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ETWR – Teil B
Verteilungsparameter
Stephan Schosser
Verteilungsparameter
Motivation I
•  Zufallsvariablen haben unterschiedliche Verteilungsfunktion, ...
… bzw. Wahrscheinlichkeits- oder Dichtefunktion
•  Beispiel: Dichtefunktionen für Tagesschlusskurse dreier Aktien
0.50
0.40
fX(x)
0.30
0.20
0.10
0.00
-0.10
-5.5
-3.5
-1.5
0.5
2.5
4.5
x
•  Aber: Wie kann mit Dichtefunktion „Risiko“ abgeschätzt werden?
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Stephan Schosser
Verteilungsparameter
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fX(t)
Motivation II
0.50
0.40
•  Idee: “Mittelwert”
•  Übertragung des Konzepts
0.30
auf Zufallsvariablen
0.20
•  Misst „Mittelwert unendlich vieler
0.10
Wiederholungen des Experiments“
•  Aktie „Braun“ besser als Aktie „Grün“
0.00
-5.5
-3.5
-1.5
0.5
2.5
-0.10
•  Aber:
t
Damit noch keine vollständige Aussage über „Risiko“ möglich
•  Sind Ränder sehr wahrscheinlich, „Mittelwert“ selbst nicht ...
•  ... so kann großer Gewinn, oder großer Verlust eintreten
•  Idee: „Mittlerer quadratische Abweichung“
•  Übertragung des Konzepts auf Zufallsvariablen
•  Misst „Mittlere quadratische Abweichung von Mittelwert bei unendlich
vielen Wiederholungen des Experiments“
•  Aktie „Braun“ besser als Aktie „Blau“
•  Daneben noch weitere Parameter möglich ...
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WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
4.5
Stephan Schosser
Verteilungsparameter
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Ziele
•  Bisher
•  Beschreibung von Zufällen mit diskreten Mengen
•  Abbildung diskreter Mengen auf Zahlen
•  Einführung von Zufallsvariablen zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
•  Ziel des Kapitels
•  Charakterisierung unterschiedlicher Verteilungen
•  Identifikation geeigneter Parameter
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
Verteilungsparameter
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter
•  Erwartungswert
•  Varianz
•  Quantil
•  Standardisierte Zufallsvariablen
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Stephan Schosser
Verteilungsparameter
Wiederholung letztes Kapitel
Zufallsvariablen
•  Definition:
Unter einer Zufallsvariablen versteht man formal eine Funktion
X: Ω → R.
•  Intuitive Bedeutung
Vorschrift, die abstraktes ω in Zahl übersetzt
•  Vergleich deskriptive Statistik
Beschreibende Statistik
Schließende Statistik
Grundgesamtheit
Ergebnismenge
Merkmal
Zufallsvariable
Messwert
Realisation
•  Bezeichnungen
•  Zufallsvariablen: Großbuchstaben X, Y oder Z
•  Angenommene Werte (Realisationen): Kleinbuchstaben x, y oder z
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Stephan Schosser
Wiederholung „Explorative Datenanalyse“
Verteilungsparameter
Mittelwert
•  Gegeben:
•  Messwerte: a1, ..., ak
•  Relative Häufigkeiten: h1, ..., hk
•  Mittelwert
k
•  x = ∑ hi ai
i=1
•  Jeder Summand:
Relative Häufigkeit × Datenpunkt
•  Im Folgenden:
•  Übertragung des Konzepts „Mittelwert“ auf Zufallsvariable X mit
•  Wahrscheinlichkeitsfkt. fX(x) (für diskrete Zufallsvariablen) ...
•  ... bzw. Dichtefunktion fY(y) (für stetige Zufallsvariablen)
•  Dabei:
•  Erst diskrete Zufallsvariablen, ...
•  ... dann stetige Zufallsvariablen, ...
