2 Mathematische Grundlagen

2 Mathematische Grundlagen
2.1 Mathematische Grundbegriffe
2.1.1 Grundgesetze
Kommutativgesetze
a+b=b+a
ab=ba
Assoziativgesetze
(a + b ) + c = a + (b + c )
(a b ) c = a (b c )
Distributivgesetz
a (b + c ) = a b + a c
2.1.2 Gesetze der Anordnung
a < b J b > a J (b − a ) > 0
Aus a < b folgt:
a+c<b+c
ac<bc
wenn c > 0
Aus a < b folgt:
−a > −b
1> 1
a b
wenn a > 0
2.1.3 Absoluter Betrag - Signum
Definitionen
Betrag a
Gesetze
Signum a
a>0
a =a
sgn a = 1
a+b > a + b
a=0
a =0
sgn a = 0
a−b P a − b
a<0
a = −1 a
sgna = −1
a1 + a2 + „ + an > a1 + a2 + „ + an
2.1.4 Bruchrechnen
Erweitern
a = az
b bz
a + c = ad+bc
bd
b d
a c = ac
Multiplikation
b d bd
Nenner stets ungleich Null
Addition
Kürzen
Subtraktion
Division
az = az: z = a
bz bz: z b
a − c = ad−cb
bd
b d
a : c = ad
b d bc
2.1 Mathematische Grundbegriffe
2.1.5 Lineare Gleichungssysteme
a1x + b1y = c1
D = a1b2 − a2b1 0
eindeutige Lösung , wenn :
a2x + b2y = c2
x=
c1b2 − c2b1
a1b2 − a2b1
y=
a1c2 − a2c1
a1b2 − a2b1
2.1.6 Quadratische Gleichungen
Allgemeine Form:
x 1,2 =
ax 2 + bx + c = 0
−b b 2 − 4ac
2a
D = b 2 − 4ac
x 1,2 = −
x 2 + px + q = 0
Normalform:
D=
D > 0 : 2 Lösungen
p
2
p
2
p
2
D = 0 : 1 Lösung
2
2
−q
−q
D < 0 : keine reelle Lösung
2.1.7 Potenzen - Wurzeln
Definitionen
a n = Produkt von n gleichen Faktoren a
n
a1 = a
a 0 = 1 (a 0 )
a = x J xn = a
Rechenregeln:
a m a n = a m+n
n
a n b = n ab
a m : a n = a m−n
n
a : nb =
(a m ) n = a mn
a n b n = (a b )
n
a
b
( n a )m = n am
n
a n : b n = (a : b ) n
m n
a =
mn
a
a −n = a1n
1
an = n a
a
m
n
= n am
m
a− n =
n
1
am
9
10
2 Mathematische Grundlagen
2.1.8 Logarithmen
x = log b a J b x = a
Definition
H
a, b > 0 und b 1
log b b = 1 ; log b 1 = 0
Rechengesetze
Sonderfälle
log a u v = log a u + log a v
log 10 x = lg x
log a u
v = log a u − log a v
log e x = ln x
log a u n = n log a u
log 2 x = lb x
log a n u = 1
n log a u
Umrechnung von Basis g auf Basis b
log b x = log b g log g x
log b g log g b = 1
lg x = lg e ln x = 0, 434294 ln x
ln x = ln 10 lg x = 2, 302585 lg x
2.1.9 Folgen - Reihen
Folge a 1 , a 2 , „, a n
Reihe a 1 + a 2 + „ + a n =
Arithmetische Folge
Arithmetische Reihe
a n = a 1 + (n − 1 )d
n
ak = sn
k =1
s n = n (a 1 + a n )
2
d = a n − a n −1 = konstant
Geometrische Folge
a n = a q n −1
a
q = a n n−1 = konstant
Geometrische Reihe
sn = a qn − 1
1 − qn
=a
q−1
1−q
q1
Unendliche geometrische Reihe
s = lim s n =
nG’
a
1−q
q <1
2.1 Mathematische Grundbegriffe
2.1.10 Binomischer Satz
Allgemeiner binomischer Satz
(a + b ) n =
n n
n n −1
a +
a b+
0
1
n n −2 2
n
a b +„+
ab n −1 +
2
n−1
n n
b
n
Binomialkoeffizienten
n
k
=
n
0
=
n(n − 1 ) (n − 2 ) „ (n − k + 1 )
n!
