Folien_3 - Fachgebiet Technische Mechanik
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Fachbereich 4 Produktionstechnik Maschinenbau & Verfahrenstechnik bime Vorkurs ”Mathematik für Ingenieure” im WiSe 2014/15 Sören Boettcher bime – Bremer Institut für Strukturmechanik und Produktionsanlagen 7. Oktober 2014 S. Boettcher 1 / 17 Fachbereich 4 Produktionstechnik Maschinenbau & Verfahrenstechnik bime Inhaltsverzeichnis 1 Organisatorisches 2 Arithmetik 3 Trigonometrie 4 Gleichungen 5 Funktionen 6 Differentialrechnung 7 Integralrechnung S. Boettcher 2 / 17 Fachbereich 4 Produktionstechnik Maschinenbau & Verfahrenstechnik bime Definition der trigonometrischen Funktionen a = Gegenkathete von α a = Ankathete von β b = Gegenkathete von β b = Ankathete von α c = Hypotenuse Bei rechtwinkligen Dreiecken mit den Winkeln α, β und γ = 90◦ gilt: α + β = 90◦ . a c b sin(β) = c sin(α) = b c a cos(β) = c cos(α) = a b b tan(β) = a tan(α) = b a a cot(β) = b cot(α) = S. Boettcher 3 / 17 Fachbereich 4 Produktionstechnik Maschinenbau & Verfahrenstechnik bime Exkurs: Typische Anwendungen Geometrie: Gegeben sind d und α, gesucht ist h: Kräftezerlegung: Gegeben sind F und α, gesucht sind X und Y : X = F cos(α), Y = F sin(α) S. Boettcher 4 / 17 Fachbereich 4 Produktionstechnik Maschinenbau & Verfahrenstechnik bime Spezielle Werte für trigonometrische Funktionen Bogenmaß b 0 π 6 π 4 π 3 π 2 Gradmaß α 0◦ 30◦ 0 60◦ √ 1 2 3 90◦ sin 45◦ √ 1 2 2 √ 1 2 2 1 2 0 3 √ 3 – cos tan cot 1 2 1 √ 1 0 √ 1 – 2 3 3 3 √ 3 1 1 √ 1 3 1 0 Berechnung via Satz des Pythagoras möglich . . . a2 + b 2 = c 2 S. Boettcher 5 / 17 Fachbereich 4 Produktionstechnik Maschinenbau & Verfahrenstechnik bime Exkurs: Maße im Kreis Umfang U = 2π · r Fläche A = π · r2 Kreisausschnitt Kreisbogen π · r2 · α 360◦ π·r ·α b= 180◦ A= 2πrad = 360◦ s Grad: α = · 180◦ π α Radiant: s= ·π 180◦ S. Boettcher 6 / 17 Fachbereich 4 Produktionstechnik Maschinenbau & Verfahrenstechnik bime Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel y , r y tan(α) = , x sin(α) = ;r = p x 2 + y 2, x , r x cot(α) = y cos(α) = α = arctan S. Boettcher y x 7 / 17 Fachbereich 4 Produktionstechnik Maschinenbau & Verfahrenstechnik bime Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis Bild: Lars H. Rohwedder S. Boettcher 8 / 17 Fachbereich 4 Produktionstechnik Maschinenbau & Verfahrenstechnik bime Einige Beziehungen für trigonometrische Funktionen Komplementwinkel sin(α) = cos(90◦ − α), cos(α) = sin(90◦ − α), tan(α) = cot(90◦ − α) Umrechnungsformeln cos2 (α) + sin2 (α) = 1 sin(α) tan(α) = cos(α) tan(α) cot(α) = 1 cot(α) = cos(α) sin(α) Negative Winkel sin(−α) = − sin(α), cos(−α) = cos(α), tan(−α) = − tan(α) Doppelte Winkel sin(2α) = 2 sin(α) cos(α), tan(2α) = cos(2α) = cos2 (α) − sin2 (α), 2 tan(α) 1 − tan2 (α) S. Boettcher 9 / 17 Fachbereich 4 Produktionstechnik Maschinenbau & Verfahrenstechnik bime Einige Additionstheoreme Summe zweier Winkel sin(α ± β) = sin(α) · cos(β) ± cos(α) · sin(β) cos(α ± β) = cos(α) · cos(β) ∓ sin(α) · sin(β) tan(α ± β) = tan(α) ± tan(β) 1 ∓ tan(α) · tan(β) Summe zweier Funktionen α±β α∓β sin(α) ± sin(β) = 2 sin · cos 2 2 α+β α−β cos(α) + cos(β) = 2 cos · cos 2 2 α+β α−β cos(α) − cos(β) = −2 sin · sin 2 2 S. Boettcher 10 / 17 Fachbereich 4 Produktionstechnik Maschinenbau & Verfahrenstechnik bime Graphen der trigonometrischen Funktionen Bilder: Geek3 – Lizenz: Creative Commons by-sa 3.0 de S. Boettcher 11 / 17 Fachbereich 4 Produktionstechnik Maschinenbau & Verfahrenstechnik bime Graphen der trigonometrischen Funktionen Bilder: Geek3 – Lizenz: Creative Commons by-sa 3.0 de S. Boettcher 12 / 17 Fachbereich 4 Produktionstechnik Maschinenbau & Verfahrenstechnik bime Graphen der trigonometrischen Funktionen Bild: Geek3 – Lizenz: Creative Commons by-sa 3.0 de S. Boettcher 13 / 17 Fachbereich 4 Produktionstechnik Maschinenbau & Verfahrenstechnik bime Schiefwinkliges Dreieck∗ Sinussatz: a b c = = sin(α) sin(β) sin(γ) a2 = b 2 + c 2 − 2bc cos(α) Cosinussatz: b 2 = a2 + c 2 − 2ac cos(β) c 2 = b 2 + a2 − 2ab cos(γ) Flächeninhaltsformel: A= 1 1 1 bc sin(α) = ca sin(β) = ab sin(γ) 2 2 2 S. Boettcher 14 / 17 Fachbereich 4 Produktionstechnik Maschinenbau & Verfahrenstechnik bime Arkusfunktionen Kennt man den Funktionswert einer trigonometrischen Funktion und will man daraus den zugehörigen Winkel bestimmen, so muss man die Gleichung nach dem Winkel auflösen, was mithilfe der Arkusfunktionen möglich ist . . . Arkussinus x = arcsin(y ) ⇐⇒ y = sin(x) h π πi , y ∈ [−1, 1] und x ∈ − , 2 2 Arkuscosinus x = arccos(y ) ⇐⇒ y = cos(x) und x ∈ [0, π] , y ∈ [−1, 1] Arkustangens x = arctan(y ) ⇐⇒ y = tan(x) h π πi und x ∈ − , , y ∈ [−∞, ∞] 2 2 S. Boettcher 15 / 17 Fachbereich 4 Produktionstechnik Maschinenbau & Verfahrenstechnik bime Graphen der Arkusfunktionen Bilder: Geek3 – Lizenz: Creative Commons by-sa 3.0 de S. Boettcher 16 / 17 Fachbereich 4 Produktionstechnik Maschinenbau & Verfahrenstechnik bime Kontakt bime | Universität Bremen Fachbereich 4 – Produktionstechnik Fachgebiet 15 – Technische Mechanik/ Strukturmechanik Am Biologischen Garten 2 28359 Bremen Dr. rer. nat. Sören Boettcher Telefon E-Mail www 0421 218–64686 [email protected] http://www.bime.de S. Boettcher 17 / 17
