v - Semestra

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Zusammenfassung
α
0°
sin
0
cos
1
WICHTIG:
30°
Technische Mechanik
45°
60°
 2 /2  3/2
 3/2  2 /2 1/2
1/2
90°
1
0
sin(90-α) = cos(α)
cos(90-α) = sin(α)
sin(90+α) = cos(α)
cos(90+α) = -sin(α)
Michael Müri
sin(180-α) = sin(α) sin(-α) = -sin(α)
cos(180-α) = -cos(α) cos(-α) = cos(α)
sin(180+α) = -sin(α)
cos(180+α) = -cos(α)
[ ]Achsen einzeichnen!
[ ]Bei Momenten im 2D-Sys: Wirkungslinien statt crossP!
[ ]Vor Trennen Gleichungen im Gesamtsystem abzählen! [ ]Bewegung → Statik! M≠0
Kinematik
Schnelligkeit / Geschwindigkeit in Zylinder- & Polarkoordinaten
v=∣v∣=  ẋ 2 ẏ 2 ż 2
v = ̇ e  ̇ e  ż ez (Polarkoordinaten: ż =ez =0 )
Freiheitsgrad eines starren Körpers
f =n−b≤6 , n=3*Anzahl Körper, b=Anzahl unabhängige Bindungen
Satz der projizierten Geschwindigkeiten
Punkte P & Q in einem starren Körper: v P ' =v Q '
(v' = Projektion auf Verbindungsgerade)
⇔
v P cos x=v Q cos  x
Der SdpG Ist bei jeder starren Bewegung erfüllt!
Das Momentanzentrum
Schnittpunkt der Geraden rechtwinklig zu den Geschwindigksvektoren in 2 Punkten (falls vP≠vQ)
vP =
× rP , vP =vB×
 rBP (allg. Bewegung eines starren Körpers)
Bsp. Rollendes Rad: Momentanzentrum im Berührungspunkt mit dem Boden
Kreiselung
Ein Punkt des Körpers ist fix und dient als Momentanzentrum. (Formel siehe oben)
Kinemate
{vB,ω}
(Translations- und Rotationsgeschwindigkeit)
Invarianten der Kinemate
I 1=
 , I 2=⋅
 vB
(→ unabhängig vom Bezugssystem, z.B. ω=ω')
Mögliche Bewegungen
=0

Ruhe:
und vB=0
=0

Translation:
≠0

Rotation:
und I 2=0
I 2≠0
Schraubung:
Moment

M O =r × F
Die Translationsgeschwindigkeit aller Punkte ist gleich
Eine Achse ist fix (auch ausserhalb des Körpers)
Translation in Richtung der Rotationsachse
⇒ M O =r F sin ⇒ M O=d⋅F 
wobei d der kürzeste Abstand Punkt-Vektor darstellt
Actio/Reactio
übt P auf Q eine Kraft F aus, so übt Q auf P eine Kraft -F aus. F und -F haben dieselbe Wirkungslinie.
Bei Kontaktkräften greifen beide Kräfte im gleichen geometrischen Punkt, aber in unterschiedlichen
materiellen Punkten an.
Bei Betrachtungen an einem System muss dieses immer zuerst freigeschnitten werden → alle
inneren Kontaktkräfte heben sich gegenseitig auf.
[email protected]
V 1.7
1/7
Zusammenfassung
Technische Mechanik
Michael Müri
Statik
Leistung
 
℘=
R⋅vP M P⋅
 (R = Resultierende = Summe aller Kräfte)
existiert kein Moment →
statische Äquivalenz:
 
℘=
R⋅vP ;
bei einer reinen Rotation →
 M P⋅
℘=

℘ F 1 =℘ G 1 
2 Kräftegruppen sind statisch äquivalent wenn ihre Gesamtleistungen bei
beliebigen Starrkörperbewegungen gleich sind.
Transformationsregel (beim Wechsel des Bezugssystems)
M P= M O  rPO× 
R
(R bleibt gleich für jeden Punkt)
 P= M O
Ist ein System statisch äquivalent zu einem Momentvektor, so gilt M
Bsp: Vorgegebenes Moment: O
Dyname
{R, M0}
F
⇔ 
R=0
M O =l /2⋅F M E (=0 in e. statischen System)
ME
ℓ
(Reduktion der Kräftegruppe = Berechnung der Dyname)
Invarianten der Dyname
I 1= 
R , I 2= 
R⋅M O
Mögliche Bewegungen
Eine Kräftegruppe ist statisch äquivalent zu einem...