•  ... schließlich „Rechenregeln“
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Stephan Schosser
Verteilungsparameter
Beispiel – Diskrete Zufallsvariable
•  Anzahl der Mädchen? (vgl. letztes Kapitel)
•  Zufallsvorgang: Geburt eines Kindes
•  Zufallsvorgang wird 2x beobachtet
•  Wahrscheinlichkeitsfunktion:
!
#
#
f X (x) = "
#
#
$
0, 25
für
x=0
0, 50
für
x =1
0, 25
für
x=2
0, 00
sonst
•  Übertragung des Konzepts Mittelwert:
•  Mittelwert: Summe aus Datenpunkt
× relative Häufigkeit
Hier:
Summe aus Element des Trägers × Wahrscheinlichkeit
•  E(X) = 0 · 0,25 + 1 · 0,5 + 2 · 0,25 = 1
•  Dabei steht E(X) für unsere „Erwartung“ bzgl. der Zufallsvariablen X
•  Sprich: Erwartungswert
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Verteilungsparameter
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Erwartungswert
•  Definition: (Erwartungswert diskreter Zufallsvariablen)
Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsfunktion fx(x) und
Träger Tx. Der Erwartungswert E(X) ist definiert durch:
E(X) =
∑
x f X (x)
{x|x∈TX }
•  Definition: (Erwartungswert stetiger Zufallsvariablen)
Sei X eine stetige Zufallsvariable mit Dichtefunktion fx(x). Der Erwartungswert
E(X) ist definiert durch:
∞
E ( X ) = ∫ x f X ( x) dx
-∞
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Verteilungsparameter
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Anmerkungen
•  Intuitive Bedeutung
Erwartungswert der Zufallsvariablen X entspricht (etwa) Summe aller
möglichen Realisationen gewichtet mit Eintrittswahrscheinlichkeit.
•  Vergleich deskriptive Statistik
Beschreibende Statistik
Schließende Statistik
Grundgesamtheit
Ergebnismenge
Merkmal
Zufallsvariable
Messwert
Realisation
Mittelwert
Erwartungswert
•  Bezeichnungen
•  Erwartungswert: E(X) oder µX
•  Sprich:
•  Erwartungswert der Zufallsvariablen X
•  Erwartungswert der Verteilung von X
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Verteilungsparameter
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Beispiel – Diskrete Zufallsvariable I
•  Geburtstagswette 2 (für 400 Studenten im Hörsaal)
•  Alternative A
100 Euro, falls jemand im Hörsaal heute Geburtstag hat
Gewinnwahrscheinlichkeit: 66,6% (vgl. letzte Kapitel)
•  Alternative B
80 Euro so mitnehmen
•  Sei X die Auszahlung des Wettenden
•  Wahl zwischen
Alternative B
80 Euro sicher
Alternative A [0.666, 100; 0.334, 0]
Wahrscheinlichkeit
Auszahlung
E(X)=0,666·100+0,334·0=66,6
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E(X) = 80 · 1 = 80
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Verteilungsparameter
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Beispiel – Diskrete Zufallsvariable II
•  Geburtstagswette 1 (für 400 Studenten im Hörsaal)
•  Alternative A
100 Euro, falls 2 Personen am selben Tag Geburtstag haben
Gewinnwahrscheinlichkeit: 100% (vgl. letzte Kapitel)
•  Alternative B
80 Euro so mitnehmen
•  Sei X die Auszahlung des Wettenden
•  Wahl zwischen
Alternative A [1.000, 100; 0.000, 0]
E(X)=1,000·100+0,000·0=100
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Alternative B
80 Euro sicher
E(X) = 80 · 1 = 80
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Verteilungsparameter
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Beispiel – Diskrete Zufallsvariable III
•  Beobachtung bisher:
•  Unterschied der Erwartungswerte der Alternativen groß
•  Dadurch Entscheidung mittels Erwartungswert für Alternative A
•  Jetzt: Urnenwette
•  Alternative A
1000 Euro, falls aus Urne mit 4 Kugeln einzige blaue gezogen
•  Alternative B
240 Euro so mitnehmen
Alternative A [0.25, 1000; 0.75, 0]
Alternative B
240 Euro sicher
E(X)=0,25 · 1000+0,75 · 0 = 250
E(X) = 240 · 1 = 240
•  Problem:
Weitere Kriterien neben Erwartungswert zur Beurteilung nötig.
