„Statistik für Prozesswissenschaften“ Übungsaufgaben

Dr. U. Römisch
„Statistik für Prozesswissenschaften“
Übungsaufgaben - Serie 1
1. Klassifizieren Sie folgende Merkmale:









Masse von Broten
Anzahl angeschlagener Äpfel in einer Kiste
Ausbeute eines Stoffes bei einer chem. Reaktion
Biersorten
pH-Wert von Rindfleisch
Eiweißgehalt von Joghurt
Aroma verschiedener Weinsorten
Stammwürzegehalt von Bier
Anzahl der Stillstände einer Flaschenabfüllanlage im Monat
2. Der Wassergehalt von Butter wurde gemessen und ergab folgende Werte (%):
15,05 15,52 15,44 15,35 15,24 14,89 15,47 15,28 15,18 15,39 15,08 15,26 14,78
15,19 15,78 15,02 14,91 15,80 15,26 15,07 15,09 15,24 15,23 15,01 14,99 15,29
a) Man stelle eine sekundäre Häufigkeitstabelle auf (y0 = 14,7 und d = 0,2)!
b) Man stelle die rel. Häufigkeit und die empirische Verteilungsfunktion graphisch dar!
c) Man bestimme den arithm. Mittelwert, den Median, das untere und obere Quartil, die
Spannweite, die empir. Varianz, die Standardabweichung, den Quartilsabstand und den
Variationskoeffizienten!
3. Umbagopflanzen wurden bei 2 verschiedenen Hell- Dunkel- Rhythmen aufgezogen:
A (12 h Licht, 12 h Dunkelheit) und B (24 h Licht, 24 h Dunkelheit).
Nach einer bestimmten Zeit wurde die Höhe [cm] der Einzelpflanzen bestimmt:
A: 35
B: 36
37
23
32
41
42
27
46
62
34
22
43
54
38
58
41
19
39
38
49
Vergleichen Sie die unteren und oberen Quartile, die Mediane, die Quartilsabstände und
Spannweiten, zeichnen Sie die Box-Whisker-Plots und interpretieren Sie Ihre Ergebnisse!
Dr. U. Römisch
„STATISTIK für Prozesswissenschaften“
Übungsaufgaben - Serie 2
1. Bei der quantitativen spektrometrischen Bestimmung von Zinn wurden in einer Probe
folgende Gehalte xi (%) ermittelt:
0,192
0,243
0,157
0,255
0,319
Man bestimme den mittleren Zinngehalt und die Standardabweichung bei Verwendung der
Transformation lg (10 xi)!
2. In einer bestimmten Kultur erhöhte sich in 3 Tagen die Zahl der Bakterien pro Einheit von
100 auf 500. Geben Sie die durchschnittliche tägliche Zunahme in % an!
3. In einem Unternehmen wurden in vier aufeinanderfolgenden Jahren Produktionssteigerungen von 2%, 11%, 4% und 7% erreicht. Wie groß ist die durchschnittliche
Produktionssteigerung?
4. Bei 12 Milchproben wurden folgende Keimzahlen [in 10³] gemessen:
5150 26900
285
265
4750
60900
1410
3950
2150
8250
30500
295
Bestimmen Sie das geometrische Mittel und vergleichen Sie dieses mit dem arithmetischen
Mittel!
Dr. U. Römisch
„STATISTIK für Prozesswissenschaften“
Übungsaufgaben - Serie 3
1. Das Vorhandensein von Milben zweier Spezies A und B auf jeweils 227 Ratten wurde
untersucht. Es ergaben sich folgende Vierfeldertafeln:
a)
A
B
vorh.
n. vorh.
Summe
vorh.
67
52
119
vorh.
n. vorh.
Summe
vorh.
35
84
119
Summe
n. vorh.
0
108
108
67
160
227
b)
A
B
Summe
n. vorh.
32
76
108
67
160
227
Gibt es einen stat. Zusammenhang zwischen dem Vorkommen von A- bzw. B-Milben in den
vorliegenden zwei Fällen?
Geben Sie das Assoziationsmaß von CRAMER, sowie die Kontingenzkoeffizienten von
PEARSON an und interpretieren Sie diese!
