16001 - Mathe-CD

Trigonometrie
Geometrie
d.d
e
Teil 1
e-c
Sinus, Kosinus und Tangens
ww
w
.m
ath
im rechtwinkligen Dreieck
für
Text Nr. 16001
Friedrich Buckel
DE
MO
Stand 28. April 2010
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
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16001
Trigonometrie 1 – Geometrie
2
Vorwort
Dieser Text wurde völlig neu konzipiert. Mein alter Text mit ähnlichem Inhalt war eher ein
Unterrichtsmanuskript. Jetzt habe ich mich stark an die Bedürfnisse des Lernenden angelehnt.
e
Daher rückt die Theorie mehr in den Hintergrund. Musterbeispiele mit ausführlichen Erklärungen und
d.d
Trainingsaufgaben mit Musterlösungen stehen im Vordergrund. Damit kann man diesen Text auch
gezielter im Unterricht einsetzen, z. B. mit Beamern oder in Moodle-Systemen.
Dennoch darf das Verständnis nicht zu kurz kommen. Daher gibt es folgende Abschnitte, welche dem
e-c
Verständnis bzw. der Begründung dienen. Erst wenn man versteht, warum man dies so macht, und
was Zweck und Nutzen ist, kommt Verständnis in die Mathematik.
.m
ath
Hinweis zur Genauigkeit
Man kann getrost stets das Gleichheitszeichen verwenden. Das Ungefährzeichen a ≈ 5, 7 cm ist
sinnlos, denn es gibt in der Geometrie ja überhaupt keine exakten Werte, da alle Maßeingaben eine
Messgenauigkeit haben. Hält man sich also daran, die Angaben einheitlich (z. B. auf 1 Dezimale) zu
runden, dann kann man stets = schreiben und liegt ziemlich richtig.
ww
w
Ich weiß, dass diese Angaben stark vereinfacht sind, und dass es Situationen gibt, in denen man
DE
MO
für
anders vorgehen muss. Doch dies alles hier auszuführen, würde zu weit gehen.
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Trigonometrie 1 – Geometrie
3
Inhalt
4
1.1
Wie kommt man im rechtwinkligen Dreieck auf Sinus und Kosinus?
4
1.2
Grundwissen zu Sinus und Kosinus
7
Trainingsaufgaben
9
1.3
e
Grundwissen
Grundwissen zum Tangens
d.d
1
Trainingsaufgaben
Etwas Theorie zur Herleitung einiger wichtiger Werte
3
Aufgaben und Beispiele zur Berechnung rechtwinkliger Dreiecke
e-c
2
4 Grundaufgaben
12
15
4.1
Gleichschenklige Dreiecke
17
4.2
Flächeninhalt beliebiger Dreiecke
18
4.3
Kreisabschnitte
19
4.4
Kreisbogenzweieck
4.5
Beliebiges Dreieck
4.6
Trapez
.m
ath
17
20
21
22
Anwendungsaufgaben (Höhenberechnungen)
23
5.1
Einfache Höhenberechnung
23
5.2
Prinzip der gekoppelten Dreiecke
23
5.3
Prinzip der geschachtelten Dreiecke
24
für
5
11
Berechnung von Figuren mit rechtwinkligen Teildreiecken
ww
w
4
10
25
Lösungen
27
DE
MO
Trainingsaufgaben: Dreiecke und Parallelogramme
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Trigonometrie 1 – Geometrie
12
2 Etwas Theorie zur Herleitung einiger wichtiger Werte.
Kosinus
Tangens
0
1
0
1
2
1
2
3
2
O
1
2
2
1
2
O
1
2
3
1
2
O
1
45
60
3
=
1
3
3
1
3
Kein Wert ( ∞ )
0
.m
ath
90
1
d.d
O
30
e-c
O
0
Sinus
e
Man sollte sich folgende Werte merken:
Diese Werte kann man alle unter Anwendung des Satzes von Pythagoras berechnen. Dies wird ab
und zu im Unterricht exemplarisch gezeigt, kann aber auch als Übungs- oder gar Textaufgabe
gestellt werden.
2.1
Die Werte zum Winkel α = 0O macht man sich am besten als Grenzwerte klar:
ww
w
Das Problem liegt nämlich darin: Es gibt kein echtes rechtwinkliges Dreieck mit diesem
Winkel.
C
b
a


