4 Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung von Lehrstoff

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Aufgaben und Lösungen zur Maturavorbereitung__________________________________________________________________________
4 Aufgaben zur Wiederholung
und Vertiefung von Lehrstoffinhalten aller Jahrgänge
Die Lösungen sind bei der jeweiligen Aufgabe in Klammern angefügt.
4.01
Eine pharmazeutische Firma stellt Kopfschmerztabletten und Halsschmerztabletten
her. Die Produktion erfolgt in vier Arbeitsgängen auf den Maschinen M bis M Auf
jeder Maschine kann zur gleichen Zeit nur für eine Tablettenart gearbeitet werden.
Maschine
Arbeitszeit in Std. je kg
Kopfschmerzen
max. Einsatzzeit (Std.)
Halsschmerzen
M1
0,25
0,5
7
M2
0,5
0,5
10
M3
0,5
0,1
8
M4
0,1
0,5
6
Gewinn €/kg
2 100
1400
Max.
Die optimale Lösung ist grafisch zu ermitteln.
(15 ME Kopfschmerztabletten; 5 ME Halsschmerztabletten; Zmax = 38 500 GE)
Wie groß kann p sein, wenn die Koeffizienten in der Zielfunktion (2 100 + p) bzw.
(1400+ p) lauten und die Produktionsbedingungen beibehalten werden sollen, damit
der Gewinn noch positiv ist? (p > -1 925)
4.02
Eine Autofirma erzeugt drei Typen von Personenkraftwagen. In der Fabrik F1 wird die
Karosserie hergestellt. Alles Weitere erfolgt in der Fabrik F2. Für die Herstellung eines
Pkw vom Typ I werden in F1 40 Arbeitsstunden und in F2 80 Arbeitsstunden, für den
Typ II in F1 60 Arbeitsstunden und in F2 60 Arbeitsstunden benötigt. Für den Typ III
schließlich werden in F1 20 und in F2 40 Arbeitsstunden benötigt. Insgesamt stehen in
F1 11.200 Arbeitsstunden und in F2 17.600 Arbeitsstunden zur Verfügung. Die Firma
stellt im Monat insgesamt 300 Pkw her. Vom Typ I können höchstens 120, vom Typ II
höchstens 100 Stück im Monat produziert werden. Wie viel Personenkraftwagen
müssen von jedem Typ im Monat hergestellt werden, damit der Gewinn möglichst
groß wird, wobei der Gewinn je Pkw für den Typ I € 40.000,—, für den Typ II €
50.000,— und für den Typ III € 20.000,— beträgt. (Zmax = € 10.400.000,—; Typ I 100
Stück, Typ II 80 Stück, Typ III 120 Stück)
4.03
Statt einer 10 Jahre dauernden nachschüssigen Jahresrente à € 1.000,— möchte
jemand in eineinhalb Jahren eine Einmalzahlung von € 2.000,— und außerdem eine
erstmals nach zwei Jahren zahlbare, sechs Jahre dauernde Jahresrente. i2 = 7%.
— Wie groß ist die neue Rentenhöhe? (1 039,9414)
Nach zweijähriger Laufzeit soll die Jahresrente in eine Halbjahresrente à € 500,— vorschüssig umgewandelt werden.
— Wie lang dauert die Halbjahresrente? (8 Semester)
— Wie hoch ist die Restzahlung mit der letzten vollen Rate? (385,30)
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4.04
Jemand hat Anrecht auf eine Rente á € 500,— per Semester, in fünf Jahren beginnend,
zehn Jahre dauernd, nachschüssig zahlbar.
Statt dieser Rente will die betreffende Person eine sofort zahlbare Einmalzahlung von
€ 1.000,— und weiters € 400,— per Quartal nachschüssig, sofort beginnend. d = 4%.
— Wie oft ist die Quartalsrente zahlbar? (15 Quartale)
— Wann müsste die Restzahlung geleistet werden, dass sie 1/4 der Quartalsrate
ausmacht? (2,17 Jahre)
4.05
Der Erbe hat bei der Übernahme eines landwirtschaftlichen Betriebes die Verpflichtung, seine beiden Schwestern mit je € 200 000,— abzufinden. Die Auszahlung der
Beträge soll folgendermaßen erfolgen: Die ältere Schwester erhält 20 gleiche Quartalsraten, die erste fällig ein viertel Jahr nach der Übernahme der Erbschaft. Wie hoch ist
eine Quartalsrate? i = 5%. (11.338,31)
Die jüngere Schwester erhält vorschüssig zahlbare Monatsraten zu je € 2.000,—,
beginnend zwei Jahre nach der Übernahme. Anlässlich ihrer Heirat, viereinhalb Jahre
nach der Hofübernahme, erhält sie zusätzlich zu ihrer Monatsrente € 40.000,—
ausbezahlt. Wie oft erhält sie die Monatsrate und wie hoch ist die Restzahlung, wenn
diese einen Termin nach der letzten Vollrate fällig ist? i = 5 %. (115-mal; 1.603,16)
4.06
Die Errichtung einer Seilbahn kostet € 9.800.000,—, zahlbar je zur Hälfte bei
Baubeginn und bei Fertigstellung. Nach einer Bauzeit von zwei Jahren wird die
Seilbahn in Betrieb genommen, wobei von da an mit Erhaltungskosten von €
220.500,— jährlich 99 Jahre lang nachschüssig zu rechnen ist. Der Fahrpreis beträgt
pro Person € 25,—, Alpenvereinsmitglieder 10% Ermäßigung. Die Bahn wird im
Monat durchschnittlich von 8000 Fahrgästen benützt, davon ein Fünftel
Alpenvereinsmitglieder. Die Einnahmen werden monatlich nachschüssig verrechnet.
