Freitag 6.5.2016

Mathematische Probleme, SS 2016
Freitag 6.5
$Id: trig.tex,v 1.14 2016/05/06 12:26:14 hk Exp $
§2
Trigonometrische Formeln
2.1
Die Additionstheoreme
In der letzten Sitzung hatten wir geometrische Herleitungen der Additionstheoreme
der trigonometrischen Funktionen im Fall spitzer Winkel vorgeführt. Für Winkel 0 <
α, β < π/2 mit α + β < π/2 hatten wir gezeigt, dass
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β,
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β,
tan α + tan β
tan(α + β) =
1 − tan α tan β
gelten. Um diese Formeln auch auf den Fall stumpfer Winkel auszudehnen, ist es sinnvoll erst einmal die Formeln für die Subtraktion spitzer Winkel zu behandeln. Wir
beschränken uns dabei auf Sinus und Cosinus, die Formeln für den Tangens kann man
dann rechnerisch herleiten. Seien also zwei Winkel 0 < α < β < π/2 gegeben. Wir
gehen ähnlich wie beim Beweis der Additionsformeln vor und betrachten die folgende
Figur:
A
α
B
C
D
E
β−α
α
M
F
Wir beginnen wieder mit einem Viertelkreis mit Mittelpunkt M und Radius 1. In
diesem tragen wir den Winkel β bei M ab, und in ihm enthalten dann auch den
kleineren Winkel α. Seien A und B die Schnittpunkte dieser beiden Winkel mit dem
Einheitskreis und fälle das Lot von A auf M B. Bezeichnet C den Lotfußpunkt, so
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können wir Sinus und Cosinus von β − α im rechtwinkligen Dreieck M CA als
sin(β − α) = |AC| und cos(β − α) = |M C|
ablesen. Fälle nun das Lot von A auf die untere Begrenzung des Viertelkreises und
erhalte den Fußpunkt F . Von F aus fälle dann die Lote auf M B mit Fußpunkt D und
auf AC mit Fußpunkt E. Wie beim Beweis der Additionsformel hat das Dreieck F EA
bei A den Winkel α. Nun ist F ECD ein Parallelogram, also
sin(β − α) = |AC| = |AE| − |CE| = |AE| − |DF |
= |AF | cos α − |M F | sin α = sin β cos α − cos β sin α
und
cos(β − α) = |M C| = |M D| + |DC| = |M D| + |F E|
= |M F | cos α + |AF | sin α = cos β cos α + sin β sin α.
Dies sind schon die beiden Subtraktionsformeln, und damit steht alles bereit auch
den Fall stumpfer Winkel zu untersuchen. Erinnern sie sich daran, dass wir Sinus und
Cosinus durch die Formeln
sin
π
π
:= 1, cos := 0, sin α := sin(π − α) und cos α := − cos(π − α)
2
2
für π/2 < α < π auf den Fall stumpfer Winkel ausgedehnt hatten. Weiter werden wir
die Formeln für Complementärwinkel benötigen, also die für 0 < φ < π/2 gültigen
Formeln
π
π
sin
− φ = cos φ und cos
− φ = sin φ.
2
2
Der erste noch zu behandelnde Fall der Additionstheoreme sind jetzt zwei spitze Winkel
die sich zu einem Rechten ergänzen. In dieser Situation wird das Additionstheorem
für den Sinus zum Satz des Pythagoras und das des Cosinus ist klar. Seien nämlich
0 < α, β < π/2 spitze Winkel mit α+β = π/2. Dann sind α und β Complementärwinkel
in einem rechtwinkligen Dreieck und somit gelten
sin α cos β + cos α sin β = sin α sin
π
2
− β + cos α cos
π
−β
2
= sin2 α + cos2 α = 1 = sin(α + β)
sowie
cos α cos β − sin α sin β = cos α sin
π
π
− β − sin α cos
−β
2
2
= cos α sin α − sin α cos α = 0 = cos(α + β).
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Der letzte noch verbleibende Fall in dem α und β spitze Winkel sind, ist die Situation
0 < α, β < π/2 mit einem stumpfen α + β, also α + β > π/2. In diesem Fall haben wir
die beiden Complementärwinkel 0 < π/2 − α, π/2 − β < π/2 mit
π
π
π
−α +
− β = π − (α + β) < ,
2
2
2
und es folgen
π
π
π
π
sin(α + β) = sin(π − (α + β)) = sin
− α cos
− β + cos
− α sin
−β
2
2
2
2
= cos α sin β + sin α cos β
und
cos(α + β) = − cos(π − (α + β))
π
π
π
π
= sin
− α sin
− β − cos
− α cos
− β = cos α cos β − sin α sin β.
2
2
2
2
Damit sind alle Fälle behandelt in denen α, β beides spitze Winkel sind. Es verbeiben
dann die Möglichkeiten α ≥ π/2 oder β ≥ π/2. Da wir allerdings α + β < π haben
müssen, können nicht beide Alternativen zugleich zutreffen, einer der beiden Winkel
muss also spitz sein. Durch eventuelles Vertauschen von α und β können wir dann
0 < α < π/2 annehmen. Für β = π/2 werden dann
π
π
π sin(α + β) = sin α +
= sin π − α +
= sin
−α
2
2
2
π
π
= cos α = sin α cos + cos α sin
2
2
und
π
π π
cos(α + β) = cos α +
−α
= − cos π − α +
= − cos
2
2
2
π
π
= − sin α = cos α cos − sin α sin .
2
2
Damit sind wir beim allerletzten Fall angelangt, dass also 0 < α < π/2 spitz ist und
π/2 < β < π stumpf ist. Weiter muss α + β < π gelten. Diesen Fall führen wir auf die
Subtraktionsformel für spitze Winkel zurück, es sind 0 < α < π − β < π/2 und somit
wird
sin(α + β) = sin(π − (α + β)) = sin((π − β) − α)
= sin(π − β) cos α − cos(π − β) sin α = sin β cos α + cos β sin α
sowie
cos(α + β) = − cos((π − β) − α) = − cos(π − β) cos α − sin(π − β) sin α
= cos β cos α − sin β sin α.
Auch die Subtraktionsformel läßt sich für 0 < α < β < π entsprechend beweisen, da
wir inzwischen gesehen haben das diese Beweise eher Buchhaltung“ sind, wollen wir
”
hier darauf verzichten dies im Detail vorzuführen.
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2.2
Freitag 6.5
Verdoppelungs- und Halbierungsformeln
Als Verdoppelungsformeln bezeichnet man die Formeln für die Werte der trigonometrischen Funktionen bei verdoppelten Winkel, also für sin(2α), cos(2α) und tan(2α), und
die Halbierungsformeln sind dann entsprechend die Formeln für die halbierten Winkel.
Man kann all diese Formeln natürlich durch Spezialisieren der Additionstheoreme auf
β = α erhalten, also etwa
sin(2α) = sin(α + α) = 2 sin α cos α,
cos(2α) = cos(α + α) = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α,
2 tan α
tan(2α) = tan(α + α) =
,
1 − tan2 α
sie lassen sich aber auch geometrisch an einer geeigneten Figur gewinnen. Wir betrachten einen Halbkreis mit Radius 1 und Mittelpunkt M und bezeichnen den unteren
Durchmesser dieses Halbkreises als AB. Dann ist M der Mittelpunkt von AB und es
ist |AB| = 2. Weiter sei ein Winkel 0 < α < π/2 gegeben und trage diesen im Halbkreis
bei A ab. Bezeichnet C den entstehenden Schnittpunkt mit unserem Halbkreis, so hat
das Dreieck ABC nach dem Satz von Thales §1.Satz 21 bei C einen rechten Winkel.
Die Seitenlängen in diesem Dreieck sind dann in den Standardbezeichnungen gegeben
als
a = |BC| = 2 sin α, b = |AC| = 2 cos α und c = |AB| = 2.
C
α
b
a
α
A
2α
M
β
P
B
Ziehen wir jetzt die Verbindungsstrecke M C, so entsteht ein weiteres Dreieck M BC.
Der Winkel von M BC bei M ist der Mittelpunktswinkel der Sekante BC unseres
Halbkreises und unser gegebener Winkel α ist der Perepheriewinkel dieser Sekante bei
A, der Winkel von M BC bei M ist nach dem Perepheriewinkelsatz §1.Satz 22.(a) also
gleich 2α. Fällen wir also das Lot von C auf AB und bezeichnen den Fußpunkt mit P ,
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so sind sin(2α) = |P C| und cos(2α) = |M P | da die Hypothenuse des rechtwinkligen
Dreiecks M P C ein Radius unseres Halbkreises ist und damit die Länge |M C| = 1 hat.
Dem rechtwinkligen Dreieck AP C entnehmen wir
sin α =
|P C|
sin(2α)
=
, also sin(2α) = 2 sin α cos α
b
2 cos α
und wir haben eine geometrische Begründung der Verdoppelungsformel des Sinus.
Ebenfalls im Dreieck M P C sehen wir
cos α =
|AP |
1 + |M P |
1 + cos(2α)
=
=
, also cos(2α) = 2 cos2 α − 1
b
b
2 cos α
und dies ist eine der beiden Verdoppelungsformeln des Cosinus. Auch die andere Variante dieser Formel können wir an unserer Figur sehen. Dazu beachten wir zunächst das
das Dreieck M BC bei M gleichschenklig ist, also sind die Winkel in diesem Dreieck nach
Aufgabe (9.a) bei B und C gleich, etwa β, und wir erhalten π = 2α+2β = 2(α+β), also
β = π/2−α. Im rechtwinkligen Dreieck P BC liegt damit bei C der Winkel π/2−β = α
an, und es ergibt sich
|P B|
|P B|
sin α =
=
,
a
2 sin α
also auch
cos(2α) = |M P | = 1 − |P B| = 1 − 2 sin2 α.
Wir können an unserer Figur weiter auch zwei Gleichungen für den Tangens von α
sehen. Im rechtwinkligen Dreieck AP C erhalten wir
tan α =
|P C|
sin(2α)
|P C|
=
=
,
|AP |
1 + |M P |
1 + cos(2α)
und ebenso liefert das rechtwinklige Dreieck P BC
tan α =
1 − |M P |
1 − cos(2α)
|P B|
=
=
.
|P C|
|P C|
sin(2α)
Setzen wir in diese beiden Formeln noch θ = 2α ein, so ergibt sich die Halbierungsformel
des Tangens in ihren beiden Varianten
tan
θ
sin θ
1 − cos θ
=
=
.
2
1 + cos θ
sin θ
Mit derselben Substitution ergeben sich aus cos(2α) = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α dann
auch die Halbierungsformeln für Sinus und Cosinus, aus
r
θ
θ
1 + cos θ
cos θ = 2 cos2 − 1 folgt cos =
2
2
2
und
θ
θ
cos θ = 1 − 2 sin
ergibt sin =
2
2
2
8-5
r
1 − cos θ
.
2
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2.3
Freitag 6.5
Spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen
In diesem Abschnitt wollen wir uns einige der exakt berechenbaren Werte von Sinus,
Cosinus und Tangens anschauen und uns für diese auch jeweils eine geometrische Herleitung überlegen. Da die Werte für α = π/2 direkt vorgegeben sind, beginnen wir mit 60◦ .
Wir betrachten ein gleichseitiges Dreieck ABC mit SeiC
tenlänge a = b = c > 0. Nach Aufgabe (9.a) sind dann
auch alle Winkel in ABC gleich, also α = β = γ und
α
somit haben wir 3α = π beziehungsweise α = π/3. Ebenfalls nach Aufgabe (9.a) stimmen in ABC die Seitenhala
a
h
bierende CC 0 und die Höhe h auf AB überein, und der
Satz des Pythagoras §1.Satz 1 im rechtwinkligen Dreieck
AC 0 C liefert
α
α
√
A
C’
a
B
a 2
3
2
2
a.
+ h = a , also h =
2
2
Nun können wir Sinus, Cosinus und Tangens in AC 0 C ablesen und erhalten
π
h
1√
3,
=
=
3
a
2
1
a
π
1
cos
= 2 = ,
3
a
2
√
π
h
tan
= 1 = 3.
3
a
2
sin
Nun kommen wir zu einem Winkel von 45◦ . Genauso wie sich die Werte des Winkels
π/3 durch Betrachtung eines gleichseitigen Dreiecks ergaben, müssen wir diesmal ein
gleichseitiges Viereck untersuchen.
Gegeben sei ein Quadrat ABCD der Seitenlänge a >
C
0. Dann ziehen wir die Diagonale AC und betrachten D
das rechtwinklige Dreieck ABC. Da dieses Dreieck bei B
gleichschenklig ist, sind die beiden Winkel bei A und C
nach Aufgabe (9.a) gleich, etwa α. Es folgt 2α = π/2,
b
also ist α = π/4. Mit dem Satz Pythagoras §1.Satz 1
a
folgt für die Länge der Diagonale
AC
im
Quadrat
auch
√
|AC|2 = 2a2 , also |AC| = 2·a. Damit können wir unsere
gesuchten trigonometrischen Werte in ABC ablesen und
α
es ergeben sich
a
A
a
π
= √ =
sin
4
2a
π
a
cos
= √ =
4
2a
π
a
tan
=
= 1.
4
a
1
1√
√ =
2,
2
2
1√
2,
2
8-6
B
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Winkel von 36◦ , also π/5, sind etwas komplizierter, daher stellen wir diese erst einmal
zurück und schauen uns 30◦ an. Genauso wie π/3 mit einem gleichseitigen Dreieck zu
tun hatte und π/4 entsprechend mit einem Quadrat, werden wir für π/6 ein gleichseitiges Sechseck betrachten und beginnen daher mit einer Vorbemerkung über gleichseitige
n-Ecke. In Aufgabe (2) hatten wir ein konvexes n-Eck für eine natürliche Zahl n ≥ 3
als ein Tupel C = A1 . . . An betrachtet bei dem die Punkte A1 , . . . , An den Rand des nEcks aufeinanderfolgend im Gegenuhrzeigersinn umlaufen. Dieser Rand setzt sich dann
aus den n Kanten A1 A2 , A2 A3 , . . ., An A1 zusammen, und man nennt C gleichseitig
wenn diese alle dieselbe Länge haben, wenn also a := |A1 A2 | = · · · = |An A1 | gilt. Die
Zahl a heißt dann die Kantenlänge des gleichseitigen n-Ecks C. Ein gleichseitiges n-Eck
muss nicht symmetrisch“ sein, zum Beispiel muss ein gleichseitiges Viereck noch kein
”
Quadrat sein, es kann sich auch um ein Parallelogram handeln.
C
a
α
D
β
β
a
b
a
β
α
α
β
B
a
A
Dies ist allerdings auch die einzige Möglichkeit, d.h. ein gleichseitiges Viereck ABCD
ist ein Parallelogram. Um dies einzusehen bezeichne a die Kantenlänge des Vierecks und
sei α der Winkel des Vierecks bei A. Die Dreiecke ABD und CDB sind kongruent, also
hat unser Viereck auch bei C den Winkel α. Weiter ist ABD bei A gleichschenklig, also
stimmen die Winkel dieses Dreiecks bei B und D überein und somit haben ABD und
CDB bei B und D stets denselben Winkel β. Insbesondere ist α + 2β = π und damit
schneidet die Gerade BC die beiden Seiten AB und CD beide im Winkel α = π − 2β,
also sind AB und CD parallel. Analog sind auch AD und BC parallel, wir haben
also ein tatsächlich ein Parallelogram. Durch die Kantenlänge a und den Winkel α ist
das gleichseitige Viereck bis auf Kongruenz festgelegt. Ein gleichseitiges Viereck, und
erst recht ein gleichseitiges n-Eck, muss also nicht symmetrisch“ sein, dies ist nur im
”
Dreiecksfall n = 3 so. Die symmetrischen“ gleichseitigen n-Ecke nennen wir regulär.