•  Zunächst aber:
Beispiele für stetige Zufallsvariablen
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Beispiel – Stetige Zufallsvariable
•  Gleichverteilung auf [0, 10] (vgl. letztes Kapitel)
•  Dichtefunktion
⎧ 0,1 für 0 ≤ x ≤ 10
f X ( x) = ⎨
⎩0 sonst
•  Erwartungswert
∞
• 
E( X ) =
∫x f
−∞
X
10
( x) dx = ∫ x ⋅ 0,1 dx
0
10
"
x2 %
10 2
= $0,1⋅ ' = 0,1⋅
−0 = 5
2 &0
2
#
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Verteilungsparameter
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Existenz des Erwartungswert
•  Offene Frage:
Muss immer ein Erwartungswert existieren?
•  Beispiel: St. Petersburg Lotterie
•  Münze wird solange geworfen bis Zahl erscheint
•  Auszahlung: 2x (wobei x ist Anzahl Würfe)
•  Wahrscheinlichkeitsfunktion: fx(x) = ½x für x > 0
•  Erwartungswert:
∞
∞
x
∞
1 ∞
x $1'
x
E(X) = ∑ x f X (x) = ∑ 2 ⋅ & ) =∑ 2 ⋅ x =∑1 → ∞
% 2 ( i=1
2 i=1
i=1
i=1
•  Folgerung:
Erwartungswert existiert nicht immer!
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Verteilungsparameter
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Verteilungsparameter
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Beispiel – Transformierte Zufallsvariable
•  Anzahl der Mädchen? (siehe vorige Folien)
•  Zufallsvorgang: Geburt eines Kindes
•  Zufallsvorgang wird 2x beobachtet
•  Erwartungswert: E(X) = 0 · 0,25 + 1 · 0,5 + 2 · 0,25 = 1
•  Erweiterung des Problems
•  Eltern haben bereits zwei Töchter
•  Erwartungswert für Anzahl Töchter, wenn sie Zwillinge erwarten?
•  Allgemeines Problem
•  Gegeben: Zufallsvar. X mit Wahrscheinlichkeits- oder Dichtefkt. fX
•  Gesucht: Erwartungswert transformierter Zufallsvariable Y=g(X)
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Verteilungsparameter
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Erwartungswert einer Transformierten
•  Definition:
(Erwartungswert einer transformierten, diskreten Zufallsvariable)
Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion fx(x)
und sei g(X) eine Funktion von X. Dann gilt:
E ( g ( X )) =
∑ g ( x) f
X
( x)
{ x| x∈TX }
•  Definition:
(Erwartungswert einer transformierten, stetigen Zufallsvariable)
Sei Y eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion fY(y) und sei g(Y) eine
Funktion von Y. Dann gilt:
∞
E(g(Y )) =
∫ g(y) f
Y
(y) dy
−∞
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Verteilungsparameter
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Beispiel – Diskrete Zufallsvariable I
•  Zufällige Bewegung eines Teilchens (vgl. letztes Kapitel)
•  Teilchen startet im Nullpunkt
•  Teilchen bewegt sich nur auf ganzen Zahlen
•  Teilchen geht bei jedem Schritt zufällig nach links oder rechts
•  Teilchen macht drei Schritte
•  Verteilungsfunktion
x
-3
-1
1
3
fx(x) = P(X=x)
1/8
3/8
3/8
1/8
•  Gesucht
Abstand des Teilchens zum Nullpunkt
•  Ermittlung
•  g(X) = |X|
•  E(|X|) = |-3|·0,125 + |-1|·0,375 + |1|·0,375 + |3|·0,125 = 1,5
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Verteilungsparameter
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Beispiel – Diskrete Zufallsvariable II
•  Zufällige Bewegung eines Teilchens (forts.)
•  Alternative Bestimmung über Wahrscheinlichkeitsfunktion Y = |X|
•  Verteilungsfunktion von Y
P( X = x)
•  P(Y = y) = {x |∑
|x| = y }
x
-3
-1
1
3
fx(x)
1/8
3/8
3/8
1/8
6
•  P(Y = 1) = P( X = 1) + P( X = −1) = 8 = 0,75
• 
P(Y = 3) = P( X = 3) + P( X = −3) = 2 = 0,25
8
•  Erwartungswert: E(Y) = 1 · 0,75 + 3 · 0,25 = 1,5
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Beispiel – Diskrete Zufallsvariable III
•  Abstraktes Beispiel
Stephan Schosser
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Verteilungsparameter
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X sei eine diskrete Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion fx(x)
und Träger Tx = {1, 2, 3}. Weiterhin sei g(X) = X2 gegeben.
•  Erwartungswert
E (X2 ) =
∑
x 2 f X (x)
{x|x∈TX }
= 12 ⋅ f X (1) + 2 2 ⋅ f X (2) + 32 ⋅ f X (3)
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Beispiel – Stetige Zufallsvariable
•  Gleichverteilung auf [0, 10] (vgl. letztes Kapitel)
•  Dichtefunktion
⎧ 0,1 für 0 ≤ x ≤ 10
f X ( x) = ⎨
⎩0 sonst
•  Erwartungswert für g(X) = X2
∞
( ) ∫x
E X2 =
−∞
2
10
f X ( x) dx = ∫ x 2 0,1 dx
0
3 10
⎡ x ⎤
100
= ⎢0,1 ⎥ =
3
⎣ 3 ⎦ 0
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Verteilungsparameter
51
Stephan Schosser
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Verteilungsparameter
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Transformation von Erwartungswerten – Wunsch I
•  Bisher
•  Transformation von Erwartungswerten möglich
•  Aber: Transformation ist aufwändig
•  Vorgehen
Neuberechnung des Erwartungswerts für alle Realisationen
•  Wunsch
•  Für bestimmte, häufige Transformationsfunktionen...
... Transformation durch Einfache Addition/Multiplikation
•  Anzahl der Mädchen? (siehe vorige Folien)
•  Zufallsvorgang: Geburt eines Kindes
•  Zufallsvorgang wird 2x beobachtet
•  Erwartungswert: E(X) = 1
•  Eltern haben bereits zwei Töchter
•  Erwartungswert für Anzahl Töchter Y, wenn sie Zwillinge erwarten?
•  Bisher: E(Y) = (0+2) · 0,25 + (1+2) · 0,5 + (2+2) · 0,25 = 3
•  Wunsch: E(Y) = E(X) + 2 = 3
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Verteilungsparameter
51
Transformation von Erwartungswerten – Wunsch II
•  Wunsch folglich
Für beliebige g(X) soll gelten E(g(X)) = g(E(X))
•  Vorsicht
Das gilt nicht allgemein – nur in Sonderfällen!
