Aufgabensammlung

1.
Berechne die Gleichung der Ursprungsgeraden durch den Punkt P (2
2.
Bestimme die Gleichung der Geraden QR durch die Punkte Q (-5
R (2
2
3
| -1 )
3
5
5
1
| 1 ) und
8
4
1
1
| -4 )
2
6
3.
2
3
x− mithilfe von Steigungsdreieck und
3
2
y-Achsenabschnitt in ein Koordinatensystem. Platzbedarf: −5≤x≤5 und −7≤ y≤5 .
Zeichne die Gerade g 1 mit y=-1
4.
Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt T (2
y= -1
1
1
| -5 ) auf der Geraden g 1 mit
4
4
2
1
x−1 liegt und berechne die Koordinaten des Schnittpunkts S der Geraden g 1 mit
3
2
der x-Achse.
5.
Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte A(-0,75|-2,6), B(0,5|0,4) und C(
5 7
|
) auf
8 10
der gleichen Geraden liegen.
6.
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungssysteme. Benutze dabei
unterschiedliche Lösungsverfahren.
(G=QxQ)
a)
I 6x = 18y – 54
b)
I 0,5x – 0,4y = 0,2
= II 1,5 = 0,5x – 2y
= II -3,2y + 1,6x +6,8 = 0
7.
Gegeben ist die folgende Gleichung. Berechne die Belegung für die Variable a aus der
Menge Q.
4a + 2 7
=23
3a
-1
8.
Löse gegebenenfalls die Klammern auf, vereinfache, fasse zusammen und bestimme die
Lösungsmenge der Gleichung.
2
5⋅ 8−4  32⋅x=3⋅ 48⋅  108−2⋅ 6
9.
Gegeben ist das Dreieck ABC durch die Koordinaten der Punkte A(-2|-3), B(8|-0,5) und
C(10|4,5).
−6≤ y≤6
Platzbedarf: −3≤x≤11
a) Fertige eine Zeichnung des Dreiecks ABC an und bestimme seinen Flächeninhalt.
b) Punkt Dn auf der Geraden g mit der Gleichung y = -1,5x + 4 bilden zusammen mit den
Punkten A,B und C eine Viereckschar ABCD1.
Ergänze g und das Viereck ABCD1 für x = -1 in der Zeichnung.
c) Bestimme den Flächeninhalt des Vierecks in Abhängigkeit von der x-Koordinate der
Punkte Dn.
10.
Durch die Punkte A(-3 | -2), Bn(x | -0,25x + 1,5) und C(5 | 4) ist eine Dreiecksschar A Bn C
festgelegt. Platzbedarf: −6≤x≤8 −3≤ y≤6
a) Fertige eine Zeichnung des Dreiecks A B1 C für x1= 4 an.
b) Berechne den Flächeninhalt A des Dreiecks A Bn C in Abhängigkeit von x gilt:
c) Berechne B2 so, dass kein Dreieck A Bn C existiert.
d) Beim Dreieck A B3C liegt B3 auf der x-Achse.
Berechne die Koordinaten von B3 und ergänze das Dreieck in der Zeichnung.
Berechne sodann die Fläche des Dreiecks A B3C mithilfe der Formel von Aufgabe b)
11.
Endlich ist es soweit, das wegen Renovierungsarbeiten vorübergehend geschlossene Hotel
Doppeladler, in der Nähe von München, wurde wieder eröffnet. Nun hat es 108 Einzel- und
Doppelzimmer, welche modern eingerichtet wurden. Insgesamt gibt es 156 Betten.
Wie viele Doppel- und Einzelzimmer hat das Hotel Doppeladler?
12.
Gib folgenden Text in Mengenschreibweise an:
Die Punkte sind vom Punkt C genau 4,5cm entfernt und haben von AB und CD den gleichen
Abstand.
13.
Gegeben sind folgende Punkte: A(-3 | 2), B(2 | -3), C(1 | 3) und D(-2 | -3).
Es gilt weiterhin: g = AB und h = CD
Platzbedarf für das Koordinatensystem: −7≤x≤6 und −7≤ y≤7
Kennzeichne die Lösung mit grüner Farbe: { P n | d( P n ;AB) > 2cm ^ d( P n ;g) = d( P n ;h) }
14.
Löse mithilfe der binomischen Formel die Klammer auf.
(0,04b+ 0,1g) (0,04b – 0,1g)
15.
Vereinfache den Term.
3x⋅2y 25⋅ xy 2 
16.
Gegeben seien die Funktionen f  x  = 2x² + 14x + 6 und g  x = 4x – 2
a) Berechne die Nullstellen von g
b) Berechne die Schnittpunkte aus f und g
c) Berechne das Extrema der Funktion f
17.
Vereinfache so weit wie möglich.
 x 6 2−6x−x 12  x⋅  x⋅x 9
x 2−9
18.
Von den 120 Mitgliedern der Leichtathletikabteilung eines Sportvereins haben 50 das
Deutsche Sportabzeichen, 25 das Bayrische Sportabzeichen und 15 beide Sportabzeichen.
Erstelle eine Vierfeldertafel und ein Baumdiagramm.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Mitglied der
Leichtathletikabteilung das Bayrische Sportabzeichen besitzt ?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Mitglied der
Leichtathletikabteilung, das das Deutsche Sportabzeichen besitzt, auch das Bayrische
Sportabzeichen hat?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Mitglied der
Leichtathletikabteilung, das das Bayrische Sportabzeichen besitzt, auch das Deutsche
Sportabzeichen hat?
