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Vektoranalysis
•
Dieses Folienpaket ist ausschließlich als Begleit- und
Orientierungsmaterial zu einer Vorlesung zu verstehen, die ansonsten
frei gehalten und an der Tafel präsentiert wird.
•
Sie ist daher kein geschlossenes Lernmaterial und eignet sich nur für
die Hörer der Vorlesung im Zusammenhang mit den eigenen
Mitschriften.
•
Dennoch ist es nicht gestattet, das Material für eigene Vorlesungen und
Vorträge zu verwenden!
1
Dipl.-Ing.
Thomas Tyczynski
TU-Dresden
Vektoranalysis in der Elektrotechnik
Inhalte:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Motivation
Anwendungen in der Elektrotechnik
Voraussetzungen
Skalar- und Vektorfelder
Differenzialoperatoren, grad, div und rot
Quellen und Wirbel
Linien-, Flächen- und Volumenintegrale
Raumkurven, Flächen, Volumina
Differenzielles Wegelement, differenzielles
Flächenelement
10.Integralsätze von Gauß und Stoke
2
Dipl.-Ing.
Thomas Tyczynski
TU-Dresden
Anwendungen in der Elektrotechnik:
-Beschreibung von räumlich und zeitlich
abhängigen elektrischen Größen
-Ermittlung der Wechselwirkungen zwischen
verschiedenen elektrischen Größen
-Vereinfachung der Darstellung raum- und
zeitvarianter Größen
-Ermittlung der funktionalen Abhängigkeit von
Zeit und Raum
Einen wichtigen Sonderfall stellen die
zeitinvarianten Größen dar, die nur im Raum
verteilt sind
Beispiele:
E-, D-, J- und φ-Darstellung des stationären
elektrischen Feldes.
H-Darstellung des stationären magnetischen
Feldes.
3
Dipl.-Ing.
Thomas Tyczynski
TU-Dresden
Anwendungen in der Elektrotechnik:
Gesetzmäßigkeiten als Beispiele:
r
ϕ(r ) = ϕ(r0 ) − ∫ E(r )idr
∫
H idr = I ⋅ w
Potenzial des stationären elektrischen Feldes
r0
r 2 I
dr ' × (r − r ')
H(r ) =
4π ∫
(
r
− r ')3
r1
ϕ= ∫ BidA
Durchflutungsgesetz
Biot-Savart'sches Gesetz
Magnetischer Fluss
( A)
4
Dipl.-Ing.
Thomas Tyczynski
TU-Dresden
Voraussetzungen
y
r
ey
ez
Kartesisches Koordinatensystem
ex
. P=(x,y,z)
x
z
Koordinate = Ortsangabe eines Punktes im Raum =Ortsvektor
x
 
T
r =  y  = ( x, y, z ) = xe x + yey + zez
z
 
5
 
T
z.B. r =  4  = (5, 4, 1) = 5ex + 4ey + 1ez
1
 
Jeder Vektor im Raum lässt sich in drei Anteile, x,y,z zerlegen
bzw. durch diese Anteile darstellen!
5
Dipl.-Ing.
Thomas Tyczynski
TU-Dresden
Skalarfeld
y
Kartesisches Koordinatensystem
r
ey
ez
ex
. P=(x,y,z)
F(x,y,z)
x
z
Wird jedem Punkt im Raum eine skalare Größe F(P) (reelle Zahl)
zugeordnet, so heißt diese Zuordnung Skalarfeld.
-Temperaturverteilung im Raum
-Dichteverteilung
-Potenzial im elektrischen Feld
Beispiel: Potenzialfeld einer Punktladung Q im
materiefreien Raum.
ϕ =
Q
4πε 0 x² + y² + z²
6
Dipl.-Ing.
Thomas Tyczynski
TU-Dresden
Vektorfeld
y
Kartesisches Koordinatensystem
Fy
ez
.
r
ey
.
P
Fz
ex
P
F
Fx
x
z
Wird jedem Punkt im Raum eine vektorielle Größe
zugeordnet, so heißt diese Zuordnung Vektorfeld.
F (P )
-Gravitionsfeld (Kraftfeld)
-Das Feld der elektrischen Feldstärke
-Das Feld der magnetischen Flussdichte
-Geschwindigkeitsfeld einer Strömung
Wichtig: Die vektorielle Größe kann wiederum in ihre drei
Komponenten zerlegt werden.
F = Fx ( x, y, z )ex + Fy ( x, y, z)ey + Fz ( x, y, z)ez =
 Fx ( x, y, z) 