Der Jahresnennzins von 10 % wird vierteljährlich und dekursiv verrechnet.
— Wie viele volle Monatseinnahmen sind zur Deckung der Bau- und Erhaltungskosten nötig? (96 volle Monatseinnahmen)
— Welcher Restbetrag bleibt am Tag der letzten Monatsabrechnung noch ungedeckt?
(€ 89.026,75)
— Nach welcher Zeit (von letzter vollen Monatsrate an gerechnet) wäre der Rest fällig, wenn er die Hälfte der monatl. Gesamteinnahmen betragen würde? (11m 20d)
4.07
Zwei Brüder erben zu gleichen Teilen einen viereckigen Acker von folgenden Ausmaßen: AB = a = 400m, BC = b = 370m , AD = d = 600m, α = 142°30’, β = 81°20’. Sie
erfüllen den Willen des Vaters, den Grundbesitz nicht zu teilen, und einigen sich
dahin, dass der ältere Bruder das Erbe des jüngeren ablöst. Dieser will aber die
Ablösesumme nicht erst nach fünf Jahren erhalten, wie vom älteren Bruder
vorgeschlagen, sondern € 50.000,— sofort und den Rest nach drei Jahren in sechs
jährlichen, vorschüssigen Raten R.
Da der ältere Bruder mit dieser Art der Abfindung nicht einverstanden ist, einigen sie
sich schließlich auf € 20.000,— sofort und eine nach vier Jahren beginnende, 99-mal
nachschüssig zahlbare Jahresrate á R’.
Wie hoch ist die vorschüssige Jahresrate R und wie groß die Rate R’ der 99-mal nachschüssig zahlbaren Rente, wenn der Preis für 1 m2 mit € 13,50 festgesetzt wird und
Zinsen von 4% dek. p. a. vereinbart werden? (A = 223080,91 m2, R = € 300.371,61,
R’ = € 69.526,85)
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4.08
Zur Finanzierung der Baukosten einer Eigentumswohnung von € 1.000.000,— wird,
nach Abzug von 30% Eigenmitteln, für den Restbetrag eine mit i = 6 % verzinsliche
Annuitätenanleihe aufgenommen. Für die Annuität werden monatlich im Nachhinein €
5.000,— aufgewendet. Ermitteln Sie die Annuität. (€ 61.632,64)
— Es sind die 17., 18. und die letzte Zeile des Tilgungsplanes zu berechnen, wenn
sich 17 Jahre nach Darlehensaufnahme die Verzinsung auf i’ = 6,5 % ändert,
wobei die bisherige Annuität unverändert bleibt.
(20. / 2.499,02 / 38.446,40 / 40.945,42)
— Die Restschuld in der 17. Zeile soll durch eine ein viertel Jahr nach Fälligkeit
dieser Restschuld beginnende, 20-mal vorschüssig zahlbare Quartalsrente getilgt
werden. Wie hoch ist eine Rate dieser Rente, wenn i“ = 4% gerechnet werden?
(€ 8.084,60)
— Die Ölheizung der Wohnung erfolgt durch einen im Keller des Hauses
befindlichen Öltank von 500 l Fassungsvermögen. Dieser ist seitlich von einem
Zylinder, oben von einem kreisförmigen Deckel und nach unten von einem Kegel
mit dem Öffnungs-winkel 120 Grad begrenzt. Welche Abmessungen hat der
Öltank, wenn zu seiner Herstellung möglichst wenig Blech verbraucht werden
soll? Wie groß ist der minimale Blechverbrauch in dm2 (2 Dez.). (r = 44,8 cm; h =
70,67 cm; O = 33 480,5 dm2)
4.09
Für den Bau eines Hochhauses gilt folgender Kostenvoranschlag: Grundkosten (Bauplatz, Planung) € 7.000.000,—, Erdgeschoß € 1.000.000,—, 1. Stock € 1.050.000,—,
2. Stock € 1.100.000,— usw. Für jedes Stockwerk einschließlich Erdgeschoß ist von
den Mietern ein Baukostenzuschuss von € 50.000,— zu leisten.