19.
Berechne die Lösungsmenge.
a) ohne Taschenrechner: log 2  x−1=log 2 9
b) lg  x− 21−1=1−lg  x 21
20.
Bei einer Bakterienart wächst die Anzahl der Bakterien pro Stunde um 15%.
Zu Beginn sind 7500 Bakterien vorhanden.
a) Geben Sie eine Gleichung für die Anzahl y der Bakterien in Abhängigkeit der Stunden x an.
(Falls kein Ergebnis : y = 5000⋅1,2 x
b) Wie viele Bakterien gibt es nach 10 Stunden?
c) In welcher Zeit verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien?
d) Um wie viel Prozent müssten sich die Bakterien vermehren, damit sich ihre Anzahl alle 3
Stunden verdoppelt?
21.
Gegeben sind die Parabel p mit der Gleichung y = x² – 8x + 18 und die Gerade g mit der Gleichung
y = -x + 8
a) A(-2 | y) und B(x | 3) sind Punkte der Parabel. Berechne die fehlenden Koordinaten.
b) Bringe die Parabel auf Scheitelform.
c) Berechne die Schnittpunkte P und Q der Parabel mit der Geraden.
d) Berechne die Gleichung aller Tangenten an P, die durch R(3,5 | 0) gehen.
22.
Zeichne das gleichschenklige Dreieck ABC mit A(2 | 2), B(6 | 3) und C(7 | 7).
Platzbedarf: 0≤x≤8 und 0≤ y≤9 1 LE entspricht 1cm.
a) Bestimme durch Rechnung die Gleichung der Geraden AC (Normalform). Um welche Gerade
handelt es sich dabei genau?
b) Zeichne einen vierten Punkt D so ein, dass sich mit den vier Punkten A,B,C und D eine Raute
zeichnen lässt. Berechne anschließend die Koordinaten des Punktes D mithilfe von Vektoren.
[Ergebnis: D(3 | 6)]
c) Zeige durch Rechnung, dass die Diagonalen der Raute aufeinander senkrecht stehen.
23.
Der Graph der jeweils gesuchten Funktion h ist eine Gerade, von der folgende Angaben bekannt
sind. Berechne jeweils die zugehörige Gerade.
a) Die Gerade h verläuft parallel zur x-Achse durch den Punkt F(-2 | -4).
b) Die Gerade h schließt mir der x-Achse einen Winkel von 45° ein und verläuft durch den Punkt
L(5 | -1). Gib h in der allgemeinen Differenzialgleichung an. Berechne!
2
c) Die Gerade h und die Gerade d mit der Funktionsgleichung y = x3 liegen zueinander
5
parallel. Der Punkt R(4,5 | -2,5) liegt auf der gesuchten Geraden. Gib die Gleichung in der
Punktsteigungsform an.
24.
Gegeben ist der Steigungsfaktor m = 3 der Geraden g und ein Punkt P(-2| 3) der Geraden g.
a) Gib die Gleichung der Geraden g in der Punksteigungsform und dann in der Normalform an.
[Ergebnis: y = 3x + 9]
b) Zeichne die Gerade in g in ein Koordinatensystem.
Platzbedarf: −5≤x≤5 und −4≤ y≤10 ; 1 LE entspricht 1cm
4
12
36
c) Zeige, dass die Geradengleichungen y = 3x + 9 und y− x− =0 dieselbe Gerade
5
5
5
beschreiben.
d) Berechne die Nullstelle der Geraden g.
e) Berechne die Gleichung der Geraden k, die orthogonal zu g liegt. Die Gerade k verläuft durch
1 2
den Punkt D( | ). Gib die Lösung in der allgemeinen Geradengleichungsform ax + by + c = 0
3 3
an.
25.
Berechne Inhalt und Umfang der von den Kreisbögen begrenzten Fläche.
a
b
a
a
k
a
26.
Bestimme den Flächeninhalt der in der unten stehenden Zeichnung schwarz markierten Figur in
Abhängigkeit von der Seitenlänge a des gleichseitigen Dreiecks ABC.
60°
a
2
a
27.
Die Bogenlänge eines Kreises ist doppelt so lang wie dessen Radius. Wieviel Prozent der gesamten
Kreisfläche sind von dessen Sektor bedeckt.
28.
1 4 3 2
3
x − x 2x
und
32
4
2
g(x) = 2x – 1 mit D f =D g= R . Ihre Graphen seien G f und G g .
Gegeben sind die Funktionen f und g durch f  x=
a) Untersuchen Sie die Funktionen f auf relative Extremwerte.
b) Berechnen Sie die Koordinaten der beiden Wendepunkte des Graphen G f .
c) Berechnen Sie die x-Werte der Punkte, welche sie Graphen G f und G g gemeinsam haben.
Entscheiden Sie, ob sich unter diesen Punkten Berührpunkte befinden und begründen Sie Ihre
Antwort. [Teilergebnis: x 1=−2 ; x 2=2 ]
d) Zeichnen Sie den Graphen G g und mithilfe einer Wertetabelle den Graphen für 6 k x k 4 in ein
gemeinsames Koordinatensystem (1LE = 1cm).
e) Die Graphen G f und G g schließen mehrere Flächenstücke ein. Berechnen Sie den Inhalt
desjenigen Flächenstücks, das den Ursprung des Koordinatensystems enthält.
29.
Eine Hose kostet nach einer Preissenkung um 30% noch 49€. Berechne den ursprünglichen Preis!
