Version Skript Version 07.01.09 (nur Kapitel 1-4.7 und Anhang A1-A3)

Skript zur Vorlesung
Physik 1 für Maschinenwesen
Wintersemester 2010/2011
Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum
Technische Universität München
Lehrstuhl für Funktionelle Materialien
Physik Department E 13
II
Physik 1 für Maschinenwesen
Zeit und Ort: Do 17:15 - 18:45, MW 2001
Literatur
Paul A. Tipler, Gene Mosca, Dietrich Pelte, Physik für Wissenschaftler und Ingenieure, 6.
Aufl. Spektrum Akademischer Verlag 2009, ISBN-10: 382741945X (79,95 Euro)
Ekbert Hering, Rolf Martin, Martin Stohrer, Physik für Ingenieure, 10. Aufl. Springer Verlag 2007, ISBN-10: 3540718559 (44,95 Euro)
Frank L. Pedrotti, Leno S. Pedrotti, Werner Bausch, Hartmut Schmidt, Optik für Ingenieure: Grundlagen, 4. Aufl. Springer Verlag 2007, ISBN-10: 3540734716 (74,95 Euro)
Übungen
Übung 1: Mo 12:30 - 14:00,
Raum PH HS2
Übung 2: Mi 13:15 - 13:45,
Raum MW 0350
Übung 3: Mi 14:00 - 15:30,
Raum MI HS2
Übung 4: Do 08:15 - 09:45,
Raum MW 0350
Übung 5: Do 10:15 - 11:45,
Raum MW 1801
Übung 6: Fr 09:00 - 10:30,
Raum CH 26411
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jede Woche ein Blatt mit Aufgaben
Blatt zum Download im Internet
Besprechung der Aufgaben in der darauffolgenden Woche
Übungsaufgaben als Training für die Klausur und Verständnis
Sprechstunden
Koordinatorsprechstunde: Di 17:00 - 19:00, Raum PH 3734
Nachhilfesprechstunde: Mi 15:00 - 17:00 und Fr 15:00 - 17:00, Raum PH 3742
Dozentensprechstunde: nach Vereinbarung, Raum PH 3278
Internetseiten
http://www.e13.physik.tu-muenchen.de/Muellerb/index.php
http://av.ph.tum.de/
c
Lehrstuhl
E13, TUM, 2010
III
Klausur
im Anschluss an die Vorlesungszeit - weitere Informationen später
(nicht-programmierbarer Taschenrechner)
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Lehrstuhl
E13, TUM, 2010
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Naturwissenschaften . . . . . . .
1.2 Was ist Physik? . . . . . . . . . .
1.2.1 Gebiete der Physik . . . .
1.2.2 Physikalische Größen . . .
1.3 Messgenauigkeiten und Messfehler
1.4 Koordinatensysteme . . . . . . .
1.5 Grundlagen der Mechanik . . . .
1.5.1 Newton ’sche Axiome . . .
1.5.2 Verschiedene Kräfte . . . .
1.5.3 Überlagerung von Kräften
1.5.4 Reibungskräfte . . . . . .
1.5.5 Bezugssysteme . . . . . .
1.5.6 Energieerhaltung . . . . .
1.5.7 Impulserhaltung . . . . . .
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2 Schwingungen und Wellen
2.1 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Harmonische Schwingung . . . . . . . .
2.1.2 Überlagerung von Schwingungen . . . .
2.1.3 Harmonische Schwingung mit Reibung
2.1.4 Erzwungene Schwingung . . . . . . . .
2.1.5 Gekoppelte Schwingung . . . . . . . .
2.2 Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Harmonische Wellen . . . . . . . . . .
2.2.2 Überlagerung von Wellen . . . . . . . .
2.2.3 Überlagerung von Wellen . . . . . . . .
2.2.4 2d Wellen . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Akustik
3.1 Schallwellen . . . . . . . . . .
3.1.1 Schalldruck . . . . . .
3.1.2 Schalldruckpegel . . .
3.2 Harmonischer Schallgeber . .
3.3 Fourier-Analyse und -Synthese
3.4 Doppler Effekt . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
3.5
Modulationsverfahren . . . . .
3.5.1 Amplitudenmodulation
3.5.2 Frequenzmodulation .
3.5.3 Phasenmodulation . .
V
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4 Optik
4.1 Eigenschaften des Lichts . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Farben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Lichtquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Ausbreitung von Licht . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Reflektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Fermatsches Prinzip . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Snelliussches Brechungsgesetz . . . . . . . .
4.2.5 Totalreflexion . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.6 Umkehrung des Lichtweges . . . . . . . . . .
4.2.7 Planparallele Platte . . . . . . . . . . . . . .
4.2.8 Ablenkung durch ein Prisma . . . . . . . . .
4.3 Geometrische Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Abbildung durch Spiegel . . . . . . . . . . .
4.3.2 Abbildung durch Linsen . . . . . . . . . . .
4.3.3 Linsensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Optische Instrumente . . . . . . . . . . . . .
4.3.5 Abbildungsfehler . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Optik des Auges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Akkommodation des Auges . . . . . . . . .
4.4.2 Kurzsichtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Weitsichtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Optische Phänomene . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Rayleigh-Streuung . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Lichtstreuung an ausgedehnten Objekten . .
4.5.3 Luftspiegelung . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Licht als Anregung des elektromagnetischen Feldes
4.6.1 Elektrisches Feld . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Magnetische Flussdichte . . . . . . . . . . .
4.6.3 Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . .
4.6.4 Energiedichte und Energiefluß . . . . . . . .
4.6.5 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.6 Polarisation durch Reflektion und Brechung
4.7 Wellenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1 Interferenz von Wellen . . . . . . . . . . . .
4.7.2 Der ideale Doppelspalt . . . . . . . . . . . .
4.7.3 Der Einzelspalt . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.4 Der reale Doppelspalt . . . . . . . . . . . .
4.7.5 Mehrfachspalte . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.6 Das optische (Strich-)Gitter . . . . . . . . .
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146
INHALTSVERZEICHNIS
4.7.7
4.7.8
4.7.9
VI
Reflektionsgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Interferenz an dünnen Schichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Auflösungsvermögen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5 Nichtlineare Optik
5.1 Grundlagen der nichtlinearen Optik . . . . . .
5.1.1 Anharmonischer Oszillator . . . . . . .
5.1.2 Elektrische Suszeptibilität . . . . . . .
5.1.3 Elektromagnetische Welle im Medium .
5.2 Nichtlineare optische Effekte . . . . . . . . . .
5.2.1 Frequenzverdopplung . . . . . . . . . .
5.2.2 Phasenkopplung . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Summenfrequenzmischung . . . . . . .
5.2.4 Parametrischer Prozess . . . . . . . . .
5.2.5 Prozesse dritter Ordnung . . . . . . . .
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A Ergänzung zu elektromagnetischen Wellen
A.0.6 Maxwellsche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.0.7 Elektromagnetische Welle im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . .
A.0.8 Ausbreitung elektromagnetischer Wellen . . . . . . . . . . . . . . .
169
169
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172
B Mathematische Ergänzung
B.1 Differenzialgleichungen (DGLs) . . . . . . . . . . . . . .
B.1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.2 Integrierbare DGLs . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.3 Lineare, homogene DGLs, verschiedene Nullstellen
B.1.4 Lineare, homogene DGLs, mehrfache Nullstellen .
B.1.5 Lineare, homogene DGLs, komplexe Nullstellen .
B.1.6 Lineare, inhomogene DGLs . . . . . . . . . . . . .
B.1.7 Nichtlineare DGLs, Trennung der Variablen . . .
B.2 Mehrfachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3 Grundbegriffe der Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . .
B.3.1 Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . .
B.3.2 Eigenschaften von Differenzialoperatoren . . . . .
B.3.3 Helmholtzscher Hauptsatz der Vektoranalysis . .
B.3.4 Integralsätze für Vektorfelder . . . . . . . . . . .
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Kapitel 1
Einleitung
Der Mensch ist von Natur aus neugierig und trachtete schon immer danach, die ihn umgebende Welt zu verstehen. Solange es Aufzeichnungen gibt, suchen wir nach Wegen, die
verwirrende Vielfalt von Ereignissen, die wie beobachten, zu ordnen. Wissenschaft ist ein
Prozess der Suche nach allgemein gültigen Grundprinzipien, die Ursache und Wirkung im
Universum bestimmen. Die wissenschaftliche Methode besteht darin, nachprüfbare Modelle zu formulieren, sie zu testen und miteinander zu verknüpfen. Ziel dieser Modelle ist
es, die Realität zu beschreiben, zu erklären und vorauszusagen. Diese Methode umfasst
das Aufstellen von Hypothesen, das Durchführen wiederholbarer Experimente und Beobachtungen und, ausgehend davon, das Aufstellen neuer Hypothesen. Die Hauptkriterien,
die den Wert eines wissenschaftlichen Modells ausmachen, sind seine Einfachheit und der
Grad, in dem es genutzt werden kann, um zutreffende Voraussagen zu machen oder eine
breite Vielfalt beobachteter Erscheinungen zu erklären.
In diesem Kapitel wollen wir beginnen, uns auf die Beantwortung einiger dieser Fragen
vorzubereiten. Zunächst betrachten wir dazu die dabei verwendeten Maßeinheiten und
Größenordnungen. Außerdem gehört zu jeder Messung eine Angabe der Genauigkeit. Wenn
auf einer Getränkeflasche 0.7 Liter steht, bedeutet das noch lange nicht, dass diese Flasche
genau 0.7 Liter enthält.
1.1
Naturwissenschaften
Die Wissenschaft stellt sich uns heute in Form verschiedener getrennter Teilbereiche dar.
Allerdings geht diese Aufspaltung im Wesentlichen erst auf das 19. Jahrhundert zurück.
Die Aufteilung komplizierter Systeme in Teilsysteme, welche sich einfacher untersuchen
lassen, ist einer der größten Erfolge der Wissenschaft überhaupt. So untersucht die Biologie beispielsweise lebendige Organismen. Die Chemie behandelt die Wechselwirkung von
Elementen und Verbindungen. Die Geowissenschaften beschäftigen sich mit der Erde, und
die Astronomen untersuchen das Sonnensystem, die Sterne und die Galaxien sowie das
Universum als Ganzes. Die Physik ist die Wissenschaft der Materie und der Energie, des
Raums und der Zeit. Sie behandelt die Prinzipien der Bewegung von Teilchen und Wellen,
der Wechselwirkungen von Teilchen und der Eigenschaften von Molekülen, Atomen und
Atomkernen, aber auch von größeren Systemen wie Gasen, Flüssigkeiten und Festkörpern.
1
1.2. WAS IST PHYSIK?
2
Da die Prinzipien der Physik die Grundlage für alle anderen Gebiete der Wissenschaft
bilden, betrachten manche gar die Physik als die grundlegende Wissenschaft schlechthin.
Heute gibt es wieder viele Grenzbereich zwischen diesen Disziplinen (wie z.B. Polymere,
Biophysik), in denen Forschungsfelder Inhalte aus verschiedenen Teilbereichen umfassen
(z.B. Polymere aus Physik, Chemie, Materialwissenschaften und Ingenieurwissenschaften).
1.2
Was ist Physik?
Die Physik ist die Wissenschaft von den Eigenschaften und Zustandsformen, dem inneren
Aufbau (“Struktur”) und den Bewegungen der unbelebten Materie, den diese Bewegungen hervorgerufenden Kräften oder Wechselwirkungen und den dabei wirkenden Gesetzmäßigkeiten.
1.2.1
Gebiete der Physik
Die Gebiete, mit denen sich die Physiker Ende des 19. Jahrhunderts vorrangig beschäftigten
- Mechanik, Hydrodynamik, Thermodynamik (Wärme), Akustik (Schall), Optik (Licht),
Elektrizität und Magnetismus -, werden üblicherweise als klassische Physik bezeichnet.
Die klassische Physik ist unumgänglich für das Verständnis der makroskopischen Welt, in
der wir leben. In dem ersten Teil der Vorlesung werden die Gebiete Akustik und Optik
ausführlich behandelt.
Die von Albert Einstein 1905 veröffentlichte spezielle Relativitätstheorie widersprach
schließlich sogar Galileis und Newtons Vorstellungen von Raum und Zeit. Zudem schlug
Einstein im gleichen Jahr vor, dass die Lichtenergie quantisiert sein sollte. Licht sollte also
nicht, wie in der klassischen Physik angenommen, wellenförmig und kontinuierlich sein,
sondern aus diskreten Lichtpaketen bestehen. Die Verallgemeinerung dieser Erkenntnis
zur Quantisierung aller Arten von Energie ist die Grundidee der Quantenmechanik. Sie
führt zu zahlreichen verblüffenden und bedeutsamen Folgerungen.
Die Anwendung der speziellen Relativitätstheorie und insbesondere der Quantentheorie auf mikroskopische Systeme wie Atome, Moleküle und Kerne wird als moderne Physik
bezeichnet. Sie hat zu einem tief greifenden Verständnis von Festkörpern, Flüssigkeiten
und Gasen geführt. Im zweiten Teil der Vorlesung erfolgt eine Einführung in die Gebiete
der Atom-, Molekül- und Kernphysik.
Experimentalphysik, so der Titel dieser Vorlesung, basiert auf physikalischen Experimenten. Ein Experiment ist die Messung von physikalischen Größen. Zur Quantifizierung dieser Messgrößen werden Maßeinheiten benötigt.
Erkenntnisprozess
Der physikalische Erkenntnisprozess basiert auf einer Beobachtung oder einem physikalischen Experiment. Ziel ist es, zu Gesetzmäßigkeiten und Vorhersagen zu gelangen:
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1.2. WAS IST PHYSIK?
3
Experiment, Beobachtung
↓
Modellvorstellung
Mathematische Beschreibung
(Mathematik als Sprache der Physik)
↓
Physikalische Theorie
↓
Gesetzmäßigkeiten
Vorhersagen
1.2.2
Physikalische Größen
Die Ergebnisse einer Messung werden in Anzahl der Einheiten einer für das Problem geeigneten Größe angegeben:
G = {G} · [G] mit Zahlenwert {G} und Einheit [G].
Ein gleicher Zahlenwert ergibt mit einer anderen Einheit eine vollständig andere Größe
und führt somit zu einem Fehler. Nehmen wir das Beispiel der Geschwindigkeit v = 1 m/s
= 3.6 km/h. Damit ist entweder {G} = 1 und [G] = m/s oder {G} = 3.6 und [G] = km/h.
Wir unterscheiden sogenannte Basiseinheiten, die durch Sätze definiert sind, und abgeleitete Einheiten, die mittels Formeln auf die Basiseinheiten zurückgeführt werden können.
SI-Einheiten
Mit der Einführung des Sytème International d’ Unités (in allen Sprachen mit SI abgekürzt)
im Jahr 1960 endete die jahrhundertelange Suche nach einem weltweit einheitlichen System
der Maßeinheiten.
Die sieben SI-Basiseinheiten sind:
• das Meter (m) als Einheit der Länge
• das Kilogramm (kg) als Einheit der Masse
• die Sekunde (s) als Einheit der Zeit
• das Ampere (A) als Einheit der elektrischen Stromstärke
• das Kelvin (K) als Einheit der thermodynamischen Temperatur
• das Mol (mol) als Einheit der Stoffmenge
• die Candela (cd) als Einheit der Lichstärke
In Deutschland sind die SI-Einheiten als gesetzliche Einheiten für den amtlichen und
geschäftlichen Verkehr eingeführt. Historisch gibt es andere Einheitensysteme, die sich zum
Teil heute noch finden. Zu diesen zählt zum Beispiel das Cgs-System (Einheiten Zentimeter,
Gramm, Sekunde, ...). Vor allem in der Atomphysik ist das Cgs-System noch gebräuchlich.
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1.2. WAS IST PHYSIK?
4
Es sei daran erinnert, daß Winkel im Grad- oder im Bogenmaß angegeben werden. Das
Bogenmaß ist das Verhältnis des Kreisbogens über dem Winkel zum Radius des Kreises.
Es ist also eine dimensionslose Zahl, es trägt den Namen Radiant (rad).
Die abgeleiteten SI-Einheiten werden kohärent aus den Basiseinheiten abgeleitet. Das
heißt, es werden keine Umrechnungsfaktoren benötigt. Schlichtes Muliplizieren oder Dividieren von Basiseinheiten genügt.
z.B. Geschwindigkeit v: [v] = m/s
Kraft F : [F ] = N (Newton) = m · kg/s2
Um die Zahlenwerte in einer praktikablen Größenordnung zu halten, wurden Vorsätze
zur Bezeichnung dezimaler Vielfache und Teile von Einheiten geschaffen.
Da die Grundeinheiten extrem variieren können, je nachdem, ob atomare oder kosmologische Effekte beschrieben werden, ist es üblich, den Maßeinheiten folgende SI-Vorsätze
voranzustellen:
SI-Vorsätze
Potenz Name Zeichen
Potenz Name Zeichen
1024
Yotta
Y
10−1
Dezi
d
1021
Zetta
Z
10−2
Zenti
c
1018
Exa
E
10−3
Milli
m
1015
Peta
P
10−6
Mikro µ
1012
Tera
T
10−9
Nano
n
109
Giga
G
10−12
Piko
p
106
Mega
M
10−15
Femto f
103
Kilo
k
10−18
Atto
a
102
Hekto h
10−21
Zepto
z
101
Deka
10−24
Yokto y
da
Basiseinheiten: Länge
Länge (= Weg x, s) - Einheit ist das (der) Meter
Vor 1799 war der Meter als der 10 millionste Teil der Distanz Nordpol-Äquator definiert.
Auf Grund dieser Definition wurde in Sevres ein Stab aus Platin und Iridium hergestellt
und aufbewahrt, der bis 1960 als Urmeter diente. Seit 1983 wird der Meter auf die Lichtgeschwindigkeit c = 299’792’458 m/s und eine Zeitmessung zurückgeführt.
Versuch # 1015: Verschiedene Längenmesser
Michelson Interferometer: Eine He-Ne-Laser-Lichtquelle wird mit einer kurzbrennweitigen
Linse (Mikroskopobjektiv 10x) stark divergent gemacht und damit das Interferometer beleuchtet. Das Bild besteht dann aus konzentrischen Kreisen, die über eine Mattscheibe und
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1.2. WAS IST PHYSIK?
5
die Fernsehprojektion gezeigt werden. Man zeigt die Empfindlichkeit durch Drehen an der
Mikrometerschraube des Interferometers. Neue Kreise quellen aus der Mitte heraus oder
verschwinden in ihr.
Längenmessung:
•
•
•
•
Maßstab
Schiebelehre mit Nonius
Mikrometerschraube
Michelson Interferrometer
Auch die Messung der Länge kann auf die Abzählung von Perioden zurückgeführt werden. Ist die Wellenlänge durch einen elementaren Prozess definiert, z.B. den Übergang
eines Atoms zwischen zwei Zuständen, dann liefert, bei Wahl einer möglichst kurzen Wellenlänge als Längeneinheit, deren Abzählung entlang der zu messenden Strecke die genaueste Längenangabe. Tatsächlich ist das Meter heute auf diese Weise definiert. Hierzu
wird ein jodstabilisierter Helium-Neon-Laser (Wellenlängennormal, PTB Braunschweig)
benutzt.
Definition: 1 m ist die Strecke, die das Licht im Vakuum in 1/299’792’458 s zurücklegt.
Diese Definition ist genau auf 1/100’000’000’000’000 = 10−14 !
Also erfolgt die Definition der Länge eigentlich über eine Zeitmessung: Damit sind die
Zeit und die Länge metrologisch voneinander abhängig! Die Abzählung der Perioden erfolgt mit Hilfe eines Interferometers.
Beispiel typischer Längen:
Durchmesser der Milchstraße ≈ 7 × 1020 m
Abstand Sonne-Erde ≈ 1.5 × 1011 m
Durchmesser der Sonne ≈ 1.4 × 109 m
Durchmesser der Erde ≈ 12700 km
großer Mensch ≈ 2 m
Dicke von Papier ≈ 1 × 10−4 m
Wellenlänge des sichtbaren Lichts ≈ 400 − 700 nm
Abmessung eines Polymermoleküls ≈ 10 nm
Atomdurchmesser ≈ 0.15 nm
Durchmesser eines Atomkerns ≈ 2 − 8 fm
Basiseinheiten: Zeit
Zeit (t) - Einheit ist die Sekunde
Die Zeit wird durch Abzählung der Perioden in periodisch wiederkehrenden Vor-gängen
gemessen. Man denke etwa an die Angabe von Jahren, Tagen oder der Bruchteile von Tagen, den Stunden, Minuten und Sekunden. Periodische Vorgänge sind die Umläufe von
Planeten und Monden. Die Masseinheit der Zeit, die Sekunde (s), war ursprünglich über
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1.2. WAS IST PHYSIK?
6
die Drehung der Erde definiert und entsprach (1/60)(1/60)(1/24) eines mittleren Sonnentags. Die Proble dieser historischen Definition sind: Die Gezeitenreibung reduziert die
Rotationsgeschwindigkeit der Erde. Die Rotationsachse der Erde ändert sich mit der Zeit
und die Masseverteilung der Erde ist nicht homogen (Erde ist keine homogene Kugel).
Versuch # 1000: Verschiedene Zeitmesser
Eine kleine Sanduhr wird im Schatten oder mit der Kamera gezeigt. Die Schwingungen
zweier Stimmgabeln (440 Hz und 1700 Hz) werden über ein Mikrofon aufgenommen und
mit einem Digitalzähler jeweils eine Sekunde lang mehrmals gezählt. Bei einem Sekundenpendel handelt es sich um ein Fadenpendel der Länge 0.994 m mit einer Stahlkugel als
Pendelkörper, welches für eine Halbschwingung genau eine Sekunde benötigt. Man zählt
10 volle Schwingungen und misst die Zeitdauer mit einer elektronischen Stoppuhr. Die
Länge des Pendels ergibt sich aufgrund der Pendellänge l und der Erdbeschleunigung g.
Zeitmessung
•
•
•
•
(Sekunden-)Pendel
Sanduhr
Sonnenuhr
Quarzuhr
Versuch # 1010: Periodischer Vorgang im Oszilloskop
Die Schwingungsdauer einer Stimmgabel (440 Hz) wird von einem Mikrofon aufgenommen
und auf ein Oszilloskop gegeben. Wiedergabe über die Fernsehanlage.
Die Zeitmessung wird zur Abzählung, wenn man die Perioden einer Schwingung zählt,
die in das zu messende Zeitintervall fallen. Zu jedem Zeitintervall kann man die passende
Uhr wählen, deren Periode nicht zu groß sein soll, weil die Standardabweichung des Ergebnisses in der Größenordnung einer Schwingungsdauer liegt. Heute liefert die primäre
Atomuhr CS 2 der PTB in Braunschweig die Sekundenintervalle der gesetzlichen Zeit
(MEZ).
Definition: 1 s ist die Zeit für das 9’192’631’770-fache der Periodendauer der Strahlung beim Übergang zwischen bestimmten Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustands
von Atomen des Nuklids 133 Cs. (Stabilität ca. 2 ·10−14 )
Beispiele typischer Zeiten:
Alter des Universums ≈ (11±3) Gy
Alter der Erde ≈ 4.5 Gy
Lebenserwartung des Menschen ≈ 2.3 × 109 s
1 Jahr = 3.16 ×107 s
1 Tag = 86400 s
Menschlicher Herzschlag ≈ 1 s
Licht benötigt für die Strecke Erde-Mond ≈ 1.3 s
Periode einer Schallschwingung ≈ 50 µs-50 ms
Periode einer Lichtschwingung ≈ 10−15 s
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1.3. MESSGENAUIGKEITEN UND MESSFEHLER
7
Lebenszeit eines top-Quarks ≈ 4 ×10−24 s
Basiseinheiten: Masse
Masse (m) - Einheit ist das Kilogramm
Für die Basiseinheit Masse sind die historische und die heutige Definition identisch. Es
gibt einen nationalen Kilogrammprototyp der Bundesrepublik Deutschland in der PTB in
Braunschweig.
1 kg ist die Masse des internationalen Kilogrammprototyps, einem Zylinder von 39 mm
Höhe und ebenfalls 39 mm Durchmesser aus einer Pt-Ir-Legierung (90% Platin, 10% Iridium, beides Edelmetalle), aufbewahrt beim internationalen Büro für Masse und Gewichte
(BIPM) bei Paris.
Der Schwachpunkt des SI Systems ist die Einheit der Masse, die ursprünglich als Masse eines Kubikdezimeters Wasser eingeführt wurde. Es gibt 6 Ur-kg Stücke, deren Massen
sich aber, vor etwa 100 Jahren aus Platin-Iridium gegossen, aus nicht ganz einsichtigen
Gründen zeitlich verändern. Inzwischen unterscheiden sie sich um 20 σ, wobei σ die Standardabweichung des Messverfahrens ist. Man sucht deshalb nach einer neuen Definition,
etwa über die Masse einer bestimmten Anzahl von Goldionen, weil es von Gold nur ein
Isotop gibt. Die Abzählung kann über den Ionenstrom erfolgen, es wird solange gezählt,
bis ein Goldstück mit wägbarer Masse entstanden ist.
Beispiele typischer Massen:
Sonne ≈ 1.933 ×1030 kg
Erde ≈ 5.97 ×1024 kg
Vollbeladener Jumbojet ≈ 3.86 ×105 kg
Automobil ≈ 1000 kg
Mensch ≈ 80 kg
1 Liter Wasser = 0.99997 kg
Rotes Blutkörperchen des Menschen ≈ 4 × 10−10 kg
Natürliches Uranatom ≈ 3.952565 ×10−25 kg
Protonmasse = 1.67263 ×10−27 kg
Elektronenmasse = 9.10939 ×10−31 kg
1.3
Messgenauigkeiten und Messfehler
Die Aussagen der Naturwissenschaften beruhen auf Beobachtungen, den Messungen. Messwerte können Resultate der Ablesung von Instrumenten oder Skalen sein oder Ergebnisse der
Abzählung irgendwelcher Ereignisse. In jedem Fall muss das Ergebnis einer einzigen Mes-
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1.3. MESSGENAUIGKEITEN UND MESSFEHLER
8
sung - ohne jede weitere Information - als zufällig angesehen werden.
Generell ist jede Messung mit Fehlern behaftet. Daher bedarf es einer Fehlerangabe.
Wir unterscheiden systematische Fehler und statistische Fehler.
Systematische Fehler
Als systematischer Fehler wird die Abweichung einer Messung oder Experimentreihe von
ihrem Erwartungswert bezeichnet. Im Gegensatz zu den (bei Messungen nie ganz vermeidbaren) zufälligen (statistischen) Fehlern, die oft einer Normalverteilung folgen, haben
systematische Fehler Schlagseite, bewirken also einen zu hohen oder zu niedrigen Messwert.
Die Ursachen systematischer Fehler können vielfältig sein und werden meist folgendermaßen klassifiziert:
• Instrumentelle Einflüsse (z. B. ungenaue Justierung bzw. Kalibrierung, lockere Teile
am Messgerät, thermische Ausdehnung von Metallteilen, Parallaxefehler, RichtungsAbweichung von Achsen)
• Persönliche Fehler (z. B. Reaktionszeit bei Stoppung von Zeiten, einseitige kleine
Zielfehler, schräges Ablesen auf Thermometerskala); bei Befragungen Antwortverzerrungen
• Umwelteinflüsse (z. B. Refraktion, unsymmetrische Wirkungen von Temperatur oder
Wind, Vibrationen im Untergrund)
• Sonstige (unerklärliche, nicht-deterministische) Effekte.
Statistischer Fehler
Zufallsfehler oder statistische Fehler sind Messfehler, die eine Zufallsvariation in den Messwerten bewirken. Aufgrund ihrer Zufälligkeit sind sie in Größe und Richtung unvorhersagbar,
und ihr Erwartungswert ist 0. Alle realen Messungen unterliegen dem Einfluss durch Zufallsfehler.
Grundlage der Fluktuationen sind unvermeidliche Wechselwirkungen der Umgebung
mit dem gemessenen Prozess, Ungenauigkeiten des Messgerätes, indirekte Messung, Ungenauigkeit bei der Ablesung oder bei der Interpretation der Ablesungen.
Das arithmetische Mittel x̄ (auch Durchschnitt) ist ein rechnerisch bestimmter Mittelwert. Es ist so definiert für n Messungen mit den Messwerten xAi
n
1 X
x̄ =
xAi
n i=1
.
(1.1)
Das arithmetische Mittel mittelt also bzgl. der arithmetischen Verknüpfung Summe.
Anschaulich bestimmt man mit dem arithmetischen Mittel aus Stäben verschiedener Länge
einen mit einer durchschnittlichen oder mittleren Länge.
Soll ein Zahlenwert eine Situation charakterisieren, dann muß auch die Wahrscheinlichkeit angegeben werden, bei Wiederholung den gleichen oder einen ähn-lichen Wert zu
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1.3. MESSGENAUIGKEITEN UND MESSFEHLER
9
erhalten. Diese Information liefert die Standardabweichung. Um den Betrag des zufälligen
Fehlers abzuschätzen, mit dem die Einzelmessung behaftet sind, berechnet man die
Standardabweichung s der Stichprobe
v
u
u
s=t
n
1 X
(xAi − x̄)2
n − 1 i=1
.
(1.2)
Die korrekte Angabe des Messergebnises bei wenigen Einzelmessungen setzt sich also
aus dem Mittelwert und der Standardabweichung zusammen
s
x = x̄ ± √
n
.
(1.3)
Beispiel: Möwenzählen
Wir betrachten durch ein Fernglas den Himmel und zählen die Möwen in unserem Sichtfeld
zu einer festen Zeit. Die Abbildung 1.1 zeigt das Sichtfeld als schwarzen Kreis zu vier
Zeitpunkten. Von links nach rechts und oben nach unten befinden sich 4, 3, 5 und 6
Möwen innerhalb des Kreises. Damit ist der Mittelwert x̄ =4+3+5+6/4= 4.5 und die
Standardabweichung s = 1.3.
Abbildung 1.1: Beispiel für die Bestimmung eines experimentellen Mittelwerts und der Standardabweichung: Möwenzählen.
Das Ergebnis einer Messung sollte immer der Messwert und der Messfehler mit der
Einheit sein. Oft stellt man allerdings fest, dass nur der Messwert mit der Einheit angegeben wird, nicht aber der Messfehler. Dann liefert die Anzahl der verwendeten Stellen einen
groben Hinweis darauf, wie groß die Unsicherheit in einer Messung ist. Jede zuverlässig
bekannte Stelle mit Ausnahme der Nullen, die die Position des Dezimalkommas angeben,
wird signifikante Stelle genannt. Die Zahl 2.50 besitzt drei signifikante Stellen, 2.503
dagegen vier. Die Zahl 0.00103 besitzt drei signifikante Stellen; die ersten drei Nullen sind
keine, da sie lediglich die Lage des Kommas zeigen.
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1.3. MESSGENAUIGKEITEN UND MESSFEHLER
10
Normalverteilung
Die Normal- oder Gauß -Verteilung (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein wichtiger Typ
kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem zentralen Grenzwertsatz, der besagt, dass eine
Summe von n unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen im Grenzwert n → ∞
normalverteilt ist.
Die Normalverteilung oder Gaußfunktion ist
g(x) =
σ
1
√
−(x − µ)2
exp
2σ 2
2π
(1.4)
mit der Standardabweichung σ um das Maximum µ (arithmetischer Mittelwert).
Zufallsgrößen mit Normalverteilung benutzt man zur Beschreibung zufälliger Be-obachtungsund Messfehler, zufälliger Abweichungen vom Nennmaß bei der Fertigung von Werkstücken
oder der Beschreibung der Brownschen Molekularbewegung.
Abbildung 1.2: Gaußkurve
In der Messtechnik wird häufig eine Normalverteilung angesetzt, die die Streuung der
Messfehler beschreibt. Hierbei ist von Bedeutung, wie viele Messpunkte innerhalb einer
gewissen Streubreite liegen. Die Standardabweichung σ beschreibt die Breite der Normalverteilung. Berücksichtigt man die tabellierten Werte der Verteilungsfunktion, so gelten
näherungsweise folgenden Aussagen:
• 68 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens σ vom Mittelwert
• 95 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens 2σ vom Mittelwert
• 99.8 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens 3σ vom Mittelwert.
Somit kann neben dem Mittelwert auch der Standardabweichung eine physikalische
Bedeutung zugeordnet werden.
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1.4. KOORDINATENSYSTEME
1.4
11
Koordinatensysteme
Alle Berechnungen werden in Koordinatensystemen durchgeführt. Die Wahl des geeigneten
Koordinatensystems kann die Rechnung deutlich erleichtern. Es ist immer zu empfehlen,
das Koordinatensystem an die Symmetrie der Fragestellung (z.B. Kugel - Kugelkoordinaten oder Zylinder - Zylinderkoordinaten) anzupassen. In einem ungünstig gewählten
Koordinatensystem ist die Rechung komplizierter aber natürlich nicht unmöglich.
Ein irgendwie gestalteter Körper in einem realen Experiment wird oft zu einem Massenpunkt idealisiert. Allgemein erfolgt die Beschreibung der Bewegung eines Massenpunktes
zur Zeit t mit Hilfe des Ortsvektors ~r(t).
Kartesische Koordinaten
Das kartesische Koordinatensystem ist uns aus dem täglichen Leben am vertrautesten.
Implizit arbeiten wir normalerweise im kartesischen Koordinatensystem.
Abbildung 1.3: Kartesische Koordinaten
Der Ortsvektor
~r = x~e1 + y~e2 + z~e3
(1.5)
für einen beliebigen Punkt P (x, y, z) im Raum ist durch die drei Basisvektorenp~e1 , ~e2 , ~e3 und
deren Vorfaktoren x, y, z gegeben. Folglich ist der Betrag des Ortsvektors r = x2 + y 2 + z 2
und der Abstand zwischen zwei Punkten (x2 , y2 , z2 ) und (x1 , y1 , z1 )
d=
p
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .
Das Volumenelement ist
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dV = dx dy dz.
(1.6)
1.4. KOORDINATENSYSTEME
12
Zylinderkoordinaten
Zylinderkoordinaten oder zylindrische Koordinaten sind im Wesentlichen ebene Polarkoordinaten, die um eine dritte Koordinate ergänzt sind. Diese dritte Koordinate beschreibt die
Höhe eines Punktes senkrecht über (oder unter) der Ebene des Polarkoordinatensystems
und wird im Allgemeinen mit z bezeichnet. Die Koordinate ρ beschreibt jetzt nicht mehr
den Abstand eines Punktes vom Koordinatenursprung, sondern von der z-Achse.
Abbildung 1.4: Zylinderkoordinaten
Der kartesische Ortsvektor
~r = ρ cos (Φ) ~e1 + ρ sin (Φ) ~e2 + z~e3
(1.7)
für einen beliebigen Punkt P (ρ, Φ, z) in Zylinderkoordinaten im Raum ist durch die drei
Basisvektoren ~e1 , ~e2 , ~e3 p
und deren Vorfaktoren ρ cos(Φ), ρ sin(Φ), z gegeben. Der Betrag
des Ortsvektors ist r = ρ2 + z 2 und der Abstand zwischen zwei Punkten (x2 , y2 , z2 ) und
(x1 , y1 , z1 ) ist
q
d=
ρ21 + ρ22 − 2 ρ1 ρ2 cos (Φ2 − Φ1 ) + (z2 − z1 )2 .
Das Volumenelement ist
(1.8)
dV = dρ ρdΦ dz.
Kugelkoordinaten
Kugelkoordinaten sind im Wesentlichen ebene Polarkoordinaten, die um eine dritte Koordinate ergänzt sind, und zwar in der gleichen Art und Weise, nämlich indem man einen
Winkel υ ∈ [0, π] für die dritte Achse spezifiziert. Diese dritte Koordinate beschreibt den
Winkel zwischen dem Vektor ~r zum Punkt P und der z-Achse. υ ist genau dann null, wenn
P auf der z-Achse liegt.
Der kartesische Ortsvektor
~r = r sin (υ) cos (ϕ) ~e1 + r sin (υ) sin (ϕ) ~e2 + r cos (υ) ~e3
(1.9)
für einen beliebigen Punkt P (ϕ, υ, r) in Kugelkoordinaten im Raum ist durch die drei
Basisvektoren ~e1 , ~e2 , ~e3 und deren Vorfaktoren gegeben. Der Betrag des Ortsvektors ist
|~r| = r und das Volumenelement ist dV = dr rdυ r sin(υ) dϕ.
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1.5. GRUNDLAGEN DER MECHANIK
13
Abbildung 1.5: Kugelkoordinaten
n-dimensionale Polarkoordinaten
Es lässt sich auch eine Verallgemeinerung der Polarkoordinaten für einen n-dimensionalen
Raum mit kartesischen Koordinaten xi ∈ R für i = 1, . . . , n angeben. Dazu führt man für
jede neue Dimension einen weiteren Winkel ϑi ∈ (0, π) ein, der den Winkel zwischen dem
Vektor x ∈ Rn und der Koordinate xi+2 für i = 1...n − 2 angibt.
Eine Umrechnungsvorschrift von diesen Koordinaten in kartesische Koordinaten wäre
dann:
x1
x2
x3
x4
..
.
= r cos ϕ sin ϑ1 sin ϑ2
= r sin ϕ sin ϑ1 sin ϑ2
=
r cos ϑ1 sin ϑ2
=
r cos ϑ2
..
.
xn−1 =
xn
=
···
···
···
···
sin ϑn−3
sin ϑn−3
sin ϑn−3
sin ϑn−3
..
.
sin ϑn−2
sin ϑn−2
sin ϑn−2
sin ϑn−2
r cos ϑn−3 sin ϑn−2
r cos ϑn−2
Diese Polarkoordinaten gehen für den Fall n = 2 in die gewöhnlichen Polarkoordinaten
und für n = 3 in die Kugelkoordinaten über.
1.5
Grundlagen der Mechanik
Die kinematischen Größen Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung sind Vektoren
(Betrag + Richtung) und können wie üblich addiert werden. Dies gilt unter der Annahme,
dass die Bewegung in der einen Richtung keinen Einfluß hat auf die Bewegung in den dazu
senkrechten Richtungen.
Ortsvektor ~r(t)
Geschwindigkeit ~v (t) =
d~r(t) ˙
=~r(t)
dt
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1.5. GRUNDLAGEN DER MECHANIK
Beschleunigung ~a(t) =
14
d~v (t)
d2~r(t) ¨
=
=~r(t)
dt
dt2
Abbildung 1.6: Die Bewegung des Massenpunktes ist eine zeitliche Veränderung der Lage im
Raum. Der Massenpunkt beschreibt eine Bahnkurve ~r(t) (”Weg-Zeit-Funktion”)
Der Koordinatenursprung (math. Kürzel KOU) bezeichnet den Punkt in einem Koordinatensystem, an welchem alle Koordinaten den Wert Null annehmen. Er wird deshalb
häufig auch als Nullpunkt bezeichnet. Der durch einen Ortsvektor beschriebene Aufpunkt
kann durch die Koordinaten eines Koordinatensystems beschrieben werden, wobei der Bezugspunkt des Ortsvektors normalerweise in den Koordinatenursprung gelegt wird.
Freier Fall
Der freie Fall ist ein Beispiel für konstante Beschleunigung bei einer eindimensionalen
Bewegung. In diesem Beispiel wird die Beschleunigung durch die Erdbeschleunigung g
verursacht.
Versuch # 1055: Freier Fall im Vakuum
Das Versuchsgerät ist eine etwa 1 m lange, 5 cm dicke Glasröhre, in der sich ein Kupferpfennig und eine Flaumfeder befinden. Die Röhre ist mit einem verschließbaren Stutzen
versehen, der den Anschluss an eine Vakuumpumpe ermöglicht. Man lässt zunächst die
beiden Gegenstände in der Röhre möglichst frei fallen, indem man die Röhre senkrecht
hält und dann rasch umdreht. Man hört den Pfennig auf dem Röhrenboden aufschlagen
und sieht die Feder nach unten schweben. Nach dem Auspumpen wiederholt man den Versuch. Ein Nacheilen der Feder ist jetzt praktisch nicht mehr festzustellen.
Achtung: Mit der Definition einer y-Achse, die positiv nach oben gerichtet ist, ist die
Erdbeschleunigung nach unten gerichtet
ay = −g .
(1.10)
vy = v0y − gt
(1.11)
Damit folgt für die Geschwindigkeit
c
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1.5. GRUNDLAGEN DER MECHANIK
15
und für den Weg
gt2
.
(1.12)
2
Es gibt also keine Masseabhängigkeit! Alle Körper fallen gleich schnell (im Vakuum). Bedingt durch die Luftreibung entstehen jedoch deutliche Unterschiede beim freien Fall verschiedener Körper (siehe zum Beispiel Fallschirmspringer).
y = y0 + v0y t −
Kreisbewegung
Die Kreisbahn kann als eindimensionale Bewegung aufgefasst werden. Im Gegensatz zur
Bewegung auf geradliniger Bahn zeigen die Vektoren für Beschleunigung und Geschwindigkeit auf der Kreisbahn nicht in die gleiche Richtung. Im wichtigen Spezialfall konstanter
Winkelgeschwindigkeit zeigt der Vektor der Beschleunigung vom Bahnpunkt in radialer
Richtung zum Kreismittelpunkt, während die Tangente im Bahnpunkt die Richtung der
Bahngeschwindigkeit zeigt. Wir betrachten die Bewegung eines Massenpunktes m auf einer
Kreisbahn mit dem Radius r.
Abbildung 1.7: links: Bewegung des Ortsvektors auf einem Kreis mit dem Radius r. rechts:
gleichförmige Kreisbewegung.
Ist bei einer Bewegung die Normalkomponente der Beschleunigung konstant, so handelt
es sich um eine Kreisbewegung. Diese Kreisbewegung wird durch den Radius r und den
Winkel ϕ(t) beschrieben. Die Winkelgeschwindigkeit ist dann
d ϕ(t)
dt
(1.13)
d ω(t)
d2 ϕ(t)
=
.
dt
dt2
(1.14)
ω(t) =
und die Winkelbeschleunigung
α(t) =
Ist gleichzeitig die Tangentialkomponente gleich Null, spricht man von einer gleichförmigen
Kreisbewegung (siehe Abbildung 1.7). Für diese ist
ω(t) =
dN
2π
d ϕ(t)
= 2π
=
dt
dt
T
(1.15)
mit der Anzahl der Umläufe N und der Dauer eines Umlaufs (Periode) T . Aus dieser
errechnet sich die Frequenz der Kreisbewegung zu
f=
c
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1
T
(1.16)
1.5. GRUNDLAGEN DER MECHANIK
16
und entsprechend ist
ω(t) = 2π f .
1.5.1
(1.17)
Newton ’sche Axiome
Kraft und Masse sind mit dem in der Kinematik behandelten Begriff der Beschleunigung,
also der änderung des Bewegungszustandes in Betrag oder Richtung, ursächlich verknüpft.
Dieser Zusammenhang wurde erstmals von Galilei erkannt und in den Newtonschen Axiomen der Mechanik formuliert.
1. Newton’sches Axiom (Trägheitsgesetz)
Ein Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit
weiter, wenn keine resultierende äußere Kraft auf ihn wirkt.
2. Newton’sches Axiom (Grundgesetz der Dynamik)
Ein Körper wird in Richtung der resultierenden äußeren Kraft beschleunigt, die auf
ihn wirkt. Die Beschleunigung ist gemäß F~ges = m~a proportional zur resultierenden
äußeren Kraft F~ges , wobei m die Masse des Körpers ist. Die resultierende äußere
Kraft auf einen Körper ist die Vektorsumme aller Kräfte F~i , die auf ihn wirken
X
F~ges =
F~i = m~a
i
3. Newton’sches Axiom (Reaktionsgesetz, actio = reactio)
(A)
Kräfte treten immer paarweise auf. Wenn der Körper A eine Kraft FB auf den
(B)
Körper B ausübt, wirkt eine gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft FA
von dem Körper B auf den Körper A. Somit gilt:
(B)
FA
(A)
= −FB
Einheit der Kraft ist das Newton (N): Das ist die Kraft, die benötigt wird, der
Masse 1kg die Beschleunigung 1 m/s2 zu erteilen.
1N = 1kg × 1m/s2 = 1m × kg/s2
Versuch # 1095: Trägheit des gedeckten Tisches
Ein kleiner Tisch ist mit einem Kaffeeservice gedeckt. Dann wird die Tischdecke mit einem
Ruck unter dem Geschirr weggezogen.
Das erste Newtonsche Gesetz lautet in seiner Originalformulierung: Corpus omne perserverare in statu suo quiescendi vel novendi uniformiter in directum, nisi quatenus a
viribus impressis cogitur statum illum mutare. Also: Jeder Körper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder gleichförmigen Bewegung, sofern er nicht durch aufgeprägte Kräfte
gezwungen wird, seinen Zustand zu verlassen.
Durch den Ruck am Tischtuch werden dem Geschirr zwar Kräfte aufgeprägt, jedoch ist
die Trägheitskraft des Geschirrs so groß, dass die kurzzeitige Beschleunigung, die das Geschirr durch die Gleitreibung am Tischtuch erhält, nicht ausreicht, um die Trägheitskraft
c
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1.5. GRUNDLAGEN DER MECHANIK
17
zu überwinden. Zieht man zu langsam am Tischtuch so überwiegt die Haftreibung der Gleitreibung. Da diese größer ist wird auch ein größerer Impuls auf das Geschirr übertragen
und bewegt dieses in Zugrichtung mit.
Versuch # 1080: Fallende Schere
Der Versuch soll zeigen, dass in einem frei fallenden System keine Gravitationskräfte mehr
wirken. Der Vorführende stellt sich dazu etwas erhöht in den Lichtstrahl einer Projektionslampe und hält eine Schere so, dass sie aufgrund der Schwerkraft zuklappt, wenn man
sie öffnet. Lässt er sie aber im geöffneten Zustand fallen, so bleibt sie während des Falles
unverändert.
Versuch # 1105: Kraft erezugt Gegenkraft
Das Versuchsgerät besteht aus zwei mit Rädern versehenen Brettern und einem langen
Seil.
Die beiden Wagen werden in etwa 10 m Entfernung voneinander aufgestellt. Zwei Versuchspersonen annähernd gleicher Masse stellen sich auf die Wagen (Massenausgleich eventuell mit Gewichten) und nehmen je ein Seilende in die Hand. Eine Person hält das Seil
nur fest oder bindet es sich um den Leib, die andere zieht. Beide Wagen setzen sich in
Bewegung und treffen sich in der Mitte. Man wiederholt den Versuch mit vertauschten
Rollen mit demselben Effekt.
1.5.2
Verschiedene Kräfte
Den Newton ’sche Axiomen folgend interessieren wir uns also für Kräftegleichgewichte.
Hierzu wollen wir verschiedene Kräfte und deren Ursache kurz rekapitulieren:
Gewichtskraft
Die Gewichtskraft Fg ist die Kraft, mit der ein Körper an seiner Aufhängung zieht oder
auf eine Unterlage drückt. Die Gewichtskraft ist
Fg = m g
(1.18)
mit Fallbeschleunigung g = 9.81 m/s2 .
Auf dem Mond ist die Schwerebeschleunigung geringer als auf der Erde (ca. ein Sechstel). Der Körper ist auf dem Mond also wesentlich leichter, obwohl er die gleiche Masse
hat. Seine Gewichtskraft auf dem Mond entspricht der einer Masse von 16 kg auf der Erde.
Zentripetalkraft
Bei einer Kreisbewegung wirkt die Zentripetalbeschleunigung radial auf den Körper, der die
Kresibahn durchläuft. Die (radiale) Zentripetalbeschleunigung az zwingt den Massenpunkt
auf die Kreisbahn und ist nach Innen gerichtet (sonst würde die Masse m geradeaus fliegen).
Bewegt sich der Körper mit der Bahngeschwindigkeit v so ist die Zentripetalbeschleunigung
az =
c
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dv
v dϕ
=
= vω
dt
dt
(1.19)
1.5. GRUNDLAGEN DER MECHANIK
18
also
v2
= r ω2 .
r
Die Zentripetalkraft zeigt zur Kreismitte und es ist
az = v ω =
Fz = m az = m v ω = m
v2
= m r ω2 .
r
(1.20)
(1.21)
Federkraft
Bisher waren Kräfte die Ursache für eine Änderung des Bewegungszustandes eines Körpers.
Jetzt erlauben wir, dass Kräfte die Form eines Körpers ändern. Beim Dehnen einer Feder
gilt das Hook’sche Gesetz
F~k = −k ~r
(1.22)
oder für den eindimensionalen Fall
Fk = −k x .
(1.23)
k ist die Federkonstante und hat die Dimension kg/s2 . Im Bereich der elastischen Verformung ist Fk proportional zur Auslenkung. Ist die Federkonstante groß so bezeichnen wir
eine Feder als harte Feder und ist sie klein als weiche Feder.
Abbildung 1.8: Feder im Ruhezustand (oben), im komprimierten Zustand (mitte) und im gedehnten Zusatnd (unten).
Versuch # 1115: Dehnung eines Drahtes
Etwa 2 m Kupferdraht (Durchmesser 0.22 mm) werden über zwei Umlenkrollen gelegt und
der Endpunkt mit einem Markierungspfeil versehen, der mitsamt einer Skala über einen
schräg gestellten Overheadprojektor abgebildet wird. An das freie Ende des Drahtes man
nun immer größere Gewichte an. Bis etwa 0.7 kg ist die Dehnung des Drahtes reversibel,
darüber nicht mehr. Die Zerreißgrenze wird mit dieser Anordnung nicht erreicht, wohl aber
mit Stahlfederdraht (Durchmesser 0.2 mm), der bei etwa 8 kg reißt (Vorsicht!).
c
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1.5. GRUNDLAGEN DER MECHANIK
19
Gravitationskraft
Alle Körper des Universums ziehen sich gegenseitig an. Die Gravitationskraft ist eine Anziehungskraft zwischen zwei Massen m1 und m2 , die in Richtung ihrer Verbindungslinie
wirkt. Für große Abstände ist die Annahme der in Punkten konzentrierten Massen immer