2. Bei Versuchstieren wurde der Zusammenhang zwischen den Merkmalen
Nahrungsaufnahme X (in Einh. von 10 cal) und Massezunahme Y (in g) untersucht. Folgende
Messwerte wurden ermittelt:
xi
108
99
114
85
86
yi
102
87
100
73
66
Prüfen Sie die Voraussetzungen für eine Zusammenhangsanalyse und ermitteln Sie:
a) ein Streudiagramm
b) die Mittelwerte und Varianzen
c) die Kovarianz und den Maßkorrelationskoeffizienten
d) die Regressionsgleichung
Zeichnen Sie die Regressionsfunktion in Ihr Streudiagramm und interpretieren Sie Ihre
Ergebnisse!
Bestimmen Sie den Rangkorrelationskoeffizienten von SPEARMAN und vergleichen Sie ihn
mit dem Maßkorrelationskoeffizienten!
3. Es soll geprüft werden, ob zwischen dem Natrium- und dem Lithiumgehalt von
Wasserproben ein statistischer Zusammenhang besteht. Folgende Werte wurden ermittelt:
xi [mg Na/l] 55
92
148
371
67
403
294
547
356
yi [mg Li/l] 0,8
1,6
1,1
1,8
1,0
3,1
1,8
2,7
2,1
Prüfen Sie die Voraussetzungen für eine Zusammenhangsanalyse und ermitteln Sie:
a) ein Streudiagramm
b) die Mittelwerte und Varianzen
c) die Kovarianz und den Maßkorrelationskoeffizienten
d) die Regressionsgleichung
Zeichnen Sie die Regressionsfunktion in Ihr Streudiagramm und interpretieren Sie Ihre
Ergebnisse!
241
1,0
Dr. U. Römisch
„STATISTIK für Prozesswissenschaften“
Übungsaufgaben- Serie 4
1. Aus einer Tabelle von Zufallszahlen werde willkürlich eine Zahl herausgeschrieben. Das
Ereignis A bedeute, dass die ausgewählte Zahl durch 5 teilbar ist, B bedeute, dass die Zahl mit
einer Null endet. Was bedeuten die Ereignisse:
a) A - B
b) A und B ?
2. Man bestimme für die folgenden Ereignisse ihre Komplementärereignisse:
A - das Erscheinen zweier Wappen beim Werfen zweier Münzen
B - beim Ziehen einer Kugel aus einer Urne, die 2 weiße, 3 schwarze und 4 rote Kugeln
enthält, wird eine weiße Kugel gezogen
C - bei 3 Schüssen werden 3 Treffer erzielt
D - bei 5 Schüssen wird mindestens 1 Treffer erzielt
E - bei 5 Schüssen werden nicht mehr als 2 Treffer erzielt
F - bei einem Schachspiel gewinnt der erste Spieler
3. Auf ein Ziel werden 3 Schüsse abgegeben. Sei Ai das Ereignis "der i-te Schuss ist ein
Treffer (i = 1,2,3). Man stelle die folgenden Ereignisse als Vereinigung und Durchschnitt der
Ereignisse Ai und A i dar:
A - alle 3 Schüsse treffen das Ziel
B - alle 3 Schüsse verfehlen das Ziel
C - wenigstens 1 Schuss trifft das Ziel
D - wenigstens ein Schuss verfehlt das Ziel
E - der 1. Treffer erfolgt beim 3. Schuss
4. Das Ereignis A liege vor, wenn von 3 geprüften Geräten mindestens eines fehlerhaft
arbeitet, das Ereignis B liege vor, wenn alle 3 Geräte einwandfrei arbeiten. Was bedeuten die
Ereignisse:
a) (A  B)
b) (A  B)
5. Eine Leitung, die 2 im Abstand von 200 m befindliche Punkte A und B miteinander
verbindet, sei an einer unbekannten Stelle gerissen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
sich die Schadensstelle nicht weiter als 45 m vom Punkt A befindet?
6. Ein Fahrgast wartet auf die Straßenbahn Nr. 18 oder 17 an einer Haltestelle, an der 4 Linien
vorbeikommen: Nr. 14, 11, 17, 18. Wir setzen voraus, dass alle Linien gleich oft verkehren.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste an der Haltestelle haltende
Straßenbahn eine vom Fahrgast benötigte Linie ist!