(Grundwissen)
Was hätte die Hose gekostet, wenn sie auf 60% reduziert worden wäre?
30.
Eine Parabel p mit dem Öffnungsfaktor a = -0,5 verläuft durch die Punkte A(1 | 3) und
P(6 |
0,5).
a) Ermittle rechnerisch die Gleichung der Parabel p.
[Ergebnis: p mit y = -0,5x² + 3x +0,5)]
b) Berechne die Koordinaten des Scheitels S der Parabel und zeichne p in ein
Koordinatensystem ein.
c) Die Gerade g mir der Gleichung y = -x +4 schneidet die Parabel p in den Punkten A und B.
Zeichne g in das Koordinatensystem ein und berechne die Koordinaten von A und B.
[Teilergebnis: x B = 7)]
d) Zwischen A und B liegen Punkte Cn (x|-0,5x² +3x +0,5) auf der Parabel p. Sie bilden Dreiecke
ABCn. Zeichne für x = 4 das Dreiek AB C 1 ein.
e) Zeige durch Rechnung, dass für den Flächeninhalt A aller Dreiecke gilt:
A x=−1,5 x 2 12x−10,5 FE
f) Bestimme x so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks 10,125 FE beträgt.
31.
2x 32x 2−4x−4
3
2
x x
a) Bestimmen Sie Definitionsbereich und Nullstellen von f  x  .
b) Bestimmen Sie die Art der Definitionslücken
Gegeben ist die Funktion
f  x=
32.
In einem Kreis mit dem Radius r ist ein Quadrant einbeschrieben. Welchen Mittelpunktwinkel muss
ein Kreissektor mit gleichem Radius haben, damit er denselben Flächeninhalt hat wie das Quadrant?
33.
Gegeben seien die Punkte A(0|0) und B(6|0), welche einen Halbkreis im ersten Quadranten eines
Koordinatensystems bilden. Die Punkte wandern auf der Halbkreislinie.
a) Zeichne den Halbkreis sowie die Punkte A und B in ein Koordinatensystem.
b) Zeichne die Dreiecke AB C 1 und AB C 2 für α1= 75° und α2= 30°
c) Begründe, dass alle Dreiecke ABCn rechtwinklig sind und gib die Koordinaten für C 3 und C 4
an, für die kein Dreieck entsteht.
d) Berechne alle fehlenden Größen des Dreiecks AB C 1 und die Fläche vom AB C 2 .
e) Gib die Koordinaten von C 5 an, für die ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck entsteht und
berechne alle fehlenden Größen.
34.
Gegeben ist die Funktion f  x=x 3−2x 2−5x6
a) Berechne die Nullstellen
b) Untersuche die Funktion auf Ihren Extremwert und die Monotonie.
c) Berechne den Wendepunkte und die Krümmung.
35.
Löse mithilfe der binomischen Formeln die Klammern auf.
a) ce f 9 2
1
2
1
2
b) − b − b 
6
3
6
3
36.
Schreibe mithilfe der binomischen Formel als Produkt.
4 2 16
16
y − ay a 2
9
15
25
37.
Ergänze das doppelte gemischte Produkt folgender binomischen Formeln:
9 2
25
v - __________ 
=(
16
36
38.
)²
Gegeben ist die Funktion:
f  x =2x 32x2 −4x−4
a) Berechne die Nullstellen
b) Bestimme die Extremwerte und gib das Monotonieverhalten an
c) Berechne den Wendepunkt und das Krümmungsveralten
d) Berechne die Fläche zwischen den beiden rechten Nullstellen
e) Bestimme die Wendetangente
f) Skizziere mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse die Funktion
39.
Herr Bauer mit einer Masse m = 90 kg nimmt sich vor, wöchentlich um 2,5% abzunehmen.
a) Stelle die Masse in Abhängigkeit von der Anzahl x der Diätwochen dar. (Falls kein Ergebnis,
berechne den Rest der Aufgabe mit der Formel m x=100 1−0,02x )
b) Wie groß ist seine Masse nach 4 Wochen?
c) Berechne, nach wie vielen Wochen Herr Bauer sein "Traumgewicht" von 78kg erreicht hat.
40. Gegeben sind die Funktionen f 1 mit y=log 2 4−x 1 und f 2 mit y=log 2  x−12 .
a) Gib die Definitionsmenge, Wertemenge und die Asymptotengleichung von f 1 an.
b) Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts S von f 1 und f 2 .
41.
Bestimme Art und Lage der Nullstellen und Definitionslücken.
f  x =
x 33x 22x
x 2−3x2
42.
Die obige Zeichnung stellt einen Scheibenwischer da. Der Winkel der zu wischenden Scheibe
beträgt 175°. Der Wischer selbst ist 50cm und das Gummi auf der Scheibe 40cm lang.
Berechne die Wischfläche.
43.
An einem Gymnasium mit einem sprachlichen sowie einem naturwissenschaftlich-technologischen
Zweig sind insgesamt 496 Schüler und 570 Schülerinnen. Von den Schülerinnen besuchen 359 den
sprachlichen Zweig und von den männlichen Schülern 238 den naturwissenschaftlichtechnologischen Zweig.
a) Stellen Sie die Situation in einer Vierfeldertafel dar. Verwenden Sie absolute Häufigkeiten.
b) Wie groß ist an diesem Gymnasium der Anteil der Schülerinnen und Schüler des sprachlichen
Zweigs?