gerechtfertigt. Für kugelförmige Massen zeigt die Rechnung als einzige Bedingung, dass
sie sich nicht durchdringen dürfen.
Abbildung 1.9: Die Gravitationskraft wirkt in Richtung der Verbindungslinie der beiden Massen.
Hier gezeigt ist das Beispiel Sonne und Erde.
In vektorieller Schreibweise ist die Gravitationskraft
m1 m2 ~r12
F~12 = −F~21 = −G 2
r12 |r12 |
mit dem Richtungsvekor
Auf der Erde ist
~
r12
|r12 |
(1.24)
und der Gravitationskonstante G = 6.673 · 10−11 m3 kg−1 s−2 .
g=
GME
2
RE
.
(1.25)
Daraus folgt ein nominaler Wert von g = 9.81m/s2 . Da die Erde gar keine Kugelform hat,
ist am Äquator g = 9.78m/s2 und am Nordpol g = 9.83m/s2 .
Ebbe und Flut
Regelmässig verändert sich der Meeresspiegel zweimal am Tag. Dabei steigt das Meereswasser (Flut) bis zu einem höchsten Punkt (Hochwasser) und fällt anschließend (Ebbe)
wieder bis zu einem Tiefstand (Niedrigwasser) ab.
• mondnahe Seite der Erde: Anziehungskraft des Mondes > Fliehkraft der Erde: Meerwasser wird zum Mond hingezogen = Flutberg (Zenitflut)
• mondabgewandte Seite der Erde: Fliehkraft der Erde > Anziehnungskraft des Mondes: zweiter Wasserberg (Nadirflut)
• Ebbe herrscht dann in jenen Zonen, die jeweils zwischen den genannten Flutbergen
liegen.
c
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1.5. GRUNDLAGEN DER MECHANIK
20
Abbildung 1.10: Wasserstand als Funktion der Tageszeit. Nominell im Abstand von 6 Stunden
wechseln sich Hoch- und Niedrigwasser ab.
Coulombkraft
Elektrische Ladungen erkennt man durch die Kraftwirkung zwischen ihnen. Wie in der
Mechanik abstrahiert man zunächst die Ladungsverteilung zur Punktladung. Die Kraft F
zwischen zwei Ladungen q1 , q2 im Abstand r12 ist
FC =
1 q1 q2
.
2
4 π ε0 r12
(1.26)
Hierbei ist die Influenzkonstante ε0 = 8.85 × 10−12 C2 /(Nm2 ).
Abbildung 1.11: Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige Ladungen ziehen einander an.
Lorentzkraft
Die Feldstärke eines statischen magnetischen Feldes zeigt sich als Kraftwirkung auf einen
Pol eines magnetischen Körpers, analog zu den Kräften auf Ladungen im elektrischen
oder auf Kräfte auf Massen im Gravitationsfeld. Mit der Lorentzkraft erscheint eine Eigenschaft, die keine Analogie im elektrischen oder im Gravitationsfeld hat: Auf eine in
~ mit Geschwindigkeit ~v bewegte Ladung q, also auf Ströme, wirkt die
einem Magnetfeld B
Lorentzkraft
~ .
F~L = q ~v × B
(1.27)
c
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1.5. GRUNDLAGEN DER MECHANIK
21
Die Lorentzkraft steht senkrecht zur Richtung des Magnetfeldes und senkrecht zur Richtung der Bewegung, also der Geschwindigkeit. Es ist FL = q v B sin (α) mit α dem Winkel
~
zwischen ~v und B.
Die Richtung ergibt sich aus der 3-Finger-Regel (der rechten Hand): zeigt der Daumen
in technische Stromrichtung (von + nach -) und der Zeigefinger in Richtung des Magnetfeldes, dann zeigt der Mittelfinger in Richtung der Lorentzkraft.
Abbildung 1.12: Anwendung der 3-Finger-Regel der rechten Hand
1.5.3
Überlagerung von Kräften
Ein Beispiel zur Kräftezerlegung ist die Bewegung auf einer schiefen Ebene. Es wirkt
einerseits die Schwerkraft senkrecht nach unten, andererseits ist die beschleunigende Kraft
in Richtung der Bahn von Interesse. Die Schwerkraft soll also in eine Komponente in
Bahnrichtung, der Tangentialkraft, und eine Komponente senkrecht dazu, der Normalkraft,
zerlegt werden. Die Letztere bewirkt den Andruck an die Bahn.
Abbildung 1.13: Anwendung der 3-Finger-Regel der rechten Hand
Je größer der Neigungswinkel der schiefen Ebene ist, desto kleiner wird die Normalkraft
FN und desto größer wird die Hangabtriebskraft FH . Eine schiefe Ebene ist ein bewährtes
Hilfsmittel, um schwere Gegenstände zu heben.
c
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1.5. GRUNDLAGEN DER MECHANIK
22
Beispiel: Fadenpendel
Als Beispiel betrachten wir das mathematische Pendel bestehend aus einer punkt-förmigen
Masse und einem unelastischen Faden der Länge l.
Abbildung 1.14: Mathematisches Pendel bestehend aus einem Massepunkt m an einem unelastischen Faden der Länge l. Die Beträge der wirkenden Kräfte sind eingezeichnet. Der tiefste
Punkt sei A und der Punkt maximaler Auslenkung B.
Ein Massepunkt m ist an einem masselosen Faden aufgehängt der m auf eine Kreisbahn zwingt. Auf m wirkt die Gewichtskraft F~g , die in die Teilkräfte Fadenkraft F~f aden
(Führungskraft) und die tangentiale Kraft F~tang aufgeteilt werden kann. F~f aden steht senkrecht zur Bewegungsrichtung und hat keinen Einfluß auf die Geschwindigkeit von m.
F~f aden + F~tang ist die Reaktionskraft auf das Gewicht ms g.
Für die Tangentialkomponente folgt aus dem 2. Newton’sches Gesetz unter Be-rücksichtigung
der Richtung der Gewichtskraft (Minuszeichen)
−ms g sin (ϕ) = mt
d2 s
dt2
(1.28)
mit der Bogenlänge s = lϕ. Die Fadenlänge l ist zeitlich konstant, daher gilt
d2 ϕ
d2 s
=
l
.
dt2
dt2
(1.29)
Da die träge Masse (widersetzt sich der Beschleunigung F = mt a) gleich der schweren
Masse (verantwortlich für Gravitationskraft Fg = −ms g mit der Gravitationskonstante g
= 9.81m/s2 ) ist, folgt die Bewegungsgleichung in Form einer Differentialgleichung (DGL)
durch Einsetzen von Gleichung 1.29 in Gleichung 1.28:
ϕ̈ +
c
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g
sin(ϕ) = 0
l
.
(1.30)
1.5. GRUNDLAGEN DER MECHANIK
23
Die exakte Lösung dieser Differentialgleichung ist jedoch sehr kompliziert und nur in der
Abbildung 1.15 dargestellt. Die Lösung der exakten DGL führt über elliptische Integrale
zu einer Amplitudenabhängigkeit von T und zu sogenannten Solitonen.
Abbildung 1.15: Übergang zu großen Auslenkungen beim Fadenpendel für verschiedene Maximalamplituden: oben) Periode T normiert auf die Periode der hamonischen Schwingung, unten)
Abweichung der Schwingungsform von dem sinusförmigen Verlauf bei kleinen Auslekungen. Quelle: www.physik.unizh.ch
Für eine analytische Lösung benötigen wir eine weitere Vereinfachung. Wir beschränken
uns auf sehr kleine Auslenkungen ϕ des Fadenpendels, für die näherungs-weise sin (ϕ) ≈ ϕ
gilt und erhalten die vereinfachte Differentialgleichung (DGL):
ϕ̈ +
g
ϕ=0
l
.
(1.31)
Diese Differentialgleichung hat als Lösung eine Sinus- oder Cosinusfunktion, z.B.
ϕ(t) = ϕ0 cos(ω0 t + ∆)
(1.32)
ϕ(t) = ϕ0 sin(ω0 t + ∆)
(1.33)
oder
mit der Anfangsauslenkung ϕ0 und der Phase ∆ abhängig von den Anfangsbedingungen
(Randbedingungen für DGL). Die (Kreis-)Frequenz der Schwingung ist (siehe Abbildung
1.16)
p
ω0 = (g/l)
(1.34)
c
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1.5. GRUNDLAGEN DER MECHANIK
24
Abbildung 1.16: Sinusförmige periodische Bewegung mit (Kreis-)Frequenz ω und zugehörige
Kresibewegung.
Damit ist die Schwingungsperiode zur Frequenz f gegeben durch
s
l
2π
1
= 2π
.
T = =
f
ω
g
(1.35)
Wie man sieht, ist die Schwingungsperiode unabhängig von der Masse m. Für beispielsweise l = 1 m und g = 9.81 m/s2 erhält man T /2 = 1 s.
Versuch # 1085: Äquivalenz von schwerer und träger Masse
Zwei Fadenpendel gleicher Länge (etwa 1 m), aber sehr unterschiedlicher Massen werden etwa im Abstand von 60 cm voneinander aufgehängt. Die Pendelmassen sind zwei gleichgroße
Kugeln aus Plastik bzw. Gusseisen. Ihre unterschiedliche Masse wird nach dem Versuch
mit einer Waage gezeigt. Man versetzt die beiden Pendel in gegenphasige Schwingungen
und beobachtet die Erhaltung der Gegenphasigkeit über mehr als 10 volle Schwingungen.
1.5.4
Reibungskräfte
Als Reibung bezeichnet man den Widerstand, der in der Berührungsfläche zweier Körper
bei ihren relativen Bewegungen zueinander auftritt. Ursache für diesen Widerstand sind
einerseits Kräfte zwischen den Molekülen beider Flächen, andererseits räumliche Hindernisse. Vorsprünge des einen hängen in Vertiefungen des anderen Materials. Physikalisch wird
die Reibung durch eine Mass zahl für die zur Bewegung erforderliche Kraft repräsentiert.
Reibung verlangsamt die Bewegungen (oder dämpft eine Schwingungen). Folglich ist die
Reibungskraft F~R zu der Geschwindigkeit ~v entgegengestzt und es gilt mit der Reibungskonstante ks
F~R = −ks ~v .
(1.36)
c
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1.5. GRUNDLAGEN DER MECHANIK
25
Man unterscheidet 3 verschiedene Arten von Reibung:
Haftreibungskraft FRH
Der Körper ruht. Erst wenn die angreifende Kraft größer als die Haftreibungskraft F >
FRH = µH FN ist, wird der Körper beschleunigt.
Gleitreibungskraft FRG
Der Körper ist in Bewegung und gleitet auf einer Unterlage. In diesem Fall wirkt die Gleitreibungskraft FRG = µG FN entgegen der Bewegungsrichtung.
Rollreibungskraft FRR
Der Körper rollt auf einer Unterlage (Kontaktfläche zwischen Körper und Unterlage ist
klein). In diesem Fall wirkt die Rollreibungskraft FRR = µR FN entgegen der Bewegungsrichtung.
Versuch # 1145: Haftreibung am Steilhang
Zwei Holzkeile (ca. 60 Grad), deren Steilflächen mit verschiedenen Materialien beklebt
sind, werden mit diesen Flächen aufeinander gestellt. Holz auf Holz rutscht bereits bei 30
Grad, Filz auf Filz jedoch erst bei 60 Grad und Antirutschmatte auf Antirutschmatte kann
man bei 60 Grad sogar noch mit 2 kg belasten.
Abbildung 1.17: Mikroskopische Betrachtung der Reibung.
Die mikroskopische Entstehung der Reibung ist ein komplizierter und bis heute nicht
vollständig verstandener Prozeß. Normalerweise erfüllen die Reibungskoeffizient µH >
µ G > µR .
c
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1.5. GRUNDLAGEN DER MECHANIK
1.5.5
26
Bezugssysteme
Man kann zur Beschreibung von mechanischen Vorgängen verschiedene Bezugssysteme verwenden. Die Versuchsergebnisse werden in Koordinaten angegeben, deshalb definiert man
jedes Inertialsystem durch sein Koordinatensystem. Möchte man die in einem Koordinatensystem beobachteten Werte in ein anderes Inertialsystem übertragen, dann gelten die
Regeln der Galilei Transformation, wobei vor allem die Zeit eine absolute Größe ist und
die Beschleunigungen invariant sind.
Abbildung 1.18: Das ruhendes Bezugssystem mit S(x, y, z) und das bewegte Bezugssystem mit
S(x′ , y ′ , z ′ ).
Nichtinertialsysteme sind Koordinatensysteme, die sich gegenüber einem Inertialsystem
beschleunigt bewegen. Die Physik erscheint einem Beobachter in einem beschleunigten System gegenüber der im ruhenden verändert. Dieses stimmt mit der Erfahrung überein, daß
sich z.B. der Kaffee in einer Tasse im Auto oder im Zug unabhängig von der Geschwindigkeit wie gewohnt verhält, aber nicht beim Bremsen und in Kurven.
Scheinkräfte
Scheinkräfte entstehen bei der Transformation von einem Inertialsystem in ein beschleunigtes Bezugssystem. In einem mit a beschleunigtem System kann man Newton’s Bewegungsgleichung “retten”, indem man eine auf eine Masse wirkende Trägheitskraft
F~t = −m ~a
(1.37)
einführt. Die Schein- oder Trägheitskraft ist für den Beobachter im beschleunigten System
genauso real zu spüren wie alle anderen Kräfte auch.
Weil sich die Erde dreht, ist ein Koordinatensystem im Labor kein Inertialsystem. Bei
den meisten Versuchen fallen die dadurch verursachten Abweichungen von den für ein Inertialsystem erwarteten Ergebnissen nicht auf. Es gibt aber Versuche, in denen sie offen
zutage treten.
Der Beobachter im einem rotierenden Bezugssystem sieht eine Masse in Ruhe und
erfährt eine Scheinkraft, die Zentrifugalkraft Ff . Diese Zentrifugalkraft ist auf einer Kreisbahn nach aussen gerichtet und wird vom Beobachter im beschleunigten System (auf der
c
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1.5. GRUNDLAGEN DER MECHANIK
27
Kreisbahn) wahrgenommen. Sie kompensiert als Scheinkarft die Zentripetalkraft der Kreisbewegung
F~f = −F~z .
(1.38)
Abbildung 1.19: Die Zentrifugalkraft ist als Scheinkraft der Zentripetalkraft der Kreisbewegung
entgegengerichtet.
1.5.6
Energieerhaltung
Energie begegnet uns in verschiedenen Formen: mechanische, kinetische, potentielle, elektromagnetische, chemische, Kernenergie, Wärme, Masse, usw.
Die Energie eines Systems erhöht sich, wenn an diesem System Arbeit A verrichtet
wird. Arbeit wird verrichtet, wenn auf einen Körper entlang eines Weges eine Kraft wirkt
Z
(1.39)
A = F~ · d~r .
In den Naturwissenschaften sind Größen, die während des Ablaufs irgendeines Vorgangs erhalten bleiben besonders wichtig. Bei mechanischen Bewegungsabläufen sind diese
Erhaltungsgrößen die Energie, der Impuls und der Drehimpuls des Systems.
Energieerhaltung:
• Energie kann nicht vernichtet werden oder aus dem NICHTS erzeugt werden
• Energie kann in verschiedene Formen umgewandelt werden
• bei jeder Umwandlung entsteht Wärme, die nicht mehr vollständig in andere Formen
umgewandelt werden kann (2. Hauptsatz der Thermodynamik)
Einheit der Arbeit ist das Joule: 1 J = 1 Nm = 1 Ws = 1 m2 kg/s2
1 cal = 1 g H2 O von 14.5o C auf 15.5o C (äquivalenz Arbeit und Wärme):
1 cal = 4.1868 J
c
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1.5. GRUNDLAGEN DER MECHANIK
28
Energie ist Arbeitsfähigkeit oder gespeicherte Arbeit. Besonders oft vorkommende
Energieformen sind:
1. Kinetische Energie
Wird ein Körper der Masse m konstant beschleunigt, dann wirkt an ihm entlang eines
Weges s eine Kraft F , es wird also Arbeit an ihm verrichtet. Endet die Beschleunigung,
dann endet auch die Kraftwirkung und damit die Zunahme der Arbeit. Der Körper bewegt sich nun aber mit höherer Geschwindigkeit vo . Die ihm während der Beschleunigung
zugeführte Energie bleibt jetzt als kinetische Energie erhalten
Ekin =
mvo2
2
.
(1.40)
2. Potentielle Energie
Nahe der Erdoberfläche ist die Erdbeschleunigung g konstant. Zum Transport muss die
konstante Kraft F = mg aufgebracht werden. Der Körper hat in der Höhe h die potentielle
Energie
Epot = mgh
(1.41)
oder bei einer Feder mit der Federkonstanten k durch Dehnen/ Zusammendrücken einer
Feder um die Strecke s
ks2
Epot =
.
(1.42)
2
Abbildung 1.20: Verschiedene Formen der Energieumwandlung: links: Stahlkugel auf Bleiplatte:
bleibt liegen, rechts: Stahlkugel auf dicke Glasplatte: springt wieder hoch.
Versuch # 1225: Energieumwandlung
Eine Stahlkugel (ca. 5 mm Durchmesser) wird auf eine dicke Glasplatte fallen gelassen. Sie
springt fast wieder in ihre Ausgangsposition zurück. Der Vorgang wiederholt sich 10 bis 20
mal. Als Gegenversuch nimmt man statt der Glasplatte eine Bleiplatte. Die Kugel springt
c
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1.5. GRUNDLAGEN DER MECHANIK
29
nur einmal hoch. Um einen senkrechten Fall zu garantieren, darf die Kugel nicht von Hand
losgelassen werden. Man hängt sie daher an einen Haltemagnet, dessen Strom ausgerichtet
werden kann, damit die Kugel auch nach vielen Sprüngen immer wieder auftrifft.
In jedem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie, das ist die Summe aus
kinetischer (Ekin ) und potentieller Energie (Epot ), erhalten. Das ist die Aussage des Energieerhaltungssatzes der Mechanik:
Eges = Epot + Ekin = konst.
.
(1.43)
Konservative Kraft
Die von einer konservativen Kraft geleistete Arbeit hängt nicht von einem (speziellen) Weg
ab. Es ist für zwei verschiedene wege die geleistete Arbeit gleich A1 = A2 . Daher ist die
Arbeit längs eines geschlossenen Weges null
Ages = A1 − A2 = 0 .
(1.44)
Wenn auf geschlossenen Wegen keine Arbeit zu leisten oder zu gewinnen ist, dann ist
die Überführungsarbeit zwischen zwei Punkten unabhängig vom Weg. Je nach Wahl des
Rundwegs wird auf manchen Teilstücken Arbeit zu leisten sein, diese wird aber auf anderen
wieder gewonnen.
Bei einer nicht-konservativer Kraft (z.B. Reibung) hängt die Arbeit vom speziellen Weg ab.
Versuch # 1222: Energieerhaltung eines großen Pendels
Eine schwere Eisenkugel (Masse 13.85 kg) wird an einem Seil von 5 m Länge gehängt,
welches am örtlichen Teleskop befestigt wird. Im Abstand von etwa 1m sitzt eine Testperson
auf einem Stuhl mit hoher Rückenlehne, wobei der Kopf an der Rückenlehne anliegt. Nun
lenkt man die Kugel von ihrer Ruhelage bis zur Nasenspitze der Testperson aus. Nach dem
Auslassen der Kugel schwingt diese erst von der Testperson weg um beim Zurückschwingen
wieder kurz vor der Nasenspitze umzukehren.
Beispiel: Fadenpendel
Als Beispiel betrachten wir erneut das mathematische Pendel bestehend aus einer punktförmigen Masse und einem unelastischen Faden mit Länge l (siehe Abbildung 1.7). Wird
das Pendel aus der Ruhelage (Punkt A) um einen Winkel bis zum Punkt B ausgelenkt, so
gilt nach dem Energierhaltungssatz
A
B
Ekin
(ϕ) = Epot
(ϕ) .
(1.45)
Der Koordinatenursprung wird in der Ruhelage des Pendels gewählt. Die kinetische
Energie im Punkt A beträgt
m(lϕ̇)2
A
Ekin
(ϕ) =
(1.46)
2
und die potentielle Energie am Punkt B
B
Epot
(ϕ) = m g l (1 − cos ϕ) .
c
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(1.47)
1.5. GRUNDLAGEN DER MECHANIK
30
Da gemäß der Energieerhaltung (Gleichung 1.43) die zeitliche Änderung der Gesamtenergie gleich null sein muß, gilt
0=
dEges
= m l2 ϕ̇ϕ̈ + m g l ϕ̇ sin ϕ .
dt
(1.48)
Daraus ergibt sich die bereits bekannte Differentialgleichung für das mathematische
Pendel (siehe Gleichung 1.30)
g
ϕ̈ + sin(ϕ) = 0 .
(1.49)
l
1.5.7
Impulserhaltung
Der Impuls ist neben der Energie eine weitere Erhaltungsgröße. Im Gegensatz zur skalaren
Energie ist der Impuls ein Vektor. Bewegt sich ein Massenpunkt mit konstanter Geschwindigkeit, dann ist sein Impuls definiert als das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit
p~ = m~v = F~ t .
(1.50)
Die Richtung des Impulses ist die der Geschwindigkeit und für eine infitesimale Änderung
gilt
d~p = d(m~v ) = d(F~ t)
.
(1.51)
Impulserhaltungssatz:
In einem abgeschlossenen System von n Massenpunkten mit dem Impuls p~i ist der Gesamtimpuls konstant, solange nur Kräfte zwischen den Massenpunkten wirken (keine äuß eren
Kräfte)
n
X
p~ges =
(1.52)
p~i = konst. .
i=1
Die Unabhängigkeit des Impulses von der Zeit kann für komplexe Vorgänge ausgenutzt
werden, indem nur der Impuls zu Beginn mit dem Impuls am Ende verglichen wird:
p~anf ang = p~ende .
(1.53)
Beispiele hierfür sind Stöße.
Ein Stoß heißt elastisch, wenn sowohl kinetische Energie wie auch Impuls erhalten bleiben, also keine Umwandlung von kinetischer Energie in Verformungsarbeit oder Wärme
stattfindet.
Ein Stoß heißt inelastisch, wenn nur der Impuls, nicht aber die kinetische Energie
erhalten bleibt. z.B.: Körper bleiben nach dem Stoß aneinander kleben, es entsteht Verformungsarbeit.
Versuch # 1240: Elastischer Stoß mit Kugeln
Das Versuchsgerät besteht aus einer Reihe von hintereinander bifilar aufgehängten Stahlkugeln, die dadurch als lineare Fadenpendel fungieren. Man kann eine oder mehrere Randkugeln auslenken und auf die ruhenden Kugeln prallen lassen. Da man lauter Kugeln
c
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1.5. GRUNDLAGEN DER MECHANIK
31
gleicher Masse hat, schlagen am anderen Ende der Pendelreihe genauso viele Kugeln aus,
wie zuerst ausgelenkt worden sind.
Abbildung 1.21: Elastische Stöße zwischen einzelnen Pendeln einer Pendelkette.
Versuch # 1205: Rückstoß einer Rakete
Eine Spielzeugrakete wird von einer Rampe aus gestartet. Der Brennstoff ist komprimierte
Luft, die man mit Hilfe einer Luftpumpe in die Rakete pumpt. Startet man sie mit einer
solchen Luftfüllung, so fliegt sie nur etwa einen Meter weit. Füllt man sie aber zuerst mit
einem Drittel mit Wasser und lädt sie dann erneut mit 10 Hüben aus der Luftpumpe, so
wird beim Start die wesentlich größere Wassermasse ausgetrieben und die Rakete fliegt
quer durch den Hörsaal.
Mit einer Anfangsmasse m0 und einer Endmasse m0 − Rt folgt für die Geschwindigkeit
der Rakete nach einem Ansatz über die Impulserhaltung
mo
v = vrakete−gas ln
− gt .
(1.54)
mo − Rt
Die Rakete mit einem Wasser/Luft Gemisch ist also deutlisch schneller als bei einem Antrieb mit reiner Luft, da die größere Masse von Wasser zu einem größeren Gesamtimpuls
führt.
c
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Kapitel 2
Schwingungen und Wellen
Bei Schwingungen und Wellen finden periodische Zustandsänderungen statt. Im allgemeinen Fall wird Energie zwischen Energiereservoirs periodisch hin- und herbewegt. Systeme, die zu einem solchen periodischen Energieaustausch fähig sind, werden Oszillatoren
genannt. Die Periodizität des Energieaustauschs wird durch die Schwingungsdauer T beschrieben. Ein Energieaustauschzyklus hat dann die Frequenz
f = 1/T
.
(2.1)
Erfassen die periodischen Energieschwankungen nur einzelne schwingungsfähige Elemente, so sprechen wir von Schwingungen. Sind von den Energieschwankungen hingegen
eine Vielzahl von elastisch (oder quasielastisch) gekoppelten Elementen erfasst, so ergeben
sich Wellen, bei denen sich die Energiezustände periodisch durch den Raum fortsetzen.
2.1
Schwingungen
Schwingungen werden in freie und erzwungene sowie in ungedämpfte und ge-dämpfte Schwingungen unterteilt. Die wichtigste Eigenschaft aller schwingungsfähigen Systeme ist die
Periodizität. Periodizität bedeutet, dass bestimmte Muster in konstanten Zeitintervallen
mit der Periode T wiederholt werden. Wird zum Beispiel als periodisch wiederkehrendes
Muster eine y-Auslenkung aufgefasst, so gilt
y(t) = y(t + T ) .
(2.2)
Die Auslenkung y ist zur Zeit t gleich groß wie die Auslenkung y zur Zeit t + T .
Wird dem Schwingungssystem im weiteren zeitlichen Verlauf keine Energie zugeführt
oder entzogen, so schwankt die Auslenkung des Oszillators zwischen zwei konstanten Maximalwerten.
2.1.1
Harmonische Schwingung
In der Praxis gibt es viele Schwingungen, deren Auslenkungs-Zeit-Gesetz durch eine einfache mathematische Sinus- oder Cosinusfunktion beschrieben werden kann. Diese Schwingungen werden harmonische Schwingungen genannt. Die harmonische Schwingung
32
2.1. SCHWINGUNGEN
33
lässt sich durch den Vergleich mit der Parallelprojektion einer gleichförmigen Kreisbewegung anschaulich beschreiben. Die harmonische Schwingung bezeichnet also die Bewegungsform einer kartesischen Komponente eines Punktes, der sich auf einer Kreisbahn
mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
ω = 2πf = 2π/T
(2.3)
bewegt (siehe Abb. 2.1). Für den Punkt auf der Kreisbahn mit Radius r gilt entsprechend für den Ort-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor
~s = r
cos ωt
sin ωt
,
~ν = r ω
− sin ωt
cos ωt
,
~a = −r ω
2
cos ωt
sin ωt
.
(2.4)
Abbildung 2.1: Zusammenhang zwischen der Kreisbewegung und der harmonischen Schwingung:
(oben) Punkt auf Kreisbahn und Projektion auf y-Achse und (unten) Projektionen zu verschiedenen Zeiten t auf y-Achse.
Betrachten wir jetzt das Zeitverhalten einer Projektion, zum Beispiel der auf die yAchse, also die y-Komponente, so ist
y = r sin (ωt) ,
ẏ = r ω cos (ωt) ,
ÿ = −r ω 2 sin (ωt) .
(2.5)
Berücksichtigen wir nun noch, dass unser Zeiger um einen Winkel ϕ0 vom Nullpunkt
verschoben sein kann (siehe Abb. 2.2), so resultiert hieraus die Phase ϕ0 , die den Startwinkel zur Zeit t = 0 vorgibt und es folgt für die Schwingung mit der Amplitude y0
y(t) = y0 sin (ωt + ϕ0 )
.
(2.6)
Eine alternative Funktion zur Beschreibung einer Schwingung ist gegeben durch
y(t) = y0 cos (ωt + ϕ0 )
c
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.
(2.7)
2.1. SCHWINGUNGEN
34
Ein System, das harmonische Schwingungen ausführt, wird als harmonischer Oszillator (die rücktreibende Kraft ist proportional zur Auslenkung) bezeichnet. Als Beispiel
hierfür haben wir bereits das Pendel kennengelernt aber auch ein System aus Feder und
Masse führt hamonische Schwingung aus. Für eine masselose Feder mit der Federkonstante
k, an der eine Masse m hängt, folgte aus den Newtonschen Gesetzen
F = −ky = ma = mÿ .
(2.8)
Die Bewegungsgleichung für die Feder ist also
ÿ + ω02 y = 0
(2.9)
mit der Kreisfrequenz
ω02 =
k
.
m
(2.10)
Abbildung 2.2: Vektorielle Darstellung im Zeigerdiagramm mit Phase ϕ0 = β und Zeiger bis
zum Winkel α gedeht.
Versuch 1575: Harmonischer Oszillator
Es wird gezeigt, dass die Bewegung eines linearen harmonischen Oszillators mit der
Projektion der Kreisbewegung auf einem Durchmesser übereinstimmt. Zu diesem Zweck
lässt man eine Kreisscheibe mit einer aufgeschraubten Kugel synchron zu einer schwingenden Kugel drehen, wobei letztere an einer Feder aufgehängt ist. Beide Kugeln werden
nebeneinander als Schatten projiziert, so dass man leicht sehen kann, ob die Kugeln sich
gleichphasig bewegen oder nicht.
c
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2.1. SCHWINGUNGEN
35
Gesamtenergie der freien, ungedämpften Schwingung
Die Gesamtenergie für das Feder-Masse System ist gemäß der Energieerhaltung
Eges (t) = Epot (t) + Ekin (t)
(2.11)
mit der potentiellen Energie
Epot (t) =
k y(t)2
.
2
(2.12)
Mit
y(t) = y0 cos (ωt + ϕ0 )
(2.13)
ist dann die potentielle Energie
Epot (t) =
k y02 cos2 (ωt + ϕ0 )
.
2
(2.14)
Abbildung 2.3: Schwingungszustände eines harmonischen Oszillators bestehend aus einer Masse
und einer Feder. Für ausgewählte Zeitpunkte sind von links nach rechts die Auslenkung und die
zugehörigen Energien dargestellt.
Für die kinetische Energie gilt
Ekin (t) =
m v(t)2
.
2
(2.15)
und mit
v(t) = ẏ(t) = −y0 ω sin (ωt + ϕ0 )
(2.16)
folgt
m y02 ω 2 sin2 (ωt + ϕ0 )
.
(2.17)
Ekin (t) =
2
Nach Gleichung 2.10 ist m ω 2 = k, so dass für die kinetische Energie auch gechrieben
werden kann
k y02 sin2 (ωt + ϕ0 )
.
(2.18)
Ekin (t) =
2
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2.1. SCHWINGUNGEN
36
Einsetzen von Gleichung 2.14 und Gleichung 2.17 in den Energierhaltungssatz 2.11
liefert
k y02 2
Eges (t) =
cos (ωt + ϕ0 ) + sin2 (ωt + ϕ0 )
(2.19)
2
und unter Anwendung des Additionstheorems sin2 α + cos2 α = 1 folgt
k y02
= konst. .
(2.20)
2
Somit ist die gesamte Schwingungsenergie der freien, ungedämpften Schwingung zu jeder
Zeit konstant. Die Gesamtenergie ist proportional zum Quadrat der Schwingungsamplitude
y0 . Die Energie der harmonischen Schwingung entspricht zu jedem Zeitpunkt der anfänglich
dem System zugeführten Energie.
Eges (t) =
Abbildung 2.4: Zeitlicher Verlauf der kinetischen, potentiellen und Gesamtenergie bei einer
Schwingung.
2.1.2
Überlagerung von Schwingungen
Nach dem Superpositionsprinzip können für die Überlagerung von Schwingungen die unterschiedlichen momentanen Auslenkungen der Einzelschwingungen zeitpunktgerecht zur momentanen Gesamtauslenkung addiert werden. Es kommt bei der Überlagerung von Schwingungen auf die Ausbreitungsrichtung dieser Schwingungen an. Spezialfälle sind senkrecht
und parallel zueinander stehende Ausbreitungsrichtungen.
parallele Ausbreitungsrichtung
Betrachten wir die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen gleicher Raumrichtung und gleicher Frequenz ω (siehe Abb. 2.5) aber unterschiedlicher Amplitude
x1 (t) = A1 sin (ωt)
x2 (t) = A2 sin (ωt + ϕ0 )
c
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(2.21)
2.1. SCHWINGUNGEN
37
die sich in der Phase ϕ0 unterscheiden, so resultiert erneut eine harmonische Schwingung
xneu (t) = Aneu sin (ωt + ϕneu )
(2.22)
Wichtige Spezialfälle sind die konstruktive und destruktive Überlagerung (Interferenz).
Für die Phase ϕ0 = 0 und 2π erfolgt maximale Verstärkung, während die Phase ϕ0 = π
bei gleichen Amplituden zur Auslöschung führt (siehe Abb. 2.5).
ϕ0 = π/4
ϕ0 = π/4
ϕ0 = 3π/2
ϕ0 = π
ϕ0 = 2π
Abbildung 2.5: Die Überlagerung von zwei Schwingungen (x1 mit durchgezogener und x2 mit
punkt-gestrichelter Linie gezeigt) führt je nach Phase ϕ0 zu einer konstruktiven oder destruktiven
Interferenz. Bei gleichen Amplituden kommt es zur Auslöschung. Die resultierende Schwingung
xneu ist mit der gestrichelten Linie gezeigt.
Schwebung
Werden zwei Schwingungen mit gleicher Ausbreitungsrichtung und geringem Frequenzunterschied ∆ überlagert, so entsteht eine Schwebung.
x1 (t) = A cos (ω1 t)
x2 (t) = A cos (ω2 t)
(2.23)
mit
∆ = ω2 − ω1 .
Unter Anwendung eines Additionstheorems für cos(α) + cos(β) ergibt sich
ω1 − ω2
ω1 + ω2
x(t) = 2 A cos
t cos
t
2
2
(2.24)
(2.25)
und in der Näherung für kleine (Kreis-)Frequenzunterschiede die neue Kreisfrequenz
c
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2.1. SCHWINGUNGEN
38
ωneu =
ω1 + ω2
≈ ω1 ≈ ω2
2
(2.26)
der resultierenden harmonischen Schwingung
xneu (t) = 2 A cos (π fs t) cos (ωneu t)
.
(2.27)
Die Schwebungsfrequenz ist gegeben durch
fs =
ω1 − ω2
2π
(2.28)
Wie Abb. 2.6 veranschaulicht ändert sich die Amplitude der Schwebung zeitlich.
Abbildung 2.6: Überlagerung zweier Schwingungen mit geringem Frequenzunterschied (oben)
zur Schwebung (unten).
Da Schwebungserscheinungen sehr genaue Frequenzvergleiche ermöglichen, dienen sie
zum Beispiel in der Akustik zum sauberen, d.h. schwebungsfreien Abgleich von Tonfrequenzen.
Versuch 1650: Schwebung mit zwei Stimmgabeln
Von zwei Stimmgabeln (je 440 Hz) ist eine durch eine kleine Zusatzmasse verstimmbar.
Schlägt man beide an, so hört man Schwebungen, die noch über die Lautsprecheranlage
des Hörsaals verstärkt werden können.
c
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2.1. SCHWINGUNGEN
39
Lissajous-Figuren
Werden je eine harmonische Schwingung in x- und y-Richtung überlagert, ergeben sich
zweidimensionale Muster, die sogenannten Lissajous-Figuren. Ihre Form hängt wesentlich
vom Verhältnis der beiden Frequenzen der Schwingungen ab.
Die Form der Lissajous-Figuren erlaubt genaue Rückschlüsse auf Frequenz und Phasenlage der beiden Schwingungen. Bei gleichen Frequenzen (1:1) kann an der elliptischen Figur
die Phasendifferenz abgelesen werden. Bei zwei fast gleichen Frequenzen (oder einem Frequenzverhältnis, das sehr nahe an einem der einfachen rationalen Verhältnisse liegt) zeigt
der Schirm eines Oszilloskops eine zwar geschlossene, aber sich zeitlich verändernde Figur.
So können mit hoher Empfindlichkeit kleine Frequenzunterschiede von Wechselströmen
gemessen werden und Frequenzen präzise aufeinander abgestimmt werden.
Abbildung 2.7: Das entstehende Bild hängt vom Verhältnis der Frequenzen ω1 : ω2 beider
Komponenten und von der Phasenlage ϕ0 = δ beider Schwingungen ab.
2.1.3
Harmonische Schwingung mit Reibung
Die harmonische Schwingung wird, wie jede Bewegung unter realen Bedingungen, durch
Reibung gedämpft. Wird eine Schwingung durch Reibungskräfte gedämpft, so kommt die
Schwingung im Laufe der Zeit zur Ruhe. Energetisch betrachtet wird ein Teil der Schwingungsenergie in thermische Energie umgewandelt, und zwar so lange, bis keine Schwingungsenergie mehr vorhanden ist.
c
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2.1. SCHWINGUNGEN
40
Versuch 1590: Gedämpfte mechanische Schwingungen (Stab)
Ein Rundstab wird eingespannt und dient als Oszillator. Die Dämpfung ist zum einen
durch die Art der Einspannung und außerdem durch eine Wirbelstrom-dämpfung am Ende des Stabes variabel. In der Mitte des Stabes befindet sich als Schwingungsindikator
ein Permanentmagnet, der in eine Spule eintaucht und die Schwingung am Oszillographen
sichtbar macht.
Die Reibungskraft wird als proportional zur Geschwindigkeit v angenommen. Für eine
lineare Schwingung mit dieser zusätzlichen Reibungskraft
FR = −ks v = −ks ẋ
(2.29)
und der Reibungskonstante ks folgt aus dem Kräftegleichgewicht für ein Masse-feder
System mit der Federkonstante k (siehe Gleichung 2.8)
F = −kx − ks ẋ = mẍ
(2.30)
ẍ + bẋ + cx = 0
(2.31)
die Bewegungsgleichung
mit den Konstanten
ks
k
, c=
= ω02 .
(2.32)
m
m
Die exponentielle Amplitudenabnahme der freien, gedämpften harmonischen Schwingung beschreibt der Abklingkoeffizient
b=
ks
b
=
(2.33)
2m
2
und sein Verhältnis zur Kreisfrequenz ω0 der Schwingung ergibt den dimensionslosen
Dämpfungsgrad
δ=
D=
δ
.
ω0
(2.34)
Mit diesen charakteristischen Parametern lautet die Differentialgleichung
ẍ + 2Dω0 ẋ + ω02 x = 0
.
(2.35)
Mit dem Lösungsansatz
x(t) = A exp (nt)
(2.36)
ẋ(t) = A n exp (nt) ⇒ ẍ(t) = A n2 exp (nt)
(2.37)
folgt für die Ableitungen
und nach dem Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt sich die charakteristische
Gleichung
c
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2.1. SCHWINGUNGEN
41
n2 + bn + c = 0
(2.38)
mit
√
b2 − 4c
.
(2.39)
2
Es gibt also zwei Lösungen mit n1 und n2 aus denen die Gesamtlösung durch eine
Überlagerung berechnet wird
n1,2 =
−b ±
xges (t) = A1 exp (n1 t) + A2 exp (n2 t)
.
(2.40)
Die Amplituden A1 und A2 sind hierbei durch die Anfangsbedingungen bestimmt. Der
Ausdruck 2.39 liefert zudem je nach Werten des Wurzelausdrucks b2 − 4c drei unterschiedliche Fälle, die im folgenden einzeln besprochen werden.
Fall 1: Kleine Reibung
Es gilt b2 − 4c < 0, wenn die Reibung klein ist, also ks klein ist. Entsprechend sind die
beiden Lösungen n1,2 komplex, da aus einer negativen Zahl die Wurzel gezogen werden
muss. Mit einer Konstanten C, die die Amplitude zum Zeitpunkt t = 0 beschreibt, lautet
die Lösung
x(t) = C exp (−δ t) cos (ωd t + ϕ0 )
.
(2.41)
Dies entspricht dem sogenannten Schwingfall. Die Amplitude
der Schwingung nimmt
ks
jedoch mit der Exponentialfunktion exp (−δ t) = exp − 2 m t zu großen Zeiten t ab (siehe
Abb. 2.8).
Abbildung 2.8: Schwingfall eines gedämpften Systems: Die gestrichelte Linie zeigt die
Einhüllende, die durch den exponentiellen Abfall beschrieben ist.
c
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2.1. SCHWINGUNGEN
42
Die Frequenz der gedämpften Schwingung ist
q
ωd = ω02 − δ 2
(2.42)
und damit zu kleineren Werten verschoben. Diese Verschiebung ist aber für ks /2m ≪ ω0
relativ klein.
Fall 2: Aperiodischer Grenzfall
Wird die Dämpfung immer stärker, dann geht schließlich eine einmalige Auslenkung exponentiell gedämpft in die Ruhelage zurück. Der aperiodische Grenzfall ist erreicht. Es gilt
b2 − 4c = 0. Einsetzen in die Differentialgleichung liefert nur eine Lösung
b
x(t) = A exp − t
.
2
(2.43)
Abbildung 2.9: a) Aperiodischer Grenzfall eines gedämpften Systems beschreibt die maximale Dämpfung. b,c) Für geringfügig andere Werte b2 − 4c ∼ 0 vollführt das System noch eine
Schwingung.
Mit anderem Ansatz ist
b
x(t) = B t exp − t
2
(2.44)
auch eine Lösung und damit ist die gesamte Lösung aus der Addition dieser beiden
Einzellösungen
c
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2.1. SCHWINGUNGEN
43
b
b
xges (t) = A exp − t + B t exp − t
2
2
(2.45)
oder
xges (t) = (A + B t) exp (−δ t)
.
(2.46)
Die Konstanten A und B ergeben sich aus den Anfangsbedingungen.
Der aperiodische Grenzfall ist für alle Systeme, die schnell in Ruhe kommen sollen
von großer Bedeutung. Beispiele sind Stoßdämpfer, Türschließer oder Anwendungen aus
der Regeltechnik. Systeme die noch einmal Ausschwingen (Überschwinger, siehe Abbildung
2.9b oder Unterschwinger, siehe Abbildung 2.9c) sind zum Beispiel bei Temperaturregelung
äußerst unerwünscht.
Fall 3: Kriechfall
Es gilt b2 − 4c > 0, wenn die Reibung groß ist, also ks groß ist. Entsprechend sind die
beiden Lösungen der charakteristischen Gleichung n1,2 reell.
xges (t) = A exp (n1 t) + B exp (n2 t)
(2.47)
beschreibt keine Schwingung mehr, da n1,2 keinen Imaginäranteil enthalten, sondern
eine gegen 0 kriechende Bewegung. Diese nähert sich dem Wert 0 langsamer als beim
aperiodischen Grenzfall.
Abbildung 2.10: Verglichen mit der maximalen Dämpfung beim aperiodischen Grenzfall (oben)
kommt das überdämpfte System langsamer zur Ruhe (unten).
In der Regeltechnik sind überdämpfte System wegen ihrer schlechten (langsamen) Zeitcharakteristik unerwünscht.
c
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2.1. SCHWINGUNGEN
44
Zusammenfassung Oszillator
Wird die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators um einen Term für die Reibungskraft erweitert, der proportional zur Geschwindigkeit ist, so lassen sich realistische
Systeme mit Reibung beschreiben.
Abbildung 2.11: Vergleich zwischen dem ungedämpften (no damping), unterdämpften (underdamped), kritisch gedämpften (critical damped) und überdämpften (overdamped) Oszillator für
ein festes Zeitfenster t.
2.1.4
Erzwungene Schwingung
Wird einem schwingungsfähigen System (Resonantor) von außen durch einen Erreger eine periodische Kraft aufgezwungen, so erfolgt eine erzwungene Schwingung. Nach einer ausreichend langen Zeit, die als Einschwingphase bezeichnet wird, wird das schwingungsfähige System mit der vom Erreger erzwungenen Kreisfrequenz ωe schwingen.
c
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2.1. SCHWINGUNGEN
45
Versuch 1600: erzwungene Schwingungen (Pohl’scher Resonanzapparat)
Das Gerät nach Pohl besteht aus einer Kupfer-Schwungscheibe, deren Achse waagrecht
gelagert ist, so dass man sie als Schatten projizieren kann. Die Scheibe ist mit einer Markierung versehen und von einer Skala umgeben. Die Ausschläge der Schwungscheibe können
auf diese Weise im Schatten gezeigt werden. Damit überhaupt Schwingungen entstehen,
wird die Scheibe mittels einer Spiralfeder nach Art einer Unruhe in einer Nullstellung gehalten. Ein Motorantrieb gestattet es, kleine Auslenkungen mit variabler Frequenz auf die
Spiralfeder und damit auf die Scheibe zu übertragen. Außerdem ist ein Elektromagnet vorhanden, der den Rand der Scheibe umgreift und als Wirbelstrombremse eingesetzt werden
kann. So sind fast beliebige Dämpfungskonstanten einstellbar. Mit diesem Gerät kann die
Amplitude und die Phase der erzwungenen Schwingung in Abhängigkeit von der Anregungsfrequenz und der Dämpfung gezeigt werden. Man kann Resonanzkurven aufnehmen
bis hin zum aperiodischen Grenzfall.
Die Schwingung des Resonators werde durch eine periodisch wirkende Kraft
f (t) = K cos (ωe t)
(2.48)
angeregt. Aus dem Kräftegleichgewicht
F = −kx − ks ẋ + f (t) = mẍ
(2.49)
folgt die Bewegungsgleichung
ẍ + bẋ + cx = f (t)/m
(2.50)
mit den Konstanten
b=
ks
,
m
c=
k
= ω02 .
m
(2.51)
Abbildung 2.12: Beispiel für eine erzwungene Schwingung, bei der eine Feder durch eine äußere
Kraft periodisch angetrieben wird.
Diese Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung ist im Gegensatz zu der des
freien Oszillators inhomogen. Die Lösung der linearen inhomogenen Differentialgleichung
ist
x(t) = xhomogen (t) + xpart (t)
c
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(2.52)
2.1. SCHWINGUNGEN
46
die Summe aus der allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung xhomogen (t)
und irgendeiner, die inhomogene Differentialgleichung erfüllen partikulären Lösung xpart (t).
Beschränken wir uns auf den Fall kleiner Reibungen, so ist die Lösung der homogenen
Differentialgleichung bereits im Abschnitt zuvor unter Fall 1 (Schwingfall) gelöst worden
(siehe Gleichung 2.41) und es gilt
xhomogen (t) = C exp (−δ t) cos (ωd t + ϕ0 )
(2.53)
mit der Frequenz der gedämpften Schwingung
q
ωd = ω02 − δ 2 .
(2.54)
Da das System nach einer Einschwingzeit der Erregerfreuqenz ωe folgt ist eine partikuläre Lösung
K
xpart (t) =
m
s
(ω02 − ωe2 )2 +
ks
ωe
m
2 cos (ωe t − ϕe ) .
(2.55)
Die gesamte Lösung ist schließlich
K
x(t) =
m
s
(ω02 − ωe2 )2 +
ks
ωe
m
2 cos (ωe t − ϕe ) + C exp (−δ t) cos (ωd t + ϕ0 )
.
(2.56)
Der erste Term beschreibt den Zustand des Systems für große Zeiten.
Versuch 1615: Stimmgabelresonanz
Schlägt man eine Stimmgabel ohne Resonanzkörper an, so hört man sie fast nicht. Stellt
man sie jedoch auf den Resonanzkasten, ist ihr Ton laut hörbar. Zwei gleichartige Stimmgabeln werden auf ihren Resonanzkästen so einander gegenübergestellt, dass die Schallöffnungen
einander zugewandt sind. Schlägt man eine der beiden Stimmgabeln an und dämpft sie
wieder, indem man sie anfasst, so ist der Ton trotzdem weiterhin zu hören, weil die andere Stimmgabel in Resonanz geraten ist. Man beweist dies, indem man die zweite Gabel
ebenfalls anfasst, worauf der Ton endgültig verstummt.
Wirkungsweise: Die Stimmgabel ist trotz ihrer Biegung ein linearer Schwinger. Ihre Zinken schwingen gegeneinander, der Stiel bewegt sich auf und ab. Man erreicht durch diese
Form eine besonders obertonfreie Schwingung. Allerdings wäre sie ohne ihren Resonanzkasten kaum zu hören, weil die Berührungsfläche des schwingenden Metalls mit der Luft
klein ist und deshalb wenig Energie übertragen werden könnte. Der Holzkasten übernimmt
die Schwingungen des Gabelstiels und vergrößert die Abstrahlung ganz entscheidend.
Betrachten wird das System für große Zeiten, so ist die Amplitudenresonanzfunktion
entscheidend:
c
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2.1. SCHWINGUNGEN
47
K
A=
m
q
(ω02
−
ωe2 )2
A=
+
ks
m
ωe
2 =
K
m
q
(ω02
−
ωe2 )2
K
p
2
m (ω0 [1 − η 2 ])2 + (2δηωo )2
.
2
(2.57)
+ (2δ ωe )
(2.58)
Wir unterscheiden 3 Fälle in Abhängigkeit von dem Verhältnis zwischen der Frequenz
der ungedämpften Systems und der Anregungsfrequenz η = ωe /ω0 für verschiedene Abklingkoeffizienten δ:
Fall 1: Quasistatische Auslenkung
Es ist η ≪ 1 und es folgt eine sehr langsame, quasistatische Auslenkung, die durch die
Federkonstante k bestimmt ist
A=
K
K
.
=
2
mω0
k
(2.59)
Fall 2: Resonanzfall ohne Dämpfung
Die Amplitude A divergiert , falls ks und ωe − ω0 gegen 0 gehen (η = 1). Dies bezeichnet
man als Resonanzkatastrophe, da sich das System immer weiter aufschaukelt.
Abbildung 2.13: Amplitude A in Abhängigkeit von der Anregungsfrequenz ωe . Trifft diese die
Systemfrequenz (η = 1), so kommt es zur Resonanz. Verschiedene Dämpfungen sind gezeigt.
c
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2.1. SCHWINGUNGEN
48
Fall 3: Resonanzfall mit Dämpfung
Ist eine Dämpfung vorhanden, so kann die Amplitude A auch für η ∼ 1 nicht mehr divergieren. Die Abbildung 2.13 zeigt die Amplitude für verschiedene Dämpfungen. Bei Anwendungen wie Automobilen hängen die Resonanzfrequenzen von den jeweilgen Bauteilen
ab.
Abbildung 2.14: Beispiele für schwingungsfähige Systeme an dem Modellauto sind Kotflügel
und Antenne.
Versuch 1625: Resonanzen an einem Modellauto
Das Modellauto hat etwa eine Länge von 20 cm und ist mit auffälligen, schwingungsfähigen
Teilen versehen (Kotflügel, Antenne). Es trägt einen kleinen Elektromotor mit unwuchtiger Schwungscheibe. Durch Hochfahren der Motordrehzahl lassen sich die verschiedenen
Autoteile in Resonanz bringen.
Resonanzkatastrophe
Die Resonanzkatastrophe bezeichnet in der Mechanik und Konstruktion die Zer-störung
eines Bauwerkes oder einer technischen Einrichtung durch angeregte Schwingungen. Ursache dafür ist die Resonanz: Die Energie wird bei periodischer Anregung optimal übertragen
und im System gespeichert. Durch die Speicherung und weiterer Energiezufuhr schwingt
das System immer stärker, bis die Belastungsgrenze überschritten ist. Zum Schutz der
Konstruktion werden Schwingungsdämpfer verbaut, die im Bereich der Resonanzfrequenz
stark dämpfen und somit den Energieeintrag abführen.
Abbildung 2.15: Wenn der Sänger einen Ton trifft, dessen Frequenz gleich der Eigenfrequenz
des sehr spröden Glases ist, kommt es zur Resonanz. Beim relativ schwach gedämpften Glas
reichen kleine Schwingungsamplituden, um dieses zum Zerspringen zu bringen.
Versuch 1627: Glas “zersingen”
Es ist tatsächlich möglich, Gläser durch bestimmte Töne zum Platzen zu bringen. Sobald
man ein Glas mit dessen Eigenfrequenz in ausreichender Lautstärke beschallt, beginnt es
c
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2.1. SCHWINGUNGEN
49
zu schwingen und schließlich zu zerbrechen.
Tacoma Brücke:
Mit einer Mittelspannweite von 853 Metern war die erste Tacoma-Narrows-Brücke zum
Zeitpunkt ihrer Fertigstellung die drittgrößte Hängebrücke der Welt. Sie wurde am 1. Juli
1940 eröffnet, stürzte jedoch vier Monate später am 7. November 1940 spektakulär ein.
Ursache waren durch Wind hervorgerufene Torsionschwingungen der Brücke, die sich durch
Resonanz und geringe Dämpfung immer weiter verstärkten.