Fx ( x, y, z ), Fy ( x, y, z), Fz ( x, y, z) =  Fy ( x, y, z) 




 Fz ( x, y, z) 
T
Beispiel : Das elektrische Feldstärkefeld einer Punktladung im
materiefreien Raum.
Q
E =
xe
+
ye
+
ze
x
y
z
3
4πε 0 ( x² + y² + z²) 2
(
)
Die Feldstärke besitzt die gleiche Richtung wie der Ortsvektor!
7
Dipl.-Ing.
Thomas Tyczynski
TU-Dresden
Skalarfeld und Vektorfeld
Fazit:
-Die Beschreibung eines Vektorfeldes ist meist umständlicher
lässt sich aber oft nicht vermeiden
-Im Falle des stationären elektrischen Feldes sind aber
offensichtlich zwei Darstellungen möglich.
-Obwohl das Feld der Punktladung in beiden Darstellungen
das gleiche ist, ist die Beschreibung mittels Potenzial einfacher
und daher zu bevorzugen.
-Die Möglichkeit der Vereinfachung ist die Folge innerer
Gesetzmäßigkeiten auf die wir noch näher eingehen.
-Darstellung:
-Es gibt verschiedene Darstellungsformen für die Felder, üblich
sind Linien, Pfeile, Farbverläufe und Höhenlinien
-(nur bei ebenen Feldern)
-Bei skalaren Felder verbindet man oft Punkte gleicher Größe,
beim elektrischen Feld heißen die dann Äquipotenziallinien.
-Bei vektoriellen Feldern folgt man oft der Richtung der Vektoren
ausgehend von einem Punkt und erhält so die Feldlinien. Diese
geben jedoch zunächst nur die Richtung an, nicht die Stärke.
Deshalb wählt man in Bereichen größerer Stärke ein höhere
Liniendichte als für Bereiche geringerer Stärke.
25 V
100V
8
Dipl.-Ing.
Thomas Tyczynski
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E1 > E2
Die Differenzialoperatoren
Notwendigkeit:
-Differenzialoperatoren dienen der Analyse von skalaren oder
vektoriellen Feldern.
-Sie können Felder umformen (Gradient) oder Felder auf
bestimmte Eigenschaften untersuchen (Divergenz, Rotation)
9
Dipl.-Ing.
Thomas Tyczynski
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Der Gradient
-Der Gradient kann auf eine Skalarfeld angewendet werden
-Er gibt die „Änderungsrate“ und die Richtung der größten
Änderung in einem Skalarfeld vor.
-Er ist definiert als der Vektor der partiellen Ableitungen
-Für ein Skalarfeld φ(x,y,z) gilt demnach:
T
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ  ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ 
gradϕ = ∇ϕ =
ex +
ey +
ez = 
,
,

∂x
∂y
∂z
 ∂x ∂y ∂z 
∂ ∂ ∂ Nablasymbol ∇ steht für: ex +
ey +
ez
∂x
∂y
∂z
-Bespiel: Gesucht ist der Gradient des Potenzialfeldes von Bild 6
ϕ =
Q
4πε 0 x² + y² + z²



Q 
x
y
z
gradϕ =
−
e −
e −
e =
3 x
3 y
3 z
4πε 0 
 ( x² + y² + z²) 2
( x² + y² + z²) 2
( x² + y² + z²) 2 

Q
−
xe
+
ye
+
ze
=
−
E
x
y
z
3
4πε 0 ( x² + y² + z² )
E = −gradϕ
(
)
2
Aus dem elektrischen Potenzialfeld lässt sich mittels
Gradient das Feldstärkefeld ableiten!
10
Dipl.-Ing.
Thomas Tyczynski
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Die Divergenz
-Die Divergenz stellt ein Funktional eines Vektorfeldes dar und
ist im Ergebnis wieder ein Skalar.
-Nimmt man z.B. ein Strömungsfeld, so gibt die Divergenz an,
ob ein Teilchen in einem Punkt weg oder zufließt.
-Ist die Divergenz in diesem Punkt > 0 so liegt eine Quelle vor,
ist sie < 0 so liegt eine Senke vor.
-Ist sie überall gleich null, so nennt man das Feld quellenfrei.
(
)
 ∂ ∂ ∂ 
divF = ∇iF = 
ex +
ey +
ez i Fx e x + Fy ey + Fz ez =
∂y
∂z 
 ∂x
∂Fx ∂Fy ∂Fz
+
+
∂x
∂y
∂z
Ist das folgende Strömungsfeld quellenfrei?
v( x, y, z) = (0,0, z(1 − x² − y²))T
divv = (1 − x² − y²)
Antwort: Nein, nur an den Stellen 1-x²-y ²= 0
11
Dipl.-Ing.
Thomas Tyczynski
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Die Rotation
-Die Rotation versteht man eine bestimmte Funktion eines
Vektorfeldes dar und ist im Ergebnis wieder ein Vektor.
-Nimmt man z.B. ein Strömungsfeld, so gibt die Rotation für
jeden Ort an, wie schnell und um welche Achse ein
mit schwimmendes Teilchen in einem Punkt rotiert.
-Ist die Rotation überall gleich null, so nennt man das Feld
wirbelfrei.
(
)
 ∂ ∂ ∂ 
rotF = ∇ × F = 
ex +
ey +
ez  × Fx ex + Fy ey + Fz ez =
∂y
∂z 
 ∂x
 ∂Fz ∂Fy 
−