— Wie viele Stockwerke sind einschließlich Erdgeschoß zu planen, wenn das Ertragsverhältnis, d. h. die Gesamtkosten, dividiert durch den gesamten
Baukostenzuschuss, möglichst günstig sein soll? (17 Stockwerke einschließlich
Erdgeschoß)
— Wie hoch sind in diesem Fall die gesamten Baukosten? (30,8 Millionen)
— Um einen Teil der Baukosten zu decken, wird eine geförderte Anleihe von €
10.000.000,—, rückzahlbar in 42 Jahren durch konstante nachschüssige
Annuitäten zu i = 4%, aufgenommen. Nach Bezahlung der 17. Annuität ändert sich
die Verzinsung von 4 % dek. p. a. auf 5 % dek. p. a., wobei die bisherige Annuität
unverändert bleibt. Nach Entrichtung der 28. (ursprünglichen) Annuität werden die
Annuitäten in doppelter Höhe bezahlt. Wie lauten die 18., 29. und die letzte Zeile
des Tilgungsplanes? (36. / 32.74619 / 654.923,85 / 687.670,04 / 0)
4.10
Karl O. feiert am 1. November 2001 seinen 10. Geburtstag. Aus diesem Grund erhält
er von seinem Großvater € 100.000,— auf einem mit i = 6 % verzinsten Sparbuch.
Karl setzt sich zum Ziel, an seinem 21. Geburtstag Millionär zu sein (€ 1.000.000,—
auf dem Sparbuch haben). Um dieses Ziel zu erreichen, zahlt er monatlich Raten auf
das geschenkte Sparbuch. Die erste Ratenzahlung erfolgt einen Monat nach dem 10.
Geburtstag (1. Dezember 2001), die letzte Einzahlung erfolgt am Tag des 21.
Geburtstages (1. November 2012).
a) Wie hoch sind die monatlichen Zahlungen bei i = 6% (theoretische Verzinsung,
Zinseszins) (4390).
b) In seinem 18. Lebensjahr stellt Karl O. die monatlichen Zahlungen wegen eines
geplanten Autokaufes ein. Er zahlt also die Monatsraten M85 bis M96 (vom 1.
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Dezember 2008 bis einschließlich 1. November 2009) nicht. Auf welchen Betrag
erhöht sich die monatliche Sparrate für die verbleibenden drei Jahre, wenn Karl
sein Sparziel trotz der einjährigen Zahlungspause erreichen möchte? (6.032,36)
c) Karl lässt seine Million auf dem mit i = 6%
verzinsten Sparbuch (Zinseszins). Drei Jahre
nach seinem 21. Geburtstag liest Karl O. eine
Anzeige in einer Tageszeitung:
Bundesanleihe zahlbar am 16. November
015, Laufzeit: 10 Jahre, Verzinsung: 6,5 %,
Ausgabekurs: 99,75.
Soll Karl O. sein Geld in die Anleihe investieren
oder sein Geld besser weiterhin auf dem
Sparkonto lassen?
Bestimmen Sie die Rendite der Anleihe mittels Interpolation oder exakt und
verwenden Sie diese als Entscheidungskriterium.
(6,55 % Spesen finden keine Berücksichtigung.)
4.11
Von einem 50 m hohen Leuchtturm sieht man die zwei Boote A und B unter den Tiefenwinkeln α = 5°40’ und β = 9°15’. Der Winkel zwischen den Visierlinien zu den
beiden Booten beträgt γ = 102°. Wie groß ist die Entfernung der beiden Boote
voneinander und wie groß ist jeweils ihre Entfernung zum Leuchtturm?
(Entfernung der Boote voneinander 647,047 m)
4.12
Von der Spitze eines Berges, durch den ein Tunnel AB führt, sieht man zu beiden Seiten die Orte A und B unter den Tiefenwinkeln α = 65° und β = 70° 12’. Wie lang ist
der Tunnel, wenn die Bergspitze mit AB in einer lotrechten Ebene liegt und wenn in
der Verlängerung von AB eine Standlinie BC = 200 m von der Spitze aus unter dem
Sehwinkel γ = 27°50‘24“ erscheint? (224,34 m)
4.13
Der Parabelbogen einer Brücke liegt im Punkt A und in einem Punkt B auf, der 6 m
rechts von A und 9 m höher als A liegt. Die waagrechte Fahrbahn verläuft 12 m über
A und berührt den Bogen. Unter welchem Winkel steigt der Bogen in A und B an,
wenn die Parabelachse lotrecht verläuft? Zeichnung im Maßstab 1: 200.
(1. Lsg.: α1 = 80,5377°; α2 = 108,4349°, 2. Lsg.: α1 = 63,4349°; α2 = 45°)
4.14
Ein Dreieck mit den Winkeln ß = 45°27‘16“ und γ = 57°32‘18“ rotiert um die Seite a
mit der Länge 22,3 cm. Wie groß ist die Oberfläche des Rotationskörpers? (Allgemein
und nummerisch.)
(Orot =
4.15
π ⋅ a ² ⋅ (sin β + sin γ )
; 1540cm²)
cos β ⋅ sin γ + sin β ⋅ cos γ
Zwei Leitungsmasten von je 27 m Höhe stehen auf gleichmäßig ansteigendem
Gelände. Ihre waagrechte Entfernung beträgt 200 m, ihr Höhenunterschied 15 m.
