Lehrmaterial Mathematik - Vision

Lehrmaterial Mathematik
Inhaltsverzeichnis
1 Vorwissen
1.1 Kreisbogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Sätze im Spährischen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Satz von Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
2
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2 Aufgaben
2.1 Aufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Aufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
4
3 Lösungen
3.1 Aufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Aufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5
6
1
1 Vorwissen
1.1 Kreisbogen
Ein Kreisbogen ist ein Teil eines Kreises, der entsteht, wenn man nur einen bestimmten
Winkel alpha betrachtet. In einem Kreis gelten ähnliche Formeln wie in einem Normalem
Kreis, man muss bei der Berechnung des Flächeninhalts bzw. der Länge des Teilstücks b
nur wie im Folgendem gezeigt, den Winkel alpha berücksichtigen.
Der Flächeninhalt:
A = π · r2 ·
α
360◦
Die Länge des Teilstckes b:
b=π·r·
α
360◦
b
r
α
r
1.2 Sätze im Spährischen Dreieck
In spärischen Dreiecken existieren genauso Zusammenhänge wie im ebenen Dreiecken,
diese sind dort allerdings etwas anders als im ebenen Dreiecken, da die Winkelsumme im
sphärischen Dreieck gröÿer als 180◦ ist. Durch diese Abweichung von den Dreieckseigenschaften in der Ebene, entsteht ein spährischer Excess, diesen kann man berechnen, indem
man 180◦ von der Winkelsumme subtrahiert. Auÿerdem muss noch beachtet werden, dass
verschiedene Kugeln unterschiedliche Radien haben, und man somit nicht mit angaben
in Metern rechnen kann. Folglich nimmt man den Mittelpunktswinkel, als Angabe für die
Seiten, da alle Zusammenhänge somit auch für jedes sphärische Dreieck gelten kann. Der
Mittelpunktswinkel ist der Winkel zwischen Punkt A, dem Kugelmittelpunkt und Punkt
B. Im Folgenden sind der Seiten-Kosinussatz und der Winkel-Kosinussatz aufgeführt und
jeweils nach nur einem Winkel bzw. einer Seite aufgelöÿt. Hier sei noch bemerkt, dass
nachfolgende Sätze nicht funktionieren, sollte kein sphärischer Excess gemessen werden.
Der Seiten-Kosinusatz: cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos α
(1)
cos a − cos b · cos c = sin b · sin c · cos α
(2)
cos a − cos b · cos c
sin b · sin c
cos a − cos b · cos c
⇒ α = arccos
sin b · sin c
(3)
Der Winkel-Kosinusatz: cos α = − cos β · cos gamma + sin β · sin γ · cos a
(1)
cosα =
2
(4)
cos α + cos β · cos γ = sin β · sin γ · cos a
cosa =
cos α + cos β · cos γ
sin β · sin γ
⇒ α = arccos
cos α + cos β · cos γ
sin β · sin γ
(2)
(3)
(4)
1.3 Satz von Legendre
Neben diesen und weiteren Sätzen um Gröÿen im säphrischen Dreieck zu berechnen gibt
es noch einen Satz von Legendre, nach dem man ein Dreieck einebnen kann, sodass dieses
eingeebnete Dreieck die gleichen Seitenlängen hat wie das Ausgangsdreieck. Wenn man
ein Dreieck so eingeebnet hat kann man alle Regeln und Sätze der ebenen Trigonometrie anwenden. Allerdings gilt zu beachten, das dieser Satz nur bei kleinen sphärischen
Dreiecken gilt. Nachfolgend ist gezeigt, wie man die Winkel einebnet.