∂
∂z 
y
e x e y ez

 ∂F
∂F 
∂
∂
∂
= x − z
∂x ∂y ∂z
∂x 
 ∂z
 ∂Fy ∂Fx 
Fx Fy Fz
−


∂y 
 ∂x
Satz:
Die Rotation eines Vektorfeldes ist immer quellenfrei
Ein Vektorfeld ist wirbelfrei, wen es sich als Gradient
eines Skalarfeldes darstellen lässt.
divv = 0
rotv = 0
⇔
v = rotw
⇔
v = gradF
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Dipl.-Ing.
Thomas Tyczynski
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Beispiele
H( x, y, z ) =
 −y 
k
 
x
x² + y²  
 0 
H =
k
x² + y²
∂vy
∂vx
2 xy
2 xy
=k
= −k
2
∂x
∂y
( x² + y²)
( x² + y²)2
divH = 0
Feld ist quellenfrei
∂vz
=0
∂z
∂vy
∂vx
y² − x²
=k
=
2
∂y
∂x
( x² + y²)
rotH = 0
Feld ist wirbelfrei
v( x, y, z) = ( x² + xyz, y² − x², x + y sin z )T
divv = 2 x + yz + y + y cos z
Feld ist nicht quellenfrei


ex
ey
ez

  sin z 
∂
∂
∂
 =  xy − 1 
rotv = 


 
∂x
∂y
∂z

  −2 x − xz 
 x2 + xyz y² − x² x + y sin z 
auch nicht wirbelfrei
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Kurvenintegrale
Anwendung:
-Bei Kurvenintegralen wird in einem Feld entlang einer Kurve
integriert.
-Wichtigstes Beispiel ist die Arbeit längs eines Wegs im Kraftfeld.
Raumkurve: Die Kurve wird durch eine Parameterdarstellung
beschrieben, bei der die Koordinaten x(t),y(t),z(t) von einem
Parameter t abhängen.
Die Bahn eines Flugzeuges lässt sich bestimmen, wenn der
Parameter t tatsächlich die Zeit ist.
Beispiel: Gerade zwischen zwei Punkten P1 und P2
P1 = (0,1,1) P2 = (10,10,10)
0
10 − 0   0 
10 
 

  
 
r (t ) =  1  + t
 10 − 1  =  1  + t  9 
1
 10 − 1   1 
9
 

  
 
r (t ) = 10tex + (1 + 9t )e y + (1 + 9t )ez
0 ≤ t ≤1
Beispiel: Kreis in der x,y-Ebene
r (t ) = R cos tex + R sin tey
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Kurvenintegrale
Das vektorielle, differenzielle Wegelement:
-Für die meisten Kurvenintegrale wird das differenzielle
Wegelement r‘ oder dr benötigt.
-Es enthält die wichtige Information über die „Richtung“ der
Kurve in einem bestimmten Punkt (Tangente)
-Beim Arbeitsintegral ist es wichtig zu wissen, wie der Weg
zur Kraftrichtung verläuft, in Kraftrichtung ist die in diesem
Punkt aufgewendete Teilarbeit dW größer als quer zur Kraftrichtung.
-Das differenzielle Wegelement lässt sich durch Differenziation
in die drei Koordinatenrichtungen ermitteln.
dx dy dz r '(t ) =
ex +
ey +
ez
dt
dt
dt
 dx dy dz 
dr = 
ex +
ey +
ez  d t
dt
dt
 dt