=
=
123„k
k!(n − k )!
n
n
n
1
=1
n
n−k
=n
Binomische Formeln
(a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2
a 2 + b 2 nicht zerlegbar
(a − b ) 2 = a 2 − 2ab + b 2
a 2 − b 2 = (a + b )(a − b )
(a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
a 3 + b 3 = (a + b )(a 2 − ab + b 2 )
(a − b ) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
a 3 − b 3 = (a − b )(a 2 + ab + b 2 )
a n − b n = (a − b )(a n −1 + a n −2 b + a n −3 b 2 + „ + b n −1 )
a 2n − b 2n = (a n − b n )(a n + b n )
2.1.11 n - Fakultät
n! = 1 2 3 „ n
Definitionen 0! = 1; 1! =1
Achtung! 70! > 1 10 99
2.1.12 Verschiedene Mittelwerte
MH > MG > MA
Arithmetisches Mittel
a1 p1 + a2 p2 + „ + an pn
[p i ]
a1 + a2 + „ + an
MA =
n
Geometrisches Mittel
MG = n a1 a2 „ an
Harmonisches Mittel
MH =
Allgemeines
arithmetisches Mittel
M AA =
n
1 + 1 +„+ 1
a1 a2
an
p = Gewicht
11
12
2 Mathematische Grundlagen
2.2 Differentialrechnung
2.2.1 Ableitung
df(x )
Erste Ableitung: f š (x ) oder
dx
Funktion f(x) :
Ableitungsregeln
Potenzregel
f(x) = a x n
f š (x) = n a x n −1
Produktregel
f(x) = u(x) v(x)
f š (x) = v(x) u š (x) +v š (x) u(x)
Quotientenregel
u(x)
f(x) = v(x)
f š (x) =
Kettenregel
f(x) = u(v(x ))
f š (x) = u š (v(x )) v š (x )
v(x) u š (x) − v š (x) u(x)
(v(x)) 2
Tabelle von Ableitungen
f(x)
f š (x )
f(x)
f š (x )
c
0
sin x
cos x
xn
n x n −1
cos x
− sin x
x
1
2 x
tan x
1
cos 2 x
x
1
n n x n −1
cot x
−
ex
ex
arcsin x
ax
a x ln a
arccos x
−
ln x
1
x
arctan x
1
1 + x2
log a x
1
x ln a
arccot x
−
n
1
sin 2 x
1
1 − x2
1
1 − x2
1
1 + x2
2.2 Differentialrechnung
2.2.2 Potenzreihenentwicklung
TAYLORsche Formel
MACLAURINsche Form
f (x ) = f (0 ) +
Restglied:
f š (0 )
f šš (0 ) 2
f (n) (0 ) n
x+
x +„+
x + R n (x )
1!
2!
n!
n +1
R n (x ) = x
f
(n + 1 )!
x ) wobei 0 < ϑ < 1
(n +1) (
Allgemeine Form
f (x 0 + h ) = f (x 0 ) +
Restglied:
f šš (x 0 ) 2
f (n) (x 0 ) n
f š (x 0 )
h+
h +„+
h + R n (h )
1!
2!
n!
R n (h ) = 1
n!
(1 + x ) m = 1 +
m
x+
1
x 0 +h
ˆ
x0
(x 0 + h − x ) n f (n +1) (x )dx
m 2
x +
2
m 3
x +
3
1 = 1 − x + x2 − x3 + − 1+x
x <1
x <1
1
= 1 − 1 x + 3 x 2 − 5 x 3 + −„
2
8
16
1+x
x <1
2
3
ex = 1 + x + x + x + „
1! 2! 3!
für alle x
2
3
ln(1 + x ) = x − x + x − +„
2
3
−1 < x > +1
ln x = 2 x − 1 + 1 x − 1
x+1
3 x+1
3
+ 1 x−1
5 x+1
5
+„
x>0
3
5
7
sin x = x − x + x − x + −„
1! 3! 5! 7!
für alle x
2
4
6
cos x = 1 − x + x − x + −„
2! 4! 6!