Abbildung 2.16: Die Tacoma Brücke vor 1940, während und nach ihrem Einsturz 1950.
Die Phasenresonanzfunktion ∆ϕ bezeichnet die Phasendifferenz zwischen der periodisch
wirkenden Kraft f (t) und der Auslenkung des Systems x(t). Sie verdeutlicht die Energiebilanz in dem von außen periodisch angetriebenen schwingungsfähigen System.
Abbildung 2.17: Frequenzabhängigkeit der Phasendifferenz ∆ϕ einer erzwungenen Schwingung
für verschiedene Dämpfungen.
c
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2.1. SCHWINGUNGEN
50
Bei Resonanz ist ∆ ϕ = π/2. Die äußere Kraft wirkt also in Richtung der Geschwindigkeit der schwingenden Masse und dem System wird in jeder Schwingung die maximale
Energie zugeführt. Ohne Reibung muss die Amplitude divergieren, da dem System ständig
Energie zugeführt wird.
2.1.5
Gekoppelte Schwingung
Zwei Oszillatoren (z.B. Pendel oder Feder-Masse Systeme), zwischen denen ein Energieaustausch stattfinden kann (beispielsweise durch eine Schraubenfeder), werden als gekoppelte Oszillatoren bezeichnet. Die ausgeführten Schwingungen werden auch als gekoppelte
Schwingungen bezeichnet.
Abbildung 2.18: Elastisch gekoppelte Feder-Masse System mit identischer Masse m, aber unterschiedlicher Auslenkung um y1 für den Oszillator 1 und y2 für den Oszillator 2. Die Federkonstante der Kopplungsfeder ist verschieden von den Federkonstanten der Haltefedern.
Betrachten wir zwei Massen m, die mit (Halte-)Federn der gleichen Federkonstante k
mit einer starren Wand und einer Kopplungsfeder mit der Federkonstante k12 untereinander
verbunden sind. Wird die erste Masse um y1 und die zweite Masse um y2 ausgelenkt, so
ist die Kopplungsfeder um y1 − y2 bezüglich der ersten Masse zusammengedrückt und das
Newtonsche Gesetz bezüglich der ersten Masse lautet
−k y1 − k12 (y1 − y2 ) = m a1 .
(2.60)
Entsprechend ist die Differentialgleichung für die erste Masse
ÿ1 +
k
k12
y1 +
(y1 − y2 ) = 0 .
m
m
(2.61)
Bezüglich der zweiten Masse ist die Kopplungsfeder um y2 − y1 zusammengedrückt und
die Diffeerentialgleichung lautet
ÿ2 +
k12
k
y2 +
(y2 − y1 ) = 0 .
m
m
(2.62)
Werden beide Differentialgleichungen addiert, so ergibt sich die gekoppelte DGL für
y1 + y2 zu
d2
k
(2.63)
(y1 + y2 ) + (y1 + y2 ) = 0 .
2
dt
m
Werden beide Differentialgleichungen subtrahiert, so ergibt sich eine andere gekoppelte
DGL für y1 − y2 zu
k + 2k12
d2
(y1 − y2 ) +
(y1 − y2 ) = 0 .
(2.64)
2
dt
m
c
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2.1. SCHWINGUNGEN
51
Beide DGLs beschreiben ungedämpfte harmonische Schingungen. Das gekoppelte System
hat zwei Fundamentalschwingungen (gleichphasige und gegenphasige Schwingung).
Diese sind die beiden einzigen Schwingungszustände des gekoppelten Systems, bei denen
kein Energieübertrag stattfindet.
Gleichphasige Schwingung
Aus Gleichung 2.63 folgt
ω1 = ω0 =
r
k
und T1 = T0 = 2π
m
r
1
m
=
.
k
f1
(2.65)
Für eine gleichphasige Schwingung (y1 = y2 ) verschwindet die DGL 2.64. Das Kopplungsglied ist in diesem Fall unwirksam, weil die Kopplungsfeder immer entspannt bleibt.
Deshalb schwingen die Massen mit der Frequenz der ungedämpften Schwingung.
Gegenphasige Schwingung
Aus Gleichung 2.64 folgt
ω2 =
r
k + 2k12
und T2 = 2π
m
r
m
1
=
.
k + 2k12
f2
(2.66)
Für eine gegenphasige Schwingung (y1 = −y2 ) verschwindet die DGL 2.63. Aus symmetriegründen ist die Mitte der Kopplungsfeder in Ruhe. Jedem Oszillator kann somit die
Federkonstante der eigenen (Halte-)Feder und die Hälfte der Federkonstante der Kopplungsfeder zugerechnet werden.
Allgemeine Schwingungen
In allen anderen Fällen findet eine Überlagerung der Fundamentalschwingungen so statt,
dass eine Schwebung entsteht. Diese hat die Schwebungsfrequenz
fs = f2 − f1 .
(2.67)
Für den allgemeinen Fall betrachten wir jetzt spezielle Anfangsbedingungen, um für
dieses Beispiel das Entstehen einer Schwebung nachzurechnen: Bei Beginn der Schwingung
(t = 0) ist der erste Oszillator maximal ausgelenkt (y1 (0) = y0 ) und der zweite Oszillator
in Ruhe (y2 (0) = 0). Damit wird y1 + y2 = y0 und die beiden Fundamentalschwingungen
gehorchen den Ansätzen:
y1 + y2 = y0 cos(ω1 t)
y1 − y2 = y0 cos(ω2 t)
(2.68)
(2.69)
Aus der Addition beider Gleichugen folgt
y1 =
c
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y0
[cos(ω1 t) + cos(ω2 t)]
2
(2.70)
2.1. SCHWINGUNGEN
52
und unter Anwendung des Additionstheorems
α+β
α−β
cos α + cos β = 2 cos
cos
2
2
folgt für den ersten Oszillator die Schwebungsgleichung
ω1 − ω2
ω1 + ω2
t cos
t
.
y1 = y0 cos
2
2
(2.71)
(2.72)
Aus der Subtraktion beider Gleichugen folgt
y2 =
y0
[cos(ω1 t) − cos(ω2 t)]
2
und unter Anwendung des Additionstheorems
α+β
α−β
cos α − cos β = −2 sin
sin
2
2
folgt für den zweiten Oszillator die Schwebungsgleichung
ω1 − ω2
ω1 + ω2
t sin
t
.
y2 = −y0 sin
2
2
(2.73)
(2.74)
(2.75)
Es führen also der erste und zweite Oszillator Schwebungen aus, die um π/2 phasenverschoben sind.
Der Kopplungsgrad für Oszillatoren gleicher Masse und bei gleicher Amplitude ist
definiert als
k12
K=
.
(2.76)
k + k12
mit 0 < K < 1. Bei loser Kopplung ist K ≪ 1 und f1 6= f2 und bei fester Kopplung ist
K ∼ 1 und f1 ≈ f2 .
Im allgemeinen Fall sind n Oszillatoren miteinander gekoppelt. Dieses System besitz
dann n Fundamentalschingungen (Eigenschwingungen).
Abbildung 2.19: n Pendel sind untereinander mit Federn gekoppelt.
c
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2.2. WELLEN
2.2
53
Wellen
Durch die Kopplung von schwingungsfähigen Systemen kann sich die Schwingung auf Nachbarn übertragen, was zu einer räumlichen Ausbreitung des Schwingungszustandes führt.
Wellen sind also Schwingungen, die sich in Raum und Zeit ausbreiten. Bei Schwingungen von Teilchen ist nur die Richtung ihrer Auslenkung im Raum definiert, bei der Welle
kommt die Richtung ihrer Ausbreitung hinzu. Man spricht von Transversalwellen, wenn
die Richtung der Auslenkung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung steht, bei Longitudinalwellen sind Auslenkung und Ausbreitung gleichgerichtet (siehe Abb. 2.20).
Abbildung 2.20: links: Unterschied zwischen longitudinalen und transversalen Wellen. rechts:
Getreidefeld im Wind.
Beispiele für Wellen sind das Getreidefeld im Wind, Erdbeben, elektromagnetische Wellen, Schallwellen oder Lichtwellen. Die uns aus dem täglichen Leben ebenfalls vertrauten
Wasserwellen sind komplexerer Natur und können mit der folgenden einfachen Beschreibung erklärt werden.
Wellen transportieren Energie und Impuls durch den Raum ohne eine
wesentliche Verlagerung von Massen in der Ausbreitungsrichtung.
Eine Welle ist charakterisiert durch ihre Amplitude A, durch ihre Phase φ und durch
ihre Wellenlänge λ. Darüber hinaus hat sie eine Ausbreitungsrichtung, die durch den Wellenvektor ~k bestimmt ist.
2.2.1
Harmonische Wellen
Eine harmonische Welle entsteht durch die Kopplung harmonischer Oszillatoren. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit v der Welle beschreibt, wie schnell sich ein Wellenberg im Ortsraum bewegt. Wird der Ort eines Maximums zu zwei Zeiten ermittelt, dann zeigt der
Quotient aus Orts- und Zeitdifferenz die Ausbreitungsgeschwindigkeit v. Das Maximum
der Welle verschiebt sich in Raum und Zeit von x, t zu x + ∆x, t + ∆t (vgl. Fortschreiten
des Maximums).
Eine entsprechende Beschreibung ist natürlich mit jedem anderen Phasenzustand eder
Welle, also zum Beispiel dem Minumum, ebenfalls möglich.
c
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2.2. WELLEN
54
Eine sinusförmige, transversale Welle, mit Wellenlänge λ , Amplitude ym , Ausbreitungsgeschwindigkeit v und Schwingungsdauer T = λ/v wird beschrieben durch
y(x, t) = ym
2π
2π v
2π
sin
(x − vt) = ym sin
x−
t
λ
λ
λ
.
(2.77)
Periodizität im Raum: Wenn sich bei festem t die Variable x um λ ändert, nimmt
das Argument des Sinus um 2π zu und y nimmt wieder den gleichen Wert an.
y (x + λ, t) = y (x, t)
Periodizität in der Zeit: Wenn sich bei festem x die Variable t um T = λ/v ändert,
dann nimmt das Argument des Sinus um 2π zu und y nimmt wieder den gleichen Wert
an.
y (x, t + λ/v) = y (x, t + T ) = y (x, t)
Abbildung 2.21: Wellenflächen einer ebenen Welle, wobei Wellenberge in weiß und Wellentäler
in schwarz dargestellt sind (wie bei einer Lichtwelle).
Mit der Wellenzahl
2π
λ
(2.78)
2π
2πv
=
T
λ
(2.79)
k=
und der Kreisfrequenz
ω=
folgt
y (x, t) = ym sin (k x − ω t)
.
(2.80)
Phasengeschwindigkeit
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle wird im engeren Sinne als Phasengeschwindigkeit c bezeichnet, da die Phasengeschwindigkeit angibt, wie schnell ein Zustand konstanter
Phase (zum Beispiel ein Wellenberg, Wellental oder Nulldurchgang), also eine Wellenfläche,
sich fortbewegt. Wellenflächen einer ebenen Welle sind in der Abbildung 2.21 gezeigt. Die
allgemeine Wellengleichung ist dann
2
∂2 y
2 ∂ y
=
c
∂t2
∂x2
.
(2.81)
Eine (cosinusförmige) ebene Welle is beschrieben durch
y(x, t) = ym cos (ωt − kx + ϕ0 ) .
c
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(2.82)
2.2. WELLEN
55
Aus dem Zustand konstanter Phase
ωt − kx + ϕ0 = konst.
oder
x=
(2.83)
ωt + ϕ0 − konst.
k
(2.84)
dx
ω
=
.
dt
k
(2.85)
folgt für die Phasengeschwindigkeit
c=
Diese ist identisch mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit
v=
λ
= λf .
T
(2.86)
Für Wellen in unterschiedlichen Medien zeigt die Wellengleichung die gleiche Gestalt, die
Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt aber von unterschiedlichen Materialeigenschaften ab.
2.2.2
Überlagerung von Wellen
Laufen mehrere Wellen durch ein gemeinsames Medium, so kann es an bestimmten Stellen
des Raums zu einer Überlagerung einzelner Wellen kommen. Interferenz beschreibt diese Überlagerung von zwei oder mehr Wellen nach dem Superpositionsprinzip (d.h. durch
Addition der Amplituden, nicht der Intensitäten). Sie tritt bei allen Arten von Wellen auf,
also Schall, Licht, Materiewellen, usw.
Betrachten wir zwei eben Wellen gleicher Amplitude, die in der selben Richtung laufen
y1 (x, t) = y0 cos(ω t − k x)
(2.87)
y2 (x, t) = y0 cos(ω t − k x + ϕ)
(2.88)
und
mit der Phasenverschiebung ϕ beziehungsweise dem Gangunterschied
∆=
ϕ
λ .
2π
Die resultierende Welle, die durch die Addition der beiden Teilwellen entsteht ist
ϕ
ϕ
y2 (x, t) = 2y0 cos
cos ω t − k x +
2
2 ∆
∆
= 2y0 cos π
cos ω t − k x + π
.
λ
λ
(2.89)
(2.90)
(2.91)
Es gibt die beiden Spezialfälle:
a) konstruktive Interferenz: Gangunterschied ∆ = m λ, Phasenverschiebung ϕ = m 2π
mit m = 0, 1, 2, 3, ...: Die Amplitude der resultierenden Welle ist doppelt so groß wie die
der Ausgangswellen. Die Nulldurchgänge liegen am selben Ort wie bei den Ausgangswellen.
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2.2. WELLEN
56
b) destruktive Interferenz: Gangunterschied ∆ = (2m + 1)λ/2, Phasenverschiebung
ϕ = (2m + 1)π mit m = 0, 1, 2, 3, ...: Die beiden Ausgangswellen schwingen an jedem Ort
gegenphasig und löschen sich überall aus.
Während sich die Überlagerung zweier Wellen gleicher Frequenz und Amplitude anhand
der trigonometrischen Additionstheoreme berechnen läßt, wird für eine gleiche Frequenz
der Wellen, aber unterschiedliche Amplituden und Phasen die resultierende Welle mittels
Zeigerarithmetik berechnet.
2.2.3
Überlagerung von Wellen
Die Reflexion einer Welle lässt sich als Überlagerung von zwei sich gegenläufig ausbreitenden Wellen f (ω t − k x) und g(k x + ω t)
y(x, t) = f (ω t − k x) + g(ω t + k x)
(2.92)
beschreiben. Sie ist abhängig von den Randbedingungen bei der Reflexion. Es wird das
feste Ende und das offene Ende unterschieden (siehe Abb. 2.22). Am festen Ende erfolgt ein
Phasensprung um π und die Welle hat in der Reflexionsebene einen Knoten. Am offenen
Ende tritt kein Phasensprung auf und die Welle hat in der Reflexionsebene einen Bauch.
Abbildung 2.22: Die einlaufende Wellen (gestrichelte Linie) und die reflektierte Welle (punktierte Linie) interferrieren zur resultierenden Welle (durchgezogene Linie). Je nach Wandtyp tritt
ein Phasensprung auf.
Stehende Welle
Die Interferenz zweier Wellen gleicher Frequenz, aber mit entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung führt zu einer stehenden Welle.
Versuch 1685: Stehende Welle auf einem Gummischlauch
Ein etwa 10 Meter langer Gummischlauch wird in Hüfthöhe an einem Ende fest eingespannt. Bewegt man das freie Ende periodisch quer zur Schlauchrichtung, so entstehen
c
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2.2. WELLEN
57
nach der Reflexion am festen Ende stehende Wellen. Bei entsprechend rascher Anregung
lassen sich bis zu fünf Bäuche erzeugen. Dabei ist es einfacher, statt einer linearen Welle
eine zirkulare anzuregen (Hand macht kreisförmige Bewegungen).
Betrachten wir die Überlagerung zweier gegenläufiger fortschreitender Wellen gleicher
Frequenz und gleicher Amplitude
y1 (x, t) = A cos (ωt − kx)
y2 (x, t) = A cos (ωt + kx + ϕ0 )
(2.93)
mit dem Phasensprung ϕ0 = 0 (loses Ende) oder ϕ0 = π (festes Ende) so folgt
beziehungsweise
ϕ0 ϕ0 cos ωt +
y(x, t) = 2 A cos kx +
2
2
(2.94)
ϕ0 y(x, t) = A(x) cos ωt +
2
(2.95)
mit der Amplitude
ϕ0 .
(2.96)
A(x) = 2A cos kx +
2
y(x, t) ist zwar in Raum und Zeit periodisch, stellt aber keine sich ausbreitende Welle
mehr dar, da das Argument nicht von der Form (x − vt) ist. Jeder Punkt der Welle stellt
eine harmonische Bewegung in y-Richtung dar. Die entsprechende Amplitude am Ort x ist
dann A(x).
Abbildung 2.23: Schwingungszustände einer stehenden Welle mit zwei festen Enden. Der
Grundzustand ist n = 1, exemplarisch sind vier weitere Zustände gezeigt.
Es gibt n solche Schwingungszustände. Für zwei feste Enden ist
• bei x = nπ
= n λ2 ist die Amplitude immer Null. Die Welle hat an diesen Stellen
k
Knoten.
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2.2. WELLEN
58
• bei x = (2n + 1) λ4 ist die Amplitude immer maximal. An diesen Stellen hat die Welle
Bäuche.
Die Abbildung 2.23 zeigt die Zustände einer stehenden Welle für verschiedene Anzahl
von Bäuchen (1 = unten bis 5 = oben).
2.2.4
2d Wellen
Bisher wurden Wellen in einer Dimension (1d) betrachtet, da für viele Wellentypen (ebene Wellen, Kugelwellen) eine geschickte Wahl des Koordinatensystems ausreicht, um die
zweidimensionale Ausbreitung vereinfacht in 1d darzustellen (siehe Abb. 2.24).
Abbildung 2.24: 6 Beispiele für 2d Wellen, von denen sich die ersten 5 durch geschickte Wahl
des Koordinatensystems als 1d Wellen beschreiben lassen.
Es gibt jedoch kompliziertere Wellen, bei denen diese Vereinfachung nicht mehr funktioniert, da die entsprechende Symmetrie fehlt. Ein Beispiel hierfür sind die Chladnischen
Klangfiguren.
Versuch 1715: Chladnische Klangfiguren
Die Eigenschwingungen (Resonanzen) zweier Metallplatten werden sichtbar gemacht, indem man die in der Mitte eingespannten Platten (eine rund, eine quadratisch) mit feinem
Quarzsand bestreut und am Rand mit einem Bassbogen anstreicht. Der Sand bleibt auf
den Schwingungsknoten liegen, so dass die Knotenlinien gut zu sehen sind (Vorführung mit
der Fernsehanlage). Man kann durch Anfassen auch einige Schwingungsknoten am Rand
der Platte vorgeben, während man die Schwingung anregt. Es kommen recht komplizierte
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2.2. WELLEN
59
Figuren zustande.
In Folge von Eigenresonanzen beginnt eine zweidimensionale Platte zu schwingen. Der
Sand wird beim Tönen der Platte von den vibrierenden Partien regelrecht weggeschleudert
und wandert zu den Stellen, an denen keine Schwingung auftritt. Auf diese Weise werden
die Knotenlinien von zweidimensionalen stehenden Wellen sichtbar gemacht, die sich auf
der Platte ausbilden.
Abbildung 2.25: Beispiele für Chladnische Klangfiguren für quadratische Platten.
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Kapitel 3
Akustik
Die Akustik beschäftigt sich mit der Ausbreitung von longitudinalen Wellen. Diese Ausbreitung erfolgt in unterschiedlichen Medien (Gase, Flüssigkeiten oder Festkörper). Von
besonderem Interesse ist die Ausbreitung von Schall in Luft und das beim Menschen ausgelöste Schallempfinden.
3.1
Schallwellen
Schall bezeichnet die Ausbreitung von lokalen Druckschwankungen in einem Medium.
Schallwellen sind die Druckschwankungen im Medium. Die ausgelenkten Moleküle schwingen periodisch um ihre ihre Ausgangsposition. Diese Bewegung wird auf benachbarte Teilchen durch Stoß übertragen. Es kommt zu einer Verdichtung und Verdünnung des Mediums
und damit zur Fortpflanzung des Schalls.
Abbildung 3.1: Die schwingenden Luftmoleküle führen zu Verdichtungen und Verdünnungen,
die sich als Welle durch das Medium ausbreiten.
Schallwellen breiten sich mit einer charakteristischen Geschwindigkeit, der Schallge-
60
3.1. SCHALLWELLEN
61
schwindigkeit c aus. Dabei transportieren sie Schallenergie. Im Vakuum ist Schall nicht
ausbreitungsfähig. Die Schallgeschwindigkeit hängt vom Ausbreitungsmedium ab.
Die Schallgeschwindigkeit in idealen Gasen ist abhängig vom Adiabatenexponenten κ,
der Dichte ρ sowie dem Druck p0 des Gases. Alternativ kann sie aus der thermischen
Zustandsgleichung berechnet werden und hängt von der molaren Masse M , molare Gaskonstante R= 8.3145 J/(mol K) und der absoluten Temperatur T ab.
cgas
r
r
RT
p0
= κ = κ
ρ
M
(3.1)
In Luft beträgt sie 343 m/s bei einer Temperatur von 20o C.
Die Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten ist eine Funktion der Dichte ρ und des Kompressionsmoduls K der Flüssigkeit
s
K
.
(3.2)
cf l =
ρ
In Wasser beträgt sie 1484 m/s bei einer Temperatur von 20o C.
3.1.1
Schalldruck
Als Schalldruck werden die Druckschwankungen eines kompressiblen Mediums (üblicherweise
Luft), die bei der Ausbreitung von Schall auftreten, bezeichnet. Diese Druckschwankungen
werden vom Trommelfell als Sensor in Bewegungen zur Hörempfindung umgesetzt.
Der Schalldruck p ist der Wechseldruck, der dem statischen Druck p0 (Luftdruck) des
umgebenden Mediums überlagert ist. Für den gesamten Druck pges gilt somit:
pges = p + p0 .
(3.3)
Der Schalldruck ist in der Regel um viele Größenordnungen kleiner als der statische
Luftdruck. Der Ruhedruck der Atmosphäre beträgt 101325 Pascal (= 1013,25 Hektopascal), während ein Schalldruckpegel von 130 dB einem Effektivwert des Schalldrucks p von
gerade einmal 63 Pascal entspricht.
Die SI-Einheit des Schalldrucks, ebenso wie des Drucks, ist das Pascal mit dem Einheitenzeichen Pa. Der Schalldruck wird oft als Pegelgröße (siehe Schalldruckpegel) in dB
angegeben.
3.1.2
Schalldruckpegel
Der Schalldruckbereich für das menschliche Gehör beginnt bei 2x10−5 N/m2 und reicht bis
20 N/m2 (bei einer Frequenz von 1000 Hz). Zwischen oberer und unterer Grenze liegt
also ein Faktor von 1000000 ! Daher wird der Schalldruckpegel Lp als logarithmische
Verhältnisgröße gemessen. Das Ergebnis wird mit der Hilfsmaßeinheit Dezibel (Abkürzung
dB) gekennzeichnet. Es ist
2
p
p
Lp = 10 log
dB .
(3.4)
dB = 20 log
2
pN
pN
c
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3.1. SCHALLWELLEN
62
Als Bezugswert für den Schalldruckpegel wurde willkürlich pN =2x10−5 N/m2 einem
Pegelwert von 0 dB zugeordnet. Damit resultiert bei einem Schalldruckpegel von 20 N/m2
ein Pegelwert von 120 dB. Die Abbildung 3.2 zeigt Beispiele für Pegelwerte und die entsprechenden Folgen, die für das menschliche Gehör auftreten können.
Bei einem Schalldruckpegel von 130 dB beträgt die Geschwindigkeit der schwingenden Luftmoleküle (der Hin- und Herbewegung von Luftteilchen) nur 0.153 m/s. Bei der
Hörschwelle des Menschen von 0 dB hat diese Geschwindigkeit einen Wert von 5x10−8
m/s. Hierbei werden die Luftpartikel nur ganz gering ausgelenkt. Diese Geschwindigkeit
darf nicht mit der Schallgeschwindigkeit verwechselt werden.
Abbildung 3.2: Schalldruckpegel in dB für verschiedene Beispiele aus dem täglichen Leben. Die
Werte sind mit dem menschlichen Gehör in Bezug gesetzt.
Der Schalldruckpegel ist eine technische und keine psychoakustische Größe. Ein Rückschluss
von Schalldruckpegel auf die wahrgenommene Empfindung ist nur eingeschränkt möglich.
Ganz allgemein lässt sich sagen, dass eine Erhöhung bzw. Senkung des Schalldruckpegels
tendenziell auch lauter bzw. leiser wahrgenommenes Schallereignis hervorruft.
Ein Unterschied im Schalldruckpegel von 10 dB wird
als doppelte Lautstärke wahrgenommen.
c
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3.2. HARMONISCHER SCHALLGEBER
3.2
63
Harmonischer Schallgeber
Betrachten wir einen eindimensionalen harmonischen Schallgeber mit einer Erregerfrequenz
f so folgt für die Schallwelle bei einem mittleren Druck p0 am Ort x zur Zeit t
x pges (x, t) = p0 + p cos 2πf t −
.
(3.5)
c
Der Hörschall umfasst den Frequenzbereich von 16 bis 20 000 Hz. Schwingungen unterhalb des Hörbereichs (< 16 Hz) heißen Infraschall, oberhalb zirka 20 kHz Ultraschall;
bei Frequenzen über etwa 1 GHz spricht man von Hyperschall.
Versuch 1700: Ruben’sches Flammenrohr
Ein Messingrohr (Länge 1 m, Durchmesser ca. 4 cm) ist der Länge nach mit einer Reihe
feiner Löcher versehen und trägt in der Mitte einen Anschlussstutzen für Propangas. Ein
Ende ist verschlossen, am anderen Ende ist eine Telefonmembran befestigt, mit der man im
Rohr Tonfrequenzen erzeugen kann. Als Tongenerator dient ein Sinusgenerator, der über
einen Verstärker an die Membran angeschlossen ist. Das Rohr wird an die Gasflasche angeschlossen und das Gas nach einiger Zeit entzündet (Flammenhöhe auf ca. 4 cm einstellen).
Die stehenden Schallwellen im Rohr bilden sich auf die Flammenreihe ab.
Abbildung 3.3: Ruben’sches Flammenrohr
Musikalische Akustik
• Die Schallwelle eines Tons ist rein sinusförmig und monofrequent.
• Klänge sind eine Überlagerung mehrerer Schallwellen unterschiedlicher Amplitude
und Frequenz, wobei die Frequenzen in ganzzahligen Verhältnissen zueinander stehen.
Das Signal ist also zwar periodisch aber nicht mehr sinusförmig.
• Unregelmäßig überlagerte Schallwellen werden als Geräusch empfunden.
Der Begriff Grundfrequenz, auch Grundschwingung oder Grundton, bezeichnet die tiefste Frequenz in einem harmonischen Frequenzgemisch. Die Grundfrequenz hat eine weitere
Bedeutung: Sieht man ein periodisches Signal als ein Signal an, bei dem sich ein bestimmtes Muster ständig wiederholt, so beschreibt die Grundfrequenz, wie häufig eine solche
Musterwiederholung stattfindet. Im Bereich der Musik beschreibt die Grundfrequenz die
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3.2. HARMONISCHER SCHALLGEBER
64
Tonhöhe, mit der ein Instrument wahrgenommen wird.
Die anderen beteiligten Schwingungen, deren Frequenzen jeweils ein Vielfaches der
Grundfrequenz betragen, werden Harmonische oder Obertöne genannt (siehe Abb. 3.4).
Abbildung 3.4: Beispiel für ein Frequenzgemisch aus einer Grundfrequenz (Kammerton a mit
f = 440 Hz) mit der zweiten und vierten Harmonischen.
Zum Beispiel kommen bei einer Gitarrensaite mehrere Arten von Schwingungen gleichzeitig vor. Zum einen schwingt die gesamte Gitarrensaite gleichartig über die gesamte Saitenlänge. Daneben gibt es Schwingungen, bei denen beide Hälften der Saite mit doppelter
Frequenz gegeneinander schwingen, Schwingungen mit dreifacher Frequenz auf jeweils 1/3
der Saite usw. Die Schwingung mit der niedrigsten Frequenz (gleichartige Schwingung der
gesamten Saite) ist hier die Grundfrequenz, die anderen Schwingungen Oberschwingungen
(siehe Abb. 3.5).
Abbildung 3.5: links: Grundschwingung und Harmonische auf einer Saite. rechts: Grundschwingung und Harmonische für ein Luftsäule in einer offenen oder halboffenen Röhre.
c
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3.3. FOURIER-ANALYSE UND -SYNTHESE
65
Aus der Gesamtheit aller Obertöne ergibt sich das Frequenzspektrum eines Instruments.
Versuch 1640: Bilder von akustischen Schwingungen (Oszilloskop)
Man nimmt die Schwingungen verschiedener Schallquellen (Stimmgabel, Galtonpfeife,
menschliche Stimme, Pfeifen) über ein Mikrophon auf, verstärkt sie und zeigt sie auf dem
Oszilloskop.
Abbildung 3.6: Kammerton a mit der Grundfrequenz f = 440 Hz und entsprechende Signalverläufe für verschiedene Instrumente.
Klangerzeugende Instrumente unterscheiden sich durch das Verhältnis der Amplituden
der höherfrequenten Schwingungen, der Obertöne, zur Grundschwingung. Dies führt zu
sehr verschiedenen Obertonreihen (siehe Abb. 3.6).
3.3
Fourier-Analyse und -Synthese
Die Fourier-Analyse beschreibt das Zerlegen eines beliebigen periodischen Signals in eine
Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen (eine sogenannte Fourier-Reihe). Sie zerlegt ein
Signal damit in seine Frequenzanteile.
∝
a0 X
x(t) =
+
[ak cos (k ω0 t) + bk sin (k ω0 t)]
2
k=1
(3.6)
Zum Beispiel ist die Fourierreihe für ein Rechtecksignal
xR (t) = sin (ω0 t) +
1
1
1
sin (3ω0 t) + sin (5ω0 t) + sin (7ω0 t) + .... .
3
5
7
(3.7)
Anhand dieser Funktion erkennt man, dass man eine Rechteckschwingung durch unendlich viele Oberschwingungen darstellen kann. Sie enthält jeweils die ungeraden harmonischen Oberschwingungen, wobei die Amplitude mit steigender Frequenz abnimmt.
c
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3.3. FOURIER-ANALYSE UND -SYNTHESE
66
Aufgrund dessen wird ein Rechtecksignal auch häufig zum Testen elektronischer Schaltungen genommen, da so das Frequenzverhalten dieser Schaltung erkannt wird.
Abbildung 3.7: Zerlegung eines Rechtecksignals in eine Fourier-Reihe (hier ω0 = 1).
Versuch 1642: Fourier-Analyse von akustischen Schwingungen
Ein akustisches Signal (z.B. Stimmgabel, Pfeifton oder Geige) wird über ein Mikrophon
und einem Messwerterfassungssystem (PASCO) auf den PC gegeben und vom Programm
Science Workshop in Echtzeit analysiert.
Diskrete oder analoge Signale werden mit Hilfe der sogenannten Fourier-Transformation
in ihr Frequenzspektrum transformiert und im Spektralraum analysiert. Im Vergleich zur
Discrete Fourier Transformation (DFT) ist die Fast Fourier Transformation (FFT) das
schnellere Verfahren.
Abbildung 3.8: Zerlegung eines Klangspektrums in eine Fourier-Reihe.
c
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3.4. DOPPLER EFFEKT
67
Die Fourier-Synthese hingegen beschreibt das umgekehrte Verfahren, die Erzeugung
beliebiger Signale aus Sinus- und Kosinusfunktionen.
Abbildung 3.9: Fourier-Synthese eines Rechtecksignals
Im Abbildung 3.9 ist die Fourier-Synthese eines Rechtecksignals dargestellt. Die Diagramme der ersten Spalte zeigen diejenige Schwingung, die in der jeweiligen Zeile hinzugefügt wird. Die Diagramme in der zweiten Spalte zeigen alle bisher berücksichtigten
Schwingungen, die dann in den Diagrammen der dritten Spalte aufaddiert werden, um dem
zu erzeugenden Signal möglichst nahe zu kommen. Die Schwingung aus der ersten Zeile ist
die Grundschwingung, alle weiteren, die hinzugefügt werden, sind die Oberschwingungen.
Je mehr solcher Vielfache der Grundfrequenz berücksichtigt werden, um so näher kommt
man einem idealen Rechtecksignal. An den unstetigen Stellen der Rechteckfunktion bildet sich durch die Fourier-Synthese bedingt ein so genannter Überschwinger, der auch bei
genauerer Approximation nicht verschwindet. Die vierte Spalte zeigt das Amplitudenspektrum.
3.4
Doppler Effekt
Als Doppler Effekt bezeichnet man die Veränderung der (wahrgenommenen oder gemessenen) Frequenz von Wellen, während sich die Quelle und der Beobachter mit der Gechwindigkeit v0 einander nähern oder voneinander entfernen, sich also relativ zueinander bewegen
(siehe Abb. 3.10). Für die Berechung der Frequenzverschiebung sind die folgenden Fälle
zu unterscheiden:
c
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3.4. DOPPLER EFFEKT
68
a) Beobachter bewegt sich, Quelle ruht:
Die Schwingungen einer Schallquelle breiten sich in Form von Kugelwellen in der Luft
aus. Bewegt sich der Beobachter mit der Geschhwindigkeit vB radial auf die Quelle zu, so
kommen die Verdichtungen und Verdünnungen der Luft in rascherer Folge auf ihn zu als
beim Stillstand. Der zeitliche Abstand zwei aufeinanderfolgender Verdichtungen, die beim
Boebachter ankommen, ist
λ
TB =
.
(3.8)
c + vB
Mit c = λ fQ folgt
vB fB = fQ 1 +
> fQ .
(3.9)
c
Entfernt sich der Beobachter gilt entsprehend
vB < fQ .
(3.10)
fB = fQ 1 −
c
Bewegt sich der Beobachter auf einem konzentrischen Kreis um die Quelle herum, so ist
keine Dopplerverschiebung zu beobachten.
Abbildung 3.10: oben: Quelle und Beobachter nähern sich und die Frequenz erhöht sich. unten:
Quelle und Beobachter entfernen sich und die Frequenz erniedrigt sich.
a) Beobachter ruht, Quelle bewegt sich:
Bewegt sich die Quelle mit der Geschwindigkeit vQ auf den Beobachter zu, so sind die
Abstände zwischen den Wellenflächen auf der Vorderseite gestaucht und auf der Rückseite
gedehnt (siehe Abbildung 3.11). Entsprechend ist für den Beobachter die wirksame Wellenlänge λB = λ − vQ TQ verkürzt und die Frequenz, die der Beobachter wahrnimmt
fB =
c
λB
(3.11)
erhöht. Mit c = λ fQ folgt
fB =
c
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fQ
v
1 − cQ
.
(3.12)
3.4. DOPPLER EFFEKT
69
Entfernt sich die Quelle vom Beobachter so gilt
fB =
fQ
v
1 + cQ
.
(3.13)
Bei kleinen Geschwindigkeiten sind die Frequenzverschiebungen sehr ähnlich zu denen
mit invertierter Bewegung. Für Geschwindigkeiten nahe an der Schallgeschwindigkeit c
sind die Unterschiede jedoch erheblich.
Versuch 1760: Akustischer Dopplereffekt
Ein kleiner Lautsprecher ist an einem langen Arm befestigt, der seinerseits auf der Achse
eines Elektromotors sitzt und in der Waagerechten rotieren kann. Der Rotationsdurchmesser beträgt etwa 2m, die Drehzahl maximal etwa 2 Umdrehungen pro Sekunde. Der
Lautsprecher gibt einen konstanten Ton von sich, der mit einer eingebauten Minischaltung
samt Batterie erzeugt wird. Lässt man ihn rotieren, so hört man eine deutliche Frequenzschwankung im Rhythmus der Drehfrequenz.
Machscher Kegel
Ein sich mit der Geschwindigkeit vq bewegendes Objekt schiebt durch die Verdrängung
des Mediums kurzzeitig eine Verdichtungsfront vor sich her, die sich nach dem Ablösen
entsprechend der Schallwellen kugelförmig ausbreitet (siehe Abblidung 3.11 links).
Abbildung 3.11: links: Die Quelle bewegt sich mit vq = c. mitte: Die Quelle bewegt sich mit
vq > c. rechts: Flug mit Überschallgeschwindigkeit - auf die Stoßfront folgende Unterdruckphase
kühlt die Luft ab und bringt dadurch den Wasserdampf der Luft zur Kondensation, was den
Machschen Kegel sichtbar macht.
Mit zunehmender Geschwindigkeit der Quelle nähern sich die Wellenflächen auf der
Vorderseite immer mehr, bis sie schließlich für vq = c durch einen Punkt gehen und die
Einhüllende wie eine ebene Wand aussieht. Durchstößt die Quelle (Flugzeug) diese Schallmauer und fliegt mit Überschallgechwindigkeit (vq > c), dann stellt sich ein Wellenfeld
nach Abbildung 3.11 mitte ein. An der Spitze des Kegels befindet sich das auslösende
Objekt. Dieses muß selbst gar keine Schallwellen aussenden! Bei seiner Bewegung drängt
es die Luftmoleküle zur Seite, erzeugt also vor sich eine Druckerhöhung und hinter sich
eine Druckerniedrigung. Diese Druckwellen breiten sich vom jeweilgen Entstehungspunkt
c
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3.5. MODULATIONSVERFAHREN
70
kugelförmig im Raum aus. Die Überlagerung aller Kugelwellen ergibt als Einhüllende einen
Kegel, den Machschen Kegel. Der halbe Spitzenwinkel Θ dieses Kegels heißt Machscher
Winkel
sin Θ =
c
.
vq
(3.14)
Weil sich auf dem Kegelmantel die Druckerhöhungen aufaddieren, hört ein Beobachter,
über den diese Stoßfront hinwegrast, einen Knall (den Überschallknall).
In Luft beträgt die Schallgeschwindigkeit unter Normalbedingungen (Luft bei 15o C)
343 m/s, was etwa 1235 km/h entspricht. Die relative Geschwindigkeit eines Objektes zur
Schallgeschwindigkeit in Luft wird auch mit der dimensionslosen Mach-Zahl bezeichnet,
so bedeutet Mach 1 die Bewegung mit Schallgeschwindigkeit, Mach 2 diejenige mit der
doppelten Schallgeschwindigkeit usw.
3.5
Modulationsverfahren
Die Modulation beschreibt in der Nachrichtentechnik einen Vorgang, bei dem ein zu
übertragendes Nutzsignal (Musik oder Sprache) ein sogenanntes Trägersignal verändert
(moduliert) und damit die Übertragung des Nutzsignals über das Trägersignal möglich
wird. Dabei vergrößert das Nutzsignal immer auch die Frequenzbandbreite des Trägersignals.
Die Nachricht wird später empfangsseitig durch einen Demodulator wieder zurückgewonnen.
Abbildung 3.12: links: Die zu modulierende Schwingung wird Grundschwingung
(Trägerschwingung) genannt. Die Grundschwingung bestimmt die Tonhöhe und die Lautstärke
des Tones. Die Schwingung, welche die Schwankung der Lautstärke um den Mittelwert verursacht, wird modulierende Schwingung, ihre Frequenz Modulationsfrequenz genannt. rechts:
Die zu modulierende Schwingung wird Grundschwingung genannt, diese bestimmt die Grundtonhöhe und die Lautstärke des Tones. Die Frequenz der modulierenden Schwingung, welche die
Tonhöhenschwankung verursacht, wird Modulationsfrequenz genannt.
c
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3.5. MODULATIONSVERFAHREN
71
Das Trägersignal selbst ist bezüglich der übertragenen Nachricht ohne Bedeutung, es ist
nur zur Anpassung an die physikalischen Eigenschaften des Übertragungskanals notwendig.
3.5.1
Amplitudenmodulation
In der Amplitudenmodulation wird die Amplitude einer hochfrequenten Trägerwelle abhängig vom zu übertragenden, niederfrequenten (modulierenden) Nutzsignal verändert.
Ändert man die Amplitude eines reinen Tones periodisch über der Zeit, so weist das
Resultat zwar eine konstante Tonhöhe aber eine sich periodisch verändernde um einen
Mittelwert schwankende Lautstärke auf (siehe Abbildung 3.12).
Niederfrequente Nutzsignale wie Sprache oder Musik können häufig nicht direkt über
gewünschte Übertragungsmedien wie beispielsweise einen Funkkanal übertragen werden.
Zur Übertragung muss das Nutzsignal im Frequenzbereich verschoben werden, was durch
die Amplitudenmodulation erreicht werden kann. Durch das Verschieben in unterschiedliche Frequenzbereiche können mehrere Nutzsignale gleichzeitig und ohne gegenseitige
Störung übertragen werden.
3.5.2
Frequenzmodulation
Bei der Frequenzmodulation wird die Trägerfrequenz durch das zu übertragende Signal
verändert. Eine frequenzmodulierte Schwingung weist eine konstante Amplitude bei sich
periodisch ändernder Frequenz auf. Ändert man die Frequenz eines reinen Tones periodisch
über der Zeit, so erhält man einen Ton konstanter Lautstärke aber mit sich periodisch
ändernder Tonhöhe (siehe Abbildung 3.12).
Die Frequenzmodulation ermöglicht gegenüber der Amplitudenmodulation einen höheren
Dynamikumfang des Informationssignals. Weiterhin ist sie weniger anfällig gegenüber Störungen.
3.5.3
Phasenmodulation
Das modulierte Sendesignal kann bei der Phasenmodulation allgemein durch eine Sendefrequenz dargestellt werden, deren Frequenz sich nur dann in gewissem Umfang ändert
wenn sich die zu übertragende Nutzsignalfrequenz zeitlich verändert. Durch diese Frequenzänderung wird eine Phasenverschiebung vom Sendesignal zur ursprünglichen Sendefrequenz erreicht. Ist die zu übertragende Nutzsignalfrequenz zeitlich konstant, wird die
Sendefrequenz ausgegeben.
c
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Kapitel 4
Optik
Die Optik beschreibt die Ausbreitung von Licht und dessen Wechselwirkung mit Materie
insbesondere im Zusammenhang mit optischen Abbildungen. Optik wird daher oft auch
als die Lehre vom Licht bezeichnet.
Es werden zwei klassische Zugänge zur Lichtausbreitung unterschieden: Die Wellenoptik
und die geometrische Optik. Grundlage der Wellenoptik ist die Wellennatur des Lichts. Die
Gesetzmäßigkeiten der geometrischen Optik gelten für den Fall, dass die Abmessungen des
optischen Systems sehr groß sind gegenüber der Wellenlänge des Lichts.
4.1
Eigenschaften des Lichts
Mit Welle-Teilchen-Dualismus wird ein klassischer Erklärungsansatz der Quantenmechanik
bezeichnet, der besagt, dass Objekte aus der Quantenwelt sich in manchen Fällen nur als
Wellen, in anderen nur als Teilchen beschreiben lassen. Jede Strahlung hat sowohl Wellenals auch Teilchencharakter, aber je nach dem durchgeführten Experiment tritt nur der eine
oder der andere in Erscheinung.
Im Teilchenbild besteht das Licht aus Lichtteilchen, sogenannten Photonen. Das Photon hat hierbei die Energie E, die von der Wellenlänge λ bzw. der Frequenz f der Lichtwelle
abhängen
hc
E = hf =
.
(4.1)
λ
Hierbei bezeichnen c = 2.998 · 108 m/s die (Vakuum-)Lichtgeschwindigkeit und h = 6.626 ·
10−34 Js eine Konstante, das sogenannte Planck’sche Wirkungsquantum.
Die Ausbreitung von Licht wird am einfachsten durch die Welleneigenschaften erklärt,
während der Austausch von Energie zwischen Licht und Materie (z.B. Beim Photoeffekt)
durch Teilcheneigenschaften erklärbar ist.
Ein Teilchen mit dem Impuls p weist auch Welleneigenschaften mit der de-Broglie
Wellenlänge
h
λ=
(4.2)
p
72
4.1. EIGENSCHAFTEN DES LICHTS
73
auf. Entsprechend verknüpft die sogenannte de-Broglie Wellenlänge das Teilchen- und Wellenbild.
Abbildung 4.1: Die Gesamtheit aller strahlender Energiearten oder Wellenfrequenzen, von den
kürzesten bis zu den längsten Wellenlängen, bildet das elektromagnetische Spektrum.
Unter Licht wird in der Regel der sichtbare Teil des elektromagnetischen Spektrums
(siehe Abb. 4.1) zwischen ca. 380 nm bis 780 nm verstanden. In der Physik wird als optisches Spektrum häufig auch der Frequenzbereich ab einer Frequenz von 100 THz bis
800 THz definiert. Hierunter fällt also auch unsichtbares Licht, wie z. B. das Infrarotlicht oder das ultraviolette Licht. Viele Gesetzmäßigkeiten und Methoden der klassischen
Optik gelten allerdings auch außerhalb des Bereichs des sichtbaren Lichts. Dies erlaubt
eine Übertragung der Erkenntnisse der Optik auf andere Bereiche des elektromagnetischen
Spektrums.
4.1.1
Farben
Eine Spektralfarbe (reine Farbe) ist jener Farbeindruck, der durch Licht einer festen Wellenlänge (monochromatisches Licht) im sichtbaren Teil des Lichtspektrums entsteht. Wir
ordenen also einzelnen Lichtwellenlängen
λ=
Farben zu.
Versuch 3140: Additive Farbmischung
c
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c
f
(4.3)
4.1. EIGENSCHAFTEN DES LICHTS
74
Drei Diaprojektoren enthalten je eine Lochblende, die mit einer Farbfolie abgedeckt ist
(rot, grün und blau). Die Farbkreise werden so abgebildet, daß sie sich teilweise überlappen.
Man sieht dann außer den drei reinen Farben die aus je zwei Farben entstehenden additiven Mischungen und schließlich die in der Mitte entstehende Summenfarbe Weiß.
In der additiven Farbmischung werden aktiv leuchtende bzw. beleuchtete Lichtquellen verschiedener Farben überlagert. Rot (R), Grün (G) und Blau (B) sind die Primär- oder
Grundfarben des additiven Modells. Die drei Grundfarben ergeben bei geeignetem Mischverhältnis nach der additiven Farbmischung Weiß. Ein typisches Beispiel sind die Pixel bei
Bildschirmen (Fernseher, Computer, usw.). Das zugehörige Modell wird bezugnehmend
auf die drei Grundfarben als RGB-Modell bezeichnet.
Abbildung 4.2: Additive Farbmischung aus den drei Grundfraben Rot, Grün und Blau. In der
Mitte überschneiden sich alle drei Lichtkegel, hier sieht man die Tertiärfarbe Weiß.
Die ersten reinen Mischfarben der Primärfarben im Verhältnis 1 zu 1 sind Cyan (Cyanblau), Magenta (Magentarot) und Yellow (Optimalgelb). Sie heißen Sekundärfarben des
(additiven) Modells. Sie sind gleichzeitig auch die Komplementärfarben zu den Primärfarben.
In der Mitte überschneiden sich alle drei Lichtkegel und es ergibt sich die Tertiärfarbe Weiß.
Die unbunte Grundfarbe Schwarz wird durch die Dunkelheit im Raum repräsentiert.
Versuch 3145: Komplementärfarben
Wir erzeugen mit einem Geradsichtprisma das kontinuierliche Spektrum der Bogenlampe oder 24 V Halogenlampe als Zwischenbild. In diesem Zwischenbild kann man mit einem
Spiegel einen Teil des Spektrums auslenken und sowohl den ausgelenkten Teil als auch
das Restspektrum mit einer Zylinderlinse wieder zum Bild des Spaltes vereinigen. Je nach
Stellung des Spiegels sieht man zwei Spaltbilder in verschiedenen Komplementärfarben.
Die subtraktive Farbmischung beruht auf der Absorption von Teilen des Lichtspektrums durch die Körperoberfläche, so dass nur die verbleibenden Anteile durchgelassen
oder reflektiert werden.
c
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4.1. EIGENSCHAFTEN DES LICHTS
75
Der Farbauftrag absorbiert den komplementären Farbanteil im Licht und reflektiert
deshalb nur seinen Farbton. Dies ist gleichbedeutend mit dem Einfügen von Filtern in
einen weißen Lichtstrahl.
Die drei Primärfarben sind Yellow (Y, Gelb), Magenta (M) und Cyan (C). Diese
drei Grundfarben ergeben bei geeignetem Mischverhältnis nach subtraktiver Farbmischung
Schwarz. Die Sekundärfarben sind die Farben Rot (R), Grün (G) und Blau (B).
Abbildung 4.3: Subtraktive Farbmischung aus den drei Grundfarben Yellow (Gelb), Magenta
und Cyan. In der Mitte überschneiden sich alle drei Farben, hier sieht man die Tertiärfarbe
Schwarz.
Das zugehörige Modell wird bezugnehmend auf die drei Grundfarben als CMY-Modell
bezeichnet und findet in der Malerei und Druckgrafik Anwendung. In der Praxis sind Farbstoffe allerdings nicht in der theoretisch erforderlichen Reinheit verfügbar. Aus technischem
Grund wird meist zu Cyan, Magenta, und Yellow als Ergänzung noch Schwarz eingesetzt
(CMYK-Modell). Dadurch erhält man z.B. beim Drucken mit Tintenstrahldruckern eine
Qualitätsverbesserung.
4.1.2
Lichtquellen
Eine Lichtquelle ist der Ursprungsort von Licht. Lichtquellen 1. Ordnung sind selbstleuchtende Lichtquellen. Dazu gehören u. a. die Sonne, Sterne, Lampen, Glühwürmchen, Feuer
usw. Als Lichtquellen 2. Ordnung bezeichnet man Körper, die Licht nur reflektieren und
nicht selbst leuchten. Hierzu zählen z. B. der Mond, Rückstrahler an Fahrzeugen.
Die Strahlstärke (Lichtstärke) einer Punktquelle, die den Strahlungsfluss dΦ pro Raumwinkel dΩ emittiert, ist
dΦ
I=
.
(4.4)
dΩ
Die Einheit der Lichtstärke ist das Candela (cd).
Versuch 4067: Strahlung verschiedener Oberflächen bei gleicher Temperatur
Ein Metallwürfel (Leslie-Würfel) von etwa 10 cm Kantenlänge ist innen hohl und hat
verschieden behandelte Oberflächen: glänzend, weiß und schwarz lackiert. Er wird mit
c
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4.1. EIGENSCHAFTEN DES LICHTS
76
heißem Wasser über einen Thermostaten gefüllt und auf eine drehbare Unterlage gestellt.
Schaut man jetzt seine verschiedenen Oberflächen mit einem Bolometer an, dessen Strom
man mit einem Galvanometer sichtbar macht, so stellt man fest, dass die schwarze Fläche
am meisten und die glänzende Fläche am wenigsten Wärme abstrahlt.
Thermische Strahler
Thermische Strahler liefern eine kontinuierliche Strahlung. Ein schwarzer Strahler (auch:
schwarzer Körper, planckscher Strahler) ist ein idealisierter Körper, der die auf ihn treffende elektromagnetische Strahlung egal welcher Wellenlänge vollständig absorbiert. Er
ist zugleich eine ideale thermische Strahlungsquelle, die elektromagnetische Strahlung mit
einem charakteristischen, nur von der Temperatur abhängigen Spektrum aussendet. Intensität und Frequenzverteilung der von einem schwarzen Körper ausgesandten elektromagnetischen Strahlung werden durch das von Max Planck aufgestellte plancksche Strahlungsgesetz beschrieben. Die spezifische spektrale Ausstrahlung bei Temperatur T ist