Stellen Sie das Ergebnis aus a) in einer neuen Vierfeldertafel mit relativen Angaben in Prozent dar.
c) Wie groß ist der Anteil Mädchen im Sprachlichen Zweig?
d) Formulieren Sie mithilfe der berechneten Werte zwei weitere Aussagen.
44.
Im vergangenen Jahr besuchten 7359 Gäste das Volkstheater eines Touristenorts. Von den
Besuchern waren 36% Einheimische. Unter diesen waren 57% Frauen, unter den auswärtigen
Besuchern waren es nur 48%.
a) Stellen Sie die Situation in einer Vierfeldertafel dar.
b) Wie groß war der Gesamtanteil an Frauen?
c) Formulieren Sie weitere Aussagen aus den in a) berechneten Werten.
45.
Gegeben ist die Funktion:
f  x= x2 x 2 −16
a) Bestimme die Nullstelle der Funktion.
b) Bestimme den Extremwert und das Monotonieverhalten.
c) Bestimme die Tangente an der Stelle x = 2
d) Bestimme die Symmetrieachse.
46.
In einer Firma für Autoelektronik sind 36% der Beschäftigten Akademiker und 40% Facharbeiter.
2
Von den Akademikern sind ¾ nicht verheiratet, unter den Facharbeitern sind
nicht verheiratet.
5
Insgesamt sind die Hälfte der Beschäftigten verheiratet.
a) Ein Beschäftigter wird zufällig ausgewählt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich
dabei um einen verheirateten Akademiker handelt?
b) Von der zufällig ausgewählten Person weiß man nun zusätzlich, dass sie kein Akademiker ist.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie verheiratet ist?
47.
Nach Angabe des statistischen Bundesamtes waren im Jahr 2003 51,1% der 82,5 Millionen
Deutschen Frauen. Die Erwerbsquote lag bei den Männern bei 55,3% und bei den Frauen bei
42,2%.
a) Stellen Sie den Zusammenhang in einer Vierfeldertafel dar.
b) Geben Sie weitere Aussagen an, deren Wahrscheinlichkeit sich aus den in a) berechneten Werten
ermitteln lassen.
c) Wie groß ist der Anteil der Frauen unter den Erwerbstätigen? Vergleichen Sie diesen Wert
mit
dem gegebenen Wert 42,4% und interpretieren Sie ihr Ergebnis.
2
Mädchen. Von den Mädchen ist die Hälfte fußballbegeistert. Insgesamt
3
sind in der Klasse 60% fußballbegeistert.
Stellen Sie die Situation in einem Baumdiagramm dar und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass ein zufällig ausgewählter Junge fußballbegeistert ist.
48. In einer Klasse sind
49.
Mädchen sind klüger
Dieses Jahr haben 245000 junge Damen und Herren ihre Schulausbildung mir einer erfolgreichen
Abiturprüfung abgeschlossen und damit die Berechtigung zum Studium an einer Hochschule
erworben. Bundesweit lagen die Damen mit 52,4% wieder klar vor den Herren, im Osten
Deutschlands sind es sogar 59,1%, im Rest nur 50,8%. Eine Vertreterin der
Kultusministerkonferenz bestätigte dazu auf Anfrage ...
a) Stellen Sie diese Situation in einer Vierfeldertafel dar.
b) Stellen Sie die Situation auch mithilfe zweier verschiedener Baumdiagramme dar.
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus dem Abiturjahrgang ausgewählte
Person:
1. ein Mann ist,
2. aus dem Osten Deutschlands stammt,
3. ein Mann ist, wenn man zusätzlich weiß, dass die Person aus dem Osten stammt,
4. aus Ostdeutschland stammt, wenn man zusätzlich weiß, dass es sich um einen Mann handelt?
50.
In dieser Aufgabe wird unter Schüler und Vegetarier sowohl weibliche als auch männliche Personen
verstanden.
Eine Umfrage unter den Schülern eines Gymnasiums ergab, dass 45,0% aller Schüler Vegetarier
sind. 28,0% der Vegetarier sind männlich. 18,7% aller Schüler sind weiblich und keine Vegetarier.
Betrachte werden die Ergebnisse:
V: Person ist Vegetarier
M: Person ist männlich.
a) Formulieren Sie die gegebenen Wahrscheinlichkeiten mir der abgekürzten Symbolschreibweise!
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die dieses Gymnasium besucht, sich
vegetarisch ernährt und männlich ist.
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person, die sich vegetarisch ernährt, weiblich?
c) Erstellen Sie ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm, welches zur gegebenen Situation
passt.
d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die weiblich ist, sich vegetarisch
ernährt.
51.
Vierstreckensatz:
a) Um die Breite x eines Flusses zu bestimmen werden die Strecken a, b und c gemessen.Berechne
x.
Z
a = 8m
b = 6m
c = 4m
x
A'
c
B'
b
A
a
B
b) Ein Baum wirft einen Schatten von 24m Länge. Wie hoch ist der Baum, wenn zur gleichen Zeit
ein Mann mit einer Körpergröße von 1,80m einen Schatten von 2m Länge wirft?
[TIPP: Fertige zunächst eine Skizze an!]
52.
Gegeben ist ein gleichschenkliges Trapez ABCD mit der Grundseite AB = 8cm, CD = 5cm und der
Höhe 4cm. Man verlängert die Seite [AB] über A und B hinaus jeweils um x cm und verkürzt
gleichzeitig die Höhe von C und D aus um x cm (x € IN). Dadurch entstehen neue Trapeze
An B n C n D n .
a) Zeichne das Trapez ABCD und ein verlängertes Trapez A1 B1 C 1 D1 für x = 1. (1LE = 1cm)
b) Berechne den Flächeninhalt beider Trapeze aus a). Um wie viel Prozent ist der Flächeninhalt des
neuen Trapezes kleiner als der des ursprünglichen Trapezes? Berechne!
c) Welche Werte kann x annehmen?
d) Berechne den Flächeninhalt A x der Trapeze in Abhängigkeit von x!
