6. Rechnerübung - 2015 Binomialverteilung und Qualitätskontrolle
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6. Rechnerübung - 2015 Binomialverteilung und Qualitätskontrolle 1. Aufgabe: Galtonbrett Darstellung: http://www.youtube.com/watch?v=uFd3hiZZHWg Man nehme ein Galtonbrett mit n = 8 Stufen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel in Stufe "k" (k = 0,1,2, ... 8) fällt? Lösung: (n k): =n! / (n-k)! / k! Im Excel: = FAKT(n) / FAKT(n-k) / FAKT(k) FACT(n) / FACT(n-k) / FACT(k) FAKULTÄT(n) / FAKULTÄT (nk) / FAKULTÄT (k) Für große n Werte (n>170) überläuft die Funktion FAKT(n) FACT(n) FAKULTÄT (n), in diesem Fall verwenden wir direkt die Funktion KOMBINÁCIÓK(n;k) COMBIN(n;k) KOMBINATIONEN(n;k) Excel kann auch die Binomialverteilung berechnen: P(S=k) wird mit BINOM.ELOSZLÁS(k;n;p;0) BINOMDIST(k;n;p;0) BINOMVERT(k;n;p;0) und P(S<=k) wird mit BINOM.ELOSZLÁS(k;n;p;1) BINOM.ELOSZLÁS(k;n;p;1) BINOMVERT(k;n;p;1) berechnet. Die Funktion KOMBINÁCIÓK COMBIN KOMBINATIONEN darf an den Klausur benutzt werden, aber BINOM.ELOSZLÁS BINOMDIST BINOMVERT nicht! 2. Aufgabe Ein Jahrgang mit 120 Studenten steht vor der Prüfungszeit. Jeder Student hat 8 mündliche Prüfungen, wo sie ein Lehrsatz ziehen und daraus die Prüfung machen. Die Studenten finden den Stoff als übermäßig und entscheiden sich kollektiv nur 80% der Lehrsätze zu lernen. Falls ein Student aus den restlichen 20 Prozent einen Lehrsatz zieht, so fällt er durch. Man simuliere das Ziehen der Lehrsätze mit der Verwendung eines Zufallsgenerators. Es soll ermittelt werden, welche Anzahl von Studenten alle Prüfungen bestanden haben, wie viele Studenten sind bei 1, 2, 3, ..., 8 Prüfungen durchgefallen. Aus den berechneten Zahlen (Häufigkeiten) sollen die relative Häufigkeiten berechnet werden (Teilung durch die Anzahl der Studenten vom Jahrgang). Diese Werte sollen mit den theoretischen Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung verglichen werden. Mit Betätigung der F9 Taste werden die Zufallszahlen neu berechnet, somit kann die Simulation der Prüfungszeit beliebig oft wiederholt werden. Die Simulation soll dermaßen erstellt werden, dass die Wahrscheinlichkeit von 80% einfach geändert werden kann (Die Zahl "80%" soll also nicht in die Formeln eingetragen werden, sondern in eine separate Zelle. Auf diese Zelle soll dann in den Formeln verwiesen werden). Somit können Fälle simuliert werden in welchen die Studenten einen unterschiedlichen Anteil des Stoffes lernen (z.B. der Wert 50% soll ermittelt werden). Lösung: 1. Die Lehrsatzziehung wird mit VÉL() RAND() ZUFALLSZAHL() Funktion simuliert. Der Funktionswert von VÉL() RAND() ZUFALLSZAHL() ist eine gleichverteilte Zufallsvariable über den Intervall [0,1). Es gibt eine Wahrscheinlichkeit von 80%, dass wir einen gelernten Lehrsatz ziehen 2. Die Wahrscheinlichkeit von einer gelernten Lehrsatzziehung ist 80%, ebenso wie die Wahrscheinlichkeit von VÉL() RAND() ZUFALLSZAHL() < 0,8 weil der Zufallsgenerator eine gleichmäßige Verteilung zurückgibt. Wir verwenden also VÉL() RAND() ZUFALLSZAHL()<0,8 für die Untersuchung der Programlösung. Also mathematisch gesehen: Ein Experiment wird mit der Herstellung von einer Zufallszahl gebildet. (Zufallsvariable) Das Ereignis, was angenommen wird ist VÉL() RAND() ZUFALLSZAHL()<0,8. Die Wahrscheinlichkeit vom Ereignis ist 0.8, das heißt: P(VÉL() RAND() ZUFALLSZAHL()<0,8)=0,8. Anstatt 0,8 als Konstante in die Formeln einzutragen wird es in die Zelle B7 eingeschrieben, und in der Formel wird eine absolute Anweisung auf diese Zelle eingeschrieben (VÉL() RAND() ZUFALLSZAHL() <$B$7). Um die Tabelle übersichtlicher zu machen, werden in der Tabelle nicht RICHTIG/FALSCH gezeigt, sondern in den Zellen E7, F7 vordefinierte ☺ und ● Symbolen. Die Lösung: HA(Logische_Auswertung; Wert_für_Richtig; Wert_für_Falsch) IF(Logische_Auswertung; Wert_für_Richtig; Wert_für_Falsch) WENN(Logische_Auswertung; Wert_für_Richtig; Wert_für_Falsch). Diesmal soll auch eine absolute Verknüpfung verwendet werden: C11 := HA(VÉL()<$B$7;$E$7;$F$7) IF(RAND()<$B$7;$E$7;$F$7) WENN(ZUFALLSZAHL()<$B$7;$E$7;$F$7) Diese Formel Soll bis zur 8. Prüfung nach rechts erweitert werden, dann nach dem Auswählen von der ganzen Reihe, bis zum 120. Studenten. Bemerkung: Wir sollen nicht überrascht sein, dass die Zellen immer ein anderes Ergebnis liefern, da der Zufallsgenerator VÉL() RAND() ZUFALLSZAHL() für jede Auswertung neu durchgeführt wird. 3. Die Anzahl der gelungenen Prüfungen für jeden Student sollen gezählt werden. Anstatt der Auswertung verwenden wir: K11 := DARABTELI(C11:J11;$E$7) COUNTIF(C11:J11;$E$7) ZÄHLENWENN(C11:J11;$E$7) Diese Zelle soll bis zu 120. Studenten heruntergezogen werden. 