Bestimmung des sphärischen Excesses
= α + β + γ − 180◦
Einebnung der Winkel
1
α0 = α − 3
1
β0 = β − 3
1
0
γ =γ− 3
3
2 Aufgaben
2.1 Aufgabe 1
Die Kirchturmspitzen(A,B,C) dreier Kirchen in Deutschland bilden ein Dreieck, und
benden sich jeweils 35m über dem durchschnittlichen Erdradius. Die Drei zugehörigen
Pfarrer haben ermittelt, dass die Entfernungen zwischen den Kirchturmspitzen A und
B 102.5km, zwischen B und C 125.4km und die zwischen A und C 98.34km Luftlinie
betragen.
a)Ermittle die Mittelpunktswinkel aller drei Strecken, wenn der mittlere Erdradius 6371km beträgt. Die Höhe der Trme kann hierbei vernachlässigt werden.
b)Berechne mithilfe des Seiten-Kosinus-Satzes die Winkel des durch die Kirchtürme gebildeten Dreiecks.
c)Ebne dieses Dreieck unter Beachtung des Satz von Legendre ein und zeichne
es mit einem passendem Maÿstab in dein Heft.
2.2 Aufgabe 2
2. Du besuchst gemeinsam mit Freunden alle drei Orte mit den Kirchen und möchtest
wissen, ob die Kirchtürme wirklich alle 35m hoch sind. In den Städten aber ndest du
keinen der dir deine Frage beantworten kannst, da es alle nur von dem dort predigendem Pfarrer erfahren haben. Da du es aber unbedingt wissen willst, stellst du eigene
Messungen an.
a)Bei deiner Messung am ersten Kirchturm stehst du 20m vom Kirchturm
entfernt, und misst auf Augenhöhe(160cm) einen Winkel von 59.3◦ zwischen
der Waagerechten bis zur Kirchturmspitze. Wie hoch ist der Kirchturm in
Wirklichkeit?
b)Bei der nächsten Kirchturmspitze kannst du leider wegen einem Feuerwehreinsatz selber keine Messungen durchführen, allerdings erfährst du, dass die
Drehleiter der Feuerwehr genau bis zum höchsten Punkt ausgefahren war,
sie war insgesamt ca35.2m ausgefahren, stand 10m vom Turm entfernt und
der Winkel zwischen der waagerechten und der Leiter war 73.5◦ . Auÿerdem
wird dir erzählt, dass die Leiter 1.5m über dem Boden hat. Ermittle die Höhe
dieses Kirchturms, die der des dritten gleicht.
4
3 Lösungen
3.1 Aufgabe 1
a)
α=
b
r
⇒ αM =
BC
125.4
=
≈ 0.020 ≈ 1.145◦
r
6371km
⇒ βM =
AC
98.34km
=
≈ 0.015 ≈ 0.86◦
r
6371km
⇒ γM =
AB
102.5km
=
≈ 0.016 ≈ 0.917◦
r
6371km
b)
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos α ⇒ α = arccos
cos a − cos b · cos c
sin b · sin c
cos αM − cos βM · cos γM
=
sin βM · sin γM
cos 1.145◦ − cos 0.86◦ · cos 0.917◦
= arccos
≈ 80.165◦
sin 0.86◦ · sin 0.917◦
⇒ α = arccos
cos βM − cos αM · cos γM
=
sin αM · sin γM
cos 0.86◦ − cos 1.145◦ · cos 0.917◦
≈ 47.738◦
= arccos
sin 1.145◦ · sin 0.917◦
⇒ β = arccos
cos γM − cos αM · cos βM
=
sin αM · sin βM
cos 0.917◦ − cos 1.145◦ · cos 0.86◦
= arccos
≈ 52.104◦
sin 1.145◦ · sin 0.86◦
⇒ γ = arccos
c)
SphärischerExcess : = α+β+γ−180◦ = 80.165◦ +47.738◦ +52.104◦ −180◦ = 0.007◦
⇒ α0 = α − = 80.165◦ − 0.007◦ = 80.158◦
⇒ β 0 = β − = 47.738◦ − 0.007◦ = 47.731◦
⇒ γ 0 = γ − = 52.104◦ − 0.007◦ = 52.997◦
5
3.2 Aufgabe 2
a)
b)
hturm1 = 1.6m + tan 59.3◦ · 20m ≈ 35.28m
hturm2 = 1.5m + tan 73.5◦ · 10m ≈ 35.26
6