c
Es gilt:
sin α =
B
b

A
a
B
c
für
A
C
a
.
c
Verkleinert man a bei gleichbleibendem c, dann wird sinα
immer kleiner. Für a → 0 folgt auch sin α → 0 .
a
b
MO
tan α =
2.2
DE
cos α =
b
c
Verkleinert man a bei gleichbleibendem b, dann wird tanα
immer kleiner. Für a → 0 folgt auch tan α → 0
Verkleinert man a bei gleichbleibendem c, dann nähert sich
b dem Wert von c an, und damit geht
b
c
→ 1 , also cos α → 1
Wenn α → 0 geht, dann geht β → 90O . Das hat zur Folge:
cos β= sin α=
tan β=
Friedrich Buckel
b
→∞
a
a
b
→ 0 , sin β= cos α=
→ 1 und
c
c
weil der Nenner gegen 0 geht.
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2.3
Trigonometrie 1 – Geometrie
13
Nun betrachten wir ein Dreieck mit α = 30O .
D
Ich habe es durch Halbierung eines gleichseitigen
Dreiecks ABD erzeugt.
c
C
Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten
b
a = c2
e
O
d.d
und alle Winkel sind 60 groß.
Durch die Halbierung von A aus sind zwei
30
A
rechtwinklige Dreiecke entstanden mit diesen
O
60
O
B
c
e-c
α = 30O und die Gegenkathete a ist halb so lang wie die Grundseite c.
Eigenschaften:
Die Seite b errechnen wir mit Hilfe des Satzes von Pythagoras:
2
2
.m
ath
c 2 4c 2 c 2 3c 2
c
=
−
=
b2 = c 2 −   = c 2 −
4
4
4
4
2
c
Ergibt:
b2 +   =
c2
2
 
=
b
Nun zieht man teilweise die Wurzel:
3c 2 c
=
3
4
2
O
Damit können wir Sinus, Kosinus und Tangens zu 30 berechnen:
tan30O=
a
=
b
c
2
1
=
3
b
=
c
Erweitert man mit
3
c
2
c
3:
3
=
1
2
3
O
tan30
=
1
=
3
3
3
D
Dasselbe Dreieck hat β = 60 .
O
cos 60O=
tan 60O=
c
2
für
sin60O=
b
= cos30O=
c
c
3
=
1
2
3
c
C
c
2
a
1
= sin30O= =
c
c 2
b
=
2
c
2
c
2
3
=
b
3
30
a = c2
O
60
A
O
B
c
Ein rechtwinkliges Dreieck mit α = 45O ist gleichschenklig!
DE
2.5
c
2
cos30O=
und
ww
w
a c2 1
= =
c c 2
MO
2.4
sin30O=
Nach Pythagoras gilt:
a
a
sin 45O= =
=
c a 2
a2 + a2 = c 2
1
=
2
⇒ c 2 = 2a2 und c = a 2
C
1⋅ 2
1
=
2
2⋅ 2 2
b=a
b a
1
cos 45 = = = sin 45O=
2
c c
2
a
O
a a
tan 45O= = = 1
b a
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45
A
O
c
B
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14
Aus der Tabelle von Seite 12 erkennt man diesen interessanten Zusammenhang:
cos0O = sin90O
Allgemein gilt:
(
)
(
)
cos30O = sin60O
=
cos α sin 90O − α
cos 45O = sin 45O
=
sin α cos 90O − α
cos90 = sin0
O
e
C
cos 60O = sin30O
b

O

c
e-c
A
a
d.d
2.6
Trigonometrie 1 – Geometrie
B
Den Grund für diese Beziehungen erkennt man schnell am rechtwinkligen Dreieck:
Beispiele:
a
= cos β
c
und es ist α + β =
90O also gilt=
β 90O − α
O
O
O
O
sin 25 = cos 65
sin 58 = cos 32
O
O
cos 44 = sin 46
O
O
DE
MO
für
ww
w
cos 12 = cos 78
usw.
.m
ath
sin α=
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Trigonometrie 1 – Geometrie
15
3 Aufgaben und Beispiele zur
Berechnung rechtwinkliger Dreiecke
Grundaufgabe 1: Gegeben 1 Kathete und die Hypotenuse
Will man α berechnen, muss klar sein,
b
dass dann a dazu die Gegenkathete ist.
c ist immer die Hypotenuse, wenn γ = 90 ist.
⇒ α ≈ 22,0 .
O

c
B
Um b zu berechnen (b ist die Ankathete) hat man zwei Möglichkeiten
1. mit der Kosinusfunktion
cos  
b
c
.m
ath
2. Schritt:
A
e-c
Dann gilt:
a

O
a
sin α =
c
C
d.d
1. Schritt:
e
Beispiel 1: Gegeben sind die Seiten c = 8,0 cm, a = 3,0 cm.
2. mit der Tangensfunktion:
 b  c  cos   7, 4 cm
a
b
 b
a
tan 
 7, 4 cm
  90    68,0 .
o
o
ww
w
Schließlich fehlt noch der 2. Winkel:
tan  
Beispiel 2: Gegeben sind die Seiten c = 7,0 cm, b = 5,0 cm.
1. Schritt: Berechnung von α :
o
cos   b
c    44, 4
Daraus folgt β :
für
2.
oder
  90    45, 6
o
a
b
tan  
DE
MO
Daraus folgt α :
o
o
Berechnung von a:
sin   ac
a  b  tan 
a  c  sin 
o
sin   b
c    45, 6
  90    44, 4
o
3. Schritt:
Berechnung von β :
cos   ac
tan   b
a
a  c  cos 
b
a  tan

