Trigonometrie
Werbung
Trigonometrie Trigonometrie 1: Definitionen 1 . B e w e i s e : a) cos ƒ = sin(90≠ - ƒ) b) 1 + tan“ƒ = 1 : cos“ƒ Es dürfen nur die Definitionen der Winkelfunktionen benützt werden ! 2 . Bekannt: cos ƒ = 0,7. Berechne die Werte der anderen zwei trigonometrischen Funktionen für ƒ, ohne ƒ zu bestimmen. (Lösungsweg aufschreiben !) 3 . a) K o n s t r u i e r e einen Winkel å, für den gilt: tan å = 1.5. b) K o n s t r u i e r e eine Strecke der Länge x dm, so dass x = cos 15ò. 4 . B e w e i s e : Für 0ò < ∫ < 90ò gilt: a) cos ∫ = sin(90ò - ∫) b) sin“∫ + cos“∫ = 1 c) 1 + tan“∫ = 1 : cos“∫ 5 . Es ist cos ƒ = 0,6. Berechne die Werte der übrigen drei trigonometrischen Funktionen für ƒ, ohne ƒ zu bestimmem (Lösungsweg aufschreiben !). 6 . a) cos x = 0,342 ; x = ? b) Gib den Winkel auch im Gradmass an. 7 . Der Sinus eines Winkels å ist 0,4. K o n s t r u i e r e å (ohne Taschenrechner, ohne Transporteur !) 8 . Vereinfache: a) 1 -1 cos“ å b) sin¶ å + sin åÒ cos“ å 9 . Der Cotangens des Winkels ∂ ist bekannt. Berechne sin∂. 1 0 . Das Bogenmass eines Winkels x ist 2,3. Bestimme: a) sinx b) x im Gradmass 1 1 . Vereinfache den Term cos¢∫ - sin¢∫ so weit, dass nur noch e i n e Winkelfunktion auftritt. 1 2 . B e s c h r e i b e , wie mit einer Konstruktion eine Näherung für die Zahl sin60ò gefunden werden kann. 1 3 . B e s c h r e i b e die Konstruktion eines Winkels å, für den gilt: tanå = 1,5. _ ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 1 1 4 . B e w e i s e cos30ò = ∑‚3/2 1 5 . Bestimme sinå, wenn coså = 0.333 . o h n e Berechnung von å. Ausrechnung aufschreiben!) (o 1 6 . Beweise: sin30ò = 1/2 1 7 . Mit einer Konstruktion soll eine Näherung für tan75ò gefunden werden. Beschreibe diese Konstruktion. 1 8 . Gib den Winkel å = 7.5ò im Bogenmass an a) als Vielfaches von π b) als Dezimalbruch. Rechne um ins Gradmass: x = -10 Trigonometrie 1: Grundaufgaben 1 9 . Berechne die fehlenden Seiten im rw. Dreieck ABC (© = 90ò) zuerst allgemein und dann für die angegebenen Zahlen: a) å = 37ò ; b = 8 b) F = 147 ; ∫ = 11ò 2 0 . Berechne die fehlenden Seiten und Winkel im rw. Dreieck ABC (© = 90ò) : a) å = 56,3ò; b = 3,77 b) F = 13,5; ∫ = 27,5ò c) Berechne in b) die Seite a allgemein. 2 1 . Von einem rw. Dreieck (© = 90ò) sind å und h gegeben. Berechne die c Dreiecksseiten a) allgemein b) für å = 22,3ò und hc = 17,2 2 2 . Von einem gleichschenkligen Dreieck sind die Fläche F und der Basiswinkel å bekannt. Berechne die Basis b und den Schenkel s für F = 125 und å = 36.4ò. 2 3 . Berechne die fehlenden Seiten und Winkel in einem rw Dreieck (© = 90ò), wenn bekannt ist: a) b = 13.3 ; ∫ = 37.4ò b) hc = 345 ; a = 456 c) F = 100 ; å = 15ò d) löse a) allgemein 2 4 . Welche Fläche hat ein glsch. Dreieck mit Schenkel s = 7 und Basiswinkel ∫ = 50 ò ? 2 5 . Berechne die fehlenden Stücke eines rechtwinkligen Dreiecks mit © = 90ò. a) a = 12.61 ; b = 3.942 b) a = 7.7; å = 34.56ò c) c = 43.01 ; ∫ = 61.33ò _ ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 2 2 6 . Ein Dreieck ist gegeben durch © = 27ò, c = 4.3cm und ∫ = 90ò. Berechne die Länge der Seite a. 2 7 . Ein rechtwinkliges Dreieck ist gegeben durch a = 25cm, å = 29.2ò und © = 90ò. Berechne die Seiten b und c. 2 8 . Die Seiten eines Rechtecks messen a = 11.3cm und b = 6.72cm. Berechne den spitzen Winkel zwischen den beiden Diagonalen. 2 9 . Berechne die Seiten a und c eines rechtwinkligen Dreiecks aus © = 90ò, b = 31cm und ∫ = 37.4ò. 3 0 . Berechne die Seiten a und c eines rechtwinkligen Dreiecks aus © = 90ò, b = 2.4cm und å = 23ò. Trigonometrie 1: Anwendungen 31. A (SA), (SB) : Tangenten M 15 47ò S Berechne ‚S‚B, ‚A‚B und die Länge des kürzeren der beiden Bogen AB. B 3 2 . Bei einer quadratischen Pyramide mit Grundkante k = 5 misst der Winkel ∫ zwischen Grundfläche und Seitenkante 71ò. Berechne die Höhe h der Pyramide, die Seitenkante s, die Oberfläche F, den Winkel ∂, gebildet aus zwei benachbarten Seitenkanten sowie den Winkel ƒ zwischen einer Seitenfläche und dem Boden. 3 3 . Von einer berühmten Künstlerin soll eine 3m hohe Bronce-Figur im Park des Kunsthauses aufgestellt werden. Die Künstlerin bringt folgenden Wunsch an: Für die Figur soll ein Sockel hergestellt werden, so dass die Figur samt Sockel in 10m Entfernung für einen Betrachter mit der Augenhöhe 1.5m unter dem vertikalen Sehwinkel von 35ò erscheint. Wie hoch muss der Sockel werden? _ ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 3 3 4 . Im Garten von Lord Walknotwell stossen 2 gerade Kanten eines riesigen Rosenbeetes im Winkel von 67ò aufeinander. Es nervt den alten Lord, dass er bei seinem täglichen Spaziergang den Umweg um diese Ecke des Beetes gehen muss. Er befiehlt daher seinem Gärtner, die Ecke durch einen Kreisbogen zu ersetzen, welcher in den Punkten A und B berührend in die geraden Kanten des Beetes übergeht. Welchen Weg spart der Lord täglich, wenn ‚A‚B = 27 Fuss ? 3 5 . Agent SL ist dem Geheimsender Oropax auf der Spur. Auf einer schnurgeraden Strasse peilt er den Sender zweimal an: im Punkt P beträgt der Winkel zwischen Strasse und der Richtung zum Sender 24,3ò, im Punkt Q 75,3ò, wobei ‚P‚Q = 3,56km. In welchem Abstand von der Strasse befindet sich der Sender ? 3 6 . Im nebenstehenden Würfel sind P und R Kantenmitten. Berechne: a) å = „ RPQ b) Winkel ∫ zwischen (PR) und dem Würfelboden P Q R 3 7 . Die Flugplätze von Wien und München haben dieselbe geogr. Breite ƒ = 48.1ò. Wie gross ist ihre auf einem Breitenkreis gemessene Entfernung, wenn ihre geogr. Längen 11.6ò resp. 16.5ò betragen ? (Erdradius R = 6370km) 3 8 . Welchen Bogen hat ein Kreissektor mit Fläche F = 1m“ und Winkel x = 0,5 (x ist im Bogenmass gegeben!) ? 