Grundwissen Mathematik 10. Klasse

Grundwissen Mathematik 10. Klasse
10.A Die Kreiszahl π
Der Kreis
Alle Kreise sind zueinander ähnlich.
Umfang:
UKreis  2  r
Fläche:
A Kreis    r2
Kreiszahl:
  3,14...
Beispiele:

sin(120)  sin(180  120)
 sin(60)  3
2

cos(225)   cos(225  180)
  cos(45)   2
Der Kreissektor
Bogenlänge:

b Sektor 
360
Sektorfläche:
A Sektor 

360
2

 2  r
 tan(30)  3
3
   r2
Das Bogenmaß
Beispiel:
Ein Kreissektor hat den Radius 6 cm und den Mittelpunktswinkel 135°. Berechne die Fläche und
den Umfang des Kreissektors:
A Sektor 
tan(390)  tan(390  360)
Das Bogenmaß a eines
Winkels  ist die Länge
des zugehörigen Bogens
im Einheitskreis:
135
   (6 cm)2  42, 4 cm2
360
uSektor  b Sektor  2 r
135

 2    6 cm  2  6 cm
360
 26,1 cm
a

180


30°
60°
90°
180°
270°
360°
a
1
6
1
3
1
2

3
2
2
Der Sinussatz
Die Kugel
Alle Kugeln sind zueinander ähnlich.
2
Oberfläche:
OKugel  4   r
Volumen:
VKugel  4   r3
b
sin 

c
sin 
a
sin 

b
sin 
a
sin 

c
sin 
3
Beispiel:
Eine Kugel hat den Radius 6 cm. Berechne das
Volumen und die Oberfläche der Kugel:
Beispiel:
Im Dreieck ABC ist a  7 cm , c  5 cm und
10.B Trigonometrie /
Trigonometrische Funktionen
Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte für
beliebige Winkel zwischen 0° und 360°
Für Winkel  über 90° liefert
 der Quadrant das Vorzeichen
 die Differenz zwischen  und 180° bzw. 360°
den zugehörigen spitzen Winkel.
  30 . Berechne  .
a
sin 

c
sin 
sin   a  sin  


c

7 cm
 sin(30)  0,7
5 cm
UND
Der Kosinussatz
Die allgemeine Sinusfunktion
a2  b2  c2  2b c  cos 
Die allgemeine Sinuskurve
2
2
y  a  sin b  (x  c)  d
2
b  a  c  2 a c  cos 
ist gegenüber der „normalen“ Sinuskurve
y  sin x
c2  a2  b2  2 a b  cos 

um c in x-Richtung verschoben.

Die Periodenlänge ist

Die Amplitude ist |a|. Die y-Werte liegen zwischen  a und  a .
Bei negativem a wird die Kurve an der
x-Achse gespiegelt.
Die Sinuskurve wird um d nach oben verschoben.

Beispiel:
Im Dreieck ABC ist a  6 cm , b  7 cm und
c  5 cm . Berechne den Innenwinkel  :
cos  

2
2
2
b c a

2bc
2
.
b
Beispiele: ( y  sin x ist gepunktet)

y  sin (x  2 )

y  sin (2x)

y  1,5  sin x

y = sin x + 0,5
(7 cm)2  (5 cm)2  (6 cm)2
 0,543
2  7 cm  5 cm
   cos1(0,543)  57,1
(weitere Übung: Berechne auch  und  .)
Sinus- und Kosinusfunktion
y  sinx
Definitionsmenge:
Wertemenge:
y  cos x
f
f
 1;  1
f
f
 1;  1
Periode: sin(x+2 )  sin x
cos(x+2 )  cos x
Punktsymmetrie
Symmezum Ursprung
trie:
sin(x)  - sin(x)
Achsensymmetrie
zur y-Achse
cos(x)  cos(x)
y
1
x
10.C Die bedingte Wahrscheinlichkeit
Definition: bedingte Wahrscheinlichkeit
10.E Der Logaritmus
Definition:
PB(A) ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten
von A unter der Bedingung, dass B bereits eingetreten ist.
Der Logarithmus von u zur Basis a ist diejenige
Zahl r, mit der man a potenzieren muss, um u zu
erhalten:
0
Aus a = 1 folgt loga 1 = 0 bzw.
aus a1 = a folgt loga a = 1.
Rechenregeln:
Beispiel:
In einem Betrieb kommt es an 1% aller Arbeitstage zu einem Brand (B). In 90% dieser Fälle wird
ein automatischer Alarm ausgelöst (A). Liegt kein
Brand vor, so gibt es mit einer Wahrscheinlichkeit
von 5% einen Fehlalarm.
Frage:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür dass es
wirklich brennt, wenn ein Alarm ausgelöst wird?
-
Beispiel:
-
10.F Verhalten im Unendlichen
Definition: Grenzwert
Nähern sich die Funktionswerte f(x) für
einer Zahl a beliebig genau, so heißt a Grenzwert
(Limes) der Funktion f.
Beispiel:
10.D Die Exponentialfunktion
0
Allgemeine Eigenschaften:
-
Definitionsmenge ist
.
Schnittpunkt mit der y-Achse ist P( 0 | b ).
Die x-Achse ist waagrechte Asymptote.
Mit wachsendem x nehmen die Funktionswerte
für
a < 1 ab (exponentielle Abnahme),
a > 1 zu (exponentielle Zunahme).
- b heißt Startwert (oder Anfangswert) und a
Wachstums- bzw. Abnahmefaktor.
Definition: Divergenz
Wachsen die Funktionswerte f(x) für
unbegrenzt nach
oder sinken sie unbegrenzt
nach
, so sagt man, die Funktion divergiert
bestimmt.
Beispiel:
Beispiel:
Eine Meerschweinchenpopulation besteht aus 50
Tieren. Unter optimalen Bedingungen kann sich
die Population in einem Jahr verdoppeln.
 b = 50, a = 2, x ist die Zeit in Jahren und
f(x) = 50・2x ist die Zahl der Tiere.
y
Neben der bestimmten Divergenz gibt es noch die
unbestimmte Divergenz. Beispiel: f(x) = sin(x)
schwankt ständig zwischen 1 und −1 hin und her.
10.G Ganzrationale Funktionen
Definition und Eigenschaften:
n
n−1
Ein Term der Form anx + an−1x +…+a1x+a0 mit
an 0 heißt Polynom n-ten Grades. Eine Funktion, deren Funktionsterm als Polynom geschrieben werden kann, nennt man ganzrationale Funktion n-ten Grades.
300
200
100
-2
-1
O
1
2
3 x
Tritt in der faktorisierten Form eine Nullstelle xk
ungeradzahlig oft auf, so wechselt f(x) bei xk das
Vorzeichen, tritt sie geradzahlig oft auf, so wechselt f(x) bei xk das Vorzeichen nicht.
Je häufiger die Nullstelle auftritt, desto mehr
schmiegt sich der Graph bei x k an die x-Achse an.
Beispiel:
Diese Funktion besitzt bei x = −1 eine einfache,
bei x = 0 eine dreifache und bei x = 2 eine doppelte Nullstelle.
y
2
1
-1
O
1
2 x
-1
10.H Die Polynomdivision
3
2
Problem: Löse die Gleichung x −6x +7x+2=0.
- Finde eine Lösung x1 durch geschicktes Raten
(evtl. Taschenrechnertabelle): x1 = 2
- Teile das Polynom durch x − x1:
-
/
- Setze das Restpolynom gleich Null und löse
diese Gleichung:
(Lösungsformel)
und
10.I Symmetrie von Funktionsgraphen
Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse:
Beispiel:
Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs:
Beispiel: