.
Aufgaben 1 – 5 werden dafür verwendet, dass die SchülerInnen das in den Video gezeigte Anwenden
und mit dem Inhalt auseinandersetzen.
Bei den Aufgaben 6 und 7 soll das erarbeitete Wissen an konkreten Aufgabenstellungen anwenden.
Didaktischer Kommentar Class Time
Am Anfang der Unterrichtseinheit werden Probleme, die bei der Flex Time Aufgetreten sind,
besprochen. In der Class Time werden nun die Inhalte vertieft und neue Inhalte gemeinsam
eingeführt.
Lösungen:
1. Bei welchem Winkel α gilt cos(α) = 0?
cos(90°) = cos(270°) = 0
2. Bei welchem Winkel α gilt sin(α) = 0?
sin(0°) = sin(180°) = 0
3. Bei welchem Winkel α gilt cos(α) = sin(α)?
sin(45°) = cos(45°), sin(225°) = cos(225°)
4. Welchen Wert hat tan(90°)?
tan(90°) = ∞
5. Ordne den Sinus- und Cosinuswerten mit Pfeilen das richtige Vorzeichen zu.
cos(135°)
cos(89°)
Positiv
sin(91°)
sin(270°)
Negativ
cos(359°)
sin(359°)
6.
Welche Aussagen gelten für das abgebildete Dreieck? (Kreuze die zutreffenden an!)
1
 𝑏 sin(𝛽) = 𝑐
 c sin(𝛼) = 𝑎
𝑐
 tan(𝛾) = 𝑎
 𝑏 sin(𝛽) = 𝑐
 𝑎² = 𝑐 2 − 𝑏 2
7. Von einem Dreieck kennt man die Seiten 𝑎 und 𝑐 sowie den Winkel 𝛽. Finde eine Formel, mit
der die Höhe ℎ𝑎 berechnet werden kann.
𝑠𝑖𝑛(𝛽) =
ℎ𝑎
⇔ ℎ𝑎 = 𝑠𝑖𝑛(𝛽) 𝑐
𝑐
8. Von einem allgemeinen Dreieck kennt man die Seiten 𝑎 = 5 𝑐𝑚 und 𝑏 = 4 𝑐𝑚, sowie den
Winkel 𝛼 = 20,56° . Berechne die fehlenden Seiten, Winkel und die Höhe hc!
𝑠𝑖𝑛(𝛼)
𝑎
Winkel β mit Sinussatz berechnen: 𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(
𝑏) = 16,317°
γ = 180 – α – β = 143,123°
𝑏
𝑐=
𝑠𝑖𝑛(𝛾) = 8,544 𝑐𝑚
𝑠𝑖𝑛(𝛽)
hc = 𝑏 𝑠𝑖𝑛(𝛼) = 1,405 𝑐𝑚
9. Aus der Entfernung siehst du die Spitze eines Kirchturms unter einem Höhenwinkel 𝛼.
Wenn du dich um 𝑥 Meter näherst erscheint die Spitze unter dem Höhenwinkel 𝛽.
Zeichne dazu eine passende Skizze und beschreibe wie die Höhe des Kirchturms durch die
bekannten Größen berechnet werden kann!
Winkel γ berechnen: γ = 180 – α – (180 – β)
𝑥
Seite y mit Sinussatz berechnen: y = 𝑠𝑖𝑛(𝛾) 𝑠𝑖𝑛(𝛼)
ℎ = 𝑠𝑖𝑛(𝛽) 𝑦