3 9 . Wie lang ist die Seite eines regelmässigen 19-Ecks mit der Fläche 1m“ ? 40. R F ƒ = 25.3ò ; R ‚ Q ‚ = 68.3 ; P ‚ F ‚ = 29.7 P ‚ R ‚ =? ƒ P _ Q ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 4 4 1 . An einen Kreis um M mit Radius r = 5 ist vom Punkt P aus eine Tangente gelegt mit Berührpunkt B. Es ist ‚P‚B = 11. Die Gerade (PM) schneidet den Kreis in den Punkten S und T, wobei ‚P‚S > ‚P‚T. Berechne: a) å = „MPB b) Die Länge s und den Mittelpunktsabstand a der Sehne TB. 4 2 . Wie hoch steht die Sonne (Höhenwinkel!), wenn ein 30m hoher Turm auf einer horizontalen Ebene einen Schatten der Länge 45m wirft ? 4 3 . In einem Kreis mit der Fläche 25 hat eine Sehne die Länge 5. Wie gross ist der zugehörige Mittelpunktswinkel ? 4 4 . Eine quadratische Pyramide hat Grundkanten der Länge 4 und Seitenkanten der Länge 3. Bestimme den Winkel å zwischen Grundfläche und Seitenkante, den Winkel ∫ zwischen Grundkante und Seitenkante sowie das Volumen der Pyramide (V = GÒh/3). 4 5 . Zwei Kreise haben die gemeinsame Sehne s = 20. Die zugehörigen Mittelpunktswinkel sind å = 140ò und ∫ = 70ò. Berechne: a) die Entfernung der Mittelpunkte b) die beiden Radien c) das beiden Kreisen gemeinsame Flächenstück. 4 6 . Berechne den Umfang eines regelm. 17-Ecks mit Fläche F = 717m“. 4 7 . B e w e i s e : in jedem Dreieck gilt a) b) F = 2r“ÒsinåÒsin∫Òsin© b = cÒcoså + aÒcos© 4 8 . Ein Pendel der Länge 3m wird bei seiner Auslenkung um 50cm angehoben. Berechne a) den Auslenkwinkel ƒ b) die Länge der Pendelbahn von der Ruhelage bis zum Ausschlag. 4 9 . Zwei Schülerinnen A und B betrachten auf der Wandtafel einen Punkt. Für A erscheint dieser Punkt unter dem Höhenwinkel å = 5ò, für B unter ∫ = 12ò. B sitzt 5m näher an der Tafel als A. Die Augenhöhe von A und von B ist 1.4m. Wieviele Meter über dem Boden befindet sich der Punkt? 5 0 . Beweise: Für die Fläche F jedes Dreiecks ABC gilt: F = 0.5ÒbÒcÒsinå _ ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 5 5 1 . In einem Trapez ist b = c = d = 5cm und å = 62ò. Berechne die Basis a und die Diagonale e. c b d å 5 2 . Berechne die Fläche der skizzierten Frontseite eines Hauses. (Das Dach ist symmetrisch.) a = 4m , b = 10m , å = 100ò å a a b 5 3 . Ein Parallelogramm ist gegeben durch a, b und å. Gib eine Formel mit diesen Grössen zur Berechnung des Flächeninhalts an. 5 4 . Gegeben ist ein Kreis um M vom Radius r = 3cm und ein Punkt P im Abstand d = 7cm von M. Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Tangenten, welche von P aus gezeichnet werden können? 5 5 . Im Kreissektor mit Radius r = 5cm und Zentriwinkel å = 42ò wird die Sehne eingezeichnet. a) Wie lang ist sie? b) Wieviel % der Sektorfläche liegen zwischen der Sehne und dem Bogen? 5 6 . Berechne die Hypotenuse c eines rechtwinkligen Dreiecks aus der Seite b = 4cm und der Winkelhalbierenden wå = 4.5cm. 5 7 . Ein rechtwinkliges Dreieck ist gegeben durch © = 90ò, å = 62ò und wå = 3.19cm. Berechne die Länge der Kathete a. 5 8 . Berechne alle Seiten eines Dreiecks aus dem Winkel © = 90ò, der Höhe hc = 4cm und der Winkelhalbierenden w© = 4.5cm. 5 9 . Der Peripheriewinkel å über der Sehne s = 4.6cm misst 52ò. Wie gross ist der Kreisradius? å s _ ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 6 6 0 . In einem Kreis mit Radius r = 7cm wird parallel zu einem Durchmesser eine Sehne eingezeichnet, und zwar im Abstand von 2cm. Berechne den Inhalt des Flächenstücks zwischen den beiden Strecken. 6 1 . Berechne die Seiten eines gleichschenkligen Trapezes aus der Mittellinie m, der Höhe h und dem Winkel å. m = 50cm, h = 10cm, å = 65.5ò 6 2 . Gib eine allgemeine Formel für die Berechnung des Umfangs eines regulären n-Ecks aus dem Umkreisradius r und der Eckenzahl n an. 6 3 . Berechne die Katheten a und b eines rechtwinkligen Dreiecks aus dem Inkreisradius ® = 3.46cm und å = 35.4ò. 6 4 . Skizziere die Eckpunkte eines regulären Fünfecks. Zeichnet man nun statt den Seiten alle Diagonalen ein, so entsteht ein reguläres Sternfünfeck. Berechne dessen Flächeninhalt aus dem Umkreisradius r = 7cm. 6 5 . Der Umkreisradius eines regulären 5-Ecks misst 7.5cm. Berechne den Inkreisradius. 6 6 . Die Kanten des Würfels haben die Länge a. Berechne den (spitzen) Schnittwinkel å der beiden Würfeldiagonalen AG und CE. H G E F å D A 6 7 . Berechne den Flächeninhalt dieser Figur. r = 4cm d = PM = 9.5cm _ B r d P M 6 8 . Vom Punkt P aus wird ein Kamin vermessen. P liegt h Meter über dem Boden. Die Winkel å und ∫ werden gegen die Horizontale gemessen. Berechne die Höhe H. P h = 14m , å = 6.11ò , ∫ = 13.95ò C H=? ∫ å h ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 7 6 9 . Betrachte den Würfel mit Kantenlänge a. Berechne die Winkel und den Flächeninhalt des Dreiecks ABG. H E G F a D C A B 70. A ¥ M: Kantenmitte. 