2
2π h c 
1
 .
i
h
(4.5)
Meλ =
5
hc
λ
−1
exp
λ kB T
Hierbei bezeichnet kB = 1.381 · 10−23 J/K die Boltzmann-Konstante.
Abbildung 4.4: Verteilung der Intensität der abgegebenen Strahlung in Abhängigkeit von der
Wellenlänge. Je höher die Temperatur, desto weiter verlagert sich das Maximum zu kleineren
Wellenlängen.
c
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4.1. EIGENSCHAFTEN DES LICHTS
77
Die spezifische spektrale Ausstrahlung nimmt bei jeder Wellenlänge mit der absoluten
Temperatur zu. Das Maximum λmax der Kurven verschiebt sich, gemäß dem Wienschen
Verschiebungsgesetz, mit zunehmender Temperatur zu kürzeren Wellenlängen
λmax T =
hc
4.966 kB
.
(4.6)
Für den Temperaturbereich zwischen 5000 und 6000 K fällt das Maximum in den sichtbaren
Bereich des elektromagnetischen Spektrums.
Die gesamte spezifische spektrale Ausstrahlung Me bei einer Temperatur T ist die
Fläche unter der Kurve der Schwarzkörperstrahlung und folgt durch Integration über alle
Wellenlängen
Z
∞
Meλ dλ = σT 4 ,
Me =
(4.7)
0
wobei σ = 5.67 · 10−8 W/(m2 K4 ) die Stefan-Boltzmann Konstante ist. Dieser Zusammenhang wird als Stefan-Boltzmann Gesetz bezeichnet.
Sonnenspektrum
Das Spekturm der Sonne kommt einer idealen Schwarzkörperstrahlung für eine Temperatur
von 5762 K recht nahe. Oberhalb der Erdatmosphäre liegt entsprechend eine extraterrestrische Strahlung von 1350 W/m2 vor. Auf dem Weg durch die Atmosphäre wird die
spektrale Verteilung der Sonnenstrahlung durch Absorption und Streuung verändert. Vor
allem durch Wasserdampf, Sauerstoff und Kohlendioxid wird die meist selektive Absorption verursacht, woraus sich Bandlücken ergeben. Lediglich Ozon absorbiert in einem breiten
Spektrum von 200 bis 700 nm und filtert somit (siehe Abbildung 4.5) einen großen Teil
der UV-Strahlung (links des sichtbaren Bereichs) aus.
Abbildung 4.5: Das Spektrum eines (a) schwarzen Körpers ist mit dem (b) Sonnenspektrum
über der Atmosphäre und (c) auf der Erde verglichen.
c
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4.1. EIGENSCHAFTEN DES LICHTS
78
Der Strahlungsfluss Φ, der von der Sonne auf der Erde zu beobachten ist, hängt vom
Einfallswinkel β (gemessen zum Lot) ab. Diese Abhängigkeit läßt sich über das Lambertsche Gesetz beschreiben:
Φ = Φ0 cos(β) ,
(4.8)
wobei Φ0 den Strahlungsfluss bei senkrechtem Einfall bezeichnet.
Auf dem Weg durch die Atmosphäre kann die Strahlung absorbiert oder gestreut werden. Bei Absorption nimmt der Strahlungsfluss exponentiell ab:
Φ = Φ0 exp(−tl) .
(4.9)
Der Strahlungsfluss vor dem Eintreffen in die Atmosphäre Φ0 wird also abhängig vom Absorptionskoeffizienten t und der Länge des Weges durch die Atmosphäre l reduziert.
Um die Änderung des Sonnenspektrums auf dem Weg durch die Erdatmosphäre zu
charakterisieren, führte man den Begriff der Air Mass (AM) ein. AM0 steht dabei für die
Strahlung vor dem Eintreten in die Atmosphäre, AM1 kennzeichnet den senkrechten Einfall
des Sonnenlichts auf die Erdoberfläche. Umgerechnet in den Strahlungsstrom ergeben sich
für die Air Mass in etwa folgende Werte: AM0: 1350 W/m2 , AM1: 925 W/m2 , AM1.5: 844
W/m2 und AM2: 691 W/m2 .
Abbildung 4.6: AM-Werte für verschiedene Tage im Jahr in Berlin.
Versuch 3357: Modellauto mit Solarzellenantrieb
Der Motor eines Modellautos wird über sechs am Heck angebrachte Solarzellen angetrieben, indem man sie mit einer starken Lichtquelle (Fotolampe oder Spot) beleuchtet.
Die Geschwindigkeit bleibt jedoch trotz hoher Energiezufuhr relativ klein. Es bewältigt
auch nur kleine Steigungen.
Eine Solarzelle oder photovoltaische Zelle ist ein elektrisches Bauelement, das die im
Licht (in der Regel Sonnenlicht) enthaltene Strahlungsenergie direkt in elektrische Energie wandelt. Die physikalische Grundlage der Umwandlung ist der photovoltaische Effekt.
Der photovoltaische Effekt ist ein Sonderfall des inneren photoelektrischen Effekts (siehe
nächstes Semester).
c
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4.1. EIGENSCHAFTEN DES LICHTS
79
Gasentladungslampen
Gasentladungslampen sind Lichtquellen, die zur Lichterzeugung eine Gasentladung verwenden. Dabei werden die spontane Emission durch atomare oder molekulare elektronische
Übergänge und die Rekombinationsstrahlung eines durch elektrische Entladung erzeugten Plasmas ausgenutzt. Ein Unterscheidungskriterium der Gasentladungslampen ist der
Druck im Entladungsgefäß:
• Niederdruck-Entladungslampen (Niederdruck-Plasma, Glimmentladung, z. B. Leuchtröhren, Leuchtstofflampen, Neonröhren)
• Hochdruck-Entladungslampen (Drücke bis etwa 1 MPa, z. B. Quecksilberdampflampen, Krypton-Bogenlampen zur Laser-Anregung)
• Höchstdruck-Lampen (Drücke bis etwa 10 MPa, z. B. Quecksilberdampf-Höchstdrucklampen in der Fotolithografie, Xenonlampe im Auto)
Abbildung 4.7: Die Kathode ist von einer scharf begrenzten, dünnen, violetten Schicht, dem
negative geladenen Glimmsaum, bedeckt, dem sich ein erster schmaler und ebenfalls scharf begrenzter Dunkelraum, der Hittorfsche Dunkelraum, anschließt. Es folgt das negative Glimmlicht,
das diffus in den zweiten, den Faradayschen Dunkelraum, übergeht. Die anschließende, jetzt fahlrot leuchtende positive Säule nimmt nur noch die halbe Länge des Entladungsrohrs ein.
Versuch 3340: Gasentladung
In einem Gasentladungsrohr von etwa 5 cm Durchmesser und ca. 50 cm Elektrodenabstand wird die Glimmentladungsausbildung in Luft untersucht. Als Spannungsquelle dient
ein Funkeninduktor oder ein Hochspannungsgerät, mit dem man Gleichspannungen über
10 KV bei Stromstärken im mA-Bereich erzeugen kann. Die Druckvariation wird mittels
Drehschieberpumpe erreicht. Bei einem Druck von einigen zehn Millibar tritt eine bläuliche,
fadenstrahlartige Entladung auf. Diese Entladung verbreitert sich, wenn der Druck mit
der Drehschieberpumpe weiter reduziert wird. Sobald die Glimmentladung das gesamte
Entladungsrohr ausfüllt, kann man drei ausgeprägte Leuchterscheinungen unterscheiden:
unmittelbar an der Kathode befindet sich eine schmale, violett leuchtende Schicht, das
negative Glimmlicht; es folgt ein Dunkelraum, der nach seinem Entdecker der Faradaysche Dunkelraum genannt wird; an diesen Dunkelraum schließt sich ein langes, intensiv
rot leuchtendes Band, die positive Säule, an. Die positive Säule reicht bis zur Anode. Bei
weiterer Verminderung des Drucks dehnen sich das negative Glimmlicht und der Dunkelraum immer weiter aus, während die positive Säule langsam schrumpft. Bei ca. 1 mbar
entspricht die Leuchterscheinung etwa der in Abbildung 4.7 dargestellten Form. Bei etwa
c
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4.2. AUSBREITUNG VON LICHT
80
10−1 mbar verschwindet die positive Säule vollkommen und das negative Glimmlicht erfüllt
den Großteil des Rohrs. Bei weiterem Evakuieren schwindet das Leuchten der Entladung
immer mehr, bis man schließlich nur mehr bläuliches Fluoreszieren der Glaswand beobachtet.
Über zwei Elektroden fließt ein Strom durch das ionisierte Gas, das in einer Quarzröhre eingeschlossen ist. Das elektrische Feld zwischen den Elektroden beschleunigt die
Elektronen so, dass sie die Gasatome ionisieren können. Beim Übergang der Gasatome in
energetisch tieferliegende Zustände wird Energie in Form von Strahlung (Photonen) frei.
Die Photonenenergie Emn entspricht der Differenz der diskreten Energien Wm und Wn der
zugehörigen Schalen m und n des Gasatoms
Emn = hfnm = Wm − Wn .
(4.10)
Es entsteht ein Linienspektrum. Bei niedrigem Druck und niedrigen Stromstärken treten diese scharfe Spektrallinien auf. Bei Betriebsbedingungen wie hoher Druck oder hohe
Temperatur ergibt sich zusätz zu verbreiterten Spektrallinien eine kontinuierliche spektrale
Verteilung.
Versuch 3335: Gitterspektrum von Quecksilber
Das Linienspektrum von Hg wird mit einem Gitterspektrograph in verkürzter Bauweise gezeigt. Wir benutzen Gitter verschiedener Strichzahl, um das Auftreten der zweiten
Beugungsordnung zu zeigen. Die nullte Ordnung (weiß) muss wegen der hohen Intensität
mit einem schwarzen Papierstreifen ausgeblendet werden.
4.2
Ausbreitung von Licht
Es gibt zwei grundlegende Arten für die Beschreibung der Lichtausbreitung, abhängig von
der Wellenlänge λ im Vergleich zur Größe des Objekts (Objektgröße), welches beleuchtet
wird:
• λ << Objektgröße: Die Beschreibung erfolgt durch die geometrische Optik. Das Licht
wird als Strahl betrachtet und breitet sich geradlinig von seiner Quelle aus.
• λ ∼ Objektgröße: Die Beschreibung erfolgt durch die Wellenloptik. Licht besteht aus
elektrischen und magnetischen Feldern, die sich wellenförmig ausbreiten (elektromagnetische Welle).
Versuch 3000: Schatten in geometrischer Optik und Interferenzoptik
Ein paralleler veränderlicher Spalt wird von einer Lichtquelle (Laser mit Mikroskopoptik 10-fach) beleuchtet und sein Schatten auf die Leinwand projiziert. Bei weit geöffnetem
Spalt sieht man den geometrischen Schatten auf der Leinwand. Verengt man den Spalt
allmählich, so wird zunächst auch das Schattenbild enger, dann aber wieder weiter. Zusätzlich
tauchen Interferenzstreifen neben dem geometrischen Schatten auf.
c
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4.2. AUSBREITUNG VON LICHT
4.2.1
81
Beugung
Beugung bezeichnet die Ablenkung von (Licht-)Wellen an einem Hindernis. Bei Beugungserscheinungen kann sich die Welle im geometrischen Schattenraum des Hindernisses (Kante, Spalt, Gitter, usw.) ausbreiten. Zur Beugung kommt es durch Entstehung neuer Wellen
entlang einer Wellenfront gemäß dem Huygensschen Prinzip.
Abbildung 4.8: links: Bei der Beugung an einem spaltförmigen Hindernis breiten sich die Wellen
hinter dem Hindernis auch im geometrischen Schattenraum aus. rechts: Beispiele für das Huygenssche Prinzip mit alten und neuen Wellenfronten für ebene Wellen (links) und Kugelwellen
(rechts).
Huygenssches Prinzip: Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt von
Elementarwellen angesehen werden, die sich mit gleicher Geschwindigkeit und Wellenlänge
wie die ursprüngliche Welle ausbreiten. Die Einhüllende dieser Elementarwellen stellt die
neue Wellenfront dar.
4.2.2
Reflektion
Beim Übergang einer Lichtwelle in ein anderes Medium wird ein Teil reflektiert, der andere
Teil dringt in das Medium ein.
Versuch 3005: Reflektionsgesetz
Der Versuch wird entweder an der optischen Wand oder (besser) mit einem eigens dafür
gebauten drehbaren Spiegel vor einer Styroporplatte gezeigt. Im zweiten Fall nimmt man
einen Diaprojektor mit Lochblende als Lichtquelle und arbeitet mit einem streifendem
Lichtstrahl. Fällt ein Lichtstrahl unter einem Winkel α auf einen ebenen Spiegel ein so
wird er unter demselben Winkel β wieder reflektiert: α = β. Beide Winkel werden zum
Einfallslot (auf die Spiegeloberfläche) gemessen.
c
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4.2. AUSBREITUNG VON LICHT
82
Abbildung 4.9: links: Reflektion an der Grenzfläche zwischen zwei Medien mit unterschiedlichem
Brechungsindex n1 und n2 . rechts: Glatte Oberflächen reflektieren das Licht und wirken so wie
Spiegel.
Bei Reflektion gilt das Reflektionsgesetz wonach der Einfallswinkel α gleich dem Ausfallswinkel β ist
α=β .
(4.11)
Die einfallende und die reflektierte Welle laufen jeweils mit der Geschwindigkeit c1 im
gleichen Medium n1 (siehe Abb. 4.9).
4.2.3
Fermatsches Prinzip
Nach dem Fermatschen Prinzip muss der optische Weg (Produkt aus Brechungsindex und
geometrischem Weg) einen Extremwert annehmen (also ein Minimum).
Abbildung 4.10: Beispiele für verschiedene Lichtwege zwischen den Punkten A und B. Licht
nimmt nach dem Fermatschen Prinzip den kürzesten Weg ACB.
Mathematisch lautet das Fermatsche Prinzip: Die Zeit
Z s2
n(s)
t=
ds
s1 c(n(s))
ist minimal. Die Lichtwelle folgt also dem Weg, bei dem die Laufzeit minimal ist.
c
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(4.12)
4.2. AUSBREITUNG VON LICHT
83
Abbildung 4.11: links: bikonkave Linse, rechts: bikonvexe Linse
Das Fermatsche Prinzip ist die Grundlage der geometrischen Lichtoptik, in der Licht
als Strahl verstanden wird. Es findet beispielsweise bei allen Konstruktionen an Linsen
Anwendung.
4.2.4
Snelliussches Brechungsgesetz
Eine (Licht-)Welle wird gebrochen, ändert also ihre Richtung, wenn sie von einem transparenten Medium in ein anderes transparentes Medium mit einem anderen Brechungsindex
übergeht.
Abbildung 4.12: links: Brechung an der Grenzfläche zwischen zwei Medien mit unterschiedlichen Brechungsindices n1 und n2 . c0 bezeichnet die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. rechts:
Durch Brechung erscheint der Buntstift nicht gerade sondern unterhalb der Wasseroberfläche
unter einem Winkel abgeknickt.
Geht der Lichtstrahl vom Medium mit Brechungsindex n1 in das Medium mit dem
Brechungsindex n2 über, so ist
sin α
c1
n2
=
=
(4.13)
sin γ
c2
n1
und wegen Energieerhaltung (also auch Frequenz f = konst.)
λ1
c1
=
,
c2
λ2
c
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(4.14)
4.2. AUSBREITUNG VON LICHT
84
wobei α den Einfallswinkel und γ den Brechungswinkel gemessen zum Lot bezeichnen.
Das Snelliussche Brechungsgesetz ist eine Folgerung des Fermatschen Prinzips.
4.2.5
Totalreflexion
Totalreflexion kann nur bei dem Übergang eines Lichtstrahls von einem optisch dichteren
Medium (Wasser) in ein optisch dünneres Medium (Luft) erfolgen. Dabei geht keinerlei
Energie verloren.
Versuch 3046: Totalreflexion im Wasserstrahl
In unserem Versuch schießen wir mit einem He-Ne-Laserstrahl im rechten Winkel zur
Grenzfläche (keine Totalreflexion!) durch die verengte Öffnung (Glasrohr im Korken) eines 5 Liter Wassertrogs und führen ihn in einen ausfließenden Wasserstrahl. Dort wird er
solange im Strahl totalreflektiert, bis sich der Strahl in einzelne Tropfen auflöst. Die Sichtbarkeit des Lichts im Strahl erreichen wir durch Streuung an kleinen aufgeschwemmten
Teilchen.
Abbildung 4.13: Beispiele für verschiedene Einfallswinkel des Lichts auf die Grenzfläche zwischen einem optisch dichteren und dünneren Medium (Übergang Glasfaser in Luft): 1) Einfallswinkel 0o , 2) 30o , 3) 41,8o und 4) 45o .
Ein Lichtstrahl, der aus einem optisch dichteren Medium kommt und auf die Grenzfläche zu einem optisch dünneren Medium fällt, wird gemäß dem Snelliusschen Brechungsgesetz vom Einfallslot weg gebrochen. Der Brechungswinkel ist also größer als der Einfallswinkel des Lichts. Vergrößert man den Einfallswinkel, so verläuft der gebrochene Strahl ab
einem bestimmten Wert parallel zur Grenzfläche (siehe Abb. 4.13.3). Dieser Winkel wird
Grenzwinkel der Totalreflexion αtot oder auch kritischer Winkel αc genannt.
Beispiel Glasfaser:
Es ist nLuf t < nGlas , so daß Totalreflexion beim Austritt von Licht aus der Glasfaser
möglich ist. Am Grenzwinkel der Totalreflexion ist der Ausfallswinkel erneut β = 90o .
Entsprechend ist sin β = 1 und es folgt
1
nGlas
=
sin αc
nLuf t
c
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(4.15)
4.2. AUSBREITUNG VON LICHT
85
und so mit für den Grenzwinkel der Totalreflexion
nLuf t
αc = arcsin
.
nGlas
(4.16)
Bei einer Glasfaser mit einem Brechungsindex von 1.5 (BK 7-Glas) ergibt dies αc =
41.8o .
Abbildung 4.14: links: Übergang von Glas zu Luft. rechts: Aufbau einer Glasfaser mit Faserkern,
Fasermantel und Isolation.
Versuch 3045: Lichtleiter
Der Strahl eines He-Ne-Lasers wird durch einen Lichtleiter geschickt, in den man einen
Knoten gemacht hat. Das Licht ist in der Lage diesem Knoten zu folgen und kann so in
komplizierten Geometrien geführt werden.
4.2.6
Umkehrung des Lichtweges
Vertauschen wir in den betrachteten Fällen den Ausgangspunkt des Lichts (Lichtquelle)
und den Beobachtungspunkt (Detektor), so folgt nach dem Fermatschen Prinzip der gleiche
geometrische Weg. Lediglich die Richtung ist vertauscht. In einem optischen System nimmt
der Lichtstrahl also den selben Weg zurück. Für optische Konstruktionen ist diese Prinzip
sehr nützlich.
4.2.7
Planparallele Platte
Licht trifft unter einem Einfallswinkel α auf eine planparallele Platte der Dicke d (siehe
Abbildung 4.15. Durchläuft ein Lichtstrahl diese planparallele Platte vollständig, so ändert
sich seine Richtung insgesamt nicht, der austretende Strahl ist aber zum eintretenden
verschoben. Die Verschiebung δ ist dann
δ=
d sin(α − β)
,
cos(β)
wobei sich der Winkel β aus dem Brechunsggesetz berechnet.
c
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(4.17)
4.2. AUSBREITUNG VON LICHT
86
Abbildung 4.15: Licht durchläuft eine Platte mit planparallelen Grenzflächen und erfährt eine
Querverschiebung.
Versuch 3007: Lichtstrahlenverschiebung an einer planparallelen Platte
Tritt ein Lichtstrahl an einem Punkt A in eine planparallele rechteckige Platte ein, so
wird er aufgrund des Snelliusschen Brechungsgesetzes zur Normalen auf die Oberfläche hin
gebrochen. Er tritt anschließend am Punkt B wieder aus dem dichteren Medium aus und
wird dabei wiederum von der Normalen weg gebrochen. Da es sich bei beiden Übertritten
jeweils um einen Übergang zwischen denselben Medien handelt wird der Strahl beide Male
um denselben Winkel gebrochen - allerdings in unterschiedliche Richtungen, was dazu
führt, dass die Richtung des Strahls nach dem Austritt aus der Platte dieselbe ist wie vor
dem Eintritt, sich der Strahl aber aufgrund seines Verlaufs innerhalb der Platte um einen
Abstand d parallel verschoben hat.
4.2.8
Ablenkung durch ein Prisma
Unter einem Prisma wird in der Optik vorwiegend eine spezielle Form des geometrischen
Körpers Prisma verstanden, nämlich ein gerades Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche. Seine optischen Eigenschaften hängen im Wesentlichen von den Dreieckswinkeln
und von der Brechzahl des Werkstoffes (Glas oder glasklarer Kunststoff) ab. Die Hauptanwendungen des Prismas beruhen auf seiner Eigenschaft, Licht wellenlängenabhängig zu
brechen oder total zu reflektieren, je nach Bauart des Prismas.
Versuch 3023: Reflexion von Licht an der Kante eines Glasprismas
Fallen Lichtstrahlen senkrecht auf die Kante (Kathete) eines gleichschenklig rechtwinkligen Glasprismas (siehe Abbildung 4.16) so werden sie zunächst aufgrund des Snelliusschen
Brechungsgesetzes nicht abgelenkt. Im weiteren Verlauf treffen sie jedoch auf eine weitere
Kante, geometrisch gesehen die Hypothenuse, wo sie total reflektiert werden. Nach dem
Reflexionsgesetz ist Einfalls- gleich Ausfallswinkel, was dazu führt, dass die Lichtstrahlen
um 90o abgelenkt werden. Wird das Prisma leicht verschoben so können sowohl Reflexion
als auch Brechung beobachtet werden.
Versuch 3024: Reflexion von Licht an zwei Kanten eines Glasprismas
Fallen Lichtstrahlen senkrecht auf die untere Kante (geometrisch gesehen die Hypo-
c
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4.2. AUSBREITUNG VON LICHT
87
thenuse) eines gleichschenklig rechtwinkligen Glasprismas (siehe Abbildung 4.16) so werden sie zunächst aufgrund des Snelliusschen Brechungsgesetzes nicht abgelenkt. Im weiteren Verlauf treffen sie jedoch zunächst auf eine der Katheten, wo sie total reflektiert und
aufgrund des Reflexionsgesetzes um 90o abgelenkt werden, danach auf die andere Kathete, wo sie ebenfalls total reflektiert und um 90o abgelenkt werden. Insgesamt werden die
Lichtstrahlen also um 180o abgelenkt, der Verlauf des Lichtes dreht sich gerade um. Außerdem ist ebenfalls das gesamte Bild um 180o gedreht: wird der oberste einfallende Strahl
abgedeckt so verschwindet der unterste Strahl des austretenden Lichtes, und umgekehrt.
Abbildung 4.16: links: Reflexion von Licht an einer Kante (Hypothenuse) eines Glasprismas.
rechts: Reflexion von Licht an zwei Kanten (Katheten) eines Glasprismas.
Beim Eintritt in ein Glasprisma wird der einfallende Strahl zur Oberflächennormalen
hin gebrochen, beim Austritt wieder davon weg gebrochen. Daraus ergibt sich ein totaler
Ablenkwinkel δ wie Abbildung 4.17 ersichtlich ist.
Abbildung 4.17: Die Ablenkung des gebrochenen Lichtes ist bei symmetrischem Durchgang minimal.
Im Falle des minimalen Ablenkwinkels δmin ist der Einfallswinkel α gleich dem Ausfallswinkel β. Der Verlauf des abgelenkten Strahls innerhalb des Prismas ist parallel zu der
Kante die der Strahl nicht durchtritt (die Kante KL in Abbildung 4.17). Der Brechungsindex des Prismas ergibt sich dann aus
sin δmin2 +φ
n=
.
(4.18)
sin φ2
c
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4.3. GEOMETRISCHE OPTIK
Allgemein ist der Ablenkwinkel am Prisma
p
δ = φ − α + arcsin cos φ sin α − sin φ n2 − sin2 α
88
.
(4.19)
Benutzen wir jedoch anstelle des monochromatischen Lichts, weisses Licht, so stellen
wir fest, dass der Ablenkwinkel zudem von der Wellenlänge abhängt. Ursache ist die
Abhängigkeit der Brechzahl n(λ) von der Wellenlänge.
Versuch 3024: Dispersion verschiedener Prismen
Drei 60o Prismen verschiedener Gläser (Kronglas n=1.52, Flintglas n= 1.60 und Schwerflint n=1.73) werden übereinander gestellt und je ein Spektrum durch sie erzeugt. Mit einer
Bogenlampe entstehen kontinuierliche Spektren, deren Aufbau aber unterschiedlich ist. Das
kann man gut sehen, wenn man beispielsweise die gelbe Spektralfarbe aller drei Spektren
übereinander stellt. Der Aufbau entspricht dem vereinfachten Prismenspektrographen (nur
eine Linse), die Spektren werden auf die Leinwand abgebildet.
Abbildung 4.18: Die Farbzerlegung von weissem Licht bei der Brechung durch ein Prisma beruht auf der Dispersionkurve von typischen Materialien, bei der die Brechzahl mit steigender
Wellenlänge abnimmt.
Für der Bereich des sichtbaren Lichts haben typische Materialien einen wellenlängenabhängigen Verlauf der Brechzahl n, bei dem n mit steigendem Wert von λ abnimmt.
Folglich werden kleiner Wellenlängen stärker abgelenkt und ein weisser Strahl immer so
aufgespalten, dass der Farbverlauf von oben nach unten von rot zu violett geht.
4.3
Geometrische Optik
Die geometrische Optik oder Strahlenoptik ist eine Näherung der Optik, in der die Welleneigenschaften des Lichtes vernachlässigt werden, weil die mit dem Licht wechselwirkenden
Strukturen (Spiegel, Linsen, Blenden, usw.) und die abgebildeten Objektdetails groß im
Verhältnis zur Wellenlänge des Lichtes sind.
In der geometrischen Optik wird das Licht als aus Lichtstrahlen zusammengesetzt betrachtet. Eine Lichtquelle oder ein diffus reflektierendes Objekt sendet Lichtstrahlen aus,
welche dann reflektiert, gebrochen oder aufgespaltet werden. Die Lichtstrahlen folgen dem
Superpositionsgesetz, d. h. sie können sich gegenseitig durchdringen, ohne sich zu stören.
In einem homogenen Medium breiten sich die Lichtstrahlen geradlinig aus. An verspiegelten Flächen werden sie reflektiert. An Grenzflächen zwischen Medien mit verschiedener
c
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4.3. GEOMETRISCHE OPTIK
89
Brechzahl werden sie nach dem Snelliusschen Brechungsgesetz gebrochen und partiell reflektiert (und somit in zwei Strahlen aufgespaltet), oder sie werden total reflektiert. Ein
Lichtstrahl kann auch durch Doppelbrechung aufgespaltet werden.
Allgemein gilt für die Bahnen von Lichtstrahlen das Fermatsche Prinzip.
4.3.1
Abbildung durch Spiegel
Ein Spiegel ist eine reflektierende Fläche, glatt genug, dass reflektiertes Licht nach dem
Reflexionsgesetz seine Parallelität behält und somit ein Abbild entstehen kann.
Abbildung 4.19: Konstruktion des Bildes an einem ebenen Spiegel aus den rückwärtigen
Verlängerungen der reflektierten Strahlen. Zur bestimmung des Ortes des Spieglbildes L’ sind
mindestens zwei Strahlen notwendig.
Zur Konstruktion des Spiegelbildes werden die rückwärtigen Verlängerungen aller beliebigen reflektierten Strahlen (zum Beispiel auch diejenige des Strahls b) verlängert. Sie
treffen sich alle im Ort des Spiegelbildes (in Abbildung 4.19 L’). Das Auge sieht also die
Lichtquelle am diesem Ort hinter dem Spiegel. Es entsteht ein virtuelles Bild (optisches
Abbild, das im Gegensatz zu einem reellen Bild nicht auf einem Schirm abgebildet werden
kann). Wenn sich der Beobachter in die Lage seines Spiegelbildes versetzen möchte, so
erscheint es ihm, als ob rechts und links vertauscht wären - alles erscheint im Wortsinne
spiegelbildlich.
gekrümmte Spiegeloberflächen
Die spiegelnde Oberfläche muß nicht plan sein, es können auch gekrümmte Oberflächen
Licht reflektieren. Die Konstruktion erfolgt für jeden Lichtstrahl einzeln.
Versuch 3050: Brennpunkt eines Hohlspiegels
Das Licht einer Bogenlampe wird mit einer großen Linse (Durchmesser 20 cm) parallel
gemacht und quer durch den Hörsaal auf einen Hohlspiegel geworfen (Durchmesser etwa 15
cm). In den Brennpunkt bringt man ein Streichholz, das durch Einschalten der Bogenlampe
entzündet wird.
c
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4.3. GEOMETRISCHE OPTIK
90
Abbildung 4.20: Zwei Strahlen im Abstand h zur optischen Achse werden unter Einhaltung des
Reflexionsgesetzes an der Oberfläche des Hohlspiegels reflektiert und treffen sich im Brennpunkt
F . Der Kugelmittelpunkt ist mit M und der Kugelradius mit R bezeichnet.
Bogenlampen strahlen punktgenau ein sehr helles und intensives Licht mit einem hohen Infrarot-Anteil aus. Alle Lichtstrahlen, die die Bogenlampe senkrecht zum Spiegel
wirft, werden so reflektiert, dass sie genau in seinem Brennpunkt gebündelt werden. Weil
natürlich die infrarote Wärmestrahlung denselben Weg geht, ist am Brennpunkt die Energiedichte sehr hoch. Diese hohe Energie, die hauptsächlich vom infraroten Licht ausgeht,
ist in der Lage, ein Streichholz zu entzünden.
4.3.2
Abbildung durch Linsen
Als Linse bezeichnet man ein optisch wirksames Bauelement mit zwei lichtbrechenden
Flächen, von denen mindestens eine Fläche konvex oder konkav gewölbt ist. Die wesentlichste Größe einer Linse ist die Brennweite f , d.h. der Abstand von Brennpunkt bzw.
Brennebene zur Linse.
Abbildung 4.21: Strahlenbündel gehen durch die Brennebene bzw. den Brennpunkt F im Abstand
der Brennweite f .
c
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4.3. GEOMETRISCHE OPTIK
91
Unter den Hauptebenen eines optischen Systems wie einer Linse versteht man den
äquivalenten Ort der Brechung von Lichtstrahlen, die achsparallel in das System einfallen.
Dabei gilt:
1. Strahlen, die parallel zur optischen Achse verlaufen, werden so gebrochen, dass sie
den Brennpunkt F passieren.
2. Strahlen, die untereinander parallel verlaufen, werden so gebrochen, dass sie die
Brennebene in einem gemeinsamen Punkt passieren.
Abbildung durch Sammellinsen
Eine Sammellinse oder Konvexlinse ist eine Linse mit positiver, vergrößernder Brechkraft.
Die Sammellinse sammelt parallel eingestrahltes Licht und fokussiert es in ihrem Brennpunkt.
Wir betrachten eine Bildkonstruktion, bei der das Objekt im Abstand zwischen f und
2f zur Sammellinse steht. Das entstehende Bild ist reell und seitenverkehrt.
Abbildung 4.22: Bildkonstruktion für eine Sammellinse: Das Objekt steht im Abstand zwischen
f und 2f zur Sammellinse. Die Strahlen sind gestrichelt eingezeichnet.
Häufig benutzte Abkürzungen sind:
PS: Parallelstrahl
F: Brennpunkt im Objektraum
ZS:
F’: Brennpunkt im Bildraum
Zentralstrahl
BS: Brennstrahl
f:
Brennweite im Objektraum
f’: Brennweite im Bildraum
Zur Bildkonstruktion verwenden wir 3 Stahlen (Parallelstrahl, Zentralstrahl und Brennstrahl). Der Parallelstrahl läuft im Objektraum vom Objekt G parallel zur optischen Achse und wird ab der Hauptachse der Linse im Bildraum durch den Brennpunkt geführt.
Der Zentralstrahl läuft vom Objekt durch den Schnittpunkt zwischen optischer Achse und
c
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4.3. GEOMETRISCHE OPTIK
92
Hauptachse der Linse. Der Brennstrahl geht schließlich vom Objekt durch den Brennpunkt
im Objektraum bis zur Hauptachse und danach im Bildraum parallel zur optischen Achse.
Alle drei Strahlen schneiden sich in einem Punkt. In diesem Punkt entsteht das Bild B.
Versuch 3057: Strahlengang durch eine konvexe Linse
Treffen zur optischen Achse parallele Strahlen auf eine Bikonvexlinse, so werden sie an
der ersten konvexen Oberfläche gebündelt. Dies geschieht, da laut dem Snelliusschen Brechungsgesetz beim Übergang von einem optisch dünneren in ein optisch dichteres Material
die Lichtstrahlen zum Einfallslot hin gebrochen werden. Beim Austritt aus der Linse an der
zweiten konvexen Oberfläche werden die Lichtstrahlen von der Normalen weg gebrochen,
was aufgrund der Geometrie der Linse impliziert, dass die Strahlen nochmals gebündelt
werden. Eine Bikonvexlinse verhält sich also wie ein konvergierendes optisches System; die
Lichtstrahlen schneiden sich nach dem Durchlaufen der Linse im Brennpunkt F.
Die Vergrößerung einer Linse ist durch den Vergrößerungsfaktor
B
b
V =
=−
(4.20)
G
g
gegeben. Ein negatives V bedeutet hier ein reelles und auf dem Kopf stehendes Bild; ein
positives V bedeutet ein virtuelles Bild, das aufrecht steht. Zur Bestimmung der Vorzeichen
der Größen G, B, g, b ist zu beachten, dass sich der Gegenstand im Ursprung befindet und
entsprechend alle Größen auf der x-Achse (g, b, f ) positiv gezählt werden. Der Nullpunkt
entlang der y-Achse ist durch die optische Achse gegeben.
Der Abbildungsmaßstab β ist definiert als das Verhältnis zwischen der Größe der optischen Abbildung (B, Bild) eines Gegenstandes und dessen realer Größe (G, Gegenstand)
β=
|B|
|G|
(4.21)
und wird in der Technik gemäß der Vorzeichenkonventionen der DIN 1335 berechnet.
Ein Abbildungsmaßstab von 1:1 sagt aus, dass der Gegenstand und seine Abbildung
gleich groß sind. Ein Abbildungsmaßstab von 1:2 sagt aus, dass der Gegenstand doppelt so
groß ist wie seine Abbildung. Ein Abbildungsmaßstab von 2:1 sagt aus, dass die Abbildung
doppelt so groß ist wie der Gegenstand. In der Fotografie bezeichnet man als Abbildungsmaßstab das Verhältnis der Abbildungsgröße eines Objektes auf der Filmebene zur Größe
des Originalobjektes selbst. Der Abbildungsmaßstab nimmt mit kleiner werdendem Abstand zum Objekt und mit Verlängerung der Objektivbrennweite zu.
Der Kehrwert der Brennweite (bezogen auf Luft) heißt Brechwert oder Brechkraft
D=
1
.
f
(4.22)
In der Optik verwendet man für den Brechwert auch die Einheit Dioptrie (Einheitenzeichen:
dpt). Es gilt: 1 dpt = 1 m−1 .
Beispiel: Eine freistehende Linse der Brennweite 50 cm = 0.5 m hat den Brechwert von
1/(0.5 m) = 2 dpt.
c
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4.3. GEOMETRISCHE OPTIK
93
Lupe
Die Lupe ist ein einfaches optisches Instrument. Sie ist eine Konvexlinse kleiner Brennweite, bei der sich der abzubildende Gegenstand innerhalb der Brennweite f befindet. Sie
erzeugt ein aufrechtes virtuelles Bild.
Versuch 3064: Strahlengang der Lupe
An der optischen Wand wird der Strahlengang der Lupe sichtbar gemacht. Da zum
Versuchsaufbau nur dicke Linsen zur Verfügung stehen, sind Linsenfehler vorhanden.
Abbildung 4.23: Bildkonstruktion Lupe: Das Objekt steht im Abstand zwischen 0 und f zur
Sammellinse.
Die Bildkonstruktion bei der Lupe erfolgt erneut mit den drei Stahlen Parallelstrahl,
Zentralstrahl und Brennstrahl. Es müssen jedoch nun noch zusätzlich die rückwärtigen
Verlängerungen der Strahlen (gestrichelte Linien in der Abbildung 4.23) betrachtet werden, um den Schnittpunkt für die Lage des Bildes zu finden. Das resultierende Bild ist
virtuell und nicht seitenverkehrt. Das Bild der Lupe wird im Auge und nicht auf dem
Schirm sichtbar.
Um die Vergrößerung einer Lupe zu bestimmen, wählt man die deutliche Sehweite des
Auges (s0 =250 mm) als Bezugsgröße. Ein Gegenstand erscheine in dieser Entfernung unter
dem Winkel α0
G
tan α0 =
.
(4.23)
s0
Bei Einsatz der Lupe erscheint das Bild in einem größeren Abstand s und unter einem
vergrößerten Winkel α mit
B
.
(4.24)
tan α =
s
Für die Vergrößerung folgt
tan α
s0
V =
=
.
(4.25)
tan α0
f
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4.3. GEOMETRISCHE OPTIK
94
Abbildung 4.24: Strahlengang bei der Lupe in Bezug auf das Auge: α0 = Sehwinkel bei konventioneller Sehweite und α = Sehwinkel bei Verwendung einer Lupe.
Abbildungsgleichung
Wenn man den mathematischen Strahlensatz zuerst auf den Mittelpunktsstrahl und die
sich mit ihm im Mittelpunkt der Linse kreuzende optische Achse anwendet erhält man den
Abbildungsmaßstab
b
|B|
=|− | .
(4.26)
β=
|G|
g
Wendet man den mathematischen Strahlensatz nun auf den Brennpunktstrahl und die sich
mit ihm im Brennpunkt kreuzende optische Achse an, so erhält man
B
b−f
=
G
f
.
(4.27)
Somit ist
b−f
b
=
g
f
und nach Division durch b folgt die Abbildungsgleichung
1
1 1
= +
f
g b
.
(4.28)
(4.29)
Die Abbildungsgleichung oder Linsengleichung setzt die Bildweite b, die Gegenstandsweite g und die Brennweite f in Beziehung. Die Linsengleichung stellt eine Vereinfachung
dar, weil hier angenommen wird, dass die Linse keine Ausdehnung besitzt und dass die
Brennweite an jeder Stelle der Linse gleich groß und unabhängig von der Wellenlänge des
Lichtes ist. In der Praxis sind alle drei Bedingungen nicht exakt erfüllt.
Linsenschleifergleichung
Es seien R1 und R2 die Kugelradien einer Linse. Hierbei ist zu beachten, dass die beiden
Radien dann gleiche Vorzeichen haben, wenn die Mittelpunkte auf derselben Seite der
c
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4.3. GEOMETRISCHE OPTIK
95
Linse liegen (konvex-konkave Linse), jedoch unterschiedliche Vorzeichen, wenn die Linse
bikonvex oder bikonkav ist (siehe Abbildung 4.25). Für eine Linse der Dicke d (gemessen
in Höhe der optischen Achse) und mit der Brechzahl des Linsenmaterials n ist in Luft die
Brechkraft
1
(n − 1)d
1
1
.
(4.30)
−
+
D = = (n − 1)
f
R1 R2
nR1 R2
Abbildung 4.25: Darstellung der Radien R1 und R2 zur Berechnung der Brechkraft einer Linse
der Dicke d nach der Linsenschleifergleichung.
Für dünne Linsen mit d ≪ R1 , R2 gilt genähert
1
D = = (n − 1)
f
1
1
−
R1 R2
.
(4.31)
Für eine Sammellinse erhalten wir insgesamt je nach Abhängigkeit von Ort der Gegenstandes:
Gegenstandsweite g
Bildweite
b
Vergrößerung
V
Bildlage
g > 2f
f < b < 2f
0 > V > −1
umgekehrt, reell
g = 2f
b = 2f
V = −1
umgekehrt, reell
f < g < 2f
b > 2f
V < −1
umgekehrt, reell
g≤f
|b| > |f | und b < 0
V >0
aufrecht, virtuell
c
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4.3. GEOMETRISCHE OPTIK
96
Abbildung durch Zerstreuungslinsen
Ein Bündel von einfallenden Parallelstrahlen läuft nach dem Passieren einer Zerstreuungslinse oder Konkavlinse scheinbar von einem Punkt auf der Einfallseite des Lichts auseinander. Es ist hierbei zu beachten, dass die Brennweite von Zerstreuungslinsen negativ ist.
Die Bildkonstruktion bei der Zerstreuungslinse erfolgt wieder mit den drei Stahlen
Parallelstrahl, Zentralstrahl und Brennstrahl. Wie bei der Lupe müssen die rückwärtigen
Verlängerungen der Strahlen betrachtet werden, um den Schnittpunkt für die Lage des
Bildes zu finden.
Abbildung 4.26: Bildkonstruktion Zerstreuungslinse: Das Objekt steht in weitem Abstand hinter
der Zerstreuungslinse.
Die Vergrößerung ist
V =−
f
S2
=−
,
S1
f − S1
(4.32)
also V > 0. Das Bild ist aufrecht und virtuell.
Versuch 3058: Strahlengang durch eine konkave Linse
Treffen zur optischen Achse parallele Strahlen auf eine Bikonkavlinse, so werden sie an
der ersten konkaven Oberfläche gestreut. Dies geschieht, da laut dem Snelliusschen Brechungsgesetz beim Übergang von einem optisch dünneren in ein optisch dichteres Material
die Lichtstrahlen zum Einfallslot hin gebrochen werden. Beim Austritt aus der Linse an
der zweiten konkaven Oberfläche werden die Lichtstrahlen von der Normalen weg gebrochen, was aufgrund der Geometrie der Linse impliziert, dass die Strahlen nochmals gestreut
werden. Eine Bikonkavlinse verhält sich also wie ein aufweitendes optisches System; nach
dem Durchlaufen einer Bikonkavlinse sind die Lichtstrahlen divergent, sie erzeugen kein
reelles Bild. Verlängert man die austretenden Strahlen nach hinten, so erkennt man, dass
sie einen gemeinsamen Schnittpunkt haben, den virtuellen Brennpunkt F.
c
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4.3. GEOMETRISCHE OPTIK
97
Linsentypen
Bei den einfachsten Linsen sind die beiden optisch aktiven Flächen sphärisch. Das heißt, sie
sind Oberflächenausschnitte einer Kugel. Daher kann man diesen Flächen Krümmungsradien
zuordnen. Jede dieser Flächen kann konvex, eben oder konkav sein:
Abbildung 4.27: links: Sammellinsen: a) Bikonvexlinse b) Plankonvexlinse c) Konkavkonvexlinse. rechts: Zerstreuungslinsen: a) Bikonkavlinse b) Plankonkavlinse c) Konvexkonkavlinse.
Asphärische Linsen sind meist auch rotationssymmetrisch, jedoch sind die Flächen nicht
Ausschnitte von Kugeloberflächen. Die Form rotationssymmetrischer asphärischer Linsen
wird in der Regel als Kegelschnitt (Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel) plus eine Potenzreihe
für Deformationen höherer Ordnung angegeben
z = f (h) =
h2
+ A4 h4 + A6 h6 + ... .
p
R 1 + 1 − (1 + k)(h/R)2
(4.33)
Nach DIN ISO 10110-12 entspricht z der Pfeilhöhe in Abbildung 4.28 und sind h der
Abstand senkrecht zur optischen Achse, R der Scheitelradius, k eine konische Konstante
und A4 , A6 asphärische Parameter.
Abbildung 4.28: Pfeilhöhe bei einer asphärischen Linse nach DIN ISO 10110-12
Die so entstandenen Freiheitsgrade im Vergleich zur sphärischen Linse können genutzt
werden, um beispielsweise Abbildungsfehler zu reduzieren. Konventionell werden in optischen Systemen Abbildungsfehler durch den Einsatz mehrerer sphärischer Linsen aus
unterschiedlichen Materialien (Brechzahl, Dispersion) korrigiert. Durch den Einsatz einer
asphärischen Fläche kann der Optikdesigner im Allgemeinen 2-3 sphärische Linsen ersetzen. Nachteil asphärischer Linsen ist insbesondere ihre auch heute noch vergleichsweise
teure Herstellung.
c
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4.3. GEOMETRISCHE OPTIK
4.3.3
98
Linsensysteme
Bei Linsensystemen betrachten wir an Stelle von einer einzelnen Linse eine Abfolge von
hintereinander auf der optischen Achse angeordneten Linsen. Der einfachste Fall ist durch
zwei dünne Sammellinsen beschrieben, die im Abstand d hintereinander gestellt sind. Die
Konstruktion des Bildes erfolgt jetzt über das Konzept des Zwischenbilds B = G′ .
Abbildung 4.29: Zwei Linsen im Abstand d, es entstehen Zwischenbild B = G′ und Bild B in
der Konstruktion für das gesamte Linsensystem.
Für das Linsensystem errechnet sich eine effektive Brennweite fsystem des Gesamtsystems
1
1
d
1
=
+
−
.
(4.34)
fsystem
f1 f2 f1 f2
Versuch 3065: Linsenkombinationen
Um die Strahlengänge von Linsenkombinationen darzustellen verwenden wir Plexiglasscheiben in Linsenform auf der optischen Wand. Es stehen Sammellinsen und Zerstreuungslinsen verschiedener Brennweiten zur Verfügung. Auf diese Weise können verschiedenste
Strahlengänge mittels eines Mehrfachstrahlers dargestellt werden.
Speziell für nur zwei Linsen mit f1 = f2 = f ergibt sich für den Fall, dass der Abstand d
zwischen beiden Linsen vernachlässigbar gegenüber den Brennweiten ist die Vereinfachung
1
fsystem
=
1
f
1
+ → fsystem =
.
f
f
2
(4.35)
In einem System mit N Linsen, die so hintereinander gestellt sind, dass die Abstände
zwischen den einzelnen Linsen vernachlässigt werden können, gilt
1
fsystem
N
X
1
=
.
fi
i=1
(4.36)
Optische Systeme oder Instrumente (Mikroskope, Fernrohre, Objektive) enthalten immer mehrere Linsen.
c
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4.3. GEOMETRISCHE OPTIK
4.3.4
99
Optische Instrumente
Einfache optische Instrumente lassen sich bereits aus zwei Linsen aufbauen. Diese beiden
Linsen werden als Objektiv (dem Gegenstand, dem Objekt zugewandte Linse) mit der
Brennweite fob und Okular (dem Auge, dem Oculus, zugewandte Linse) mit der Brennweite fok bezeichnet.
Versuch 3064: Mikroskop und Fernrohr
An der optischen Wand wird der Strahlengang des Mikroskops und des Fernrohrs (Kepler, Galilei) sichtbar gemacht. Da zum Versuchsaufbau nur dicke Linsen zur Verfügung
stehen, sind Linsenfehler vorhanden.
Fernrohr
Ein Fernrohr ist ein optisches Instrument, mit dem man entfernte Gegenstände unter einem
größeren Sehwinkel als mit dem bloßen Auge sieht und diese dadurch näher bzw. größer
erscheinen.
Im einfachsten Aufbau besteht das Fernrohr aus zwei Linsen, die sich im Abstand der
Summe ihrer Brennweiten gegenüberstehen. Nach dem Konstruktionsprinzip unterscheidet
man das Galilei-Fernrohr vom Kepler-Fernrohr:
• Das Galilei-Fernrohr hat als Objektiv eine Sammellinse und als Okular eine Zerstreuungslinse kleinerer Brennweite. Es besitzt ein kleines Gesichtsfeld, stellt die Objekte
aber aufrecht und seitenrichtig dar. Es ist heute nur noch als Opernglas und als fest
installiertes Aussichtsfernrohr in Gebrauch.
• Beim Kepler-Fernrohr werden sowohl für das Objektiv als auch für das Okular Sammellinsen verwendet. Es entsteht ein reelles, aber auf dem Kopf stehendes (um 180
Grad gedrehtes) Bild. Es wird heute in der Astronomie verwendet.
Abbildung 4.30: links: Galileisches Fernrohr oder terrestrisches Fernrohr und rechts: Keplersches Fernrohr oder astronomisches Fernrohr
Wie jedes Gerät, mit dem das Auge direkt beobachten soll, erzeugt das Fernrohr parallele Lichtstrahlen, die vom entspannten Auge auf der Netzhaut gesammelt werden. Ein Fernrohr wandelt also einfallende Parallelstrahlen in austretende Parallelstrahlen und verändert
dabei nur den Winkel und die Dichte dieser Strahlen. Die Veränderung des Winkels bewirkt die Vergrößerung. Die größere Dichte der Strahlen vergrößert die Helligkeit des Bildes.
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4.3. GEOMETRISCHE OPTIK
100
Abbildung 4.31: Vergrößerung des Sehwinkels beim Keplerschen Fernrohr (oben) und beim
Galileischen Fernrohr (unten).
Wird die Vergrößerung des Sehwinkels betrachtet, so ist der Vergrößerungsfaktor
V =
tan σ ′
.
tan σ
(4.37)
Gebräuchlicher ist die Angabe in Abhängigkeit von den Brennweiten von Objektiv bzw.
Okular
fob
V =
.
(4.38)
fok
Kleine Fernrohre und Ferngläser charakterisiert man durch zwei Zahlenangaben, zum Beispiel 5 × 20 mm (Taschengerät). Die erste Angabe bezieht sich auf die Vergrößerung
(5-fach), die zweite auf die Öffnung (Apertur) des Objektivs in mm. Bei Linsenfernrohren
für astronomische Beobachtungen wird das Verhältnis von Apertur zur Brennweite (das
Öffnungsverhältnis) als Kenngröße für das Leistungsvermögen des Instruments verwendet.
Die Vergrößerung ergibt sich je nach verwendetem Okular, das meist gewechselt werden
kann. Ein Refraktor 100/1000 hat also eine Öffnung von 100 mm und eine Brennweite von
1000 mm. Ein Gerät mit 1000 mm Objektiv-Brennweite und 5 mm Okular-Brennweite
besitzt zum Beispiel eine 200-fache Vergrößerung.
Mikroskop
Ein Mikroskop ist ein optisches Instrument, das es erlaubt, Objekte vergrößert anzusehen. Im einfachsten Aufbau besteht das Mikroskop aus zwei Sammellinsen, deren beider
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4.3. GEOMETRISCHE OPTIK
101
Brennpunkte im Abstand der Tubuslänge t angeordnet sind. Die Bezeichnung dieser Linsen mit Objektiv und Okular erfolgt analog zum Fernrohr. Das Objektiv entwirft ein
Zwischenbild, welches mit dem Okular betrachtet wird. Das Okular wirkt hierbei wie eine
Lupe.
Abbildung 4.32: Bildkonstruktion für ein Mikroskop mit dem Zwischenbild und dem resultierenden virtuellen Bild. Die eingezeichneten Lichtstrahlen entsprechen nicht dem wirklichen Verlauf,
da diese im Mikroskop nicht ihre Richtung ändern können. Zur Konstruktion des Bildes ist diese
Vorgehensweise jedoch erlaubt.
Unter der Vergrößerung des Objektivs wird üblicherweise dessen Abbildungsmaßstab
verstanden. Mit der Vergrößerung eines Objektivs ist also keine Winkelvergrößerung gemeint. Vorausgesetzt wird für die Berechnung, dass der Abstand zum Gegenstand so
gewählt wird, dass das Zwischenbild dort entsteht, wo sich im Mikroskop die Brennebene
des Okulars befindet. Der Abbildungsmaßstab ist
β=
t s0
fob fok
(4.39)
mit der Bezugssehweite s0 ≈ 250 mm.
4.3.5
Abbildungsfehler
Ein Abbildungsfehler, oder auch Aberration genannt, ist eine Abweichung von der idealen
optischen Abbildung. Abbildungsfehler lassen sich im Rahmen der geometrischen Optik
erfassen. Es ist möglich, die Abbildungsfehler gegenüber einem einfachen System aus einer
einzelnen Linse sehr stark zu reduzieren, indem mehrere Linsen aus verschiedenen Glassorten miteinander kombiniert werden. Sie werden durch eine Optimierungsrechnung so
aufeinander abgestimmt, dass die gemeinsame Auswirkung aller Abbildungsfehler minimal
wird.
Sphärische Aberration
Achsparallel einfallende oder vom gleichen Objektpunkt auf der optischen Achse ausgehende Lichtstrahlen haben nach dem Durchgang durch die Linse nicht den gleichen Schnittpunkt, sondern werden auf eine Kreisfläche abgebildet. Im allgemeinen ist die Abweichung
c
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4.3. GEOMETRISCHE OPTIK
102
umso stärker, je weiter außen der Strahl verläuft.
Es entsteht ein weiches und etwas verschwommenes, aber scharfes Bild. Feine Objektdetails sind noch erkennbar, aber der Kontrast ist vermindert (Weichzeichnungseffekt).
Versuch 3090: Sphärische Aberration einer Zylinderlinse
Die sphärische Aberration einer Linse kann insbesondere vermindert werden durch Verkleinern des Durchmessers des in die Linse eintretenden Strahls, da dadurch die achsenfernen Strahlen nicht mit einbezogen werden. Eine Verminderung der sphärischen Aberration
ist bei plankonvexen Linsen durch das Drehen der Linse möglich. Treffen die parallelen
Strahlen unter 90o auf die plane Fläche der Linse werden die Lichtstrahlen nur beim Austritt aus der Linse gebrochen. Im umgekehrten Fall brechen die Lichtstrahlen sowohl beim
Eintritt als auch beim Austritt.
Dieser Versuch lässt sich am Besten an der optischen Wand zeigen. Der Mehrfachstrahler erzeugt je zwei achsennahe bzw. achsenferne Parallelstrahlen, die durch eine plankonvexe Plexiglaslinse gehen. Die Linse wird zunächst mit der planen Seite zur Lichtquelle
hin in den Strahlengang gebracht und die Schnittpunkte der beiden Strahlenpaare markiert. Dann dreht man die Linse um 180o und bringt sie so an, dass der Schnittpunkt der
achsenahen Strahlen wieder an derselben Stelle wie vorher ist. Man sieht, dass jetzt der
Schnittpunkt der randnahen Strahlen woanders erscheint.
Abbildung 4.33: Späherische Aberration: Lichtstrahlen, die durch die Randzonen der Linse
gehen, werden stärker gebrochen und in einem der Linse näher liegendem Brennpunkt fokussiert
als mittig einfallende Lichtstrahlen.
Chromatische Aberration
Die Brechzahl n(λ) des verwendeten Linsenglases hängt (wie für jedes Material) nichtlinear von der Wellenlänge des einfallenden Lichts ab (Dispersion). Kurzwelliges Licht wird
stärker gebrochen und damit zu einem kleineren Abstand hinter der Linse fokussiert. Entsprechend verschiebt sich von blauem zu rotem Licht der Schnittpunkt von Strahlen hinter
der Linse zu größeren Abständen von dieser. Dieser Effekt führt zu Farbsäumen am Bildrand.
Versuch 3095: Farbfehler einer Linse
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4.3. GEOMETRISCHE OPTIK
103
Dieser Versuch kann sowohl an der optischen Wand mit der halbierten Glaslinse oder
mit der Bogenlampe und dem großen Kondensor demonstriert werden. In beiden Fällen
wird der gesamte Lichtkegel der Lichtquelle divergent durch die Linse geschickt und dahinter streifend auf der Leinwand gezeigt. Man sieht sehr gut, dass das blaue Bild der
Lichtquelle näher an der Linse liegt als das rote.
Abbildung 4.34: Chromatische Aberration: Lichtstrahlen kurzer Wellenlänge (blau) werden
stärker gebrochen und in einem der Linse näher liegendem Brennpunkt fokussiert als Lichtstrahlen großer Wellenlänge (rot).
Astigmatismus
In Abhängigkeit von der Rotationssymmetrie der Linse unterscheiden wir zwei verschiedene Arten des Astigmatismus:
a) Für rotationssymmetrische Linsen entsteht dieser Abbildungsfehler durch einen schrägen
Lichteinfall auf die Linse. Aufgrund der sphärischen Form der Linsenoberfläche entstehen
so unterschiedliche Einfallswinkel der Strahlen zum jeweiligen lokalen Grenzflächenlot. Da
der Brechungswinkel von der Brechzahl und dem Einfallswinkel abhängt, wird jeder Strahl
mit anderem Einfallswinkel auch anders gebrochen. Hierdurch resultiert für die beiden
Hauptachsen der Linse unterschiedliche Brennweiten.
b) Durch eine Rotationsasymmetrie der Linse (z.B. Auge) bei Einfall völlig paraxialen
Strahlen entsteht ebenfalls diese Abbildungsfehler. Die asphärische Form der Linsenoberfläche führt zu unterschiedlichen Krümmungsradien für die beiden Hauptachsen. Da der
Brechungswinkel von Krümmungsradius abhängig ist, resultieren für die beiden Hauptachsen der Linse unterschiedliche Brennweiten.
Abbildung 4.35: Astigmatismus durch Linsenasymmetrie: Ist die Linse nicht kugelförmig,
sondern hat in einer Schnittebene einen anderen Krümmungsradius als in der dazu senkrechten Schnittebene, so führt dies zu unterschiedlichen Brennpunkten in Abhängigkeit vom
Krümmungradius.
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4.3. GEOMETRISCHE OPTIK
104
Versuch 3100: Astigmatismus einer Linse
Astigmatismus kann auch bei völlig paraxialen Strahlen durch eine Rotationsasymmetrie der Linse um die optische Achse entstehen (z.B. beim menschlichen Auge). Je größer
der Krümmungsradius der Linse ist, desto stärker werden die Strahlen in dieser Ebene
der Linse gebrochen und der Brennpunkt liegt dichter hinter der Linse als für die dazu
senkrechte Ebene der Linse mit kleinerem Krümmungsradius.
Bildfeldwölbung
Das Bild wird nicht auf einer Ebene, sondern auf einer gewölbten Fläche erzeugt. Die
Position des Strahlenschnittpunkts längs der optischen Achse ist dann von der Bildhöhe
abhängig, d. h. je weiter Objekt- und damit Bildpunkt von der Achse entfernt sind, um
so mehr ist der Bildpunkt in Achsrichtung verschoben (typischerweise nach vorn, zum
Objektiv hin).
Das entstehende Bild ist nicht überall scharf. Wenn man auf die Bildmitte scharfstellt,
ist der Rand unscharf und umgekehrt.
Versuch 3105: Bildfeldwölbung einer Linse
Ein Dia mit konzentrischen Ringen wird über eine einfache Linse (f = 160 mm) abgebildet. Stellt man die inneren Ringe scharf ein, so werden die äußeren Ringe unscharf und
umgekehrt. Man kann mit einem Papierschirm zeigen, dass die Bildweite der Außenringe
kleiner ist als die der Innenringe.
Abbildung 4.36: Bildfeldwölbung: Dieser Fehler entsteht weil Punkte am Rand der Linse näher
zur optischen Achse abgebildet werden als mittige.
Verzeichnungen
Die Verzeichnung (optische Verzerrung) ist ein geometrischer Abbildungsfehler optischer
Systeme, der zu einer lokalen Veränderung des Abbildungsmaßstabes führt. Die Maßstabsänderung beruht auf einer Änderung der Vergrößerung mit zunehmendem Abstand
des Bildpunktes von der optischen Achse. Die Verzeichnung ist daher rotationssymmetrisch.
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4.4. OPTIK DES AUGES
105
Nimmt die Vergrößerung zu den Rändern des Bildfelds zu, dann wird ein Quadrat
kissenförmig verzeichnet. Im umgekehrten Fall spricht man von tonnenförmiger Verzeichnung. Es können auch Verzeichnungen höherer Ordnung auftreten, und die Überlagerung
verschiedener Ordnungen kann zu einer wellenförmigen Abbildung gerader Linien führen.
Versuch 3110: Verzeichnungen einer Linse
Ein Dia mit einem groben Gitter wird über eine einfache Linse (f = 150 mm) abgebildet. Setzt man eine Lochblende (Irisblende, Durchmesser ausprobieren) an der Stelle des
Linsenbrennpunkts in den Strahlengang, so erhält man am objektseitigen Brennpunkt eine
tonnenförmige Verzeichnung des Gitters, am bildseitigen Brennpunkt eine kissenförmige.
Abbildung 4.37: Je nachdem ob der Abbildungsmaßstab zum Bildrand hin zu- oder abnimmt
erhält man eine kissen- oder tonnenförmige Verzeichnung. Von links nach rechts: kissenförmig verzeichnungsfrei - tonnenförmig.
4.4
Optik des Auges
Beim Menschen liegt der durch das Auge wahrnehmbare Bereich des elektromagnetischen
Spektrums im Wellenlängenbereich von etwa 380 nm bis 780 nm, das sogenannte Lichtspektrum. Dagegen sehen beispielsweise Bienen auch kurzwelligeres Licht, das sogenannte
ultraviolette UV-Licht, während sie andererseits kein rotes Licht wahrnehmen können. Das
Auge besteht aus 5 Hauptbestandteilen (siehe Abbildung 4.38):
• Hornhaut: Die glasklare Augenhülle. Sie schützt das Auge nach außen. Wenn die
Hornhaut missgebildet ist, kann dies zu Sehstörungen führen.
• Iris: Die farbige Öffnung des Auges. Die Aufgabe der Iris besteht darin, sich je nach
der Lichtmenge, die in das Auge eindringt, zu öffnen oder zu schließen. Diese Regelung geschieht unbewusst. Die Iris(blende) entspricht in ihrer Funktion der Blende
einer Kamera. Durch das Loch, das die Irisblende noch freilässt, die Pupille, dringt
Licht in das Auge ein. Der Durchmesser der Pupillenöffnung kann, je nach Umgebungslicht, zwischen 1 mm und etwa 8 mm betragen. Die Pupille erscheint schwarz,
weil das Licht nicht wieder aus dem Auge kommt.
• Augenlinse: Die Linse ist in der Mitte weich (etwa vergleichbar einer durchsichtigen,
mit Wasser gefüllten Plastiktüte). Der Muskel an ihren Enden, der Zilliarmuskel,
kann die Form der Augenlinse und damit ihre Brennweite so verändern, so dass das
gesunde Auge nahe und ferne Gegenstände scharf sehen kann.
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4.4. OPTIK DES AUGES
106
• Netzhaut: Sie ist eine Art Projektionsleinwand auf der das Bild des Gegenstandes,
den wir sehen, abgebildet wird. Wenn das Bild scharf darauf abgebildet wird, sehen
wir gut. Auf der Netzhaut befinden sich Nervenzellen (Zäpfchen und Stäbchen), die
das einfallende Licht in Nervenreize wandeln.
• Nervenleitungen: Nervenleitungen tragen die Signale, die in den Zäpfchen und
Stäbchen auf der Netzhaut entstehen, zum Gehirn. Hier wird das Bild erfasst. Das
Bild, das eine Sammellinse (also auch die Augenlinse) erzeugt, steht auf dem Kopf
und ist seitenverkehrt. Erst im Gehirn wird das Bild sozusagen umgedreht.
Abbildung 4.38: Querschnitt durch das Auge mit den 5 Hauptbestandteilen. Das Licht tritt
durch die durchsichtige Hornhaut in das Auge ein.
4.4.1
Akkommodation des Auges
Unser Auge beruht in seiner optischen Funktion auf einer Sammellinse. Beim Auge ist die
Bildweite b (Abstand Augenlinse zu Netzhaut) unveränderlich. Wollen wir Gegenstände in
verschiedenen Entfernungen (Gegenstandsweite g) scharf sehen, muss unsere Augenlinse
ihre Brennweite f verändern. Die Brennweite von Sammellinsen (Konvexlinsen) hängt von
ihrer Wölbung ab. Das bedeutet, dass die Wölbung der Augenlinse, je nach Entfernung
des Gegenstandes, den wir scharf sehen wollen, angepasst werden muss. Diese Aufgabe
übernimmt der Ziliarmuskel.
Basierend auf der Abbildungsgleichung 4.29 bedeutet dies unterschiedliche Anforderungen an das Auge für entfernt und nahe positionierte Gegenstände:
Sehen eines entfernten Gegenstandes
Wenn ein entfernter Gegenstand gesehen werden soll ist g groß und damit 1/g klein. Da b
und damit auch 1/b konstant ist, muss die linke Seite der Gleichung 4.29 (1/f ) ebenfalls
klein werden. Das bedeutet, dass die Brennweite f groß werden muß.
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4.4. OPTIK DES AUGES
107
Abbildung 4.39: oben: Sehen weit entfernter Gegenstände erfordert eine große Brennweite f und
unten: Sehen naher gegenstände erfordert eine kleine Brennweite f . Der Abstand Linse-Netzhaut
(die Bildweite b) ist gleich geblieben, die Linsen liegen also untereinander.
Sehen eines nahen Gegenstandes
Soll ein Gegenstand in der Nähe gesehen werden (g klein, also 1/g groß), so muss die linke
Seite der Gleichung ebenfalls groß sein (1/b ist ja immer noch gleich). Es muss also 1/f
groß, bzw. die Brennweite f klein werden.
4.4.2
Kurzsichtigkeit
Ist die Augenlinse ist zu stark, die Hornhaut zu dick oder der Augapfel zu lang, so entsteht
ein scharfes Bild schon vor der Netzhaut im Inneren des Augapfels. Auf der Netzhaut
selbst ist das dort entstehende Bild nicht mehr scharf. Diesen Augenfehler nennt man
Kurzsichtigkeit. Leute, die kurzsichtig sind, können in die Nähe (auf kurze Distanz) zwar
gut sehen, sehen aber in große Entfernungen unscharf. Ohne Korrektur durch eine Brille
oder Kontaktlinsen wird ein kurzsichtiger Mensch in die Ferne nie scharf sehen können.
4.4.3
Weitsichtigkeit
Ist die Augenlinse ist zu schwach, die Hornhaut zu dünn oder der Augapfel zu kurz, so
entsteht ein scharfes Bild erst hinter der Netzhaut außerhalb des Augapfels. Auf der Netzhaut selbst ist das dort entstehende Bild nicht mehr scharf. Diesen Augenfehler nennt man
Weitsichtigkeit. Leute, die weitsichtig sind, können in die Ferne (auf große Distanz) zwar
gut sehen, sehen aber in die Nähe unscharf. Weitsichtigkeit kann in gewissen Grenzen durch