•  Gegenbeispiel: Gleichverteilung auf [0, 10]
•  Dichtefunktion
⎧ 0,1 für 0 ≤ x ≤ 10
f X ( x) = ⎨
⎩0 sonst
•  Sei g(X) = X2:
E (X ) = ∫ x f
10
∞
2
2
X
−∞
( x) dx = ∫ x 2 0,1 dx
10
! x3 $
= #0,1 &
3 %0
"
100
E(X 2 ) =
3
WS12/13
0
2
'
$∞
' $ 10
2
E(X) = & ∫ x f X (x) dx ) = & ∫ x ⋅ 0,1 dx )
% −∞
( %0
(
2
2
2
("
2 %10 +
2
(
+
x
10
= *$0,1⋅ ' - = * 0,1⋅
− 0 - = 52
*#
2 &0 -, )
2
,
)
E(X)2 = 25
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Verteilungsparameter
51
Lineartransformation von Erwartungswerten
•  Satz
Sei X eine Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. Dichtefunktion
fx(x) und a und b reelle Zahlen. Dann gilt:
E(aX + b) = aE(X) + b
•  Beweis (diskreter Fall)
∑
E(aX + b) =
{x|x∈TX }
∑
=
(ax ⋅ f X (x) + b ⋅ f X (x))
{x|x∈TX }
∑
ax ⋅ f X (x) +
{x|x∈TX }
=a
∑
(ax + b) f X (x) =
∑
b ⋅ f X (x)
{x|x∈TX }
x ⋅ f X (x) + b
{x|x∈TX }
∑
f X (x)
{x|x∈TX }
= a E(X) + b ⋅1
= a E(X) + b
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Eigenschaften – Funktionen
•  Satz
Stephan Schosser
25
Verteilungsparameter
51
X sei eine Zufallsvariable mit Erwartungswert E(X). Außerdem seien g und h
reellwertige Funktionen. Dann gilt:
E(g(X) + h(X)) = E(g(X)) + E(h(X))
•  Beweis (diskreter Fall)
E(g(X) + h(X)) =
∑
(g(x) + h(x)) f X (x)
{x|x∈TX }
=
∑
(g(x) f X (x) + h(x) f X (x))
{x|x∈TX }
=
∑
{x|x∈TX }
g(x) f X (x) +
∑
h(x) f X (x)
{x|x∈TX }
= E(g(X)) + E(h(X))
•  Allgemein gilt
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⎡ k
⎤ k
E ⎢∑ g i ( X )⎥ = ∑ E (g i ( X ) )
⎣ i =1
⎦ i =1
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter
•  Erwartungswert
•  Varianz
•  Quantil
•  Standardisierte Zufallsvariablen
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
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Verteilungsparameter
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Wiederholung „Explorative Datenanalyse“
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Verteilungsparameter
51
Empirische Varianz
•  Gegeben:
•  Merkmalsausprägungen: a1, ..., ak
•  Relative Häufigkeiten: h1, ..., hk
•  Empirische Varianz
•  d = ∑ h ( a − x )
•  Jeder Summand:
k
2
2
i
i
i=1
Relative Häufigkeit × quadratische Abweichung vom Mittelwert
•  Im Folgenden:
•  Übertragung Konzept „Empirische Varianz“ auf Zufallsvariable X
•  Mit Wahrscheinlichkeitsfkt. fx(x) (für diskrete Zufallsvariablen) ...
•  ... bzw. Dichtefunktion fY(y) (für stetige Zufallsvariablen)
•  Dabei:
•  Erst diskrete Zufallsvariablen, ...
•  ... dann stetige Zufallsvariablen, ...
•  ... schließlich „Rechenregeln“
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Varianz
•  Definition
Stephan Schosser
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Verteilungsparameter
51
Sei X eine Zufallsvariable. Die Varianz Var(X) von X ist definiert durch:
•  Im diskreten Fall:
(
Var(X) = E [ X − E(X)]
2
)
∑ [ x − E(X)]
Var(X) =
2
f X (x)
{x|x∈TX }
•  Im stetigen Fall
∞
Var(X) =
∫ [ x − E(X)]
2
f X (x) dx
−∞
•  Bezeichnungen
•  Varianz: σ = Var(X)
•  Standardabweichung:
2
WS12/13
σ = Var(X)
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Verteilungsparameter
51
Anmerkungen
•  Intuitive Bedeutung
Varianz der Zufallsvariablen X entspricht (etwa) Summe über die
Abweichungsquadrate aller möglichen Realisationen vom Erwartungswert
gewichtet mit Eintrittswahrscheinlichkeit.
•  Vergleich deskriptive Statistik
Beschreibende Statistik
Schließende Statistik
Grundgesamtheit
Ergebnismenge
Merkmal
Zufallsvariable
Messwert
Realisation
Mittelwert
Erwartungswert
Empirische Varianz
Varianz
•  Bezeichnungen
•  Varianz: Var(X) oder σX2
•  Sprich:
•  Varianz der Zufallsvariablen X
•  Varianz der Verteilung von X
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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30
Verteilungsparameter
51
Beispiel
•  Urnenwette (forts.)
•  Alternative A
1000 Euro, falls aus Urne mit 4 Kugeln einzige blaue gezogen
•  Alternative B
240 Euro so mitnehmen
•  Erwartungswert und Varianz
Alternative A [0.25, 1000; 0.75, 0]
Alternative B
240 Euro sicher
E(X)=0,25 · 1000+0,75 · 0 = 250
E(X) = 240 · 1 = 240
Var(X) = (1000 − 250)2 ⋅ 0, 25 + (0 − 250)2 ⋅ 0, 75
Var(X) = (240 − 240)2 ⋅1
= 187.500
σ ≈ 433
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
=0
σ =0
Stephan Schosser
31
Verteilungsparameter
51
Lotterien
•  Annahme
In Bewertung von Lotterien fließen Erwartungswert und Varianz ein
•  Mögliche Nutzenfunktion
U (⋅) = E(X) − c ⋅ σ 2
unterschiedlich von Person zu Person
•  Lotteriebewertung: Entscheidung unter Risiko
•  Zufallsvariablen
•  X: Auszahlung
•  p: Wahrscheinlichkeit
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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32
Verteilungsparameter
51
Lotterien – Beispiel I
•  Urnenwette (forts.)
•  Alternative A
1000 Euro, falls aus Urne mit 4 Kugeln einzige blaue gezogen
•  Alternative B
240 Euro so mitnehmen
•  Erwartungswert und Varianz
Alternative A [0.25, 1000; 0.75, 0]
E(X) = 250
Alternative B
240 Euro sicher
E(X) = 240
Var(X) = 187.500
Var(X) = 0
•  Für die meisten Menschen gilt
•  B wird A vorgezogen (Schreibweise: B  A ), ...
•  ... da Var(XA) > Var(XB)
•  Kurz: Menschen sind bei Gewinnen „risikoscheu“
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
33
Verteilungsparameter
51
Lotterien – Beispiel II
•  Urnenwette (leicht modifiziert)
•  Alternative A‘
-1000 Euro, falls aus Urne mit 4 Kugeln einzige blaue gezogen
•  Alternative B‘
-240 Euro so mitnehmen
•  Erwartungswert und Varianz
Alternative A‘ [0.25, -1000; 0.75, 0]
E(X) = -250
Alternative B‘
-240 Euro sicher
E(X) = -240
Var(X) = 187.500
Var(X) = 0
•  Für die meisten Menschen gilt
•  A‘ wird B‘ vorgezogen (Schreibweise: B'  A'), ...
•  ... obwohl Var(XA‘) > Var(XB‘)
•  Kurz: Menschen sind bei Verlusten „risikoliebend“
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Steinerscher Verschiebungssatz
•  Satz
Sei X eine Zufallsvariable mit Varianz Var(X). Dann gilt:
( )
2
Var ( X ) = E X 2 − E ( X )
•  Anmerkung
Dieser Satz hilft bei einfachen Berechnung der Varianz.
•  Beweis
(
2
Var ( X ) = E ( X − E ( X ) )
)
(
)
= E (X )− E (2 XE ( X )) + E (E ( X ) )
= E (X )− 2E ( X ) E ( X ) + E ( X )
= E (X )− E (X )
= E X 2 − 2 XE ( X ) + E ( X ) 2
2
2
2
2
WS12/13
2
2
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Verteilungsparameter
51
Beispiel
•  Gleichverteilung auf [0, 10] (forts.)