Visiert man von der Spitze A des ersten Mastes der Leitung entlang, so trifft die
Visierlinie den zweiten Mast in einem Punkt C, der 9 m tiefer liegt als A. In welchem
Punkt kommt die Leitung dem Erdboden am nächsten, wenn man sie näherungsweise
als Parabel mit lotrechter Achse auffasst? Wie groß ist der minimale Abstand?
(in 100 m; 21 m)
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4.16
Gegeben ist die Funktion f : x → y =
1
1 − x²
— Die Funktion ist zu diskutieren und ihr Schaubild K zu zeichnen! (~)
— Die Gerade g mit y = mx + 1 schneidet K außer in S(O / 1) noch in P und Q. Wie
groß ist m > 0 zu wählen, dass die Strecke PQ den kleinsten Wert annimmt?
 1 


 2
4.17
4.18
x³
einschließlich der Hoch-, Tief-,
3 ⋅ ( x − 2)²
Wende- und Achsenschnittpunkte sowie der Asymptoten.
Berechne den Flächeninhalt A der zwischen der Kurve und der x-Achse liegenden
Fläche in [-1, 1]!
( N(0 / 0) 3. Ord.; T(6 / 4,5); W(0 / 0); Asymptoten: x = 2; y = x/3 + 4/3 ; A= 0,0715)
Zeichne den Grafen der Funktion x → y =
Gegeben ist die Funktion f : x → y = x (4 − x)
Die Funktion ist zu diskutieren und ihr Graf in 0 ≤ x ≤ 6 zu zeichnen. Es ist das Volumen jenes Körpers zu berechnen, der bei Drehung der Fläche, die von den Tangenten
in den Nullstellen und der Kurve begrenzt wird, um die Abszissenachse entsteht.
(V = 201,06)
4.19
Gegeben ist die Funktion f : x → y = x ² ⋅ e x .
— f ist zu diskutieren und ihr Schaubild zu zeichnen! (T (0 / 0); H (-2 / 4/e²); W1 (3,41 / 0,38); W2 (—0,59 / 0,19))
— In demselben Koordinatensystem ist das Schaubild von g : x → y = e x darzustellen.
— Wie groß ist der Inhalt A1 des von beiden Kurven umschlossenen Flächenstückes?
(A1 = 4/e)
— Die beiden Kurven schließen im 2. Quadranten ein unbegrenztes Gebiet ein. Welchem Grenzwert A2 strebt sein Inhalt zu? (A2 = 4/e)
4.20
( x −3)²
−
10
Gegeben ist die Funktion f : x → y =
⋅e 2 .
2π
f ist zu diskutieren und ihr Schaubild zu zeichnen.
(Keine Nullstelle, H (3 / 3,99), W1 (2 / 2,42), W2 (4 / 2, 42))
4.21
Für Päckchen in Rollenform dürfen laut Gebührenordnung der Post die Länge b und
der Grundkreisdurchmesser d zusammen höchstens 90 cm betragen.
— Welche Maße geben das größte Volumen und wie viel Liter beträgt es? (d = 60;
b=30; 27 π).
— Welcher Bruchteil des obigen Volumens ergibt sich, wenn b + 2 d = 90 sein soll?
(b=30;d=30;6,75n).
4.22
Der innere Querschnitt eines Entwässerungskanals ist ein Rechteck mit aufgesetztem
Halbkreis. Der Umfang u des Querschnittes, zu dem die Materialkosten proportional
sind, ist gegeben. Welches Verhältnis müssen die Rechteckseiten haben, damit die
Querschnittsfläche möglichst groß wird? Die Randwerte sind zu untersuchen.
(2 : 1; Amax = u²/2(4+π))
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4.23
Ein oben offener eiserner Behälter für einen Wasserleitungsturm soll aus einem geraden Zylinder bestehen, dessen nach der Mitte abschüssiger Boden ein gerader Kreiskegel ist mit einem Winkel an der Spitze von 120°. Welche Höhe x muss man dem
Kegel und welche dem Zylinder geben, damit bei dem vorgeschriebenen Volumen V =
2000
m³
möglichst
wenig
Eisenblech
gebraucht
wird?
(Höhe des Kegels gleich Höhe des Zylinders; jeweils 5,41925 m ≈ 5,42 m)
4.24
Johannes Kepler hat sich mit folgendem Problem beschäftigt: Ein Fass von der Form
eines Kreiszylinders besitzt im Mittelpunkt einer Mantellinie ein Spundloch. Es wird
der Abstand e des Spundlochs vom entferntesten Punkt des Grundkreises gemessen.
a) Wie muss sich der Grundkreisdurchmesser zur Fasslänge verhalten, damit bei
gegebenem e der Rauminhalt den größten Wert erreicht?
b) Berechne für e = √3 m den größten Rauminhalt und die zugehörigen Maße für
Durchmesser und Länge.
c) Um wie viel Prozent ändert sich dieser Rauminhalt, wenn e = √3 m unverändert
bleibt, dagegen die Fasslänge um 10 % vergrößert wird?
d) Bestimme - für allgemeines e - die Werte von Durchmesser und Länge, für die sich
ein kleinster Rauminhalt ergibt.
(a) d : l = √2 : 2
b) Vmax = π m³ ; de = √2 m; le = 2 m
c) -1,55%
d) Randminima für d = 0 und d = e)
4.25
Eine Boje soll ein Volumen V = 312 π Liter und die Gestalt eines Zylinders mit dem
Basisradius x und der Höhe y haben, auf den auf der einen Seite eine Halbkugel und
auf der anderen Seite ein Kegel mit der Höhe h = 34x aufgesetzt sind.
Wie groß sind x und y zu wählen, wenn der Plastikverbrauch der Oberfläche minimal
werden soll? Wie viel Quadratmeter (auf 2 Dezimalen genau) Plastikfläche werden
für die Oberfläche des Schwimmkörpers verbraucht? (x = 6 dm; y = 2 dm; Materialverbrauch 4,90 m²)
4.26
Gegeben
ist
die
Gesamtkostenfunktion
x → W ( x) = ax ² + bx + c −
k
x+d
Sie soll folgende Bedingungen erfüllen:
Bei der Erzeugung von 1 ME betragen die Gesamtkosten 9 1/3 GE; vergrößert man die
Erzeugungsmenge um 1 ME, so nehmen die Gesamtkosten um 4 2/3 GE zu. Die
Stückkosten betragen 6 1/6 GE bei einer Erzeugungsmenge von 4 ME. Die Stillstandskosten belaufen sich auf 2 GE. Die Funktion der Gesamtkosten hat bei x = -2
einen Pol (1. Ordnung).
Es sind zu berechnen (jeweils auf 2 Dezimalen):
56 

— Die Formvariablen a, b, c, d, k  W = x ² − 3x + 30 −

x+2

— Die Stelle, für die die Grenzkosten ein relatives Minimum sind. (1,83)
— Das Minimum der Grenzkosten. (4,48)
— Die Stelle, für die die durchschnittlichen variablen Kosten ein relatives Minimum
sind. (3,29)
— Das Minimum der durchschnittlichen variablen Kosten. (5,58)
— Die Stelle des Betriebsoptimums. (3,72)
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4.27
Für einen bestimmten Artikel gelten die Nachfragefunktion y N ( x) = a + b − x und die
Angebotsfunktion y A ( x) = x ² + 5 x + 2 . Man kennt folgende Werte: yN(10) = 5 GE/ME,
yN(1) = 8 GE/ME.
— Berechne die Nachfragefunktion, den Definitionsbereich für x und den Gleichgewichtspunkt! ( y N ( x) = 5 + 10 − x ; {x|0 ≤ x ≤10}; G(1 / 8))
— Berechne Gesamterlös sowie εN und εA für den Gleichgewichtspunkt! (8; -48; 8/7)
— Wohin verschiebt sich der Gleichgewichtspunkt bei einer Steuererhöhung um 20
%? Wie hoch ist nunmehr der Gesamterlös und wie viel beträgt der gesamte
Steuerertrag? (G(0,81 / 8,03); 6,49; 1,08)
— Welchen Prozentsatz müsste der Staat als Steuer einheben, damit der Marktpreis
der Ware auf 8,1 GE/ME ansteigt? (97,46 %)
— Wie hoch sind dann der Gesamterlös und die Gesamtsteuer? (3,16; 1,56)
4.28
Einem Monopolbetrieb ist bekannt, dass für eines seiner Produkte eine Kostenfunktion
dritten Grades vorliegt. Die Kostenrechnungsabteilung ermittelt folgende Beträge
(siehe Tabelle):
xME (x)WE
a)
Bestimmen Sie die Kostenfunktion durch kubische Regression
2
1490
b)
Die Gleichung der Nachfragefunktion für das Produkt lautet:
5
1590
p(x) = 300 – 3x
Bei
welchem Preis wird der Gewinn maximal?
10
1600
Wie hoch ist der maximale Gewinn?
11
1616
c)
Bestimmen Sie die Gewinngrenzen!
20
1950
(a)
W(x)=0109x
b)
Gmax 3255,40
25
2400
c)
[ 43,78])
4.29
Für die Herstellung einer Ware hat ein Betrieb fixe Kosten von 4 GE. Die Gleichungen
für die variablen Kosten und für die Nachfrage sind gegeben:
WV ( x) = x ² + 2 x + 60 −
300
x+5
pN ( x) = 40 − 10 x
— Wie lauten die Gesamtkostenfunktion, die Grenzkostenfunktion, die Umsatzfunktion und die Gewinnfunktion?
