Á 3. Die trigonometrischen Funktionen

Á 3. Die trigonometrischen Funktionen
Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 2003 / 4
Diß ist der vorbeschryben schneck vnd seyn grund.
Aus: Abrecht Dürer: Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit.
Nürnberg: 1525. Nachdruck: Nördlingen: Verlag Dr. Alfons Uhl, 2000. 3-921503-17-5
Anschaulich lassen sich die trigometrischen Funktionen leicht definieren. Zwei Begriffe führen in dem Zusammenhang
jedoch oft zu Verwirrungen: Grad und Bogenmaß. Mit einem Winkelmesser haben Sie schon Winkel in Grad gemessen.
Die Winkelfunktionen sollen auf den reellen Zahlen definiert werden und zwar mit dem Argument Bogenmaß.
Wir haben zu Beginn der Vorlesung ein Verfahren kennengelernt, mit dem die Länge des Einheitskreises, also 2 ,
nummerisch angenähert werden kann. Das Bogenmaß des vollen Kreises ist also 2 und dem vollen Winkel
entsprechen 360° . Was bedeutet nun ° ? Sie kennen z.B. die Zeichen % , ‰ . Das sind Symbole für reelle Zahlen,
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nämlich für 1/100 bzw. 1/1000 . Analog verhält es sich mit mit dem Symbol ° .
Da
360° = 2 ,
5
0.01745 ... ) .
folgt
° = 180 (
° ist also eine spezielle mathematische Konstante.
Nun zu den anschaulichen Definitionen der trigonometrischen Funktionen, also der Winkelfunktionen.
Im ersten Quadranten, also für 0 x 52 , werden die reellen Funktionen SINUS (: sin), COSINUS (: cos),
TANGENS (: tan) und COTANGENS (: cot) mit Hilfe der folgende Grafik definiert:
cot+x/
cos+x/
x
1
sin+x/
tan+x/
Der Strahlensatz liefert die Beziehungen
sin+x/
tan+x/ ,
cos+x/
cos+x/
cot+x/ ;
sin+ x/
also auch tan+x/ 1 .
cot+x/
2 5
0
xG
25
45
65
x
85
10 5
Für x = 0 seien sin+0/ : 0 , cos+0/ : 1 und für x 52 seien sin+ 52 / : 1 , cos+ 52 / : 0 .
Deshalb seien tan+0/ : 0 und cot+ 52 / : 0 . Die Funktion tan ist für 52 und die Funtion cot für 0 nicht definiert!
Weiterhin folgt sin2 +x/ cos2 +x/ 1 für 0 x 52 .
Nicht verschwiegen werden soll, dass bei dieser Definition die Schwierigkeiten in der Messung der Bogenlänge
versteckt sind.
Für den zweiten, dritten und vierten Quadranten, also für x # 52 , 2
mit Hilfe der folgenden Grafiken erklärt:
'
, werden dann die Funktionen Sinus und Cosinus
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3
cos+x/
cos+x/
x
x
sin+x/
sin+x/
x
x
sin+x/
sin+x/
cos+x/
cos+x/
Damit sind die Funktionen Sinus und Cosinus insgesamt für x #0, 2
'
definiert.
65
x
Die letzten Grafiken motivierten auch die Beziehungen
sin+x/ sin+ x/ , cos+x/ cos+ x/ .
2 5
xG
0
25
45
85
10 5
Für x ¸ \ #0, 2 ' lassen sich nun die Funktionen Sinus und Cosinus definieren durch "periodische Fortsetzung". Es
seien x
und k À so gewählt, dass k 0 , x
# 0, 2 #' und x x
2 k .
Dann sei sin+x/ : sin+x
/ .
1
0
1
1
sin
5
25
cos
0
5
25
1
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4
1
0
5
25
1
Nun vier Bilder aus der Animation Sinusentwicklung:
pse2 = se[ 4Pi/5 ];
pse3 = se[ 7Pi/6+0.5 ];
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An den ersten Grafiken dieses Abschnittes läßt sich noch erkennen
sin +x/
cos + 52 x/ ,
sin + 52 x/ sin + 52 x/ ,
cos + 52 x/ sin +x/
Für x ¸ mit x 52 n
.
wobei n À , sei nun definiert
sin+x/
tan+x/ : ,
cos+x/
und für x ¸ mit x n
, n À sei definiert
cos+x/
cot+x/ : .
sin+x/
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cot
6
10
tan
5
5
?????
5
?????
2
35
??????????
5
2
55
??????????
25
2
2
5
10
Einige geometrisch einfach berechenbare Werte der trigonometrischen Funktionen:
0Í
30Í
45Í
0
56
54
53
sin
0
12
H
H
cos
1
tan
cot
H3
22 23
H2
2 2
H3
0
3
r
3
60Í 90Í
1
1
12
r
3
H3
3
120Í
135Í
150Í
52
25
3
35
4
55
6
1
23
22
0
12
0
H
r
3
H3
3
H
180Í
21
0
2
2
1
1
3
0
1
r
H2
H3
H3
3
Für das weitere Vorgehen werden noch die Additionstheoreme von sin und cos gebraucht,
es seien x, y ¸ :
sin +x y/ sin +x/ cos + y/ cos +x/ sin + y/ ,
sin + x y/ sin +x/ cos + y/ cos +x/ sin + y/ ,
cos +x y/ cos +x/ cos + y/ sin +x/ sin + y/ ,
cos +x y/ cos +x/ cos + y/ sin +x/ sin + y/ .
Die letzte Gleichung läßt sich mit Hilfe der nächsten Grafiken plausibel machen:
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+
cos+,/, sin+,/ / A
7
P + cos+,
-/, sin+,
-/ /
,
-
,
-
B + cos+ -/, sin+ -/ /
-
O
O
C + 1, 0 /
Auf dem Einheitskreis liegen die Punkte A und B
A : + cos+/, sin+/ / , B : + cos+ /, sin+ / / .
Das Dreieck AOB der linken Figur ist kongruent zu dem Dreieck POC in der rechten Figur. Also ist der Abstand von
A nach B gleich dem Abstand von C nach P .
Daraus folgt
d + A, B/2 + cos +/ cos + / /2 + sin +/ sin + / /2
cos2 +/ 2 cos +/ cos + / cos2 + / sin2 +/ 2 sin +/ sin + / sin2 + /
2 2 cos +/ cos + / 2 sin +/ sin + / ,
d +C, P/2 +1
cos + / /2 + 0 sin + / /2
1 2 cos + / cos2 + / sin2 + /
2 2 cos + / .
Wegen d + A, B/2 d +C, P/2 folgt
cos+ / cos+/ cos+ / sin+/ sin+ / .
Ersetzen von durch – ergibt
cos+ / cos+/ cos+ / sin+/ sin+ / = cos+/ cos+ / sin+/ sin+ / ,
da cos eine gerade bzw. sin eine ungerade Funktion ist.
Mit sin+x/ cos+ 52 x/ folgt
sin + / cos + 52 + // cos ++ 52 / /
cos + 52 / cos + / sin + 52 / sin + /
sin +/ cos + / cos +/ sin + / .
Wird darin nun durch – ersetzt, so folgt
sin+ / sin +/ cos + / cos +/ sin + / sin +/ cos + / cos +/ sin + / .
Eine andere Herleitung der Additionstheoreme motivieren die folgenden Grafiken.
Aus: Roger B. Nelson: Proofs without Words. Exercises in Visual Thinking.
Washington: The Mathematical Association of America, 1993, 0-88385-700-6. Seite 30.
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