Additionstheoreme (Goniometrie)

26
10. Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen (Goniometrie)
Das Problem:
sin (α + β) ≠ sin α + sin β
sin (2α) ≠ 2⋅sin α
z.B. sin (30° + 60°) ≠ sin 30° + sin 60°
z.B. sin (2⋅45°) ≠ 2⋅sin 45°
Wie heisst es richtig?
Herleitung:
OA = cos β
AB = sin β
BD = sin(α + β)
OD = cos(α + β)
BC = AB⋅cos α = cos α⋅ sin β
AE = OA⋅sin α = sin α⋅ cos β
OE = OA⋅cos α = cos α⋅ cos β
DE = AC = AB⋅ sin α = sin α⋅sin β
BD = BC + CD = BC + AE
OD = OE - DE = OE - AC
Damit gilt:
(1)
(2)
sin (α
α + β ) = sin α⋅cos β + cos α⋅sin β
cos (α
α + β ) = cos α⋅cos β - sin α⋅sin β
B:
sin 75° = sin (45° + 30°) =
1
4
2 ⋅ ( 3 + 1)
cos 75° =
1
4
2 ⋅ ( 3 − 1)
(1‘) und (2‘) ergeben sich, indem man in (1) und (2) β durch -β ersetzt und beachtet, dass
sin(-β) = - sin(β) und cos(-β) = cos(β):
(1’)
(2’)
sin (α
α - β ) = sin α⋅cos β - cos α⋅sin β
cos (α
α - β ) = cos α⋅cos β + sin α⋅sin β
Aufgabe:
Berechne sin (α + β) direkt aus sin α = 3/5 ( α spitz) und sin β = 7/25 ( β stumpf)
Wegen sin2 α + cos2 α = 1 gilt cos α = 1 − sin 2 α = 4/5 und damit cos α = 4/5
bzw. cos β = - 24/25 und schliesslich sin (α + β) = - 44/125
Übungsaufgabe:
Vereinfache: cos(45° + α) + cos(45° - α)
Lösung: 2 ⋅ cos α
08.11.2013 goniometrie_s/ul
27
Herleitungsvarianten:
a) → Skalarprodukt
b) mit dem Cosinussatz
Im Einheitskreis sind die Punkte
A(cos α, sin α) und B(cos β, sin β) gegeben.
Idee:
Berechne AB auf zwei verschiedene Arten:
Cosinussatz:
AB2 = OB2 +OA2 - 2⋅OA⋅OB⋅cos (α - β)
= 2 - 2cos (α
α - β)
Abstandsformel
AB2 = (cos α - cos β)2 + (sin α - sin β)2
= 2 - 2⋅(cos α⋅cos β + sin α⋅sin β )
und damit (2’)
Wegen sin γ = cos (90° - γ) gilt sin (α + β) = cos((90° - α) - β) womit sich (1’) aus (2’) ergibt.
Das Tangenstheorem
Wegen tan γ =
sin γ
gilt:
cos γ
sin α cos β cos α sin β
±
sin(α ± β ) sin α cos β ± cos α sin β cos α cos β cos α cos β
tan(α ± β ) =
=
=
cos(α ± β ) cos α cos β m sin α sin β cos α cos β m sin α sin β
cos α cos β cos α cos β
Tipp:
Dividiere Zähler und Nenner durch cos α⋅cosβ
(3)
tan(α ± β ) =
tan α ± tan β
1 m tan α tan β
Zeige: α + β = 45°
tan α = 13 , tan β = 13
1
+1
tan(α + β ) = 2 1 3 1 = 1
1− 2 ⋅ 3
08.11.2013 goniometrie_s/ul
28
Anwendung: Winkel ϕ zwischen zwei Geraden g1 und g2 mit den Steigungen m1 und m2.
Gegeben m1 = tan ϕ 1 und m 2 = tan ϕ 2
Gesucht ist der Winkel um den man g1 im positiven
Sinn drehen muss bis g1 mit g2 zusammenfällt.
tan ϕ 2 − tan ϕ1
m − m1
= 2
(*)
1 + tan ϕ 2 tan ϕ1 1 + m1m2
Interessiert der spitze Winkel, so gehe man in (*)
zum Betrag über.
tan ϕ = tan(ϕ 2 − ϕ1 ) =
B:
Die Geraden in der Skizze haben die Gleichungen:
g1: y = 2x – 3
g2: x – 3y + 1 = 0
und damit die Steigungen m1 = 2 bzw. m2 = 1/3
als Steigungswinkel ergibt sich nach (*) :
2 − 13
tan ϕ =
= 1 und damit ϕ = 45°
1 + 23
Übungsaufgabe :
Zeichne die beiden Geraden und bestimme ihren Schnittpunkt und den spitzen
Zwischenwinkel
g1: A(0,2) B(4,0)
m 1 = - 1 /2
g2: 2x - 3y + 3 = 0
y = 2 /3 x + 1
→ m 2 = 2 /3
tan ϕ = 9/4 ϕ = 60.26°
Wichtiger Spezialfall: ϕ = 90°
m1⋅m2 = -1
Satz:
Stehen zwei Geraden mit den Steigungen m1 und m2 aufeinander senkrecht, dann gilt:
m1 ⋅ m2 = - 1
08.11.2013 goniometrie_s/ul
29
Doppelte Winkel
Setzt man in den Additionstheoremen für β = α, so erhält man
(4.1)
(4.2)
sin(2α
α) = 2 sin α cos α
cos(2α
α) = cos2 α - sin2 α = 1 - 2 sin2 α = 2cos2 α - 1
Bem.