Alle vier Berechnung führen zu a ≈ 4,9 cm .
Hinweis: Man einigt sich meistens darauf, statt ≈ das Gleichheitszeichen zu verwenden.
Man erkennt, wie viele Möglichkeiten diesen Methoden bieten!
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Trigonometrie 1 – Geometrie
16
C
Gegeben sind beide Katheten
b
Beispiel 3: Gegeben sind die Seiten a = 8,0 cm, b = 3,0 cm.
tan α = ba
2. Schritt:
Berechnung von α
⇒ α = tan−1
tan β =
O
Berechnung von β
c = 8,5 cm .
Gegeben sind 1 Winkel und eine Kathete
a berechnen
a
b
⇒ a=
b ⋅ tan β
b
a
für
cos β =
⇒ c
MO
a
c
a
=
sin α
Beispiel 5:
1. Schritt:
b
c
oder
sin β =
b
c
b
⇒ c=
sin β
a berechnen:
a
c
sin α = ac
⇒ a =c ⋅ sin α
cos β = ac
⇒ a = c ⋅ cos β
a  8,3 cm, c  10, 6 cm
Gegeben sind 1 Winkel und die Hypotenuse
DE
Grundaufgabe 4:
cos α =
bzw.
a
=
cos β
Ergebnisse:
c berechnen
a
⇒ c=
sin α
b
⇒ a=
tan β
c berechnen
sin α =
o
oder
tan β =
oder
O
ww
w
o
tan α =
cos β = ac
a
⇒ c=
cos β
b
c
b
⇒ c=
sin β
b
⇒ c=
cos α
Aus α wird β berechnet:   90    38
⇒ c
e-c
sin β =
b
c
Gegeben sind b = 6,5 cm und  = 52
3. Schritt:
O
.m
ath
cos α =
Grundaufgabe 3:
2. Schritt:
( 38 ) = 20,6
α= 90O − β= 69,4O
Ergebnis in jedem Fall:
1. Schritt:
⇒ β = tan−1
Berechnung von c: (Eine von 4 Möglichkeiten):
sin α = ac
a
⇒ c=
sin α
Beispiel 4
b
a
Berechnung von α :
β=
90O − 69,4O =
20,6O
3. Schritt:
B
Berechnung von β :
oder:
( 83 ) = 69,4
c
A
d.d
1. Schritt:
a


e
Grundaufgabe 2:
O
Gegeben sind c = 10,0 cm und α = 53
Aus α wird β berechnet:   90    37
o
cos α = bc
sin α = ac

→ ⇒ b=
c ⋅ cos α
c ⋅ sin α ←
2./3. Schritt: ⇒ a =

b = 6,0 cm
a = 8,0 cm
o
oder
cos β = ac
sin β = b

→ ⇒ a=
⇒ b=
c ⋅ sin β ←
c ⋅ cos β

b = 6,0 cm
a = 8,0 cm
Trainingsaufgaben auf Seite 25
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4
Trigonometrie 1 – Geometrie
17
Berechnung von Figuren mit rechtwinkligen Teildreiecken.
C
4.1 Gleichschenklige Dreiecke
Gegeben: b = 8,0 cm,   70 .
o
Beispiel 1:
Stelle eine Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes
nur aus den gegebenen Größen b und
α
auf.
A
Lösung:
h


B
D
c
2
Die Höhe zur Grundseite zerlegt ABC in zwei rechtwinklige Teildreiecke.
e-c
a)
ab
b
e
b)
Berechne die Grundseite c und die Höhe h.
d.d
a)
Im Teildreieck ADC ist b die Hypotenuse, weil b dem rechten Winkel gegenüber liegt.
Daher gilt:
c
c
2
=
=
⇒
AC b 2b
AD
.m
ath
cos α =
ACHTUNG: Keine Doppelbrüche
verwenden. Steht im Zähler ein Bruch,
dann schreibt man ihn ganz normal in den
c = 2b ⋅ cos α ≈ 5,5 cm
Wegen der Symmetrie ist a = c .
Hauptbruch:
 berechnet man über die Winkelsumme:
Den Winkel
0
0
o
   180  2  40
o
ww
w
      180 , d.h. 2    180
Die Höhe hc = CD ist im Teildreieck ACD eine Kathete, und zwar die Gegenkathete zu  :
sin=
α
b)
h
b
⇒
h= b ⋅ sin α
Damit erstellt man die Formel für den Flächeninhalt:
1
2
c  hc sowie c  2b  cos  und h  b  sin  folgt:
für
Aus A 
A  21 c  hc  21  2b
cos
sin