für alle x
tan x = x + 1 x 3 + 2 x 5 + 17 x 7 + „
15
315
3
für alle
x < 2
3
5
7
arcsin x = x + 1 x + 1 3 x + 1 3 5 x + „
2 3 2 4 5 2 4 6 7
x >1
3
5
7
arctan x = x − x + x − x + −„
5
7
3
x >1
13
14
2 Mathematische Grundlagen
2.3 Matrizenrechnung
2.3.1 Definitionen
Matrix :
System von Elementen a ik mit i = 1„m und k = 1„n
in m Zeilen und n Spalten angeordnet
A
(m,n)
=
a 11 a 12 a 13 „ a 1n
a 21 a 22 a 23 „ a 2n
†
a m1 a m2 a m3 „ a mn
Rechteckige Matrix:
mn
Quadratische Matrix:
m=n
Skalar:
m = n =1
Vektor:
einzeilige Matrix = Zeilenvektor
einspaltige Matrix = Spaltenvektor
a1 a2 … an
a1
a2
†
am
Nullmatrix:
alle Elemente a ik = 0
Diagonalmatrix:
quadratische Matrix bei der alle Elemente außerhalb der
Hauptdiagonalen = 0
a ik = 0 für alle i k
Einheitsmatrix:
Diagonalmatrix mit a ii = 1 für alle i
Symmetrische Matrix:
quadratische Matrix mit a ik = a ki für alle i, k
Gleichheit von Matrizen: A = B wenn a ik = b ik für alle i, k
2.3.2 Rechnen mit Matrizen
Addition und Subtraktion
AB=C
a ik b ik = c ik
i = 1„m ; k = 1„n
Die Addition von Matrizen ist
- kommutativ:
A+B=B+A=C
- assoziativ:
A + (B + C) = (A + B) + C
Zwischen Addition und Subtraktion besteht in der Gesetzmäßigkeit kein Unterschied
2.3 Matrizenrechnung
Transponieren einer Matrix
Eine Matrix wird transponiert, indem man ihre Zeilen und Spalten vertauscht
A H AT :
a ik H a ki
Für symmetrische Matrizen gilt:
(A
Regeln:
T )T
i = 1„m ; k = 1„n
AT = A
=A
( A B )T = B T AT
( A B C ) T = C T B T AT
Matrizenmultiplikation
A
(m,n )
B =
(n,p )
C
c ik =
(m,p )
B =
(n,p)
A =
(m,n)
a 11 … a 1n
†
†
a i1 … a in
†
†
a m1 … a m n
n
j =1
a ij b jk
i = 1„m ; k = 1„p
b 11 … b 1k … b 1p
†
†
†
b n1 … b nk … b np
c 11
c 1k …
†
†
c i1 … c ik …
†
†
cm 1 … cm k …
c 1p
†
ci p
†
cm p
= C
(m,p)
Für die Multiplikation müssen die Matrizen A und B verkettbar sein. Dies ist nur
möglich, wenn die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmt.