einen größeren Abstand zwischen Objekt und Auge kompensiert werden. Dabei wird sein
Bild allerdings kleiner.
Versuch 3315: Optische Farbtäuschungen
Lässt man Scheiben rotieren, die in bestimmter Weise, aber nur Schwarz und Weiß,
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4.4. OPTIK DES AUGES
108
Abbildung 4.40: Strahlengang beim kurzsichtigen Auge (jeweils beim Blick in die Ferne). oben:
das unkorrigierte Auge und unten: Korrektur durch eine Zerstreuungslinse.
Abbildung 4.41: Strahlengang beim weitsichtigen Auge (jeweils beim Blick in die Ferne). oben:
das unkorrigierte Auge und unten: Korrektur durch eine Sammellinse.
bemalt sind, so sieht man nicht nur Grau als Mischung, sondern auch andere Farben. Eine
weitere Farbtäuschung kann mit einer Scheibe demonstriert werden, die zur einen Hälfte
schwarz, zur anderen weiß ist und an der Trennlinie einen Schlitz hat, durch den eine rote
Lampe zu sehen ist (Rotlichtbirne aus Fotolabor, möglichst hellrot). Man muss dabei die
Helligkeit dieser Lampe variieren können (Regeltrafo) und außerdem die Scheibe selbst
von vorne geeignet beleuchten (regelbare Schreibtischleuchte). Lässt man nun die Scheibe
vor der leuchtenden roten Birne rotieren, dann erscheint letztere nur dann rot, wenn die
Scheibe so rotiert, dass auf den Schlitz die schwarze Scheibenhälfte folgt. Wenn die Scheibe
dagegen so rotiert, dass die weiße Scheibenhälfte auf den Schlitz folgt, dann erscheint die
Birne grün!
Wirkungsweise: In der Netzhaut gibt es zwei verschiedene Arten von Sehzellen: Die
sogenannten Stäbchen sind für das Helligkeitsempfinden zuständig (davon gibt es pro Auge 125 Millionen). Die etwa 7 Millionen Zäpfchen hingegen nehmen Reize von Farben auf,
c
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4.5. OPTISCHE PHÄNOMENE
109
ermöglichen also das Farbensehen. Es gibt 3 Arten von Zäpfchen. Eine Sorte von Zäpfchne
ist am stärksten für rot empfindlich, eine am meisten für grün und die letzte für blau. Jede
dieser Sehzellen benötigt eine unterschiedliche Zeit, um auf einen Farbreiz zu reagieren.
Außerdem unterscheiden sich die Zellen darin, wie lange sie einen Reiz noch weiterleiten,
wenn er gar nicht mehr existiert. So reagieren die blauempfindlichen Zäpfchen am langsamsten, leiten den Reiz dafür aber am längsten weiter. Wenn man nun auf die drehende
Feymannsche oder Machsche Scheibe schaut, sieht man die schnell wechselnden schwarzen
und weißen Segmente. Wenn sich ein weißes Feld vor dem Auge vorbeidreht, reagieren alle
Farbrezeptoren. Man sieht aber erst dann die Farbe weiß, wenn alle drei Arten von Farbrezeptoren gleichzeitig einen Reiz weiterleiten. Die Tatsache, dass bestimmte Zäpfchen
schneller reagieren als beispielsweise die blauempfindlichen, kann nun teilweise erklären,
wie es zu den Farberscheinungen kommt. Wenn beispielsweise der Blauanteil aus dem weißen Licht noch nicht ans Gehirn weitergeleitet wurde, sieht man rot. Die unterschiedlichen
Farben, die sich auf der Scheibe innen und außen ergeben, resultieren aus den verschieden
langen und positionierten schwarzen Bögen.
4.5
Optische Phänomene
Vielen optischen Phänomenen wie dem blauen Himmel liegen drei wesentliche Faktoren
zu Grunde: das Licht (Sonnenstrahlung), unsere Farbwahrnehmung als Mensch und ein
physikalischer Prozess (z.B. die Rayleigh-Streuung). Wir wollen einige ausgewählte optische Phänomene betrachten. Diese sollen nicht mit optischen Täuschungen (visuellen
Phänomenen), mit Erklärungsansätzen in der aktuellen Sehforschung verwechselt werden.
Es geht um die zugrunde liegenden physikalischen Prozesse.
4.5.1
Rayleigh-Streuung
Bei der Streuung von Licht an kugelförmigen Teilchen, die einen im Vergleich zur Wellenlänge λ der gestreuten Wellen kleinen Durchmesser d besitzen, folgt für die Intensität
1 + cos2 Θ
I = I0
2R2
2π
λ
4 n2 − 1
n2 + 2
2 6
d
2
.
(4.40)
I0 ist die Intensität der einfallenden Welle, Θ der Streuwinkel, R der Abstand des Beobachters zum Teilchen und n die Brechzahl des Teilchens. Die Energie E = hf = hc
λ
des eingestrahlten Photons ist zu klein, um Atome anzuregen. Die Energie des gestreuten
Photons ändert sich nicht.
Das Oszillatormodell ist ein Modell zur Beschreibung der Streuung von Licht an Atomen. Dazu wird von einem externen elektrischen harmonischen Feld zur Beschreibung der
Lichtwelle
~
~ 0 e−iωt
E(t)
=E
(4.41)
~
~
ausgegangen. Auf ein Elektron im Atom wirkt dann die Kraft F~ = q E(t)
= −eE(t).
Als
Bewegungsgleichung folgt die eines gedämpften harmonischen Oszillators mit
¨ + me Γ~r
˙ + me ω 2 ~r = −eE(t)
~
me~r
.
0
c
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(4.42)
4.5. OPTISCHE PHÄNOMENE
110
Abbildung 4.42: Im klassischen Grenzfall, d. h. einer großen Wellenlänge des Photons gegenüber
dem Bohrradius des Atoms, spricht man von Rayleigh-Streuung.
Dabei bezeichnen me die Masse des Elektrons, Γ die Dämpfung (Atomstöße, Strahlungsverluste, etc.) und ω0 die Eigenfrequenz.
Nach einiger Zeit sind die Einschwingprozesse abgeklungen und die Elektronen schwingen mit der Frequenz ω des erregenden externen Feldes. Für diese inhomogene Lösung
machen wir den Ansatz
~rinhom (t) = ~a e−iωt .
(4.43)
~a stellt eine (konstante) komplexe Amplitude dar. Setzt man dies in die Bewegungsgleichung ein, so erhält man für das sogenannte atomare Dipolmoment
~
p~(t) = αe (ω)E(t)
=
e2 /me
.
ω02 − ω 2 − i Γ ω
(4.44)
Dabei bezeichnet αe (ω) die elektrische Polarisierbarkeit in Abhängigkeit von der Frequenz.
Aus diesen Überlegungen erhält man den differentiellen Wirkungsquerschnitt für die
Streuung von Licht
2 2
ω4
dσ
e
=
sin2 θ .
(4.45)
dΩ
me c2
(ω02 − ω 2 )2 + Γ2 ω 2
θ = π − Θ ist hierbei der Winkel zwischen Dipolmoment und Beobachtungspunkt. Dies
hat die Form einer Resonanzkurve. Der totale Wirkungsquerschnitt ergibt sich daraus nach
Integration zu
2 2
ω4
e
8π
.
(4.46)
σ(ω) =
3 me c2
(ω02 − ω 2 )2 + Γ2 ω 2
Blauer Himmel
Der Wirkungsquerschnitt σ der Rayleigh-Streuung ergibt sich als Grenzfall niedriger Frequenzen (im Vergleich zur Eigenfrequenz, ω ≪ ω0 ) aus dem Oszillatormodell (Gleichung
4.46) zu
ω4
σ(ω) = σT h 4 ,
(4.47)
ω0
wobei σT h = 0.665·10−24 cm2 der Thomson-Wirkungsquerschnitt ist. Die Rayleigh-Streuung
erklärt, warum der Himmel blau erscheint. Die Frequenz von blauem Licht ωblau ist rund
c
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4.5. OPTISCHE PHÄNOMENE
111
1.4 mal so groß wie die von rotem Licht ωrot . Somit folgt das Verhältnis der Wirkungsquerschnitte
σblau
ω4
= blau
∼4 .
(4.48)
4
σrot
ωrot
Blaues Licht wird also rund viermal stärker in der Atmosphäre gestreut als rotes Licht.
Am Tag, wenn die Sonne hoch am Himmel steht, muss das Licht nur eine kurze Strecke
durch die Atmosphäre zurücklegen. Dabei werden nennenswerte Lichtanteile nur im kurzwelligen, blauen Spektralbereich gestreut. Dieses Streulicht lässt den Himmel blau erscheinen.
Ein Blick auf die Spektralfarben lässt vermuten, dass der Himmel violett sein sollte,
da dies das kurzwelligste, sichtbare Licht ist. Das Licht des Himmels enthält auch diesen
Lichtanteil, gelangt aber im Verhältnis zu den anderen Farben des Lichts in kleineren
Mengen zur Erde und wird vom menschlichen Auge mit relativ geringer Empfindlichkeit
und eingeschränkter Selektivität aufgenommen (siehe Farbwahrnehmung).
Morgen- und Abendrot
Bei niedrigem Sonnenstand ist die Strecke des Sonnenlichts durch die Erdatmosphäre groß.
Da ein Großteil der hochfrequenten Lichtanteile (blau) schon gestreut wurde, treten die
verbliebenen, langen Wellenlängen in Relation stärker zu Tage und der Farbeindruck der
Sonne verschiebt sich in Richtung rot. Dieser Effekt wird durch zusätzliche Partikel in der
Luft (z.B. Staub, Sand) weiter verstärkt.
Versuch 3315: Streuung des Sonnenlichts
Mit dem parallelem Lichtbündel eines Diaprojektors wird in das mit Mastix trübe gemachte Wasser eines Aquariums eingestrahlt. Außerdem wird auf das Becken eine Vorrichtung aufgesetzt, die es gestattet, den Strahl an einer beliebigen Stelle aus dem Wasser herauszureflektieren und über einen weiteren Umlenkspiegel an die Wand zu werfen. Die Farbe
des Lichtflecks hängt dann von der Dicke der durchstrahlten trüben Flüssigkeitsschicht ab.
Je dicker diese gemacht wird, desto mehr spielt die Farbe ins orange-rote. Um die Illusion
eines Sonnenuntergangs zu erzeugen, wird der Auslenkspiegel mit zunehmender Schichtdicke geneigt, so daß der Lichtfleck immer tiefer sinkt, während er seine Farbe ins Rote
verändert, bis er schließlich am ”Horizont”(Blendenkarton) verschwindet.
4.5.2
Lichtstreuung an ausgedehnten Objekten
Sind die Objekte, an denen Licht gestreut wird, ausgedehnt, so sind Brechungs- und Reflektionsphänomene zu berücksichtigen. Prominentes Beispiel sind kugelförmige Wassertropfen, an denen Sonnenlicht bei Ein- und Austritt aus dem Tropfen wellenlängenabhängig
gebrochen und an der rückwärtigen inneren Oberfläche richtungsabhängig reflektiert wird.
Bei Ein- und Austritt aus dem kugelförmigen Tropfen wird der Lichtstrahl gemäß dem
Brechungsgesetz abgelenkt und an der rückwärtigen inneren Oberfläche reflektiert. Beim
Lichteintritt in den Tropfen gilt
nLuf t sin Θ1 = nW asser sin Θ2 .
c
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(4.49)
4.5. OPTISCHE PHÄNOMENE
112
Abbildung 4.43: Strahlengang im Regentropfen bei einem Lichtstrahl
Es folgt für den Ablenkwinkel des rückgestreuten Lichts gegenüber dem ursprünglich einfallen Lichtstrahl
nLuf t
sin Θ1
φA = π + 2Θ1 − 4 arcsin
.
(4.50)
nW asser
Eine geometrische Berechnung (siehe Abbildung 4.43) ergibt, dass die reflektierten Strahlen
für monochromatisches rotes Licht von einem kugelförmigen Wassertropfen unabhängig
vom Tropfendurchmesser maximal unter einem bestimmten Grenzwinkel von annähernd
42 Grad zurückgeworfen werden. Da größere Ablenkwinkel bei einfacher Reflektion nicht
auftreten, häufen sich dort die Beiträge verschiedener Auftreffpunkte. Entsprechend ist die
Intensität des reflektierten Lichtes unter dem Maximalwinkel besonders groß.
Abbildung 4.44: Totalreflexion in einem Wassertropfen für 12 verschiedenen einfallende Lichtsrahlen
Bei weißem Licht folgt aus dem Brechungsgesetz eine wellenlängenabhängige Ablenkung. Primär, also bei nur einer Reflektion des Lichtstrahls innerhalb des Tropfens, ergibt
sich der Ablenkungswinkelbereich von 40o bis 42o (innen blau, außen rot) (siehe Abbildung
4.45). Es sind jedoch auch zwei Reflektionen innerhalb des Tropfens möglich. Für diesen
sekundären Prozess ergibt sich der Ablenkungswinkelbereich von 50o bis 53o (innen rot,
c
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4.5. OPTISCHE PHÄNOMENE
113
außen blau) (siehe Abbildung 4.45). Primär und sekundär abgelenktes Licht unterscheiden
sich also in der Anordnung der Farben.
Abbildung 4.45: Ablenkung des Lichts bei Streuung an kugelförmigen Regentropfen. links:
primärer Prozess mit einer Reflektion und rechts: sekundärer Prozess mit zwei Reflektionen.
Regenbogen
Der Regenbogen ist eine optische Naturerscheinung, die auftritt, wenn Sonnenlicht von der
hinter dem Beobachter stehenden Sonne auf vor dem Beobachter befindliche Regentropfen oder andere Wassernebel trifft und reflektiert wird. Es entsteht ein kreisbogenförmiges
Lichtband mit vielen Spektralfarben, die in einem charakteristischen Farbverlauf wahrgenommen werden. Für den primären Regenbogen (innen blau, außen rot) ergibt sich der
Ablenkungswinkelbereich von 40o bis 42o .
Abbildung 4.46: Der Regenbogen wird also nur sichtbar, wenn der Betrachter mit dem Rücken
zur Sonne auf die Regenwand blickt, denn nur dann kann man in Richtung des Winkels schauen.
Die Breite des Regenbogens entsteht dabei durch die Auffächerung der Farben in die unterschiedlichen Winkel, die eigentliche Form des Regenbogens aber durch den festen Beobachtungswinkel.
Steht die Sonne höher als 42o über dem Horizont, sind keine Regenbögen mehr möglich,
weil ihr Scheitelpunkt dann unterhalb des Horizonts läge.
c
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4.5. OPTISCHE PHÄNOMENE
4.5.3
114
Luftspiegelung
Die Luftspiegelung ist ein durch Ablenkung des Lichtes an unterschiedlich warmen Luftschichten verursachter optischer Effekt basierend auf dem Fermatschen Prinzip. So erwärmt
sich zum Beispiel gerade über schwarzem Asphalt einer Straße oder Wüstensand die Luft
besonders stark und dehnt sich aus. Ihre Dichte (auch die optische Dichte) nimmt also direkt über der Straße ab und es entsteht ein kontinuierlicher Übergang von kalten, dichten
Luftschichten zu heißen, weniger dichten über der Straße. Die Lichtstrahlen werden, ausgehend vom Auto, auf dem gesamten Weg durch die Luft zum Beobachter hin gebrochen
und so quasi noch oben gebogen. Somit entsteht zusätzlich zu der direkten Beobachtung
ein, an den heißen Luftschichten gespiegeltes, Bild eines Objekts oberhalb der Straße.
Abbildung 4.47: Die Luft direkt über dem heißen Asphalt ist wärmer als die darüberliegenden
Luftschichten und deshalb auch weniger dicht. Die Lichtstrahlen von einem fernen Objekt sind
deshalb nach oben gebogen und es sieht so aus, als ob sich das Objekt am Boden spiegelt.
Die Voraussetzung für eine zweite Art der Luftspiegelung ist, dass sich warme Luftschichten über den kalten befinden (Inversionswetterlage). Am besten ist dies über Wasseroder Eisflächen zu beobachten. Die Lichtstrahlen werden dann nämlich nach unten gebogen, wodurch für den Beobachter der Eindruck entsteht, als kämen sie von oben. Ein
Objekt kann so auch nach oben gespiegelt werden, so dass sich das Trugbild über dem
eigentlichen Objekt befindet. Auf diese Weise kann auf dem Meer ein Schiff am Himmel
sichtbar werden, das sich vielleicht noch hinter dem Horizont befindet. Da der Sehwinkel,
unter dem diese zweite Art der Luftspiegelung erscheint, im allgemeinen sehr klein ist,
benötigt man zur Beobachtung ein Fernglas.
Abbildung 4.48: Eine Spiegelung nach oben tritt auf, wenn sich kalte, dichte Luftschichten unter
wärmeren Luftschichten befinden.
c
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4.6. LICHT ALS ANREGUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES
4.6
115
Licht als Anregung des elektromagnetischen Feldes
Als elektromagnetische Welle bezeichnet man eine Welle aus gekoppelten elektrischen und
magnetischen Feldern. Anders als z. B. Schallwellen, benötigen elektromagnetische Wellen
kein Medium, um sich auszubreiten. Sie pflanzen sich im Vakuum unabhängig von ihrer
Frequenz mit Lichtgeschwindigkeit fort. Im freien Raum treten sie als Transversalwellen
auf, d. h. die elektromagnetischen Feldvektoren sind senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
der Welle orientiert.
4.6.1
Elektrisches Feld
~ ist eine vektorielle Größe, die den Betrag und die Richtung
Die elektrische Feldstärke E
der an einem Ort wirkenden Kraft F~ auf eine Einheitsladung q hat. Es ist
~
~ =F
E
q
(4.51)
mit der Einheit 1N/C. Zum Beispiel ergibt sich im Abstand r zu einer Punktladung für
die elektrische Feldstärke
~ = 1 Q ~r ,
(4.52)
E
4 π ε0 r 2 r
~r
der Richtungsvektor der Länge 1 ist. Hierbei ist ε0 = 8.85 · 10−12 C2 /(Nm2 ) die
wobei
r
Influenzkonstante.
Abbildung 4.49: Feldlinien einer positiv geladenen Punktladung: a) Kräfte an ausgewählten
Punkten 1 bis 8 und b) zugehöriges Feldlinienbild.
c
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4.6. LICHT ALS ANREGUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES
116
Elektrische Feldlinien
Feldlinien zeigen an jedem Ort in die Richtung der von der Feldstärke auf eine positive
Ladung ausgeübten Kraft.
Versuch 2040: Elektrische Feldlinien (Griesbilder)
In eine flache Glasschale wird eine dünne Schicht Rizinusöl gegossen (einige mm). Als
Elektroden dienen runde bzw. stangenförmige Messingstücke. Das ganze wird auf einer
Schreibprojektion aufgebaut und die Elektroden mit den Polen der Influenzmaschine verbunden. Man streut Hartweizengrieß auf die Rizinusoberfläche und lädt die Elektroden
auf. Die Grießkörner bilden dann entlang der Feldlinien Ketten. Folgende Anordnungen
lassen sich demonstrieren: Monopol, Dipol, Punktladung gegen Platte, Plattenkondensator, Quadrupol.
Man erkennt:
• Feldlinien enden senkrecht auf Oberflächen elektrischer Leiter. Die beweglichen Ladungsträger verschieben sich, bis die tangentialen Komponenten des elektrischen Feldes verschwinden.
• Je nach Geometrie der Objekte liegen die Feldlinien unterschiedlich dicht.
• An den Spitzen von Leitern ist ihre Dichte besonders hoch. (Blitzableiter).
• Das Innere eines von einem Leiter umgebenen Hohlraums ist frei von Ladung (FaradayKäfig). Gleichnamige Ladungen suchen größten Abstand voneinander, deshalb wandern sie auf die Außenseite des Leiters.
Abbildung 4.50: links: Feldlinienbild einer negativen Ladung, rechts: Feldlinienbild einer Anordnung aus einer negativen und einer positiven Ladung.
Quellen der Feldlinien sind positive Ladungen
Senken der Feldlinien sind negative Ladungen
c
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4.6. LICHT ALS ANREGUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES
4.6.2
117
Magnetische Flussdichte
~ wird auch als magnetische Induktion oder umgangssprachDie magnetische Flussdichte B
lich und unpräzise als Magnetfeld bezeichnet. Sie hat die Einheit 1 T (Tesla) = 1
Vs/m2 . Sie steht für die Flächendichte des magnetischen Flusses welcher durch ein bestimmtes Flächenelement hindurch tritt.
~ (auch magnetische Erregung genannt) kennzeichnet die
Die magnetische Feldstärke H
Stärke eines Magnetfeldes. Sie ist die Ursache für den magnetischen Fluss. Sie hat die
Einheit 1 A/m.
Im Vakuum gilt der Zusammenhang
~
~ = B
H
µ0
(4.53)
mit der magnetischen Feldkonstante µ0 = 4 π · 10−7 VS/(Am).
Magnetische Feldlinien
Magnetische Feldlinien geben in jedem Punkt die Richtung des Magnetfeldes bzw. des magnetischen Flusses an. Der Abstand zwischen benachbarten Feldlinien ist ein Anhaltspunkt
für die Stärke des Magnetfeldes: je dichter die Feldlinien, desto stärker das Feld.
Abbildung 4.51: links: Magnetische Feldlinien in der Umgebung eines Stabmagneten (von Nordzu Südpol), rechts: Das Erdmagnetfeld ist gegenüber der Erdachse verschoben und geneigt.
Das Erdmagnetfeld ist das Magnetfeld, das die Erde umgibt. Nahe der Erdoberfläche
ähnelt das Feld dem eines magnetischen Dipols (Stabmagnet). Die geomagnetischen Pole
der Erde fallen nicht genau mit den geographischen Polen der Erde zusammen. Die Achse
des geomagnetischen Dipolfeldes um etwa 12◦ gegenüber der Rotationsachse der Erde
geneigt.
c
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4.6. LICHT ALS ANREGUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES
118
In guten Magnet-Kompassen ist die Nadel so austariert, dass sie vor allem auf die
Horizontalkomponente anspricht und daher in den meisten Gebieten etwa nach Norden
weist. Am Geomagnetischen Nordpol befindet sich aus physikalischer Sicht ein magnetischer Südpol. Daher wird dieser Pol besser als der nordanziehende Pol des Erdmagnetfeldes
bezeichnet oder als der im Norden liegende Pol des Erdmagnetfeldes.
Versuch 2135: Feldlinien um Stab und Hufeisenmagnet
Auf der Unterseite einer Glasplatte ist ein Stabmagnet (Modell 1) bzw. ein Hufeisenmagnet (Modell 2) befestigt. Die Modelle werden auf die Schreibprojektion gelegt und
Eisenfeilspäne aus einem Streuer darübergestreut. Der Feldverlauf ist sehr gut zu sehen.
4.6.3
Elektromagnetische Wellen
In einer Dimension war eine harmonische Welle durch
y (x, t) = ym sin (k x − ω t)
(4.54)
y (x, t) = ym cos (k x − ω t)
(4.55)
oder durch
beschrieben (siehe Kapitel 2). In drei Dimensionen ist dann entsprechend die harmonische
Welle
y (~r, t) = ym sin (~k · ~r − ω t) .
(4.56)
Eine komplexe Beschreibung ist oft einfacher, da in Rechnungen keine Additionstheoreme
benutzt werden müssen. In komplexer Darstellung ist eine harmonische Welle mit Ausbreitungsrichtung ∓~k
~ = î E0 exp i(~k · ~r ± ωt + ϕ0 ) = î Ê0 exp i(~k · ~r ± ωt)
E
(4.57)
mit der komplexen Amplitude
Sowohl der Realteil
als auch der Imaginärteil
beschreiben ebene Wellen.
Ê0 = E0 exp (iϕ0 )) .
(4.58)
~ = E0 cos ~k · ~r ± ωt + ϕ0
Re(E)
(4.59)
~
~
Im(E) = E0 sin k · ~r ± ωt + ϕ0
(4.60)
Wellengleichung
Die zugehörige eindimensionale Wellengleichung war (Kapitel 2)
2
∂2 y
2 ∂ y
=
c
.
∂t2
∂x2
c
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(4.61)
4.6. LICHT ALS ANREGUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES
119
Die Phasengeschwindigkeit c ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle.
Entsprechend ist in drei Dimensionen die Wellengleichung für die elektrische Feldstärke
~
∂2E
~
= c 2 ∆E
∂t2
(4.62)
mit dem Laplace-Operator
∂2
∂2
∂2
+
+
.
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
~ die Wellengleichung
Analog wird für die magnetische Flussdichte B
∆=
~
∂2B
~
= c 2 ∆B
2
∂t
(4.63)
(4.64)
hergeleitet. Die Lösungen dieser Gleichungen beschreiben Wellen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit c ausbreiten. Im Vakuum ist
c2 =
1
µ0 ε0
(4.65)
abhängig von der magnetischen Feldkonstante µ0 und der Influenzkonstante ε0 .
Breitet sich die elektromagnetische Welle in isotropem Material (mit der relativen Permeabilität µr und der relativen Permittivität εr des Mediums) mit der Dielektrizitätskonstante
ε = εr ε0 und der Permeabilität µ = µr µ0 aus, beträgt die Ausbreitungsgeschwindigkeit
1
c= √
µε
.
(4.66)
Im Allgemeinen sind jedoch die Materialkonstanten µr und εr nicht linear, sondern können
selbst z. B. von der Feldstärke oder der Frequenz abhängen. Während Licht sich in der
Luft immer noch fast mit Vakuumlichtgeschwindigkeit c ausbreitet (die Materialkonstanten sind in guter Näherung 1), gilt das für die Ausbreitung in Wasser nicht, was u. a. den
Tscherenkow-Effekt ermöglicht.
Das Verhältnis der Vakuumlichtgeschwindigkeit zur Geschwindigkeit im Medium wird
als Brechzahl
r
µε
√
= µr εr
n=
(4.67)
µ0 ε0
bezeichnet.
Ausbreitung elektromagnetischer Wellen
~ 0 für das elektrische Feld
Wir betrachten eine allgemeine Welle mit konstanter Amplitude E
und einem Einheitsvektor k̂, der in Propagationsrichtung zeigt. Dann steht das elektrische
Feld stets senkrecht zur Propagationsrichtung und es gilt
~ · k̂ = 0 .
E
c
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(4.68)
4.6. LICHT ALS ANREGUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES
120
Es handelt sich also um eine Transversalwelle. Zudem gilt
~ .
~ = 1 k̂ × E
B
c
(4.69)
Die magnetische Flussdichte in der elektromagnetischen Welle steht also ebenfalls senkrecht
zur Propagationsrichtung und auch senkrecht zum elektrischen Feld.
Abbildung 4.52: Die Komponenten einer elektromagnetischen Welle umfassen eine si~ und im rechten Winkel dazu eine ebenfalls sinusförmige manusförmige elektrische Welle (E)
~
gnetische Welle (B). Beide liegen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
Durch Betragsbildung auf beiden Seiten folgt weiterhin aus Gleichung 4.69, dass die
Amplituden von elektrische Feld und magnetischer Flussdichte proportional zueinander
sind:
E0 = c B0 .
(4.70)
4.6.4
Energiedichte und Energiefluß
Mit dieser Beziehung lässt sich auch eine Aussage über die Energiedichte (Energie pro
Volumeneinheit) des elektromagnetischen Felds
1
wem = ε0 (E 2 + c2 B 2 )
2
(4.71)
für den Fall der der elektromagnetischen Welle herleiten:
wem = ε0 E 2 =
1 2
B
µ0
.
(4.72)
~ kennzeichnet die Dichte und die Richtung des EnerDer sogenannte Poynting-Vektor S
gietransportes (Energieflussdichte) einer elektromagnetischen Welle. Für transversalelek~ definiert als
tromagnetischen Wellen ist S
~=E
~ ×H
~
S
c
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.
(4.73)
4.6. LICHT ALS ANREGUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES
und im Vakuum gilt
~ = 1 (E
~ × B)
~ .
S
µ0
121
(4.74)
Der Betrag des Poynting-Vektors entspricht der Leistungsdichte (oder Intensität I) der
Welle (die Energie, die pro Zeiteinheit durch eine Einheitsfläche senkrecht zum PoyntingVektor hindurchtritt)
rε
~
0
I = S
(4.75)
E2 .
=
µ0
Der Betrag des Poynting-Vektors hat die Dimension N/(ms).
4.6.5
Polarisation
Die Polarisation ist eine Eigenschaft transversaler Wellen (also elektromagnetischer oder
~ in Bezug
optischer Wellen), die die Richtung des Feldvektors des elektrischen Feldes E
~
auf den Wellenvektor k beschreibt. Longitudinale Wellen (also Schallwellen) zeigen keine
Polarisation, da die Schwingung in Ausbreitungsrichtung (das ist die Richtung des Wellenvektors ~k) erfolgt.
Abbildung 4.53: Von links nach rechts: Lineare, zirkulare und elliptische Polarisation.
Eine Transversalwelle ist durch zwei Richtungen charakterisiert: Den Wellenvektor ~k,
~ der unter
der in Ausbreitungsrichtung zeigt, und den Feldvektor des elektrischen Feldes E,
den angegebenen Voraussetzungen immer senkrecht auf dem Wellenvektor steht. Das lässt
jedoch im dreidimensionalen Raum noch einen Rotationsfreiheitsgrad offen, nämlich die
Rotation um den Wellenvektor. Man unterscheidet drei Arten von Polarisation, die man
durch Richtung und Betrag des Feldvektors in einem festen Raumpunkt beschreiben kann:
• lineare Polarisation: Der Feldvektor zeigt immer in eine feste Richtung und die
Auslenkung ändert bei Voranschreiten der Welle ihren Betrag und ihr Vorzeichen
periodisch (mit fester Amplitude).
• zirkulare Polarisation: Der Feldvektor dreht sich bei Voranschreiten der Welle mit
konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und ändert seinen Betrag
dabei nicht.
• elliptische Polarisation: Der Feldvektor rotiert um den Wellenvektor und ändert
dabei periodisch den Betrag. Die Spitze des Feldvektors beschreibt dabei eine Ellipse.
c
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4.6. LICHT ALS ANREGUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES
122
Mit Hilfe der Fourier-Zerlegung lässt sich jedes beliebige Feld als Linearkombination
von ebenen Wellen darstellen. Für diese ebenen Wellen schwingen also beide Felder in
einer Ebene senkrecht zum Wellenvektor, d.h. sie sind in dieser Ebene polarisiert. Dabei ist es ausreichend das elektrischen Feld zu spezifizieren. Um die Polarisationsebene
aufzuspannen, bedarf es zweier orthogonaler Basisvektoren î und ĵ (also î · ĵ = 0). Die
Entwicklungskoeffizienten E1 und E2 müssen dabei auf Grund möglicher Phasenverschiebungen komplex sein. Mathematisch kann dies wie folgt zum Ausdruck gebracht werden:
~ = î E1 exp i(~k · ~r − ωt) + ĵ E2 exp i(~k · ~r − ωt)
E
.
(4.76)
Lineare Polarisation
Bei linearer Polarisation gibt es eine Richtung, zum Beispiel die Richtung î, so dass in
Gleichung 4.76 nur ein Koeffizient von Null verschieden ist, d.h. es gilt
~ = î E0 exp i(~k · ~r − ωt)
~ = ĵ B0 exp i(~k · ~r − ωt)
E
und B
.
(4.77)
Durch geeignete Wahl des Zeitnullpunkts können E0 und B0 reell gemacht werden.
Abbildung 4.54: Vektor der elektrischen Feldstärke bei linear polarisierter Welle
Versuch 3245: Polarisationsfolien
Zwei Polarisationsfilter (aus Polarisationsfolie) werden auf die Schreibprojektion gelegt und gegeneinander verdreht. Man beobachtet qualitativ die Lichtdurchlässigkeit in
Abhängigkeit vom Drehwinkel.
Polarisationsfilter: Unpolarisiertes Licht wird durch einen Polarisationsfilter z.B. linear polarisiert, das heißt das aus einem Gemisch aus zwei senkrecht zueinander polarisierten Lichtstrahlen nur einer durchgelassen wird. Anschaulich kann man sich einen linearen
Polarsiationsfilter als Drahtgitter mit parallelen Stäben (siehe Abbildung 4.55 vorstellen.
Diese Drähte schließen das elektrische Feld kurz, falls der entsprechende Feldvektor nicht
parallel zu diesen orientiert ist. Bei einem optischen Polarisationsfilter wirken anstelle von
Drähten atomare Effekte. Ebenso kann man sich vorstellen, dass die Welle das magnetische Feld darstellt. In diesem Fall stellen die Drähte magnetische Drähte dar, bei denen
das magnetische Feld kurzgeschlossen wird.
c
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4.6. LICHT ALS ANREGUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES
123
Abbildung 4.55: Polarisationsfilter, links: Prinzip eines linearen Polarisationsfilters, das aus
einem Gemisch aus zwei senkrecht zueinander polarisierten Lichtstrahlen nur den einen durchlässt
(Darstellung für das B-Feld) und rechts: Gekreuzte Polarisatoren führen zur Auslöschung des
Lichts (Darstellung für das E-Feld).
Gesetz von Malus: Fällt linear polarisiertes Licht der Intensität I0 auf einen Polarisator, dessen Transmissionsachse mit der Schwingungsrichtung des elektrischen Feldes den
Winkel α bildet, so gilt für die nach dem Polarisator austretende Intensität
I = I0 cos2 (α) .
(4.78)
Zirkulare Polarisation
Beim zirkular polarisierten Licht rotieren an einem gegebenen Ort ~r beide Felder mit der
Kreisfrequenz ω um die Ausbreitungsrichtung. Dabei bleibt ihr Betrag konstant. Zirkular
polarisiertes Licht entsteht durch Überlagerung von zwei zueinander senkrechter und um
π/2 phasenverschobener, linear polarisierter Wellen, die die selbe Ausbreitungsrichtung
und die selbe Frequenz haben. Entsprechend haben die beiden elektrischen Felder den
selben Betrag, aber eilen einander voraus und es gilt
~ = î E0 exp i(~k · ~r − ωt) + ĵ E0 exp i(~k · ~r − ωt ± π/2)
E
(4.79)
und
~ = î B0 exp i(~k · ~r − ωt ± π/2) − ĵ B0 exp i(~k · ~r − ωt)
B
.
(4.80)
~
~
B = (±i î − ĵ) B0 exp i(k · ~r − ωt)
.
(4.82)
In komplexer Schreibweise ist dies zusammengefasst unter Verwendung von exp (± i π/2)) =
±i
~
~
E = (î ± i ĵ) E0 exp i(k · ~r − ωt)
(4.81)
und
Das ±-Zeichen in obiger Gleichung bringt zum Ausdruck, daß wir links- und rechtszirkularpolarisiertes Licht erzeugen können. Wir führen also den Begriff der Händigkeit oder
Chiralität ein. Das Pluszeichen steht für rechts polarisiertes Licht, d.h. wenn wir uns
das elektrische Feld für einen fixen Zeitpunkt t = t0 betrachten, so beschreibt es eine
rechtshändige Spirale entlang des Wellenvektors ~k.
c
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4.6. LICHT ALS ANREGUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES
124
Abbildung 4.56: Vektor der elektrischen Feldstärke bei zirkular polarisierten Wellen: linkszirkulare Welle (oben) und rechtszrikulare Welle (unten).
Elliptische Polarisation
Wird entlang zweier orthogonaler Richtungen linear polarisiertes Licht mit einer Phasenverschiebung von π/2 aber mit unterschiedlicher Amplitude überlagert, so resultiert
elliptisch polarisiertes Licht mit
~ = (E1 î ± i E2 ĵ) exp i(~k · ~r − ωt)
E
(4.83)
Dies ist der allgemeinste Fall und sowohl linear als auch zirkular polarisiertes Licht können
als Spezialfälle der elliptischen Polarisation aufgefasst werden.
Polarisationsgrad
Partiell polarisiertes Licht ist Licht, das nicht gänzlich polarisiert ist. Wir definieren den
Polarisationsgrad als
Ipol
P =
(4.84)
Iges
wobei Ipol für die Intensität des polarisierten Anteils steht.
Optische Spannungsanalyse
Um die mechanische Beanspruchung (Spannungen und Spannungsspitzen) in technischen
Bauteilen sichtbar zu machen, werden die Bauteile in Plexiglas nachgebildet, mit Licht
durchstrahlt und zwischen Polarisationsfilter gesetzt. Die Spannungen (Definition: Spannung ist Kraft pro Fläche) führen zu farblich veränderten Linien, die durch ihre Dichte die
Höhe der Spannung anzeigten. Es erfolgt die Aufnahme von Isochromaten (Kurven gleicher
c
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4.6. LICHT ALS ANREGUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES
125
Farbe) und Isoklinen (Kurven gleicher Ableitung) für unterschiedlich beanspruchte Körper
(siehe Abbildung 4.57).
Abbildung 4.57: Untersuchung der Beanspruchung einer Verzahnung. Gezeigt ist das Isochromatenbild.
Die mechanische Beanspruchung dreht die Polarisationsebene des Lichts und es kommt
zur Doppelbrechung.
Versuch 3265: Spannungsoptik
Verschiedene Objekte aus Glas werden zwischen zwei gekreuzte Polarisationsfilter gestellt und mit einer Linse abgebildet. Wenn keine Deformationskräfte auf die Gegenstände
wirken ist nur ein lichtschwaches Bild auf der Leinwand zu sehen. Deformiert man sie aber
von Hand oder mit einem Werkzeug, so zeigen sich helle Bereiche gleicher Spannung im
Bild.
4.6.6
Polarisation durch Reflektion und Brechung
Die Reflektion und die Brechung von elektromagnetischen Wellen (Licht) wird durch die
Fresnelschen Formeln bestimmt. Der einfallende und der reflektierte Strahl definieren die
Einfallsebene. Diese ist senkrecht zur Grenzfläche der beiden Medien. Licht, dessen Polarisationsebene senkrecht zur Einfallsebene liegt, heisst s-polarisiertes Licht (auch häufig
als transverselektrische (TE) Komponente bezeichnet). Licht, dessen Polarisationsebene
parallel zur Einfallsebene liegt, heisst p-polarisiertes Licht (auch häufig als transversmagnetische (TM) Komponente bezeichnet). Abhängig von der Polarisation der einfallenden
Welle ergeben sich unterschiedliche Randbedingungen für das Auftreffen einer elektromagnetischen Welle auf eine optische Grenzfläche.
Eine einfallende, beliebig polarisierte Welle mit dem Wellenvektor k~e lässt sich also
als Superposition einer parallel (p) und senkrecht (s) zur Einfallsebene polarisierten Welle
schreiben
~
~
E = [(E0e )s ~es exp (iδs ) + (E0e )p ~ep exp (iδp )] exp i(ke · ~r − ωt)
(4.85)
~
~
~
E = (E0e )s ~es exp i(ke · ~r − ωt + δs ) + (E0e )p ~ep exp i(ke · ~r − ωt + δp )
.
c
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(4.86)
4.6. LICHT ALS ANREGUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES
126
Abbildung 4.58: Einfalles Licht mit den zwei Polarisationszuständen s und p wird an einer
Grenzfläche reflektiert und gebrochen.
~ der Feldvektor des elektrischen Feldes, ~es,p sind die Einheitsvektoren für sDabei ist E
und p-Polarisation, (E0e )s,p sind Amplituden der einfallenden Wellen und die Parameter
δs,p entsprechen beliebigen Phasenverschiebungen.
sin β
und Additionstheoremen ergibt
Nach dem Snelliussche Brechungsgesetz war nn21 = sin
α
sich für die senkrechte Polarisation (TE)
E0t
E0e
E0r
E0e
= ts =
2 sin β cos α
2n1 cos α
=
n1 cos α + n2 cos β
sin (α + β)
(4.87)
= rs =
sin (α − β)
n1 cos α − n2 cos β
=−
n1 cos α + n2 cos β
sin (α + β)
(4.88)
s
s
und für die parallele Polarisation (TM)
E0t
E0e
= tp =
p
E0r
E0e
2 sin β cos α
2n1 cos α
=
n2 cos α + n1 cos β
sin (α + β) cos (α − β)
(4.89)
tan (α − β)
n2 cos α − n1 cos β
=
.
n2 cos α + n1 cos β
tan (α + β)
(4.90)
= rp =
p
Dabei sind ts,p die Amplitudenkoeffizienten der transmittierten und rs,p die Amplitudenkoeffizienten der reflektierten elektromagnetischen Welle in s- und p-Polarisation. Die zugehörigen Transmissionskoeffizienten Ts,p und Reflektionskoeffizienten Rs,p sind
Ts,p =
tan α 2
2
t
und Rs,p = rs,p
.
tan β s,p
(4.91)
In Abhängigkeit vom Einfallswinkel α zeigen die Amplitudenkoeffizienten der reflektierten
elektromagnetischen Welle einen Kurvenverlauf, der vom Verhältnis der Brechungsindices
an der Grenzfläche, an der die Welle reflektiert wird, abhängt. Es gibt einen ausgezeichneten
Winkel, an dem der Amplitudenkoeffizient der p-polarisierten Welle bis auf null abfällt.
Dieser Winkel heisst Brewster Winkel.
c
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4.6. LICHT ALS ANREGUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES
127
Abbildung 4.59: Amplitudenkoeffizienten der reflektierten elektromagnetischen Welle in
Abhängigkeit des Einfallswinkels α beim Einfall von Licht auf die Grenzfläche zweier idealer
Dielektrika (Luft-Glas).
Brewster Winkel
Unpolarisiertes (natürliches) Licht, das auf eine Glasoberfläche fällt, ist nach der Reflexion teilweise polarisiert, und zwar so, dass die elektrischen Feldvektoren, die senkrecht zur
Einfallsebene schwingen, dominieren. Das reflektierte Licht ist vollständig polarisiert, wenn
der Einfallswinkel so gewählt wird, dass der reflektierte und gebrochene Strahl senkrecht
aufeinander stehen. Die Schwingungsrichtung ist dabei senkrecht zur Einfallsebene. Dieser Polarisationswinkel heißt Brewster Winkel. Der gebrochene Strahl enthält vorwiegend
Feldvektoren, die in der Einfallsebene schwingen.
Dort wo die Amplitudenkoeffizienten reell und negativ sind tritt ein Phasensprung von
180o = π auf (bei reell und positiv keine Phasenänderung)
r = −|r| = |r| · eiπ
(4.92)
Das Amplitudenverhältnis rp besitzt einen Nulldurchgang am Brewster Winkel αB wegen
rp =
tan(α − β)
= 0 für α + β = 90o .
tan(α + β)
(4.93)
Die unter dem Brewster Winkel reflektierte Lichtwelle enthält also keinen Anteil an ppolarisiertem Licht und ist ausschließlich s-polarisiert. Mit
n2
sin α
sin α
sin α
=
=
= tan α
=
◦
n1
sin β
sin(90 − α)
cos α
(4.94)
berechnet sich der Brewster Winkel zu
αB = arctan
Beispiel: Brewster-Winkel für Luft-Glas
ist αB = 33.7o .
n2
n1
=
Versuch 3255: Polarisation nach Brewster
c
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1.5
1
n2
.
n1
ist αB = 56.3o und für Glas-Luft
(4.95)
n2
n1
=
1
1.5
4.6. LICHT ALS ANREGUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES
128
Eine Lochblende wird mit polarisiertem Licht auf die Leinwand abgebildet, wobei der
Strahlengang in Reflexion über eine Glasplatte geführt wird. Je nach Polarisationsrichtung
sieht man beim Brewster Winkel den Lichtfleck an der Leinwand verschwinden oder nicht.
Man kann auf diese Weise feststellen, welche Polarisationsrichtung reflektiert wird und
welche nicht.
Versuch 3250: Polarisation durch Reflexion
Die Nörrembergsche Anordnung besteht aus zwei spiegelnden Flächen, die auf einer
gemeinsamen Drehachse so befestigt sind, dass die Drehachse durch den Mittelpunkt geht.
Außerdem können die Spiegel unabhängig voneinander gegen die Drehachse geneigt werden. Das Gerät wird so aufgestellt, dass die Drehachse senkrecht steht. Dann lässt man ein
Lichtbündel auf den unteren Spiegel fallen, reflektiert es zum oberen Spiegel und von dort
an die Hörsaalwand. Stellt man als Reflexionswinkel den Brewster Winkel ein und richtet
die beiden Spiegel parallel zueinander aus, so ist das ausfallende Bündel vollständig polarisiert. Ein Verdrehen des oberen Spiegels um 90o löscht den ausfallenden Strahl völlig aus.
Weiter Spezialfälle sind:
• Wenn ein einfallender Strahl senkrecht zur Einfallsebene (durch Lot und Strahl aufgespannt) polarisiert ist, erzeugen die angeregten Dipolschwingungen einen reflektierten
und einen gebrochenen Strahl gleicher Polarisation.
• Wenn ein einfallender Strahl parallel zur Einfallsebene polarisiert ist, ist die Intensität
des reflektierten Strahls abhängig vom Einfallswinkel. Beim Brewster Winkel (das
heißt der gebrochene Strahl ist senkrecht zum reflektierten Strahl) ist die reflektierte
Intensität annähernd gleich null.
Abbildung 4.60: Sonnenbrille mit Polarisationsfilterfunktion zur Helligkeitsverringerung indem
der Horizontalanteil des Lichts, also von Oberflächen reflektiertes Licht, blokiert wird.
Anwendung: Sonnenbrille: Im Skiurlaub schützt man seine Augen vor der grellen Höhensonne. Gute Sonnenbrillen besitzen dafür Gläser aus polarisierendem Material,
die nur vertikal polarisiertes Licht passieren lassen. Wie funktioniert die Helligkeitsverringerung? Die von der weitgehend horizontalen Schneefläche reflektierte Intensität ist
hauptsächlich senkrecht zur Einfallsebene des Sonnenlichtes polarisiert (Diese darf hier als
vertikal angesehen werden!) - schwingt also horizontal zum Betrachter. Die Sonnenbrille
blockt genau diesen Horizontalanteil.
c
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4.6. LICHT ALS ANREGUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES
129
Doppelbrechung
Als Doppelbrechung wird die Eigenschaft von optisch anisotropen Materialien bezeichnet,
ein Lichtbündel in zwei senkrecht zueinander polarisierte Teilbündel aufzuspalten (vgl.
Brechung). Die Ursache dieses Effekts liegt in unterschiedlichen Brechzahlen (no und nao ) in
Abhängigkeit von der Ausbreitungsrichtung und Polarisation des Lichtes. Ein prominentes
Beispiel für ein solches Material ist Calcit (Kalkspat). Doppelbrechende Materialien werden
z. B. in Wellenplatten und Polarisatoren verwendet. Man kann aus unpolarisiertem Licht
so linear polarisisertes Licht erzeugen.
Abbildung 4.61: Doppelbrechung im Kalkspat: Ein Strahl der beiden folgt den normalen Brechungsgesetzen; man nennt ihn den ordentlichen Strahl. Der andere tut das nicht, er heisst deshalb
der außerordentliche Strahl (abgekürzt mit a.ordn. Strahl).
Versuch 3250: Doppelbrechung und Polarisation am Kalkspat
Eine Lochblende wird durch einen Kalkspat-Kristall (CaCO3 ) hindurch mit einer Linse
auf die Leinwand abgebildet, wobei zwischen Linse und Leinwand noch ein Polarisationsfilter in den Strahlengang gebracht werden kann. Der Kalkspat ist so in einer Halterung
befestigt, dass seine optische Achse zum Strahlengang parallel gestellt werden kann. Außerdem lässt sich der ganze Kristall um die optische Achse drehen. Ohne Polarisationsfilter
sieht man zwei Bilder der Lochblende an der Wand, die beim Drehen des Kristalls umeinander rotieren. Bringt man nun einen Polfilter in den Strahlengang, so werden beim
Drehen des Kristalls die beiden Bilder abwechselnd hell und dunkel.
Dichroismus
Wenn in einem Kristall der außerordentliche Strahl, der durch Doppelbrechung entsteht,
absorbiert wird, spricht man vom Dichroismus. Ein Beispiel hierfür ist der Turmalin. Entsprechend sind bei der Betrachtung aus verschiedenen Blickwinkeln verschiedene Farben
zu sehen.
Polarimetrie
Die Konzentrationsbestimmung von Lösungen optisch aktiver Stoffe mit Hilfe polarisierten
Lichtes heisst Polarimetrie. Beim Durchgang von linear polarisiertem Licht durch eine
c
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4.6. LICHT ALS ANREGUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES
130
optisch aktive Probe wird die Polarisationsebene des linear polarisierten Lichtes gedreht.
Abbildung 4.62: In der Polarimetrie wird Licht einer Natriumdampflampe durch einen Polarisationsfilter linear polarisiert und die Verdrehung der Polarisation durch eine optisch aktive
Lösung mittels eines Analysators gemessen.
Der Betrag des Drehwinkels ist dabei direkt proportional zur Konzentration c der
gelösten Verbindung. Je mehr optisch aktive Moleküle gelöst sind, desto größer wird
natürlich ihr resultierender Effekt sein. Deswegen ist der Drehwinkel α auch proportional
zur Strecke d, die das Licht in der optisch aktiven Lösung zurücklegt. Mit der Proportionalitätskonstante α0 , die spezifisches Drehvermögen genannt wird, ist
α = α0 d c .
(4.96)
Dieser Drehwinkel ist charakteristisch für die Probe. Er kann als Maß für die Reinheit der
Substanz gelten. Weitere Anwendungen sind die Unterscheidung zwischen optisch aktiven
Isomeren, die Erfassung von Konzentrationsänderungen einer optisch aktiven Substanz in
einer Reaktionsmischung oder die Untersuchung kinetischer Reaktionen durch Messung
der optischen Drehung als Funktion der Zeit.
Eine Substanz heißt rechtsdrehend, wenn sie die Polarisationsebene des Lichtes im
Uhrzeigersinn dreht. Dreht sie diese dagegen im Gegenuhrzeigersinn, so nennt man sie
linksdrehend.
Versuch 3275: Optische Aktivität einer Zuckerlösung
Eine Lochblende wird durch eine Küvette (3 cm × 10 cm) hindurch auf die Leinwand
abgebildet (Objektiv f = 250 mm, Lichtquelle 24 V / 250 W). Die Küvette wird mit
Rohrzuckerlösung gefüllt und zwischen zwei Polarisationsfilter gestellt, welche so eingestellt werden, dass die Abbildung ausgelöscht wird. Nimmt man jetzt die Küvette mit der
Zuckerlösung aus dem Strahlengang heraus, so wird das Bild wieder hell. Im Umkehrversuch kreuzt man ohne Zuckerlösung die Polarisatoren bis zur Auslöschung und stellt dann
die gefüllte Küvette in den Strahlengang. Wieder erfolgt eine Aufhellung.
c
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4.6. LICHT ALS ANREGUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES
131
Flüssigkristallbildschirm
In Flüssigkristalldisplays verwendete Flüssigkristalle sind organische Verbindungen, die
richtungsabhängige (anisotrope) physikalische Eigenschaften aufweisen und die sowohl Eigenschaften von Flüssigkeiten als auch Eigenschaften von Festkörpern zeigen. Sie sind
einerseits mehr oder weniger fluide wie eine Flüssigkeit, andererseits zeigen sie Eigenschaften wie Doppelbrechung.
Ein Flüssigkristallbildschirm oder eine Flüssigkristallanzeige (englisch liquid crystal
display, LCD), ist ein Bildschirm oder eine Anzeige, dessen Funktion darauf beruht, dass
Flüssigkristalle die Polarisationsrichtung von Licht beeinflussen, wenn ein bestimmtes
Maß an elektrischer Spannung angelegt wird. LCDs bestehen aus Segmenten, die unabhängig voneinander ihre Helligkeit ändern können. Dazu wird mit elektrischer Spannung in jedem Segment die Ausrichtung der Flüssigkristalle gesteuert. Damit ändert sich
die Durchlässigkeit für polarisiertes Licht, das mit einer Hintergrundbeleuchtung und Polarisationsfiltern erzeugt wird.
Abbildung 4.63: Durch die Verdrillung der Moleküle folgt eine Drehung der Polarisationsrichtung des Lichtes, wodurch das Licht den zweiten Polarisator passieren kann. Das Display ist im
Ruhezustand durchsichtig. Legt man eine elektrische Spannung an die Elektroden an, so tritt unter dem Einfluss des elektrischen Feldes eine Drehung der Flüssigkristallmoleküle ein, die sich
parallel zum elektrischen Feld ausrichten. Die Verdrillung wird damit zunehmend aufgehoben,
die Polarisationsrichtung des Lichts wird nicht mehr gedreht und damit kann es den zweiten
Polarisationsfilter nicht mehr passieren.
Die einfachste Anordnung ist die nematische Drehzelle (engl. twisted nematic, TNZelle) bei der die Verdrillung der Moleküle 90o beträgt. Aufgrund der niedrigen Ansteuerspannung (im Bereich weniger Volt) und der nahezu leistungslosen Ansteuerung (es ist
kein Stromfluss zum Betrieb notwendig), bildet die TN-Zelle die Grundlage zur Anwendung von LCDs in tragbaren batteriebetriebenen Geräten, wie z.B. Taschenrechnern und
Armbanduhren. Bei einem farbfähigen Bildschirm werden pro Bildelement (Pixel) drei
Teilbildelemente (Subpixel) für die Grundfarben Rot, Grün und Blau verwendet.
c
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4.7. WELLENOPTIK
132
Eine Verbesserung in Bezug auf einen erhöhten Farbkontrast erreichen STN-Displays
(Super-Twisted-Nematic), bei denen der Verdrillwinkel der Moleküle auf 180 bis 270 Grad
erhöht ist.
Ein TFT-Display besteht grundsätzlich aus einer TN-Zelle, einem Farbfilter und einem
Transistor pro Subpixel. Die Abkürzung TFT steht für Dünnfilm-Transistor (engl. T hin
F ilm T ransistor). Der Transistor steuert die Helligkeit des jeweiligen Subpixels direkt vor
Ort. Mit dieser Technologie werden schnellere Schaltzeiten und eine genauere Steuerung des
Pixels gegenüber Passiv-Displays ermöglicht. Mit dieser Technologie ist es auch möglich,
sehr hohe Auflösungen (grösser als 640 x 480 Pixel) zu realisieren.
Die Farbfilter für die Farben Rot, Grün und Blau sind nebeneinander auf das Glassubstrat aufgebracht. Jeder einzelne Bildpunkt (engl Dot) setzt sich aus drei dieser Farbzellen
oder Bildelemente zusammen. Man hat somit bei einer Auflösung von 1280 × 1024 genau
3840 × 1024 Transistoren und Bildelemente. Der Punktabstand (engl Dot Pitch bzw. Pixel
Pitch) beträgt bei einem 15.1-Zoll-TFT (1024 × 768 Pixel) circa 0.30 mm und bei einem
18.1-Zoll-TFT (1280 × 1024 Pixel) ungefähr 0.28 mm. Ein 15-Zoll Bildschirm enthält also
bereits etwa 800000 Bildpunkte oder ungefähr 2.4 Millionen LCD-Zellen.
4.7
Wellenoptik
Bisher haben wir in drei Dimensionen immer ebene Wellen
~ = î E0 exp i(~k · ~r ± ωt + ϕ0 ) = Ê0 exp i(~k · ~r ± ωt)
E
(4.97)
mit Ausbreitungsrichtung ∓~k betrachtet. Es gibt aber auch andere Arten von Wellen, wie
zum Beispiel Kugelwellen
Ê0
~
~
E=
exp i(k · ~r ± ωt)
(4.98)
r
für die die Amplitude mit wachsendem Abstand vom Ort des Erregers proportional mit
1/r abnimmt, da die Energie der Welle auf eine immer größere Kugelfläche verteilt wird.
Abbildung 4.64: links: Eine Welle, bei der die Wellenfronten (Orte gleicher Phase) auf Ebenen
liegen heißt ebene Welle. rechts: Eine 1/r-amplitudengedämpfte harmonische Kreiswelle.
c
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4.7. WELLENOPTIK
4.7.1
133
Interferenz von Wellen
Interferenz beschreibt die Überlagerung von zwei oder mehr Wellen nach dem Superpositionsprinzip (d.h. durch Addition der Amplituden, nicht der Intensitäten). Wir betrachten
zunächst die Überlagerung von zwei gleichfrequenten ebenen Wellen mit gleicher Ausbreitungsrichtung
~ =E
~1 + E
~ 2 = îE1 exp i(~k · ~r ± ωt + ϕ01 ) + îE2 exp i(~k · ~r ± ωt + ϕ02 )
E
. (4.99)
Werden die Wellen von unterschiedlichen Orten ausgesendet, so wird die durch verschieden
lange Laufwege verursachte Phasenverschiebung der beteiligten Wellen durch die verschiedenen Nullphasenwinkel ϕ01 und ϕ02 berücksichtigt. Es folgt wieder eine ebene Welle,
jedoch mit geänderter Amplitude und anderem Phasenwinkel
~ = îE0 exp i(~k · ~r ± ωt + ϕ0 )
E
.
(4.100)
Die Intensität I der Welle war nach Gleichung 4.75
r
ε0 2
I=
E
µ0
(4.101)
und mit
~E
~ ∗ = (E1 exp(iϕ01 ) + E2 exp(iϕ02 )) (E1 exp(−iϕ01 ) + E2 exp(−iϕ02 ))
E2 = E
E 2 = E12 + E22 + 2E1 E2 cos (ϕ02 − ϕ01 )
(4.102)
(4.103)
folgt eine Gesamtintensität
I = I1 + I2 + 2
Die Phasendifferenz der Teilwellen ist
p
I1 I2 cos (∆ϕ) .
∆ϕ = ϕ02 − ϕ01 .
(4.104)
(4.105)
Der zusätzliche Interferenzterm wird durch die Phasenbeziehung zwischen den beiden Teilwellen bestimmt.
In einem wichtigen Spezialfall sind die Amplituden der beiden Wellen und damit auch
beide Intensitäten gleich (I1 = I2 ) und es folgt für die Gesamtintensität
I = 2I1 [1 + cos (∆ϕ)]
(4.106)
oder nach Anwendung eines Additiontheorems
2
I = 4I1 cos
c
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∆ϕ
2
.
(4.107)
4.7. WELLENOPTIK
134
Löschen sich die Wellen durch Überlagerung gegenseitig aus, so spricht man von destruktiver Interferenz. Verstärken sich die Amplituden, so spricht man von konstruktiver
Interferenz. Es erfolgt konstruktive Interferenz (Intensität maximal) für
∆ϕ = N 2π
; N = 0, ±1, ±2, ...
(4.108)
und destruktive Interferenz (Intensität minimal) für
∆ϕ = (N + 1/2) 2π
; N = 0, ±1, ±2, ... .
(4.109)
Versuch 3150: Interferenzmodell
Das Modell besteht aus zwei Glasplatten, die übereinander liegen und gegeneinander
verschoben werden können. Jede Glasplatte hat ein System konzentrischer schwarzer Ringe
aufkopiert. Die ganze Anordnung wird auf die Schreibprojektion gelegt. In Transmission
sieht man nur diejenigen Stellen hell, die von keinem der beiden Ringsysteme abgedeckt
werden. Das stellt eine gewisse Analogie zur Interferenzauslöschung dar.
Für die Überlagerung von zwei gleichfrequenten ebenen Wellen mit verschiedener Ausbreitungsrichtung gilt
~ =E
~ 1 +E
~ 2 = îE1 exp i(~k1 · ~r ± ωt + ϕ01 ) + îE2 exp i(~k2 · ~r ± ωt + ϕ02 )
E
. (4.110)
Die Wegdifferenz ist entscheidend für das Auftreten von Interferenzerscheinungen zwischen
diesen Wellen.
Der optische Weg dopt ist durch den geometrischen Weg r und die Brechzahl n entlang
dieses Weges bestimmt
dopt = r n .
(4.111)
Der Gangunterschied ∆r ist die Wegdifferenz (Wegunterschied) zweier oder mehrerer
kohärenter Wellen gleicher Wellenlänge. Für eine Laufzeitdifferenz ∆t folgt
∆r = c ∆t = c (t2 − t1 ) = c
r2
r1
− c = r2 n 2 − r1 n 1 .
c2
c1
(4.112)
Zusätzlich sind noch Phasensprünge bei Reflektion möglich, die einen weiteren Beitrag
zum Gangunterschied liefern können.
Der aus den unterschiedlich langen zurückgelegten Wegen folgende Gangunterschied
∆r führt ebenfalls zu einer Phasendifferenz ∆ mit
∆=
∆r
2π .
λ
(4.113)
Die gesamte Phasendifferenz δ setzt sich also aus zwei Anteilen zusammen: Ein Beitrag
kommt durch die Phasendifferenz zwischen den beiden Wellen ∆ϕ und ein zweiter Beitrag
folgt aus der Phasendifferenz ∆, die aus der Wegdifferenz, die beide Wellen durchlaufen,
stammt. Es ist
δ = ∆ϕ + ∆ .
(4.114)
Entsprechend ergeben sich als Interferenzbedingungen für zwei zwei gleichfrequenten ebenen Wellen mit verschiedener Ausbreitungsrichtung (Zweistrahlinterferenz):
c
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4.7. WELLENOPTIK
135
a) konstruktive Interferenz (Intensität maximal) für
δ = N 2π
; N = 0, ±1, ±2, ...
(4.115)
∆r = N λ
; N = 0, ±1, ±2, ...
(4.116)
b) destruktive Interferenz (Intensität minimal) für
δ = (N + 1/2) 2π
∆r = (N + 1/2) λ
; N = 0, ±1, ±2, ...
(4.117)
; N = 0, ±1, ±2, ... .
(4.118)
Für den Spezialfall gleicher Amplituden I1 = I2 = I0 folgt für die Gesamtintensität
δ
I = 4I0 cos
2
2
.
Abbildung 4.65: Interferenz zweier Kugelwellen
c
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(4.119)
4.7. WELLENOPTIK
4.7.2
136
Der ideale Doppelspalt
Beim Doppelspaltexperiment lässt man kohärentes, monochromatisches Licht durch eine Blende mit zwei schmalen, parallelen Schlitzen treten. Auf einem Beobachtungsschirm
hinter der Blende zeigt sich dann ein Interferenzmuster aus hellen und dunklen Streifen.
Dieses Muster entsteht durch die Interferenz der die beiden Blendenöffnungen passierenden
Lichtstrahlen.
Versuch 3200: Beugung am Doppelspalt
Wir beleuchten mit einem grünen Laser einen verstellbaren Spalt, so dass das Beugungsbild in etwa 10 m Abstand auf der Leinwand erscheint. Außerdem erzeugen wir mit
dem roten Laser das Beugungsbild eines Doppelspaltes und ordnen es so genau über dem
des Einfachspaltes an. Nun kann man den verstellbaren Spalt so einstellen, dass die Struktur des Beugungsbildes mit der Grobstruktur des Doppelspaltes übereinstimmt.
Der Spaltabstand d liegt in der Größenordnung der verwendeten Wellenlänge λ und wir
beobachten auf einem weit entfernten Schirm im Abstand l >> d das Interferenzmuster.
Abbildung 4.66: links: Konstruktion von Punkten maximaler oder minimaler Intensität hinter
dem Doppelspalt. rechts: Interferenzmuster des Doppelspalts.
Dann ist der Gangunterschied ∆r = d sin Θ und konstruktive Interferenz führt zu
Maxima mit
mλ = d sin(Θ)
(4.120)
und destruktive Interferenz zu Minima mit
(m + 1/2)λ = d sin(Θ)
(4.121)
für m = 0, ±1, ±2, ±3, ....
Wenn der Beobachtungsschirm relativ weit vom Doppelspalt entfernt ist, ist der Winkel
Θ zum Beobachtungspunkt von beiden Spalten aus derselbe und es gilt
d sin Θ ≈ d tan Θ = d
c
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ym
≈ mλ .
l
(4.122)
4.7. WELLENOPTIK
137
Abbildung 4.67: Geometrie am Doppelspalt: y misst den Abstand auf dem Schirm von der Mitte
des Doppelspalts zum Beobachtungspunkt P .
Der m-te helle Streifen hat von der Achse den Abstand
λl
d
(4.123)
λl
.
d
(4.124)
ym ≈ m
und der Abstand zweier Streifen ist
∆y =
Für einen idealen Doppelspalt mit der Spaltbreite 0 folgt für die Intensität nach Gleichung 4.119
δ
2
I = 4 I0 cos
(4.125)
2
mit einer Phasendifferenz
δ=
2π
d sin(Θ) .
λ
Abbildung 4.68: Intensitätsverteilung für einen idealen Doppelspalt.
c
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(4.126)
4.7. WELLENOPTIK
4.7.3
138
Der Einzelspalt
Teilt man in Gedanken ein Lichtbündel, das an einem Einzelspalt in eine bestimmte Richtung abgelenkt wird, in zwei Hälften, können sich diese beiden Anteile des Lichtbündels
konstruktiv oder destruktiv überlagern. Auch an einem Spalt ergibt sich so wieder eine
Reihe von Beugungsmaxima.
Versuch 3200: Beugung am Spalt
Wir beleuchten mit dem grünen Laser einen verstellbaren Spalt, so dass das Beugungsbild in etwa 10 m Abstand auf der Leinwand erscheint.
Abbildung 4.69: links: M + 1 punktförmige Lichtquellen in einem Spalt der Breite a. rechts:
Zeigerdiagramm zur Berechnung der Amplitude für einen Einzelspalt.
Beim Doppelspalt sind wir von der Idealisierung punktförmiger Spalte ausgegangen. In
Wirklichkeit haben die Spalte aber eine endliche Breite a. In einem Gedankenexperiment
unterteilen wir den Einzelspalt der Breite a in M + 1 punktförmige Lichtquellen mit
Abstand d = a/M . Der Phasenunterschied zwischen zwei benachbarten Lichtquellen in
die Richtung Θ ist
2π
δi =
d sin Θ .
(4.127)
λ
Der gesamte Phasenunterschied ist dann
Φ=
M
X
δi = (M + 1)
i=0
und für M → ∞
M + 1 2π
2π
d sin Θ =
a sin Θ
λ
M λ
(4.128)
2π
a sin Θ .
(4.129)
λ
Die Amplitude A0 resultiert aus der Addition von M + 1 Einzelamplituden A gemäß dem
Zeigerdiagramm wie in Abbildung 4.69 veranschaulicht
Φ
.
(4.130)
A0 = 2 r sin
2
c
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Φ=
4.7. WELLENOPTIK
139
Für den Winkel Θ = 0 ist Amax = A0 (Θ = 0) = M A. Die Amplituden der einzelnen
Quellen sind unabhängig von der Beobachtungsrichtung. Deshalb ist auch die Bogenlänge
Amax = M A = r Φ. Wir lösen nach r auf und setzen in Gleichung 4.130 ein:
Amax
Amax
Φ
Φ
A0 = 2
=
.
(4.131)
sin
sin
Φ
2
Φ/2
2
Nach Gleichung 4.75 war die Intensität I ∼ A20 und I0 ∼ A2max und somit ist Intensitätsverteilung am Einzelspalt
2
Φ
sin