8m 8m Berechne: a) å = „BAM b) ∫ : Winkel zwischen AE und der Bodenfläche c) © : Winkel zwischen den Dachflächen B ¥ M ¥ 8m ¥ E 20m 7 1 . Bestimme V, M und O sowie den Oeffnungswinkel å eines geraden Kreiskegels mit dem Grundkreisradius r = 2m und der Höhe h = 5m. 7 2 . Der Winkel å zwischen einer Seitenkante und der Grundfläche einer geraden quadratischen Pyramide ist 67.8ò. Die Grundkante misst 21.3cm. Berechne h und V der Pyramide sowie den Winkel ∫ zwischen zwei benachbarten Seitenkanten. Trigonometrie 2: Definitionen 73. Skizziere den Graphen von y = sin ƒ für 810≠ ≤ ƒ ≤ 1350≠. Welche Symmetrieachsen (Achsensymmetrie) und welche Symmetriezentren (Punktsymmetrie) der g a n z e n Sinuskurve liegen in diesem Bereich? Gib die G l e i c h u n g e n dieser Achsen und die K o o r d i n a t e n dieser Zentren an. 7 4 . a) sin ƒ = -0.45 (a a l l e Lösungen angeben) b) -2 ≤ tan ƒ ≤ -0.3 ( 0ò ≤ ƒ ≤ 360ò) _ ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 8 7 5 . Löse: a) sin x = -0,456 ; x ™ ¿0, 2π'; stelle die Lösung(en) auch am Graphen dar (Skizze). b) 0,234 ≥ cos ƒ ≥ -0,567 ; ƒ ™ ¿0≠, 360≠'; stelle die Lösungen auch am EK dar (Skizze). 7 6 . Skizziere (grosso modo) den Graph von y = cot ƒ für -990ò ≤ ƒ ≤ -630ò. 7 7 . Bestimme a l l e Winkel ƒ ™ ¿0ò, 360ò', bzw. x ™ ¿0, 2π', für die gilt: a) sin ƒ = -0.4 b) cot x =1/3 c) ¯cos ƒ ¯ ≥ 0.2 d) 0.2 < tan x < 1.7 7 8 . Bestimme a l l e Winkel x (im Bogenmass !), für die cot x = -1. 7 9 . Bestimme alle Winkel ƒ ™ ¿0ò, 360ò', für die gilt: a) sinƒ = 0.456 b) cosƒ = - 0.432 d) cotƒ = - 0.567 e) - 0.3 ≤ sinƒ ≤ 0.4 c) tanƒ = 5.67 8 0 . Bestimme den kleinsten positiven Winkel ƒ, für den gilt: a) sinƒ = sin(- 11559ò) b) tanƒ = tan9937ò 8 1 . Es gilt: sin(- 27ò) = sin(360ò - 27ò) = sin333ò = - sin27ò; und allgemein: s i n ( - ƒ ) = s i n ( 3 6 0 ò - ƒ ) = - s i n ƒ . Suche mit Hilfe der Darstellung am EK entsprechende Formeln für cos(- ƒ), tan(- ƒ) und cot(- ƒ). 8 2 . Wie ist der Tangens eines b e l i e b i g e n Winkels ƒ definiert ? (Antwort mit ein paar Sätzen und o h n e Skizze) 8 3 . a) Bestimme alle Winkel ƒ mit 0ò ≤ ƒ ≤ 360ò, für die gilt: -0.3 < sinƒ ≤ 0.4. b) Stelle die Lösungen mit Hilfe des Graphen von y = sinx dar. 8 4 . Bestimme alle Winkel å ™ ¿0ò; 360ò', für die gilt: cos“å = 0,6 85. Berechne die beiden Hauptwerte und runde auf 2 Stellen nach dem Komma: _ sin å = cos å = tan å = sin å = cos å = cot å = 0.98 -0.37 -0.38 -0.72 0.44 0.10 åË åË åË åË åË åË = = = = = = å” å” å” å” å” å” = = = = = = ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 9 8 6 . Berechne die beiden Hauptwerte und runde auf 2 Stellen nach dem Komma: sin å = 0.14 åË = å” = cos å = tan å = sin å = cos å = cot å = -0.02 -0.68 -0.37 0.40 0.60 åË åË åË åË åË = = = = = å” å” å” å” å” = = = = = 8 7 . Bestimme den k l e i n s t e n p o s i t i v e n Winkel x (Bogenmass!), für den gilt: a) sinx = sin(- 100´000) b) tanx = tan360´000 8 8 . Bestimme alle Winkel x ™ ¿0; 2π', für die gilt cos“x = 0.6 8 9 . Löse: tan“(x) = 1.2 (a a l l e Lösungen, Bogenmass) Trigonometrie 2: Grundaufgaben 9 0 . Berechne die fehlenden Seiten und Winkel im Dreieck aus: a) b = 30.5 ; c = 37.5 ; å = 104ò b) a = 46 ; b = 74 ; å = 36.5ò 9 1 . Von einem Viereck ABCD sind bekannt: a = 37,26 ; b = 59,84 ; f = 63,72 ; å = 111,1ò ; ∫ = 98,27ò. Berechne e = ‚A‚C und d = ‚A‚D. 9 2 . Beweise: Die Summe der Quadrate über den 4 Seiten und die Summe der Quadrate über den 2 Diagonalen sind in einem Parallelogramm gleich. 9 3 . Berechne die fehlenden Seiten und Winkel im Dreieck aus: a) b = 30,5 ; c = 37,5 ; å = 104ò b) a = 46 ; b = 74 ; å = 36,5ò 9 4 . Berechne die fehlenden Seiten und Winkel im Dreieck aus: c = 2,3 ; a = 3,7 ; © = 36,5ò b) a = 150 ; c = 121 ; ∫ = 104ò 9 5 . Berechne die Dreiecke aus den angegebenen Stücken: a) a = 5; b = 18; c = 14 b) ∫ = 115ò; © = 20ò; b = 4 c) a = 77; b = 58; ∫ = 36ò d) a =74.6 ; b = 78.0; © = 42.5ò 9 6 . Berechne die Dreiecke aus den angegebenen Stücken: a) a = 5; b = 18; c = 14 b ) ∫ = 115ò; © = 20ò; b = 4 c) a = 77; b = 58; ∫ = 36ò 9 7 . Berechne den kleinsten Winkel des Dreiecks ABC, gegeben durch a = 12.5cm, b = 10.92cm und c = 15.55cm. _ ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 10 9 8 . Ein Dreieck ist gegeben durch a = 4.6cm, ∫ = 36.3ò und © = 66.8ò. Berechne å, b und c. 99. Die Distanz ‚P‚Q über einen Fluss hinweg soll mit Hilfe des zusätzlichen Punktes R berechnet werden. Messungen: å = 47.7ò , ∫ = 97.2ò , s = 86.4m s 1 0 0 . Gegeben ist ein Dreieck durch å = 64ò, a = 3cm und c = 1.9cm. Berechne die Länge der Seite b. 1 0 1 . Berechne fehlende Seiten und Winkel im Dreieck aus b = 18cm, c = 15cm, ∫ = 80ò 1 0 2 . Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des gegebenen Dreiecks. a = 12cm, b = 9cm, © = 60ò 1 0 3 . Berechne fehlende Seiten und Winkel im Dreieck aus a = 46, b = 74, å = 36.5ò Trigonometrie 2: Anwendungen 1 0 4 . Auf der Spitze eines Turmes steht eine 8m hohe Fahnenstange. Von einem Punkt A auf dem waagrechten Platz vor dem Turm werden die Enden der Fahnenstange unter den Höhenwinkeln åË = 69ò und å” = 72ò gesehen. Wie hoch ist der Turm ? Lösung a) allgemein, b) numerisch. 1 0 5 . Zwei Kreise mit den Radien R = 6 und r = 4 haben den Mittelpunktsabstand m = 8. Berechne: a) die Länge der gemeinsamen Sehne b) den Inhalt des Flächenstückes, das zu beiden Kreisen gehört. 1 0 6 . Berechne fehlende Seiten und Winkel im Dreieck aus : a) a = 11,4 ; c = 15,2 ; å = 35,9ò b) b = 26,5 ; © = 155ò ; a = 99,7 c) å = 64,4ò ; c = 90,8 ; Inkreisradius ® = 22,2 _ ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 11 1 0 7 . Eine Kraft F = 776N soll in 2 Komponenten FË = 237N und F” = 697N zerlegt werden. Berechne die Winkel zwischen der Richtung von F und den Richtungen der Komponenten. 1 0 8 . Zwischen den Punkten P und Q liegt ein Hindernis so, dass die Strecke ‚P‚Q nicht direkt gemessen werden kann. Zur Bestimmung von ‚P‚Q werden nun zwei Punkte A und B auf d e r s e l b e n Seite der Geraden (PQ) gewählt. Es wird gemessen: A ‚ P ‚ = 345.7m; A ‚ B ‚ = 287.3m; B ‚ Q ‚ = 264.9m; „PAB = 102.7ò; „ABQ = 97.4ò; ‚P‚Q = ? 