Die Matrizenmultiplikation ist in der Regel nicht kommutativ: A B B A
A (B + C ) = A B + A C
A B C = A (B C ) = (A B ) C
aber distributiv:
und assoziativ:
Matrizeninversion
Existiert eine Matrix B mit A B = B A = E (Einheitsmatrix), dann ist B die zu A
inverse Matrix und wird mit A −1 bezeichnet, also
A A−1 = A−1 A = E
(A quadratisch)
KRAMERsche Regel für symmetrische Matrizen
a 22 −a 12
−a 12 a 11
A=
a 11 a 12
a 12 a 22
A=
a 11 a 12 a 13
a 12 a 22 a 23
a 13 a 23 a 33
mit
D = a 11 b 11 − a 12 b 21 + a 13 b 31
b 11 = a 22 a 33 − a 223
b 22 = a 11 a 33 − a 213
b 33 = a 11 a 22 − a 212
H A−1 = 1
D
mit D = a 11 a 22 − a 212
b 11 −b 21 b 31
H A−1 = 1 −b 21 b 22 −b 32
D
b 31 −b 32 b 33
b 21 = a 12 a 33 − a 13 a 23
b 31 = a 12 a 23 − a 13 a 22
b 32 = a 11 a 23 − a 13 a 12
15
16
2 Mathematische Grundlagen
2.4 Ebene Geometrie
2.4.1 Arten von Winkel
Nebenwinkel
betragen zusammen 200 gon
+ = 200 gon
Scheitelwinkel
sind gleich groß
= š
Stufenwinkel
an geschnittenen Parallelen sind gleich groß
" = "š
Wechselwinkel
an geschnittenen Parallelen sind gleich groß
* = *š
Winkel
deren Schenkel paarweise aufeinander senkrecht stehen,
sind entweder gleich groß oder ergänzen einander zu 200 gon
Außenwinkel
Im Dreieck ist ein Außenwinkel gleich der Summe der beiden
š = + nicht anliegenden Innenwinkel
Winkelsummen
Im Dreieck ist die Summe der Innenwinkel 200 gon
Im Viereck ist die Summe der Innenwinkel 400 gon
Im n Eck ist die Summe der Innenwinkel (n - 2) 200 gon
s¢
a
a¢
w
s
g
d
w¢
b
d
a
2.4.2 Kongruenzsätze
Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie übereinstimmen in:
a) drei Seiten SSS
b) zwei Seiten und dem von diesen eingeschlossenen Winkel SWS
c) zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite SSW
d) einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln WSW
einer Seite und zwei gleichliegenden Winkeln WWS
2.4.3 Ähnlichkeitssätze
Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn:
a) drei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben
b) zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben
und die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen
c) zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben
und die Gegenwinkel der längeren Seiten übereinstimmen
d) zwei Winkel übereinstimmen
b
b'
2.4 Ebene Geometrie
2.4.4 Strahlensätze
17
A'
1. Strahlensatz
A
SA : SA š = SB : SB š
(B)
2. Strahlensatz
S
AB : A š B š = SA : SA š
B
(A)
B'
2.4.5 Teilung einer Strecke
Teilungsverhältnis
a
A
Innere Teilung
B b
Ti
Ta
b
Äußere Teilung
AT i : T i B = a : b
AT a : T a B = a : b
T i = innerer Teilpunkt
T a = äußerer Teilpunkt
Harmonische Teilung
Eine harmonische Teilung liegt vor, wenn eine Strecke außen und innen im gleichen
Verhältnis geteilt wird
AT i : T i B = AT a : T a B = a : b
Stetige Teilung (Goldener Schnitt)
a = AB
a/2
a : x = x : (a − x )
x
x = a ( 5 − 1)
2
A
x
a
TS
a-x
B
18
2 Mathematische Grundlagen