4. Es soll die Häufigkeit von 0, 1, 2, … 8 gelungener Prüfungen gezählt werden. Dazu kann zu 0 := DARABTELI(K11:K130;0) COUNTIF(K11:K130;0) ZÄHLENWENN(K11:K130;0) verwendet werden. Um es ein bisschen geschickter durzuführen soll in die Zelle O11 „0“, eine absolute Verknüpfung an die Ergebnisse (K11:K130) und in die Zelle P11 P11 := DARABTELI(K$11:K$130;O11) COUNTIF(K$11:K$130;O11) ZÄHLENWENN(K$11:K$130;O11) eingetragen werden. Dann tragen wir die Werte 1, 2… 8 in die Zellen von O12 bis O19 ein und ziehen die Formel in P11 herunter. 5. Die Angabe von den relativen Häufigkeiten ist einfach, die erste Reihe: Q11 := P11/120 6. Danach ist nur die theoretische Wahrscheinlichkeit übrig geblieben. Es soll ähnlicher Weise, als im Falle vom Galton-Brett berechnet werden. R11 := KOMBINÁCIÓK(8;O11) *$B$7^O11*(1-$B$7)^(8-O11) COMBIN(8;O11) *$B$7^O11*(1$B$7)^(8-O11) KOMBINATIONEN(8;O11) *$B$7^O11*(1-$B$7)^(8-O11) 7. Es sind jetzt alle nötigen Zellen ausgefüllt, mit der Taste F9 kann eine neue Zufallsgenerierung gestartet werden. Es soll wiederholt und dabei untersucht werden, wie die Stichprobe um den theoretischen Wert oszilliert. 8. Tragen wir 0,5 für p ein (das heißt, dass nur die Hälfte des Stoffes gelernt ist) und machen wir ein Paar Auswertungen. 3. Aufgabe Eine Firma produziert MP3 Musikplayer. Die Firma schließt eine Vereinbarung von AQL = 4% mit dem Lieferant für die LCD Bildschirme. Täglich trifft eine Lieferung mit einer Stückzahl von 100 Bildschirmen ein. a) Wieviele Bildschirme sollen zur Stichprobe entnommen werden im Falle von einer einstufigen Untersuchung (II. Grad)? b) Macht die Firma einen Fehler, wenn er 5 fehlerhafte Bildschirme in der Stichprobe findet und die Lieferung trotzdem annimmt? c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Firma die Lieferung annimmt, falls der Anteil der fehlerhaften Teile 6% ist? d) Man zeichne die OC (Operating Characteristics) Kurve des Verfahrens! Lösung: a) Eine Lieferung von N = 100 Stück, normale II Untersuchung → F Schlüssel → Muster von n = 20 nötig b) Ac = 2, Re = 3, er macht also einen Fehler, falls er die Lieferung annimmt. c) Es soll P(S=k) für k = 0, 1, 2 berechnet und summiert werden: (Wegen d) soll die Wahrscheinlichkeit eine Verknüpfung sein. Ebenso sollen auch die Zeilen und Spalten fixiert werden.) A21: p A23: k A24: 0 B21: 0.06 B24: = G16: 20 KOMBINÁCIÓK($G$16;$A24)*B$21^$A24*(1-B$21)^($G$16-$A24) COMBIN($G$16;$A24)*B$21^$A24*(1-B$21)^($G$16-$A24) KOMBINATIONEN($G$16;$A24)*B$21^$A24*(1-B$21)^($G$16-$A24) A25: 1 A26: 2 A28: P(S<=2) B28:= SZUM (B24:26) SUM(B24:26) SUMME (B24:26) OC – Operation characteristics OC zeigt, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Anzahl der fehlerhaften Produkte im untersuchten Muster den von dem Verfahren abhängigen Re Wert nicht erreicht (die Lieferung wird übernommen) (P(S<=Ac)), wenn die Wahrscheinlichkeit von fehlerhaften Produkten in der Lieferung p ist. Im idealen Fall wäre die OC Kurve so ausgerichtet, dass wenn der Anteil der fehlerhaften Produkten besser als die Vereinbarung ist, wird es sicher angenommen (wenn p < AQL, OC ist 1) und wenn p > AQL wird sicher abgelehnt (OC ist 0). Lösung: Es soll die im Teil c) berechnete Wahrscheinlichkeit für p = 0, 0.01, 0.02, …, 0.5 ausgewertet und dargestellt werden. Es genügt in die Reihe 21 die p-Werte nebeneinander einzutragen und die anderen Zellen zu kopieren. In der Reihe 28 sind die Werte für die OC-Kurve P(S<=2) (Die Lieferung wird angenommen).