1 0 9 . Die Schenkel eines 60ò-Winkels mit Scheitel S werden von einer Geraden so in den Punkten X und Y geschnitten, dass gilt: ‚S‚X : ‚S‚Y = 5 : 6 und ‚X‚Y = 7. Berechne ‚S‚X und ‚S‚Y. 1 1 0 . a) Bestimme x aus c, å, ∫ b) Berechne x, wenn c = 52,4, å = 70,5ò ∫ = 39,5ò c) Untersuche den Spezialfall å = 60ò, ∫ = 30ò ∫ å x ∫ c 111. Ò a) Bestimme x aus c und å b) Berechne x für c = 7,26 und å = 32,5ò c) Untersuche den Spezialfall: å = 30ò 3å å c x 1 1 2 . Berechne Winkel, Diagonalen und die Fläche eines Trapezes aus a = 748, b = 532, c = 306, d = 454. 1 1 3 . In einem Sehnenviereck ist a = 5,0; b = 3,2; d = 3,4; å = 80ò. Berechne f, c, ∫. 1 1 4 . Berechne die Entfernung des Kontrollturmes K auf der Insel vom Leuchtturm L auf dem Festland aus den gemessenen Grössen A ‚ B ‚ = 3.50km, å = 75ò, ∫ = 58ò, ∂ = 35ò, ƒ = 42ò _ ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 12 1 1 5 . Von einem Dreieck ist bekannt: a = 6; b = 3; c = 4. Bestimme å, ∫, ©, hb. 1 1 6 . Ein Parallelogramm ist gegeben durch die Seiten AB = 6cm und AD = 4cm sowie die Diagonale AC = 9cm. Berechne den Winkel å. 1 1 7 . Ein Viereck ist gegeben durch AB = a = 4cm, AD = d = 3cm, å = 130ò, © = 40ò und ∂ = 80ò. Berechne die Länge der Seite b. 1 1 8 . Ein Dreieck ist gegeben durch © = 132ò, a = 8.3cm und Winkelhalbierende w © = 3.1cm. Berechne die Länge der Seite b. 1 1 9 . Ein Viereck ist gegeben durch AB = a = 5.55cm, BC = b = 2.2cm, AD = d = 4.7cm, å = 101.2ò und © = 52.08ò. Berechne die Länge der Seite c. 1 2 0 . Ein Viereck ist gegeben durch AB = a = 5cm, BC = b = 6cm, å = 18ò, ∫ = 90ò und © = 25ò. Zeichne eine recht genaue Figur und berechne die Seiten c und d. 1 2 1 . Von einer Grundstrecke s aus wird mit Hilfe eines Winkelmessgerätes (Theodolit) die Höhe eines Turmes ermittelt. Berechne die Turmhöhe h. Messwerte: å = 70ò ∫ = 35ò © = 12ò s = 200m Stelle dir diese Situation räumlich vor ! h ebener Vorplatz © å s 1 2 2 . Berechne die Winkel und den Flächeninhalt des Dreiecks EGM. ∫ H E Die Würfelkanten messen 6cm, M ist die Mitte der Würfelkante BC. F D A _ G C B M ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 13 1 2 3 . Ein Flugzeug überfliegt mit der Eigengeschwindigkeit vË = 200km/h und dem Steuerkurs ™ = 275ò den Punkt P. Nach 8 Minuten überfliegt es den Punkt Q. Q liegt 30km von P entfernt in der Richtung å = 287ò. Bestimme die Richtung ƒ und die Geschwindigkeit v” des Windes, der das Flugzeug versetzt (alle Winkel rechtsweisend). Trigonometrie 2: Gleichungen, Identitäten 1 2 4 . Wo nichts anderes verlangt: gesuchte Winkel im Gradmass aus ¿0ò, 360ò'. a) 0,5 Ò cos x = 3 Ò sin x b) tan x + tan 2x = 0 c) 6 Ò cos“x - sin“x = sin x Ò cos x d) cos“x ≥ 0,7 ; x ™ ¿0, 2π' e) Gegeben: cos å = 0,8 . Gesucht: sin(60ò - å) (ohne Taschenrechner, Ausrechnung angeben) 1 2 5 . In einem Dreieck misst ein Winkel 60ò und das Verhältnis der Sinuswerte der beiden anderen Winkel ist 4 : 1. Berechne diese Winkel. 1 2 6 . 2 Ò cos“x - 7 Ò cos x + 3 = 0 1 2 7 . sin x Ò cos x + 3 Ò cos“x = 0 1 2 8 . 4 Ò sin x + 6 Ò cos x = 1 1 2 9 . sin¢x = 2 - cos¢x 3 1 3 0 . sin 2x ≤ 0,4 ; x ™ ¿0, 2π' 1 3 1 . Von einer Stelle am Boden aus erscheint das 8-te Stockwerk eines Hochhauses unter dem Höhenwinkel å, das 20-te Stockwerk unter dem Höhen- winkel 2å. Die Stockwerke sind alle gleich hoch. Berechne å. 1 3 2 . Löse: a) cos2x ≤ 2cosx b) 3 2 x + y = 90ò sinx + sin y = 1 3 3 . Löse: a) 2sin“x + 3sinx + 12 = 0 b) 4sin“x + 2cos“x = 1 (x im Bogenmass angeben) c) 6sin“x + sinxÒcosx - 2cos“x = 0 (x im Bogenmass angeben) _ ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 14 1 3 4 . Bestimme alle Lösungen zwischen 0ò und 360ò: a) sinx = 0.7Òcosx b) cos“x - cosx = 0.75 1 3 5 . Bestimme alle Lösungen zwischen 0ò und 360ò: a) sin(x+27ò) = 0 b) tan“x - tanx = 0 1 3 6 . Bestimme alle Lösungen zwischen 0ò und 360ò: a) cos“x = 1 b) 5cos“x + 7sinx + 7 = 0 1 3 7 . Bestimme alle Lösungen zwischen 0ò und 360ò: a) cos“x = 4sin“x b) sin2x = tanx 1 3 8 . Bestimme alle Lösungen zwischen 0ò und 360ò: a) sinx = -0.125 b) 4sin“x - cos“x = 1 1 3 9 . Bestimme alle Lösungen zwischen 0ò und 360ò: a) cosx = 4sinx b) cosx = 5cos“x - ¡/È 1 4 0 . Beweise: cos(45ò + å) + cos(45ò - å) = ∑‚2Òcos å 1 4 1 . Leite die Formel für cos(å - ∫) aus der für sin(å + ∫) her. 1 4 2 . Berechne aus den Funktionswerten für 30ò, 45ò, 60ò : a) tan 75ò b) sin 15ò c) cos 11,25ò (Terme möglichst vereinfachen, Wurzeln stehen lassen, å=± 1 + cos å ) es gilt: cos 2 2 1 4 3 . Beweise: cot å - tan å = 2 tan2å 144. a) Beweise: cos x = ± 2 1 + cos x 2 b) Berechne aus den Funktionswerten für 30ò, 45ò, 60ò (Formelsammlung!): sin15ò , tan75ò , cos7,5ò . Die Formel von a) darf benützt werden, Terme möglichst vereinfachen, Wurzeln stehen lassen. 1 4 5 . Vereinfache: a) sinå : tanå _ b) cos¢∫ - sin¢∫ ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 15 1 4 6 . Beweise: 1 (cos(å+∫) + cos(å–∫)) = coså Ò cos∫ 2 1 4 7 . Vereinfache: sin(å+∫) + sin(å-∫) 1 4 8 . Vereinfache: cos(60ò+å) + cos(60ò-å) 1 4 9 . Beweise: sin3å = 3sinå - 4sin¶å (Beginne so: sin3å = sin(2å+å) = ... und verwende die Formeln aus der Formelsammlung!) _ ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 16 Trigonometrie: Lösungen 1. c a) cos∫ = a/c = sinå = sin(90ò - ∫) a å b) 1 + tan“å = 1 + a“/b“ = (b“ + a“)/b“ = c“/b“ = 1/(b/c)“ = 1/cos“å b 2 . s i n ƒ = ∑(1-c“) = 0 , 7 1 4 1 ; t a n ƒ = ∑(1-c“)/cosƒ = 1 , 0 2 0 ; c o t ƒ = cosƒ/ ∑(1-c“) = 0 , 9 8 0 2 3. 