”
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Definition 2.1 (Reguläre n-Ecke)
Sei n ∈ N mit n ≥ 3. Ein konvexes n-Eck heißt dann regulär wenn es gleichseitig ist
und alle seine Innenwinkel gleich sind.
Haben wir ein reguläres n-Eck mit Innenwinkel α, so ist nα die Summe aller Innenwinkel also liefert Aufgabe (2) auch nα = (n − 2)π, d.h.
α=
n−2
· π.
n
In Übungsaufgabe (15) werden sie zeigen das ein gleichseitiges n-Eck genau dann regulär ist wenn es einen Umkreis besitzt, wenn es also einen Kreis gibt der alle Eckpunkte
des n-Ecks enthält.
Nach dieser Vorbemerkung kommen wir nun zu den Werten der trigonometrischen
Funktionen für den Winkel α = π/6. Natürlich könnten wir auch einfach die Halbierungsformeln des vorigen Abschnitts auf den schon erledigten Winkel π/3 anwenden,
wir wollen uns hier aber eine direkte geometrische Herleitung anschauen.
Wir starten mit einem regulären Seckseck der
Kantenlänge a > 0. Zeichne den Umkreis des SechsB
ecks mit Mittelpunkt M und Radius R > 0. Die
γ
a
360◦ bei M werden in sechs gleiche Teile zerlegt
R
h
und somit hat unser eingezeichnetes Dreieck M AB
bei M den Winkel α = 2π/6 = π/3. Der Innenwinα
A
kel des Sechsecks ist nach unserer obigen Formel
M
P
gleich β = 4π/6 = 2π/3. Weiter ist das Dreieck
M AB kongruent zu M AC, und insbesondere sind
a
die Winkel dieser Dreiecke bei A gleich, d.h. M A
ist die Winkelhalbierende des Innenwinkels unseβ
C
res Sechsecks bei A. Insbesondere hat das Dreieck
M AB bei A den Winkel β/2 = α = π/3, d.h. alle
Winkel in diesem Dreieck sind gleich. Damit ist M AB ein gleichseitiges Dreieck und
insbesondere ist R = a, d.h. Umkreisradius und Kantenlänge sind gleich. In diesem
gleichseitigen Dreieck√bilden wir nun die Höhe durch B und wie schon früher gesehen
ist diese gleich h = ( 3/2)a. Da weiter die Höhe auch gleich der Winkelhalbierenden
von M AB bei B ist, erhalten wir ein bei P rechtwinkliges Dreieck M P B mit Winkel
γ = α/2 = π/6 bei B. Lesen wir die Werte der trigonometrischen Funktionen in diesem
Dreieck ab, so ergeben sich
π
a/2
1
=
= ,
6
a
2
π
h
1√
cos
=
=
3,
6
a
2
a/2
1
π
tan
=
=√ .
6
h
3
sin
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Wie schon erwähnt kann man diese Werte auch rechnerisch auf die schon behandelten
Werte zurückführen, entweder über die Halbierungsformel
r
r
1 − cos π3
1
π
1
sin =
=
=
6
2
4
2
und analog für Cosinus und Tangens, oder etwas raffinierter
π π π
π
π
π
π
1
π
sin = sin
−
= sin cos − cos sin = cos = .
6
2
3
2
3
2
3
3
2
Den Winkel π/5 = 36◦ werden wir im nächsten Abschnitt behandeln, erwartungsgemäß
hängt dieser eng mit dem regulären Fünfeck zusammen.
8-9