Trigonometrie - lehrer.uni

Mathematik 10c
10. Juli 2002
6. Klassenarbeit
Thema: Trigonometrie
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0. Für saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche Rechenwege, Antworten in
ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift erhältst du bis zu 3 Punkte.
Punkte
/3
1. In einem rechtwinkligen Dreieck (c = 90 °) sind a = 2, 1cm und c = 9, 0 cm gegeben.
Berechne sinnvoll gerundet die Winkel a und b, Seite b sowie den Flächeninhalt.
/4
2. In einem rechtwinkligen Dreieck ABC
(siehe nebenstehende Abbildung) sind
h c = 12, 0 cm und p = 5, 0 cm gegeben.
Berechne alle restlichen in der Abbildung
bezeichneten Längen und Winkel so exakt
wie möglich.
/6
90.0 °
b
a
hc
α
3. Beschreibe anhand je einer Skizze mit
Worten, was und wie ein Vermssungsingenieur mit seinen beiden Hauptarbeitsgeräten Nivellier und Theodolit messen kann.
p
q
A
β
B
c
/4
4. Sabine blickt aus dem Fenster. Ihre Augen befinden sich in 12,4 m Höhe über einem Platz.
Am Ende des Platzes steht ein Turm. Sabine sieht den Fuß des Turmes unter dem
Tiefenwinkel 12,6° und die Spitze des Turmes unter dem Höhenwinkel 26,8°.
a) Fertige eine (nicht unbedingt maßstäbliche) Skizze an und
b) berechne die Höhe des Turmes.
5. Gib alle Winkel a mit 0°[ a < 360° an, für die gilt:
a) sina = 12 2
b) cos a = − 12 3
6. Beweise: In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt
c)sin2 a + cos 2a = 1
sin4 a−sin 2 a
cos 4 a−cos 2 a
=1
Viel Glück und viel Erfolg!
Schnitt:
(von 30)
Standardabweichung:
Note:
Median:
/6
/3
JOKER: Verwende möglichst wenige der folgenden Zahlen 2, 6, 7, 8, 10, 75 höchstens
einmal, um mit Hilfe der vier Grundrechenarten und eventuell Klammern die Zahl 701 (!2)
in einem Term zu berechnen.
Punkte:
/4
Rückgabe 16. Juli 2002
Aufgabenblatt mit Erwartungshorizont im Internet
http://www.christof-hoeger.de/M10/01m10_6.pdf
/3
Mathematik 10c
10. Juli 2002
Erwartungshorizont
1. Nach dem Satz des Pythagoras gilt in jedem rechtwinkligen Dreieck mit c = 90 °:
3
c 2 = a 2 + b2 g b = c 2 − a 2 = 81 − 4, 41 cm = 86,59 cm l 9,2 cm (exakt: 10
949 cm )
a
7
sina = c = 30 e a l 13,5° b = 180°−c − a l 76,5°
1
Im rechtwinkligen Dreieck mit c = 90° gilt: A Dreieck = 2 $ a $ b l 2,1 $ 9,2 cm 2 l 9,7cm 2
2. Beide Teildreiecke sind rechtwinklig,
im rechten gilt:
a 2 = p 2 + h 2c = 169 cm 2 , a = 13 cm 2
tanb = hpc = 2,4
e b l 67,4°,
damit a = 180°−90°−b l 22,6°
hc
sina = hbc g b = sina
l 31,2 cm
q
cos a = b g q = b $ cos a l 28,8 cm,
damit c = p + q l 33,8 cm
3. Das Nivellier ist ein Instrument das der Messung von
Höhendifferenzen dient. Das Prinzip des Nivellierens
basiert auf der horizontalen Visur zu senkrecht
aufgesetzten Maßstäben (Nivelierlatten). Die obere
Skizze zeigt wie’s geht: Aus der Differenz der beiden
Visuren (Rückblick-Vorblick) ergibt sich der Höhenunterschied zwischen den Punkten A und B (Hier
0,84m).
Der Theodolit (Theo, siehe untere Abbildung) ist im
Prinzip nichts weiter als ein hochgenaues Richtungsmeßgerät. Mit dem Theo kann man Richtungen auf der
Horizontalebene und auf der Vertikalebene messen. Aus
der Differenz zweier gemessener Richtungen erhält man
einen Winkel, je nach Ebene eine Horizontalwinkel oder
einen Vertikalwinkel.
4. a) Die Skizze:
Mathematik 10c
10. Juli 2002
12,4m
12,4m
4. b) Im unteren Dreieck gilt: tan12,6 ° = d also d = tan12,6 o l 55,47m
Im oberen Dreieck gilt: tan26,8 °= xd also x = d $ tan26,8 °= 12,4m $
Damit ist h = x + 12,4m = 40, 4 m. Der Turm ist ca. 40 m hoch.
tan 26,8o
tan 12,6o
l 28,0m
5. Zur Illustration nochmals die “Sinus- und Kosinus-Kurven”:
a) sina = 12 2 gilt für a = 45 o und wegen sina = sin(180 o − a) auch für a = 135 o
b) cos a = − 12 3 gilt für a = 150 o und wegen sina = cos(360 o − a) auch füra = 210 o
c) sin2 a + cos 2a = 1 ist allgemein gültig, gilt daher für alle Winkel a mit 0°[ a < 360°
6. Voraussetzung :a ist ein Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck
Behauptung:
Beweis:
sin4 a−sin 2 a
cos 4 a−cos 2 a
sin 4 a−sin2 a
cos 4 a−cos 2 a
=1
sin 2 a$(sin 2 a−1) sin2 a$(1−sin 2 a)
= cos 2a$(cos 2 a−1) =cos 2 a$(1−cos 2 a) =
JOKER:
3 Punkte für: 701 = (75 + 10) $ 8 + 6$7
3
2 Punkte für 700=(75+2-7)$10
702=75$10 − 6 $ 8
1 Punkt für
699=(75-6)$10 + 7 + 2
703=(75+2-6)$10 − 7
sin 2 a$cos 2 a
cos 2 a$sin 2 a
=1
q.e.d.