•  Dichtefunktion
⎧ 0,1 für 0 ≤ x ≤ 10
f X ( x) = ⎨
⎩0 sonst
•  Erwartungswerte
( )
E( X ) = 5 , E X
•  Varianz
2
100
=
3
( )
Var( X ) = E X 2 − E ( X ) 2
100 2 100
100 − 75
−5 =
− 25 =
3
3
3
25
=
3
=
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
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Verteilungsparameter
51
Stephan Schosser
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Verteilungsparameter
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Lineartransformation
•  Satz
Sei X eine Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. Dichtefunktion
fx(x) und a und b reelle Zahlen. Dann gilt:
Var(Y ) = Var(aX + b) = a 2Var(X)
•  Beweis
(
)
= E ([ aX + b − aE(X) − b] ) = E ([ a(X − E(X))] )
= E ( a [(X − E(X))] ) = a Var(X)
Var(aX + b) = E [ aX + b − E(aX + b)]
2
2
2
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2
2
2
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter
•  Erwartungswert
•  Varianz
•  Quantil
•  Standardisierte Zufallsvariablen
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
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Verteilungsparameter
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Quantilfunktion
•  Definition: (Quantilfunktion)
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Verteilungsparameter
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Gegeben sei die Zufallsvariable X mit der Verteilungsfunktion FX. Für jeden
reellen Wert p ∈ ]0,1[ versteht man unter der Quantilfunktion QX(p) von X die
folgende Abbildung
QX: (0,1) → R
p
→ QX(p) = min{x|FX(x) ≧ p}
Der Wert der Quantilfunktion xp = QX(p) heißt p-Quantil der Zufallsvariablen X.
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Verteilungsparameter
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Anmerkungen
•  Intuitive Bedeutung
•  Das p-Quantil xp ist die kleinste Zahl x ∈ R mit der Eigenschaft, dass FX(x)
den Wert p erreicht oder überschreitet.
•  Interpretiert man p ∈ ]0, 1[ als eine Wahrscheinlichkeit, so ist das pQuantil xp die kleinste Realisation der Zufallsvariablen X, die X mit
Wahrscheinlichkeit p nicht überschreitet.
•  Vergleich deskriptive Statistik
Beschreibende Statistik
Schließende Statistik
Grundgesamtheit
Ergebnismenge
Merkmal
Zufallsvariable
Messwert
Realisation
Mittelwert
Erwartungswert
Empirische Varianz
Varianz
Empirisches Quantil
Quantil
•  Bezeichnungen
•  p-Quantil: xp = QX(p)
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Spezielle Quantile
•  Median: x0,5
•  Quartile: x0,25; x0,50; x0,75
•  Quintile: x0,2; x0,4; x0,6; x0,8
•  Dezile: x0,1; x0,2; x0,3; x0,4; x0,5; x0,6; x0,7; x0,8; x0,9
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Verteilungsparameter
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Verteilungsparameter
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Ursachen Definition
•  Offene Frage
Warum ist Definition so lang, obwohl Konzept so einfach?
•  Problem: „flache Stellen der Verteilungsfunktion“
•  Quantil xp ist Wert der Umkehrfunktion von FX(xP) = p...
•  ... Aber FX(xP) ist nicht notwendig eineindeutig
•  Im Folgenden: Illustration mit
•  Stetiger, streng monoton wachsender Verteilungsfunktion FX(x)
•  Stetiger, teilweise konstanter Verteilungsfunktion FX(x)
•  Rechtsseitig stetiger Treppenfunktion als Verteilungsfunktion FX(x)
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Verteilungsparameter
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Stetige, streng monoton wachsende FX(x)
Fx
p
xp
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x
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Verteilungsparameter
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Stetige, teilweise konstante FX(x)
Fx
p
xp
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xp’
xp’’
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x
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Verteilungsparameter
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Rechtsseitig stetige Treppenfunktion FX(x)
Fx
p
xp
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xp’
xp’’
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x
Beispiel
•  Gleichverteilung auf [0, 10] (forts.)