1,5 1dm å 1 4. 15ò c a å b xdm = 9,7cm coså = b/c = sin∫ = sin(90ò - ∫) sin“å + cos“å = a“/c“ + b“/c“ = (a“ + b“)/c“ = 1 1 + sin“å/cos“å = (cos“å + sin“å)/cos“å = 1/cos“a; 5 . sin™ƒ = ∑(1 - c“) = 0 , 8 ; tanƒ = 0,6/0,8 = 3 / 4 ; cotƒ = 1/tanƒ= 4 / 3 6. x = 1,22 ——> 70,0ò 7. 10 å 4 8 . a) (1 - c“)/c“ = s“/c“ = t a n “ å b) s(s“ + c“) = s i n å 9. s i n ∂ = 1 / ∑ ‚ 1 ‚ + ‚ c ‚ ‚ o ‚ t ‚ “ ‚ ∂ 1 0 . s i n x = 0 , 7 4 6 ; x = 1 3 1 , 9 ò 1 1 . 1 + (c“ - s“) = c“ - (1 - c“) = 2 c “ - 1 = 1 - 2 s “ 12. rw.‹ mit Hypotenuse c = 1 und å = 60ò (sww). ==> s i n 6 0 ò = a 1 3 . rw.‹ mit den Katheten b = 1 und a = 1,5; ==> å 1 4 . gls.‹ mit Seite = 1 und Höhe h; ==> cos30ò = h/1 = ∑ ‚ 3 / 2 _ ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 17 1 5 . Dasselbe für cos∫, wenn tan∫ = 4. a) sin“å = 1 - c“ ===> s i n å = 0 , 9 4 2 9 b) t“ = s“/c“ = (1-c“)/c“ ==> c“t“ + c“ = 1; c = 1/∑‚1+ ‚ t‚ “‚ = 1/∑‚17 ‚ = 0,24254 1 6 . halbes gls ‹ 1 7 . 60ò vierteln; rw‹ mit å = 75ò und b = 1 ==> t a n 7 5 ò = a 1 8 . a) 1/24 ∞ π b) 0.1309 1 9 . a) c = b / c o s å = 1 0 , 0 ; a = b Ò t a n å = 6 , 0 3 b) F = ab/2 und tan∫ = b/a; ==> b = aÒtan∫ in I ==> a = ∑ ‚ 2 ‚ F ‚ / ‚ t ‚ a ‚ n ‚ å = 3 8 , 9 ; ==> b = ∑ ‚ 2 ‚ F ‚ Ò ‚ t ‚ a ‚ n ‚ å = 7 , 5 6 ; c“ = a" + b“ ==> c = ∑ ‚ 2 ‚ F ‚ ( ‚ t ‚ a ‚ n ‚ å ‚ ‚ + ‚ ‚ c ‚ o ‚ t ‚ å ‚ ) = 3 9 , 6 c = b/coså = 6,795 ; a = bÒtanå = 5,653 2 0 . a) ∫ = 9 0 ò - å = 3 3 , 7 ò ; b) a = 9 0 ò - ∫ = 6 2 , 5 ò ; F = ab/2; tan∫ = b/a; ==> b = ∑ ( 2 F Ò t a n ∫ ) = 3 , 7 4 9 ; a = ∑(2F/tan∫) = 7,20 c = ∑(2Ftan∫ + 2F/tan∫) = ∑ ( ( 2 F ( t a n “ ∫ + 1 ) / t a n ∫ ) = b/sin∫ = ∑ ( 2 F / s i n ∫ c o s ∫ ) = 8 , 1 1 9 2 1 . Sinå = h/b ==> b = h / s i n å = 4 5 , 3 ; coså = h/a ==> a = h / c o s å = 1 8 , 6 c = ∑ ‚ a ‚ “ ‚ ‚ + ‚ ‚ b ‚ “ ‚ ‚ = a/sinå = h / ( s i n å Ò c o s å ) = 4 9 , 0 2 2 . b/2 = sÒcoså; h = sÒsinå; ==> F = s“ÒsinåÒcoså; s = ∑(F/(sinåÒcoså)) = 1 6 , 2 b = 2sÒcoså = 2∑(FÒcotå) = 2 6 , 0 2 3 . a) d) c = b / s i n ∫ = 2 1 , 9 0 ; a = b / t a n ∫ = 1 7 , 4 0 ; å = 9 0 ò - ∫ = 5 2 , 6 ò b) sin∫ = h/a => ∫ = 4 9 , 1 6 ò ; å = 90ò - ∫ = 4 0 , 8 4 ò ; b = h/cos∫ = 5 2 7 . 6 ; c = 697.3 c) ab = 2F , a/b = tanå; ==> a = ∑(2FÒtanå) = 7 , 3 2 1 ; b = ∑(2F/tanå) = 2 7 , 3 2 ; c = 2 8 , 2 8 ; ∫ = 7 5 ò 2 4 . h = sÒsin∫ = 5.362; b/2 = sÒcos∫ = 4.4995; F = s“ÒsinåÒcoså = 2 4. 13 2 5 . a) b) c) _ c = 13.20 b = 11.31 a = 20.63 å = 72.64ò c = 13.73 b = 37.74 ∫ = 17.36ò ∫ = 55.44ò å = 28.67ò ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 18 2 6 . a = c / tan © = 8 . 4 4 c m B c C © A 27. b = 4 4 . 7 3 c m , c = 5 1 . 2 4 c m 2 8 . å = 2 Ò arctan b/a = 6 1 . 4 8 ò 2 9 . a = b / tan∫ = 4 0 . 5 5 c m c = b / sin© = 5 1 . 0 4 c m 3 0 . a = b Ò tanå = 1 . 0 2 c m c = b / coså = 2 . 6 1 c m 3 1 . tanå/2 = r/AS ==> A S = r/tanå = 3 4 , 5 0 AB = s; coså/2 = (s/2)/r ==> s = 2rcoså/2 = 27 , 5 1 „AMB = 2(90ò - å/2) = 180ò - å ==> Bo g e n A B = πr(180ò - å)/180ò = 3 4, 82 32. ∂ s h h´ ∫ ƒ 33. k tan∫ = h/(d/2) => h = 0.5ÒkÒ∑2Òtan∫ = 1 0 , 3 cos∫ = (d/2)/s => s = k∑2/(2Òcos∫) = 1 0 , 9 h´ = ∑(h“ + k“/4) = ∑(s“ - k“/4) = 10,5679 F = k“ + 4Ò0,5Òkh´ = 1 3 1 sin∂/2 = (k/2)/s; tan(∂/2) = (k/2)/h´; ==> ∂ = 2 6 , 6 ò tanƒ = h/(k/2); cosƒ = (k/2)/h´; ==> ƒ = 7 6 , 3 ò s x a å ∫ 1,5 tan∫ = 1,5/a ==> ∫ = 8,5308ò; å = 26.469 (s + x - 1,5) = 4.9791 tanå = tan(35ò - ∫) = (s + x - 1,5)/a ==> x = aÒtan(35ò - ∫) - s + 1,5 = 3 , 4 7 9 1 3 4 . h = AB/2 = 13,5; å = 67ò/2 = 33.5ò ∫ ∫ = 90ò - å = 56,5ò r = 13,5/sin56,5ò = 16,19 r å b = πrÒ2Ò56,5ò/180ò = 31,93 A AS = 13,5/sin33,5ò = 24,46 Einsparung: 2ÒAS - b = 1 6 , 9 9 ( F u s s ) (Bogen beet-einwärts: Einsp.:2ÒPS - PQ = 21,92) _ b/2 å S ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 19 3 5 . tan∫ = x/y tanå = x/(a+y) oder: tan∫ = x/y´ tanå = x/(a-y´) x ==> x = aÒtanåÒtan∫/(tan∫±tanå) = 1,44km oder 1,82km å ∫ P Q y ¥ ∫ y´ Q´ Variante: x = a/(cotå±cot∫) 3 6 . a) tanå = ∑‚5 P 1 Q b) tan∫ = 2/∑‚2 ∑‚5 ∫ = 54,73ò å å = 65,91ò P 2 ∫ R F ∑‚2 R 3 7 . r = RÒcosƒ = 4254; å = 16,5ò - 11,6ò = 4,9ò; b = 2πÒRcosƒÒ4,9/360 = 364km 3 8 . F = r“Òx/2; b = rÒx = xÒ∑‚2‚F‚/‚x = ∑‚2‚F‚x = 1 m (x ——>ƒ = 28,6ò——>r = 2——>b) 3 9 . ƒ = 360ò/2Ò19; h = rÒcosƒ; sËÏ/2 = rÒsinƒ; F/19 = r“ÒsinƒÒcosƒ; ==> r“ = F/(19ÒsinƒÒcosƒ); r = 0,569m∞ sËÏ = 2ÒrÒsinƒ = 0, 1 8 7 m 4 0 . tanƒ = PF/QF ==> QF = PF/tanƒ = 62,831==> RF = 5,469 ==> PR = ∑‚R ‚ F ‚ “‚ + ‚ ‚P ‚ F ‚ “‚ = 30,2 4 1 . a) tan å = 5/11; å = 2 4 , 4 4 ò b) „TMB = ∫; a) ==> ∫/2 = 32,778ò; s = 2rÒsin(∫/2) = 5,4139; a = rÒcos(∫/2) = 4 , 2 0 3 9 4 2 . tanƒ = 30/45 ==> ƒ = 3 3 , 7 ò 4 3 . sinå/2 = (s/2)/r = s∑π/(2∑F) = 5∑π/2Ò5 = ∑π/2 = 0,886 ==> å = 124,8ò 4 4 . halbes Diagonalschnitt‹AMS: coså = (4Ò∑‚2/2)/3 = 2∑‚2/3 ==> å = 1 9 , 5 ò Seitenfläche = glsch‹ Schenkel = 3 , Basis = 4, ==> cos∫ = 2/3 ==> ∫ = 4 1 , 4 ò MS“ = 3“ - (4∑‚2/2)“ = 9 - 8 = 1= h; V = GÒh/3 = 16/3 = 5,33 4 5 . tan(å/2) = (s/2)/hË; hË = s/(2Òtan70ò) = 3,639; h” = s/(2Òtan35ò) = 14,281; MËM” = hË + h” = 17,9 rË” = s/(2Òsin(å,∫/2)); r Ë = 1 0 , 6 ; r ” = 1 7 , 4 SegË = 101,96; Seg” = 42,86 F = 144,8 _ ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 20 4 6 . å = halber Winkel an der Spitze des Bestimmungsdreiecks = 360ò/34 = 10,59ò F = 717 = 17Ò0,5ÒhÒs; h = rÒcoså; s/2 = rÒsinå ==> 717 = r“Ò17ÒsinåÒcoså ==> r = 15,3 ==> U = 3 4 Ò r Ò s i n å = 9 5 , 5 4 7 . a) b = x + y; x = aÒcos©; y = cÒcoså ==> Beh. B a zu a) zu b) c M r h © r c/2 b) c/2 = rÒsin©; ebenso: b = 2ÒrÒsin∫; hc = bÒsinå; ==> F = 0,5ÒcÒhc = 2r“ÒsinåÒsin∫Òsin© C © x å y A 4 8 . a) cos ƒ = 2,5/3; ƒ = 3 3 , 5 6 ò 3 b) b = ƒÒ2ÒπÒr/360 = 1 , 7 5 7 m 2,5 ¥ ¥ 0,5 4 9 . x/(d-5) = t∫ x/d = tå; => d = x/tå ==> t∫ = x/(x/tå - 5) ==> x = 5Òt∫Òtå/(t∫ - tå) = 0,7434m ==> h = 2 , 1 4 3 m x å ∫ 1,4 d 5 0 . h = bÒsinå; F = h Òc/2 = 0 . 