2 

I = I0 


Φ
2

.
(4.132)
Abbildung 4.70: Intensitätsverteilung bei der Beugung am Einzelspalt als Funktion des Winkels.
Setzt man für den Phasenunterschied Gleichung 4.129 ein, ergibt sich
2

π a sin Θ

 sin
λ
 .
I = I0 


π a sin Θ
(4.133)
λ
Durch Einführen der Spaltinterferenzfunktion
sinc(β) =
sin β
β
(4.134)
vereinfacht sich der Ausdruck zu
I = I0 sinc
2
π a sin Θ
λ
.
(4.135)
Je höher die Ordnung der (Neben-)Maxima ist, desto dunkler werden sie, weil ein
kleineres Teilbündel für die Resthelligkeit verantwortlich ist.
c
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4.7. WELLENOPTIK
140
Abbildung 4.71: Die Aufteilung in verschieden viele Teilbündel führt zu einer abnehmenden
Intensität bei den nicht destruktiv interferierten Restbündel für höhere Ordnungen.
Für Θ = 0 , also in der Mitte, herrscht konstruktive Interferenz und wir erhalten das
Hauptmaximum. Haben die Randstrahlen beispielsweise den Gangunterschied ∆r = λ, so
können wir den Spalt in zwei Hälften aufspalten. Zu jeder Elementarwelle aus der oberen
Hälfte findet sich eine zweite in der unteren Hälfte, die zur ersten einen Gangunterschied
von ∆r = λ/2 hat und destruktive Interferenz ergibt. Entsprechend ist der Trick zur
Bestimmung der Minima die Aufteilung des Spalts in M Intervalle, wobei sich das Licht
aus jeweils benachbarten Intervallen auslöscht. Es ist
∆r =
a sin Θ
.
M
(4.136)
Abbildung 4.72: Trick zur Bestimmung der Minima ist die Aufteilung in Intervalle mit den
zugehörigen Elementarwellen.
Für Minima gilt
M λ = a sin Θ
(4.137)
mit M = ±1, ±2, ±3.... Das Hauptmaximum liegt zentral bei Θm =0. Die Nebenmaxima
sind nicht exakt in der Mitte zwischen benachbarten Minima. Ihre Lage folgt der Bedingung
β cos β − sin β
d sin β
=
(4.138)
dβ
β
β2
c
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4.7. WELLENOPTIK
141
mit β = Φ/2 und Φ als gesamter Phasenunterschied zwischen den Wellen vom oberen und
unteren Ende des Spalts.
4.7.4
Der reale Doppelspalt
Ohne die Idealisierung punktförmiger Spalte verändert sich auch die Intensitätsverteilung
am Doppelspalt gegenüber dem vorangegangenen Abschnitt. Wir betrachten zwei Spalte der Breite a mit Abstand d. Es folgt die Interferenz und das Beugungsmuster von
Doppelspalt und Spaltgröße als Produkt
2
Φ
 sin 2 
δ
2
 cos
I = 4 I0 


Φ
2
2

.
(4.139)
Darin ist Φ die Phasendifferenz zwischen den Wellen vom oberen und unteren Ende eines
Spalts. Sie hängt von der Breite a des einzelnen Spalts ab und es gilt
Φ=
2π
a sin Θ .
λ
(4.140)
δ ist die Phasendifferenz zwischen Wellen aus der Mitte zweier benachbarter Spalte. Sie
hängt vom Abstand der Spalte d ab und es ist
δ=
2π
d sin Θ .
λ
(4.141)
Für die Bedingung a < d liefert der Einzelspalt die Einhüllende für die Interferenz des
Doppelspalts.
Abbildung 4.73: links: realer Doppelspalt mit a < d. rechts: Intensitätsverteilung bei der Beugung am realen Doppelspalt als Funktion des Winkels.
Das Interferenzmuster hängt nicht von der Anzahl oder Gleichzeitigkeit der beteiligten
Photonen ab. Bei einer langsamen Folge von einzelnen Teilchen baut sich das Interferenzmuster langsam auf. Nach dem Detektieren von immer mehr Teilchen sieht man die
c
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4.7. WELLENOPTIK
142
bekannte Verteilung immer genauer. Bezüglich des Interferenzmusters muss beachtet werden, dass die Energie des Lichts nicht reduziert wird. Vielmehr handelt es sich lediglich
um eine Umverteilung der Energie (Licht). Die Energie bleibt also erhalten.
Eine Änderung der Spaltbreite a führt zu einer Änderung der Lage der Extrema des
Einfachspaltes, dessen Intensitätsverteilung die Hüllkurve der Intensitätsverteilung des
Doppelspalts bildet (siehe Abbildung 4.74). Je breiter der Spalt ist, desto enger wird die
Hüllkurve.
Abbildung 4.74: Einfluss der Spaltbreite auf das Interferenzmuster des realen Doppelspalts für
eine Wellenlänge λ= 553 nm, Spaltabstand d= 124 µm und Spaltbreiten a= 10 µm (links), 25
µm (mitte) und 45 µm (rechts).
Eine Änderung des Spaltabstandes d führt zu einer Änderung der Lage der Extrema
des Doppelspalts innerhalb der konstant bleibenden Hüllkurve (siehe Abbildung 4.75). Je
größer der Spaltabstand ist, desto enger liegen die Extrema des Doppelspalts beieinander.
Abbildung 4.75: Einfluss des Spaltabstandes auf das Interferenzmuster des realen Doppelspalts
für eine Wellenlänge λ= 553 nm, Spaltbreite a= 25 µm und Spaltabstände d= 50 µm (links), 124
µm (mitte) und 195 µm (rechts).
Eine Änderung der Wellenlänge λ wirkt sich sowohl auf die Hüllkurve als auch auf
c
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4.7. WELLENOPTIK
143
die Intensitätsverteilung des Doppelspalts aus (siehe Abbildung 4.76). Je größer die Wellenlänge ist, desto breiter werden die Hüllkurve und die Interferenzabstände des Doppelspalts.
Abbildung 4.76: Einfluss der Wellenlänge auf das Interferenzmuster des realen Doppelspalts
für einen Spaltabstand d= 124 µm, Spaltbreite a= 25 µm und Wellenlängen λ= 409 nm (links),
553 nm (mitte) und 695 nm (rechts).
4.7.5
Mehrfachspalte
Bei einer Spaltanzahl N , die größer als 2 (Doppelspalt) ist, spricht man von einem Mehrfachspalt, oder bei einem sehr großen Wert von N auch von einem Gitter. Das einfachste
Beispiel für einen Mehrfachspalt ist der Dreifachspalt. Der Dreifachspalt kann als Doppelspalt mit einem zusätzlichen dritten Spalt, ebenfalls im Abstand d, verstanden werden.
Abbildung 4.77: links: realer Dreifachspalt mit a < d. rechts: Intensitätsverteilung bei der
Beugung am realen Dreifachspalt als Funktion des Winkels.
An Orten, an denen zuvor Intensitätsmaxima des Dopppelspalts lagen, hat der erste
zum zweiten Wellenzug einen Gangunterschied einer ganzzahligen Wellenlänge (Phasendifferenz 0 oder 2π) , ebenso wie der zweite zum dritten. Alle drei Wellenzüge sind also in
c
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4.7. WELLENOPTIK
144
Phase und interferieren konstruktiv. Entsprechend sind an diesem betrachteten Orten bei
einem Dreifachspalt nach wie vor Maxima der Intensität mit
mλ = d sin(Θ)
(4.142)
für m = 0, ±1, ±2, ±3, ....
Ist A0 die Amplitude eines einzelnen Wellenzuges mit zugehöriger Intensität I0 , so
ergibt sich die Intensität der neuen Maxima zu
(3A0 )2 = 9 I0 .
(4.143)
Zum Vergleich: Die Maxima des Doppelspalts hatten eine Intensität von (2A0 )2 = 4 I0 .
Da die Maxima sozusagen ihren Ort auf dem Schirm beibehalten und gleichzeitig maximal
mögliche Intensität besitzen, nennt man sie in diesem Zusammenhang auch Hauptmaxima n-ter Ordnung. Desweiteren treten zwischen den Hauptmaxima Resthelligkeiten, so
genannte Nebenmaxima auf.
Abbildung 4.78: Vergleich von Doppelspalt (N=2) und Mehrfachspalten (N=4, 8), links: Der
Einzelspalt ist so eng, dass von ihm Elementarwellen ausgehen. rechts: Die Breite a der Spalte
ist nicht zu vernachlässigen.
Die Gesamtintensität ist ein Produkt aus der Spaltfunktion und der Gitterfunktion
2 
2

π d sin Θ
π a sin Θ
  sin N

 sin
λ
λ
 
 .