2.4.6 Dreieck
Allgemeines Dreieck
Bezeichnungen im Dreieck
a:
b:
c:
C
h a : Höhe zur Seite a
h b : Höhe zur Seite b
h c : Höhe zur Seite c
g
a
b
Gegenseite der Ecke A
Gegenseite der Ecke B
Gegenseite der Ecke C
ha
Winkelsumme im Dreieck (Innenwinkel)
+ + = 200 gon
hc
a
b
c
A
Beziehungen im Dreieck
B
Winkelsumme am Dreieck (Außenwinkel)
š
š
š
+ + = 400 gon
Seitenhalbierende s , Schwerpunkt S
Schwerpunkt S = Schnittpunkt der
Seitenhalbierenden
2
a/
b/
2
C
c/2
s
A
sc
b
2
a/
b/
2
S
sa
B
c/2
Schwerpunkt S
teilt die Seitenhalbierenden
im Verhältnis 2 : 1
Winkelhalbierende w, Inkreis
Inkreismittelpunkt O = Schnittpunkt der
Winkelhalbierenden
C
r
A
wa O
a/2
a/2
!= F
s =
a
b
Inkreisradius
g/2 g/2
b/2
b/2
B
c
(s − a )(s − b )(s − c )
s
s= a+b+c
2
F = Fläche des Dreiecks
Mittelsenkrechte, Umkreis
Umkreismittelpunkt U = Schnittpunkt der
Mittelsenkrechten
C
g
Umkreisradius
b
a
A
r= abc
4F
r
U
c
B
r=
c
2 sin F = Fläche des Dreiecks
2.4 Ebene Geometrie
Rechtwinkliges Dreieck
C
b
a
h
q
A
p
c
Satz des PYTHAGORAS
B
Kathetensatz
c2 = a2 + b2
Höhensatz
h2 = p q
a2 = c p
b = cq
2
mathematische Bezeichnung für p, q
(siehe auch Abschnitt 4.1.4)
F= ab
2
Fläche
Gleichschenkliges Dreieck
a = b oder = C
g/2 g/2
a
a
hc
a
A
c/2
a
c/2
c
Höhe
hc = a2 − c
2
Fläche
F=
B
2
a 2 sin 2
Gleichseitiges Dreieck
= = = 60 C
a
h= a 3
2
Fläche
2
F= a 3
4
Umkreisradius
r= a 3
3
Inkreisradius
!= a 3
6
a
a
h
A
Höhe
a
a
a
B
19
20
2 Mathematische Grundlagen
2.4.7 Viereck
Quadrat
Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und sind gleich lang
a
a
Diagonale
d=a 2
Umfang
U=4a
Fläche
F = a2
Diagonale
d = a2 + b2
Umfang
U = 2(a + b )
Fläche
F=ab
Rechteck
Die Diagonalen sind gleich lang
a
b
Raute
Die Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander
a
e 2 + f 2 = 4a 2
a
a
f
e
Umfang
U=4a
Fläche
F= 1 ef
2
a
Parallelogramm
Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig
a
Umfang
b
ha
Fläche
U = 2(a + b )
F = a ha = b hb
a
Trapez
d
2 gegenüberliegende Seiten sind parallel
c
Umfang
b
m
h
Fläche
a
m = 1 (a + c )
2
U=a+b+c+d
F = 1 (a + c ) h
2
2.4 Ebene Geometrie
21
2.4.8 Vielecke
Allgemeines Vieleck
b3
b2
2
a2
a3
3
i
ai
1
a1
an
b1
Summe der Innenwinkel (n − 2 ) 200 gon
Summe der Außenwinkel (n + 2 ) 200 gon
Anzahl der Diagonalen
n(n − 3 ) 1
2
bi
n
bn
Anzahl der Diagonalen in einer Ecke
n−3
n = Anzahl der Ecken
Regelmäßiges Vieleck
1. Jedes regelmäßige Vieleck kann
in n gleichschenklige, kongruente Dreiecke zerlegt werden
3
2. Der Zentriwinkel eines Dreiecks beträgt:
= 1
n 400 gon
2
b
b
3. Jeder Außenwinkel beträgt:
= 200 gon + 1
n 400 gon
i
b
g
n = Anzahl der Ecken
1
b
b n
4. Jedes regelmäßige Vieleck hat gleichgroße Seiten und Winkel
5. Jedes regelmäßige Vieleck hat einen In- und einen Umkreis
6. Der Mittelpunkt des regelmäßigen Vielecks hat von den Ecken die gleiche
Entfernung
22
2 Mathematische Grundlagen
2.4.9 Kreis
Bezeichnungen am Kreis
= in sich geschlossene Kreislinie