300
x+5
300
x → W ' = 2x + 2 +
( x + 5)²
— ( x → W = x ² + 2 x + 64 −
x → U = −10 x ² + 40 x
x → G = −11x ² + 38 x − 64 +
300
x+5
— Die Gesamtkostenfunktion, die Nachfragefunktion, die Umsatzfunktion und die
Gewinnfunktion sind in einem gemeinsamen Koordinatensystem grafisch
darzustellen. (~)
— Wie lautet die Gewinnzone? (2 Dez.) ( ]0,16; 2,6[ )
— Wie groß ist der maximale Gewinn (2 Dez.) ohne und mit 10 % Steuer? (14,52;
12,37)
— Wie hoch ist jeweils der Marktpreis, der den max. Gewinn ergibt? (26,10; 26,70)
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4.30
In
einem
Erzeugungsbetrieb hat die Gesamtkostenfunktion die Gleichung
k
und
die
Nachfragefunktion
die
Gleichung
W ( x) = ax ² + bx + c −
x+d
pN ( x) = 40 − 10 x . Bei der Herstellung von 1 ME betragen die Gesamtkosten 17 GE.
Vergrößert man die Produktionsmenge um 2 ME, so wachsen die Gesamtkosten um
24,5 GE. Vergrößert man die Produktionsmenge um 2 weitere ME, so steigen die
Gesamtkosten nochmals um 27,5 GE.
— Es sind die Formvariablen a, b, c, k, d zu ermitteln und in W(x) einzusetzen, wenn
die Funktion bei x = -5 eine Polstelle aufweist und die Stillstandskosten 4 GE
300
betragen. ( W ( x) = x ² + 2 x + 64 −
)
x+5
— Es sind die Gewinnzone und die Produktionsmenge im Fall des max. Gewinns zu
berechnen (je 2 Dez.) und grafisch zu überprüfen. ({x| 0,165 < x < 2,595}; 1,39)
— Es sind die Stelle des Grenzkostenminimums, des Betriebsoptimums und des
Minimums der variablen Stückkosten zu ermitteln (je 2 Dez.). (1,69; 3,97; 2,74)
4.31
Eine Urne enthält eine schwarze, zwei weiße und vier blaue Kugeln. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass a) mit Zurücklegen und b) ohne Zurücklegen gezogen
werden:
a) Bei zwei Ziehungen nur blaue Kugeln. (0,3265; 0,2857)
b) Bei zwei Ziehungen keine blauen Kugeln. (0,1837; 0,1429)
c) Bei drei Ziehungen drei verschiedenfarbige Kugeln. (0,1399; 0,2286)
d) Bei vier Ziehungen nur blaue Kugeln. (0,1066; 0,0286)
e) Bei vier Ziehungen höchstens zwei blaue Kugeln. (0,5735; 0,6286)
4.32
Aus einem Gefäß, welches zwei weiße und 4 schwarze Kugeln enthält, nehmen 2 Personen abwechselnd je eine Kugel heraus.
a) Jede Kugel wird sofort wieder in das Gefäß zurückgelegt. Aufgehört wird dann,
wenn eine weiße Kugel erscheint. Man berechne für jeden Teilnehmer P die Wahrscheinlichkeit, als erster eine weiße Kugel zu bekommen, wenn nicht öfter als 30mal eine Kugel herausgenommen wird.
b) Man berechne für jeden Teilnehmer P die Wahrscheinlichkeit, als erster eine weiße
Kugel zu erhalten.
30
30
3  2 
2 2 
(a) P1 = 1 −    P2 = 1 −   
5   3  
5   3  
4.33
b) P1 =
3
5
P2 =
2
)
5
Wenn 24 Personen völlig wahllos ausgesucht werden, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass zwei oder mehr von ihnen am gleichen Tag und im gleichen
Monat (ohne Berücksichtigung des Jahres) Geburtstag haben? (Jahr zu 365 Tagen;
keine Schaltjahre). Wenn man wetten würde, dass alle 24 Geburtsdaten voneinander
verschieden sind, mit welcher Wahrscheinlichkeit würde man auf lange Sicht bei 50
Wetten gewinnen / verlieren? Wie ändert sich die Wahrscheinlichkeit durch Einbeziehen der Schaltjahre, d.h. des 29. Febers?
(0,46; von 50 Wetten 27 gewinnen und 23 verlieren. Bezieht man den 29. Feber ein,
verringert sich die Wahrscheinlichkeit.)
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4.34
Ein Klub besteht aus 4 Frauen F1, ..., F4 und 5 Männern M1, ...‚ M5. Zu einem Empfang sind 2 Personen auszuwählen, wobei die Entscheidung durch Verlosung erfolgt,
da jedes Klubmitglied die gleiche Chance haben soll.
— Wie viele Delegationen sind möglich? (36)
— Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht die Delegation nur aus Männern? (27,8 %)
— Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist in der Delegation mind. eine Frau? (72,2 %)
— Die Zufallsvariable X sei die Anzahl der Frauen in der Delegation. Ermitteln Sie
die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion von X.
10
20
6
( P( X = 0) = ; P( X = 1) = ; P( X = 2) =
)
36
36
36
— Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von X.
( µ = 8 ; σ = 0, 65734 )
9
— Stellen Sie die Wahrscheinlichkeits- und die Verteilungsfunktion grafisch dar! (~)
— Beim Empfang wird die Beantwortung folgender Fragen prämiert: Die Lebensdauer Y (in km) einer Autoreifensorte ist erfahrungsgemäß normal verteilt mit der
Standardabweichung σ = 5000 km. Die Rohstoffzusammensetzung des Reifens ist
so gewählt, dass die mittlere Lebensdauer 50000 km beträgt.