R=0 , M O =0
...Moment (Kräftepaar): 
R=0 , M O ≠0 ( F , G ; ∣F∣=∣G∣ , F =−G ,Wirkungslinien nicht gleich)

...Einzelkraft:
R≠0 , I 2=0
I 2≠0
...Schraube:
...Nullsystem:
Kräftemittelpunkt & Massenmittelpunkt
Kräftemittelpunkt C:
rC =
Massenmittelpunkt (Schwerpunkt):
rC =
... homogener Körper (konstante Dichte):
... homogen mit Masse belegte Fläche F:
1
∑ F r ∣ R=∑i F i
R i i i
1
∭ r dm
m
1
rC = ∭ r dv
V
1
rC = ∭ r df
F
(Symmetrien benutzen!)
Prinzip der virtuellen Leistungen
 kann entweder zulässig oder unzulässig (→ verletzt
Ein virtueller Bewegungszustand {v0 , }
Bindungen) sein.
 ℘
 i ℘
  a=0
℘=
Ein System befindet sich genau dann in einer Ruhelage, wenn die virtuellen Gesamtleistungen der
inneren und äusseren Kräften bei jedem virtuellen Bewegungszustand verschwinden.
 ℘
Handelt es sich um wirkliche Geschwindigkeiten werden die Tilden weggelassen: ℘
Vorgehen: Suche einen geschickten virtuellen Bewegungszustand, so dass unbekannte Kräfte in
Gelenken, etc. nicht berechnet werden müssen (e.g. sich diese Punkte nicht bewegen)
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V 1.7
2/7
Zusammenfassung
Technische Mechanik
Hauptsatz der Statik
Michael Müri
(← oftmals günstiger als PdVL!)
In einer Ruhelage eines Systems müssen alle (äusseren) Kräfte im Gleichgewicht sein.

R=0 , M O =0
 
R⋅vO  M O⋅=0
(da ℘=
)

Ruhelage → Hauptsatz erfüllt.
ABER: Hauptsatz erfüllt → Ruhelage gilt nur bei Starrkörpern)
Bindungen & Lagerkräfte (reibungsfrei)
Auflager
N>0
Gelenk
N
Ay
Ax
Längs- und kurzes
Querlager
A
Langes Querlager
A
N>0
M
Einspannung
Ay
M
Seil / Pendelstütze
Ein System ist
statisch bestimmt:
kinematisch bestimmt:
S>0
Ax
S
Die Lagerkräfte und -momente lassen sich eindeutig aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnen (gleich viele Unbekannte wie linear
abhängige Gleichungen → je eine für x-,y- und z-Richtung + Moment)
→ Systeme mit Gelenken (oder anderen Bindungen ohne vollständige
Dyname) können getrennt werden (pro Trennung zusätzlich 3 Gl.)
Auf Grund der Lagerung sind keine zulässigen Bewegungen möglich
Analytische Statik
•
•
•
Ist nur eine Kraft gesucht, so lässt sich diese am einfachsten mit dem PdVL bestimmen
Will man Lager- und Bindungskräfte bestimmen, so muss man das System Trennen und den
Hauptsatz auf alle Teile anwenden.
Gibt es eine Bewegung, die Kinemate bzgl. des Massenmittelpunkts ändert sich jedoch
nicht, so können ebenfalls die Methoden der Statik angewendet werden.
Vorgehen bei Statikaufgaben:
1.
2.
3.
4.
Abgrenzung des materiellen Systems & Einführung der äusseren Lasten und Bindungskräfte
Wahl eines zweckmässigen Koordinatensystems (Achsen immer einzeichnen!)
Abzählen der Gleichungen und Unbekannten
Komponentenweise Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen (PdvL & Hauptsatz der
Statik) und ev. weiteren Gleichungen
5. Falls nötig: System trennen, Schnittkräfte einführen und Schritte 2-4 wiederholen
6. Auflösung der Gleichungen & Diskussion der Resultate
Bsp: ermitteln einer Stabkraft in einem Fachwerk: Stab entfernen und durch 2 Kräfte ersetzen
(Zugkraft)
→ das System bewegt sich nicht: ℘=0 → Stabkräfte berechnen
Bsp: Klotz auf einer Schiefen Ebene → Angriffspunkt der Normalkraft ist unbekannt .
Wäre a(=Distanz Zentrum-Normalkraft) grösser als ±ℓ/2, so würde der Klotz kippen.
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V 1.7
3/7
Zusammenfassung
Technische Mechanik
Michael Müri
Reibung
Zusätzlich wird noch eine Reibungskraft und ein Reibungsmoment eingeführt.
Haftreibung:
Gleitreibung:
Rollreibung:
∣F∣≤0∣N∣
∣F∣=1∣N∣ (Richtung stets entgegengesetzt der Bewegung)
(Mf ist entgegengesetzt zu ω gerichtet)
∣M f∣=2∣N∣ , in Ruhe: ∣M f∣≤2∣N∣ )
Wird zusätzlich zur Haft-/Gleitreibung eingeführt!
Bsp: Kugel →
M 0=M f −r⋅F=0 (F=Reibungskraft)
•
Im Fall der Ruhe muss die Reibungskraft aus den GGWB bestimmt werden. Das
Reibungsgesetz liefert nachträglich ein Kriterium dafür, dass Ruhe wirklich möglich ist.
•
Im Fall der Bewegung ist die Reibungskraft durch die Normalkraft bestimmt (→ liefert
zusätzliche Gleichung)
Quader bleibt in Ruhe falls:
- N>0
-|e|< a/2
- F R ≤ μ0 * N
(a=Seitenlänge, e=Abstand Normalkraft-Mittelpunkt)