[Zwischenergebnis: (-x² – 2,5x + 26) cm²]
53.
Bestimme die Gleichung der Ableitungsfunktion.
3
a)
f  x=e x −4
d) f  x=3 x
1
b) f =e x  x n=0
 x
e) f  x =3
2x1
1
e 1
f) f  x=2  x
c) f  x=
x
2
54.
Ein gleichschenkliges Dreieck ABC hat die Höhe h = 10cm und die Basis c = 4cm. Neue
gleichschenklige Dreiecke An B n C n entstehen, wenn man die Basis auf beiden Seiten um x
verlängert und gleichzeitig die Höhe von C aus um x cm verkürzt.
a) Zeichne das Dreieck ABC und das Dreieck A1 B1 C 1 für x = 3.
b) Welche Werte sind für x sinnvoll?
c) Stelle den Flächeninhalt der Dreiecke An B n C n in Abhängigkeit von x dar.
[Ergebnis: A x=−x 28x20 cm2 ]
d) Für welchen Wert von x erhält man den maximalen Flächeninhalt?
55.
Gegeben sind die Punkte B(3 |-0,5) und C(-4,5| 4,5). Sie bilden mit den Punkten An , die auf der
1
Geraden h: y=− x−4 liegen, eine Dreiecksschar An BC.
3
a) Fertige eine Zeichnung des Dreiecks A1 BC für x 1=−3 an und zeichne h ein.
b) Bestimme den Flächeninhalt der Dreiecke An BC Abhängigkeit von x.
c) Es existiert ein Punkt A2 , so dass der Flächeninhalt des Dreiecks A2 BC 12FE beträgt. Berechne
die Koordinaten von A2 . Platzbedarf: −6≤x ≤6 ;−6≤ y ≤6
56.
Einem gleichschenkligen Dreieck ABC mit der Basislänge AB = 8cm und der zur Basis gehörigen
Höhe CR = 12cm werden gleichschenklige Dreiecke P n Qn Rn mit der Basis [ P n Qn ] so
einbeschreiben, dass die Spitze Rn aller Dreiecke P n Qn Rn der Mittelpunkt von [AB] ist. Für die
Basis gehörigen Höhe Rn S n gilt: Rn S n = x cm.
a) Zeichne das gleichschenklige Dreieck ABC und das einbeschriebene gleichschenklige Dreieck
P 1 Q1 R1 für x = 9cm.
b) Der Flächeninhalt A x der einbeschriebenen gleichschenkligen Dreiecke P n Qn Rn hängt von
der jeweiligen Höhe Rn S n = x cm ab. Stelle den Flächeninhalt A x in Abhängigkeit von x
dar.
1 2
2
[Ergebnis: A x=− x 4cm ]
3
c) Für welche Belegung von x erhält man das Dreieck mit dem maximalen Flächeninhalt. Gib den
Flächeninhalt dieses Dreiecks an.
57.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Kathetenlänge [AB] = 6cm und [BC] = 5cm. Verkürzt man die
Kathete [AB] von A aus um 0,5x cm und verlängert man gleichzeitig die Kathete [BC] um x cm
über C hinaus, so entstehen neue Dreiecke An B C n .
a) Zeichne das Dreieck ABC und ein neues Dreieck A1 B C 1 für x = 3.
b) Für welche Werte von x wird der Flächeninhalt A der neuen Dreiecke An B C n maximal?
[Zwischenergebnis: A x=−0,25 x 21,75 x15 cm2 ]
58.
In einem Laborversuch untersuchten Baubiologen das Wachstum von Schimmelpilzen auf
unterschiedlichen Fassadenplatten. Dazu wurden zwei mit A bez. B gekennzeichnete Platten auf
denen zu Versuchsbeginn jeweils eine Fläche mit einem Inhalt von 100 cm² von Schimmelpilz
befallen war, in einer Klimakammer beobachtet.
Bei der Platte A wurde festgestellt, dass sich der Inhalt der von Schimmelpilz befallenen Fläche
täglich um 26% vergrößert hatte.
a) Berechnen Sie, wie groß der Inhalt der von Schimmelpilz befallenen Fläche bei der Platte A am
Ende des 6. Versuchstages war. Runden Sie auf Quadratzentimeter.
b) Bei der Platte A war der Versuch abgebrochen worden, als der Inhalt der von Schimmelpilz
befallenen Fläche einen Quadratmeter erreicht hatte. Ermitteln Sie rechnerisch, am wievielten
Versuchstag dies der Fall war.
c) Auch bei der Platte B hatte sich der Inhalt der von Schimmelpilz befallenen Fläche täglich um
einen festen Prozentsatz vergrößert. Hier war ein Quadratmeter am Ende des 13. Versuchstages
erreicht worden. Berechnen Sie den betreffenden Prozentsatz.
59.
Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung y=log 2  x81 mit G = IR x IR.
a) Geben Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion f sowie die Gleichung der
Asymptote h an.
b) Tabellarisieren Sie die Funktion f für x ist Element von {-7,7;-7,6;-7;-6;-5;-4;-2;0;2;4} auf zwei
Stellen nach dem Komma gerundet.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu f in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1cm; −9≤x≤6 ;−4≤ y≤9
c) Punkte An  x log 2  x81 auf dem Graphen zu f sind zusammen mit dem Punkt B(0|0) und
Punkten C n und D n die Eckpunkte von Quadranten An B C n D n .
Zeichnen Sie die Quadrate A1 B C 1 D1 für x = -5 und A2 B C 2 D2 für x = 1 in das
Koordinatensystem zu b) ein.
d) Die Punkte An können auf die Punkte C n abgebildet werden.
Zeigen Sie durch Rechnung, dass der Trägergraph t der Punkte C n die Gleichung
y=−2 x−18 besitzt.
Zeichnen Sie den Trägergraphen t der Punkte C n in das Koordinatensystem zu b) ein.
e)Für das Quadrant A3 B C 3 D3 gilt: A3 −4 3 .
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D 3 .
f) Für das Quadrant A4 B C 4 D 4 gilt: Der Punkt D 4 liegt auf der Winkelhalbierenden des
II.Quadranten. Ermitteln Sie rechnerisch die x-Koordinate des Punktes A4 .
60.
Bei einem fränkischen Bauernhaus wird der Giebel durch eine Fachwerkkonstruktion getragen.
Bereiche die Länge der Balken b1 und b 2 .
a = 18m
b = 5m
c = 4m
d = 8,1m
d
b1
b2
a
b
c
61.
Zeige, dass h  8 cm lang ist.
h
4cm
2cm
62.
Eine Kreisfläche mit Radius R wird durch einen Kreis mit dem Radius r in zwei gleich große
Flächen zerlegt.
Kreuze das Richtige an.
r
R
r=
R
2
r=
2R
2
R=r⋅ 2
1
R− =r
2
63.
Löse die Gleichung.
1
 x=2
x
64.
Gegeben sei die Funktion:
f  x =
34x−2
9x−12
a) Erstelle eine Wertetabelle für −4≤ x≤4 und ∆x=1
b) Zeichne mit Hilfe der Wertetabelle die Funktion
c) Bestimme die Definitionsmenge
d) Bestimme die Nullstelle
65.
Gegeben sei die Funktion:
f  x =
4
5

6x−9 2x−8
a) Bestimme die Nullstelle von f(x)
b) Bestimme die Definitionsmenge von f(x)
66.
1Kg Schwarztee kostet im Verkauf 13,60 Euro. 1Kg Grüntee kostet im Verkauf 16,20 Euro.
Welchen Anteil von Schwarz- und Grüntee muss man mischen, damit die Mischung 14,50 Euro
kosten würde.
67.
In einem Chemiewerk wird in zwei Anlagen Schwefelsäure hergestellt und in einen Mischtank
gepumpt. Wenn die Anlage A 48%Igel Schwefelsäure und die Anlage B 64% Schwefelsäure
produziert, stehen nach einer Stunde 400kg 58% Schwefelsäure zur Verfügung. Wie viel
Schwefelsäure produziert jede Anlage?
68.
Gegeben sei die Funktion
2
f  x = x−32x 6x−8
a) Bestimme die Nullstellen von f(x) und deren Vielfachheiten und gib den Grad der Funktion an
sowie das Nullstellenpolynom an
b) Prüfe auf Symmetrie
c) Bestimme die Funktionswerte an den Grenzen des Definitionsbereichs
d) Skizziere den Verlauf der Funktion in einem Koordinatensystem
69.
Gegeben sei die Funktion
f  x = x4  2x 28x
a) Bestimme die Nullstellen von f(x) und deren Vielfachheiten und gib den Grad der Funktion an
sowie das Nullstellenpolynom an
b) Prüfe auf Symmetrie
c) Bestimme die Funktionswerte an den Grenzen des Definitionsbereichs
d) Skizziere den Verlauf der Funktion in einem Koordinatensystem
70.
Gegeben sei die Funktion
f  x =2x 36x 2−8x
a) Bestimme die Nullstellen von f(x) und deren Vielfachheiten und gib den Grad der Funktion an
sowie das Nullstellenpolynom an
b) Prüfe auf Symmetrie
c) Bestimme die Funktionswerte an den Grenzen des Definitionsbereichs
d) Skizziere den Verlauf der Funktion in einem Koordinatensystem
71.
Um gefährliche Gegenstände (G) aufzuspüren, müssen die Zuschauer eine Sicherheitsschleuse
passieren.
Erfahrungsgemäß wird bei 1 % aller Personen ein Alarm (A) ausgelöst. In 2 von 1000 Fällen
führt eine Person einen gefährlichen Gegenstand mit und löst den Alarm aus. Allerdings kann
1 von 1000 Personen die Schleuse passieren, ohne Alarm auszulösen.
a) Ermitteln Sie mit Hilfe einer Vierfeldertafel die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
E1: "Bei einer zufällig ausgewählten Person wird Alarm ausgelöst, obwohl sie keinen gefährlichen
Gegenstand mit sich führt."
E2: "Eine zufällig ausgewählte Person führt keinen gefährlichen Gegenstand mit sich."
b) Untersuchen Sie durch Rechnung, ob die Ereignisse A und G stochastisch unabhängig sind.
c) Berechnen Sie P(A u G) .
d) Berechnen Sie die Wk, dass eine gefährliche Person erkannt wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass
eine Person einen Alarm auslöst beträgt 0,01. Im Folgenden wird
eine zufällig ausgewählte Gruppe von 200 Personen betrachtet, die die Schleuse passieren. Die
Zufallsgröße X gibt an, wie oft bei dieser Gruppe Alarm ausgelöst wird.
e) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als fünfmal Alarm ausgelöst wird.
f) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl der ausgelösten Alarme innerhalb
der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegt.