(4.144)
I = I0 
 
π a sin Θ
π d sin Θ 
sin
λ
λ
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4.7. WELLENOPTIK
145
Ist die Spaltbreite a zu vernachlässigen, so ist die Gesamtintensität nur durch die Gitterfunktion beschrieben und es ist
2

π d sin Θ
 sin N

λ
 .
I = I0 
(4.145)

π d sin Θ 
sin
λ
Bei steigender Spaltzahl N wächst die Intensität der Hauptmaxima quadratisch mit
N , ihre Positionen auf dem Sichtschirm bleiben unabhängig von N . Die Hauptmaxima
befinden sich also an den Positionen der maxima des Deoppelspalts. Dagegen rückt das
jeweils erste Minimum neben einem Hauptmaximum mit steigender Spaltanzahl N zum
Zentrum hin näher an dieses Hauptmaximum heran. War beim Doppelspalt das erste
Minimum bei einer Phasendifferenz von π zwischen den Wellenzügen zu beobachten, so
tritt es beim Dreifachspalt schon bei einer relativen Phasendifferenz von 2π/3 auf. Diese
entspricht einem kleineren Gangunterschied und damit auch einem geringeren (Winkel)Abstand zum jeweiligen Hauptmaximum. Die Hauptmaxima werden also mit steigender
Spaltanzahl N zunehmend schärfer durch die ersten Minima neben diesen eingegrenzt.
Abbildung 4.79: Intensität am Mehrfachspalt aus Zeigeraddition für verschiedene Phasenunterschiede von einem Spalt zum nächsten ∆ϕ : a) Hauptmaximum ∆ϕ = 2π b) Nebenmaximum
∆ϕ = π c) Nullstelle ∆ϕ = 2/3 π d) beliebig ∆ϕ = 5/6 π. e) Von oben nach unten Übergang vom
Einzelspalt zu Mehrfachspalten, die als Vorstufe des Gitters verstanden werden können.
Die Lage der Maxima und der Nullstellen lässt sich mit der Zeigeraddition verstehen
(siehe Abbildung 4.79):
• Hauptmaxima ergeben sich immer dann, wenn alle Zeiger parallel liegen. Das ist der
Fall, wenn ∆ϕ = m 2π ist, also für ∆r = m λ.
• Nullstellen ergeben sich genau dann, wenn die N Zeiger ein geschlossenes Polygon
bilden, d.h. wenn N ∆ϕ = m 2π ist. Dann ist ∆r = m/N λ für m = 1, 2, ..., N − 1.
Zwischen zwei Hauptmaxima liegen N − 2 Nebenmaxima und N − 1 Minima.
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4.7. WELLENOPTIK
4.7.6
146
Das optische (Strich-)Gitter
Optische Gitter, auch Beugungsgitter genannt, bestehen aus einer großen Zahl von Längsstrukturen in gleichmäßigem Abstand:
• Spalte in intransparentem Material oder Striche auf einer transparenten Platte (Draht, Spalt- oder Strichgitter)
• Gräben oder Rillen auf einer reflektierenden Fläche (Reflexionsgitter)
Versuch 3210: Strichgitter und Kreuzgitter
In den Strahl eines He-Ne-Lasers werden Strichgitter mit drei verschiedenen Strichdichten und ein Kreuzgitter gebracht. Die Beugungsbilder erscheinen groß an der Hörsaalleinwand.
Durch Verdrehen der Gitter kann man auch noch die scheinbare Gitterkonstante ändern.
Die Gitterkonstante g bezeichnet den Abstand der Spalte (z.B.: 10000 Linien pro cm
→ g = 1 cm/10000 = 1µm).
Abbildung 4.80: Intensitätsverteilung bei der Beugung am Gitter als Funktion der Hauptmaxima.
Ein optisches Gitter bewirkt das gleiche wie ein Mehrfachspalt mit einer sehr großen
Spaltanzahl N . Bei einem Gitter mit M Linien setzt sich das Beugungsmuster aus dem
Muster des Einzelspalts multipliziert mit dem Beugungsmuster des Gitters zusammen:
2 
2
π d sin Θ
π a sin Θ

  sin M
 sin
λ
λ

 
I = I0 

 

π a sin Θ
π d sin Θ
sin
λ
λ

.
(4.146)
Es entstehen Haupt- und Nebenmaxima. Hauptmaxima treten unter den Winkeln Θm
auf und es gilt
mλ = g sin(Θm )
(4.147)
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4.7. WELLENOPTIK
147
mit m = 0, ±1, ±2, ±3.... Zwischen 2 Hauptmaxima liegen M −2 Nebenmaxima und M −1
Minima. Die Lage eines Interferenzmaximums hängt nicht von der Anzahl der Spalte (also
Quellen) ab.
Es werden die beim Gitter auftretenden Hauptmaxima bei steigender Spaltanzahl zunehmend intensiver und schärfer, während die Intensität der Nebenmaxima schnell abnimmt.
Natürlich lassen sich nicht Maxima beliebig hoher Ordnung auf dem Sichtschirm beobachten, da in der obigen Bedingung an die Interferenzmaxima stets die Bedingung
sin(Θm ) ≤ 1 gilt, woraus m ≤ g/λ folgt. Es existiert also eine maximale Ordnung mmax ,
bis zu welcher die Interferenzmaxima sichtbar sind.
4.7.7
Reflektionsgitter
Neben den bisher betrachteten Transmissionsgittern gibt es auch Reflektionsgitter (siehe
Abbildung 4.81).
Abbildung 4.81: links: Transmissionsgitter und rechts: Reflektionsgitter
Für einfallendes Licht gilt das Reflektionsgesetz Θ = Θm = 0. Dies reflektierte Licht
entspricht der 0−ten Ordnung. Zusätzlich entstehen wie beim (Transmissions-)Gitter Beugungsmaxima unter den Winkeln Θm mit
mλ = g (sin(Θm ) − sin(Θ))
(4.148)
und m = 0, ±1, ±2, ±3.... Erneut liegen zwischen zwei Hauptmaxima M −2 Nebenmaxima
und M − 1 Minima.
Spezialfall: Bei einem senkrechten Lichteinfall auf das Gitter ist Θ = 0 und sin(Θ) = 0.
Folglich gilt
mλ = g sin(Θm )
(4.149)
mit m = 0, ±1, ±2, ±3..., aber wegen sin(Θm ) = − sin(−Θm ) ist die Numerierung der Beugungsordnungen ist gegenüber dem Transmissionsgitter vertauscht (siehe Abbildung 4.81).
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4.7. WELLENOPTIK
148
Beispiele für eine wichtige Anwendungen von Reflektionsgittern sind die CD-ROM oder
die DVD. Bei der Betrachtung einer CD-ROM oder DVD fällt auf, dass sie einfallendes
Licht spektral zerlegt. Ihre Oberfläche enthält winzige Rillen, die ein Reflexionsgitter bilden.
Abbildung 4.82: links: Reflektionsgitter bei senkrechtem Lichteinfall und rechts: CD oder DVD
als Reflektionsgitter
Wird das Licht eines Lasers (Wellenlänge λ= 633 nm) senkrecht auf eine CD gerichtet,
so sind in Reflektion Interferenzmaxima zu beobachten. Das Interferenzmaximum zweiter
Ordnung tritt dann gerade unter einem Winkel von ±37.7o bezüglich der Rillenebene der
CD auf.
CD-ROM
Eine CD-ROM besteht aus einem Kunststoffträgermaterial (aus Polycarbonat) mit Aluminiumbeschichtung. Die digitale Information wird auf einer spiralförmigen Spur aufgebracht. Die Spiralspur hat etwa eine Länge von 6 km. Es werden stellenweise Vertiefungen
in die Beschichtung gepresst, so genannte Pits. Diese reflektieren etwas früher als die unbeschädigten reflektierenden Stellen, die Lands genannt werden, da die CD-ROM von der
Oberseite gepresst wird und von der Unterseite gelesen wird. Somit sind die Pits von der
Lese-Seite nicht als Vertiefungen sichtbar, sondern als Hügel. Die Übergänge von Land zu
Pit, und umgekehrt, reflektieren das Licht nicht. Beim Lesen tastet ein schwacher Laserstrahl die gespeicherte Information ab.
Abbildung 4.83: links: Mikroskopaufnahme einer CD-ROM rechts: Rasterkraftmikroskopieaufnahme einer CD-ROM.
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4.7. WELLENOPTIK
149
Bei einer CD-ROM beträgt ein nominaler Track-Abstand 1.6 µm und es wird typischerweise mit einer Laserwellenlänge von 780 nm gearbeitet.
DVD
Im Vergleich zu den CDs wird bei DVDs mit Lasern kürzerer Wellenlänge gearbeitet (650
nm), und wegen der gleichzeitig kürzeren Strahlengänge der Fokussierungsoptiken resultieren daraus kleinere Laserspots, mit denen in den Datenträgerschichten entsprechend kleinere Strukturen gelesen und geschrieben werden können. Der Trackabstand für die DVD
wurde um mehr als die Hälfte auf 0.74 µm verringert, die minimale Pit-Länge schrumpfte
von 0.9 µm auf 0.4 µm. Es gibt verschiedene Speichervarianten.
Abbildung 4.84: Unterschiedliche DVD-Speichervarianten im Querschnitt: Jeweils zwei Halbdisks von 0.6 mm Dicke sind zu einer DVD zusammengeklebt. Diese Halbdisks können einschichtig
oder zweischichtig sein.
Blu-ray Disc
Der Name bezieht sich auf den violetten Lichtstrahl des verwendeten Lasers (405 nm).
Durch die Verringerung des Laserspots von 1.3 µm bei einer DVD auf 0.6 µm bei einer
Blu-ray Disc wird eine größere Speicherkapazität erreicht. Bei einem Durchmesser von 12
cm fasst eine Scheibe mit einer Lage bis zu 25 GB und mit zwei Lagen bis zu 50 GB an
Daten.
4.7.8
Interferenz an dünnen Schichten
Licht fällt auf eine dünne Platte der Dicke d mit dem Brechungsindex n. Der Einfallswinkel
zum Lot gemessen ist ε. Der Lichtstrahl wird teilweise reflektiert, teilweise gebrochen und
reflektiert und es kommt zur Interferenz zwischen beiden Strahlen. Zur Bestimmung des
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4.7. WELLENOPTIK
150
Gangunterschieds zwischen dem reflektierten und dem zuerst gebrochenen und danach
reflektierten Strahl benutzen wir die parallele Wellenfront bei den Punkten C und P (siehe
Abbildung 4.85).
Abbildung 4.85: Interferenz an dünnen Schichten mit den Brechungsidices n und n′ umgeben
von Luft.
Der Gangunterschied ist
∆ = n AB + BC − AP .
(4.150)
Geometrisch gilt für die rechtwinkligen Dreiecke
AB =
und
d
cos ε′
(4.151)
AP = AC sin ε
(4.152)
AC
= DB = d tan ε′ .
2
(4.153)
AC = 2d tan ε′
(4.154)
Also
und entsprechend folgt mit AB = BC
n
2d
′
−
sin
ε
tan
ε
=
(n − sin ε sin ε′ ) .
∆ = 2d
′
cos ε
cos ε′
Das Brechungsgesetz liefert
(4.155)
n
sinε
=
′
sinε
1
(4.156)
r
(4.157)
und außerdem gilt
p
cos ε′ = 1 − sin2 ε′ =
1−
1p 2
sin2 ε
=
n − sin2 ε .
n2
n
Eingesetzt in den Gangunterschied erhalten wir damit
sin2 ε
2dn
n−
∆= p
n
n2 − sin2 ε
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(4.158)
4.7. WELLENOPTIK
151
und schließlich
∆ = 2d
p
n2 − sin2 ε
.
(4.159)
Bei Reflektion am dichteren Medium tritt ein zusätzlicher Phasensprung von π auf (siehe
Abschnitt über Reflektion von Wellen). Dieser Phasensprung entspricht einem zusätzlichen
Gangunterschied von λ/2. Für den Strahl 1 aus Abbildung 4.85 (einfalleder Strahl) bedeutet Reflektion am dichteren Medium, dass die Bedingung n > 1 erfüllt sein muss und für
den Strahl 2 entsprechend n′ > n.
Für den Einfall der Lichtwelle aus Luft auf eine Schicht ist immer die Bedingung n > 1
erfüllt und die Phase von Strahl 1 (an oberen Grenzfläche reflektiert) wird um π gedreht.
Ist zusätzlich n′ > n für den gebrochenen Strahl erfüllt, so wird auch die Phase von Strahl
2 um π gedreht und es folgt für den Gangunterschied
p
∆ = 2d n2 − sin2 ε .
(4.160)
Ist hingegen n′ < n oder gar n′ = 1, was einer dünnen Schicht entspricht, so ist
p
λ
∆ = 2d n2 − sin2 ε −
.
(4.161)
2
Die Interferenzbedingung für eine dünne Schicht (oder allgemeiner n′ < n) ist also:
• Verstärkung (Helligkeit) für m = 0, ±1, ±2,... und
p
(m + 1/2) λ = 2d n2 − sin2 ε .
• Auslöschung (Dunkelheit) für m = 0, ±1, ±2,... und
p
(m + 1) λ = 2d n2 − sin2 ε .
(4.162)
(4.163)
Die Interferenz an dünnen Schichten erklärt die Farben dünner Blättchen: Dünne Schichten wie Seifenfilme, Ölfilme auf Wasser oder Aufdampfschichten zeigen bei Beleuchtung
mit weißem Licht Farben aufgrund von Interferenz.
Beispiel: Ein Seifenfilm (Brechungsindex n = 1.33) mit der Dicke von d = 350 nm wird
mit weißem Licht senkrecht beleuchtet. Es wird also Licht, das der Bedingung
2dn
931 nm
λ=
=
(4.164)
m + 1/2
m + 1/2
für die Wellenlänge genügt, reflektiert. Von den Wellenlängen, die diese Voraussetzung
erfüllen (m = 0: λ= 1862 nm, m = 1: λ= 621 nm, m = 2: λ= 372 nm, m = 3: λ= 266 nm,
usw.), liegt nur λ= 621 nm im sichtbaren Bereich und der Film erscheint folglich rot.
Versuch 3148: Glänzende Reflexion
Eine Glasplatte mit den Buchstaben B (blau), G (grün) und R (rot) wird über eine 12
V Halogenlampe und einer Mattscheibe beleuchtet. Die Glasplatte wird im spitzen Winkel
mit der Kamera betrachtet. In der glänzenden Reflexion erscheint nun das B rot, das G
blau und das R gelb; sprich in der Interferenzfarbe. Die Interferenzfarbe ist abhängig von
der Schichtdicke der Farbpigmente, des Hintergrundes und der Grundfarbe Dreht man die
Glasplatte etwas und stellt ein weißes Blatt Papier dahinter, so erscheinen die Buchstaben
wieder in ihren tatsächlichen Farben.
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4.7. WELLENOPTIK
152
Entspiegeln von Linsen
Ein Beispiel für die Anwendung der destruktiven Interferenz zur Verringerung von Reflexionen ist das Entspiegeln von Linsen. Wir betrachten hierzu eine Anordnung mit
n1 < n2 < n3 was zu einem Phasensprung für die Strahlen r1 und r2 führt. Der Gangunterschied bei senkrechtem Einfall des Lichts ist
∆ = 2d
n2
.
n1
(4.165)
Abbildung 4.86: Interferenz an dünnen Schichten zur Entspiegelung von Linsen
Da zur Auslöschung ∆ = (2m + 1)λ/2 erfüllt sein muss, ist die dünnste Schicht, die
keine Reflektion aufweist (bei m = 0)
d=
λ
.
4n2 /n1
(4.166)
Der Effekt der Entspiegelung (λ/4-Entspiegelung) ist also abhängig von der Wellenlänge.
Entspiegelte Linsen erscheinen leicht farbig (rötlich oder violett). Eine Verbesserung der
Entspiegelung ist durch mehrere Schichten zu erreichen.
Versuch 3175: Vergütete Glasscheibe
Eine Glasscheibe (5 cm x 5 cm) ist zur Hälfte mit einem Antireflexionsbelag bedeckt.
Wir beleuchten sie mit einer Halogenlampe etwas schräg, so dass auf der Leinwand sowohl
der durchgehende als auch der reflektierte Strahl zu sehen sind. Besonders in Reflexion
wird der Helligkeitsunterschied zwischen der vergüteten und der nicht vergüteten Hälfte
der Scheibe deutlich.
Interferenz an keilförmigen, dünnen Schichten
Wieder wollen wir zunächst monochromatisches Licht (Wellenlänge λ fest) betrachten,
das auf eine dünne, keilförmige Schicht (Keilwinkel ν, Brechzahl n) fällt, die von Luft
(Brechzahl n = 1) umgeben sein soll.
Der unter dem festen Winkel ε auf die keilförmige Schicht treffende Strahl a wird
im Punkt A mit Phasensprung reflektiert. Wir betrachten nun einen Strahl b, der unter
gleichem Einfallswinkel wie Strahl a im Punkt B auf den Keil trifft, aber so, dass er
nach zweimaliger Brechung und Reflexion im Punkt C an der Schichtunterseite ebenfalls
im Punkt A austritt. Somit interferieren die Strahlen a und b im Punkt A. Für sehr
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4.7. WELLENOPTIK
153
kleine Keilwinkel ν können wir die optische Weglängendifferenz aus der zuvor für den
planparallelen Fall hergeleiteten Formel berechnen:
∆ = 2d
p
n2 − sin2 ε −
λ
.
2
(4.167)
Durch den sehr kleinen Keilwinkels ν kann der Abstand zwischen den Punkten A und
B als konstant betrachtet werden. Somit ist es nur die Dicke d an einer betrachteten
Stelle, die eine Weglängendifferenz hervorruft. Es werden also bei einem gleichmäßig dicker
werdenden Keil Interferenzstreifen sichtbar, die parallel zur Keilkante verlaufen und als
Kurven gleicher Dicke bezeichnet werden (siehe Abbildung 4.87).
Abbildung 4.87: links: Geometrie am einem Keil mit dem Brechungsindex n, rechts: Streifenförmige Anordnung der Interferenzmaxima und Minima
Betrachten wir zwei nebeneinander liegende, dunkle Linien destruktiver Interferenz der
Ordnungen k und k + 1. Deren optische Weglängendifferenzen betragen ∆k = (2k + 1)λ/2
und ∆k+1 = (2k + 3)λ/2. Der Unterschied der optischen Wegdifferenzen zwischen diesen
beiden Stellen mit den Dicken dk und dk+1 beträgt also eine Wellenlänge λ, weswegen für
die Dickenzunahme des Keils
∆k+1 − ∆k
λ
dk+1 − dk = p
= p
2 n2 − sin2 ε
2 n2 − sin2 ε
(4.168)
folgt. Sei nun D der Abstand zweier solcher Interferenzminima. Dann nimmt die Dicke des
Keils von einem zum nächsten Streifen um
dk+1 − dk = D sin ν
(4.169)
zu. Somit finden wir für den Streifenabstand zweier Interferenzminima
D=
λ
2 sin ν
p
n2 − sin2 ε
(4.170)
Versuch 3160: Interferenz am Doppelspiegel nach Fresnel
Der von einer Bogenlampe beleuchtete Spalt erzeugt ein schmales Lichtbündel, das von
zwei wenig gegeneinander geneigten Spiegeln so auf die Leinwand geworfen wird, dass sich
die beiden Teilbündel noch überlappen. Hat man den Spalt gut parallel zu den Spiegelebenen eingestellt, sieht man bunte Interferenzstreifen auf der Leinwand, die man problemlos
über die Fernsehanlage projizieren kann.
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4.7. WELLENOPTIK
154
Sichtbar werden solche Interferenzen an dünnen, durchsichtigen (und natürlich keilförmigen) Schichten, z.B. an schräg eingespannten Seifenlamellen. Aufgrund der Schwerkraft ist die Lamelle an ihrem tiefstgelegensten Punkt am dicksten und wird nach oben
hin zunehmend dünner. Dabei sinkt solange Wasser ab, bis sie schließlich zerreißt. Unter weißem Licht betrachtet ergeben sich verschiedenfarbige Streifensysteme der einzelnen
Wellenlängen, die sich überlappen.
Abbildung 4.88: Bei senkrechter Anordnung hat die Seifenlamelle einen keilförmigen Querschnitt. Aufgrund der Schwerkraft wird die Flüssigkeitsschicht nach unten hin dicker.
Newtonsche Ringe
Eine Plankonvexlinse mit großem Krümmungsradius R liegt mit der gekrümmten Fläche
auf einer ebenen Glasplatte. Wird monochromatisches Licht von oben senkrecht auf die
Versuchsanordnung gestrahlt, erscheinen in Reflektion durch konstruktive und destruktive Interferenz abwechselnd helle und dunkle konzentrische Kreise, deren Zentren im
Berührungspunkt der Linse mit der Glasplatte liegen.
Abbildung 4.89: Seitenansicht zum Aufbau für die Beobachtung von Newtonschen Ringen.
Versuch 3170: Newton’sche Ringe
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4.7. WELLENOPTIK
155
Das Demonstrationsgerät besteht aus einem Rahmen, in dem eine plankonvexe Glasplatte mit der gewölbten Seite gegen eine planparallele Platte montiert ist, wobei man den
Auflagedruck mittels dreier Schrauben verändern kann. Die entstehenden Interferenzringe werden in Reflexion beobachtet. Ein Blau/Rot Wechselfilter wird in den Strahlengang
gebracht, dieser zeigt die Abhängigkeit der Ringdurchmesser von der Wellenlänge. Wir
projizieren das reflektierte Bild.
Es interferieren Lichtwellen, die an der Grenzfläche beim Übergang von der Linse in
die Luft reflektiert werden, mit denjenigen, die an der Grenzfläche beim Übergang von der
Luft in die Glasplatte reflektiert werden. Der Gangunterschied ist an einer Stelle, an der
der Abstand zwischen Linse und Glasplatte (Luftspalt) d ist,
∆r = 2d − λ/2 ,
(4.171)
weil ein Strahl am optisch dichteren Medium (Platte) reflektiert wird und einen Phasensprung erleidet.
Die Radien der hellen und dunklen Interferenzringe rm (vom Zentrum aus der m-te helle
und dunkle Kreis) sind mit der Dicke des Luftspaltes dm an diesem Radius geometrisch
verknüpft. Nach dem Höhensatz ist
2
rm
= dm (2R − dm )
(4.172)
und es ist dm ≪ R. Damit folgt
2
rm
= dm 2R und dm =
2
rm
2R
(4.173)
und eingesetzt in die Interferenzbedingungen für Maxima (konstruktive Interferenz ergibt
helle Ringe) und Minima (destruktive Interferenz ergibt dunkle Ringe) ergibt sich für die
Radien dunkler Ringe
√
(4.174)
rm = m λ R
und heller Ringe
rm =
p
(m + 1/2) λ R
(4.175)
mit m = 0, 1, 2, 3.... Die Symmetrie ergibt sich aus der Form der Linse als Kugelsegment
(um die Achse AM rotationssymmetrisch, siehe Abbildung 4.89) und bedingt die Symmetrie der Interferenzminima bzw. Interferenzmaxima (Kreisringe).
Wird weißes Licht verwendet, entstehen bunte Ringe, weil die einzelnen Farben wegen
ihrer unterschiedlichen Wellenlängen bei verschiedenen Radien ausgelöscht werden. Die
Komplementärfarbe ist an der Stelle sichtbar.
Anwendung: Mit Newtonschen Ringen können Unebenheiten im Nanometerbereich
entdeckt werden, da schon kleinste Unebenheiten einer Oberfläche (Abweichungen der
Glasplatte) die Newtonschen Ringe stören. Es können so kleinste Materialschäden nachgewiesen werden. So wird die Oberflächenprüfung von Linsen mit Genauigkeit von Bruchteilen der Wellenlänge mittels Newtonscher Ringe ausgeführt.
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4.7. WELLENOPTIK
156
Abbildung 4.90: Kleinste Unebenheiten führen zu einer gut sichtbaren Störung der Ringform
bei Newtonschen Ringen.
4.7.9
Auflösungsvermögen
Eine Lochblende kann als kreisförmiger Spalt verstanden werden, der nicht mehr unendlich
lang ist, sondern einen Durchmesser d aufweist. Die Berechnung des Interferenzmusters
ist für Lochblenden komplizierter und führt auf sogenannte Besselfunktionen. Das erste
Minimum, also der erste dunkle Ring erscheint ungefähr unter dem Winkel α1 mit
sin α1 ≈ 1.22 λ /d
(4.176)
Der Begriff Auflösungsvermögen bezeichnet die Unterscheidbarkeit feiner Strukturen,
also den kleinsten noch wahrnehmbaren Abstand zweier Punkte. Durch die Angabe eines
Winkelabstandes oder durch die Angabe des Abstandes gerade noch trennbarer Strukturen
lässt es sich quantifizieren.
Bei der Abbildung zweier dicht benachbarter Objekte durch eine Blende überlagern
sich die Beugungsbilder. Es sein der Winkel δ die Differenz der Sichtwinkel von der Blende
aus gesehen.
Abbildung 4.91: von links nach rechts: d = 1.25 δmin , d = 1.00 δmin , d = 0.75 δmin und d =
0.50 δmin
Das resultierende Gesamtbild kann als verbeultes Scheibchen mit kleinem Buckel beschrieben werden. Das praktische Kriterium geht auf Lord Rayleigh zurück: Zwei dicht
benachbarte Objekte sind nur dann als zwei Punkte erkennbar, also auflösbar, wenn das
erste Beugungsminimum der einen Quelle nicht das zentrale Maximum der anderen Quelle
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4.7. WELLENOPTIK
157
erreicht. Diese Bedingung ist erfüllt für
δ > 1.22 λ /d ≡ δmin
(4.177)
In Abbildung 4.91 erfüllt also nur das erste Beispiel (linke Grafik) das Rayleigh Kriterium.
Versuch 3160: Auflösungsvermögen eines Gitters
Die Versuchsanordnung besteht aus einem aus einzelnen Teilen zusammengestellten
Prismenspektrographen, der einen zusätzlichen Spalt enthält, mit dem sich die Ausleuchtung des Gitters (1016 Striche pro mm) verändern lässt. Wir beleuchten ihn mit der Natriumdampflampe und sehen ihn uns mit der Fernsehkamera und Nahlinse das Na-D-Linien
Dublett an. Man sieht je nach Ausleuchtung des Gitters die Doppellinie sauber getrennt
oder verwaschen ineinander übergehen.
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Kapitel 5
Nichtlineare Optik
In Kapitel 4 sind wir davon ausgegangen, dass die optischen Eigenschaften eines Materials unabhängig von der Intensität des eingestrahlten Lichtes sind. In diesem, sogenannten
linearen Bereich zeigen unterschiedliche Lichtstrahlen in Materie keine Wechselwirkung
miteinander und die elektrische Suszeptibilität χ ist eine Materialkonstante eines optischen Mediums. Im nichtlinearen Bereich können sich Lichtstrahlen in Materie gegenseitig
beeinflussen. Zwei wichtige Prinzipien der linearen Optik sind in der nichtlinearen Optik
verletzt: das Superpositionsprinzip und die Frequenzerhaltung.
Jedes Medium ist nichtlinear, kann aber in guter Näherung als linear betrachtet werden,
solange die auftretenden Feldstärken klein sind. Um nichtlineare Effekte zu beobachten, bedarf es sehr großer Feldstärken (entsprechende Lichtintensitäten liegen im Bereich von 102
bis 106 W/cm2 ). Große Feldstärken werden z. B. von fokussierter Laserstrahlung erzeugt,
insbesondere bei gepulsten Lasern, bei denen die Energie in sehr kurzer Zeit abgestrahlt
wird. Entsprechend wurde die Entwicklung der nichtlinearen Optik zwischen 1960 und
1980 durch den Fortschritt im Laserbau stark gefördert. Dafür gab es 1981 den Nobelpreis
für N. Blombergen.
5.1
Grundlagen der nichtlinearen Optik
In dem bisherigen Ansatz ist Licht eine elektromagnetische Welle, dessen elektrischer
Feldstärkevektor auf die Elektronen eines Mediums eine Kraft ausübt und diese zum
Schwingen bringt. Die schwingenden Elektronen bilden kleine Hertzsche Dipole und wirken wie Antennen die Licht in alle Richtungen wieder abstrahlen. Die abgestrahlten Felder
überlagern sich und bilden neue Lichtwellen mit bestimmten Frequenzen und Richtungen.
Die Auslenkung eines Elektrons erzeugt lokal ein elektrisches Dipolmoment. Die zeitlichen Änderungn aller Dipole ergeben eine Polarisationswelle. Die nichtlinearen Aspekte
kommen bei der Erzeugung der Polarisationswelle in die Beschreibung.
5.1.1
Anharmonischer Oszillator
Einen einziger Oszillator kann durch ein Elektron an einer Feder mit Federkonstante k
beschrieben werden. Er wind durch das elektisches Feld des Lichts angetrieben. Bei kleinen
158
5.1. GRUNDLAGEN DER NICHTLINEAREN OPTIK
159
Lichtintensitäten gilt das Hooksche Gesetz
F (x) = −k x = mẍ ,
(5.1)
da auch die Auslenkung x des Elektrons klein ist. Das Kraftfeld des harmonischen Oszillators ist konservativ und somit existiert für jedes Oszillator-Kraftfeld ein Potential U (~r),
also ein skalares Feld, mit
~ (~r) .
F~ (~r) = −m ∇U
(5.2)
Das Potential eines Oszillatorkraftfeldes hat demnach die Form einer quadratischen Parabel
U (x) =
k x2
.
2m
(5.3)
Der Zusammenhang zwischen Potential U (~r) und potentieller Energie ist für eine Masse
m
1
(5.4)
U (~r) = Epot (~r)
m
und damit folgt für die potentielle Energie der Feder
Z x
1
(5.5)
F (x)dx = kx2 .
Epot (x) =
2
0
Unter Vernachlässigung von Dämpfung (keine Absorption) folgt die übliche Differentialgleichung für den erzwungenen harmonischen Oszillator
mẍ + k x = fe (t) ,
(5.6)
wobei fe (t) die Kraft des elektrischen Feldes auf das Elektron ist. Die Differentialgleichung ist linear. Man kann die erregende Kraft in Fourierkomponenten zerlegen und jede
Komponente einzeln behandeln
ẍ + ω02 x = fω cos(ω t) ,
mit
ω02 =
k
.
m
(5.7)
(5.8)
Die Lösung lautet
x(t) = xω cos(ω t + ϕ) .
(5.9)
Entscheidend ist, dass die Amplitude linear mit der erregenden Kraft ansteigt
xω ∼ fω .
(5.10)
Besteht die antreibende Kraft aus mehreren Frequenzkomponenten, so überlagern sich die
jeweiligen Lösungen linear. Es gibt keine gegenseitige Beeinflussung, keinen Energieaustausch oder sonst eine Kopplung.
Es gibt keinen Energieaustausch zwischen Lichtfeld und Oszillator. Ohne Dämpfung ist
die Resonanzkurve unendlich schmal und man ist immer nichtresonant. Der Fall ω = ω0 ist
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5.1. GRUNDLAGEN DER NICHTLINEAREN OPTIK
160
als ein einziger Punkt in einem Kontinuum von moglichen Frequenzen ω nicht realisierbar.
Betrachten wir große Auslenkungen (hohe Intensitäten) so entstehen Abweichungen
vom Hookschen Gesetz und die Kraft muss entsprechend entwickelt werden
F (x) = −k x + a x2 + b x3 + ...
(5.11)
und das Potential enthält ebenfalls höhere Ordnungen
U (x) = −k ′ x2 + a′ x3 + b′ x4 + .... .
(5.12)
Nähert man das Potential durch die ersten beiden Termen in Gleichung 5.12, so hat es
einen unsymmetrischen Verlauf (siehe Abbildung 5.1.) Bei einer harmonischen antreibenden Kraft ist die Schwingung jetzt verzerrt und kann nicht mehr durch eine einfache cosinusförmige Schwingung beschrieben werden. Die Fourier-Zerlegung enthält höhere Harmonische. Dasselbe gilt für ein Potential, das einer kubischen Kraftkorrektur entspricht und
entsprechend die ersten drei Terme in Gleichung 5.12 berücksichtigt (siehe Abbildung 5.1).
Abbildung 5.1: links: Anharmonisches Potential U mit kubischem Korrekturterm. rechts: Anharmonisches Potential U mit Korrekturterm vierter Potenz und im Vergleich das harmonische
Potential (gestrichelt).
Wichtig ist vor allem, dass die Amplitude der Elektronenschwingung nicht mehr linear
von der Amplitude der antreibenden Kraft abhängt
xω ≁ fω .
(5.13)
Zerlegt man die Schwingung in ihre Frequenzkomponenten
x(t) =
∞
X
xωn exp(iωn t) ,
(5.14)
n=−∞
so hängen die Amplituden xωn zunachst beliebig von der Stärke der antreibenden Kraft
ab. Man entwickelt diese Abhängigkeit zweckmäßigerweise in eine Taylor-Reihe
xωn = χ(1) (ωn , ω)Fω + χ(2) (ωn , ω)Fω2 + χ(3) (ωn , ω)Fω3 + ...
c
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(5.15)
5.1. GRUNDLAGEN DER NICHTLINEAREN OPTIK
161
mit den Entwicklungskoeffizienten χ(n) . Wenn das Licht mehrere Frequenzen enthält, können
im Prinzip jetzt auch gemischte Terme auftreten
xωn = χ(1) (ωn , ω1 )Fω1 + χ(2) (ωn , ω1 , ω1 )Fω21 + χ(2) (ωn , ω1 , ω2 )Fω1 Fω2 + ...
+ χ(3) (ωn , ω1 , ω2 , ω3 )Fω1 Fω2 Fω3 + ... .
(5.16)
Die Auslenkungsamplitude xn einer Frequenz ωn hängt auch von der Stärke des Lichtfeldes bei anderen Frequenzen ab. Man kann z.B. eine Schwingung der doppelten Lichtfrequenz anregen. Dies entspricht dem zweiten Term in der Gleichung 5.15. Die Beschreibung
wird also in die Funktionen χ(n) (ωn , ω1 , ...) verlagert. Sie heißen nichtlineare elektrischen
Suzeptibilitäten oder dielektrische Verschiebungen. Energieaustausch ist jetzt auch ohne
Dämpfung möglich.
5.1.2
Elektrische Suszeptibilität
Die elektrische Suszeptibilität χe ist als Proportionalitätsfaktor der dielektrischen Verschie~ in einem äußeren elektrischen Feld E
~ definiert über
bung D
~ = εr ε0 E
~ = (1 + χe )ε0 E
~ .
D
(5.17)
Dabei sind εr die relative und ε0 die absolute Permittivität.
Teil der dielektrischen Verschiebung ist die Polarisation P~ , für die im linearen Fall
~
P~ = χe ε0 E
(5.18)
gilt. Je nach Material ist die Suszeptibilität so wie die Polarisation richtungsabhängig. Ein
Beispiel dafür ist die Doppelbrechung.
Abbildung 5.2: links: Linearer Zusammenhang zwischen Polarisation und elektrischem Feld.
rechts: Nicht-linearer Zusammenhang führt zu höheren Harmonischen.
Während die Polarisation in der linearen Optik nur von dem Term erster Ordnung
abhängt, wird sie bei großen Strahlungsintensitäten nun auch von den weiteren Ordnungen
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5.1. GRUNDLAGEN DER NICHTLINEAREN OPTIK
162
abhängig und besteht in diesem Fall aus mehreren Beiträgen:
X
~n
P~ = ε0
χ(n) E
(5.19)
n
wobei χ(n) der nichtlinearen elektrischen Suszeptibilität entspricht und ein Tensor ist. In
~ ist (mit der sogenannten Einsteinschen SummenIndexschreibweise der Vektoren P~ und E
konvention, also der Summation über gleiche Indices)
(1)
(2)
(3)
Pi = ε0 χij Ej + χijk Ej Ek + χijkl Ej Ek El + ...
.
(5.20)
(1)
(2)
Bei χij handelt es sich um einen Tensor zweiter Stufe, bei χijk um einen Tensor dritter
(3)
Stufe und bei χijkl um einen Tensor vierter Stufe. Rechnerisch ist ein Tensor zweiter Stufe
nichts anderes als eine (quadratische) Matrix. Ein Tensor dritter Stufe lässt sich durch
eine würfelförmige Anordnung seiner n3 Koeffizienten darstellen, die durch je drei Indizes
adressiert werden und ein Tensor m-ter Stufe hat dementsprechend nm Koeffizienten, die
mit Hilfe von m Indizes auseinandergehalten werden.
Die Suszeptibilitäten χ(2) und χ(3) sind dabei um Größenordnungen kleiner sind als χ(1) .
So ist zum Beispiel für Quarz χ(1) = 4.0 aber χ(2) = 4.2 · 10−12 m/V und χ(3) = 6.8 · 10−23
m2 /V2 .
5.1.3
Elektromagnetische Welle im Medium
Die Wellengleichung für das elektrische Feld im Vakuum A.13 wird in einem Medium
~ r = 0 zu
mit räumlich konstanter relativer Permittivität, also ∇ε
~ − µ0 ε0
∆E
~
∂2E
∂ 2 P~
=
µ
0
∂t2
∂t2
.
(5.21)
Im dielektrischen Medium mit zeitlich konstanter Suszeptibilität
∂χe
=0
∂t
(5.22)
folgt die Grundgleichung der linearen Optik
~−
∆E
~
1
∂2E
(1
+
χ
)
=0 .
e
c2
∂t2
(5.23)
Unter Berücksichtigung von linearen bzw. nichtlinearen Anteilen, die die hochgestellten
Indizes (L) und (N L) bezeichnen, wird aus Gleichung 5.21
~
∂2E
∂ 2 ~ (L) ~ (N L) ~
∆E − µ0 ε0 2 = µ0 2 Pω + P2ω
∂t
∂t
.
(5.24)
Entsprechend folgt die Grundgleichung der nichtlinearen Optik
~−
∆E
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~
∂ 2E
∂ 2 P~ (N L)
1
(1
+
χ
)
=
µ
e
0
c2
∂t2
∂t2
.
(5.25)
5.2. NICHTLINEARE OPTISCHE EFFEKTE
163
~
Diese Gleichung beschreibt ein von der nichtlinearen Polarisation getriebenes E-Feld,
~ 0 erzeugt die nichtlineare Polarisatialso die Abstrahlung der bewegten Elektronen. E
(N L)
~
~
~ 0 getriebenes,
on P
, welche E abstrahlt. Alternativ kann man es auch als von E
zeitabhängiges χ(t) ansehen, welches neue Frequenzen erzeugt.
Da in den nichtlinearen Bewegungsgleichungen das Superpositionsprinzip nicht mehr
gilt, müssen stets reelle Felder gewählt werden.
5.2
Nichtlineare optische Effekte
Die Effekte der nichtlinearen Optik, die bei großen Intensitäten auftreten, lassen sich in
drei Klassen einteilen:
• Die Absorption wird intensitätsabhängig. Das Medium bleicht aus und wird transparenter. Die Absorption sättigt: Sättigungsspektroskopie, Mehrphotonenspektroskopie
und optische Bistabilität in Resonatoren (optische Schalter).
• Die Dispersion wird intensitätsabhängig. Der Brechungsindex wird durch die lokale
Lichtintensität moduliert: Solitone, Zweistrahlkopplung, phasenkonjugierte Spiegel
und optische Bistabilität in Resonatoren.
• Es tritt eine nichtlineare Frequenzkonversion auf. Es gibt einen Energieübertrag zwischen Wellen verschiedener Frequenzen: Frequenzverdopplung, Summenfrequenzmischung und parametrischer Oszillator.
Im folgenden soll nur eine kleine Auswahl dieser Effekte kurz betrachtet werden.
5.2.1
Frequenzverdopplung
Zur Frequenzverdopplung wird ein optisch nichtlineares Material mit Licht einer sehr hohen Intensität bestrahlt. Es entsteht unter bestimmten Bedingungen Strahlung mit der
doppelten Frequenz f . Aufgrund des Zusammenhanges
c=λf =λ
ω
2π
(5.26)
mit der Lichtgeschwindigkeit c entspricht dies einer Halbierung der Wellenlänge λ, was
bei sichtbarem Licht als Änderung der Farbe des Lichts bemerkt wird. Zum Beispiel kann
durch Frequenzverdopplung aus der infraroten Strahlung eines Nd:YAG-Lasers (λ = 1064
nm) grünes Licht der Wellenlänge 532 nm erzeugt werden. Es ist auch Frequenzverdreifachung möglich, so dass ultraviolette Strahlung mit λ = 354.7 nm entsteht. Die Effizienz der
Frequenzverdopplung hängt stark von der Stärke des Strahlungsfeldes bzw. der Feldstärke
ab. Anwendungen sind grüne Laser wie sie in Laserpointern oder bei Lasershows eingesetzt
werden.
Im Fall der Frequenzverdopplung ist nun der Term zweiter Ordnung (d.h. n = 2) in
Gleichung 5.19 zu betrachten. Wenn sich eine starke Lichtwelle der (Kreis-)Frequenz ω in
c
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5.2. NICHTLINEARE OPTISCHE EFFEKTE
164
einer Raumrichtung in der Materie ausbreitet, erzeugt sie an einer gegebenen Stelle ein
zeitabhängiges Strahlungsfeld
E(t) = E0 sin(ωt) ,
(5.27)
das eine Polarisation zweiter Ordnung hervorruft, und sich nach Gleichung 5.19 schreiben
lässt zu
|P~ (2) | = ε0 χ(2) E 2 = ε0 E02 χ(2) sin2 (ωt) .
(5.28)
Unter Zuhilfenahme der trigonometrischen Identität
sin2 (x) =
1 − cos(2x)
2
(5.29)
wird damit
ε0 E02 χ(2) ε0 E02 χ(2)
−
cos(2ωt) .
(5.30)
2
2
Die Polarisation zweiter Ordnung besteht also aus zwei Beiträgen: einem konstanten Term,
entsprechend einem statischen elektrischen Feld (optische Gleichrichtung), sowie einem
zweiten Term, der mit der zweifachen Frequenz 2ω schwingt. Diese oszillierende Polarisation erzeugt im nichtlinearen Medium eine Sekundärstrahlung mit der Frequenz 2ω, wobei
man hierbei nun von Frequenzverdopplung oder auch Erzeugung der zweiten Harmonischen
(englisch SHG (second harmonic generation)) spricht. im Photonenbild bedeutet dies, dass
zwei Photonen der Frequenz ω zu einem Photon der Frequenz 2ω kombinieren, weswegen
dieser Prozess auch in die Kategorie der Dreiwellenmischung fällt.
|P~ (2) | =
Abbildung 5.3: Frequenzverdopplung
Damit die Sekundärstrahlung beim Durchgang durch das Medium auch abgestrahlt
wird, muss die Brechzahl in Ausbreitungsrichtung für die Grundwelle gleich der ersten
Harmonischen sein:
n(ω) = n(2ω) .
(5.31)
Ist diese Bedingung nicht erfüllt, findet die Konversion im Medium zwar immer noch statt,
aber die an den verschiedenen Stellen des Mediums emittierte Strahlung wird durch destruktive Interferenz eliminiert bzw. es findet auch wieder eine Rückkonversion zur Grundwelle statt. Bei gleicher Brechzahl sind die Ausbreitungsgeschwindigkeiten der Grundwelle
und der ersten Harmonischen gleich, so dass eine konstruktive Überlagerung stattfindet.
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5.2. NICHTLINEARE OPTISCHE EFFEKTE
165
Diese Anpassung der Brechzahlen nennt man auch Phasenanpassung. Daher sind die anisotropen Materialien, die zur Frequenzverdopplung verwendet werden, doppelbrechend. Die
Primärwelle wird linearpolarisiert eingestrahlt und die Sekundärwelle bildet den außerordentlichen Strahl. Durch Wahl des Winkels, zwischen der Feldrichtung der Primärwelle
und der optischen Achse des Materials, kann die Differenz ∆n der Brechungsindizes der
beiden Strahlen zu Null gebracht werden, so daß Phasenanpassung erreicht wird.
5.2.2
Phasenkopplung
Wir betrachten die Frequenzverdopplung in einer dünnen Schicht eines anisotropen Materials der Dicke ∆z.
Abbildung 5.4: Frequenzverdopplung in einer dünnen Schicht eines anisotropen Materials der
Dicke ∆z als Beispiel für die Phasenkopplung .
Es fallen Primärstrahlen mit
ES (t, z) = ESo exp [−i (ωt − k1 z)]
(5.32)
auf eine dünnen Schicht eines anisotropen Materials der Dicke ∆z. Diese Lichtstrahlen
erzeugen eine Polarisation 2. Ordnung in der Materie, die ihrerseits die Sekundärwellen
mit der doppelten Frequenz 2ω abstrahlt. Hinter der Schicht besitzen diese Sekundärwellen
einen Beitrag zum elektrischen Feld gleich
(2)
2
2
ES (t, z) ∼ ES2 = ESo
exp [−2i (ωt − k1 z)] = ESo
exp [−i (2ωt − 2k1 z)] .
(5.33)
Ohne Phasenanpassung ist die Wellenzahl k2 der frequenzverdoppelten Welle aber im Allgemeinen nicht gleich 2k1 . Dies wäre nur der Fall, wenn in dem Material der Brechungsindex
für die frequenzverdoppelte Welle N2 gleich dem Brechungsindex N1 für die Primärwelle
wäre. Aufgrund der Dispersion in dem Material ist aber normalerweise N1 6= N2 und damit
k2 6= 2k1 .
Primär- und Sekundärwellen können miteinander innerhalb der Schicht interferieren.
Dies führt je nach Phasendifferenz zu einer Abschwächung der Sekundärwelle. Es gilt
2k1 − k2 = 2k(N1 − N2 ) = 2k ∆N
c
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(5.34)
5.2. NICHTLINEARE OPTISCHE EFFEKTE
166
mit der Vakuumwellenzahl der Primärwelle k.
An einem Aufpunkt z0 außerhalb der Materieschicht betrachten wir die Interferenz zwischen Primär- und Sekundärwelle. Dabei erhalten wir das gesamte Feld der Sekundärwelle
durch Integration über die Schichtdicke dz von z = 0 bis ∆z und Anwenden der Eulerschen
Beziehung ergibt sich
(2)
ES (t, z0 ) ∼ E0 (t, z0 ) exp [ik ∆N ∆z]
sin (k ∆N ∆z)
.
k ∆N ∆z
(5.35)
Diese Funktion hat die Form der Spaltbeugungsfunktion eines Rechteckspalts. Sie resultiert aus der Interferenz und erreicht ihr Maximum (falls ∆N und ∆z endlich sind) bei
(2)
k ∆N ∆z = π/2, entsprechend ES (t, z0 ) = 2y0 (t, z0 )∆z/π und ∆z = l/4∆N . Dies wird
Kohärenzlänge der Sekundärwellen genannt und begrenzt die erreichbare Intensität dieser
frequenzverdoppelten Welle.
5.2.3
Summenfrequenzmischung
Zwei Laserstrahlen mit der Frequenz ω1 und ω2 werden überlagert und in einen Kristall
geschickt. Im Kristall entsteht eine dritte Frequenzkomponente mit der Frequenz ω3 =
ω1 + ω2 .
Abbildung 5.5: Summenfrequenzmischung
Zwei Felder mit Frequenzen ω1 und ω2 erzeugen eine Polarisation bei der Frequenz ω3 :
X (2)
X (2)
Pi (ω3 ) = ε0
χijk (ω3 , ω1 , ω2 )Ej (ω1 )Ek (ω2 ) + ε0
χijk (ω3 , ω2 , ω1 )Ej (ω2 )Ek (ω1 )
jk
jk
(5.36)
Da die Indizierung physikalisch willkürlich ist und die Felder als komplexe Zahlen vertauschen, gilt
X (2)
Pi (ω3 ) = 2ε0
χijk (ω3 , ω1 , ω2 )Ej (ω1 )Ek (ω2 ) .
(5.37)
jk
Falls die Lichtpolarisation für beide Felder gleich ist (und in linear z.B. in x-Richtung),
vereinfacht sich das Ganze zu
(2)
Pi (ω3 ) = 2ε0 χixx (ω3 , ω1 , ω2 )Ex (ω1 )Ex (ω2 ) .
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(5.38)
5.2. NICHTLINEARE OPTISCHE EFFEKTE
167
Für ω1 = ω2 = ω3 /2 folgt die Frequenzverdopplung
(2)
Pi (ω3 ) = ε0 χixx (ω3 , ω1 , ω1 )Ex (ω1 )Ex (ω1 ) .
(5.39)
Die Summenfrequenzbildung führt im Vergleich zur Frequenzverdopplung zu einer doppelt
so großen Polarisation.
Abbildung 5.6: Diagrammendarstellung der nichtlinearen Suszeptibilität für (links und mitte)
Summenfrequenzbildung und (rechts) Frequenzverdopplung.
5.2.4
Parametrischer Prozess
Während bei der Frequenzmischung aus zwei Photonen durch eine Summen- und Differenzbildung ein drittes Photon erzeugt wird, so kann auch der umgekehrte Prozess beobachtet
werden. In diesem optisch parametrischen Prozess zerfällt ein Photon mit der Frequenz ω1
in zwei Photonen mit den Frequenzen ω2 und ω3 wobei nach der Energierhaltung für die
Frequenzen
ω1 = ω2 + ω3
(5.40)
gilt.
Abbildung 5.7: Parametrischer Prozess
5.2.5
Prozesse dritter Ordnung
Im Gegensatz zu Prozessen zweiter Ordnung lassen die Prozesse dritter Ordnung eine
Beeinflussung der Welle durch sich selbst zu. Während der Term zweiter Ordnung in
c
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5.2. NICHTLINEARE OPTISCHE EFFEKTE
168
~ für die Erzeugung der zweiten Harmonischen verantwortlich ist, jedoch nur in nichtE
zentrosymmetrischen Kristallen auftritt, ist der χ(3) -Term prinzipiell immer vorhanden.
Diese Tatsache folgt daraus, daß in zentrosymmetrischen Kristallen eine Änderung der
Vorzeichen der einfallenden elektrischen Felder eine Änderung des Vorzeichens der Polarisation nach sich zieht. Mit der Formel für die Polarisation folgt aus der Bedingung
(2)
(2)
ε0 χijk Ej Ek = −ε0 χijk (−Ej )(−Ek )
(5.41)
dass χ(2) = 0 sein muss. Die analoge Formulierung für χ(3)
(3)
(3)
ε0 χijkl Ej Ek El = −ε0 χijkl (−Ej )(−Ek )(−El )
(5.42)
ergibt eine Gleichheit, also keine einschränkende Bedingung. χ(3) koppelt drei einfallende
und eine ausfallende elektromagnetische Welle miteinander.
Über χ(3) ist eine schnelle, reversible Änderung des Brechungsindex und/oder des Absorptionskoeffizienten möglich. Dieser Effekt könnte Grundlage eines rein optischen Computers werden, da so ein optischer Schalter aufgebaut werden kann. Dieser Rechner wäre
dann deutlich schneller als elektronische Systeme aufgrund der möglichen parallelen Datenbearbeitung.
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Anhang A
Ergänzung zu elektromagnetischen
Wellen
A.0.6
Maxwellsche Gleichungen
Die vier Maxwellschen Gleichungen beschreiben die Erzeugung von elektrischen und magnetischen Feldern durch Ladungen und Ströme, sowie die Wechselwirkung zwischen diesen
beiden Feldern, die bei zeitabhängigen Feldern in Erscheinung tritt. Sie sind die Grundlage der Elektrodynamik. Sie lassen sich in differentieller und in integraler Form darstellen.
Die Äquivalenz beider Formulierungen beruht auf dem Satz von Stokes und dem Satz von
Gauß. Die 4 Maxwellschen Gleichungen in SI-Einheiten in differentieller Form (und nach
Umformung in die integrale Form) lauten:
~ = εE
~ ist ein Quellen• Gaußsches Gesetz: Das Feld der elektrischen Flussdichte D
feld. Die Ladung (Ladungsdichte ρ) ist Quelle des elektrischen Feldes:
I
Z
~ =∇
~ ·D
~ =ρ⇔
~ · dA
~=
div D
D
ρ dV
(A.1)
∂V
V
~ ist quellenfrei. Es gibt keine magnetischen
• Das Feld der magnetische Flussdichte B
Monopole:
I
~
~
~
~ · dA
~=0
div B = ∇ · B = 0 ⇔
B
(A.2)
∂V
~
• Induktionsgesetz: Jede Änderung des B-Feldes
führt zu einem elektrischen Gegenfeld. Die Wirbel des elektrischen Feldes sind von der zeitlichen Änderung der
magnetischen Induktion abhängig.
~
~
~ + ∂B = ∇
~ ×E
~ + ∂B = 0 ⇔
rot E
∂t
∂t
~ · d~s + d
E
dt
∂A
I
Z
A
~
~
B · dA = 0
(A.3)
• Verallgemeinertes Durchflutungsgesetz: Die Wirbel des Magnetfeldes hängen
von der elektrischen Leitungsstromdichte ~jl und von der elektrischen Flussdichte
~ ab. Die zeitliche Änderung von D
~ wird auch als Verschiebungsstromdichte ~jv
D
169
A. ERGÄNZUNG ZU ELEKTROMAGNETISCHEN WELLEN
170
bezeichnet und ergibt als Summe mit der Leitungsstromdichte die totale Stromdichte
~j = ~jl + ~jv :
~
~ =∇
~ ×H
~ = ~jl + ∂ D ⇔
rot H
∂t
I
∂A
~ · d~s =
H
~+ d
~jl · dA
dt
A
Z
Z
A
~
~
D · dA
(A.4)
~ im 3-dimensionalen kartesischen Koordinatensystem
Dabei ist der Nabla-Operator ∇
mit den Einheitsvektoren ~e1 , ~e2 und ~e3 definiert als
∂
∂
∂
∂ ∂ ∂
~
, ,
+ ~e2
+ ~e3
.
(A.5)
= ~e1
∇=
∂x ∂y ∂z
∂x
∂y
∂z
A.0.7
Elektromagnetische Welle im Vakuum
Eine elektromagnetische Welle breite sich im Vakuum aus, und zwar im ladungsfreien
~ = ε0 E
~
Raum unter Ausschluss von dielektrischen, dia- und paramagnetischen Effekten (D
~ = µ0 H).
~ Die Stromdichte ~j und Ladungsdichte ̺ betragen null. Ausgehend von der
und B
dritten Maxwellschen Gleichung
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
(A.6)
∂t
wird auf beiden Seiten der Rotationsoperator angewendet und es folgt
!
~
∂ ~
∂B
~
~
~
~
~
= −µ0
∇×H
.
(A.7)
∇ × (∇ × E) = −∇ ×
∂t
∂t
Durch Einsetzen der vierten Maxwellschen Gleichung (mit j~l = 0)
~
~ ×H
~ = ∂D
∇
∂t
(A.8)
ergibt sich
~ × (∇
~ × E)
~ = −µ0 ∂
∇
∂t
~
∂D
∂t
!
= −µ0 ε0
~
∂ 2E
.
∂t2
(A.9)
Es gilt allgemein die vektoranalytische Beziehung
~ × (∇
~ × A)
~ = ∇(
~ ∇
~ · A)
~ − ∆A
~
∇
(A.10)
∆ = ∂ 2 /∂x2 + ∂ 2 /∂y 2 + ∂ 2 /∂z 2 .
(A.11)
mit dem Laplace-Operator
~ angewendet und berücksichtigt, dass der
Wird diese vektoranalytische Beziehung auf E
ladungsfreie Raum betrachtet wird, in dem nach der ersten Maxwellschen Gleichung die
~ und damit auch von E
~ null beträgt, so folgt
Divergenz von D
~ × (∇
~ × E)
~ = ∇(
~ ∇
~ · E)
~ − ∆E
~ = −∆E
~ .
∇
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(A.12)
A. ERGÄNZUNG ZU ELEKTROMAGNETISCHEN WELLEN
171
Aus A.9 und A.12 ergibt sich die Wellengleichung für das elektrische Feld
~ = µ0 ε0
∆E
~
∂ 2E
∂t2
.
(A.13)
Alle Wellen lassen sich durch Gleichungen der allgemeinen Form
∂ 2f
= v 2 ∆f
∂t2
(A.14)
beschreiben, wobei v die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist. Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen, die Lichtgeschwindigkeit c, gilt daher
c2 =
1
µ0 ε0
(A.15)
und die Gleichung A.13 kann auch als
~
∂2E
~
= c 2 ∆E
∂t2
(A.16)
geschrieben werden.
~ die Wellengleichung
Analog wird für die magnetische Flussdichte B
~
∂2B
~
= c 2 ∆B
∂t2
(A.17)
hergeleitet. Die Lösungen dieser Gleichungen beschreiben Wellen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit c ausbreiten. Breitet sich die elektromagnetische Welle in isotropem Material
(mit der relativen Permeabilität µr und der relativen Permittivität εr des Mediums) mit
der Dielektrizitätskonstante ε = εr ε0 und der Permeabilität µ = µr µ0 aus, beträgt die
Ausbreitungsgeschwindigkeit
1
c= √
.
(A.18)
µε
Im Allgemeinen sind jedoch die Materialkonstanten µr und εr nicht linear, sondern können
selbst z. B. von der Feldstärke oder der Frequenz abhängen. Während Licht sich in der
Luft immer noch fast mit Vakuumlichtgeschwindigkeit c ausbreitet (die Materialkonstanten sind in guter Näherung 1), gilt das für die Ausbreitung in Wasser nicht, was u. a. den
Tscherenkow-Effekt ermöglicht.
Das Verhältnis der Vakuumlichtgeschwindigkeit zur Geschwindigkeit im Medium wird
als Brechzahl
r
µε
√
= µr εr
n=
(A.19)
µ0 ε0
bezeichnet.
c
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A. ERGÄNZUNG ZU ELEKTROMAGNETISCHEN WELLEN
A.0.8
172
Ausbreitung elektromagnetischer Wellen
~ 0 für das elektrische Feld
Betrachten wir eine allgemeine Welle mit konstanter Amplitude E
~ =E
~ 0 f (k̂ · ~x − ct),
E
(A.20)
mit dem Ortsvektor ~x und einem Einheitsvektor k̂, der in Propagationsrichtung zeigt, so
erfüllt diese die Wellengleichung A.13. Einsetzen in Gleichung A.13 liefert
∆f (k̂ · ~x − ct) =
1 ∂2
f (k̂ · ~x − ct) .
c2 ∂t2
(A.21)
~ nun eine elektromagnetische Welle beschreibt, muss es aber nicht nur die
Damit E
Wellengleichung erfüllen, sondern auch die Maxwellgleichungen (im ladungsfreien Raum).
Das bedeutet zunächst
~ ·E
~ = k̂ · E
~ 0 ∇f
~ (k̂ · ~x − ct) = 0
∇
(A.22)
und damit
~ · k̂ = 0 .
E
(A.23)
Das elektrische Feld steht also stets senkrecht zur Propagationsrichtung, es handelt sich
also um eine Transversalwelle.
~ in eine weitere Maxwellgleichung ergibt
Einsetzen von E
~
~ ×E
~ = k̂ × E
~ 0 ∇f
~ (k̂ · ~x − ct) = − ∂ B
∇
∂t
(A.24)
und durch Integration über die Zeit
~ = 1 k̂ × E
~ .
B
c
(A.25)
Die magnetische Flussdichte in der elektromagnetischen Welle steht also ebenfalls senkrecht
zur Propagationsrichtung und auch senkrecht zum elektrischen Feld.
c
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Anhang B
Mathematische Ergänzung
Die meisten physikalischen Aussagen sind in der Sprache der Mathematik formuliert. Um
die Vorlesung verstehen und Übungsaufgaben lösen zu können, ist es unerlässlich einige
einfache mathematische Sachverhalte zu kennen. Ziel dieses Kapitels ist es, Techniken kennenzulernen, die das Lösen von Differenzialgleichungen (DGLs) und Mehrfachintegralen
erleichtern. Es geht vor allem um die Methoden, mathematische Details werden an vielen
Stellen weggelassen. Dieses Kapitel ersetzt in keinem Fall Abschnitte einer Mathematikvorlesung.
B.1
Differenzialgleichungen (DGLs)
Physikalische Gesetze setzen oft Größen und deren Ableitungen (beispielsweise nach dem
Ort oder der Zeit) miteinander in Beziehung. Die Bewegungsgleichung des mathematischen
Pendels in differenzieller Form
g
(B.1)
ϕ̈ + ϕ = 0
l
ist ein solches Beispiel.
Ein weiteres anschauliches Gesetz ist das in der Biologie verwendete sogenannte Wachstumsgesetz
Ṅ (t) = rN (t) ,
(B.2)
das die Anzahl der Lebewesen N (t) einer Population mit der zeitlichen Änderung der Zahl
der Lebewesen Ṅ (t) miteinander in Beziehung setzt. Hierbei ist r > 0 ein Parameter, der
etwas über die Vermehrungsrate aussagt. Je mehr Lebewesen also in einer Population sind,
desto mehr können sich auch vermehren und umso schneller wächst Population. Folglich
wird auch Ṅ (t) größer. Die Aussage ist umgekehrt genauso gültig.
In beiden vorgestellten DGLs kann man keine explizite Form der jeweils gesuchten
Funktion ablesen. Genausowenig gibt es eine allgemeine, einheitliche Lösungsmethode, die
auf jede DGL anwendbar wäre. Im Folgenden werden aber Lösungsstrategien für bestimmte, für die Vorlesung wichtige, DGLs vorgestellt.
B.1.1
Definitionen
Eine DGL ist eine Gleichung, die die unbekannte Funktion y(x) und Ableitungen davon
enthält. Die Ordnung einer DGL ist die höchste vorkommende Ableitung von y(x). Eine
173
B.1. DIFFERENZIALGLEICHUNGEN (DGLS)
174
lineare DGL der Ordnung n hat die Form
n
X
ai y (i) (x) = b(x) .
(B.3)
i=0
Dabei bedeutet y (i) (x) die i-te Ableitung der Funktion y(x). Aus Gründen der Übersichtlichkeit
schreibt man oft auch nur y statt y(x). Die DGL lautet in ausgeschriebener Form
a0 y(x) + a1 y ′ (x) + . . . + an−1 y (n−1) (x) + an y (n) (x) = b(x) .
(B.4)
Die Koeffizienten ai können auch von x abhängen. Sind sie hingegen unabhängig von
x, so spricht man von einer linearen DGL mit konstanten Koeffizienten.
Die Funktion b(x) ist die sogenannte Inhomogenität oder auch Steuerungsfunktion. Gilt
b(x) = 0, ist also b(x) die konstante Nullfunktion, so bezeichnet man die DGL als homogen.
Ist dies nicht erfüllt, ist also b(x) 6= 0, so liegt eine inhomogene DGL vor.
Es gibt natürlich auch nichtlineare DGLs. Das sind solche DGLs, die nicht in obige
Form gebracht werden können. Beispielsweise hat dann y(x) oder eine Ableitung davon
einen Exponenten 6= 1 oder steht als Argument in einer Exponentialfunktion, etc..
Die vorgestellten Begriffe eignen sich, um DGLs zu klassifizieren. Beispielsweise ist
die Schwingungsgleichung eine lineare, homogene DGL zweiter Ordnung mit konstanten
Koeffizienten. Das Wachstumsgesetz ist eine lineare, homogene DGL erster Ordnung mit
konstanten Koeffizienten. Die DGL für eine erzwungene Schwingung mit Reibung
ẍ(t) +
ks
k
ẋ(t) + x(t) = K cos(ωe t)
m
m
(B.5)
ist dementsprechend eine lineare, inhomogene DGL zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Hier noch einige Beispiele für nichtlineare DGLs erster Ordnung:
x2
y 2 (x)
y ′ = 4y − y 2
y ′ (x) =
B.1.2
y ′ (x)ey(x) − 1 = 0
(B.6)
y ′ sin(x) = y ln(y)
(B.7)
Integrierbare DGLs
Es gibt DGLs, die sich durch einfaches Integrieren lösen lassen. Ein Beispiel hierfür ist die
DGL
y ′ (x) = 2x .
(B.8)
Die durch Integrieren gefundene Stammfunktion y(x) = x2 + c ist nicht eindeutig, sie
enthält eine zunächst nicht bestimmte Integrationskontante c. Diese fällt beim Ableiten
wieder weg, so dass y(x) = x2 + c für jedes beliebige c die DGL löst. Wir haben also eine
Schar an Lösungsfunktionen mit Scharparameter c gefunden, diese nennt man auch die
allgemeine Lösung der DGL. Die Vorgabe einer weiteren Bedingung, einer sogenannten
Anfangsbedingung, zum Beispiel y(2) = 9, ermöglicht eine Berechnung von c. Für dieses
Beispiel gilt
y(2) = 9 ⇒ 22 + c = 9 ⇒ c = 5 .
(B.9)
c
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B.1. DIFFERENZIALGLEICHUNGEN (DGLS)
175
Wir betrachten ein weiteres Beispiel, in dem wir die Anfangsbedingungen gleich mit
vorgeben:
y ′′ (x) = sin(x); y(0) = 2; y ′ (0) = 0 .
(B.10)
Da diese DGL zweiter Ordnung ist, müssen wir auch zweimal integrieren und es folgt
y ′ (x) = − cos(x) + c1 ; y(x) = − sin(x) + c1 x + c2 .
(B.11)
Die allgemeine Lösung hängt hier, entsprechend der Ordnung der DGL, von zwei Konstanten c1 und c2 ab. Diese werden über die Anfangsbedingungen bestimmt:
y ′ (0) = 0
⇒
y(0) = 2
−1 + c1 = 0
⇒
⇒
c2 = 2
c1 = 1
(B.12)
(B.13)
Nun lässt sich die spezielle Lösung angeben:
y(x) = − sin(x) + x + 2 .
(B.14)
Allerdings lassen sich nur die wenigsten DGLs durch einfache Integration lösen.
B.1.3
Lineare, homogene DGLs, verschiedene Nullstellen
Das Ziel ist es ein Lösungsschema für lineare, homogene DGLs mit konstanten Koeffizienten zu entwickeln. Das Prinzip wollen wir uns an einem Beispiel veranschaulichen. Wir
betrachten die DGL
y ′′ (x) + y ′ (x) − 6y(x) = 0 .
(B.15)
Als geschickter Lösungsansatz erweist sich eine Exponentialfunktion. Wir wählen
y(x) = ekx .
(B.16)
Diese Funktion setzen wir in die DGL ein. Daher müssen wir die erste und zweite
Ableitung bilden:
y ′ (x) = kekx und y ′′ (x) = k 2 ekx .
(B.17)
Einsetzen ergibt
k 2 ekx + kekx − 6ekx = 0 .
(B.18)
Da diese Gleichung für alle x ∈ R gilt, kann ekx gekürzt werden und es bleibt
k2 + k − 6 = 0 .
(B.19)
Dies ist das sogenannte charakteristische Polynom der obigen DGL. Über die Lösungsformel
für quadratische Polynome berechnet man die zugehörigen Nullstellen
p
−1 ± 1 − 4 · 1 · (−6)
(B.20)
k1,2 =
2
⇒
c
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k1 = 2 und k2 = −3 .
(B.21)
B.1. DIFFERENZIALGLEICHUNGEN (DGLS)
176
Für diese Werte von k löst die Ansatzfunktion die DGL. Wir erhalten zwei verschiedene
(linear unabhängige) Lösungen, das sogenannte Fundamentalsystem, bestehend aus
e2x , e−3x .
(B.22)
Für lineare Differentialgleichungen gilt generell: Die Anzahl der Funktionen im
Fundamentalsystem ist genauso groß wie die Ordnung der DGL.
Wie bei den integrierbaren DGLs hat die allgemeine Lösung zwei noch nicht bestimmte
Konstanten, die hier als Vorfaktoren der Fundamentallösungen auftauchen. Die allgemeine
Lösung der gegebenen DGL ist eine Linearkombination der Fundamentallösungen
y(x) = c1 e2x + c2 e−3x .
(B.23)
Die Koeffizienten c1 und c2 werden über sogenannte Anfangsbedingungen bestimmt. In
der Physik sind dies oft der Ort und die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0. Die Anzahl
der notwendigen Anfangsbedingungen ist genauso groß wie die Ordnung der
DGL. Eine DGL mit gegebenen Anfangsbedingungen bezeichnet man auch als Anfangswertproblem.
Für obige DGL geben wir uns nun spezielle Anfangsbedingungen
y(0) = 10, y ′ (0) = 0
(B.24)
vor. Aus der ersten Bedingung folgt
y(0) = c1 + c2 = 10
⇒
c2 = 10 − c1 .
(B.25)
Ableiten der allgemeinen Lösung und einsetzen der zweiten Bedingung impliziert
y ′ (x) = 2c1 e2x − 3c2 e−3x
y ′ (0) = 2c1 − 3c2 = 0 .
⇒
(B.26)
Den Ausdruck c2 = 10 − c1 setzt man in die letzte Gleichung ein und erhält
2c1 − 3(10 − c1 ) = 5c1 − 30 = 0
⇒
c1 = 6 und c2 = 4 .
(B.27)
Schließlich können wir als Endergebnis die zu diesen Anfangswerten spezielle Lösung
angeben:
y(x) = 6e2x + 4e−3x .
(B.28)
Zusammenfassend sind hier die wesentlichen Schritte nocheinamal im Überblick.
Schritt 1, charakteristisches Polynom aufstellen: Die Ableitungsordnungen werden
dabei zum Exponenten der Polynomvariablen
y ′′ (x) + y ′ (x) − 6y(x) = 0
−→
k2 + k − 6 = 0
Schritt 2, Nullstellen ausrechnen und allgemeine Lösung angeben:
k1 = 2 und k2 = −3
c
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−→
y(x) = c1 e2x + c2 e−3x
B.1. DIFFERENZIALGLEICHUNGEN (DGLS)
177
Schritt 3, aus Anfangsbedingungen Koeffizienten berechnen:
y(0) = 10, y ′ (0) = 0
−→
y(x) = 6e2x + 4e−3x
In diesem Beispiel hatte das charakteristische Polynom zwei verschiedene reelle Nullstellen. Es können natürlich auch andere Fälle auftreten, beispielsweise könnte das charakteristische Polynom Nullstellen höherer Vielfachheit oder komplexe Nullstellen haben.
Diese Fälle wollen wir im folgenden betrachten.
B.1.4
Lineare, homogene DGLs, mehrfache Nullstellen
Um den Fall von Nullstellen höherer Vielfachheit aufzugreifen, betrachten wir die DGL
y (3) (x) − 4y ′′ (x) + 8y ′ (x) − 8y(x) = 0 .
(B.29)
Als Lösungsansatz verwenden wir wieder den ekx -Ansatz, aus dem wir das charakteristische Polynom erhalten. Da aber in jedem Fall die Ableitungsordnungen in der DGL
zu den Exponenten im Polynom werden, können wir uns den Zwischenschritt auch sparen
und das charakteristische Polynom direkt angeben:
k 3 − 4k 2 + 8k − 8 = 0 .
(B.30)
Nun müssen wir die Nullstellen bestimmen. In der faktorisierten Form des Polynoms
lassen sich diese einfach ablesen, außerdem sieht man auch gleich die jeweiligen Vielfachheiten der Nullstellen.
k 3 − 4k 2 + 8k − 8 = (k − 2)3 = 0 .
(B.31)
In diesem Fall ist k = 2 eine Nullstelle der Vielfachheit 3. Eine Fundamentallösung lautet damit e2x . Da wir eine DGL dritter Ordnung vorliegen haben, muss das Fundamentalsystem aber aus 3 Lösungen bestehen. Weitere Lösungen lauten xe2x und x2 e2x . Dies lässt
sich durch Einsetzen in die DGL verifizieren. Nun haben wir drei Fundamentallösungen und
wir können die allgemeine Lösung als Linearkombination dieser drei Lösungen angeben.
Sie lautet
y(x) = c1 e2x + c2 xe2x + c3 x2 e2x .
(B.32)
Da die DGL die Ordnung 3 hat, haben wir natürlich auch 3 Koeffizienten c1 , c2 und
c3 . Hätten wir Anfangsbedingungen gegeben, könnten wir diese auch bestimmen.
Nach dem Lösungsschema dieses Beispiels kann man nun allgemein für jede lineare
DGL mit konstanten Koeffizienten der Ordnung n ein Fundamentalsystem aufstellen und
so direkt die allgemeine Lösung angeben. Zusammenfassend wird im folgenden nocheinmal
das Rezept dafür angegeben.
Angenommen wir haben das charakteristische Polynom einer gegebenen DGL aufgestellt und faktorisiert. Dann hat es die Form
A(k − k1 )λ1 · (k − k2 )λ2 · . . . · (k − kr )λr = 0 .
(B.33)
Hierbei sind k1 , k2 , . . . , kr die verschiedenen Nullstellen und λ1 , λ2 , . . . , λr die zugehörigen
Vielfachheiten. Da wir eine DGL der Ordnung n haben, müssen sich die Vielfachheiten auch
c
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B.1. DIFFERENZIALGLEICHUNGEN (DGLS)
178
zu n addieren, also λ1 + λ2 + . . . + λr = n. Das Fundamentalsystem besteht dann aus den
folgenden n Lösungen:
zu k1 die λ1 Lösungen:
zu k2 die λ2 Lösungen:
..
.
ek1 x , xek1 x , . . . , xλ1 −1 ek1 x
ek2 x , xek2 x , . . . , xλ2 −1 ek2 x
..
.
zu kr die λr Lösungen: ekr x , xekr x , . . . , xλr −1 ekr x
Dies gilt im Prinzip für reelle und komplexe Nullstellen ki , allerdings ist in letzterem Fall
dann auch die Funktion eki x komplexwertig. Solche Lösungen sind in der Physik oft unbrauchbar, da gängige Größen wie Ort, Geschwindigkeit, Zeit, . . ., reell sind. Wir benötigen
also eine Methode, aus eventuell komplexwertigen Nullstellen des charakteristischen Polynoms reelle Lösungen zu berechnen.
B.1.5
Lineare, homogene DGLs, komplexe Nullstellen
Das folgende Beispiel ist so gewählt, dass das zugehörige charakteristische Polynom komplexe Nullstellen bestitzt. Es soll illustrieren, wie man trotzdem auf reelle Lösungen kommt.
Wir betrachten die DGL
y ′′ (x) − 4y ′ (x) + 13y(x) = 0 .
(B.34)
Das zugehörige charakteristische Polynom lautet
k 2 − 4k + 13 = 0 .
(B.35)
Die Nullstellen können hier wieder über die Lösungsformel für Polynome zweiten Grades
berechnet werden:
√
√
4 ± 16 − 4 · 1 · 13
4 ± −36
4 ± 6i
k1,2 =
=
=
.
(B.36)
2
2
2
Die Nullstellen lauten k1 = 2 + 3i und k2 = 2 − 3i, sie unterscheiden sich nur um das
Vorzeichen des Imaginärteils, man sagt, die beiden Nullstellen sind komplex konjugiert.
Dies ist nicht verblüffend, denn bei Polynomen mit reellen Koeffizienten treten die
komplexen Nullstellen immer in komplex konjugierten Paaren auf. Die Anzahl
der nicht-reellen Nullstellen ist also immer gerade. Nach dem bisherigen Schema lautet das
(komplexe) Fundamentalsystem
e(2+3i)x , e(2−3i)x .
(B.37)
Um dieses nun in ein reelles Fundamentalsystem umzuwandeln bentzen wir die sogenannte Eulerformel:
für jedes ϕ ∈ R gilt: eiϕ = cos(ϕ) + i · sin(ϕ)
Diese wenden wir nun auf beide Funktionen im Fundamentalsystem an.
(1) e(2+3i)x = e2x e3ix = e2x (cos(3x) + i · sin(3x))
(2) e(2−3i)x = e2x e−3ix = e2x (cos(−3x) + i · sin(−3x))
= e2x (cos(3x) − i · sin(3x)) .
c
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B.1. DIFFERENZIALGLEICHUNGEN (DGLS)
179
Im letzten Schritt wurde die Symmetrie des Cosinus bzw. die Antisymmetrie des Sinus
benutzt. In anderen Worten heißt dies, dass für alle ϕ ∈ R gilt cos(−ϕ) = cos(ϕ) bzw.
sin(−ϕ) = − sin(ϕ).
Wir wissen bereits, dass wir aus den Funktionen im Fundamentalsystem beliebige Linearkombinationen bilden dürfen, und dass das Ergebnis einer solchen Operation wieder
eine Lösung ist. Wir bilden
(1) + (2)
= e2x cos(3x) und
2
(1) − (2)
= e2x sin(3x) .
2i
(B.38)
Diese zwei Funktionen sind nun die reellen Fundamentallösungen der DGL. Die allgemeine Lösung lautet also
y(x) = c1 e2x cos(3x) + c2 e2x sin(3x) .
(B.39)
Ein weiteres Beispiel liefert uns die Schwingungsgleichung. Diese ist mit der vorgestellten Methode sehr schnell zu lösen. Wir geben uns dazu die Schwingungsgleichung ohne
Einheiten mit gl = 25 vor:
y ′′ (x) + 25y(x) = 0 .
(B.40)
Das charakteristische Polynom lautet
k 2 + 25 = 0 .
(B.41)
hat also die Nullstellen k1 = 5i und k2 = −5i. Unter Beachtung von e0x = 1 kann man
sofort das reelle Fundamentalsystem angeben, es lautet:
cos(5x),
sin(5x) .
(B.42)
Die allgemeine Lösung ist somit
y(x) = c1 cos(5x) + c2 sin(5x) .
(B.43)
Diese kann in die bereits bekannte Form
y(x) = cneu sin(5x + ϕneu )
(B.44)
umgeschrieben werden.
Zusammenfassend wird jetzt nocheinmal das Rezept vorgestellt, wie man mit komplexen Nullstellen umzugehen hat, wenn die Lösung reell sein soll. Dies gilt wieder für lineare
DGLs mit konstanten Koeffizienten der Ordnung n. Wir gehen wieder davon aus, dass wir
das charakteristische Polynom faktorisiert vorliegen haben und so alle Nullstellen inklusive
deren Vielfachheiten ablesen können.
A(k − k1 )λ1 · (k − k2 )λ2 · . . . · (k − kr )λr = 0 .
(B.45)
Für die reellen Nullstellen stellen wir das Fundamentalsystem auf wie gehabt. Dieses
muss noch um die Lösungen erweitert werden, die zu den nicht-reellen Nullstellen gehören.
c
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B.1. DIFFERENZIALGLEICHUNGEN (DGLS)
180
Deren Anzahl ist aufgrund der Tatsache, dass sie in komplex konjugierten Paaren auftreten, bekanntlich gerade. Wir picken uns ein solch komplex konjugiertes Paar heraus und
bezeichnen dieses mit
k = α + iβ, k̄ = α − iβ .
(B.46)
α ist dabei der Realteil und β bzw. −β der jeweilige Imaginärteil. Wenn nun λ die
Vielfachheit der Nullstelle k ist, dann ist λ auch die Vielfachheit der Nullstelle k̄. Insgesamt
haben wir uns also, mit Vielfachheiten gezählt, 2λ viele Nullstellen herausgepickt. Zu diesen
Nullstellen können wir wie bereits besprochen die 2λ Fundamentallösungen angeben:
eαx cos(βx), xeαx cos(βx), . . . , xλ−1 eαx cos(βx),
eαx sin(βx), xeαx sin(βx), . . . , xλ−1 eαx sin(βx),
Mit allen komplexen Nullstellen, zu denen nach diesem Rezept die Fundamentallösungen
bestimmt wurden, und allen reellen Nullstellen besteht das Fundamentalsystem wieder aus
n Funktionen.
Insgesamt können wir nun homogene, lineare DGls beliebiger Ordnung mit konstanten
Koeffizienten lösen. Es bleibt nun die Frage, wie mit inhomogenen DGls umzugehen ist.
Dies soll das nächste Kapitel zeigen.
B.1.6
Lineare, inhomogene DGLs
Wir betrachten wieder eine allgemeine lineare DGL der Ordnung n:
a0 y(x) + a1 y ′ (x) + . . . + an−1 y (n−1) (x) + an y (n) (x) = b(x) .
(B.47)
Allerdings soll jetzt b(x) 6= 0 gelten. Folgender Lösungweg ist immer anwendbar:
Zunächst lösen wir die zugehörige homogene Gleichung
a0 y(x) + a1 y ′ (x) + . . . + an−1 y (n−1) (x) + an y (n) (x) = 0 .
(B.48)
Nach bekanntem Schema können wir die allgemeine Lösung zur homogenen Gleichung
yH (x) angeben (wieder als Linearkombination der Fundamentallösungen). Danach bestimmen wir irgendeine Lösung der inhomogenen Gleichung. Das Ergebnis ist die sogenannte partikuläre Lösung yP (x). Insgesamt ist die allgemeine Lösung y(x) der inhomogenen
Gleichung die Summe aus der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung und der partikulären Lösung.
y(x) = yH (x) + yP (x) .
(B.49)
Hierbei tauchen in yH (x) noch die n Koeffiezienten c1 , . . ., cn auf. Unter Benutzung
eventuell gegebener Anfangsbedingungen können diese Koeffizienten bestimmt und so eine
spezielle Lösung angegeben werden.
Die Schwierigkeit bei inhomgenen DGLs ist, auf die partikuläre Lösung zu kommen.
Diese muss durch geschicktes Raten bestimmt werden. Allerdings gibt es auch hier geschickte Ansätze, die oft zum Ziel führen. Hierzu folgt nun ein Beispiel. Wir betrachten
das inhomogene Anfangswertproblem
y ′ (x) − 2y(x) = −1 − x2 , y(0) =
c
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11
.
4
(B.50)
B.1. DIFFERENZIALGLEICHUNGEN (DGLS)
181
Nach unserem Rezept müssen wir erst die zugehörige homogene Gleichung
y ′ (x) − 2y(x) = 0
(B.51)
lösen. Hierzu lautet das charakteristische Polynom
k−2=0
⇔
k=2 .
(B.52)
Als lineare DGL erster Ordung gibt es nur die eine Fundamentallösung e2x , die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet somit
yH (x) = ce2x .
(B.53)
Nun müssen wir irgendeine Lösung der inhomogenen Gleichung finden. Wir raten, und
dieser Tipp funktioniert in sehr vielen Fällen, dass die partikuläre Lösung die Form einer
Polynomfunktion hat. Und weil in der Inhomogenität höchstens ein Term mit x2 vorkommt,
setzten wir ein Polynom zweiten Grades an. Allerdings kennen wir die Koeffizienten unseres
Polynoms nicht, daher lautet unser Ansatz mit zunächst unbekannten Koeffzienten A0 , A1
und A2 :
yP (x) = A0 + A1 x + A2 x2 .
(B.54)
Da wir diesen Ansatz in die inhomogene Gleichung einsetzen müssen, benötigen wir
auch die Ableitung:
yP′ (x) = A1 + 2A2 x .
(B.55)
Wir setzen unseren Ansatz nun in die inhomogene DGL ein und es ergibt sich
A1 + 2A2 x − 2(A0 + A1 x + A2 x2 ) = −1 − x2 .
(B.56)
Um die Koeffizienten bestimmen zu können, ist es erforderlich, die linke Seite nach
Potenzen von x zu ordnen.
(A1 − 2A0 ) + (2A2 − 2A1 )x − 2A2 x2 = −1 − x2 .
(B.57)
In der Gleichung stehen nun auf beiden Seiten Polynome zweiten Grades. Damit wirklich Gleichheit gilt, müssen die jeweiligen Vorfaktoren gleich sein. Dieser sogenannte Koeffizientenvergleich ergibt
A1 − 2A0 = −1, 2A2 − 2A1 = 0 und
− 2A2 = −1 .
(B.58)
Wir können nun nach den einzelnen Koeffizienten auflösen und erhalten
1
1
A2 = , A1 =
2
2
und A0 =
3
.
4
(B.59)
Damit lautet die partikuläre Lösung
yP (x) =
1
3 1
+ x + x2 ,
4 2
2
(B.60)
was natürlich durch einsetzen in die inhomogene Gleichung verifiziert werden kann. Wir
haben also die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung bestimmt, nämlich
y(x) = yH (x) + yP (x) = ce2x +
c
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1
3 1
+ x + x2 .
4 2
2
(B.61)
B.1. DIFFERENZIALGLEICHUNGEN (DGLS)
182
Um das gegebene Anfangswertproblem zu lösen, müssen wir noch über den Anfangswert
den Koeffizienten c bestimmen:
3
11
= y(0) = c +
4
4
⇒
c=2 .
(B.62)
Schließlich lautet die spezielle Lösung
y(x) = 2e2x +
3 1
1
+ x + x2 .
4 2
2
(B.63)
Wir verlassen nun das Feld der linearen DGLs und wenden uns den nichtlinearen DGLs
zu.
B.1.7
Nichtlineare DGLs, Trennung der Variablen
Nichtlineare DGLs sind im Allgemeinen sehr schwer zu lösen, da es keine einheitliche
Theorie dazu gibt. Es sind bei weitem nicht alle nichtlinearen DGLs gelöst, sie sind ein
wichtiger Gegenstand der aktuellen mathematischen Forschung. Nichtsdestotrotz gibt es
auch hier bestimmte Klassen, die sich nach einem bestimmten Schema lösen lassen. Für
unsere Zwecke betrachten wir nichtlineare DGLs von der Form
y ′ (x) = g(x)h (y(x)) .
(B.64)
Dies sind DGLs erster Ordnung, die nicht notwendigerweise linear sein müssen. Sie
sind lösbar durch folgendes Schema: Zunächst formen wir die DGL um in die sogenannte
Differenzialschreibweise.
dy
= g(x)h(y) .
(B.65)
dx
Der wichtigste Schritt ist die Trennung der Variablen. Wir formen die Gleichung
so um, dass auf einer Seite nur Terme mit y vorkommen und auf der anderen Seite nur
Terme mit x.
dy
= g(x)dx .
(B.66)
h(y)
Die Ausdrücke dx und dy werden wir durch Integration beider Seiten los. Wir erhalten auf beiden Seiten eine Integrationskonstante, die wir in einer Konstanten K zusammenfassen können. Da unsere DGL Ordnung 1 hat, ist auch genau eine Integrationskonstante
zu erwarten:
Z
Z
dy
= g(x)dx + K .
(B.67)
h(y)
Diese integrierte Gleichung muss man nur noch nach y auflösen und man hat die
allgemeine Lösung der DGL gefunden.
Gibt man sich zusätzlich eine Anfangsbedingung, also einen Funktionswert y(x0 ) zu
einem Punkt x0 , vor, so kann man die Konstante K berechnen und man hat zu diesem
Anfangswertproblem eine spezielle Lösung.
c
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B.2. MEHRFACHINTEGRALE
183
Dieses abstrakte Lösungsschema wollen wir uns anhand eines Beispiels veranschaulichen. Wir betrachten das nichtlineare Anfangswertproblem
y ′ ey − 1 = 0, y(1) = ln(2) .
(B.68)
Man addiert auf beiden Seiten 1 und multipliziert beide Seiten mit e−y . Mit y ′ =
ergibt sich die DGL in der Differenzialschreibweise
dy
= e−y .
dx
dy
dx
(B.69)
Durch Multiplikation mit ey und dx trennt man die Variablen
ey dy = dx .
(B.70)
Nun integrieren wir beide Seiten, dadurch ergibt sich
Z
Z
y
e dy = dx + K ⇒ ey = x + K .
(B.71)
Um nach y aufzulösen, logarithmiert man beide Seiten und man erhält die allgemeine
Lösung
y = y(x) = ln(x + K) .
(B.72)
Durch Einsetzen der Anfangsbedingung bestimmen wir K gemäss
ln(2) = y(1) = ln(x + K)
⇒
K=1 .
(B.73)
Und somit lautet die spezielle Lösung
y(x) = ln(x + 1) .
B.2
(B.74)
Mehrfachintegrale
Wir verlassen nun das Themenfeld der Differentialgleichungen und beschäftigen uns mit
Mehrfachintegralen. Dabei integriert man nicht wie bei Einfachintegralen entlang einer Koordinatenachse sondern über ein komplettes Raumgebiet. Wir gehen nicht auf die Theorie
ein, sondern veranschaulichen uns den Zweck dieser Technik anhand zweier Beispiele.
Der Quader in der Abbildung habe keine homogene Dichte, sondern die Dichte D an
jeder Position ~r sei beschrieben durch die Funktion
 