5 Ò b Ò c Ò s i n å c c 5 1 . h = d Ò sinå = 4.41cm x = d Ò coså = 2.35cm a = 2x + c = 9 . 6 9 c m Pythagoras: e = f = 8 . 5 7 c m c d å x 5 2 . ¡/”b : h = tan å/2 ——> h = 4.20m F = ab + ¡/”bh = 6 0 . 9 8 m “ h e b h b/2 5 3 . F = abÒsinå _ ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 21 5 4 . r/d = sin å/2 . r å = 2Òarcsin r/d = 50.75ò d P M 5 5 . a) s = 2r sin å/2 = 3 . 5 8 c m s/2 : r = sin å/2 b) h = r cos å/2 = 4.67cm FË = ¡/”hs = 8.36cm“ FS = πr“Òå/360 = 9.16cm“ x = (FS-FË)/FSÒ100% = 8 . 7 2 % r . h s 5 6 . å = 2Òarccos(b/wå) = 54.53ò c = b / coså = 6 . 8 9 4 c m C . b w å B A 5 7 . b = w Òcos å/2 = 2.73cm å C . a = b Ò tan å = 5 . 1 4 c m b w å å B A C 5 8 . ©Ë = arccos(h/w ) = 27.266ò © ©” = 45ò - ©Ë = 17.73ò å (∫) = 90ò - ©” = 72.27ò (‹ an h spiegeln!) b (a) = h / cos©” = 4 . 2 0 0 c m a (b) = bÒtanå = 1 3 . 1 3 c m c = b / coså = 1 3 . 7 9 c m _ ©” ©Ë w h © . A B ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 22 5 9 . neuen Peripheriewinkel mit Schenkel durch M wählen: s : 2r = sinå å å M r = s / 2sinå = 2 . 9 2 c m s 6 0 . å = arccos d/r = 73.40ò ∫ = 90ò-å = 16.60ò Sektor: FË = πr“Ò∫/360ò = 7.10cm“ Dreieck: F” = ¡/”rdsinå = 6.71cm“ F = 2Ò(FË+F”) = 2 7 . 6 1 c m “ r 6 1 . x = h / tanå = 4.557cm b = h / sinå = 1 0 . 9 9 c m c = m-x = 4 5 . 4 4 c m a = m+x = 5 4 . 5 6 c m å d ∫ c m b . x a 6 2 . U = 2nrÒsin(180ò/n) 6 3 . x = ® / tan(å/2) = 10.84cm y = ® / tan(∫/2) = 6.70cm b = x+® = 1 4 . 3 0 c m a = y+® = 1 0 . 1 6 c m C y . . ® B . ® x A _ ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 23 6 4 . halbierter Aussenwinkel: 18ò halbierter Innenwinkel: 36ò x = rÒsin18ò = 2.16cm y = xÒtan36ò = 1.57cm F = 5ry = 5 5 . 0 1 c m “ y x 6 5 . ® = rÒcos(360ò/10) = 6 . 0 7 c m . r ® r 6 6 . Querschnitt: ™ = 2Òarctan(a/a∑2) = 2Òarctan(1/∑2) = 7 0 . 5 3 ò E G a ™/” A a∑2 6 7 . å = arccos(r/d) = 65.10ò ∫ = 360ò-2å = 229.80ò Sektor: FË = πr“Ò∫/360ò = 32.09cm“ Dreieck: F” = ¡/”rdsinå = 17.23cm“ F = FË+2F” = 6 6 . 5 5 c m “ C . r å d M 6 8 . s = h / tanå = 130.79m x = s Ò tan∫ = 32.487m H = x + h = 4 6 . 4 9 m x H P ∫ å h s _ ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 24 6 9 . Winkel bei B: 90ò Winkel bei A: BG:AG = ∑2:∑3 = sin© ——> © = 5 4 . 7 4 ò Winkel bei G: ™ = 90ò - © = 3 5 . 2 6 ò Flächeinhalt: F = a“ 2 2 7 0 . a) tanå = 16/20 ==> å = 3 8 , 7 ò b) tan∫ = 16/∑‚2‚0‚“‚ ‚+‚ ‚4‚“ ==> ∫ = 3 8 , 1 ò c) tan(©/2) = 4/8 ==> © = 5 3 , 1 ò 7 1 . V = πr“h/3 = 2 0 ,9 4 m ¶; s = ∑(r“+h“) = ∑29m“ ==> M = πrs = 3 3 ,8 4 m “ ; O = M + πr“ = M + 12,57m“ = 46,40m“; tanå/2 = 2/5 ==> å = 43,60ò. 7 2 . h = aÒtanå/∑‚2 = 3 6 . 9 1 c m ; V = 5 5 8 1 c m ¶ ; h´“ = h“ + (a/2)“ = 38.413; tan(∫/2) = a/2h´ ==> ∫ = 3 0 . 9 9 ò oder: s = a/(∑‚2)coså) = 39.861 => sin(∫/2) = coså/∑‚2 ..... 73. Achsen: x = 810ò, 990ò, 1170ò, 1350ò Zentren: P(900ò, 1080ò, 1260ò ¯ 0) 810ò(4,5π) 1350ò(7,5π) 7 4 . a) ƒ = 206.7ò + kÒ360ò oder ƒ = 333.3ò + kÒ360ò, k ™ º b) 116,6ò ≤ ƒ ≤ 163,3ò oder 296,6ò ≤ ƒ ≤ 343.3ò 75. a) x = -0.473 ==> x Ë = π + x = 3 , 6 2 x” = 2π + x = 5,81 ƒ” ƒË x” xË -0,437 b) ƒ# _ ƒÈ ƒË = 76,5ò; ƒ” = 124,5ò ƒ# = 235,5ò; ƒÈ = 283,5ò Ú = ̃¯76,5ò ≤ ƒ ≤ 124,5ò oder 235,5ò ≤ ƒ ≤283,5Î ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 25 76. -990 (90ò) -630 (450ò) 7 7 . a) 2 0 3 , 6 ò ; 3 3 6 , 4 ò b) 1 . 2 4 9 , 4 . 3 5 1 (71,6ò; 251,6ò) c) 0 ò ≤ ƒ ≤ 7 8 , 5 ò o d e r 1 0 1 , 5 ò ≤ ƒ ≤ 2 5 8 , 5 ò o d e r 2 8 1 , 5 ò ≤ ƒ ≤ 3 6 0 ò d) 0 . 1 9 7 4 < ƒ < 1 . 0 3 9 o d e r 3 . 3 3 9 < ƒ < 4 . 1 8 1 ( 11,3ò < ƒ < 59,5ò oder 191,3ò < ƒ < 239,5ò) 78. x = 2,356 + kÒπ 7 9 . a) 2 7 , 1 ò ; 1 5 2 , 9 ò b) 1 1 5 , 6 ò ; 2 4 4 , 4 ò c) 8 0 , 0 ò ; 2 6 0 , 0 ò d) 1 1 9 , 6 ò ; 2 9 9 , 6 ò e) 0 ò ≤ ƒ ≤ 2 3 , 6 ò o d e r 1 5 6 , 4 ò ≤ ƒ ≤ 1 9 7 , 6 ò o d e r 3 4 2 , 6 ò ≤ ƒ ≤ 3 6 0 ò 8 0 . a) -11550ò = -33Ò360ò + 321ò ==> ƒ = 219ò b) 9937ò = 55Ò180ò + 37ò ==> ƒ = 37ò 81. c o s ( - ƒ ) = c o s ( 3 6 0 ò - ƒ ) = c o s ƒ tan(-ƒ) = tan(360ò - ƒ) = - tanƒ; cot(-ƒ) = cot(360ò - ƒ) = - cotƒ 8 2 . ƒ von pos x-Achse aus in O abtragen. Gerade, bestimmt durch den freien Schenkel von ƒ, mit Tangente an EK in A(1¯0) schneiden --> R = R(1¯ t a n ƒ ) 83. 0ò ≤ ƒ ≤ 23,6ò oder 156,4 ≤ ƒ < 197,5ò oder 342,5ò < ƒ ≤ 360ò 84. 39,2ò; 320,7ò; 140,8ò; 219,2ò _ ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 26 85. sin å = cos å = tan å = sin å = cos å = cot å = 0.98 -0.37 -0.38 -0.72 0.44 0.10 åË åË åË åË åË åË = = = = = = 78.52 111.72 159.19 226.05 63.90 84.29 å” å” å” å” å” å” = 101.48 = 248.28 = 339.19 = 313.95 = 296.10 = 264.29 86. sin å = cos å = tan å = sin å = cos å = cot å = 0.14 -0.02 -0.68 -0.37 0.40 0.60 åË åË åË åË åË åË = = = = = = 8.05 91.15 145.78 201.72 66.42 59.04 å” å” å” å” å” å” = 171.95 = 268.85 = 325.78 = 338.28 = 293.58 = 239.04 8 7 . a)-100´000 = -(15´915Ò2π - 3.1773) ==> x = 3.1773 b) 360´000 = 114591Òπ+1.7562 ==> x = 1.7562 8 8 . x = 0.685; 2.457; 3.826; 5.598 8 9 . a) sinx = -0.5678 b) tan“ å = 5.1 ( å ™ ¿0ò, 360ò' ) 9 0 . a) a = ∑(b“+c“-2bccoså) = 5 3 , 8 ; sin∫ = bÒsinå/a --> ∫ = 3 3 , 4 ò ; sin© = cÒsinå/a ---> © = 4 2 , 6 ò b) (sSw)! sin∫ = bÒsinå/a--> ∫ Ë = 7 3 , 1 ò ; © Ë = 7 0 , 4 ò ; c = aÒsin©/sinå --> c Ë = 7 2 , 8 , ∫ ” = 1 0 6 , 9 ò ; © ” = 3 6 , 6 ò ; c ” = 4 6 , 1 9 1 . e = ∑(a“ + b“ - 2abcos∫) = 7 4 , 