— Bei wie viel Prozent der Reifen übersteigt die Lebensdauer 65000 km? (0,135%)
— Bei wie viel Prozent der Reifen weicht die Lebensdauer um mehr als 7000 km von
— der mittleren Lebensdauer ab? (83,85 %)
— Wie groß muss die mittlere Lebensdauer der Produktionsserie mindestens sein,
damit höchstens 2,5 % der Reifen eine Lebensdauer von weniger als 40000 km
haben?( 49800 km)
4.35
Auf einer Maschine wird eine große Zahl von Bolzen hergestellt. Die wirkliche Länge
eines Bolzens kann als Wert einer Zufallsvariablen aufgefasst werden, die normal verteilt ist. Versuche haben ergeben, dass dafür der Mittelwert 10 mm und die Standardabweichung σ = 0,02 mm beträgt.
— Wie sollen die Toleranzgrenzen 10 + a und 10 - a gewählt werden, wenn man mit 5
% Ausschuss rechnen will? (9,9608, 10,03 92)
— Man wünscht Bolzen, deren Länge x eine gewisse Maximallänge k nicht überschreitet. Bolzen mit x > k werden als Ausschuss betrachtet. Wie muss k gewählt
werden, wenn man mit 1 % Ausschuss rechnen will? (10,0464)
— Im Laufe der Produktion verschiebt sich der Mittelwert nach 10,02 mm. Wie viel
Prozent Ausschuss sind jetzt zu erwarten, wenn mit den obigen Toleranzgrenzen
10 + a und 10 - a gearbeitet wird? (17 %)
— Angenommen, ein Abnehmer größerer Lieferungen solcher Bolzen prüfe mit
Zufallsstichproben nach folgendem Plan: 10 Stück auswählen und die Länge
messen. Falls ein oder mehrere Stück eine Länge größer als k aufweisen, wird die
Lieferung abgelehnt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit α, die Lieferung
abzulehnen, obwohl sie in Ordnung ist, d.h. 1 % Ausschuss enthält? (10%)
— Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit β, dass die Lieferung angenommen wird,
obwohl sie nicht in Ordnung ist, d.h. z. B. 20 % Ausschuss enthält. (11 %)
10
Aufgaben und Lösungen zur Maturavorbereitung__________________________________________________________________________
4.36
Von 25 560 Arbeitnehmern einer Stadt sind in der Gehaltsklasse (Jahreseinkommen) €
30.000,— bis € 50.000,— 5746 Personen, unter € 10.000,— verdienen 1570 Personen, € 10.000,— bis € 20.000,— 6755 Personen, € 20.000,— bis € 30.000,— 10532
Personen. Der Rest verdient mehr als € 50.000,—. Unter 24 Jahre sind 13 %‚ 25 bis 35
Jahre 28 %‚ 36 bis 45 Jahre 26%, 46 bis 55 Jahre 22% und 56 bis 65 Jahre 11%.
— Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Arbeitnehmer zur Altersgruppe 25
bis 35 Jahre gehört und über € 50.000,—jährlich verdient? (0,010483568)
— Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 300 stichprobenartig untersuchten
Personen weniger als 10 % zwischen € 30.000,— und € 50.000,— verdienen und
in die Altersklasse 36 bis 45 Jahre fallen? (Mittels Normalverteilung.) (0,99836)
— Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 200 stichprobenartig herausgegriffenen Personen weniger als 20 % unter 35 Jahre alt sind und zwischen € 10.000,—
und € 20.000,— verdienen? (≈ 1)
— Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von sechs herausgegriffenen Arbeitnehmern keiner mehr als 50.000,— verdient? (79,535 %)
— Wie viele Personen muss man befragen, um mit 97% Wahrscheinlichkeit wenigstens 6 Personen unter € 10.000,— bei den 25- bis 35-Jährigen zu finden? (695)
— Wie viele Personen muss man befragen, um mit 90% Wahrscheinlichkeit höchstens 7 Personen unter € 10.000,— im Alter von 56 bis 65 Jahren zu erhalten? (698)
4.37
Ein Betrieb stellt Spezialgleitscheiben her. Zur Kontrolle der Qualität wird täglich eine
Stichprobe von 100 Scheiben aus der Produktion gezogen und deren Dicke (in
Mikrometern = µm) bestimmt. Die Dicke der Scheiben sei angenähert normalverteilt.
(Information: 1 µm = 10-6 m = 1/1000 mm)
Das Ergebnis der Stichprobe vom Beginn der Woche ist in Tabellenform gegeben:
a) Berechnen Sie den Mittelwert x und die Standardabweichung
sn der Dicke der Scheiben in der Stichprobe aus den
Tabellenwerten! (100,07; 10,511)
Dicke der
Scheibe [a,b[
Anzahl
74 – 85
8
b) Bestimmen Sie µ und σ der Grundgesamtheit! (100,07; 10,5641)
85 – 96
24
Verwenden Sie für den Rest des Beispieles die (stark
gerundeten) Werte: µ = 100 und σ = 10.