P1 = (0,1,1) P2 = (10,10,10)
0
10 − 0   0 
10 
 

  
 
r (t ) =  1  + t
 10 − 1  =  1  + t  9 
1
 10 − 1   1 
9
 

  
 
r (t ) = 10tex + (1 + 9t )e y + (1 + 9t )ez
r '(t ) = 10e x + 9ey + 9ez
0 ≤ t ≤1
r (t ) = R cos tex + R sin tey
r '(t ) = −R sin te x + R cos tey
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Kurvenintegrale
Das skalare differenzielle Wegelement:
-In einigen Fällen ist die Richtung des differenziellen
Wegelementes ohne Bedeutung.
-Das skalare differenzielle Wegelement entspricht dem Betrag
des vektoriellen Elementes, bzw. der Wurzel aus dem Punktprodukt mit sich selbst.
r '(t ) =| r '(t ) |=
2
dr =
2
2
2
 dx 
 dy 
 dz 
 dt  +  dt  +  dt 






2
2
 dx 
 dy 
 dz 
 dt  +  dt  +  dt  dt






r (t ) = 10tex + (1 + 9t )ey + (1 + 9t )ez
r '(t ) = 10ex + 9ey + 9ez
dr = 262dt
r (t ) = R cos tex + R sin tey
r '(t ) = −R sin tex + R cos tey
r '(t ) = R
d r = Rd t
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Kurvenintegrale
t2
X1,y1,z1
X2,y2,z2
dr1
17
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Kurvenintegrale
Kurvenintegrale existieren in verschiedener Form:
1. Skalares Wegelement in skalarem Feld.
Vektorielles Wegelement im Punktprodukt mit
vektoriellem Feld (Arbeit im Kraftfeld, Potenzial)
2. Vektorielles Wegelement im Punktprodukt mit
vektoriellem Feld in geschlossenem Umlauf.
3. Vektorielles Wegelement im Kreuzprodukt mit
Differenzvektor (Biot-Savart‘sches Gesetz)
Vorgehensweise:
-Darstellung des Weges in Parameterform
x(t),y(t),z(t)
-Bestimmung des Wertebereiches für t
-Bestimmung des differenziellen Wegelementes
-Substitution von x,y,z in der Feldfunktion durch t.
-Ausführung von Punkt- oder Kreuzprodukt, falls
nötig
-Integration über t
18
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Kurvenintegrale
Beispiele:
Kreisumfang
r (t ) = R cos t ex + R sin t ey
0 ≤ t ≤ 2π
dr = −R sin t ex + R cos t ey dt
(
)
Kreis in der xy-Ebene
vektorielles Wegelement
dr = Rdt
skalares Wegelement
F (x, y , z ) = 1
konstante Feldfunktion
2π
L=
∫ 1Rdt = 2πR
Umfang eines Kreises
0
Potenzial eines elektrischen Kugelfeldes
r (t ) = ktex
10 ≤ t < ∞
dr = kdtex
Q
E (r ) =
( x e x + y ey + z ez )
3
4πε ( x² + y² + z²)
2
Q
Q
E (t ) =
ex
(tex ) =
4πεk³t³
4πεk³t²
Q
E (t )idr =
dt
4πεk²t ²
10
ϕ(10) = ϕ(∞) − ∫
∞
ϕ(10) =
Q
4πεk²t
Q
dt
4πεk²t ²
ϕ(∞) = 0
Feldfunktion
Auf der vorgegebenen Bahn
Annahme
10
∞
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Kurvenintegrale
Wichtige Schlussfolgerungen:
Alle folgenden Aussagen sind gleichwertig:
-Das Kurvenintegral längs einer Kurve C, die zwei Punkte
verbindet, ist unabhängig vom Weg.
-Das Kurvenintegral längs einer geschlossenen Kurve ist Null.
-F ist als Gradient einer skalaren Funktion φ darstellbar
-F ist wirbelfrei
20
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Oberflächenintegrale
G(x, y , z ) =
∫∫ F (x, y, z)idA
Vektorfeld über orientierte Fläche
( A)
G(x, y , z ) =
F (x, y, z)idA
∫∫
Vektorfeld über geschlossene Fläche
G(x, y , z ) =
∫∫ F (x, y, z)dA
Skalarfeld über skalare Fläche
( A)
Anwendung:
-Bei Oberflächenintegralen wird der Felddurchsatz durch
eine Fläche bestimmt.
-Wichtigstes Beispiel sind vektorielle Dichtegrößen wie D und J
die eine Fläche durchsetzen.
Raumfläche: Die Fläche wird durch eine Parameterdarstellung
beschrieben, bei der die Koordinaten x(u,v),y(u,v),z(u,v)
von den Parametern u und v abhängen. Die Fläche wird durch
die Parameter u und v „abgescannt“.
-Beispiel: Rechteckige Fläche parallel zur yz-Ebene bei x = 5.
Die y-Ausdehnung reicht von -10 bis +10, die z-Ausdehnung
von -5 bis +5.
x =5
y =u
z =v
−10 ≤ u ≤ 10
−5 ≤ v ≤ 5
Beispiel: Rechte Halbkugeloberfläche einer zentrischen Kugel
mit dem Radius R.
x = R cos u cos v
z = R sin u cos v
π
π
≤u≤
2
2
π
π
− ≤v ≤
2
2
−
y = R sin v
21
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Oberflächenintegrale
Das vektorielle differenzielle Oberflächenelement:
-Für die meisten Oberflächenintegrale wird das differenzielle
Oberflächenelement A‘ oder dA benötigt.
-Es enthält die wichtige Information über Größe und „Richtung“
des Flächenelementes an einem bestimmten Punkt der
Oberfläche.
-Praktisch wird das Kreuzprodukt der beiden
Richtungstangenten gebildet.
dA
 