Bogen
= Teil des Umfanges
Radius
= Verbindungsstrecke
Kreispunkt - Mittelpunkt
Sekante
= Gerade, die den Kreis in zwei
Punkten schneidet
Sehne
= Strecke, deren Endpunkte auf
dem Kreis liegen
Tangente
= Gerade, die den Kreis in einem
Punkt berührt
Pfeilhöhe
= maximaler Abstand zwischen
Kreisbogen und Sehne
Kreisumfang
U = 2 r = d
Kreisfläche
F = r2 = d2
4
Sehne
s = 2r sin 2
Pfeilhöhe
h = r 1 − cos = 2r sin 2 4
2
Radius
2
r= s + h
8h 2
a
r
M
a/2
a/2
h
s/2
M
s/2
r
b = r [rad ]
b
Kreisbogen
r
n
Umfang
d
Bo
ge
Seka
n te
ne
Seh
Radius M
Tangente
Pfeilhöhe
r
2.4 Ebene Geometrie
23
Kreis und Sehne
Die Mittelsenkrechte einer Sehne geht immer durch den Mittelpunkt des Kreises und
halbiert den Mittelpunktswinkel
Ähnlichkeit am Kreis
Sehnensatz
D
AE EB = CE ED
A
E
B
C
Sekantensatz
C
SE SF = SC SD
D
F
S
E
Tangentensatz
T
C
M
2
ST = SE SC
E
S
24
2 Mathematische Grundlagen
Winkel am Kreis
= Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel)
b
b
A
g
M
a
= Umfangswinkel (Peripheriewinkel)
= Sehnentangentenwinkel
=
= ;
2
B
Umfangswinkel über demselben Bogen sind
gleich groß
Satz des THALES:
Jeder Umfangswinkel über dem Halbkreis = 100 gon
M
A
B
2.4.10 Ellipse
P
b
a
e
a = große Halbachse
b = kleine Halbachse
F 1,2 = Brennpunkte
Ortslinie für die Punkte P mit F 1 P + F 2 P = konstant = 2a
Umfang - Näherungsformel
U O 3 (a + b ) − ab
2
Fläche
F=ab
1
für b
a> 5
Lineare Exzentrizität
e = a2 − b2
U > (a + b )
2.5 Trigonometrie
25
2.5 Trigonometrie
2.5.1 Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck
Definition der Winkelfunktionen
Sinusfunktion
C
Gegenkathete a
sin =
= c
Hypotenuse
b
a
Kosinusfunktion
a
A
cos = Ankathete = b
c
Hypotenuse
B
c
cot a
a
Tangensfunktion
tan =
Gegenkathete a
=
b
Ankathete
1
Kotangensfunktion
cot =
a
Ankathete = b
a
Gegenkathete
1
Beziehungen zwischen den Funktionen des gleichen Winkels
sin α =
cos α =
1 − sin 2 sin
cos
1 − cos 2 tan
tan 1 + tan 2 cot
1
1 + cot 2 Das Vorzeichen
der Wurzel hängt
vom Quadranten ab
cot = cos sin sin tan = cos
sin 2 + cos 2 = 1
1
1 + tan 2 cot 1 + cot 2 +x
IV
I
III
II
+y
tan α =
sin 1 − sin 2 1 − sin 2 sin cot α =
1 − cos 2 cos cos 1 − cos 2 1
tan 1
cot Quadrant
I
II
sin
+
+
cos
+
-
tan/cot
+
-
III
IV
-
+
+
-
26
2 Mathematische Grundlagen
Besondere Werte, Grenzwerte
0° (0 gon)
30°
45° (50 gon)
60°
90° (100 gon)
sin
0
1
2
1 2
2
1 3
2
1
cos
1
1 3
2
1 2
2
1
2
0
tan
0
3
3
1
3
’
cot
’
3
1
3
3
0
1
sin O tan O a
tan a
sin a
Funktionswerte kleiner Winkel
1
Umwandlungen
100 gon 200 gon 300 gon sin
+ cos sin − cos 400 gon − sin cos
sin − cos sin + cos tan
cot tan cot − tan cot
tan cot tan − cot Arcusfunktionen
Hauptwert
arcsin
−100 gon > > +100 gon
Nebenwerte
= n 400 gon
n = 1,2..
= 200 gon− n 400 gon
n = 0,1..
= + n 400 gon
n = 1,2..
arccos
0 gon > > +200 gon
= − n 400 gon
n = 1,2..
arctan
−100 gon < < +100 gon
= + n 200 gon
n = 1,2..
arccot
0 gon < < +200 gon
= + n 200 gon
n = 1,2..