96 – 107
46
107 – 118
17
118 – 129
5
c) Führt man mehrere derartige Stichproben aus der
Gesamtproduktion durch, so kann man aus jeder dieser Stichproben wieder einen
Mittelwert bestimmen. Wie groß ist die Streuung (= Standardabweichung) dieser
Mittelwerte σ ( x )? In welchem Konfidenzintervall liegt die mittlere Dicke der
Scheiben mit einer Wahrscheinlichkeit von 95%? (98,04; 101,96)
d) Gleitscheiben mit weniger als 80 µm Dicke sind Ausschuss. Wie viel Prozent der
Produktion sind Ausschuss? (2,27 %)
e) Wie groß sollte die mittlere Dicke der Scheiben sein, damit nur 2 % aller Scheiben
Ausschuss sind bei σ = 10? (100,6)
f) In welchem Intervall [µ - a; µ + a] liegt die Dicke von 98 % aller Scheiben bei µ =
100, σ = 10? ( [76,74; 123,263])
g) Wie groß muss die Dicke einer Scheibe mindestens sein, wenn diese zu den 10 %
der Scheiben mit der größten Dicke gehören soll bei µ = 100, σ = 10? (112)
11
Aufgaben und Lösungen zur Maturavorbereitung__________________________________________________________________________
4.38
Bei der Produktion von Taschenrechnern können aufgrund eines Maschinenschadens
zwei verschiedene Fehler auftreten:
12% aller Geräte haben defekte Tasten; 8% der Geräte haben defekte Solarzellen; 2 %
aller Geräte weisen beide Fehler auf.
Ein Taschenrechner dieser Serie wird zufällig gewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
i) das Gerät einwandfrei arbeitet? (0,82)
ii) die Solarzellen funktionieren, wenn man weiß, dass die Tasten kaputt sind? (0,833)
4.39
„Das Märchen vom Froschkönig“
Nachdem die wunderschöne Prinzessin ihren Vater (den alten König)
sehr erzürnt hatte, führte dieser seine Tochter zu drei Brunnen und sagte:
„Im ersten Brunnen befinden sich sechs Frösche, im zweiten Brunnen
sieben und im dritten Brunnen sind acht Frösche. In jedem der Brunnen
ist genau einer der Frösche ein verzauberter Prinz. Du darfst aus jedem
Brunnen genau einen Frosch nehmen und küssen. Befindet sich mindestens ein Prinz
unter den geküssten Fröschen, so bleibt dir meine Strafe erspart.“ Die Prinzessin
überlegte kurz und machte folgenden Gegenvorschlag: „Können wir nicht alle Frösche
in einen gemeinsamen Brunnen werfen, und ich suche mir dann drei Frösche (ohne
zurückwerfen) aus?“ Der König antwortete: „Mach, was du willst!“
Wie kommt die Prinzessin eher zu ihrem Prinzen? (Erfolg ist mindestens ein Prinz!)
Bestimmen Sie die a) Erfolgswahrscheinlichkeit für den Vorschlag des Königs und
vergleichen Sie b) mit der Erfolgswahrscheinlichkeit des Gegenvorschlages der Prinzessin! (V: 0,375; T: 0,3864)
4.40
In einer österreichischen Bank wird eine Stichprobenerhebung zwecks Ermittlung der
monatlichen Einkünfte der weiblichen Angestellten durchgeführt. Bei 28 befragten
Mitarbeiterinnen ergeben sich folgende monatlichen Bruttogehälter (in 1 000,— WE):
11,5
15
35,5
13
21
34,5
14
23,5
23
17
14
19,5
11,5
38,5
23
17,5
19
18,5
19,5
15
35,5
20,5
26
13,5
11,5
23
24,5
12,5
a) Stellen Sie eine Klasseneinteilung auf! Die Klassenmitten sollen bei 10, 14, 18, …
WE liegen und die Klassenbreite soll 4 WE betragen. Berechnen Sie das mittlere
Einkommen mit der dazugehörigen Streuung s dieser Klasseneinteilung. Es kann
im Folgenden davon ausgegangen werden, dass das Einkommen der weiblichen
Angestellten eine normal verteilte Zufallsvariable mit x = 20 und s = 7,5 ist.
b) In welchem Bereich liegt das Durchschnittseinkommen aller weiblichen Angestellten dieser österreichischen Bank mit einer Aussagewahrscheinlichkeit von
95%? ( 22,831)
c) Wie viel Prozent der weiblichen Bankangestellten sind als „gute Verdienerinnen“
zu bezeichnen, falls man unter „guten Verdienst“ Einkommen über 30 WE
versteht? (9,18%)
d) Bei wie viel Prozent der weiblichen Angestellten dieser Bank weicht das Einkommen um mehr als 9 WE vom Durchschnittseinkommen ab? (23,01 %)
e) Wie hoch müsste das Durchschnittseinkommen der weiblichen Angestellten sein,
damit nur 20 % von ihnen weniger als das Durchschnittseinkommen der
männlichen Angestellten dieser österreichischen Bank in der Höhe von 25 WE
erhalten? (31,3)