  b
 
  b2  sin   cos 


c
hc
A = 20, 6 cm
MO
Der Taschenrechner liefert das Ergebnis
2
C
Beispiel 2: Gegeben: c = 15,0 cm,   48,0 .
o
DE
Berechne b und stelle eine Formel für den Flächeninhalt
in Abhängigkeit von c und α auf.
Im rechtwinkligen Teildreieck ADC gilt:
cos  
c
2
b

c
2b
 b
c
2  cos 
 11, 2 cm .
b
hc

ab

c
2
A
D
hc
Höhe: tan α =
c
c
⇒ hc =
⋅ tan α ≈ 8,33 cm
2
2
2
Dreiecksinhalt:
Friedrich Buckel
A =
1
c
2
⋅ hC
= 21 c ⋅ c2 ⋅ tan α
A =
c
⋅ tan α
4
A= 62,47 cm2
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B
Trigonometrie 1 – Geometrie
21
DE
MO
für
ww
w
.m
ath
e-c
d.d
e
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Trigonometrie 1 – Geometrie
22
Trainingsaufgaben 5
Berechne die fehlenden Stücke eines rechtwinkligen Dreiecks ( γ = 90O ) zu:
Es gibt verschiedene Wege, hier wird nur ein Lösungsbeispiel gezeigt.
Versuche, möglichst nur die gegeben Stücke zu verwenden, aber nicht den „Pythagoras“.
tan β =ba
⇒ c=
a
cos β
= 59,64 cm
A
⇒ β= 90O − α= 58O
cos α =bc ⇒ b =
c ⋅ cos α =
5,43 cm
c)
=
a 6,0
=
cm und b 2,5 cm
tan α =
a
b
6
⇒ α = tan−1 ( 2,5
) = 67,4O
sin α =
a
c
⇒ c=
a
c
⇒ c=
a
sin α
tan α =
a
b
⇒ b=
a
tan α
= 138,0 cm
⇒ α = sin−1 ( 15,8
= 40,6O
24,2 )
⇒ β = 49,4O
für
a
c
⇒ β= 90O − α= 49O
= 182,9 cm
e)
=
a 15,8
=
m und c 24,3 m
sin α =
B
⇒ β = 22,6O
= 6,50 cm
d)
=
a 120,0
=
cm und α 41,0O
sin α =

ww
w
a
sin α
c
a
.m
ath
sin α =ac ⇒ a =
c ⋅ sin α =
3.39 cm
C
b

⇒ b=
a ⋅ tan β =
36,72O
O
b)
=
α 32,0
=
und c 6,4 cm
d.d
cos β =
a
c
⇒ α= 60O − β= 52O
e-c
a)
=
a 47,0
=
cm und β 38,0O
e
Wenn man eine (falsch) berechnete Größe weiter verwendet, hat man ein Problem!
cos α =bc ⇒ b =
c ⋅ cos α =
18,5 cm
sin β =
b
c
MO
f)
=
b 39,2
=
km und c 56,4 km
39,2
⇒ β = sin−1 ( 56,4
) = 46,0O
⇒ α = 44,0O
DE
cos β =ac ⇒ a =
c ⋅ cos β =
39,2 km
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Trigonometrie 1 – Geometrie
23
Trainingsaufgaben 6
Berechne p, q und h im Dreieck ABC
C
•
α
α = 480 und a = 8,2 cm
A
β= 90 − α= 42
O
sin β =ha
⇒ p=
a ⋅ cos β =
6,1 cm
tan α =
h
q
⇒ q=
Alternativ zuerst:
h
tan α
= 4,9 cm
sin α =
⇒ c=
a
c
p
β
B
8.2
sin48
= 11,0 cm
.m
ath
d2)
p
D
c
⇒ h=
a ⋅ sin β =
5,5 cm
cos β =a
q
e-c
O
h
d.d
d1)
a
b
e
(1) trigonometrisch und
(2) mit Kathetensatz und Höhensatz (falls möglich)
2
Dann mit dem Kathetensatz: a2 =c ⋅ p ⇒ p =ac =6,1 cm
q = c − p = 11 cm − 6,1 cm = 4,9 cm
und mit dem Höhensatz:
e1)
c = 16,0 cm und α = 84O
h2 = p ⋅ q ⇒ h = p ⋅ q = 5,5 cm
⇒ β=
6O
ww
w
und
sin α =ac ⇒ a =
c ⋅ sin α =
15,9 cm
p
cos β =a
⇒ h=
a ⋅ sin β =
1,7 cm
DE
MO
für
sin β =ha
⇒ p=
a ⋅ cos β =
15,8 cm , a = c − p = 0,2 cm
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