2
Gelenke mit Reibung: Kräfte A,B und Moment Mf: ∣M f∣≤ 0 r 1 A B
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V 1.7
2
M f =±1 r 1  A  B 
2
2
4/7
Zusammenfassung
Technische Mechanik
Michael Müri
Dynamik
Beschleunigung
kartesische Koordinaten: a= v̇= ẍ ex  ÿ ey  z̈ ez
Bsp. Rad:
2
x= R−sin  , v x =R ̇1−cos  , a x =R ̈1−cos R ̇ cos 
2
y=R 1−cos  , v y =R ̇sin  , a y =R ̈ sin R ̇ cos 
2
2
̇=
⇒∣a∣= R 2
falls
konstant ist: a =R  sin , a =R  cos
x
Rot.schnelligkeit
y
2
v =̇ e  ̇ e  ż ez , 
a = ̈− ̇  e  ̈2 ̇ ̇ e  z̈ ez
Zylinderkoordinaten:
(Umrechnung: e =cos  ex sin  ey , e =−sin  ex cos  ey )
2
v = ṙ err ̇ er , 
a = r̈ −r ̇  er r ̈2 ṙ ̇ e
a =−r ̇ 2 err ̈2 e
bei einem festen Radius (r'=0) gilt 
Polarkoordinaten:
2
v =r ̇ e 
Bsp. Kreisbewegung: r=konstant ⇒
a =−r ̇ err ̈ e

Trägheitskräfte, Prinzip der virtuellen Leistungen
t 
dF =−
a dm
i 
 a
t 
F =−am (fiktive Kraft → verletzen das Reaktionsprinzip)
⇒
 v
℘ =∭ dF⋅
t 
 t
℘=
 ℘
 ℘
 ℘
 =0 ∀ {v }
Bsp. gleitender Klotz auf schiefer Ebene: F  t =−m ẍ mit virtuellen Geschwindigkeiten v x , v y
einführen, virtuelle Leistung =0 setzen und nach ẍ auflösen: ẍ= g sin − cos 
2
2x nach der Zeit integrieren, Anfangsbed. x 0=0 , ẋ  0=0 ⇒ x t=g / 2sin − cos  t
Bsp. mathematisches Pendel: Kräfte G,S,F(t) (Beschleunigung siehe Kreisbewegung) einführen,
2
Leistung berechnen, v = v r wählen ⇒ S =mg cos ml ̇
g
sin =0
l

g
, =c 1 cos tc2 sin  t
l
2
T=
̈2 =0 (φ=sin( φ ) da φ<<1) t= 0 cos t  ,

wählt man v =v  erhält man ̈
:=
Inertialsysteme: Systeme mit konstanter Geschwindigkeit (a=0) → identische Gleichungen
Newton'sches Bewegungsgesetz

R=m a (wirkliche Kräfte, keine Trägheitskräfte mehr), Anwendung auf Massenpunkte
Feder:
F =c⋅ x
2
⇒ m ẍ =−c x−x 0  ,  =
c
m
⇒
x t =x 0a cos t
(der Einfachheit halber sollte x0=0 definiert werden)
Bei einer 2D-Federbewegung mit Auslenkung a ex , b ey kann man die Gleichung
umformulieren zu F x =F⋅cos =F⋅a / x=c⋅x⋅a / x
Lösungsansätze:
⇒ F x =c⋅a , F y =c⋅b
x=c1 cos tc 2 sin t
1.
ẍ 2 x=0
2.
ẍ x=k
x=c1 cos  tc 2 sin tk /
3.
ẍ− 2 x=0
x=c1 e c 2 e
4.
ẍ=k
x=k /2 t c 1 tc 2
2
2
t
2
−t
ω=Kreisfrequenz
=̇
ACHTUNG:Bei der Anfangsbedingung x(0)=a muss die partikuläre Lösung mitberücksichtigt werden!
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V 1.7
5/7
Zusammenfassung
Technische Mechanik
Michael Müri
Konservative Kraftfelder & Systeme
 r =−grad  =−∇  (Potentialfunktion r  ist ein Skalarfeld)
konservatives Kraftfeld F(r):
F
r  F r  , ℝ3 ℝ 3 , r  r  ,ℝ 3 ℝ
  x , y , z =−
...in kartesischen Koordinaten: F
∂  x , y , z  , ∂   x , y , z  , ∂  x , y , z 
∂x
∂y
∂z
Bsp. Schwerkraftfeld:
G=0 , 0 ,−mg , =mgz ,G=−grad 
Bsp. Federkraft:
 =−c r ,= cr
F
2
Bsp. Gleitreibung:
konservative Kraft:
2
ist nicht konservativ, da sie nicht nur von der Lage sondern auch der
Geschwindigkeit abhängig ist.
die Menge der verrichteten Arbeit ist unabhängig vom zurückgelegten Weg
konservatives System: ein System, bei dem alle inneren, äusseren und Bindungskräfte konservativ
sind oder keine Arbeit leisten.
Energiesatz
Energiesatz:
... für konservative Systeme:
kinetische Energie:
potentielle Energie:
Spannungsenergie:
 t
i 
 a
Ṫ =−℘ =℘ ℘
 ⋅v
==konst. (Energie konst., da ℘=−̇= F
1
2
= E kin= ∭ v dm
2
=E pot =mgh
1
2
E D= D x
2
Massepunkt