9 0 ; sin∂Ë = aÒsinå/f (Ssw) --> ∂Ë = 33,06 --> ∫Ë = 35,84; d = fÒsin∫Ë/sinå = 3 9 , 9 9 9 2 . e“ = a“ + b“ - 2abÒcos∫ = a“ + b“ + 2abÒcoså f“ = ......................................a“ + b“ - 2abÒcoså ==> e “ + f “ = 2 Ò ( a “ + b “ ) 9 3 . a) a = ∑(b“+c“-2bccoså) = 5 3 , 8 ; sin∫ = bÒsinå/a --> ∫ = 3 3 , 4 ò ; sin© = cÒsinå/a ---> © = 4 2 , 6 ò b) (sSw)! sin∫ = bÒsinå/a--> ∫ Ë = 7 3 , 1 ò ; © Ë = 7 0 , 4 ò ; c = aÒsin©/sinå --> c Ë = 7 2 , 8 ∫” = 106,9ò ; ©” = 36,6ò ; c” = 46,1 _ ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 27 9 4 . a) a) (sSw)! sin© = cÒsin∫/b--> å Ë = 7 3 , 1 ò ; ∫ Ë = 7 0 , 4 ò ; b = aÒsin∫/sin© --> b Ë = 3 , 6 4 å” = 106,9ò ; ∫” = 36,6ò ; b” = 2,31 b) b = ∑(a“+c“-2acÒcos∫) = 214,3 sin© = cÒsin∫/b --> © = 3 3 , 2 ò ; sinå = aÒsin∫/b ---> ∫ = 4 2 , 8 ò 9 5 . a) cos∫ = -0,7357 => ∫ = 1 3 7 , 4 ò ; å = 1 0 , 8 4 ò ; © = 3 1 , 7 9 ò å = 45ò; a = bÒsinå/sin∫ = 3 , 1 2 1 b) c = bÒsin©/sin∫ = 1 , 5 1 0 ; c) sinå = 0,7803 ==> å Ë = 5 1 , 2 9 ò ; © Ë = 9 2 , 7 1 ò ; c Ë = 9 8 , 5 7 å” = 128,7ò; ©” = 15,3ò; c” = 26,0 d) c = 5 5 , 4 ; å = 6 5 , 5 ò ; ∫ = 7 2 , 0 ò 9 6 . a) cos∫ = -0,7357 => ∫ = 1 3 7 , 4 ò ; å = 1 0 , 8 ò ; © = 3 1 , 8 ò å = 45ò; b) c = bÒsin©/sin∫ = 1 , 5 1 ; a = bÒsinå/sin∫ = 3 , 1 2 c) sinå = 0,7803 ==> å Ë = 5 1 , 3 ò ; © Ë = 9 2 , 7 ò ; c Ë = 9 8 , 6 å” = 128,7ò; ©” = 15,3ò; c” = 26,0 9 7 . å = 52.91ò , kleinster Winkel: ∫ = 4 4 . 1 8 ò , © = 82.91ò (SSS) 9 8 . (WSW) b = 2.80cm , c = 4.34cm , å = 76.90ò 9 9 . © = 35.1ò , Lösung: P Q = 1 4 9 . 0 7 m (WSW) 1 0 0 . (SsW) © = 34.70ò , ∫ = 180ò-å-© = 81.30ò , b = 3 . 3 0 c m 1 0 1 . SsW: a = 12.89cm, å = 44.85ò, © = 55.15ò 1 0 2 . SWS: c = 10.82cm, å = 73.90ò, ∫ = 46.10ò 1 0 3 . (sSw)! sin∫ = bÒsinå/a--> ∫ Ë = 7 3 , 1 ò ; © Ë = 7 0 , 4 ò ; c = aÒsin©/sinå --> c Ë = 7 2 , 8 ∫” = 106,9ò ; ©” = 36,6ò ; c” = 46,1 104. 90ò-å” tanåË = x/a und tanå” = (x+h)/a ==> x = h Ò t a n å Ë / ( t a n å ” - t a n å Ë ) = 4 4 , 1 h y oder: Sin(å”-åË) : h = sin(90ò - å”) : y ==> y = hÒsin(90ò - å”)/sin(å” - åË) (= 47,24) sinåË = x(y ==> x = h Ò c o s å ” Ò s i n å Ë / s i n ( å ” - å Ë ) _ x å” åË a ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 28 1 0 5 . c) den Schnitt-winkel ∂ der Kreise (d.h. den Winkel zwischen den Tangenten in einem der Schnittpunkte) a) coså = (R“ + m“ - r“)/2Rm ——> å = 28,96ò sinå = (s/2)/R ——> s = 2RÒsinå = 5 , 8 1 ÒÒ r R (s/2 = 2,9047; mË = RÒcoså = 5,25; m” = 2.75) s/2 ∫ å b) FË = R“ÒπÒ2å/360ò - mËÒs/2 = 2,943 mË cos∫ = (r“ + m“ - R“)/2rm ——> ∫ = 46,567 F” = r“ÒπÒ2∫/360 - m”Òs/2 = 5,016 ==> F = F Ë + F ” = 7 , 9 6 m” t ∂ ÒÒ t ∫ å 90ò-å 90ò-∫ c) ∂ = å + ∫ = 75,7ò 1 0 6 . a) (sSw) sin© = cÒsinå/a ==> © Ë = 5 1 , 4 ò ; © ” = 1 2 8 ò ; ∫Ë = 92,7ò; ∫” = 15,5ò; b = aÒsin∫/sinå; bË = 19,4; b” = 5,20 C b) (sws) c = ∑‚a‚“‚+‚b‚“‚-‚2‚a‚b‚Ò‚c‚o‚s‚© = 1 2 4 ; sinå = aÒsin©/c ==> å = 1 9 . 8 3 ò ; ∫ = 5 . 1 7 ò å/2 cË c) cË = ®/tan(å/2) = 35,3 ==> c” = 55,5 A ==> tan(∫/2) = ®/c” ==> ∫ = 4 3 , 6 ò ; = = > © = 7 2 , 0 ò b = cÒsin∫/sin© = 6 5 , 8 ; a = cÒsinå/sin© = 8 6 , 1 c” B 1 0 7 . åË = „(FFË): cosåË = (FË“ + F“ - F”“)/2FËF; --> åË = 62,0ò; coså” = (F”“ + F“ - FË“)/2F”F; --> å” = 17,5ò 1 0 8 . e = ∑‚a‚“‚+‚b“‚-‚2‚a‚b‚Òc‚o‚s‚1‚0‚2‚,‚7‚ò = 495,7 sin∫Ë = aÒsin102,7ò/e ==> ∫Ë = 42,9ò ==> ∫” = 54,5ò (f = 415,1; åË = 39,3ò; å” = 63,4ò) ‚ P ‚ Q = d = ∑‚‚ ‚ e‚“‚+‚c‚“‚-‚2‚e‚c‚Ò‚c‚o‚s‚∫‚” = 404,4 (m) _ A b 102,7ò B ∫Ë 9 7,4ò ∫” a c f e P d Q ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 29 109. S ‚ X ‚ = 5t; S‚Y = 6t; ==> 7“ = (5t)“ + (6t)“ - 2Ò5tÒ6tÒcos60ò ==> 49 = 61t“ - 30x“ ==> x = 7/∑‚3‚1 = 1,257; ==> ‚ S ‚ X = 6 ,2 9 ; ‚ S ‚ Y = 7, 54 1 1 0 . a) c : sin© = b : sin∫; b = cÒsin∫/sin© = cÒsin∫/sin(å+∫) x : sin∫ = b : sin(å-∫) ==> x = bÒsin∫/sin(å-∫) ==> x = c Ò s i n “ ∫ / ( s i n ( å - ∫ ) Ò s i n ( å + ∫ ) ) å-∫ b) x = 4 3 , 8 1 180ò-(å+∫) ∫ b å x ∫ c 180ò-å c)∫ = å-∫ = 30ò ==> x = b = c / 2 1 1 1 . a) c : sin2å = a : sinå ==> a = cÒsinå/sin2å x : sin(90ò-2å) = a : sin(90ò-å) <==> x : cos2å = a : coså ==> x = aÒcos2å/coså y ==> x = c Ò s i n å Ò c o s 2 å / ( c o s å Ò s i n 2 å ) = cÒtanå/tan2å å c oder: Ò 2å a 90ò-2å s 90ò-å 3å x x = cÒsin(3å)/(sin(2å)Òcoså) - c b) x = 2 , 1 6 c)c = yÒ∑‚3/2; y = 2c/∑‚3; a = y/2 = c/∑‚3 = s∑‚3/2 = 2x∑‚3/2 ==> c/∑‚3 = x∑‚3 ==> x = c/3 1 1 2 . x = a - c = 442; coså = (x“ + d“ - b“)/2xd ==> å = 7 2 , 8 ò ; cos∫ = (b“ + x“ - d“)/2bx ==> ∫ = 5 4 , 6 ò ==> © = ;180ò - ∫ = 1 2 5 , 4 ò ; ∂ = 180ò-å = 1 0 7 , 2 ò ; e“ = a“ + b“ - 2abÒcos∫ ==> e = 6 1 8 ; ; f“ = a“ + d“ - 2adÒcoså ==> f = 7 5 2 h = dÒsinå = bÒsin∫ ==> F = 0.5Ò(a + c)ÒdÒsinå = 2 2 9 ´ 0 0 0 1 1 3 . f = 5,537 (Cos.satz) sin∂” = bÒsin©/f ==> ∂” = 34,69ò ∫” = 45,31ò c = fÒsin∫”/sin© = 3,997 sin∫Ë = dÒsinå/f ==> ∫Ë = 37,21ò ==> ∫ = 82,52ò f = 5,54; c = 4,00; ∫ = 82,5ò D C ∂” å A ∫Ë ∫” B 1 1 4 . © = 47ò; ‚B‚K = ‚A‚BÒsinå/sin47ò = 4,623; ‚K‚L = ‚B‚KÒsin∂/sinƒ = 3 ,96km _ ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 30 1 1 5 . coså = (b“ + c“ - a“)/2bc = -0.4583 ==> å = 1 1 7 , 3 ò sin∫ = bÒsinå/a = 0,4444 ==> ∫ = 2 6 , 4 ò ; © = 3 6 , 3 ò sin© = hb/a; hb =aÒsin© = 3 , 5 6 1 1 6 . (SSS) å´ = 20,74ò , ∫ = 127.17ò , ©´ = 32.09ò å = å´ + ©´ = 180ò - ∫ = 52.83ò 1 1 7 . Dreieck ABD: (SWS) f = 6.36cm , ∂Ë = 28.81ò ∂” = ∂ - ∂Ë = 51.19ò D d ∂Ë A ∂” å f Dreieck BCD: (WSW) b = 7 . 7 1 c m a © B 1 1 8 . Dreieck BCD: (SWS) BD = 7.59cm , ∫ = 21.92ò C b C © /2 a Dreieck ABC: (WSW) b = 7 . 0 5 c m w© A B D 1 1 9 . Dreieck ABD: (SWS) f = 7.94cm Dreieck BCD: (SsW) ∂´ = 12.63ò c = 9 . 