Die Formeln gelten für beliebige Winkel!
 α
 α
z.B. sin α = 2 sin  cos 
 2
 2
Ein Extremalproblem:
Die beiden Schenkel s eines gleichschenkligen Dreiecks schliessen den Winkel ϕ ein. Für
welche Wahl von ϕ wird der Inhalt des Dreiecks maximal?
I = ½ ⋅s2⋅sin(2ϕ) wird maximal für ϕ = 45°
Eine Anwendung in der Physik: Maximale Wurfweite beim schiefen Wurf
Übungsaufgaben:
1)
cot α − tan α
Vereinfache:
cot α + tan α
Lösung: cos(2α)
2)
Beweise
a) sin(3α) = 3 sin α - 4 sin3 α sin(4α)
bzw. cos(3α) = 4cos3 α -3 cos α
1 − cos(2α )
b)
= sin(2α )
tan α
1
2
c) tan x +
=
tan x sin(2 x)
sin(2α )
d)
= tan α
2 − 2 sin 2 α
e) 2cos 2 (45° + α2 ) = 1 − sin α 2sin 2 (45° − α2 ) = 1 + sin α
Rationalisierungsformeln
Diese Formeln werden z.B. in der Integralrechnung gebraucht
2t
sin α =
1+ t2
1− t2
cos α =
1+ t2
Beweis:
 α
sin 
 2
 α
Verwende tan  =
 2
 α
cos 
 2
08.11.2013 goniometrie_s/ul
tan α =
2t
1− t2
mit t = tan ( α2 )
30
Halbe Winkel
AO = OC = 1
OB = cos α BD = sin α
Dreieck ABD:
sin α
 α
tan  =
 2  1 + cos α
Dreieck DBC:
 α  1 − cos α
tan  =
 2
sin α
BD = sin a BC = 1- cos a
Variante:
cos(2β) = 1 - 2 sin2 β mit β = α/2
 α  1 − cos α
sin 2   =
 2
2
weitere Formeln → FuT
Umformung von Summen in Produkte
sin(γ + δ) = sin γ⋅cos δ + cos γ ⋅ sin δ
sin(γ - δ) = sin γ⋅cos δ - cos γ ⋅ sin δ
γ+δ=α γ-δ= β
α+β
α−β
γ=
δ=
2
2
α + β 
α − β 
sin α + sin β = 2 sin 
 ⋅ cos

 2 
 2 
Substitution:
und damit:
weitere Formeln →FuT
Diese Formeln werden in der Differentialrechnung bei der Herleitung der Ableitung der
trigonometrischen Funktionen gebraucht. Eine Anwendung ergibt sich in der Physik bei
der Überlagerung von Sinusschwingungen (→ SPAM)
Übungsaufgaben:
1)
Zeige: sin 20° + sin 40° = sin 80°
2)
Zeige: cos α + cos(α+ 120°) + cos(α+ 240°) = 0
Tipp: Fasse den 1. und 3. Summanden zusammen!)
Dazu folgt ein Beispiel:
08.11.2013 goniometrie_s/ul
31
Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen mit gleicher Frequenz
Die Überlagerung von y = sin t und y = cos t führt auf
y = 2 ⋅ sin ( t + π4 )
sin t + cos t = sin t + sin(t + π2 ) = 2 ⋅ sin(t + π4 ) ⋅ cos(− π4 )
2
⋅ sin ( t + π4 ) = 2 ⋅ sin ( t + π4 )
= 2 ⋅ sin(t + π4 ) ⋅ cos( π4 ) =
2
Es kann allgemein gezeigt werden, dass gilt:
Die Superposition zweier harmonischer Schwingungen mit gleicher Frequenz ist wieder eine
harmonische Schwingung mit derselben Frequenz.
08.11.2013 goniometrie_s/ul
32
Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen mit ungleicher Frequenz
Schwebungen:
y = sin(ω1t ) + sin(ω2t ) = 2cos( 12 (ω1 − ω2 ) ⋅ t ) ⋅ sin( 12 (ω1 + ω2 ) ⋅ t )
Der erste Faktor kann als sich zeitlich verändernde Amplitude mit der Periode
zweite Faktor als Schwingung mit der Periode
B: y = sin(12t ) + sin(13t ) = 2cos( 12 ⋅ t ) ⋅ sin( 252 ⋅ t )
08.11.2013 goniometrie_s/ul
4π
aufgefasst werden
ω1 + ω2
4π
, der
ω1 − ω2