 ex
 ∂x
dA = 
 ∂u

 ∂x

 ∂v
ey
∂y
∂u
∂y
∂v

ez 

∂z 

∂u 

∂z 

∂v 
22
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Oberflächenintegrale
Das vektorielle differenzielle Oberflächenelement:
Für das Beispiel Ebene gilt dann:
x =5
y =u
z =v
−10 ≤ u ≤ 10
−5 ≤ v ≤ 5
ex ey ez 



d A =  0 1 0  du dv = e x du dv


 0 0 1 


Das skalare Flächenelement:
dA=|d A |= dudv
Die rechte Halbkugelfläche:


ex
ey
ez




d A = R²dudv  sin u cosv
0
− cos u cos v  =


sin u sin v 
cos u sin v − cos v

d A = R² cos vdudv cos u cos vex + sin vey + sin u cos vez
(
)
Das skalare Flächenelement:
dA =| d A |= R² cos vdudv
23
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Oberflächenintegrale
Vorgehensweise:
-Darstellung des Flächenbereiches in Parameterform
x(u,v),y(u,v),z(u,v)
-Bestimmung der Wertebereiche für u,v
-Bestimmung des differenziellen Oberflächenelementes
-Substitution von x,y,z in der Feldfunktion durch u,v.
-Ausführung des Punkt- oder Kreuzprodukt, falls
nötig
-Integration über u,v
Beispiel:
Die senkrechte Fläche wird von einem Stromdichtefeld
nicht senkrecht durchsetzt
x = 5cm
y =u
z =v
−10cm ≤ u ≤ 10cm
−5cm ≤ v ≤ 5cm
e e y e z 

 x

d A =  0 1 0  du dv = e x du dv


 0 0 1 


Feldfunktion:
e x + ey
J = J0
2
J0
J id A =
du dv
2
J0
J0
I = ∫∫ J id A =
∫∫ dudv = 2 (20)(10)cm²
2
( A)
(
)
24
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Volumenintegrale
G=
∫∫∫ FdV
(V )
Anwendung:
-Bestimmung von integralen Größen wie Masse, Ladung aus
Dichte- und Verteilungrößen wie Dichte, Raumladungsdichte.
-Bestimmte Integralsätze, die der Vereinfachung oder der
Erklärung dienen.
Beschreibung des Volumens durch „scannen“ des
Raumbereiches, die Koordinaten werden durch die Parameterform x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w) beschrieben.
Beispiel: Quader von x=0 bis x = 5.
Die y-Ausdehnung reicht von -10 bis +10, die zAusdehnung von -5 bis +5.
x =w
0≤w ≤5
y =u
z =v
−10 ≤ u ≤ 10
−5 ≤ v ≤ 5
Beispiel: Kugelvolumen mit Radius R
x = w cos u cos v
z = w sin u cos v
y = w sin v
π
π
≤u≤
2
2
π
π
− ≤v ≤
2
2
0≤w ≤R
−
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Volumenintegrale
Das differenzielle Volumenelement:
-Wird benötigt zur Beschreibung des Volumens und Lösung
des Integrals
 ∂x

 ∂u

 ∂x
dV = dudvdw = 
 ∂v

 ∂x

 ∂w
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂z 

∂u 

∂z 

∂v 

∂z 

∂w 
-Beispiel: Quader
0 1 0


dV = dudvdw = 0 0 1 dudvdw = dudvdw
1 0 0


26
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Integralsätze
Der Gaußsche Integralsatz:
∫∫∫ divF dV = ∫∫ F idA
(V )
( A)
Der Stokesche Integralsatz:
∫∫ rotF dA = ∫ F dr
( A)
(C )
27
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