2.5 Trigonometrie
27
2.5.2 Winkelfunktionen im allgemeinen Dreieck
C
g
a
b
b
a
A
c
B
Sinussatz
a = b = c = 2r
sin sin sin r = Umkreisradius
Beachten:
Wenn zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel gegeben sind,
sind folgende Fälle möglich: (z.B. für a, b, gegeben)
Für a P b ist < 100gon
Für a < b sind folgende Fälle zu unterscheiden:
1 und 2 = 200gon− 1
1. b sin < a :
zwei Werte für :
= 100gon
2. b sin = a :
3. b sin > a :
keine Dreieckskonstruktion möglich
Genauigkeit:
Standardabweichung der Strecke a
s 2a = a
c sc
2
+ c cos s [rad ]
sin 2
a s [rad ]
+ tan
2
s c = Standardabweichung der Strecke c
s , s = Standardabweichung der Winkel , [rad ]
Kosinussatz
2
2
2
cos = b + c − a
2bc
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos 2
2
2
cos = a + c − b
2ac
2
2
2
cos = a + b − c
2ab
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos Genauigkeit:
Standardabweichung der Strecke c
s 2c =
a − b cos sa
c
2
+
b − a cos sb
c
2
+
ab sin s [rad ]
c
s a , s b = Standardabweichung der Strecken a, b
s = Standardabweichung des Winkels [rad ]
2
28
2 Mathematische Grundlagen
Projektionssatz
a = b cos + c cos b = a cos + c cos c = b cos + a cos Tangenssatz
a+b =
a−b
+
2
−
tan
2
tan
b+c =
b−c
+
2
−
tan
2
tan
c+a
c−a =
+
2
−
tan
2
tan
Halbwinkelsätze
sin =
2
(s − b )(s − c )
bc
cos =
2
s(s − a )
bc
sin
=
2
(s − a )(s − c )
ac
cos
=
2
s(s − b )
ac
sin
=
2
(s − b )(s − a )
ab
cos
=
2
s(s − c )
ab
tan = 2
!
(s − b )(s − c )
= s−a
s(s − a )
!
=
2 s−b
!
tan = s − c
2
tan
s = 1 (a + b + c )
2
!2 =
(s − a )(s − b )(s − c )
s
! = Inkreisradius
2.5 Trigonometrie
2.5.3 Additionstheoreme
Trigonometrische Funktionen von Winkelsummen
sin( + ) = sin cos + cos sin cos( + ) = cos cos − sin sin sin( − ) = sin cos − cos sin cos( − ) = cos cos + sin sin tan( + ) =
tan + tan 1 − tan tan cot( + ) =
cot cot − 1
cot + cot tan( − ) =
tan − tan 1 + tan tan cot( − ) =
cot cot + 1
cot − cot Trigonometrische Funktionen des doppelten und des halben Winkels
cos sin = 2 sin 2
2
2
2
cos = cos 2 − sin 2
cos = 1 − 2 sin 2 2
cos = 2 cos 2 2 − 1
1 + cos = 2 cos 2 2
1 − cos = 2 sin 2 2
sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos 2 − sin 2 cos 2 = 1 − 2 sin 2 cos 2 = 2 cos 2 − 1
1 + cos 2 = 2 cos 2 1 − cos 2 = 2 sin 2 sin =
2
1 − cos 2
cos =
2
1 + cos 2
tan =
2
1 − cos 1 + cos cot =
2
1 + cos 1 − cos +
−
cos
2
2
+
−
sin − sin = 2 cos
sin
2
2
+
−
cos + cos = 2 cos
cos
2
2
+
−
cos − cos = 2 sin
sin
2
2
sin + sin = 2 sin
29
30
2 Mathematische Grundlagen
4.5.4 Sphärische Trigonometrie
Rechtwinkliges Kugeldreieck
sin = sin a
sin c
sin = sin b
sin c
b
cos = tan
tan c = cos a sin a
cos = tan
tan c = cos b sin tan a
tan = sin b
tan = tan b
sin a
cos c = cos a cos b = cot cot C
(90°-b)
b
a
A
a
cos eines Stückes = Produkt der cot
der benachbarten Stücke
oder
Produkt der sin der nicht
benachbarten Stücke
wobei a durch (90°- a)
und b durch (90°- b) ersetzt
und Winkel γ = 90° nicht beachtet wird.
(90°-a)
•
NEPERsche Regel:
b
a
B
b
c
c
C
Schiefwinkliges Kugeldreieck
g
b
a
Sinussatz
sin a = sin b = sin c
sin sin sin b
a
A
c
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos Seitenkosinussatz
cos b = cos c cos a + sin c sin a cos cos c = cos a cos b + sin a sin b cos cos = − cos cos + sin sin cos a
Winkelkosinus
cos = − cos cos + sin sin cos b
cos = − cos cos + sin sin cos c
Fläche
F = r 2 [rad ]
r = Radius
= + + − 180 (sphärischer Exzess)
B