7. Man zerlege einen Würfel, dessen sämtliche Seitenflächen gleichartig gefärbt sind, in 1000
kleine Würfel einheitlicher Größe und mische diese. Es ist die Wahrscheinlichkeit dafür zu
bestimmen, dass ein zufällig ausgewählter Würfel genau 2 gefärbte Seitenflächen besitzt!
8. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man eine beliebig ausgewählte
natürliche Zahl nicht durch 2 oder nicht durch 3 teilen kann!
9. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Würfeln eine '2' oder eine gerade
Zahl zu würfeln?
10. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel im ersten Wurf keine '6', aber im
zweiten Wurf eine '6' zu würfeln?
11. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim gleichzeitigen Würfeln mit zwei
unterscheidbaren Würfeln mit dem 1. Würfel eine Augenzahl i  3 und mit dem 2. Würfel die
Augenzahl j = 6 zu würfeln?
12. Von 30 Stillständen einer Flaschenabfüllanlage entstehen 15 beim Auswechseln der
Anpresskonusse, 6 durch einen Defekt des Antriebes und 2 durch die nicht rechtzeitige
Lieferung von Flaschen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für einen Stillstand der
Flaschenabfüllanlage aus anderen Ursachen!
Dr. U. Römisch
„STATISTIK für Prozesswissenschaften“
Übungsaufgaben- Serie 5
1. 3 Kisten enthalten je 10 Gläser Obst. In der 1. Kiste sind 8, in der 2. Kiste 7, in der 3. Kiste
9 qualitätsgerechte Gläser. Aus jeder Kiste wird zufällig ein Glas ausgewählt. Geben Sie die
Wahrscheinlichkeit an, dass alle 3 ausgewählten Gläser qualitätsgerecht sind!
2. 5 Körbe enthalten jeweils 25 Äpfel. Im 1. Korb sind ein, im 2. Korb kein, im 3. Korb zwei,
im 4. Korb ein und im 5. Korb ein angeschlagener Apfel. Aus jedem Korb wird zufällig ein
Apfel ausgewählt.
a) Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 5 ausgewählten Äpfel nicht angeschlagen
sind!
b) Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 5 ausgewählten Äpfel angeschlagen sind!
c) Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der ausgewählten Äpfel
angeschlagen ist!
3. Die Wahrscheinlichkeit, eine defekte Milchflasche zu entnehmen, sei 0,2. Man wählt so
lange Milchflaschen aus, die man jeweils wieder zurücklegt, bis man eine defekte
Milchflasche findet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man viermal wählen muss ?
4. 2 Schützen schießen unbeeinflusst voneinander auf eine Zielscheibe. Es ist bekannt, dass
der 1. Schütze mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7 und der 2. Schütze mit einer
Wahrscheinlichkeit von 0,8 trifft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wenigstens einer
der Schützen die Zielscheibe trifft?
5. Ist es wahrscheinlicher, in 4 Würfen mindestens einmal die '6' zu würfeln oder dass in 24
Würfen mit 2 Würfeln beide Würfel mindestens einmal gleichzeitig die '6' zeigen?
6. Ein Arbeiter bedient 2 unabhängig voneinander arbeitende Maschinen. Die
Wahrscheinlichkeit, dass eine Maschine im Laufe einer Stunde die Aufmerksamkeit des
Arbeiters nicht erfordert, sei für die 1. Maschine P(A) = 0,4 und für die 2. Maschine
P(B) = 0,3 .
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Laufe einer Stunde keine der beiden
Maschinen die Aufmerksamkeit des Arbeiters erfordert?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wenigstens eine der beiden Maschinen die
Aufmerksamkeit des Arbeiters nicht erfordert?
7. In einer Gemeinde werden drei Brotsorten A, B und C verzehrt, den folgenden
Wahrscheinlichkeiten entsprechend:
P(A) = 0,5 ; P(B) = 0,4 ; P(C) = 0,3
P(A B) = 0,2 , P(A C) = 0,15 ; P(B C) = 0,1 ; P(A B C) = 0,05
Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Bewohner dieser Gemeinde
a) die Sorten A oder B oder C verzehrt
b) keine dieser Brotsorten verzehrt
c) nur A verzehrt
d) weder A noch C verzehrt
e) B und C nur gemeinsam verzehrt
f) höchstens zwei der Brotsorten verzehrt
8. In einer Brauerei erwiesen sich 96% der hergestellten Bierflaschen als genießbar (Ereignis
B). Von jeweils 100 genießbaren Bierflaschen konnten im Durchschnitt 75 in die Güteklasse
1 (Ereignis A) eingeordnet werden. Es ist die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass eine in
dieser Brauerei hergestellte Bierflasche genießbar ist und zur Güteklasse 1 gehört.