x

(B.75)
D(~r) = D y  = xyz .
z
Zur Vereinfachung lassen wir in den Beispielen die Einheiten weg. Dieser fiktive Quader hat beispielsweise entlang der Koordinatenachsen die Dichte 0. Desweiteren habe der
Quader die Seitenlängen 0A = 2, 0C = 5 und 0H = 3. Zu berechnen ist nun die Masse der
Quaders.
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B.2. MEHRFACHINTEGRALE
184
Abbildung B.1: Quader mit inhomogener Dichte
Wir lösen die Aufgabe, indem wir über alle infinitesimalen Massen dm im Quader
integrieren. Für das Problem eignet sich am besten das kartesische Koordinatensystem, in
dem dV = dx dy dz gilt. Unter Benutzung von dm = D dV ergibt sich
Z
Z
Z 3Z 5Z 2
xyz dxdydz .
(B.76)
m=
dm =
DdV =
V
V
0
0
0
R2
Dieses Dreifachintegral löst man nun von innen nach außen, d.h. zum Integral 0 gehört
die Integration über dx. Das Ergebnis dieses Integrals ist der Integrand des Integrals über
dy, und so weiter. Man beachte, dass bei der Integration über dx die Variablen y und z
konstant bezüglich x sind.
2
Z 3Z 5
Z 3Z 5
1 2
m=
yz dydz .
(B.77)
x yz dydz = 2
2
0
0
0
0
0
Analog erfolgt auch der nächste Schritt und es ist
5
3
Z 3
Z 3
1 2
1 2
y
z dz = 25
z dz = 25 z
= 112.5 .
m=2
2
2
0
0
0
0
(B.78)
Abschließend betrachten wir ein weiteres Beispiel, in dem wir nun einen Zylinder inhomogener Dichte untersuchen. Die Dichte hänge nur vom Abstand ̺ von der Zylinderachse
ab, in diesem Beispiel sei
D(~r) = ̺2 .
(B.79)
Die Dichte des Zylinders steigt also von innen nach außen. Der Zylinder habe einen
Radius von 5 und eine Höhe von 20. Der Einfachheit halber lassen wir auch hier die Einheiten weg.
Wie in dem vorherigen Beispiel integrieren wir über alle infinitesimalen Massen dm im
Zylinder. Als das dem Problem angepasste Koordinatensystem wählen wir Zylinderkoordinaten, in denen dV = ̺ d̺ dφ dz gilt. Es folgt
Z
Z
Z 20 Z 2π Z 5
̺2 ̺ d̺dφdz .
(B.80)
m=
dm =
DdV =
V
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V
0
0
0
B.3. GRUNDBEGRIFFE DER VEKTORANALYSIS
185
Die Berechnung des innersten Integrals ergibt
m=
Z
20
0
Z
2π
0
1 4
̺
4
5
625
dφdz =
4
0
Z
0
20
Z
2π
dφdz .
(B.81)
0
Analog lösen wir die restlichen beiden Integrale und es folgt
625
m=
4
B.3
Z
0
20
[φ]2π
0
625π
dz =
2
Z
20
0
dz =
625π 20
[z]0 = 6250π .
2
(B.82)
Grundbegriffe der Vektoranalysis
In der Physik ist es oft notwendig, jedem Punkt im Raum eine gewisse Größe zuzuordnen.
Beispielsweise kann man jedem Raumpunkt eine Temperatur, einen Druck, eine Dichte,
usw. zuordnen. Diese Parameter lassen sich durch eine Zahl beschreiben, man spricht in
diesem Fall von einem Skalarfeld. Ordnet man jedem Raumpunkt eine vektorielle Größe
zu, so spricht man von Vektorfeldern. Gängige Vekorfelder sind zum Beispiel elektrische
Felder, in denen jedem Raumpunkt der Vektor der zugehörigen elektrischen Feldstärke
zugeordnet wird, Magnetfelder, Gravitationsfelder, Strömungsfelder, . . . . Viele mathematische Operationen für eindimensionale Funktionen, wie etwa die Ableitung, machen im
Falle der Felder in ihrer ursprünglichen Form keinen Sinn mehr. In diesem Abschnitt werden einige wichtige Operationen vorgestellt, die bei der Analyse von Feldern sehr nützlich
sind. Dabei wird nur auf ihre Darstellung im kartesische Koordinatensystem eingegangen.
Für Zylinder- und Kugelkoordinaten ist die Form der hier eingeführten Operatoren etwas
komplizierter. Vorausgesetzt ist immer die stetige Differenzierbarkeit der jeweiligen Felder.
B.3.1
Definitionen und Beispiele
Ein Skalarfeld J liegt vor, wenn jedem Punkt mit Ortsvektor ~r des n-dimensionalen
Raumes ein Skalar J(~r) zugeordnet ist.
J : Rn −→ R
~r 7→ J(~r)
(B.83)
Ein Beispiel für ein Skalarfeld haben wir bereits im vorherigen Kapitel kennengelernt. Die
Gleichung
 
x
(B.84)
D(~r) = D y  = xyz.
z
ordnet jedem Punkt im dreidimensionalen Raum einen Wert zu, welcher in Gleichung B.75
eine Dichte war.
Ein dreidimensionales Vektorfeld V~ ist eine Abbildung, die jedem Punkt im Raum
einen Vektor mit drei Komponenten zuordnet.


Vx (~r)
V~ : R3 −→ R3
~r 7→ V~ (~r) = Vy (~r) ,
(B.85)
Vz (~r)
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B.3. GRUNDBEGRIFFE DER VEKTORANALYSIS
wobei Vx , Vy und Vz jeweils Skalarfelder sind.
Ein Beispiel für ein Vektorfeld lautet:
   
xy
x
~



W y = z2 
5x
z
186
(B.86)
Für die Analyse von Skalar- und Vektorfeldern benötigen wir sogenannte Vektordifferentialoperatoren, ähnlich wie die Ableitung für eindimensionale Funktionen. Für die
Notation dieser Operatoren benutzt man oft den Nabla-Operator
∂  
∂x
∂x
∂
∂
∂
∂ 
~


∇ = ∂y = ∂y  =
~ex + ~ey + ~ez .
(B.87)
∂x
∂y
∂z
∂
∂
z
∂z
Der Gradient ist ein Operator, der aus einem Skalarfeld ein Vektorfeld ableitet. Dieses
nennt man das zugehörige Gradientenfeld.


 
∂x J(~r)
∂x
~ r) = ∂y  J(~r) = ∂y J(~r)
(B.88)
grad J(~r) = ∇J(~
∂z J(~r)
∂z
Man multipliziert das Skalarfeld direkt auf den Nabla-Operator. Das sich ergebende Vektorfeld gibt die Änderungsrate und die Richtung der größten Änderung des Skalarfeldes
an. Der Gradient des obigen Skalarfeldes lautet beispielsweise
 
yz
~
(B.89)
grad D(~r) = ∇(xyz)
= xz 
xy
Abbildung B.2: Skalarfeld als Grauschattierung, blaue Pfeile: zugehöriges Gradientenfeld
Ein weiteres Beispiel zeigt Abbildung B.2. Hier ist ein Skalarfeld in Grauschattierungen
dargestellt, je höher der Wert des Skalarfeldes an einem bestimmten Punkt, desto dunkler
ist der jeweilige Punkt gezeichnet. Die blauen Pfeile symbolisieren das zugehörige Gradientenfeld. Sie zeigen in Richtung des steilsten Anstieges, in diesem Falle radialsymmetrisch
nach innen.
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B.3. GRUNDBEGRIFFE DER VEKTORANALYSIS
187
Ein weiterer wichtiger Differenzialoperator ist die Divergenz. Sie führt ein Vektorfeld
~ · V~ über.
V~ in ein skalares Feld ∇

  
Vx (~r)
∂x
~ · V~ (~r) = ∂y  · Vy (~r) = ∂x Vx (~r) + ∂y Vy (~r) + ∂z Vz (~r)
(B.90)
div V~ (~r) = ∇
Vz (~r)
∂z
Die Divergenz kann man als Skalarprodukt des Vektorfeldes mit dem Nablaoperator darstellen. Sie ist ein Maß für die Stärke der Quellen (positives Vorzeichen) oder Senken (negatives Vorzeichen) in einem Vektorfeld. Ist die Divergenz eines Vektorfeldes die konstante
Nullfunktion, so nennt man das Vektorfeld quellenfrei.
Die Divergenz des Vektorfeldes aus obigem Beispiel lautet
   
xy
∂x
~
~



(B.91)
∇ · W (~r) = ∂y · z 2  = y + 0 + 0 = y,
5x
∂z
es ist nicht quellenfrei.
Die Rotation erzeugt aus einem Vektorfeld V~ ein weiteres Vektorfeld, das sogenannte
~ × V~ .
Wirbelfeld ∇

 
  
∂y Vz (~r) − ∂z Vy (~r)
Vx (~r)
∂x
~ × V~ (~r) = ∂y  × Vy (~r) = ∂z Vx (~r) − ∂x Vz (~r)
(B.92)
rot V~ (~r) = ∇
∂x Vy (~r) − ∂y Vx (~r)
Vz (~r)
∂z
Die Rotation kann man als Kreuzprodukt des Vektorfeldes mit dem Nablaoperator darstellen. Die Rotation beschreibt die Wirbel eines Vektorfeldes und ist ein Maß für seine
Queränderungen (z.B. entlang der geschlossenen kreisförmigen magnetischen Feldlinien
um einen elektrischen Leiter) oder anders ausgedrückt für die Stärke seiner Wirbel. Namensgebend für die Rotation ist ihre Bedeutung in einem Strömungsfeld: für jeden Ort
gibt die Rotation die doppelte Winkelgeschwindigkeit an, mit der ein mitschwimmender
Körper rotiert, also wie schnell und um welche Achse er sich dreht. Ist die Rotation eines
Vektorfeldes die konstante Nullfunktion, so nennt man das Vektorfeld wirbelfrei oder,
insbesondere bei Kraftfeldern, konservativ.
Die Rotation des Vektorfeldes aus obigem Beispiel lautet

 
    
−2z
∂y (5x) − ∂z (z 2 )
xy
∂x
~ ×W
~ (~r) = ∂y  ×  z 2  = ∂z (xy) − ∂x (5x) =  −5  ,
(B.93)
∇
2
−x
∂x (z ) − ∂y (xy)
5x
∂z
es ist nicht wirbelfrei.
Als weiteres Beispiel betrachten wir das Geschwindigkeitsfeld einer rotierenden Scheibe,
wie es in Abbildung B.3 gezeigt ist. Es ist parametrisiert durch
 
 
−y
x
(B.94)
~v (~r) = ~v y  = ω  x 
0
z
Es ergibt sich

0
rot ~v (~r) =  0  .
2ω

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(B.95)
B.3. GRUNDBEGRIFFE DER VEKTORANALYSIS
188
y
x
Abbildung B.3: Geschwindigkeitsfeld einer rotierenden Scheibe, es gilt ω < 0
Die Winkelgeschwindigkeit ist also ω und die Rotationsachse zeigt in z-Richtung. Desweiteren ist
div ~v (~r) = 0,
(B.96)
wir haben es also mit einem quellenfreien Vektorfeld zu tun.
Schließlich wollen wir noch das vektoranalytische Analogon zur zweiten Ableitung, den
sogenannten Laplace-Operator einführen. Er lässt sich auf Skalarfelder J anwenden. Das
Ergebnis ∆J ist wieder ein Skalarfeld.
∆J(~r) = div grad J(~r) = ∂x2 J(~r) + ∂y2 J(~r) + ∂z2 J(~r)
(B.97)
Der Laplace-Operator lässt sich als Hintereinanderausführung des Gradienten- und des
Divergenzoperators darstellen. Angewendet auf obiges Beispiel ergibt er
 
yz

(B.98)
∆D(~r) = div grad (xyz) = div xz  = 0.
xy
B.3.2
Eigenschaften von Differenzialoperatoren
Gewisse Hintereinanderausführungen der eingeführten Differenzialoperatoren ergeben sehr
nützliche Eigenschaften. Diese werden hier nur aufgelistet, sie lassen sich aber leicht durch
explizites Ausrechnen beweisen.
• Das Gradientenfeld eines gegebenen Skalarfeldes J ist stets wirbelfrei:
 
0
~
~

rot grad J = ∇ × ∇J = 0 = 0.
0
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(B.99)
B.3. GRUNDBEGRIFFE DER VEKTORANALYSIS
• Das Wirbelfeld eines gegebenen Vektorfeldes V~ ist stets quellenfrei:
~ · ∇
~ × V~ = 0.
div rot V~ = ∇
189
(B.100)
• Folgende Identität ergibt sich für Wibelfelder von Wirbelfeldern eines Vektorfeldes
V~ :
~ × ∇
~ × V~ = ∇
~ ·∇
~ V~ − ∆V~ .
rot rot V~ = ∇
(B.101)
Hierbei ist zu beachten, dass auf der rechten Seite sowohl der Gradient als auch der
Laplace-Operator auf ein Vektorfeld und nicht (wie definiert) auf ein Skalarfeld angewendet werden. Dies bedeutet, dass der Gradient bzw. der Laplace-Operator auf jede
Komponente des Vektorfeldes seperat anzuwenden ist - die einzelnen Komponenten
des Vektorfeldes sind Skalarfelder.
B.3.3
Helmholtzscher Hauptsatz der Vektoranalysis
~ r) und B(~
~ r) zerlegen,
Jedes beliebige Vektorfeld V~ (~r) lässt sich stets in zwei Vektorfelder E(~
so dass gilt:
~ r) + B(~
~ r) mit rot E(~
~ r) = 0 und div B(~
~ r) = 0.
V~ (~r) = E(~
(B.102)
Dieser Sachverhalt ist von grundlegender Bedeutung in der Elektrodynamik. Es folgt,
dass sich jedes statische elektromagnetische Feld V~ (~r) in ein wirbelfreies elektrisches Feld
~ r) (Induktionsgesetz) und ein quellenfreies magnetisches Feld B(~
~ r) (keine magnetischen
E(~
Monopole) zerlegen lässt.
B.3.4
Integralsätze für Vektorfelder
Ein Zweck der Integralsätze ist, Integrale über Volumengebiete bzw. Flächen in eventuell
einfachere Integrale über die jeweilige Umrandung umzuwandeln. Der Rand ist im Falle
eines Volumengebietes eine (Ober-) Fläche und im Falle einer Fläche eine geschlossene
Kurve.
Für ein Vektorfeld V~ gilt bei Integration über eine Fläche S, welche das Volumen U
umschließt:
I
Z
~ · V~ dU
V~ · d~n =
∇
(Gaußscher Satz)
(B.103)
S
U
Hierbei ist d~n der Flächennormalenvektor auf das infinitesimale Flächenstück dS. Er
steht senkrecht auf dS und seine Länge ist der Betrag der Fläche von dS. Dies bedeutet,
dass zum linken Integral nur Anteile senkrecht zur Umrandung S beitragen. Das Integral
der Quellenverteilung (Summe der Divergenz eines Vektorfeldes, rechtes Integral) über das
Volumen im Innern einer Hülle ergibt den gesamten Durchfluss (das Hüllenintegral, linkes
Integral) der gesamten Strömung durch die Hülle dieses Volumens.
Ein weiterer Integralsatz betrachtet Flächen und ihre Umrandungen. Für ein Vekorfeld
V~ gilt bei Integration über eine glatte Kurve l, in welche die Fläche S eingespannt ist:
I
Z
~
~ × V~ d~n
V · d~r =
∇
(Stokesscher Satz)
(B.104)
l
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S
B.3. GRUNDBEGRIFFE DER VEKTORANALYSIS
190
Hierbei ist d~r der Tangentialvektor auf das zugehörige infinitesimale Kurvenstück dl.
Zum linken Integral tragen also nur die tangential zur Kurve l zeigenden Komponenten
des Vektorfeldes V~ bei.
Abbildung B.4: Veranschaulichung der Bedeutung des Stokesschen Satzes
Hinter dem Satz steckt ein allgemeines topologisches Prinzip, das in seiner einfachsten
Form besagt, dass sich bei orientierter Pflasterung“ eines Flächenstücks im Innern die
”
Wege wegen Gegenverkehrs“ paarweise aufheben, so dass nur die Randkurve übrig bleibt.
”
Dies ist in Abbildung B.4 veranschaulicht.
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