mv
T=
2
⇒ Ṫ ̇=0 )
2
Vorgehen beim Lösen mittels Energiesatz:
1. Aufstellen von ==c
gehört zum Aufstellen dazu!
2. Berechnung der Gesamtenergie für t0
2
3. Kommt in der Gleichung ein r ̇ vor → Ableiten zu 2r ̇ ̈  ̇ sollte sich kürzen lassen)
4. Nun kann jeder Zeitabhängige Zustand mit t 0  hergeleitet werden
Vorgehen beim Lösen von Kinetik-Aufgaben:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Modellbildung und Abgrenzung des Systems (ev. System trennen)
Alle angreifenden Kräfte in einer allgemeinen Lage (nicht Anfangslage!) einführen
Wahl eines zweckmässigen Koordinatensystems (ev. mehrere Systeme + Umrechnung!)
Bewegungsdifferentialgleichungen für alle Komponenten formulieren
Falls nützlich, auch den Energiesatz aufstellen
Auflösung nach den gesuchten Grössen & Diskussion der Resultate
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V 1.7
6/7
Zusammenfassung
Technische Mechanik
Michael Müri
Impuls- & Drallsatz
(gelten für starre und beliebig verformbare Körper)
 p =∭ v dm ⇒ p=m v 
Impulssatz (Translationen):
R
̇p= 
Massenmittelpunktssatz:
d
 m vC =m aC = 
R
dt
Impulserhaltung:
Drallsatz (Rotationen):
...bzgl. Massenmittelpunkt:
Sätze sind äquivalent
(Ist die Lage des M M P einfach
beschreibbar, v erw endet man
eher den M M PS)
Ist bei einem Stoss ṗ=0 , so gilt m 1 v 1m 2 v 2 =m 1 v ' 1m 2 v ' 2 (elastisch)
bzw. v=m 1 v 1m 2 v 2/ m1 m2  (unelastisch)
 LO =∭ r ×v dm
L̇O = M O
(bzgl. eines ortsfesten Punktes)
v ' dm )
L̇C = M C , LO = rC × p  LC (relativer Drall: LC =r ' ×
Kinetik von ebenen Starrkörperbewegungen
LO =I O  ,
Drall:
LC =I C  ,
L˙C =I C ̇=M C
I O=∬ r dm
2
Massenträgheitsmoment:
I O=mr
...eines Massenpunktes:
2
2
m
mL
(dm= m/L dx)
dx =
L
3
R 2
m
m R2
2
I O =∫0 ∫0 r  2  r dr d =
...einer homogenen Kreisscheibe:
2
R 
2
Transformation des Trägheitsmoments: I C =I Om⋅r oc
L
I O=∫0 x 
...eines homogenen Stabes:
2
Drallsatz für ebene Rotationen:
L˙O =I O ̇=M O , L˙C =I C ̇=M C
kinetische Energie:
T =T T T R
(da sich die Masse zusätzlich noch dreht)
m 2
v
2 C
1
2
T R= ∭ v ' dm  
v =vC v' 
relative kinetische Energie:
2
1
T R= 
 ⋅LC
...einer Starrkörperbewegung:
2
1
2
T R= I C 
...einer ebenen Starrkörperbewegung:
2
Translationsenergie:
T T=
ebene Rotation um O:
1
2
T = IO 
2
Bsp:
1
1
1 2
2
2
= I ̇  M ẋ  c x −M
gx

2
2
2
  
TR
[email protected]
E kin
E feder
V 1.7
E pot
7/7