9. In 2 Käsereien werden Käseecken hergestellt. Die 1. Molkerei liefert 70 % und die 2.
Käserei 30 % der Gesamtproduktion. Im Mittel sind von je 100 Käseecken der 1. Käserei 83
und von je 100 Käseecken der 2. Käserei 63 qualitätsgerecht. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine qualitätsgerechte Käseecke aus der 2. Käserei stammt?
10. Unter Zuverlässigkeit eines Aggregates versteht man die Wahrscheinlichkeit des
ausfallfreien Arbeitens in einer Zeitperiode. A1, A2, A3 und A4 seien Aggregate, die mit
gleicher Zuverlässigkeit p arbeiten. Die Ereignisse Ai sollen unabhängig voneinander
ausfallen. Wir betrachten 2 Systeme:
S1: A1, A2 und A3 seien in Reihe geschaltet: (A1 A2 A3)
S2: A1 und A2 seien in Reihe geschaltet, dann folgen die parallel geschalteten A3 und A4:
[A1 A2  (A3 A4)]
p1 und p2 seien die Wahrscheinlichkeiten des ausfallfreien Arbeitens von S1 bzw. S2.
Berechnen Sie p1 und p2 für p = 0,9 und p = 0,7.
11. Ein Kartenspiel enthält 32 Karten. Sind die Ereignisse H - eine Herzkarte wird gezogen
und D - eine Dame wird gezogen voneinander unabhängig?
12. Aus einem Kartenspiel von 32 Karten wird eine Karte gezogen. Gesucht ist die
Wahrscheinlichkeit, dass eine Karo- Karte oder ein As gezogen wurde!
13. Aus einem Kartenspiel von 32 Karten werden 3 Karten gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein As unter den 3 Karten ist?
14. Ein Bauer hat 3 Hühner (Erna, Lisa und Moni). Erna ist seine Lieblingshenne, denn sie
liefert im Durchschnitt pro Jahr 40 % des gesamten Eieraufkommens, während Lisa und Moni
nur je 30 % schaffen. Da die Eier ein Mindestgewicht haben müssen, gibt es einen gewissen
Ausschuss K. Bei Erna und Lisa beträgt er jeweils 3 % und bei Moni 5 %.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig entnommenes Ei von Lisa
stammt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig entnommenes Ei Untergewicht
hat?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig entnommenes untergewichtiges
Ei von Lisa stammt?
Dr. U. Römisch
„STATISTIK für Prozesswissenschaften“
Übungsaufgaben- Serie 6
1. In einem Korb sind 32 weiße und 4 bräunliche Eier. Es werden 3 Eier entnommen. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) genau ein braunes Ei entnommen wurde?
b) mindestens ein weißes Ei entnommen wurde?
2. In einem Korb von 100 Eiern befinden sich 5 schlechte. Alle 100 Eier können abgenommen
werden, wenn sich unter 50 zufällig herausgegriffenen Eiern höchstens ein schlechtes
befindet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle 100 Eier vom Käufer
abgenommen werden?
3. Was ist bei der Auswahl von guten Pfirsichen (p = 0,8) wahrscheinlicher:
a) genau 7 gute Pfirsiche von 8 oder
b) genau 9 gute Pfirsiche von 11 auszuwählen?
4. In einer Käserei sind 5% der hergestellten Käseecken nicht qualitätsgerecht. Die Käseecken
werden zu je 6 Stück verpackt. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer
Packung mindestens eine nicht qualitätsgerechte Käseecke ist!
5. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Abfüllmaschine länger als 1000 h einwandfrei arbeitet,
beträgt 0,2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 3 Abfüllmaschinen
a) genau eine länger als 1000 h einwandfrei arbeitet?
b) höchstens eine länger als 1000 h einwandfrei arbeitet?