1 0 c m C D © ∂´ d A b f å a B 1 2 0 . Dreieck ABC: (rechtwinklig) AC = 7.81cm å´ = 50.19ò , ©´ = 39.81ò A å´ D a ©´ Dreieck ADC: (WSW) c = 5 . 6 9 c m , d = 2 . 7 3 c m _ . B ∫ b C ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 31 1 2 1 . ∂ = 180ò-å-∫ = 75ò (WSW) b = s Ò sin∫ / sin∂ = 118.76m h = b Ò tan© = 2 5 . 2 4 m h ∂ b © å ∫ s 1 2 2 . EG = 6∑2cm = 8.49cm ; GM = ∑45cm = 3∑5cm = 6.71cm ; EM = 9cm; Cosinussatz: Winkel bei E: ™ = 4 5 ò ; Winkel bei G: © = 7 1 . 5 7 ò ; Winkel bei M: μ = 6 3 . 4 3 ò Flächeninhalt: F = ¡/”EMÒEGÒsin™ = 2 7 c m “ 1 2 3 . v# = Geschw. über Grund = 30km/8Min = 225km/h; v”“ = vË“ + v#“ - 2vËv#Òcos(å - ™) ==> v ” = 5 0 , 9 k m / h ; v” © v# 360ò-™ vË cos © = (vË“ + v#“ - v”“)/2vËv# ———> © = 113ò oder zuerst sin∂ = vË*sin∫/v” => ∂ = 54.78ò => © = 180ò - ∫ - ∂ ƒ = 360ò - (360ò - ™ + © - 180ò) = ™ + 180ò - © = 342ò ∫ ™ å 1 2 4 . a) tanx = 1/6; x Ë = 9 , 4 6 ò ; x ” = 1 8 9 , 4 6 ò b) t + 2t/(1-t“) = 0; t - t¶ + 2t = 0; t(3 - t“) = 0; tË = 0; t”# = ±∑‚3 xË = 0ò; x” = 180ò; x# = 360ò; xÈ = 60ò; xÍ = 240ò; x^= 120ò; x\ = 300ò c) 6c“ - sc - s“ = 0; (2c - s)(3c + s) = 0 ==> t = 2 oder t = -3 xË = 63,43ò; x” = 243,43ò; x# = 108,43ò; xÈ = 288,43ò d) c ≤ -∑‚0‚,‚7 oder c ≥ ∑‚0‚,‚7; 0 ≤ x ≤ 0.580 oder 2.562 ≤ x ≤ 3.721ò oder 5.703 ≤ x ≤ 2π e) sin(60ò-å) = sin60òÒcoså - cos60òÒsinå = ∑‚3/2 Ò 4/5 - 1/2 Ò (±∑‚1-‚0‚,‚6‚4) = 2∑‚3/5 ± 3/10 _ ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 32 1 2 5 . å = 60ò; 4 = sin∫/sin(120ò-∫); 4(sin120òcos∫ - cos120òsin∫) = sin∫ ==> 2∑‚3cos∫ + 2sin∫ = sin∫ (*); 12 - 12s“ = s“; sË” = ±∑‚12 ‚ /‚ 1 ‚ 3 ‚ ==> ∫Ë = 73,9ò; ∫” = 106,1ò; ∫Ë ergibt keine L. ==> ∫ = 1 0 6 , 1 ò ; © = 1 3 , 9 ò einfacher: (*) ==> -2∑‚3 cos∫ = sin∫ ==> tan∫ = -2∑‚3 1 2 6 . 2c“ - 7c + 3 = 0; cË” = 0,25(7±5); cË = 3; c” = 1/2 ==> xË = 60ò; x” = 300ò 1 2 7 . c(s + 3c) = 0; c = 0 oder t = -3; ==> Ú = Ì 9 0 ò , 2 7 0 ò , 1 0 8 , 4 ò , 2 8 8 , 4 ò Î 1 2 8 . 4s = 1-6c; 16(1-c“) = 1 - 12c + 36c“; 40c“ - 12c - 3 = 0 cË” = (12 ± ∑‚32 ‚ 4 ‚ 6 ‚ )/104; cË = 0,6647; c” = -0,4340; ==> xË, x”, x#, xÈ; Probe ==> Ú = Ì 1 1 5 , 7 ò , 3 1 1 , 7 ò Î 1 2 9 . s¢ + c¢ - 2/3 = 0; s¢ + (1-s“)“ - 2/3 = 0; 6s¢ - 6s“ + 1 = 0; s“Ë” = (6±∑‚12 ‚ )/12; sË” = ±0,888; s#È = ± 0,4597; ==> Ú = Ì 2 7 , 4 ò ; 6 2 , 6 ò ; 1 1 7 , 4 ò ; 1 5 2 , 6 ò ; 2 0 7 , 4 ò ; 2 4 2 , 6 ò ; 2 9 7 , 4 ò ; 3 3 2 , 6 ò Î 1 3 0 . 0 ≤ 2x ≤ 0,412 oder 2,730 ≤ 2x ≤ 6,694 oder 9,013 ≤ 2x ≤ 4π ==> 0 ≤ x ≤ 0 , 2 0 6 o d e r 1 , 3 6 5 ≤ x ≤ 3 , 3 4 7 o d e r 4 , 5 0 7 ≤ x ≤ 2 π 1 3 1 . tanå = 8/x; tan(2å) = 20/x; tan(2å) : tanå = = 2tanå/(1-tan“å) = 5:2; ==> 4= 5-4tan“å; t = +∑‚0‚,‚2; å = 2 4, 1ò 1 3 2 . a) 2cos“x - 1 ≤ 2cosx; 2c“ - 2c - 1 ≤ 0; cË” = 0,5(1±∑‚3); ==> cË ≤ c ≤ 1 ≤ c”; cË = 0,5(1-∑‚3) ==> xË = 111,5ò; x” = 248,5ò; Ú = Ìx¯0ò ≤ x ≤ 111,5ò oder 248,5ò ≤ x ≤ 360òÎ b) sinx + siny = 2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2) = 2sin45òcos((x-y)/2) = ∑‚2cos((x-y)/2) = ∑‚3/‚ 2 ‚ ==> (x-y)/2 = 30ò oder 330ò ; (x+y)/2 = 45ò x” = 15ò; y” = -285ò ’ 75ò ==> x Ë = 7 5 ò ; y Ë = 1 5 ò ; oder sinx + sin(90ò-x) = ∑‚3‚/‚2 = s + c; etc 1 3 3 . a) sË = -0,5; s” = -1 ==> Ú = Ì 2 1 0 ò ; 2 7 0 ò ; 3 3 0 ò Î b) 4s“ + 2(1-s“)-1=0; 2s“ + 1 = 0 ==> Ú = ó c) ¯:c“ ==> 6t“ + t - 2 = 0; tË = 0,5; t” = -2/3; ==> Ú = Ì 0 , 4 6 4 ; 2 , 5 5 ; 3 , 6 1 ; 5 , 7 0 Î oder: ... = (2s - c)(3s + 2c) = 0 etc. _ 1 3 4 . a) 34.99ò, 214.99ò b) 120ò, 240ò 1 3 5 . a) 153ò, 333ò b) 0ò, 45ò, 180ò, 225ò 1 3 6 . a) 0ò, 180ò b) 270ò ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 33 1 3 7 . a) 26.57ò, 153.43ò, 206.57ò, 333.43ò b) ——> sinxÒ(2cos“x-1) = 0 ——> 0ò, 45ò, 135ò, 180ò, 225ò, 315ò, 360ò 1 3 8 . a) 187.18ò, 352.82ò b) 39.23ò, 320.77ò, 140.77ò, 219.23ò 1 3 9 . a) 14.04ò, 194.04ò b) 69.82ò, 290.18ò, 98.33ò, 261.67ò 1 4 0 . Cos(45ò+å) + cos(45ò-å) = cos45òÒcoså-sin45òÒsinå + cos45òÒcoså + sin45òÒsinå = 2Òcos45òÒcoså = 2Ò∑‚2/2 Ò coså = ∑‚2Òcoså 1 4 1 . cos(å-∫) = sin(90ò-(å-∫)) = sin((90ò-å)+∫) = sin(90ò-å)Òcos∫ + cos(90ò-å)Òsin∫ = cosåÒcos∫ + sinå sin∫ 1 4 2 . a) t a n 7 5 ò = tan(45ò + 30ò) = (tan45ò + tan30ò)/(1 - tan45òÒtan30ò) = (1 + ∑‚3/3)/(1 - ∑‚3/3) = (3+∑‚3)/(3-∑‚3) = 2 + ∑‚3 = 3,732 s i n 1 5 ò = sin(45ò - 30ò) = sin45òÒcos30ò - cos45òÒsin30ò b)s = ∑‚2/2 Ò ∑‚3/2 - ∑‚2/2 Ò 0.5 = ( ∑ ‚ 6 - ∑ ‚ 2 / 4 = 0,2588 1+cos45ò = 2 c) cos22,5ò = + cos11,25ò = + 1+ a = 2 1+ 2/2 = 1 Ò 2 + 2 = a 2 2 2+ 2+ 2 = 0.5Ò 2 + 2 + 2 4 1 4 3 . c/s - s/c = (c“ - s“)/sc = cos(2å)/0.5sin(2å) = 2/(sin(2å)/cos(2å)) = 2 / t a n ( 2 å ) 1 4 4 . a) cos2å = 2Òcos“å - 1 (mit Add.theorem) ==> cos“å = (cos2å + 1)/2; å = x/2 == > Beh. b) s i n 1 5 ò = sin(45ò - 30ò) = sin45òÒcos30ò - cos45òÒsin30ò = ∑‚2/2 Ò ∑‚3/2 - ∑‚2/2 Ò 0.5 = ( ∑ ‚ 6 - ∑ ‚ 2 / 4 = 0,2588 t a n 7 5 ò = tan(45ò + 30ò) = (tan45ò + tan30ò)/(1 - tan45òÒtan30ò) = (1 + ∑‚3/3)/(1 - ∑‚3/3) = (3+∑‚3)/(3-∑‚3) = 2 + ∑‚3 = 3,732 cos15ò = + cos7,5ò = + 1 4 5 . a) coså 1+cos30ò = 2 1+ a = 2 1+ 3/2 = 1 Ò 2 + 3 = a 2 2 2+ 2+ 3 = 0.5Ò 2 + 4 2+ 3 b) cos“å - sin“å = cos2å 1 4 6 . ¡/”¿(cosåcos∫-sinåsin∫)+(cosåcos∫+sinåsin∫)' = ¡/”Ò2cosåcos∫ = cosåÒcos∫ _ ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 34 1 4 7 . sinåcos∫+cosåsin∫ + sinåcos∫-cosåsin∫ = 2sinåcos∫ 1 4 8 . cos60òcoså-sin60òsinå + cos60òsinå+sin60òsinå = 2cos60òcoså = c o s å 1 4 9 . sin3å _ = sin(2å+å) = sin2åcoså + cos2åsinå = (2sinå coså)coså + (1-2sin“å)sinå = 2sinåcos“å + sinå - 2sin¶å = 2sinå(1-sin“å) + sinå - 2sin¶å = 3sinå - 4sin¶å ______________________________________________ Josef Hölzli, Aufgabensammlung : TRIGONOMETRIE 35