•  Dichtefunktion
⎧ 0,1 für 0 ≤ x ≤ 10
f X ( x) = ⎨
⎩0 sonst
•  Aus Wahrscheinlichkeitsfunktion folgt:
Im Intervall [0, 10] gilt: FX ( x) = 0,1⋅ x
•  Bestimmung des Quantils xp:
FX ( x p ) = p = 0,1 ⋅ x p
→ x p = 10 ⋅ p
•  Ausgewählte Quantile
•  Unteres Quartil: x0,25 = 10 ⋅ 0,25 = 2,5
•  Median: x0,5 = 10 ⋅ 0,5 = 5
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Verteilungsparameter
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Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter
•  Erwartungswert
•  Varianz
•  Quantil
•  Standardisierte Zufallsvariablen
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
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Verteilungsparameter
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Standardisierte Zufallsvariablen
•  In diesem Kapitel gelernt (unter anderem)
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Verteilungsparameter
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Lineartransformation von Erwartungswert und Varianz möglich
•  E(aX + b) = a E(X) + b
•  Var(aX+b) = a2 Var(X)
•  Dadurch „Standardisierung“ von Zufallsvariablen möglich
•  Normierung des Erwartungswerts auf 0
•  Normierung der Varianz auf 1
•  Im Folgenden
Herleitung des Vorgehens bei der Standardisierung
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Verteilungsparameter
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Zentrieren von Zufallsvariablen
•  Zunächst Zentrierung (d.h. Anpassung des Erwartungswerts auf 0)
Y = X – E(X)
•  Sprich: „Zufallsvariable X wird zentriert“
•  Es gilt:
E(X – E(X)) = E(X) – E(X) = 0
•  Beweis
•  Sei a = 1 und b = -E(X)
•  Dann folgt aus: E(aX + b) = a E(X) + b
•  E(X – E(X)) = E(X) – E(X) = 0
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Verteilungsparameter
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Standardisieren von Zufallsvariablen
•  Jetzt: Standardisierung
Z=
X − E(X)
Var(X)
•  Sprich: „Zufallsvariable X wird standardisiert“
•  Es gilt:
E(Z) = 0 und Var(Z) = 1
•  Beweis
" X − E(X) %
1
E(Z ) = E $
(E(X) − E(X)) = 0
'=
Var(X)
# Var(X) &
" X − E(X) %
1
1
Var(Z ) = Var $
Var(X − E(X)) =
Var(X) = 1
'=
Var(X)
# Var(X) & Var(X)
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Verteilungsparameter
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Eigenschaften
•  Satz
Sei X ein Zufallsvariable mit E(X) = µ und Var(X) = σ2 und dem p-Quantil xp.
Zudem sei die folgende Zufallsvariable gegeben
Z=
X −µ
σ
(standardisierte Zufallsvariable)
Dann gilt E(Z) = 0, Var(Z) = 1 und für p-Quantil z p =
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xp − µ
σ
.
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Verteilungsparameter
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Verteilungsparameter - Übersicht
•  Diskrete Zufallsvariablen
•  Stetige Zufallsvariablen
•  Erwartungswert
•  Erwartungswert
E(X) = ∑ x f (x)
E ( X ) = ∫ x f ( x) dx
•  Varianz
•  Varianz
Var(X) = ∑ [ x − E(X)] f (x)
Var(X) = ∫ [ x − E(X)] f (x) dx
•  Rechenregeln
•  Rechenregeln
• E(g(X)) = ∑ g(x) f (x)
• E(g(Y )) = ∫ g(y) f (y) dy
∞
X
X
{x|x∈TX }
-∞
∞
2
2
X
X
{x|x∈TX }
−∞
∞
X
Y
{x|x∈TX }
−∞
• E(aX + b) = aE(X) + b
• E(aX + b) = aE(X) + b
• E(g(X) + h(X)) = E(g(X)) + E(h(X))
•  E(g(X) + h(X)) = E(g(X)) + E(h(X))
• Var(Y ) = Var(aX + b) = a 2Var(X)
2
Var(Y
)
=
Var(aX
+
b)
=
a
Var(X)
• 
• Var ( X ) = E ( X 2 ) − E ( X )
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2
• Var ( X ) = E ( X ) − E ( X )
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