72.
Bei der Herstellung von Türgriffen tritt mit einer Wahrscheinlichkeit 10% ein Ausschuss auf. Einer
großen Lieferung werden 100 Stück entnommen. Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten
Türgriffe in der Stichprobe an.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass
a1) sich in der Stichprobe mehr als 97 intakte Türgriffe befinden
a2) der 1. und der 2. Türgriff defekt sind
a3) die Anzahl der defekten Türgriffe innerhalb der einfachen Standardabweichung um den
Erwartungswert liegt.
b) Berechne P(X<10) und deute das Ergebnis im Sinne der vorliegenden Thematik
73.
Gegeben sei ein Kreis mit Radius r = 10cm. Welche Fläche hat ein Quadrat mit dem selben
Umfang, wie der Kreis?
74.
In einem Gehege befinden sich Hasen und Fasane. Insgesamt haben sie 28 Köpfe und 88 Beine.
Berechne wie viele Hasen und wie viele Vasane im Gehege leben.
75.
Gegeben sei die Gerade g: y = -2x - 2
a) Zeichne die Gerade und berechne ihre Nullstelle
b) Wie muss P(x|8) lauten damit er auf g liegt?
c) Berechne die Gerade h, welche durch P und A(-1|5) verläuft
d) Sind g und h parallel oder senkrecht?
76.
Gegeben sei ein 10cm langes und 8cm breites Rechteck. Die Länge wird um x verlängert und
gleichzeitig die Breite um 2x verkürzt. Es entstehen neue Rechtecke.
a) Zeichne das Ausgangsrechteck und das Rechteck für x = 2
b) Welche Werte für x sind sinnvoll
c) Berechne den Flächeninhalt der Rechtecke in Abhängigkeit von x
[Ergebnis: A(x) = (-2x2 - 12x + 80)FE ]
d) Berechne die maximal mögliche Fläche
e) Für welches x erhält man eine Fläche von 40 FE
77.
Bestimme die Stammfunktion von
1
f  x =e 4x−6− ⋅x 2
3
78.
Gegeben seien die Punkte A(2|5|-3), B(4|2|3) und C(8|a|4). Bestimme a so, dass das Dreieck ABC in
B einen rechten Winkel hat.
79.
Berechne die Fläche des Atomzeichens
4
3
α=54°; rKreis=0,7
80.
An welcher Stelle muss der Baum abgesägt werden, damit er genau 5m vom Stamm entfernt, am
Boden aufschlägt.
81.
Ein 12500m2 großes Grundstück soll für den Bau einer Schule, eines Kindergartens und eines
Sportplatzes aufgeteilt werden. Das Kindergartengrundstück soll 75% des Schulgrundstücks
ausmachen, das Sportgelände soll 2000 m2 größer sein als die beiden bebauten Grundstücke
gemeinsam. Berechne die Größe der einzelnen Grundstücke.
82.
Gegeben sei ein 8cm langes und 6cm breites Rechteck. Die Länge wird um x verlängert und
gleichzeitig die Breite um x verkürzt. Es entstehen neue Rechtecke.
a) Zeichne das Ausgangsrechteck und das Rechteck für x = 1
b) Welche Werte für x sind sinnvoll
c) Berechne den Flächeninhalt der Rechtecke in Abhängigkeit von x
[Ergebnis: A(x) = (-x2 - 2x + 48)FE ]
d) Berechne die maximal mögliche Fläche
83.
Gegeben: g: y = -2x + 2 und f: y = 0,5x - 1
a) Zeichne g & f gemeinsam in ein Koordinatensystem
b) Berechne die Nullstellen von g & f
c) Berechne die Schnittpunkte von g & f
d) Liegt P(2|-2) auf f oder g
e) Prüfe, ob die Geraden parallel bzw. senkrecht zueinander stehen
f) Berechne die Gerade, welche durch die Punkte P(2|-2) und Q(4|6) geht
84.
Gegeben sei die Gerade y=3x+3 sowie die Punkte A(1|1) und B(4|2). Die Punkte Cn wandern auf
der Geraden.
a) Liegen der Punkt P1(1|6) und P2(2|7) auf der Geraden
b) Bestimme P3(x|9) so, dass der Punkt auf der Geraden liegt
c) Bestimme die Punkte Cn in Abhängigkeit von x
d) Berechne die Fläche des Dreiecks AABCn in Abhängigkeit von x
e) Bestimme C1 so, dass kein Dreieck entsteht
f) Bestimme C2 so, dass bei A ein 90° Winkel entsteht
g) Für welches x erhält man eine Fläche von 12 cm2
85.
Passt ein 5,3 cm langes Streichholz in eine Streichholzschachtel, die 4cm lang, 3cm breit und 1,5cm
hoch ist?
86.
Gegeben: g(x) = -2x + 2 und f(x) = 2x2 + 4x – 6
a) Zeichne g & f [Zeichnung: -4<x<3 ; -9<y<12 ; y-Achse: 1LE = 0,5cm]
b) Berechne die Nullstellen von g & f
c) Berechne die Schnittpunkte von g & f mit der y-Achse
d) Berechne die Schnittpunkte von g & f
e) Liegt P(2|10) auf g oder f
f) Berechne das Minimum von f und gib dessen Wertemenge und Definitionsmenge an
87.