6. Bei einem Schachturnier ist die Zahl der Spiele auf 150 begrenzt. Wieviel Personen
können höchstens teilnehmen, wenn jeder gegen jeden spielen soll?
Dr. U. Römisch
„STATISTIK für Prozesswissenschaften“
Übungsaufgaben- Serie 7
1. Die Masse M [g] von gewissen Früchten gleicher Art und gleichen Reifegrades sei
normalverteilt mit  = 106 g und  = 3,2 g.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebig herausgegriffene Frucht
a) eine Masse unter 98 g hat?
b) eine Masse im Intervall (100; 120] g hat?
c) genau 98 g wiegt?
2. Die tägliche Nachfrage an Brot in einer bestimmten Kaufhalle sei eine normalverteilte
Zufallsgröße X  N(500;100) [ME]. Wie groß muss das Angebot an Broten [ME] mindestens
sein, damit die Nachfrage zu 95 % befriedigt werden kann?
3. Die Länge bei der Messung von Käsescheiben sei normalverteilt mit  = 150 mm und
 = 8 mm. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig gemessener Wert
a) um weniger als 10 mm von  abweicht?
b) um mehr als 10 mm von  abweicht?
4. Eine Maschine füllt Tüten. Die Masse der Tüten sei eine normalverteilte Zufallsgröße
X  N(31,4;0,04) [g]. Eine Tüte ist normgerecht gefüllt, wenn X Werte im Intervall
(30,9;31,7] [g] annimmt.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
f)
Wieviel Prozent der Tüten sind normgerecht gefüllt?
Wieviel Prozent der Tüten sind nicht normgerecht gefüllt?
Wieviel Prozent der Tüten sind unterdosiert?
Wieviel Prozent der Tüten sind überdosiert (zu voll)?
Wie müsste die untere Grenze des Toleranzbereiches xu sein, damit nur 0,2% der Tüten
unterdosiert sind?
Welchen Wert müsste die Standardabweichung  haben, damit bei ursprünglichem
Toleranzbereich nur 0,2 % der Tüten unterdosiert sind?
Dr. U. Römisch
„STATISTIK für Prozesswissenschaften“
Übungsaufgaben- Serie 8
1. Aus 100 Werten wurde als Mittelwert für die Brenndauer von Glühlampen ͞x = 1520 h
bestimmt. Die Standardabweichung  = 150 h sei als bekannt vorauszusetzen. Die
Brenndauer sei normalverteilt.
Man bestimme das 95 %- ige Konfidenzintervall für den unbekannten Erwartungswert!
2. Der Abstand zwischen geschätztem Mittelwert ͞x = 1520 h und dem Erwartungswert  soll
bei Aufg. 1 mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von  = 0,05 nicht größer als d = 40 h sein.
Wie groß muss der Umfang der Stichprobe mindestens gewählt werden?
3. Der zufällige Fehler eines Messgerätes sei normalverteilt mit dem Erwartungswert  = 0
mm. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Messung der zufällige Fehler um höchstens 20
mm vom Erwartungswert abweicht, sei 0,8. Man bestimme die Standardabweichung !
4. Die Feinheit eines Mahlgutes sei normalverteilt. Proben von 10 Siebanlagen ergaben
folgende Feinheitswerte (größere Feinheitswerte entsprechen feinerem Material!):
19,7
21,0
21,4
20,8
20,6
19,5
21,2
19,7
19,8
20,9 .
Es soll geprüft werden, ob
a) das Mahlgut des Tages nur zufällig von der vorgeschriebenen Feinheit 0 = 20
abweicht!
b) das Mahlgut des Tages echt zu fein ist!
Als Irrtumswahrscheinlichkeit ist jeweils  = 0,05 anzunehmen.
5. In einem Gewächshausversuch wurde der Einfluss zweier Düngersorten auf das Wachstum
von Sojabohnen getestet. Bei den nach 7 Wochen entnommenen Stichproben vom Umfang n1
= 30 (Boden 1) und n2 = 25 (Boden 2) ergaben sich folgende Mittelwerte und Varianzen der
Pflanzenhöhen:
͞x1 = 40,6 cm
͞x2 = 38,4 cm
s1² = 3,2 [cm]2
s2² = 5,9 [cm]2
Es ist zu prüfen, ob sich die Mittelwerte bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von  = 0,05
echt voneinander unterscheiden!