In einer Urne befinden sich 7 schwarze, 5 weiße und 1 rote Kugel. Es werden nun hintereinander
und ohne zurücklegen zwei Kugeln gezogen.
a) Erstelle ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass man zwei gleichfarbende Kugeln zieht
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Kugel weiß ist
88.
Gegeben ist die Funktion:
f  x =2x 32x2 −4x−4
a) Berechne die Nullstellen und gib die Vielfachheiten sowie das Nullstellenpolynom an
b) Berechne den Schnittpunkt mit der y-Achse
c) Bestimme das Verhalten der Funktion an den Grenzen des Definitionsbereichs
d) Skizziere mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse die Funktion
e) Bestimme die Extrema und das Monotonieverhalten
89.
Ein Münztelefon ist defekt. Jemand wirft 20ct ein. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er eine
Verbindung erhält, ist 0,5. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Apparat beim Auflegen 20ct
auswirft, ist ein Drittel. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Gespräch nicht zustande kommt und
das Geld zurückkommt, ist ein Sechstel.
a) Finde geeignete Bezeichnungen für die Ereignisse und gib einen Ergebnisraum an
b) Erstelle ein Vierfeldertafel
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man ein bezahltes Gespräch führen kann?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man entweder telefonieren kann oder sein Geld
zurückbekommt?
90.
Im Jahr 2010 besuchten durchschnittlich 2400 Leute das Jahnstadium pro Spiel. Von den Besuchern
waren 64% Einheimische. Unter diesen waren 75% Männer, unter den auswärtigen Besuchern
waren es nur 60%.
a) Stellen Sie die Situation in einer Vierfeldertafel dar.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein weiblicher Zuschauer einheimisch ist?
91.
Durch Rotation der schraffierten Fläche um die Achse a entsteht ein Rotationskörper.
a) Berechne den Flächeninhalt der Dachfläche in Abhängigkeit von d
b) Berechne den Rauminhalt des Rotationskörpers in Abhängigkeit von d
92.
Gegeben ist die Funktion:
f  x =x 3− x 2−16x16
a) Berechne die Nullstellen und gib die Vielfachheiten sowie das Nullstellenpolynom an
b) Berechne den Schnittpunkt mit der y-Achse
c) Bestimme das Verhalten der Funktion an den Grenzen des Definitionsbereichs
d) Skizziere mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse die Funktion
e) Bilde die Ableitung von f
93.
Berechne die Schnittpunkte von
f  x =x 3 – 4x2 – 5x3 und g  x=−2x 26x−9
94.
Eine Kugel befindet sich in einem Würfel mit der Kantenlänge a. Wieviel Prozent beträgt das
Volumen der Kugel bzgl. dem Volumen des Würfels. Ist der prozentuale Anteil konstant?
95.
Ein Laplace-Würfel wird geworfen. Betrachte die Ereignisse:
A:= "Augenzahl ist gerade"
B:= "Augenzahl ist durch 3 teilbar"
a) Erstelle für obigen Zusammenhang eine Vierfeldertafel
b) Prüfe ob die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind
96.
Gib zu folgenden Funktionen die 1. Ableitung an
a) f(x) = 5x4 – 2x2 + 9
b) f(x) = −cos x⋅sin  x 
c) f(x) = −2x−4⋅5x6 (2 Lösungswege verlangt!)
d) f(x) = sin  x⋅2x−4⋅cos  x
e) f(x) = tan(x)
3x
f) f(x) =
sin  x 
e−3x
−4x 2
g) f(x) =
2
5x
h) f(x) = e x ⋅sin  x 
4x
i) f(x) =  sin x 2
j) f(x) = e sinx 

2
2
97.
Bestimme folgende Grenzwerte
lim −3x 35x 27=
a) x
−2
3
2
3x −2x 1
=
3
x ∞
6x −9
7x−1
lim
=
3
2
x −∞ 2x −14x
5x 3−6x 2
lim
=
2
x ∞ 7x −5
6x−2
lim 2
=
x 3 x −9
6x−2
lim 2
=
x 3 x −9
7
lim x =
x −∞ e
9x−cos  x 
lim
=
sin  x 
x2 
b) lim
c)
d)
e)
f)
g)
h)
−

98.
Bestimme die Stammfunktion von f(x) = x3 – 13x + 12 (Verweis auf Integrale und
Flächenanwendung)
99.
Beweise die Formel von Sylvester:
P  A∪B∪C =P  A P  BP C −P  A∩B − P  A∩C −P  B∩C P  A∩ B∩C 
mit hilfe der Formel:
P  A∪B=P  AP  B−P  A∩B
100.
Gegeben sei das Dreieck mit den Koordinaten A(6|5|3), B(2|5|6) und C(0|0|6)
a) Zeichne das Dreieck in ein Koordinatensystem
b) Prüfe, ob das Dreieck rechtwinklig ist und berechne anschließend alle Winkel
c) Berechne alle Seitenlängen
d) Berechne die Dreiecksfläche
101.
Ein Buch mit 660 Seiten soll in einem bestimmten Zeitraum übersetzt werden. Der Übersetzer
schafft täglich 2 Seiten weniger als geplant und wird deshalb 3 Tage später fertig.
Wie viele Tage waren ursprünglich vereinbart.
102.
Geg: p(x) = x2 -ax + 5 und g(x) = 2x - a
Berechne die Schnittpunkte in Abhängigkeit von a